Продольный прогиб. Продольный изгиб прямого стержня

Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, нагруженный на верхнем конце центрально приложенной сжимающей силой Р (рис. 3.13).

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Для ее определения отклоним стержень в положение, показанное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стержень может не вернуться в прежнее положение.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид [см. формулу (68.7)]

Начало координат считаем расположенным у нижнего конца стержня, а ось - направленной вверх.

Изгибающий момент в сечении с абсциссой равен

Подставим выражение М в уравнение (1.13):

Интеграл дифференциального уравнения (2.13) имеет вид

Произвольные постоянные А и В можно определить из граничных условий:

а) при и и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

б) при и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

Условие (5.13) выполняется при или При подстановке значения и найденного значения в уравнение (4.13) получаем выражение , не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (5.13), необходимо принять или [на основании выражения (3.13)]

Условие (6.13) удовлетворяется и при однако при этом из выражения (7.13) следует , что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение отличное от нуля, можно получить из выражения (7.13) при Тогда

Формула (8.13) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой.

Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.

Формула (8.13) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.

Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной защемленный (заделанный) одним концом. Возможная форма равновесия такого стержня при критическом значении силы Р имеет вид, показанный на рис. 4.13.

Сравнивая рис. 4.13 и рис. 3.13, устанавливаем, что стержень длиной с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными концами, изогнутая ось которого показана на рис. 4.13 пунктиром.

Следовательно, значение критической силы для стержня с одним защемленным концом можно найти, подставив в формулу (8.13) величину вместо тогда

Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 5.13. Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.

Из сопоставления рис. 5.13 и рис. 4.13 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 4.13. Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу (9.13) величину вместо

(10.13)

Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.

Формулы Эйлера (8.13), (9.13) и (10.13) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:

(11.13)

Здесь - так называемый коэффициент приведения длины; - приведенная длина стержня.

Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент имеет следующие значения.

Продольный изгиб

При расчетах на прочность подразумевалось , что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым . Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым . Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.

Состояние равновесия считается устойчивым , если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.

Рассмотрим известные виды равновесия.

Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.

Состояние равновесия будет безразличным , если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.

При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность . Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций , поэтому явление это носит характер катастрофичности.

При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.

Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой .

Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.

Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом .

Критическая сила. Критическое напряжение

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером .

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности , критическая сила вычисляется по формуле Эйлера :

где I min – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ - геометрическая длина стержня, μ – или (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где гибкость стержня,

а радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости .

Величина λ пред зависит только от вида материала:

Если у стали 3 Е =2∙10 11 Па, а σ пц =200МПа , то предельная гибкость

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λ пред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ 0 ≤λ≤λ пр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам , например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.

σ к =а-bλ, или F кр = A (a — b λ)

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем ().Так, для стали3 а =310МПа, b =1,14МПа.

При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ 0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость.

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст ] — не постоянная величина , как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов :

1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2) от способа закрепления концов стержня,

3) от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, [σуст ] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр , при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия .

Поэтому

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение , то есть если k =1÷2, то k уст =2÷5 .

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:

В этом случае ,

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс ).

Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения , то есть [σ] по прочности , или иначе

С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:

μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ - геометрическая длина стержня,

i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1 , зависит,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.

При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции .

Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов

На основании условия устойчивости решаются три вида задач :

1. Проверка устойчивости .
2. Подбор сечения .
3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F ]=φ[σ]А .

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения , поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ . Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений :

1 попытка : задаемся φ1 из средней зоны таблицы , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то.

У стержней, длина которых значительно больше поперечных размеров, при определенной величине осевой сжимающей силы может происходить потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия. Это явление наз ывают продольным изгибом, а величину осевой силы, при которой сжатый стержень теряет прямолинейную форму равновесия, - критической силой F кр. Ее можно определить по формуле Эйлера

где E - модуль продольной упругости для материалов стержня; I min - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня; l - длина стержня; l n - приведенная длина; - коэффициент приведения длины, величина которого зависит от закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности, т.е. для стержней, гибкость которых больше предельной гибкости пред. Предельная гибкость зависит от упругих свойств материала и вычисляется по формуле

где пц - предел пропорциональности материала стержня.

Величина критической силы зависит не только от материала и размеров стержня, но и от способа закрепления его концов.

Теория механизмов и машин занимается приложением законов теоретической механики к механизмам и машинам.

Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, имеющих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.

Машина есть механизм или сочетание механизмов, осуществляющих определенные целесообразные движения. По выполняемым функциям машины можно разделить на следующие группы: для преобразования энергии (энергетические машины), перемещения грузов (транспортные машины), изменения формы, свойств, состояния и положения предмета труда (рабочие машины) или для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).

Таким образом, всякая машина состоит из одного или нескольких механизмов, но не всякий механизм является машиной.

Работа механизма или машины обязательно сопровождается тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений - мостов, зданий и т. д.

Простейшей частью механизма является звено. Звено - это одно тело или неизменяемое сочетание тел.

Два звена, соединенные между собой и допускающие относительное движение, называются кинематической парой. Кинематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, вращательные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).

Совокупность кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоскими и пространственными. Звенья плоских механизмов совершают плоскопараллельное движение.

Механизм получается из кинематической цепи путем закрепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называется станиной или стойкой.

Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, называется балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по станине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.

Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.

Различные звенья и кинематические пары механизмов имеют свои условные обозначения по ГОСТу.

Законы и методы теоретической механики находят свое практическое приложение прежде всего в теории механизмов, так как механизмы являются кинематической основой всех машин, механических приборов и промышленных роботов.

Продольный изгиб конструкции в целом. Редукция механизма разрушения. Определение пластического механизма разрушения при продольном изгибе является весьма трудоемкой задачей, которая решена лишь для некоторых отдельных случаев.
В связи с наличием начальных несовершенств в конструкции с самого начала нагружения появляются перемещения, которые оказывают влияние на ее напряженное состояние. При этом процесс пластификации существенно отличается от такого процесса, когда не учитывается деформированная схема, и в этом случае конструкция разрушается, при образовании механизма с меньшим числом шарниров.
Рассмотрим, например, раму, показанную на рис. 4.1, а. Принимаем, что нагрузка возрастает пропорционально одному параметру и пластическая несущая способность конструкции будет достигнута при силах, которые в раз больше приведенных на рисунке.
Если не учитывать влияние продольного изгиба, го на основе одного из методов пластического расчета можно определить механизм разрушения исследуемой рамы; в этом случае получим десять пластических шарниров (рис. 4.1, б). При значениях нагрузок, показанных на рис. 4.1, а, соответствующая несущая способность характеризуется коэффициентом безопасности Spl=2,15.
Однако продольный изгиб существенно изменяет работу рамы. Из расчетов Вуда, выполненных на дифференциальном анализаторе, следует, что для сечений, показанных на рис. 4.1, а (двутавровые профили с обозначениями английского стандарта на прокат), в первую очередь образуются пластические шарниры 1 и 2 (рис. 4.1, с) при коэффициенте безопасности S=1,8. Кроме того, появляются отдельные зоны текучести в середине первого, второго и четвертою ригелей. При возрастании нагрузки до значения, определяемого коэффициентом безопасности S=1,9, образуются новые пластические шарниры в сечениях 3 и 4 (рис. 4.1, с), и конструкция начнет течь в других зонах.

Поскольку при этой нагрузке в раме появляются весьма большие перемещения, значение SplVZ=1,9 можно принять за коэффициент безопасности для пластической несущей способности системы с учетом продольного изгиба.
В этом случае для разрушения рамы достаточно появления всего четырех пластических шарниров, т.е. на шесть меньше, чем по сравнению с классическим механизмом разрушения без учета продольного изгиба. Снижение несущей способности за счет продольного изгиба составляет 11,6%.
С редукцией механизма разрушения связано ограничение естественного перераспределения изгибающих моментов, которые выравниваются лишь частично.
Как отмечалось выше, продольный изгиб может существенно изменить работу системы. Однако наиболее распространенные стальные конструкции обычно имеют такие конструктивные решения, при которых влияние продольного изгиба может быть ослаблено, а иногда и вообще исключено.
Системы часто раскреплены жесткими элементами, какими, например, являются шахты лифтов, лестничные клетки и другие подобные конструкции.
Совместная работа легких стальных конструкций и жесткого, большей частью железобетонного, ядра очень часто используется в современных жилых, административных и других зданиях. Иногда конструкция пристраивается к другому объекту, который обеспечивает устойчивость пристройки. Жесткость конструкции увеличивают также перекрытия, покрытия и стены, которые совместно с несущими рамами составляют жесткую пространственную систему. В этом случае несущие рамы не работают отдельно, как это предполагается в статическом расчете, а как пространственный каркас совместно с другими элементами объекта.
Для схемы шарнирного опирания конструктивное решение шарнира существенно отличается от шарнира теоретического, который предполагает свободный поворот. При этом в действительности имеем упругое защемление, в некоторых случаях достаточно близкое к полному защемлению, в связи с чем жесткость конструкции увеличится, и распределение изгибающих моментов будет более благоприятным. При достаточной высоте стены сами несут собственный вес, облегчая ригели рам и загружая непосредственно колонны. Измерения на построенных зданиях показывают, что для ригелей рам, загруженных весом кирпичных стен, изгибающий момент составляет G1l/11 для одного ряда кирпича; G2l/27 - при высоте кладки 1,5 м; G3l/132 при высоте 4 м (где Gi - соответствующий вес кладки, l - пролет ригеля). Уменьшение изгибающих моментов в середине пролета уменьшает влияние продольного изгиба.

С учетом изложенного влияние продольного изгиба можно не учитывать и расчеты выполнять согласно рекомендациям данным далее для конструкций, которые присоединены к другим, достаточно жестким объектам (рис. 4.2, а); для конструкций с жестким ядром, выполненным из железобетона или стальных связей (рис. 4.2, с); для конструкций с жесткой системой колонн, кровли и стен, которые совместно с несущими рамами или дополнительными связями (жесткостями) образуют жесткую пространственную систему.
В остальных случаях необходимо рассматривать устойчивость с учетом деформированной схемы. Однако даже для самых распространенных схем этот метод допускает решения только для некоторых случаев; при этом требуется применение ЭВМ с большой памятью. Поэтому приводятся приближенные решения, которые помогут проектировщику получить достаточно точные результаты.
Формула Мерчанта - Ранкина. Предельную нагрузку конструкций, рассчитываемых за пределом упругости с учетом влияния продольного изгиба, приближенно можно определить по формуле

Формула (4.1) рекомендована Мерчантом, который теоретические решения продольного изгиба рам дополнил многочисленными сопоставленными испытаниями на моделях. На рис.4.3 показано сравнение расчетов по формуле (4.1) с экспериментальными данными Мерчанта. Почти все экспериментальные результаты находятся выше значений, вычисленных по формуле (4.1), так что формула является достаточно надежной.

Поскольку формула (4.1) аналогична формуле Ранкина для продольного изгиба стержней, ее называют формулой Мерчанта - Ранкина.
Наибольшая допустимая гибкость колонн. Установим значение характеристик сечении колонн рам, при которых влияние устойчивости можно не учитывать. В качестве характерного параметра примем гибкость колонн в плоскости рамы.
В металлостроительстве применяются самые разнообразные рамы, для расчета которых необходим различный подход. Учитывая современное состояние в области устойчивости неупругих рам, сделать это практически невозможно. Поэтому пока необходимо исключить подобный расчет для систем, поведение которых с учетом продольного изгиба еще не изучено, а в остальных случаях разработать рекомендации для расчета на основе рассмотрения отдельных характерных рам того или иного класса систем.
Для дальнейшего исследования в качестве характерной принимаем одноэтажную однопролетную раму, показанную на рис. 4.4, а. Эта схема дает некоторый запас надежности, так как рассмотрение одного или нескольких пролетов с учетом малой вероятности одновременного совпадения самых неблагоприятных факторов, вообще говоря, увеличивает устойчивость конструкции. Следующей предпосылкой в запас надежности является то, что будем рассматривать рамы, колонны которых имеют шарнирное опирание, в то время как заделка, даже частичная, значительно увеличивает общую жесткость конструкции. Далее будем предполагать, что рама загружена двумя силами P, действующими на ригель симметрично по отношению к оси симметрии рамы.
Если бы система не была подвержена продольному изгибу, то она разрушилась бы в результате образования механизма с двумя шарнирами (рис. 4.4, b).

Боковое отклонение рамы изменяет ее напряженное состояние. Например, при отклонении вправо нагрузка на узел В уменьшается, и пластический шарнир в нем не возникнет, и наоборот, узел С будет при этом перегружен, и поворот в соответствующем пластическом шарнире увеличится.
Пластический шарнир в сечении С представим в виде обычного шарнира, что также приведет к запасу надежности. После этого перенесем силы P в узлы В и C, что несколько уменьшает надежность, однако вполне компенсируется указанными выше предпосылками.
С учетом сделанных допущений рассмотрим продольный изгиб трехшарнирной рамы (рис. 4.4, с), загруженной двумя силами P в узлах В и С. Решение можно представить в следующем виде:


Для исследуемой рамы зависимость (4.2) показана на рис. 4.5 для значений Isl/Ipb=0,5 и 2,5. Для промежуточных значений разрешается линейная интерполяция. В запас надежности эти кривые можно заменить линейной зависимостью следующего вида:

Прямая, соответствующая формуле (4.3), на рис. 4.5 дана штриховой линией. Поскольку λх=l/ix, влияние продольного изгиба при пластическом проектировании можно не учитывать, если выполняется условие

Очевидно, что эту формулу можно применять только для N≤Npl, так как при N→0,5/Npl требуемое значение радиуса инерции чрезмерно возрастает.
Формулы (4.3) и (4.4) можно принять в качестве основы для расчета всех одноэтажных, а с учетом предпосылок в запас надежности - также двухэтажных рам. Эти формулы включены в ряд зарубежных норм по расчету стальных конструкций за пределом упругости и их можно использовать, пока не будут получены более точные результаты расчета рам на продольный изгиб. Необходимо отметить, что требование ЧСН 73 1401/1976 о том, чтобы при пластическом проектировании предельная гибкость сжатых и сжато изгибаемых стержней равнялась λ≤120√210/R, относится только к одиночным стержням и не распространяется на устойчивость систем в целом. Если при проектировании конструкций не учитывать устойчивость, то необходимо ограничить гибкость колонн согласно формуле (4.3).

Продольный изгиб отдельного стержня. Неполный пластический шарнир. Рассмотрим продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и моментами на концах M1 и M2 (рис. 4.6, а); при этом М1≥M2. Принимаем, что направления действия моментов на рисунке положительны.
Предположим вначале, что М1=M2=М. В этом случае имеем внецентренное сжатие стержня с постоянными эксцентриситетами е=M/N на концах (рис. 4.6,b).
Исследуем изгиб стержня в плоскости симметрии сечения. Наибольший изгибающий момент возникает в середине длины стержня. При некотором значении продольной силы в крайних вогнутых волокнах срединного сечения появляется текучесть материала. При увеличении нагрузки область текучести распространяется по длине стержня и в глубину сечения; затем появляется другая область текучести с выпуклой стороны стержня. Обычно при разрушении внецентренно сжатого стержня появляется неполный шарнир пластичности в отличие от полного пластического шарнира при изгибе.

Вид неполного шарнира (рис. 4.7) определяется размерами стержня и долей изгибающего момента в его напряженном состоянии. Стержни большой и средней гибкости с малыми эксцентриситетами разрушаются, как показано на рис. 4.7, а, когда область появления пластических деформаций возникает только с вогнутой стороны стержня. Для стержней большой гибкости с большими эксцентриситетами односторонние пластические области распространены по всей длине стержня (рис. 4.7, b). Неполный пластический шарнир для стержня меньшей гибкости и с меньшим эксцентриситетом показан на рис. 4.7, с, при этом пластические области находятся в средней части стержня с выпуклой и вогнутой сторон. Несущая способность стержней при продольном изгибе средней и малой гибкости при большом эксцентриситете будет достигнута в том случае когда область течения материала с вогнутой стороны распространится на всю длину стержня, в то время как с выпуклой стороны она будет ограничена только в его средней части (рис. 4.7, a). Наконец, стержни малой гибкости с большими эксцентриситетами разрушаются, когда пластические области с выпуклой и вогнутой сторон распространяются на всю длину стержня (рис. 4.7, е).
На основе изложенного выше можно отметить следующие закономерности. С увеличением гибкости стержня неупругие области при его разрушении сосредотачиваются в середине длины. С увеличением эксцентриситета области текучести материала появляются не только с вогнутой, но также и с выпуклой стороны стержня. Этот результат понятен, так как с возрастанием гибкости стержня увеличивается влияние изгиба от продольной силы N, что приводит к большой неравномерности распределения изгибающего момента от перемещений. С возрастанием эксцентриситета нагрузки увеличивается влияние начального изгибающего момента M на напряженное состояние стержня, который по своей работе приближается к работе изгибаемой балки с одинаково напряженными волокнами с вогнутой и выпуклой сторон. Полный пластический шарнир может возникнуть только у стержней, имеющих небольшие гибкости, когда влияние продольного изгиба несущественно.
Рассмотрим теперь изгиб сжатого стержня с неодинаковыми концевыми моментами M1 и M2, эквивалентного по схеме внецентренно сжатому стержню с разными эксцентриситетами e1 и e2 на концах (рис. 4.6, с). В этом случае изогнутая ось стержня несимметрична, тем больше, чем больше отношение моментов M2/M1 отличается от + 1,0.
При M1=-M2 стержень изгибается в виде двух антисимметричных полуволн. При такой форме изогнутой оси наиболее напряженное сечение смещается в направлении к большему концевому моменту, вплоть до крайнего сечения стержня. Положение наиболее напряженного сечения является функцией сжимающей силы N. При достаточно малом ее значении угол φ≤ψ, и наиболее напряженным является сечение на конце стержня. В этом случае изгибающий момент М1 при деформации стержня не увеличивается, влияние продольного изгиба не проявляется и стержень разрушится, когда в этом сечении появится полный пластический шарнир.

При других соотношениях концевых моментов М1 и M2 при разрушении стержня появится неполный пластический шарнир и в этом случае при расчете стержня решающим является продольный изгиб. С уменьшением отношения m=M2/M1 несущая способность стержня при продольном изгибе увеличивается.
Плоский продольный изгиб идеального стержня. Идеальным называется стержень без каких бы то ни было начальных несовершенств, из однородного материала без собственных (остаточных) напряжений, абсолютно прямой, с силой, действующей строго по центру тяжести сечения стержня.
Рассмотрим шарнирно закрепленный на концах идеальный стержень, нагруженный продольной силой N и концевыми моментами М1 и M2. Задача заключается в том, чтобы при известных длине и сечении стержня, а также значении продольной силы определить, какие концевые моменты M1 и M2 (с их отношением m=M2/M1) вызывают исчерпание несущей способности при продольном изгибе.
Существует ряд решений этой задачи. Одно из них приведено в работе и основано на следующих предпосылках:
1) изолированный стержень, нагруженный продольной силой и концевыми моментами и изгибается в плоскости действия моментов, которая совпадает с плоскостью симметрии сечения стержня; пространственный продольный изгиб при этом исключается;
2) стержень изготовлен из американской стали А7, соответствующей нашим сталям класса 37, и ее диаграмма работы может быть представлена упрощенно в виде диаграммы Прандтля;
3) стержень имеет постоянное сечение;
4) в начальном состоянии стержень является совершенно прямым;
5) в сечении имеются собственные напряжения, показанные на рис. 4.8 (это является отступлением от принятого определения идеального стержня);
6) поперечные сечения остаются плоскими и после изгиба стержня; перемещения стержня малы.
Авторы работы выполнили численными методами исследования для американского широкополочного двутаврового сечения 8WF31, которое было принято из-за низкого коэффициента формы сечения f=Z/W=1,1. Необходимо отметить, что для обычных сечений при f≥1,1 полученные результаты имеют некоторый запас надежности. Процесс последовательных аппроксимаций при решении задачи был весьма трудоемким и длительным.

Рис. 4.9 показывает, при каких значениях момента М1, продольной силы N, гибкости λх и отношения m=M2/M1 происходит разрушение стержня. При заданных величинах N/Npl и λx значение M1/Mpl существенно увеличивается при уменьшении m. Чем меньше отношение m, тем больше несущая способность стержня, при продольном изгибе. При m=-1, т.е. когда на концах стержня действуют равные моменты одного и того же знака, при N≤0,6 Npl и λx≤120 продольный изгиб практически можно не учитывать.
Пространственный продольный изгиб идеального стержня. Исследование несущей способности стержня при пространственном продольном изгибе является во много раз более трудной задачей, чем при плоском продольном изгибе. Точное решение задачи весьма трудоемко и длительно, в связи с чем в практических расчетах используются более простые приближенные формулы, учитывающие совместное влияние различных факторов. При этом, однако, рассматривается несущая способность стержня при продольном изгибе и учитываются только критические напряжения, при которых происходит потеря устойчивости стержня из плоскости действия моментов при изгибно-крутильных деформациях. Поэтому действительный пластический резерв несущей способности стержня при таком подходе не может быть реализован.
Для упругого идеального стержня открытого сечения, сжатого продольной силом N и нагруженного постоянным изгибающим моментом M, действующим в плоскости, перпендикулярной оси поперечного сечения классическая приближенная формула при совместном их действии имеет следующий вид:

Формула (4.5) удовлетворяет граничным случаям, поскольку для центрально сжатого и изгибаемого стержня выполняются отношения

В классическом виде (4.5) эта формула взаимодействия не учитывает влияние изгиба на критические напряжения. В действительности стержень изгибается с самого начала нагружения моментом M в плоскости его действия, причем изгиб еще больше увеличивается в результате действия сжимающей силы N.
В связи с этим в формуле взаимодействия (4.5) необходимо уточнить значение изгибающего момента

Выше рассматривались стержни, нагруженные продольной сжимающей силой N и постоянным изгибающим моментом М. Рассмотрим теперь стержень, на который кроме продольной силы N действуют разные концевые моменты M1 и М2 (M1 - больший из них). В этом случае расчет может быть приведен к основной задаче продольного изгиба стержня с постоянным моментом путем введения эквивалентного изгибающего момента M*. Значение M* определяется из условия, что критическое напряжение стержня, загруженного продольной силой N и разными моментами М1 и M2, равно критическому напряжению того же стержня, на который действует сила N и постоянный эквивалентный момент М*.
Вопросом определения М* занимался ряд исследователей. Наиболее распространенной является формула Maccoно

Исследуем теперь продольный изгиб рассмотренного стержня в неупругом состоянии. В этом случае часто применяют приближенную формулу, аналогичную формуле (4.7), причем вместо Ncr и Mcr подставляют критическую силу Npl,cr и момент Mpl,cr неупругого стержня. Обоснованием для такого подхода являются экспериментальные исследования, основные результаты которых приведены далее.
Определение критических значений Ncr и Mcr является классической задачей устойчивости, которая хорошо изложена в специальной литературе. В неупругой стадии часто используют подход Энгессера - Шенли, который предполагает возрастание нагрузки во время потери устойчивости, в связи с чем не учитывается разгрузка. Формулы для критических парам даются в справочниках, в частности, где приведены формулы для критических сил и моментов в зависимости от вида нагрузки на стержень и закрепления его концов, а также многочисленные таблицы и графики, которые облегчают расчет.
Формулу взаимодействия (4.7), в которой Ncr=Npl,cr и Mcr=Mpl,cr, можно преобразовать таким образом, чтобы она позволяла сразу вычислять допустимые концевые моменты M1 и M2=mM1. Если подставить M* из формул (4.9) или (4.10) в формулу (С7) и выразить пластический критический момент в виде Mpl,cr=kMpl, после преобразований получим

Выше был рассмотрен пространственный продольный изгиб тонкостенных стержней с открытым контуром сечения. Стержни с замкнутым профилем или достаточно жестким недеформируемым сечением имеют существенно большую жесткость при кручении. Поэтому для обычных сечений в этих случаях пространственный продольный изгиб можно не учитывать и выполнять проверку устойчивости только в плоскости наименьшей жесткости стержня. Исключение составляют высокие замкнутые сечения при h≥10b (h - высота, b - ширина поперечного сечения), которые сравнительно редко применяются в стальных конструкциях.
Экспериментальная проверка формул для идеальных стержней. Приближенное теоретическое решение рассматриваемой задачи приведено ранее. Сравним получаемые результаты с данными экспериментальных исследований внецентренно сжатых стержней.
Рассмотрим вначале случай плоского продольного изгиба. На рис. 4.10 дано сравнение теоретических решений с результатами испытаний Maccoнэ, Фишера и Винтера показанными на рисунке крестиками и кружками. При этом учитывался действительный предел текучести. Испытывались стержни, нагруженные в плоскости наименьшей жесткости, которые фактически разрушались в результате плоского продольного изгиба; схема стержня и сечения приведены на рис. 4.10. Как видно из рисунка, теоретические результаты довольно близки к экспериментальным, последние в большинстве случаев немного превышают теоретические. Это и понятно, так как значения коэффициентов формы сечения испытываемых стержней были большими, чем принятые в теоретических решениях f=(1,17-1,25)/1,1, а фактические собственные напряжения оказались меньше принятых авторами, т.е. σ"0=0,23σfl≤0,3σfl.

В США испытывались стержни из широкополочных двутавров, нагруженные, как показано на рис. 4.11, а, и закрепленные таким образом, чтобы исключить пространственный изгиб. Результаты испытаний сравнивались с теоретическими кривыми Галамбоша и Кеттер. Сравнение показывает в целом хорошую сходимость (рис. 4.11 , b-d), за исключением стержня Т13, для которого экспериментальный результат получился выше. Это различие можно объяснить малой гибкостью стержня, незначительным влиянием продольной силы N на общую напряженность стержня и, по-видимому, работой материала в зоне самоупрочнения.
В случае пространственного продольного изгиба необходимо проверить приближенные формулы (4.12) или (4.14). Приведем результаты испытаний Хилла, Гартмана и Кларка, которые испытали большое число стержней из легких сплавов двутаврового и H-образного сечений, а также стержней с сечением из круглых труб при плоском продольном изгибе. Сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле взаимодействия (4:5), показано на рис. 4.12,а дли плоского продольного изгиба зачерненными кружками; для пространственного продольного изгиба белыми кружками. Как видно из рис. 4.12, я,безопасность расчетов по формуле (4.5) не обеспечивается. Что касается результатов, полученных по формуле (4.7), то они значительно лучше соответствуют экспериментальным данным, в особенности для пространственного продольного изгиба. Некоторые точки в этом случае лежат ниже теоретической прямой, что можно объяснить влиянием начальных отклонений, которые приближенные формулы для идеального стержня не учитывают. Безопасность расчетов можно получить только при расчете реального стержня, имеющего неизбежные начальные несовершенства.


Продольный изгиб реального стержня. Если в теоретических расчетах не учитывать начальные отклонения, то фактическая работа стержня при продольном изгибе искажается. Поэтому необходимо рассмотреть реальный стержень, которым имеет случайные отклонения от принимаемых идеальных предпосылок.
Рассмотрим вновь пространственный продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и концевыми моментами M1 и M2. Полученные ранее конечные формулы являются достаточно универсальными; так, например, формулу для плоского продольного изгиба можно рассматривать как частный случай общей формулы.
Таким образом, и здесь можно применить формулы взаимодействия, аналогичные полученным ранее. Однако в них требуется заменить критические нагрузки Npl,cr и Mpl,cr для идеального стержня предельными величинами, которые соответствуют реальному стержню со случайными отклонениями.
Если не учитывать влияние начальной погиби в плоскости внешних моментов, то формулу взаимодействия для расчета можно записать в виде

Дальнейший анализ будет сделан применительно к формуле (4.16). Если обозначить λх,fl=√π2E/σfl, N- Npl/c и M=Mpl/c0 (где с и сО -соответственно коэффициенты, учитывающие продольный изгиб и устойчивость при изгибе для упругого расчета), то формулу (4.16) можно записать в виде

В ЧСН 73 1401/1976 установлено, что сжатоизгибаемые стержни должны иметь гибкость не более 120√210/R=120√240/σfl (R или σfl в Н/мм2).
В одном из предложений при пересмотре норм проектирования для расчета сжатоизгибаемых стержней была рекомендована формула


Однако в нормах ЧСН 73 1401/1976 для расчета сжатоизгибаемых стержней приведена более простая формула

которая получена путем преобразования формулы (4.17). Здесь М - эквивалентный изгибающий момент M*, определяемый по формулам табл. 4.2. Нормы разрешают применять эту таблицу для стержней, у которых нагрузка (сила и момент) приложена между опорами стержня. Место приложения нагрузки в этом случае разделяет стержень на две части, для которых эквивалентный момент можно принимать как для стержня незакрепленной рамы.
Приведенные формулы справедливы для случая продольного изгиба, когда момент действует в плоскости, перпендикулярной главной оси Х (М=Мх) . Нормы не устанавливают, как поступать в случае, если стержень нагружен продольной силой N и моментами в двух главных плоскостях Mх и Mу. Предполагаем, что формулы (4.17) или (4.19) можно распространить и на этот случай:

Способность к повороту в пластических шарнирах на концах стержней. Рассмотрим вопрос, обладают ли концевые сечения стержня, нагруженного продольным изгибом, такой способностью к деформациям, чтобы при поворотах, возникающих в них пластических шарниров, мог образоваться полный механизм разрушения. Для ответа на этот вопрос следует проанализировать результаты экспериментальных исследований стальных рам и стержней на продольный изгиб.
Испытания для случая плоского продольного изгиба были проведены в CШA на стержнях, нагруженных сжимающей силой N и изгибающим моментом M1 на одном конце; при этом были приняты меры против появления пространственного изгиба. Результаты измерений показали, что поворот υ в пластическом шарнире на конце стержня в 4 раза превышал теоретический упругий поворот υel, отвечающий несущей способности. Характерная кривая M1/ Mpl=pel(υ/υel) приведена на рис. 4.13. Она соответствует стержню двутаврового сечения гибкости λх=55, нагруженному сжимающей силой N=0,325 Npl и моментом M1 на конце стержня, на котором образовался пластический шарнир. В других испытаниях наблюдались аналогичные зависимости.
Эксперименты также показали, что способность к повороту в пластическом шарнире увеличивается с уменьшением гибкости λx и увеличением силы N, т.е. при уменьшении влияния продольного изгиба.
Из этих исследований следует вывод, что при плоском продольном изгибе способность к повороту в пластических шарнирах в сечениях на концах стержня достаточна, чтобы в системе мог образоваться полный механизм разрушения.

При рассмотрении пространственного продольного изгиба необходимо в первую очередь ознакомиться с исследованиями, проведенными в Лехайском университете США. Были испытаны стержни двутавровых сечений 8 WF 31 и 4 WF 13 (широкополочные профили) с гибкостями от 27 до 111, нагруженные, в основном сжимающей силой N=0,12 Npl и различными комбинациями концевых моментов M1 и M2, стержни не были раскреплены против возникновения пространственного изгиба. Во многих испытаниях углы поворота в пластических шарнирах на концах были всего в 2 раза больше упругих углов поворота υel (в то время как при плоском продольном изгибе - в 4 раза). Большая способность к поворотам была выявлена в стержнях с неодинаковыми концевыми моментами. Вместе с тем исследования показали опасность ограниченных поворотов в пластических шарнирах на концах стержней при пространственном продольном изгибе.
В связи с этим в рассматриваемом случае необходимо заранее проверить, не появляются ли пластические шарниры на концах стержня при продольном изгибе последними в кинематическом механизме разрушения. Если это то даже недостаточная способность к повороту в последнем пластическом шарнире не препятствует возникновению такого механизма, поскольку именно этим шарниром завершается его образование. В противном случае пространственный продольный изгиб может ограничивать поворот в шарнирах и тем самым препятствовать появлению следующих пластических шарниров, которые должны завершить образование механизма разрушения. В этом случае для большей осторожности вместо учета возможности пространственного продольного изгиба лучше воспользоваться рекомендациями для неупругих стержней.

Цель: сформировать представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.

Устойчивость стоек при упругом и неупругом поведении материала

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций.

Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки. Здесь будут рассмотрены лишь простейшие случаи расчета на устойчивость сжатых стержней.

Напомним основные понятия о видах равновесия, рассматриваемые в разделе «Теоретическая механика».

Равновесие тела называют устойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение по устранении причины, вызвавшей это отклонение (рис. 79, а). Равновесие тела называют неустойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все дальше отклоняется от него (рис. 79, б). При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении (рис. 79, в).

Рис. 79. Положения равновесия шарика: а) устойчивое; б) неустойчивое; в) устойчивое безразличное

Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямолинейный стержень, нагруженный центрально приложенной силой (рис. 80). Если приложить к стержню поперечную нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива.

Рис. 80.

При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее» возвращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и возникает новая устойчивая форма равновесия - криволинейная. Происходит так называемое выпучивание стержня. При достижении сжимающей силой критического значения, когда прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой, для перехода к криволинейной форме ненужно прикладывать к стержню поперечную нагрузку, изгиб стержня происходит без видимых внешних причин.

Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия, называют продольным изгибом.

Явление перехода стержня от одного равновесного состояния (прямолинейного) к другому равновесному состоянию (криволинейному), называется потерей устойчивости стержня. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими.

В некоторых случаях при потере устойчивости система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничении их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.

Следует отметить, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости.

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центральной сжимающей силы F(pnc. 81).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII в., поэтому она носит его имя.

Рис. 81.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т. е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе F. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем

где J mt „ - минимальный момент инерции сечения.

Для определения выражения изгибающего момента M,(z), действующего в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 81 и рассматривая равновесие отсеченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак «минус» означает, что момент является отрицательным.

Введем следующее обозначение:

Тогда уравнение (108) преобразуется к виду

Решение (110) записывается в виде

Постоянные С и С 2 определяются из граничных условий задачи: у (0) = 0,у (1)= 0. Из первого условия вытекает, что С 2 = 0, а из второго получается, что или С = 0 [что нам неинтересно, так как в этом случаеy(z) = 0], или

Из последнего выражения следует, что kl = пп 9 где п - произвольное целое число. Учитывая (109), получаем:

Следовательно, чтобы центрально-сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению из множества F „. Наименьшее из этих значений называется критической силой и будет иметь место при п = 1:

а сила носит название первой критической эйлеровой силы.

При F - F Kp выражение прогибов можно записать в следующем виде:

Из (113) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов у (z) при различных п изображены на рис. 82.

Рис. 82.

Из (112) видно, что с точки зрения устойчивости критическая сила зависит от жесткости стержня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т. е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленные из различных материалов, но имеющие одинаковую изгибную жесткость, теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.

При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде

Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

где fj - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной / в рассматриваемых условиях закрепления.

Рис. 83.

Обратите внимание: потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу (114) входит минимальный осевой момент инерции сечения J x или J y .

На рис. 83 показаны различные способы закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента р.