Метод конечных объемов на нерегулярной сетке. Метод конечных объемов

Численное решение задач математической физики является одним из основных методов исследования реальных явлений. Совместное использование вычислительного и физического экспериментов при анализе какого-либо явления позволяет, с одной стороны, уменьшить количество дорогостоящих экспериментальных измерений, а с другой стороны - провести верификацию и усовершенствование математических моделей.

С увеличением быстродействия вычислительных систем все новые требования предъявляются к численным методам решения задач математической физики. Разработка и усовершенствование современных методов дискретизации законов сохранения, предоставляющих возможность моделирования все новых классов задач и получение существенно лучших результатов при решении известных, является важным направлением исследований.

Современные вычислительные алгоритмы должны предоставлять возможность наиболее точного описания областей со сложной геометрией. Это возможно с использованием неортогональных и неструктурированных сеток. По сравнению с произвольными неортогональными сетками для неструктурированных симплициальных сеток (триангуляция в двумерном случае и разбиение на тетраэдры в трехмерном) легче реализуются локальные сгущения (например, за обратным уступом, в зоне внезапного сужения, в окрестности точки присоединения), а также, если это необходимо, адаптация расчетной сетки в зависимости от поведения решения. Таким образом, даже при дискретизации законов сохранения в геометрически простых областях, которые могут быть точно представлены совокупностью прямоугольных элементов, неструктурированные симплициальные сетки имеют ряд преимуществ. Несмотря на очевидные достоинства неструктурированных сеток при аппроксимации произвольных областей и возможности автоматического построения симплициальных разбиений, они практически не использовались в вычислительной гидродинамике, и лишь в последние 15 лет приобретают все большую популярность. Согласно свидетельству Б. Стоуффлетга и др. , причиной тому является резко возрастающее при переходе к неструктурированным подходам время расчетов. Дело в том, что положение ненулевых элементов в матрицах дискретных аналогов зависит от смежности узлов сетки и произвольно, матрицы хранятся с использованием универсальных форматов и структур данных. Гораздо более «дорогостоящими» становятся операции умножения разреженной матрицы на вектор и неполной факторизации. В то же самое время системы уравнений вычислительной гидродинамики - взаимосвязанные нелинейные системы уравнений, неявные схемы решения которых имеют многоуровневый итерационный характер, так что на каждой из «глобальных» итераций необходимо решить несколько систем линейных алгебраических уравнений. Именно с появлением мощных вычислительных систем, а также благодаря развитию адаптивных и многосеточных методов стало возможно использование неструктурированных сеток и соответствующих схем пространственной дискретизации для моделирования гидрогазодинамических процессов.

Наиболее распространенным методом дискретизации в неструктурированном случае является метод конечных элементов (МКЭ) . Отметим такие достоинства метода, как сохранение симметричной природы самосопряженной части дифференциальных операторов в их дискретных аналогах (это достигается специальным выбором пространства тестовых функций совпадающим с пространством пробных функций), возможность повышения точности аппроксимации за счет повышения степени интерполяционных полиномов локального представления решения (т. н.р и h-p версии МКЭ, ), естественный учет граничных условий второго и третьего рода. Метод конечных элементов имеет установившуюся технологическую основу, в частности

Способы аппроксимации внутренних произведений в предположении о кусочно-полиномиальном представлении решения и параметров краевой задачи, а именно: использование разложения по базису соответствующего конечноэлементного пространства, классы интегральных формул, позволяющие точно интегрировать произвольные произведения базисных функций по элементам разбиения и ребрам (граням) элементов,

Стандартный аппарат интерполяции.

Технологии метода позволяют просто и единообразно строить дискретные аналоги начально-краевых задач, с различными типами граничных условий в предположении об определенной степени гладкости решения и кусочно-полиномиальном поведении коэффициентов уравнений и краевых условий , .

В ряде приложений, таких, как моделирование сверхзвуковых и трансзвуковых течений газов, расчеты с использованием моделей мелкой воды, очень важна локальная консервативность схем, используемых для дискретизации законов сохранения. Метод конечных элементов не позволяет с удовлетворительной точностью отследить особенности возникающих разрывных решений , и традиционным подходом к решению таких задач является метод конечных объемов. При дискретизации системы законов сохранения методом конечных объемов расчетная область аппроксимируется множеством открытых конечных объемов, затем исследователь делает «шаг назад», переходя к интегральной форме исходной системы уравнений; с использованием формулы Остроградского-Гаусса от интегрирования по объему переходят к интегралу по границе, так что способ аппроксимации потоков через грани конечных объемов полностью определяет вычислительную схему. Согласно монографии С. Патанкара , "для большинства исследователей, работающих в области гидродинамики и теплообмена, конечно-элементный метод все еще кажется окутанным покровом таинственности. Вариационная формулировка и даже метод Галеркина не поддаются простой физической интерпретации". В то же самое время конечнообъемные схемы имеют определенный физический смысл баланса потоков и источниковых членов в каждом из конечных объемов, аппроксимирующих расчетную область, что делает метод конечных объемов более привлекательным. «Простота» МКО является одной из причин отсутствия общей технологической основы метода.

Итак, к преимуществам классического варианта МКО (метода конечных объемов/конечных разностей, FVDM) относят локальную консервативность дискретных схем, большую простоту и наглядность, возможность естественного учета граничных условий второго рода . Кроме того, в случае решения задач с преобладанием конвекции, упрощается реализация противопотоковых схем, поскольку потоки через грани конечных объемов являются одновременно и анализируемыми, и аппроксимируемыми величинами.

Попытки систематизации конечнообъемных аппроксимаций привели к частичному соединению технологий МКЭ и принципа интегрирования по конечным объемам; самые ранние из них восходят к работам Б. Р. Балиги, К. Пракаша и С. Патанкара и известны как методы CVFEM (control-volume-based finite element methods), далее - методы конечных объемов/конечных элементов (МКО/КЭ) . Авторы метода преследовали цель построения консервативных схем метода конечных объемов, использующих одно из основных преимуществ МКЭ - возможность аппроксимации сложных геометрий с использованием неструктурированных сеток. Функции профиля в данном классе методов "носят вспомогательный характер" , принадлежность решения конечноэлементным пространствам не подчеркивается. В качестве двойственного разбиения используются барицентрические множества.

Впервые проблема отсутствия универсальных технологических принципов метода конечных объемов/конечных разностей (МКО/КР, FVDM), обсуждается в работе 3. Кая "О методе конечных объемов/элементов" . Автор обращает внимание читателя на "бессистемность метода конечных объемов/конечных разностей"; при аппроксимации систем законов сохранения методом конечных объемов/конечных разностей в рамках одной работы могут использоваться апроксимации различных классов, что существенно усложняет анализ сходимости подобных схем. Предлагается решение данной проблемы -совместное использование идей метода конечных элементов (поиск решения в некотором конечноэлементном пространстве и использование кусочно-полиномиального поведения решения для вычисления потоков) и интегральной формы законов сохранения . Таким образом, методы конечных объемов/элементов (МКО/Э, "бокс-методы", FVE) возникли при попытке создания "более систематизированных конечнообъемных технологий". Отсутствие общих технологических принципов методов конечных объемов/конечных разностей отмечается также в работах Я. JI. Гурьевой и В. П. Ильина .

Методы конечных объемов/элементов (FVE) и методы конечных объемов/конечных элементов (CVFEM) используют согласованные конечноэлементные пространства линейных на симплексах функций и принадлежат классу методов конечных объемов с расчетом переменных в узлах (cell-vertex finite volume schemes), рис. 1, a.

Ряд схем вычислительной гидродинамики (моделирование вязких несжимаемых течений) использует несогласованные конеч ноэлементные пространства, в частности, пространство Крузея-Равьяра линейных на элементах, непрерывных в центрах ребер пробных функций . Методы конечных объемов, использующие несогласованные конечноэлементные пространства, были предложены С. Чоем и Д. Кваком , исследованы в ряде работ других авторов (т. н. методы подобъемов, covolume method) и являются схемами с расчетом неизвестных в центрах ребер (

Наиболее распространенными при решении задач газовой динамики и моделировании антропогенных катастроф с использованием уравнений мелкой воды являются схемы с расчетом неизвестных в центрах ячеек (cell-centered finite volume schemes) , рис. 1, е. Их популярность обусловлена тем, что в случае расчета неизвестных в центроидах большинство схем газовой динамики (схемы С. К. Годунова, TVD-схемы) могут быть перенесены на неструктурированные сетки без принципиальных технологических изменений. о а в

Рис.1. Расположение расчетных точек по отношению к узлам сетки КЭ.

В данной работе преимущественно рассматриваются классы методов конечных объемов с расчетом неизвестных в узлах триангуляции (МКО/Э, МКО/КЭ) и центрах ребер (методы подобъемов), в дальнейшем будем также говорить "методы конечных объемов, использующие конечноэлементные пространства". Данные классы методов, согласно ряду исследований (, ), для задач конвекции-диффузии дают лучшие приближения к решению, чем методы с расчетом неизвестных в центрах ячеек. Одна из основных причин состоит в том, что для перечисленных выше методов сохраняется непрерывность первых производных пробных функций на элементах двойственной сетки .

Эффективным подходом к решению задач с преобладанием конвекции является использование метода Галеркина с симметричными тестовыми функциями для самосопряженной части дифференциальных операторов и проти-вопотоковых схем МКО - для несимметричной их части, т. н. смешанных методов конечных элементов/объемов (МКЭ/О, MEV, mixed element/volume method) .

Диссертационная работа посвящена, в частности, усовершенствованию технологий метода конечных объемов для указанных классов методов (МКО/Э, МКО/КЭ, МКЭ/О, методы подобъемов). В настоящий момент данные методы не обладают устоявшимися технологиями учета кусочно-полиномиального полиномиального поведения решения, источниковых членов и коэффициентов переноса. Можно перечислить следующие причины несовершенства аппарата точного интегрирования полиномов в методах конечных объемов, использующих конечноэлементные пространства:

1. В отличие от метода конечных элементов, метод конечных объемов не имеет р-версии, поскольку с введением дополнительных узлов и нескольких типов двойственных сеток нарушается локальная консервативность ряда переменных системы законов сохранения по отношению к "чужим" конечным объемам. Таким образом, аппроксимации ограничены конечно-элементными пространствами младших порядков.

2. По сравнению с методом конечных элементов, для методов конечных объемов характерна большая свобода в выборе пространств тестовых функций, которые в этом случае оказываются связанными с расположением точек расчета неизвестных по отношению к узлам дискретизации (схемы с расположением неизвестных в узлах, серединах ребер, центроидах симплексов) и способом построения двойственной сетки (использование барицентрических, ортоцентрических, циркумцентрических множеств). В сочетании с возможностью использования совмещённых (collocated) или разнесённых (staggered) сеток это дает все многообразие существующих схем МКО в каждом из приложений.

Для МКО-методов дискретизации законов сохранения, использующих конеч-ноэлементные пространства, тщательный выбор этих пространств для решения, коэффициентов уравнений и источниковых членов отчасти теряет смысл, если метод не обладает развитыми средствами учета кусочно-полиномиальных представлений, в частности, аппаратом точного интегрирования полиномов по элементам двойственной сетки, подобластям элементов и отрезкам приграничных ребер. Как следствие, результаты расчетов по построенным схемам должны рассматриваться с точки зрения эффектов численного интегрирования, с учетом различных способов их реализации; существенно усложняется сравнение результатов исследований с работами других авторов и т.д.

Итак, настоящая работа посвящена пересмотру существующих МКО/МКЭ-технологий построения дискретных аналогов задач конвективно-диффузионного типа.

Технология учета кусочно-полиномиального представления решения, коэффициентов уравнения и входящих в граничные условия, а также источниковых членов в методах конечных объемов, использующих конечноэлементные пространства, должна удовлетворять следующим требованиям:

1) допускать произвольные сочетания полиномиальных представлений коэффициентов и решения на элементах разбиения, а также повышение степени интерполяционных полиномов локального представления решения;

2) использовать единые принципы аппроксимации при расчете вкладов элементов, соответствующих различным членам уравнения (диффузионных, конвективных, реакционных слагаемых, источниковых членов), а также вкладов от ребер, аппроксимирующих части границ с заданными на них различного типа граничными условиями;

3) допускать однородное обобщение на трехмерный случай;

4) учитывать опыт хорошо разработанных конечноэлементных технологий, в частности, использование разложения по базису конечноэлементных пространств и преимущества точного интегрирования кусочно-полиномиальных представлений решения и коэффициентов переноса;

5) доставлять единую технологическую основу смешанным аппроксимациям МКЭ/О, использующим два множества тестовых функций - конечнообъ-емных и конечноэлементных - для аппроксимации одного уравнения;

6) принципы технологии должны оставаться неизменными при переходе от использования согласованных конечноэлементных пространств (методы конечных объемов/конечных элементов с расчетом неизвестных в узлах) к использованию несогласованных конечных элементов (методы с расчетом неизвестных в центрах ребер триангуляции);

7) технология может быть использована при аппроксимации различных классов физических задач.

Из существующих технологий методов конечных объемов, использующих ко-нечноэлементные пространства (методы конечных объемов/элементов (FVE), методы конечных объемов/конечных элементов (CVFEM), методы подобъемов (covolume methods), смешанные методы объемов/элементов (MEV)), ни одна не удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Таким образом, создание новых технологий для данных классов методов, использующих симплициаль-ные разбиения и барицентрические множества в качестве двойственных, представляется актуальной темой исследования.

В случае существенного преобладания конвекции, сравнение различных схем МКО-дискретизации, а также сравнение расчетов по методу конечных элементов и методу конечных объемов фактически сводится к сравнению соответствующих противопотоковых схем.

Наиболее исследованными и часто применяемыми в неструктурированном случае являются противопотоковые схемы класса методов конечных объемов с расчетом переменных в центрах ячеек . Несмотря на то, что грани элементов разбиения не параллельны более координатным осям, данные схемы в большинстве случаев имеют одномерную природу, поскольку сводятся к решению задачи о распаде разрыва на линиях, соединяющих центроиды симплексов . Расчеты по подобным схемам не воспроизводят многомерную структуру потока и обладают чрезмерной численной диффузией . Для построения противопотоковых схем второго порядка аппроксимации необходимо существенное расширение шаблона, что в неструктурированном случае приводит к значительному усложнению соответствующих структур данных .

Противопотоковые схемы для схем с расчетом неизвестных в узлах триангуляции и серединах ее ребер в настоящий момент немногочисленны (см. ). В ряде случаев противопотоковый принцип аппроксимации сводится к использованию одного значения скалярной субстанции - в узле симплекса, лежащем против потока , либо двух взвешенных значений - на концах ребра симплекса, лежащем против потока . Лишь одна из известных схем - схема, учитывающая направление потока (FLO, Flow Oriented Upwind Scheme), разработанная К. Пракашем и С. Патанкаром, - использует преимущество расчета неизвестных в узлах - возможность построения асимметричных функций профиля. Но расчеты по данной схеме признаны неудовлетворительными, поскольку схема не обладает свойством положительности, и итерационные процессы часто расходятся .

Оценивание численной диффузии, привносимой использованием противопотоковых схем на симплициальных сетках, представляет собой самостоятельную проблему. Существующие работы в данном направлении, предоставляющие теоретические оценки характеристик сходимости, ограничены множеством схем расчетом переменных в центрах ячеек . Поэтому оценивание скорости сходимости противопотоковых схем МКО/КЭ с использованием серий численных экспериментов приобретает особое значение.

Итак, построение и сравнительный анализ противопотоковых схем МКО/КЭ на неструктурированных сетках представляют собой актуальную тему исследований.

Целью работы является разработка вычислительных технологий методов конечных объемов, использующих конечноэлементные пространства, для аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1) усовершенствование технологий дискретизации систем законов сохранения методом конечных объемов/конечных элементов на симплициальных сетках, использующим барицентрические разбиения в качестве двойственных;

2) разработка технологий аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа с существенными первыми производными; построение, реализация и сравнительный анализ противопотоковых схем на неструктурированных сетках, в частности, проведение вычислительных экспериментов для оценки порядка аппроксимации предлагаемых и наиболее точных известных схем, а также сравнение характеристик противопотоковых схем на базе МКО/КЭ и МКЭ;

3) создание на основе разработанных технологий комплексов программ, позволяющих адекватно моделировать вязкие несжимаемые течения жидкостей и газов в геометрически сложных областях, в стационарном и нестационарном случаях.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ технологий точного интегрирования полиномов в методах конечных элементов, конечных объемов/элементов, распределенных невязок. Экспериментальное оценивание скорости сходимости противопотоковых схем для задач, имеющих аналитическое решение. Расчеты на множестве сгущающихся конечноэлементных разбиений, с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предлагается новая технология учета кусочно-полиномиального представления решения, коэффициентов переноса и источниковых членов при дискретизации начально-краевых задач методами конечных объемов/элементов, конечных объемов/конечных элементов и подобъемов. Технология основана на использовании разложения по базису конечноэле-ментных пространств в терминах барицентрических симплициальных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. Для схем МКО/КЭ, МКО/Э с расчетом переменных в узлах триангуляций предложены три класса формул точного интегрирования одночленов барицентрических координат: по отрезкам двойственной сетки в элементе, по барицентрическим подобластям и отрезкам граничных ребер. Для методов подобъемов, использующих несогласованные конечноэлементные пространства, предлагается использовать принцип точного интегрирования базисных функций и получены соответствующие интегральные формулы.

2. Предложен способ построения противопотоковых схем МКО/КЭ на симплициальных сетках, основанный на раздельной аппроксимации потоков массы и значений скалярной субстанции на отрезках двойственной сетки. Введены понятия локальной матрицы весовых коэффициентов противопо-токовой схемы, внутренних по отношению к элементам схем, локальной положительности схем. Предложена противопотоковая схема экспоненциального класса, построен ее аналог для МКО с расчетом неизвестных в барицентрах симплексов.

3. Получены экспериментальные оценки скорости сходимости противопото-ковой схемы со взвешиванием потоков масс и предлагаемой схемы экспоненциального класса. На решениях погранслойного типа проведен анализ устойчивости построенных схем и их сравнение с противопотоковыми схемами МКЭ.

4. С использованием предложенных технологий аппроксимаций задач конвективно-диффузионного типа создан комплекс программ для моделирования вязких несжимаемых течений в естественных переменных скорость-давление и проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность построенных схем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 173 страниц, включая 10 таблиц и 51 рисунок. Список литературы содержит 117 наименований.

Заключение

Настоящая работа посвящена разработке вычислительных технологий методов конечных объемов на симплициальных сетках, использующих конечноэле-ментные пространства и барицентрические разбиения в качестве двойственных, для аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа! В работе получены следующие основною результаты, выносимые на защиту:

1. Предложена новая технология учета кусочно-полиномиального представления решения, коэффициентов переноса и источниковых членов при дискретизации начально-краевых задач методами конечных объемов/элементов, конечных объемов/конечных элементов и подобъемов. Технология основана на использовании разложения по базису конечноэлементных пространств в терминах барицентрических симплициальных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. Для схем МКО/КЭ, МКО/Э с расчетом переменных в узлах триангуляций предложены три класса формул точного интегрирования одночленов барицентрических координат: по отрезкам двойственной сетки в элементе, по барицентрическим подобластям и отрезкам граничных ребер. Для методов подобъемов, использующих несогласованные ко-нечноэлементные пространства, предлагается использовать принцип точного интегрирования базисных функций и получены соответствующие интегральные формулы.

2. Предложен способ построения противопотоковых схем МКО/КЭ на симплициальных сетках, основанный на раздельной аппроксимации потоков массы и значений скалярной субстанции на отрезках двойственной сетки. Введены понятия локальной матрицы весовых коэффициентов противопотоковой схемы, внутренних по отношению к элементам схем, локальной положительности схем. Предложена противопотоковая схема экспоненциального класса, построен ее аналог для МКО с расчетом неизвестных в барицентрах симплексов.

3. Получены экспериментальные оценки скорости сходимости противопотоко-вой схемы со взвешиванием потоков масс и предлагаемой схемы экспоненциального класса. На решениях погранслойного типа проведен анализ устойчивости построенных схем и их сравнение с противопотоковыми схемами МКЭ. Показано, что достроенные схемы МКО/КЭ позволяют значительно более точно отследить особенности погранслойных решений, чем схемы метода Петрова-Галеркина с асимметричными базисными функциями (полиномы Лежандра), конечноэлементные схемы Райса и Шнипке, а также комбинированные конечноэлементные схемы повышенного порядка аппроксимации, разработанных Т. Шэу, С. Вангом и С. Цаем.

4. С использованием предложенных схем аппроксимации задач конвективно-диффузионного типа создан комплекс программ для моделирования вязких несжимаемых течений в естественных переменных скорость-давление, на совмещенных сетках, с использованием интерполяционных полиномов давления и скорости одного порядка; проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность построенных схем.

5. Для эталонного течения в канале за обратным уступом впервые показано взаимодействие входного эффекта и эффекта использования противопотоковых аппроксимаций.

Итак, предлагаемая в работе технология дискретизации начально-краевых задач методом конечных элементов/конечных объемов на симплициальных сетках является эффективным способом аппроксимации систем законов сохранения, разработанные противопотоковые схемы имеют хорошие характеристики сходимости, а использование методов дискретизации системы уравнений Навье-Сто-кса с одинаковым порядком интерполяции для компонент вектора скорости-давления позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Классы методов конечных объемов/конечных элементов на симплициальных сетках, технологической основой которых является точное интегрирование одночленов барицентрических координат, являются эффективными методами моделирования вязких несжимаемых течений в областях со сложной геометрией границ.

1. Белоцерковский О.М., Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. Глав. ред. физ-мат. литературы, 1984.

2. А. С. Болдарев, В. А- Гасилов. О. Г. Ольховская, К решению гиперболических уравнений на неструктурированных сетках // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, №3. С. 51-78.

3. П. А. Войнович, Д. М. Шаров, Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. № 7, С.86-114.

4. Я. J1. Гурьева, Вычислительная технология метода конечных объемов // Дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м. наук. Новосибирск. 1997. - 115с.

5. Жуков М. Ф., Солоненко О. П., Высокотемпературные запыленные струи в процессах обработки порошковых материалов. Новосибирск. ИТ СО РАН. 1990.

6. В. П. Ильин, Балансные разностные схемы повышенной точности на неравномерных прямоугольных сетках. Новосибирск. 1994. - 31 с- (Препринт/ВЦ СО РАН № 1031).

7. Ильин В. П., Туракулов А. А., Об интегро-балансных аппроксимациях трехмерных краевых задач. Новосибирск, 1993. - 24 с. - (Препринт/ВЦ СО РАН:. № 986).

8. В. М. Ковеня, Н. Н. Яненко, Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск, Наука. 1989.

9. А. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Tqc. изд-во ф.-м. лит.- 1961 .

10. Д. Оден, Конечны^ элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

11. Патанкар С., Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.:. Энергоатомиздат, 1984.

12. Н.Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

13. Препарата Ф. Шеймос М. Вычислительная геометрия; Введение. М." Мир, 1984.

14. А. А. Самарский, Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

15. Л Сегерлинд, Применение метода конечных элементов М.: Мир. 1979

16. Н. К. Суканек, Р. П. Родес, Формулировка условия на оси симметрии при численном расчете симметричных течений // Ракетная техника и космонавтика, 1978. Т. 16. № 10). С. 96-98.

17. Р. Темам, Уравнения Навье-Стокса, Теория и численный анализ // М.: Мир. 1981.

18. К. Флетчер, Численные методы на основании метода Галеркина II М.: Мир, 1991

19. Д. Ши, Численные методы в задачах теплообмена. М.; Мир, 1988.

20. Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностр. лит. 1956.

21. Э. П. Шурина, Т. В. Войтович, Анализ алгоритмов методов конечных элементов и конечного объема на неструктурированных сетках при решении уравнений Навье-Стокса // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. № 4. С. 84104.

22. Э. П. Шурина, О. П. Солоненко, Т. В. Войтович, Новая технология метода конечных объемов на симплициальных сетках для задач конвективно-диффузионного типа. Новосибирск. 1999. -51 е.- (Препринт/ ИТПМ СО РАН; № 8-99).

23. И. Ю. Чумаков, Использование различных условий для давления на выходной границе при расчете сложных внутренних течений несжимаемой жидкости на совмещенных сетках // Вестн. мол. ученых. Сер. Прикладная математика и механика. 1997. Т 1. С. 55-62.

24. Н. Н. Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

25. A Finite Element Primer. National Agency for Finite Element Methods & Standarts //NEL. Glasgow, 1986.

26. К. Ajmani, W- F Ng. M-S. Lion, Preconditioned conjugate gradient methods for the Navier-Stokes Equations//J. Comput. Phys. 1994. Vol. 1 10. P. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Some explicit triangular finite element schemes for the Euler equations//Int. J. forNumer. Methods in Fluids. 1984. Vol. 4. P. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Construction of TVD-Hke Artificial Viscosities on Two-Dimensional Arbitrary FEM Grids // J. Comput. Phys., 1993. Vol. 106. P. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow //J. Fluid Mech. 1983. Vol. 127. 473496.

30. F. Babuska, Error bounds for finite element methods//Numer. Math. 1971 Vol.16. P. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18. P. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Analysis of the cell-vertex finite volume method for hyperbolic problems with variable coefficients // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Vol. 34. P. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori error estimates for the Stokes problem // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numerical study of flow over a confined backward-facing step // Int. J. ForNumer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 21. P. 653-665.

36. E. Barton, The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // Int. J. forNumer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 25. P. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Numerical viscosity and convergence of finite volume methods for conservation laws with boundary conditions // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Vol. 32. P 775-796.

38. Z. Cai, On the finite volume element method //Numer. Math. 1991 Vol. 58 P. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, On the accuracy of the finite volume element method for diffusion equations on composite grids // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. P. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, The finite volume element method for diffusion equations on general triangulations // SIAM J. Numer. Anal. 1991 Vol 28. P. 392402.

41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Decomposition Algorithms and Finite Volume/Finite Element Approximation for Advection-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, A finite volume method based on the Crouzeix-Raviart element for elliptic PDE"s in two dimensions //Numer. Math. 1999, Vol. 82. P. 409-432.

43. К. H. Chen, R H. Pletcher, Primitive variable- strongly implicit calculation procedure for viscous flows at all speeds //AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Mixed Covolume methods for elliptic problems on triangular grids // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell and О. C. Zienkiewicz, Finite element methods for second order differential equations with significant first derivatives // Int. J. Numer. Methods Eng. 1976. Vol. 10. 1389-1396.

46. J.-P. Croisille, Finite Volume Box Schemes // Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 July., 1999, Duisburg, Germany. HERMES Science Publications, Paris, 1999.

47. В. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Convergence of the finite volume method for multidimensional conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Vol. 32. 687-705.

48. L. Davidson, A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 22. P. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, К. Мег, B. Nkonga, Computation of unsteady flows with mixed finite volump/finite element upwind methods // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 27. P. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Finite volume scheme for Compressible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. P. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using unstuctured meshes // VKI Lectures series. 1985. № 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., On finite element integration in natural coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng. 1973. Vol. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Class of implicite upwind schemes for Euler simulations with unstructured meshes//J. Сотр. Phys. 1989. Vol. 84. P. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element/finite volume approach for solving biodegradation transport in groundwater // Int. J. for Numer. Methods in Fluids.1998. Vol. 26. P. 533-556.

55. Т. Gallouet, J. P. Vila, Finite volume schemes for conservation laws of mixed type // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified finite element method for solving the time-dependent. Incompressible Navier-Stokes equations. Part 2: Applications // Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 1984. Vol. 4. P. 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariant integration formulas for я-simplex by combinatonal methods // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, P. 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. Vol. 41. P. 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Numerical predictions of flows over backward-facing steps // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1984. Vol. 4. P. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, An implicit mixed finite volume-finite-element method for solving 3D turbulent compressible flows // Int. J. for Numer Methods in Fluids, 1997. Vol. 25. P. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, An adaptive finite element method for a two-equation turbulence model in wall-bounded flows // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Vol. 34. P. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. Fiveland, A cell-vertex algorithm for the incompressible Navier-Stokes equations on non-ortogonal grids // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1996. Vol. 23. P. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., On the finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. P. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Exact integration of polynomials and symmetric quadrature formulas over arbitrary polyhedral grids // J. Comput. Phys. 1998. Vol. 140. P. 122-147.

68. D. Marcum, Turbulence models for unstructured finite element calculations // Int. J. ForNumer. Methods in Fluids. 1995, Vol. 20. P. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located equal-order control-volume finite element method for two-dimensional axisymmetric incompressible fluid flow // Int J. For Numer. Methods in Fluids. 1994. Vol. 18. P. 1-26.

70. С. Mattiussi, An Analysis of Finite Volume. Finite Element and Finite Difference Methods Using Some Concepts from Algebraic Topology // J. Comput. Phys. 1997. Vol. 133. P. 289-309.

71. D. Mavriplis, Multigrid solution of two-dimensional Euler equations on unstructured triangular meshes // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, Fully coupled finite volume solutions of the incompressible Navier-Stpkes and energy equations using an inexact Newton method // Int. J. For Numer. Methods in Fluids. 1994. Vol. 19. P. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodic flow and heat transfer using ustructured meshes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 25. P. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Procedure and Adaptive Error Control Strategy fof Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. Phys., 1997, Vol. 138. P. 766-787

75. P. Nithiarasu, О. C. Zienkiewlcz, В. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities for the general fluid mechanics algorithm // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 28. P. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, A technique of upstream type applied to a linear nonconforming finite element approximation of convective diffusion equations // R.A.I.R.O. Anal. Numer.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind finite volume Navier-Stokes Computations on Uns-ructured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. P. 1618-1625.

78. S. V. Potapov, A mixed FE FV algorithm in non-linear solid dynamics // Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications. 19-22 July, 1999. Duisburg, Germany. - HERMES Science Publications. Paris. 1999. P. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, A control volume-based finite-element method for solving the Navier-Stokes equations using equal-order velocity-pressure interpolation //Numer. Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Solution of the Poisson equation: comparison of the Galerkin and control-volume methods // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. Vol. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A staggered control volume scheme for unstructured triangular grids // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 25. P. 697-717.

82. P. L. Roe, Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes//! Сотр. Phys. 1981. Vol. 43. P. 357-372.

83. C. Rohde, Upwind Finite volume schemes for weakly coupled hyperbolic systems of conservation laws in 2D // Numer. Math. 1998. Vol. 81. P. 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Development of a high-resolution scheme for a multi-dimensional advection-diffusion equation // J. Сотр. Phys. 1998. Vol. 144. P. 1-16.

85. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.

86. В. V. K. S. Sai, О. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, General purpose versus special algorithms for high-speed flows with shocks // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. Vol. 27. P. 57-80.

87. J. L. Sohn, Evaluation of FIDAP on some classical laminar and turbulent benchmarks // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1988. Vol. 8. P. 1469-1490.

88. В Stoufflet, Investigation of generalized flux vector splitting for compressible flows on triangular meshes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 20. P. 1047-1059.

89. B. Stoufflet. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Numerical simulation of 3-D hypersonic Euler flows around space vehicles using adapted finite elements // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique // Computers and Fluids. 1973. Vol. 1. P. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., A pressure-correction method for the solution of incompressible viscous flows on unstructured grids // Int .J. for Numer Methods in Fluids. -1996. Vol. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Overlapping control volume approach for convection-diffusion problems // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1996. Vol. 23. P. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, On a compact mixed-order finite element for solving the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 25. P. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementation of a free boundary condition to Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. P. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version least squares finite element formulation for two-dimensional, incompressible fluid flow // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994. Vol. 18. P. 43-69.

96. A. M. Winslow, Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. 149-172.

97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, A new formulation of the mixed finite element method for solving elliptic and parabolic PDE with triangular elements // J. Comput. Phys., 1999. Vol. 149. P. 148-167.

98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, The integrated space-time finite volume method and its application to moving boundary problems // J. Comput. Phys. 1999. Vol. 154. P. 497-519.

99. О. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, A general algorithm for compressible and incompressible flow. Part 1: The split, characteristic based scheme // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. Vol. 20. P. 869-885.

101. С. M. Rhie and W. L. Chow, A numerical study of the turbulent flow past an isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, Solution of the implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting//J. Comput. Phys. Vol. 62. P. 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step // Journal of Fluids Eng., Vol. 102, P. 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar