Онлайнаар нэмэгдэж, буурах интервалууд. Функцийн судалгаа

Хэт их функцууд

Тодорхойлолт 2

$ X_0 $ цэгийг $ f (x) \\ le f (x_0) $ тэгш бус хэмжигдэхүүн байгаа бол $ f (x) $ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3

$ X_0 $ цэгийг $ f (x) $ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ ойролцоо тойрог байвал $ f (x) \\ ge f (x_0) $ тэгш бус байдлыг харуулсан $ f (x) $.

Функцийн экстремум гэсэн ойлголт нь функцийн эгзэгтэй цэг гэсэн ойлголттой нягт холбоотой байдаг. Бид түүний тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 4

$ x_0 $ -ийг $ f (x) $ функцийн эгзэгтэй цэг гэж нэрлэвэл:

1) $ x_0 $ нь тодорхойлолт домэйны дотоод цэг юм;

2) $ f "\\ зүүн (x_0 \\ баруун) \u003d 0 $ эсвэл байхгүй.

Экстремумын тухай ойлголтын хувьд түүний оршин тогтноход шаардлагатай, шаардлагатай нөхцлийн тухай теоремуудыг томъёолж болно.

Теорем 2

Экстремумын хангалттай нөхцөл

$ X_0 $ цэг нь $ y \u003d f (x) $ функцэд чухал бөгөөд $ (a, b) $ интервалд оршино. $ \\ Зүүн (a, x_0 \\ баруун) \\ ба \\ (x_0, b) $ хоорондох $ f "(x) $ хэмээх интервал бүрт тогтмол тэмдэг хадгална гэж бодъё.

1) Хэрэв $ (a, x_0) $ интервал дээр $ f "\\ зүүн (x \\ баруун)\u003e 0 $, $ (x_0, b) $ интервал дээр $ f" \\ зүүн (x \\ баруун) байна

2) Хэрэв $ (a, x_0) $ интервал дээр $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ байвал уг функцийн хамгийн бага цэг бол $ x_0 $ болно.

3) $ (a, x_0) $ интервал ба $ (x_0, b) $ хоорондох интервал $ f "\\ зүүн (x \\ баруун)\u003e 0 $ эсвэл" $ f "\\ зүүн (x \\ баруун) дериватив байвал

Энэ теоремыг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1. Экстрема үүсэх хангалттай нөхцөл

Хэт их жишээ (Зураг 2).

Зураг 2. Хэт их цэгүүдийн жишээ

  Экстремумын талаархи функциональ судалгааны дүрэм

2) $ f "(x) $ деривативийг олоорой;

7) Теорем 2 ашиглан интервал бүрт максима ба минима байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргана.

  Функцийн өсөлт ба бууралт

Эхлэх хүмүүсийн хувьд нэмэгдэж, буурах функцийн тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 5

$ X $ интервал дээр тодорхойлсон $ y \u003d f (x) $ функц нь $ x_1-д $ X_1, x_2 \\ $ X_1-т $

Тодорхойлолт 6

$ X $ интервал дээр тодорхойлогдсон $ y \u003d f (x) $ функцийг $ x_1f (x_2) $ -аар $ X_1, x_2 \\ $ -ийн цэгүүдэд $ буурсан гэж нэрлэдэг.

  Өсөн нэмэгдэж, буурах функцийг судлах

Та дериватив ашиглан өсөлт, буурах функцийг судалж болно.

Өсөлт ба бууралтын интервалуудын функцийг судлахын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байна.

1) $ f (x) $ функцийн домэйныг олох;

2) $ f "(x) $ деривативийг олоорой;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ тэнцүү байх цэгүүдийг олоорой;

4) $ f "(x) $ байхгүй цэгүүдийг олох;

5) Координатын шугам дээр олдсон бүх цэгүүд ба энэ функцийн домэйныг тэмдэглэ;

6) үүссэн интервал тус бүр дээр $ f "(x) $" үүсмэл тэмдгийг тодорхойлно;

7) Дүгнэх: $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ функц нэмэгдэж байгаа интервалд.

  Өсөн нэмэгдэх, буурах, хэт туйлшрах функцийг судлах даалгавруудын жишээ

Жишээ 1

Өсөх, буурах, хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд байгаа эсэхийг судлах: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Эхний 6 оноо ижил байгаа учраас тэднээс эхэлье.

1) Хамрах хүрээ - бүх бодит тоо;

2) $ f "\\ зүүн (х \\ баруун) \u003d 6х ^ 2-30х + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ нь тодорхойлох домэйны бүх цэг дээр байдаг;

5) Координатын шугам:

3-р зураг

6) Интервал тус бүрт $ f "(x) $" үүсмэл тэмдгийг тодорхойлно уу.

  \\ \\ хэрэв ямар нэг хоёр цэг байвал х  ба x ", ба ≤ x тэгш бус байдал е(х) ≤ е (x "), мөн эрс нэмэгдэх - хэрэв тэгш бус байдал байвал е (х) е(x ") Функц буурах, хатуу буурах нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, функц үед = х 2 (инжир. , a) сегмент дээр эрс нэмэгддэг ба

(инжир. , b) энэ сегмент дээр эрс буурч байна. Өсөн нэмэгдэж буй функцуудаар тэмдэглэгдсэн байна е (х), буурч байна е (х) ↓. Функцийг ялгахын тулд е (х) сегмент дээр нэмэгдэж байсан [ гэхдээ, б], энэ нь түүний үүсмэл байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм е"(х) сөрөг биш байсан [ гэхдээ, б].

Сегмент дээрх функцийн өсөлт, бууралттай зэрэгцэн тухайн цэг дэх функцийн өсөлт, бууралтыг тооцно. Чиг үүрэг үед = е (х) цэг дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг х  0 бол цэгийг агуулсан ийм интервал (α, β) байвал х  0 ямар ч цэг дээр х  аас (α, β) х\u003e х  0, тэгш бус байдал е (х 0) ≤ е (х), мөн ямар ч цэг дээр ашиглах боломжтой х  аас (α, β) x 0, тэгш бус байдал е (х) ≤ е (х  0). Үүний нэгэн адил, цэг дээрх функцийг эрс нэмэгдүүлдэг х  0. Хэрэв е"(х 0) >   0, дараа нь функц е(х) цэг дээр эрс нэмэгддэг х  0. Хэрэв е (х) интервалын цэг бүрт нэмэгддэг ( а, б), дараа нь энэ интервалд нэмэгдэх болно.

  S. B. Stechkin.

ЗХУ-ын агуу нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдийн "Функцыг нэмэгдүүлэх, багасгах" гэж юу болохыг үзнэ үү:

Математик анализын тухай ойлголтууд. F (x) функцийг ӨӨРИЙН ХҮЧНИЙ ХҮЧНИЙ ХУВИЙН сегмент дээр нэмэгдэж буй янз бүрийн насны хүн амын тооны харьцаа гэж нэрлэдэг. Төрөлт, нас баралтын түвшин, хүмүүсийн дундаж наслалтаас хамаарна ... Том нэвтэрхий толь бичиг

Математик анализын тухай ойлголтууд. F (x) функцийг хэрвээ x1 ба x2 цэгүүдийн хувьд a≤x1 ... байвал сегмент дээр өсгөх гэж нэрлэдэг. Нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн тухай ойлголтууд. шинжилгээ хийх. F (x) функц гэж нэрлэдэг x1 ба x2 цэгүүдийн хослолын хувьд [a, b] сегмент дээр нэмэгдэх ба<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Байгалийн түүх. Нэвтэрхий толь бичиг

Функцийн дериватив ба дифференциалуудыг судалж, функцийг судлахад ашигладаг математикийн салбар. Дизайн D. ба. бие даасан математикийн хичээлийг I. Ньютон, Г.Лейбниц нарын нэрээр (17-р сарын 2-ны хагас ... ЗХУ-ын агуу нэвтэрхий толь бичиг

Дериватив ба дифференциал гэсэн ойлголтуудыг судалж, функцийг судлахдаа ашиглах аргууд болох математикийн хэсэг. D.-ийн хөгжил ба. интеграл тооцоог боловсруулахтай нягт холбоотой. Салшгүй бөгөөд тэдгээрийн агуулга. Тэд хамтдаа үндсийг бүрдүүлдэг ... ... Математикийн нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, функцийг үзнэ үү. "Дэлгэц" гэсэн хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг үзнэ үү ... Wikipedia

Аристотель ба перипатетик  - Аристотелийн асуулт Аристотель Аристотелийн амьдрал 384/383 онд төрсөн. МЭӨ э. Македониятай хиллэдэг Стагира хотод. Түүний аав Никтомус Македони улсын хаан Филиппийн аав Аминтосын үйлчлэлд эмч байжээ. Гэр бүлийнхэнтэйгээ хамт залуу Аристотель ... ... Барууны философи нь гарал үүслээс өнөөг хүртэл

  - (QCD), квантын дүр төрхөөр бүтээгдсэн кварк ба глюоны хүчтэй үйлдлийн квант талбайн онол. электродинамик (QED) хэмжигдэхүүнийг "өнгөт" хэмжигдэхүүн. QED-ээс ялгаатай нь QCD дахь ферми нь нэмэлт тэжээлтэй байдаг. эрх чөлөөний квант. дугаар, ... ... Физик нэвтэрхий толь

I зүрх Зүрх (лат. Кор, грек. Cardia) нь шахуургын үүрэг гүйцэтгэж цусны эргэлтийн тогтолцоонд цусны хөдөлгөөнийг хийдэг хөндий фибро-булчингийн эрхтэн юм. Анатоми Зүрх нь перикардийн доторхи дунд медиастинум (Mediastinum) дотор байдаг ... ... Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг

Ургамлын амьдрал нь бусад амьд организмын нэгэн адил харилцан уялдаатай процессын цогц юм; тэдгээрийн хамгийн чухал нь хүрээлэн буй орчинтой бодисын солилцоо гэдэг нь мэдэгдэж байна. Байгаль орчин бол хаанаас ... Биологийн нэвтэрхий толь бичиг

Хэт их функцууд

Тодорхойлолт 2

$ X_0 $ цэгийг $ f (x) \\ le f (x_0) $ тэгш бус хэмжигдэхүүн байгаа бол $ f (x) $ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3

$ X_0 $ цэгийг $ f (x) $ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ ойролцоо тойрог байвал $ f (x) \\ ge f (x_0) $ тэгш бус байдлыг харуулсан $ f (x) $.

Функцийн экстремум гэсэн ойлголт нь функцийн эгзэгтэй цэг гэсэн ойлголттой нягт холбоотой байдаг. Бид түүний тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 4

$ x_0 $ -ийг $ f (x) $ функцийн эгзэгтэй цэг гэж нэрлэвэл:

1) $ x_0 $ нь тодорхойлолт домэйны дотоод цэг юм;

2) $ f "\\ зүүн (x_0 \\ баруун) \u003d 0 $ эсвэл байхгүй.

Экстремумын тухай ойлголтын хувьд түүний оршин тогтноход шаардлагатай, шаардлагатай нөхцлийн тухай теоремуудыг томъёолж болно.

Теорем 2

Экстремумын хангалттай нөхцөл

$ X_0 $ цэг нь $ y \u003d f (x) $ функцэд чухал бөгөөд $ (a, b) $ интервалд оршино. $ \\ Зүүн (a, x_0 \\ баруун) \\ ба \\ (x_0, b) $ хоорондох $ f "(x) $ хэмээх интервал бүрт тогтмол тэмдэг хадгална гэж бодъё.

1) Хэрэв $ (a, x_0) $ интервал дээр $ f "\\ зүүн (x \\ баруун)\u003e 0 $, $ (x_0, b) $ интервал дээр $ f" \\ зүүн (x \\ баруун) байна

2) Хэрэв $ (a, x_0) $ интервал дээр $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ байвал уг функцийн хамгийн бага цэг бол $ x_0 $ болно.

3) $ (a, x_0) $ интервал ба $ (x_0, b) $ хоорондох интервал $ f "\\ зүүн (x \\ баруун)\u003e 0 $ эсвэл" $ f "\\ зүүн (x \\ баруун) дериватив байвал

Энэ теоремыг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1. Экстрема үүсэх хангалттай нөхцөл

Хэт их жишээ (Зураг 2).

Зураг 2. Хэт их цэгүүдийн жишээ

  Экстремумын талаархи функциональ судалгааны дүрэм

2) $ f "(x) $ деривативийг олоорой;

7) Теорем 2 ашиглан интервал бүрт максима ба минима байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргана.

  Функцийн өсөлт ба бууралт

Эхлэх хүмүүсийн хувьд нэмэгдэж, буурах функцийн тодорхойлолтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 5

$ X $ интервал дээр тодорхойлсон $ y \u003d f (x) $ функц нь $ x_1-д $ X_1, x_2 \\ $ X_1-т $

Тодорхойлолт 6

$ X $ интервал дээр тодорхойлогдсон $ y \u003d f (x) $ функцийг $ x_1f (x_2) $ -аар $ X_1, x_2 \\ $ -ийн цэгүүдэд $ буурсан гэж нэрлэдэг.

  Өсөн нэмэгдэж, буурах функцийг судлах

Та дериватив ашиглан өсөлт, буурах функцийг судалж болно.

Өсөлт ба бууралтын интервалуудын функцийг судлахын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байна.

1) $ f (x) $ функцийн домэйныг олох;

2) $ f "(x) $ деривативийг олоорой;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ тэнцүү байх цэгүүдийг олоорой;

4) $ f "(x) $ байхгүй цэгүүдийг олох;

5) Координатын шугам дээр олдсон бүх цэгүүд ба энэ функцийн домэйныг тэмдэглэ;

6) үүссэн интервал тус бүр дээр $ f "(x) $" үүсмэл тэмдгийг тодорхойлно;

7) Дүгнэх: $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ функц нэмэгдэж байгаа интервалд.

  Өсөн нэмэгдэх, буурах, хэт туйлшрах функцийг судлах даалгавруудын жишээ

Жишээ 1

Өсөх, буурах, хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд байгаа эсэхийг судлах: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Эхний 6 оноо ижил байгаа учраас тэднээс эхэлье.

1) Хамрах хүрээ - бүх бодит тоо;

2) $ f "\\ зүүн (х \\ баруун) \u003d 6х ^ 2-30х + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ нь тодорхойлох домэйны бүх цэг дээр байдаг;

5) Координатын шугам:

3-р зураг

6) Интервал тус бүрт $ f "(x) $" үүсмэл тэмдгийг тодорхойлно уу.

\ \.

Функцийн утгын хүрээ нь интервал [1; 3].

1. x \u003d -3, x \u003d - 1, x \u003d 1.5, x \u003d 4.5 хувьд функцийн утга тэг байна.

Функцийн утга тэг байх аргументын утгыг функцийн тэг гэж нэрлэдэг.

// э. энэ функцийн хувьд -3; -1; 1.5; 4,5 нь тэг байна.

2. Интервалаар [4,5; 3) ба (1; 1,5) ба (4,5; 5,5] f функцийн график нь абсцисса тэнхлэгийн дээгүүр, тэнхлэгийн доор (-3; -1) ба (1,5; 4,5) зайтай байна. абсисса, үүнийг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: [4,5; 3) ба (1; 1,5) ба (4,5; 5,5] интервалууд дээр функц эерэг утгыг авч, интервал (-3; -1) ба ( 1,5; 4,5) сөрөг.

Заасан интервал бүрийг (функц нь ижил тэмдгийн утгыг авдаг) f функцийг тогтмол тэмдэгийн интервал гэж нэрлэдэг. жишээлбэл, хэрэв бид (0; 3) интервал авч байвал энэ функцын тогтмол тэмдгийн интервал биш юм.

Математикийн хувьд функцын тогтмол тэмдгийн интервалыг хайж байхдаа хамгийн их урттай интервалуудыг зааж өгөх нь заншилтай байдаг. // э. ялгаа (2; 3) байна байнгын тэмдэг  функц f, гэхдээ хариулт нь интервалтай байх ёстой [4,5; 3) цоорхойг агуулсан (2; 3).

3. Хэрэв та 4.5-аас 2-ын хооронд абсциссын дагуу хөдөлвөл функцийн график буурч байгааг, өөрөөр хэлбэл функцийн утга буурч байгааг анзаарах болно. // Математикийн хувьд интервалд гэж хэлэх нь заншилтай байдаг [4,5; 2] функц буурдаг.

X 2-оос 0 хүртэл өсөхөд функцийн график өсөх болно, ж.нь. функцийн утга нэмэгдэнэ. // Математикийн хувьд интервалд гэж хэлэх нь заншилтай байдаг [2; 0] функц нэмэгддэг.

F (x2)\u003e f (x1) тэгш бус байдал хадгалагдаж байгаа x2\u003e x1 гэсэн интервалаас x1 ба x2 аргументын хоёр утгын хувьд f функцийг нэрлэнэ. // эсвэл Функц гэж нэрлэдэг зарим нэг интервалдхэрэв энэ интервал дахь аргументын утгуудын хувьд функцийн илүү том утга нь аргументын илүү том утгатай тохирч байвал. их байх тусмаа у.

F функц гэж нэрлэдэг зарим нэг интервалд багасчхэрэв x2\u003e x1 гэсэн интервалаас x1 ба x2 аргументын хоёр утгын хувьд тэгш бус байдал f (x2) нь зарим интервал дээр буурна, хэрвээ энэ интервалаас аргументийн аливаа утгын хувьд аргументын илүү том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал. // э. х байх тусам y бага байх болно.

Хэрэв функц нь бүхэл бүтэн домайн дээр нэмэгдвэл түүнийг нэрлэнэ нэмэгдэж байгаа.

Хэрэв функц нь бүх домэйны хувьд буурч байвал түүнийг нэрлэнэ буурах.

Жишээ 1  нэмэгдэж, буурах функцуудыг тус тусад нь график.

Жишээ 2

Тодорхойлох F (x) \u003d 3x + 5 шугаман функц нэмэгдэж эсвэл буурч байна уу?

Нотлох баримт. Бид тодорхойлолтыг ашигладаг. X1 ба x2-г аргументын дурын утгыг, x1-тэй байцгаая< x2., например х1=1, х2=7

Хангалттай шинж тэмдгүүдэд үндэслэн нэмэгдэж, буурах функцүүд байдаг.

Шинж тэмдгүүдийн үгсийг энд оруулав.

• функцийн үүсмэл байвал у \u003d f (х)  эерэг байвал х  интервалаас Х., дараа нь функц нь нэмэгддэг Х.;
• функцийн үүсмэл байвал у \u003d f (х)  сөрөг үед сөрөг биш х  интервалаас Х., дараа нь функц буурна Х..

Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай болно.

• функцийн цар хүрээг олох;

• функцийн үүслийг олох;

• олж авсан интервалуудад функцийг тодорхойлдог тасралтгүй хил хязгаарыг нэмнэ.

Алгоритмыг тайлбарлах жишээг авч үзье.

Нэг жишээ.

Өсөн нэмэгдэж буй болон буурах функцүүдийн интервалыг ол.

Шийдэл.

Эхний алхам бол функцийн өсөлтийн тодорхойлолтыг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр, хуваарилалт дээрх илэрхийлэл арилах ёсгүй, .

Бид үүсмэл функц рүү шилждэг.

Өсөн нэмэгдэж буй болон буурах функцүүдийн интервалыг хангалттай шалгуураар тодорхойлохын тулд бид тэгш бус байдлыг шийддэг   ба   тодорхойлох чиглэлээр. Бид интервалын аргыг ерөнхий байдлаар ашигладаг. Зөвхөн хүчинтэй тооны тоон үндэс байна х \u003d 2 байна, тэмдэг нь арилдаг х \u003d 0Байна. Эдгээр цэгүүд нь домэйныг интервал болгон задалж, функцийн үүсмэл нь тэмдгээ хадгалдаг. Бид эдгээр цэгүүдийг тоон мөрөнд тэмдэглэв. Илүүдэл ба хасах нь үүсмэл эерэг эсвэл сөрөг утгатай интервалыг дур зоргоороо илэрхийлнэ. Доорх сум нь функцийн харгалзах интервал дахь өсөлт эсвэл бууралтыг схемийн дагуу харуулна.

Ийм байдлаар   ба .

Цэгтээ х \u003d 2 байна  функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй үргэлжлэх тул өсөлт, бууралтыг хоёуланд нь нэмэх хэрэгтэй. Цэгтээ х \u003d 0  функц тодорхойлогдоогүй тул энэ цэгийг шаардлагатай интервалд оруулаагүй болно.

Бид олж авсан үр дүнг харьцуулах функцын графикийг өгдөг.

Хариулт нь:  функц нэмэгдэж   интервал дээр буурдаг (0; 2] .

- Нэг хувьсагчийн функцийн экстремум цэгүүд. Экстремум хангалттай нөхцөлтэй

F (x) функц нь тодорхой бөгөөд интервалд тасралтгүй байх бөгөөд энэ нь нэг утгатай биш байна гэж үзье. Дотоод цэг дээрх функцээр хамгийн том, хамгийн бага утгыг хүртдэг интервалын хэсгүүд [,] байх болно, өөрөөр хэлбэл хооронд болон.

Хэрэв f (x) функц нь тухайн цэг нь тэгш бус байдал нь түүний бүх цэгүүдэд хадгалагдаж буй интервал дотор байрлах (x 0 -, x 0 +) хөрш зэргэлдээ орших боломжтой бол тухайн цэг дээр хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) байх болно.

f (x)< f(x 0)(или f(x)>f (x 0))

Өөрөөр хэлбэл, x 0 цэг нь f (x 0) утга нь тухайн цэгийн зарим (наад зах нь жижиг) хөршид хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудын хамгийн том (хамгийн бага) болж хувирвал f (x) функцэд хамгийн их (хамгийн бага) хэмжээг өгнө. Хамгийн их (хамгийн бага) гэсэн маш тодорхойлолтыг функцийг 0 х цэгийн хоёр талд өгсөн гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв (x \u003d x 0) хатуу тэгш тэгш бус тойрог байгаа бол

f (x) f (x 0)

тэд x 0 цэг дээрх функц нь өөрийн хамгийн их (хамгийн бага) хэмжээтэй байдаг, тэгэхгүй бол зохисгүй гэж хэлсэн.

Хэрэв функц нь x 0 ба x 1 цэгүүд дээр максимумтай байвал интервал дахь Weierstrass теоремыг интервалд хэрэглэвэл функц нь энэ интервал дахь хамгийн бага утгыг x 2 ба x 1 хоорондох x 2 цэг дээр байх ба тэнд хамгийн бага байх болно. Үүнтэй адил хоёр минимагийн хооронд хамгийн их байх болно. Хамгийн энгийн (мөн практик дээр хамгийн чухал) тохиолдолд, функц нь ерөнхийдөө зөвхөн хязгаарлагдмал тооны максима ба миниматай байвал зүгээр л ээлжлэн солигддог.

Хамгийн дээд ба хамгийн бага утгыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийг нэгтгэдэг нэр томъёо байдаг гэдгийг анхаарна уу - экстремум.

Хамгийн их (max f (x)) ба хамгийн бага (min f (x)) гэсэн ойлголтууд нь функцын орон нутгийн шинж чанар бөгөөд тодорхой x 0 цэг дээр явагдана. Хамгийн том (sup f (x)) ба хамгийн бага (inf f (x)) утгуудын тухай ойлголт нь төгсгөлийн интервалд хамаарах ба интервал дээрх функцийн дэлхийн шинж чанар юм.

Зураг 1-ээс харахад x 1 ба x 3 цэгүүдэд орон нутгийн maxima, x 2 ба x 4 цэгүүдэд орон нутгийн минима байдаг. Гэсэн хэдий ч функц нь хамгийн бага утгыг x \u003d a, хамгийн том нь x \u003d b байна.

Бид хэт их функцийг өгдөг аргументын бүх утгыг олоход бэрхшээлтэй тулгардаг. Үүнийг шийдэхэд дериватив нь түүний гол үүргийг гүйцэтгэнэ.

Эхлээд f (x) функцийн хувьд (a, b) интервал дахь төгсгөлтэй дериватив байна гэж үзье. Хэрэв x 0 цэг дээр функц нь экстремумтай байвал дээр дурдсан интервалд (x 0 -, x 0 +) хамаарна, Ферматын теорем, бид f (x) \u003d 0 бол энэ нь экстремумын зайлшгүй нөхцөл болно гэж дүгнэсэн. Хэт их зүйлийг зөвхөн үүсмэл нь тэгтэй тэнцэх цэгүүдэд хайх хэрэгтэй.

Гэсэн хэдий ч үүсмэл нь тэгтэй тэнцэх цэг бүр нь экстремум функцийг өгдөг гэж бодох ёсгүй: зөвхөн заасан нөхцөл хангалттай биш байна