이산 확률 변수의 분포 법칙. 문제 해결의 예

이산 분포의 고려된 속성은 분포 특성의 전형적인 수치를 정확하게 유지하는 것이 불가능하기 때문에 그러한 분포를 표로 만들고 사용하는 데 상당한 어려움을 야기합니다. 특히, 비모수 통계 검정(아래 참조)의 임계값과 유의 수준의 경우에는 이러한 검정의 통계 분포가 불연속적이기 때문에 그렇습니다.

순서의 분위수는 통계에서 매우 중요합니다. 아르 자형= ½. 그것은 중앙값(임의 변수의 엑스또는 그 분포 함수 에프(x))그리고 표시 나(X).기하학에는 삼각형의 꼭지점을 지나 반대쪽 변을 반으로 나누는 직선인 "중앙값"이라는 개념이 있습니다. 수학 통계에서 중앙값은 삼각형의 측면이 아니라 확률 변수의 분포: 평등 F(x 0.5)= 0.5는 왼쪽을 칠 확률을 의미합니다. x 0.5오른쪽으로 갈 확률 x 0.5(또는 직접 x 0.5)는 서로 같고 ½과 같습니다. 즉,

피(엑스 < 엑스 0,5) = 피(엑스 > 엑스 0.5) = ½.

중앙값은 분포의 "중심"을 나타냅니다. 현대 개념 중 하나인 안정적인 통계 절차 이론의 관점에서 중앙값은 수학적 기대치보다 확률 변수의 더 나은 특성입니다. 측정 결과를 서수 척도로 처리하는 경우(측정 이론에 대한 장 참조) 중앙값을 사용할 수 있지만 수학적 기대값은 사용할 수 없습니다.

모드와 같은 확률 변수의 특성은 분명한 의미를 갖습니다. 연속 확률 변수에 대한 확률 밀도의 국소 최대값 또는 이산 확률 변수에 대한 확률의 국소 최대값에 해당하는 확률 변수의 값 .

만약에 x 0- 밀도가 있는 확률 변수의 모드 f(x),그런 다음 미분학에서 알 수 있듯이.

확률 변수는 여러 모드를 가질 수 있습니다. 따라서 균일 분포에 대해 (1) 각 점 엑스그런 ㅏ< x < b , 패션입니다. 그러나 이것은 예외입니다. 확률 통계적 의사 결정 및 기타 응용 연구에 사용되는 대부분의 확률 변수에는 하나의 모드가 있습니다. 하나의 모드를 갖는 랜덤 변수, 밀도, 분포를 단봉(unimodal)이라고 합니다.

유한한 수의 값을 갖는 이산 확률 변수에 대한 수학적 기대치는 "사건 및 확률" 장에서 논의됩니다. 연속 확률 변수의 경우 엑스기대값 남 (X)평등을 만족시킨다

이는 "사건 및 확률" 장의 2번 문장에서 공식 (5)와 유사합니다.

예 5.균일하게 분포된 확률 변수에 대한 수학적 기대치 엑스같음

이 장에서 고려되는 랜덤 변수의 경우, 유한한 수의 값을 갖는 이산 랜덤 변수에 대해 이전에 고려된 수학적 기대 및 분산의 모든 속성이 참입니다. 그러나 우리는 이러한 속성에 대한 증거를 제시하지 않습니다. 왜냐하면 이러한 속성은 확률적 통계적 의사 결정 방법을 이해하고 적절하게 적용하는 데 필요하지 않은 수학적 미묘함에 대한 더 깊은 이해가 필요하기 때문입니다.

논평.이 교과서는 특히 측정 가능한 집합 및 측정 가능한 함수의 개념, 사건의 대수 등과 관련된 수학적 미묘함을 의도적으로 피합니다. 이러한 개념을 마스터하려는 사람들은 특별한 문헌, 특히 백과사전을 참조해야 합니다.

수학적 기대치, 중앙값, 모드의 세 가지 특성은 각각 확률 분포의 "중심"을 나타냅니다. 중심은 다른 방식으로 정의될 수 있으므로 세 가지 다른 특성이 있습니다. 그러나 중요한 분포 클래스인 대칭 단봉의 경우 세 가지 특성이 모두 일치합니다.

분포 밀도 f (x)- 숫자가 있는 경우 대칭 분포의 밀도 x 0그런

. (3)

등식(3)은 함수의 그래프를 의미합니다. y = f(x)대칭 중심을 통과하는 수직선에 대해 대칭 엑스 = 엑스 0. (3)에서 대칭 분포 함수가 다음 관계를 만족함을 알 수 있습니다.

(4)

모드가 하나인 대칭 분포의 경우 수학적 기대치, 중위수 및 모드가 일치하고 동일합니다. x 0.

가장 중요한 것은 0에 대한 대칭의 경우입니다. x 0= 0. 그러면 (3)과 (4)는 평등해진다

(6)

각기. 위의 관계는 모든 항목에 대해 대칭 분포를 표로 만들 필요가 없음을 보여줍니다. 엑스, 테이블이 있으면 충분합니다. 엑스 > x 0.

의사 결정 및 기타 응용 연구의 확률 통계적 방법에서 지속적으로 사용되는 대칭 분포의 속성을 한 가지 더 살펴보겠습니다. 연속 분포 함수의 경우

피(| X | < 가) = 피(-a < 엑스 < a) = F(a) - F(-a),

어디 에프- 확률변수의 분포함수 엑스... 분포 함수의 경우 에프 0에 대해 대칭, 즉 공식 (6)이 유효한 경우

피(| X | < a) = 2F (a) - 1.

고려 중인 진술의 다른 공식이 종종 사용됩니다.

.

가 0에 대해 대칭인 분포 함수의 차수 및 각각((2) 참조)의 분위수이면 (6)에서 다음을 따릅니다.

위치의 특성(수학적 기대치, 중앙값, 모드)에서 확률 변수의 확산 특성으로 전환합니다. 엑스: 분산, 표준편차 및 변동계수 V... 이산 확률 변수에 대한 분산의 정의와 속성은 이전 장에서 논의되었습니다. 연속 확률 변수의 경우

표준 편차는 분산의 음이 아닌 제곱근입니다.

변동 계수는 수학적 기대치에 대한 표준 편차의 비율입니다.

변동 계수는 다음과 같은 경우에 적용됩니다. 남(X)> 0. 스프레드를 상대 단위로 측정하고 표준 편차는 절대 단위로 측정합니다.

예 6.균일하게 분포된 확률 변수의 경우 엑스분산, 표준 편차 및 변동 계수를 찾습니다. 분산은 다음과 같습니다.

변수 교체를 통해 다음을 작성할 수 있습니다.

어디 씨 = (비 – ㅏ)/ 2. 결과적으로 표준 편차는 와 같고 변동 계수는 다음과 같습니다.

각 확률 변수에 대해 엑스세 가지 수량을 더 결정 - 중심 와이정규화 V그리고 주어진 유... 중심 랜덤 변수 와이주어진 랜덤 변수의 차이 엑스그리고 그것의 수학적 기대 엠(X),저것들. 와이 = X - M(X).중심 확률 변수의 기대 와이는 0이고 분산은 주어진 랜덤 변수의 분산입니다. 중 (와이) = 0, 디(와이) = 디(엑스). 분포 기능 여(엑스) 중심 확률 변수 와이분포 함수와 관련된 에프(엑스) 원래 확률 변수 엑스비율:

여(엑스) = 에프(엑스 + 중(엑스)).

이러한 랜덤 변수의 밀도는 다음을 만족합니다.

f Y(엑스) = 에프(엑스 + 중(엑스)).

정규화된 확률 변수 V주어진 랜덤 변수의 비율입니다. 엑스표준 편차, 즉 ... 정규화된 확률 변수의 수학적 기대치 및 분산 V특성을 통해 표현 엑스그래서:

,

어디 V- 원래 확률 변수의 변동 계수 엑스... 분포 함수의 경우 F V(엑스) 밀도 f V(엑스) 정규화된 확률 변수 V우리는:

어디 에프(엑스) - 원래 확률 변수의 분포 함수 엑스, ㅏ 에프(엑스) 확률 밀도입니다.

감소된 확률 변수 유중심화되고 정규화된 확률 변수입니다.

.

감소된 확률 변수의 경우

정규화, 중심화 및 감소된 무작위 변수는 이론적 연구와 알고리즘, 소프트웨어 제품, 규범적 기술 및 교육적 방법 문서 모두에서 지속적으로 사용됩니다. 특히 평등하기 때문에 방법의 정당화, 정리 및 계산 공식의 공식화를 단순화할 수 있습니다.

확률 변수의 변환과 보다 일반적인 계획이 사용됩니다. 그래서 만약 와이 = 도끼 + 비, 어디 ㅏ그리고 비- 몇 가지 숫자, 다음

예 7.그렇다면 와이감소된 확률 변수이고 공식 (8)은 공식 (7)로 바뀝니다.

모든 랜덤 변수와 함께 엑스많은 확률 변수가 연관될 수 있음 와이공식에 의해 주어진 와이 = 도끼 + 비다른 ㅏ> 0과 비. 이 세트는 스케일 전단 가족확률 변수에 의해 생성 엑스... 분포 함수 여(엑스) 분포 함수에 의해 생성된 분포의 규모 이동 패밀리를 구성합니다. 에프(엑스). 대신에 와이 = 도끼 + 비표기법을 자주 사용

숫자 와 함께시프트 매개변수라고 하며 숫자는 디- 스케일 매개변수. 식 (9)는 다음을 보여줍니다. 엑스- 일정량을 측정한 결과 - 에 들어갑니다. 가지다- 같은 값을 측정한 결과, 측정 시작 부분을 포인트로 이동한 경우 와 함께그런 다음 새 측정 단위를 사용합니다. 디예전 것보다 몇 배나 더 큽니다.

scale-shift family(9)의 경우 분포 X를 표준이라고 합니다. 의사 결정 및 기타 응용 연구의 확률 통계적 방법에서는 표준 정규 분포, 표준 Weibull-Gnedenko 분포, 표준 감마 분포 등이 사용됩니다(아래 참조).

확률 변수의 다른 변환도 사용됩니다. 예를 들어, 양의 확률 변수의 경우 엑스고려 중 와이= 엘지 엑스어디 lg 엑스- 숫자의 십진 로그 엑스... 동등 사슬

F Y(x) = P(엘지 엑스< x) = P(X < 10x) = F( 10엑스)

분포 기능을 연결 엑스그리고 와이.

데이터를 처리할 때 다음과 같은 랜덤 변수의 특성이 사용됩니다. 엑스주문의 순간으로 큐, 즉. 확률 변수의 수학적 기대 X q, 큐= 1, 2, ... 따라서 수학적 기대 자체는 순서 1의 순간입니다. 이산 확률 변수의 경우 순서의 순간 큐다음과 같이 계산할 수 있습니다.

연속 확률 변수의 경우

주문의 순간 큐주문의 초기 모멘트라고도 합니다. 큐, 관련된 특성과 대조적으로 - 주문의 중심적 순간 큐, 공식에 의해 주어진

따라서 분산은 차수 2의 중심점입니다.

정규분포와 중심극한정리.확률적 및 통계적 의사 결정 방법에서 우리는 종종 정규 분포에 대해 이야기합니다. 때때로 그들은 그것을 사용하여 원본 데이터의 분포를 모델링하려고 합니다(이러한 시도가 항상 정당화되는 것은 아닙니다. 아래 참조). 더 중요한 것은 많은 데이터 처리 방법이 계산된 값이 정규에 가까운 분포를 갖는다는 사실을 기반으로 한다는 것입니다.

허락하다 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n 중(XI) = 중및 편차 디(XI) = , 나 = 1, 2,…, N, ... 이전 장의 결과에서 다음과 같이,

감소된 확률 변수 고려 유금액에 대해 , 즉,

식 (7)로부터 다음과 같이, 중(유) = 0, 디(유) = 1.

(동일하게 분포된 용어의 경우). 허락하다 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n, ... 수학적 기대치를 가진 독립적으로 동일하게 분포된 랜덤 변수입니다. 중(XI) = 중및 편차 디(XI) = , 나 = 1, 2,…, N, ... 그러면 모든 x에 대해 제한이 있습니다.

어디 에프(x)표준 정규 분포 함수입니다.

기능에 대한 추가 정보 에프(x) -아래("x의 파이"를 읽으십시오. 에프- 그리스 대문자 "파이").

CLT(Central Limit Theorem)는 확률 이론 및 수학적 통계의 가장 일반적으로 사용되는 수학적 결과이기 때문에 이름을 따왔습니다. CLT의 역사는 영국 수학자 A. Moivre(1667-1754)가 CLT와 관련된 첫 번째 결과를 발표한 1730년(무아브르-라플라스 정리에 대해서는 아래 참조)부터 20~30년대까지 약 200년이 걸립니다. 20세기의 Finn J.W. Lindeberg, 프랑스인 Paul Levy(1886-1971), Yugoslav V. Feller(1906-1970), 러시아 A.Ya. Khinchin(1894-1959)과 다른 과학자들은 고전적 중심극한정리의 타당성을 위한 필요충분조건을 얻었다.

고려중인 주제의 개발은 전혀 멈추지 않았습니다. 분산이없는 무작위 변수가 연구되었습니다. 누구를 위해

(학자 B.V. Gnedenko 및 기타), 더 복잡한 성격의 무작위 변수(보다 정확하게는 무작위 요소)가 숫자(학자 Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov 및 그 동료)보다 요약되는 상황 .d.

분포 기능 에프(x)평등에 의해 주어진

,

다소 복잡한 표현을 가진 표준 정규 분포의 밀도는 다음과 같습니다.

.

여기서 = 3.1415925 ...는 기하학에서 알려진 숫자로, 지름에 대한 원주의 비율과 같습니다. 이자형 = 2.718281828 ... - 자연 로그의 밑(이 숫자를 기억하기 위해 1828년은 작가 Leo Tolstoy의 출생 연도입니다). 수학적 분석에서 알 수 있듯이,

관찰 결과를 처리할 때 정규 분포 함수는 주어진 공식을 사용하여 계산되지 않고 특수 테이블이나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 찾습니다. 러시아 "수학 통계 표"의 최고는 소련 과학 아카데미 L.N.의 해당 회원이 편집했습니다. 볼셰프와 N.V. 스미르노프.

표준정규분포의 밀도의 형태는 여기서 고찰할 수 없는 수학적 이론과 CLT의 증명을 따른다.

설명을 위해 분포 함수의 작은 표를 제시합니다. 에프(x)(표 2) 및 그 분위수 (표 3). 기능 에프(x) 0에 대해 대칭이며 이는 표 2-3에 반영되어 있습니다.

표 2.

표준 정규 분포 함수.

확률변수인 경우 엑스분포 기능이 있습니다 에프(x),그 다음에 남 (X) = 0, 디(엑스) = 1. 이 진술은 확률 밀도의 형태에서 진행되는 확률 이론에서 증명됩니다. 감소된 확률 변수의 특성에 대한 유사한 진술에 동의합니다. 유 CLT가 항의 수가 무한히 증가함에 따라 분포 함수가 유표준 정규 분포 함수로 경향 에프(x),그리고 어떤 엑스.

표 3.

표준 정규 분포의 분위수입니다.

정규 분포 가족의 개념을 소개하겠습니다. 정의에 따르면 정규 분포는 확률 변수의 분포입니다. 엑스, 감소된 확률 변수의 분포는 다음과 같습니다. 에프(x).분포의 규모 이동 패밀리의 일반적인 속성에서 다음과 같이(위 참조), 정규 분포는 확률 변수의 분포입니다.

어디 엑스- 분포가 있는 랜덤 변수 에프(X),게다가 중 = 중(와이), = 디(와이). 이동 매개변수가 있는 정규 분포 중스케일은 일반적으로 표시됩니다. N(중, ) (때때로 표기법을 사용한다. N(중, ) ).

(8)에서 다음과 같이 정규분포의 확률밀도는 N(중, ) 있다

정규 분포는 규모 이동 패밀리를 형성합니다. 이 경우 scale 매개변수는 디= 1 / 및 시프트 매개변수 씨 = - 중/ .

정규 분포의 3차 및 4차의 중심 모멘트에 대해 등식은 다음과 같이 유지됩니다.

이러한 평등은 관찰 결과가 정규 분포를 따르는지 확인하는 고전적인 방법의 기초가 됩니다. 현재는 일반적으로 기준에 따라 정규성을 확인하는 것이 좋습니다. 여샤피로 - 윌크. 정규성을 확인하는 문제는 아래에서 논의됩니다.

확률변수인 경우 X 1그리고 X 2분포 기능이 있다 N(중 1 , 1) 그리고 N(중 2 , 2) 따라서 X 1+ X 2분포가 있다 따라서 확률변수의 경우 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n N(중, ) , 산술 평균

분포가 있다 N(중, ) ... 정규 분포의 이러한 속성은 다양한 확률론적 및 통계적 의사 결정 방법, 특히 기술 프로세스의 통계적 규제 및 정량적 기준에 따른 통계적 수용 제어에서 지속적으로 사용됩니다.

정규 분포의 도움으로 현재 통계 데이터 처리에 자주 사용되는 세 가지 분포가 결정됩니다.

분포(카이 - 제곱) - 확률 변수의 분포

여기서 확률 변수 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n독립적이고 동일한 분포를 가짐 N(0.1). 또한, 용어의 수, 즉. N카이제곱 분포의 "자유도 수"라고 합니다.

분포 티스튜던트 t는 확률 변수의 분포입니다.

여기서 확률 변수 유그리고 엑스독립적 인, 유표준 정규 분포를 가짐 N(0,1) 및 엑스- 카이 분포 - 제곱 N자유도. 어디에서 N스튜던트 분포의 "자유도 수"라고 합니다. 이 분포는 맥주 공장에서 일하던 영국의 통계학자 W. Gosset에 의해 1908년에 도입되었습니다. 확률 통계적 방법은 이 공장에서 경제적, 기술적 결정을 내리는 데 사용되었으므로 관리는 V. Gosset이 자신의 이름으로 과학 기사를 출판하는 것을 금지했습니다. 이러한 방식으로 V. Gosset이 개발한 확률적 통계적 방법의 형태인 "노하우"인 영업 비밀이 보호되었습니다. 그러나 그는 "학생"이라는 가명으로 출판 할 기회가있었습니다. Gossett-Student의 이야기는 또 다른 백 년 동안 확률론적 통계적 의사결정 방법의 큰 경제적 효율성이 영국의 관리자들에게 명백했음을 보여줍니다.

Fisher 분포는 확률 변수의 분포입니다.

여기서 확률 변수 X 1그리고 X 2독립적이고 자유도 수가 있는 카이제곱 분포를 가집니다. 케이 1 그리고 케이 2 각기. 이 경우 쌍 (케이 1 , 케이 2 ) - Fisher 분포의 "자유도 수" 쌍, 즉, 케이 1 분자의 자유도 수이고, 케이 2 - 분모의 자유도 수. 확률변수 F의 분포는 영국의 위대한 통계학자 R. Fisher(1890-1962)의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 이를 자신의 작업에서 적극적으로 사용했습니다.

분포 함수 카이 제곱, 스튜던트 및 피셔, 밀도 및 특성, 표에 대한 표현식은 특수 문헌에서 찾을 수 있습니다(예: 참조).

이미 언급했듯이 정규 분포는 이제 다양한 적용 영역의 확률 모델에서 자주 사용됩니다. 이 2-매개변수 분포군이 그렇게 광범위하게 발생하는 이유는 무엇입니까? 다음 정리에 의해 명확해집니다.

중심극한정리(다르게 배포된 용어의 경우). 허락하다 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n, ...는 수학적 기대치를 가진 독립 확률 변수입니다. 중 (엑스 1 ), 중 (엑스 2 ), ..., 중 (엑스 n), ... 및 분산 디(엑스 1 ), 디(엑스 2 ),…, 디(엑스 n), ... 각각. 허락하다

그런 다음 특정 조건에서 조건의 기여도가 작음을 보장합니다. 유,

누구에게나 엑스.

문제의 조건은 여기에서 공식화되지 않습니다. 특수 문헌에서 찾을 수 있습니다(예: 참조). "CPT가 작동하는 조건에 대한 설명은 뛰어난 러시아 과학자 A.A. Markov(1857-1922), 특히 A.M. Lyapunov(1857-1918)의 공로입니다."

중심극한정리는 여러 가지 요인의 영향을 받아 측정(관찰)의 결과를 합산할 때 각각의 기여도는 미미하여 누적합계가 결정된다는 것이다. 부가적으로, 즉. 또한 측정(관찰) 결과의 분포는 정상에 가깝습니다.

분포가 정규화되기 위해서는 측정(관찰) 결과가 엑스여러 이유의 영향으로 형성되며 각각은 작은 영향을 미칩니다. 이것은 사실이 아닙니다. 이러한 이유가 작동하는 방식이 중요합니다. 첨가물이라면 엑스대략 정규분포를 갖는다. 만약에 곱셈적으로(즉, 개별 원인의 작용이 더해지는 것이 아니라 곱해지는 것), 그 다음 분포 엑스정상이 아니라 소위에 가깝습니다. 대수적으로 정상, 즉 ~ 아니다 엑스 lg X는 거의 정규 분포를 따릅니다. 최종 결과의 형성을 위한 이 두 가지 메커니즘(또는 다른 확실한 메커니즘) 중 하나가 작동한다고 믿을 이유가 없다면 분포에 대해 엑스확실한 것은 아무것도 말할 수 없습니다.

특정 적용 문제에서 측정 결과(관찰)의 정규성은 일반적으로 일반적인 고려 사항에서 확립될 수 없으며 통계적 기준을 사용하여 확인해야 한다고 말한 것으로부터 따릅니다. 또는 측정 결과(관측)의 분포 함수가 하나 또는 다른 모수 패밀리에 속한다는 가정에 의존하지 않는 비모수 통계 방법을 사용합니다.

확률 통계적 의사 결정 방법에 사용되는 연속 분포.정규 분포의 규모 이동 계열 외에도 로그 정규 분포, 지수 분포, Weibull-Gnedenko, 감마 분포와 같은 여러 다른 분포 계열이 널리 사용됩니다. 이 가족들을 생각해 봅시다.

임의 값 엑스확률 변수인 경우 로그 정규 분포를 가집니다. 와이= 엘지 엑스정규분포를 갖는다. 그 다음에 지= 인 엑스 = 2,3026…와이도 정규분포를 갖는다 N(ㅏ 1 , σ 1)어디서 인 엑스- 자연 로그 엑스... 로그 정규 분포의 밀도는 다음과 같습니다.

중심극한정리(Central Limit Theorem)에 따라 제품이 엑스 = 엑스 1 엑스 2 … X n독립 양의 확률 변수 XI, 나 = 1, 2,…, N, 대형 N 로그 정규 분포로 근사할 수 있습니다. 특히, 임금 또는 소득 형성의 승법 모델은 대수적으로 정규화된 법칙을 사용하여 임금과 소득의 분포를 근사화하라는 권고로 이어집니다. 러시아의 경우이 권장 사항이 정당한 것으로 판명되었습니다. 통계가 확인합니다.

로그 정규 법칙으로 이어지는 다른 확률 모델이 있습니다. 그러한 모델의 고전적인 예는 물리적으로 기초된 가정 시스템에서 광석, 석탄 등의 덩어리를 분쇄하는 동안 입자의 크기가 볼 밀에서 로그 정규 분포가 있습니다.

다양한 확률 통계적 의사 결정 방법 및 기타 응용 연구에 널리 사용되는 또 다른 분포군인 지수 분포군에 대해 알아보겠습니다. 이러한 분포로 이어지는 확률 모델부터 시작하겠습니다. 이렇게 하려면 "사건의 흐름"을 고려하십시오. 특정 시점에서 차례로 발생하는 일련의 이벤트. 예는 다음과 같습니다. 전화 교환기에서의 통화 흐름; 기술 사슬에서 장비 고장의 흐름; 제품 테스트 중 제품 고장의 흐름; 은행 지점에 대한 고객 요청의 흐름; 재화 및 용역 등을 신청하는 구매자의 흐름 사건 흐름 이론에서 중심 극한 정리와 유사한 정리가 유효하지만 확률 변수의 합을 다루지 않고 사건 흐름의 합을 다룬다. 많은 수의 독립적인 흐름으로 구성된 전체 흐름이 고려되며 그 중 어느 것도 전체 흐름에 주된 영향을 미치지 않습니다. 예를 들어, 전화 교환기에 도착하는 호출의 흐름은 개별 가입자로부터 발생하는 많은 수의 독립적인 호출 흐름으로 구성됩니다. 흐름의 특성이 시간에 의존하지 않는 경우 전체 흐름은 하나의 숫자, 즉 유량으로 완전히 설명된다는 것이 증명되었습니다. 전체 흐름에 대해 확률 변수를 고려합니다. 엑스- 연속 이벤트 사이의 시간 간격의 길이. 분포 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(10)

이 분포를 지수 분포라고 하는 이유는 지수 함수는 공식 (10)에 포함됩니다. 이자형 -λ 엑스... 수량 1 / λ는 스케일 매개변수입니다. 때때로 shift 매개변수도 도입됩니다. 와 함께, 지수는 확률 변수의 분포입니다. X + C어디에 분포 엑스식 (10)으로 주어진다.

지수 분포는 소위 말하는 특별한 경우입니다. Weibull - Gnedenko 배포판. 피로시험 결과를 분석하는 실무에 이러한 분포를 도입한 엔지니어 V. Weibull과 시험의 최대치를 연구할 때 극한 분포와 같은 분포를 받은 수학자 BV Gnedenko(1912-1995)의 이름을 따서 명명되었습니다. 결과. 허락하다 엑스- 제품의 기능 기간, 복잡한 시스템, 요소(즉, 자원, 제한 상태까지의 작동 시간 등), 기업의 운영 기간 또는 수명을 특징짓는 랜덤 변수 생명체 등 실패율이 중요한 역할을 합니다.

(11)

어디 에프(엑스) 그리고 에프(엑스) - 확률변수의 분포함수와 밀도 엑스.

고장률의 일반적인 동작을 설명하겠습니다. 전체 시간 간격은 세 기간으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 기능에서는 λ(x)높은 값과 명확한 감소 경향이 있습니다(대부분 단조롭게 감소함). 이것은 제품 단위의 고려된 배치에 명백하고 잠재적인 결함이 있어 이러한 제품 단위의 상대적으로 빠른 고장으로 설명될 수 있습니다. 첫 번째 기간을 "입주"(또는 "입주") 기간이라고 합니다. 보증 기간이 일반적으로 적용되는 것은 그에게 있습니다.

그 다음에는 거의 일정하고 상대적으로 낮은 고장률을 특징으로 하는 정상 작동 기간이 이어집니다. 이 기간 동안의 고장의 성격은 갑작스러운 성격(사고, 작업자의 조작 오류 등)이며 생산 단위의 가동 기간에 의존하지 않습니다.

마지막으로 작업의 마지막 기간은 노화와 마모의 기간입니다. 이 기간 동안의 고장은 재료의 돌이킬 수 없는 물리적, 기계적, 화학적 변화로 인해 생산 단위의 품질과 최종 고장이 점진적으로 악화됩니다.

각 기간에는 고유한 유형의 기능이 있습니다. λ(x)... 전력 종속성의 클래스를 고려하십시오.

λ (х) = λ 0bx b -1 , (12)

어디 λ 0 > 0과 비> 0 - 일부 숫자 매개변수. 가치 비 < 1, 비= 0 및 비> 1은 런인, 정상가동, 에이징 기간 동안의 고장률 유형에 해당한다.

주어진 실패율에서의 관계식 (11) λ(x)- 함수에 대한 미분방정식 에프(엑스). 미분 방정식 이론에서 다음과 같이 나옵니다.

(13)

(12)를 (13)에 대입하면 다음을 얻습니다.

(14)

공식 (14)로 주어진 분포를 Weibull - Gnedenko 분포라고 합니다. 하는 한

그런 다음 공식 (14)에서 수량은 다음과 같습니다. ㅏ공식 (15)에 의해 주어진 스케일 매개변수입니다. 때로는 shift 매개변수도 도입됩니다. Weibull - Gnedenko 분포 함수가 호출됩니다. 에프(엑스 - 씨), 어디 에프(엑스)는 일부 λ 0에 대해 식 (14)로 주어지며 비.

Weibull - Gnedenko 분포의 밀도는 다음 형식을 갖습니다.

(16)

어디 ㅏ> 0 - 스케일 매개변수, 비> 0 - 모양 매개변수, 와 함께시프트 매개변수입니다. 이 경우 매개변수 ㅏ공식 (16)에서 매개 변수와 관련이 있습니다. λ 식 (15)에 나타낸 관계식에 의해 식 (14)로부터 0.

지수 분포는 Weibull - Gnedenko 분포의 매우 특별한 경우이며 형상 매개변수의 값에 해당합니다. 비 = 1.

Weibull - Gnedenko 분포는 또한 개체의 동작이 "가장 약한 연결"에 의해 결정되는 상황의 확률 모델을 구성하는 데 사용됩니다. 이것은 가장 강도가 낮은 링크에 의해 안전이 결정되는 체인과의 유추를 의미합니다. 다시 말해서, 엑스 1 , 엑스 2 ,…, X n- 독립적으로 동일하게 분포된 랜덤 변수,

엑스 (1)= 분 ( X 1, X 2, ..., X n), 엑스(n)= 최대( X 1, X 2, ..., X n).

여러 응용 문제에서 중요한 역할은 다음과 같습니다. 엑스(1) 그리고 엑스(N) , 특히, 특정 값의 가능한 최대값("기록")을 연구할 때, 예를 들어 상업적 위험으로 인한 보험 지급 또는 손실, 강철의 탄성 및 내구성 한계, 여러 신뢰성 특성 등을 연구할 때 . 큰 n 분포에 대해 엑스(1) 그리고 엑스(N) , 일반적으로 Weibull - Gnedenko 분포로 잘 설명되어 있습니다. 분포 연구에 대한 기초 공헌 엑스(1) 그리고 엑스(N) 소비에트 수학자 B.V. Gnedenko에 의해 소개되었습니다. 경제, 관리, 기술 및 기타 영역에서 얻은 결과의 사용은 V. Weibull, E. Gumbel, V.B.의 작업 주제입니다. 네브조로바, E.M. Kudlaev 및 기타 많은 전문가.

감마 분포 패밀리로 넘어 갑시다. 그들은 기술, 기상학 등의 다양한 분야에서 경제 및 관리, 신뢰성 및 테스트의 이론 및 실제에 널리 사용됩니다. 특히 많은 상황에서 감마 분포는 제품의 전체 수명, 전도성 먼지 입자 사슬의 길이, 부식 중에 제품이 한계 상태에 도달하는 데 걸리는 시간 및 작동 시간까지 케이거절, 케이= 1, 2, ... 등 만성 질환 환자의 기대 수명은 치료 중 특정 효과를 얻는 시간이며 경우에 따라 감마 분포가 있습니다. 이 분포는 재고 관리(물류)의 경제 및 수학적 모델에서 수요를 설명하는 데 가장 적합합니다.

감마 분포의 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(17)

공식 (17)의 확률 밀도는 세 가지 매개 변수에 의해 결정됩니다. ㅏ, 비, 씨, 어디 ㅏ>0, 비> 0. 어디에서 ㅏ형식 매개변수이며, 비- 척도 매개변수 및 와 함께- 시프트 매개변수. 요인 1 / Γ (a)정규화되어 도입된다.

여기 Γ (a)- 수학에서 사용되는 특수 함수 중 하나인 소위 "감마 함수"로 식(17)에 의해 주어진 분포도 명명됩니다.

고정으로 ㅏ공식 (17)은 밀도가 있는 분포에 의해 생성된 분포의 규모 이동 패밀리를 정의합니다.

(18)

(18) 형식의 분포를 표준 감마 분포라고 합니다. 에서 식 (17)로부터 얻어진다. 비= 1 및 와 함께= 0.

에 대한 감마 분포의 특정 사례 ㅏ= 1은 지수 분포입니다( λ = 1 /비). 내츄럴한 ㅏ그리고 와 함께= 0 감마 분포를 Erlang 분포라고 합니다. 1908-1922년에 공부한 코펜하겐 전화 회사의 직원인 덴마크 과학자 K.A. Erlang(1878-1929)의 연구에서. 전화 네트워크의 기능, 대기열 이론의 개발이 시작되었습니다. 이 이론은 최적의 결정을 내리기 위해 응용 프로그램의 흐름이 서비스되는 시스템의 확률 통계적 모델링을 다룹니다. Erlang 분포는 지수 분포가 사용되는 동일한 응용 분야에서 사용됩니다. 이것은 다음과 같은 수학적 사실을 기반으로 합니다. 동일한 매개변수 λ 및 와 함께, 모양 매개변수가 있는 감마 분포가 있습니다. 에이 =케이, 스케일 매개변수 비= 1 / λ 및 이동 매개변수 kc... ~에 와 함께= 0 우리는 Erlang 분포를 얻습니다.

확률변수인 경우 엑스모양 매개변수가 있는 감마 분포가 있습니다. ㅏ그런 디 = 2 ㅏ- 정수, 비= 1 및 와 함께= 0, 다음 2 엑스다음과 같은 카이제곱 분포를 가집니다. 디자유도.

임의 값 엑스 gvmma 배포에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

기대값 남 (X) =ab + 씨,

변화 디(엑스) = σ 2 = ab 2 ,

변동 계수

어울리지 않음

과잉

정규 분포는 감마 분포의 제한적인 경우입니다. 보다 정확하게는 Z를 공식 (18)에 의해 주어진 표준 감마 분포를 갖는 랜덤 변수라고 하자. 그 다음에

임의의 실수에 대해 엑스, 어디 에프(x)- 표준 정규 분포 함수 N(0,1).

응용 연구에서는 다른 모수 분포 군도 사용되며 그 중 가장 유명한 것은 Pearson 곡선, Edgeworth 및 Charlier 시리즈입니다. 여기에서는 다루지 않습니다.

이산 확률론적 및 통계적 의사결정 방법에 사용되는 분포.가장 일반적으로 사용되는 이산 분포의 세 가지 계열(이항, 초기하 및 포아송)과 기타 계열(기하, 음의 이항, 다항, 음의 초기하 등)이 있습니다.

이미 언급했듯이 이항 분포는 독립적인 테스트에서 발생하며 각 테스트에서 확률이 있습니다. 아르 자형이벤트가 나타납니다 ㅏ... 총 검사 횟수인 경우 N주어진, 테스트의 수 와이이벤트가 나타난 곳 ㅏ, 이항 분포를 갖습니다. 이항 분포의 경우 확률 변수가 받아들일 확률 와이의미 와이공식에 의해 정의됩니다

조합의 수 N요소 와이조합으로 알려져 있습니다. 모든 와이, 제외 0, 1, 2, ..., N, 우리는 피(와이= 와이)= 0. 고정 표본 크기에 대한 이항 분포 N매개변수로 설정 피, 즉. 이항 분포는 1-모수 패밀리를 형성합니다. 샘플 연구 데이터 분석, 특히 소비자 선호도 연구, 단일 단계 관리 계획에 따른 제품 품질의 선택적 제어, 인구 통계학, 사회학, 의학, 생물학 등에서 개인의 인구를 테스트하는 데 사용됩니다.

만약에 와이 1 그리고 와이 2 - 동일한 매개변수를 갖는 독립 이항 확률 변수 피 0 부피가 있는 샘플에 의해 결정됨 N 1 그리고 N 2 따라서 와이 1 + 와이 2 는 분포(19)가 있는 이항 확률 변수입니다. 아르 자형 = 피 0 그리고 N = N 1 + N 2 ... 이 설명은 이항 분포의 적용 분야를 확장하여 이러한 모든 그룹이 동일한 매개변수에 해당한다고 믿을 만한 이유가 있는 경우 여러 시행 그룹의 결과를 결합할 수 있습니다.

이항 분포의 특성은 이전에 계산되었습니다.

중(와이) = NP, 디(와이) = NP( 1- 피).

이항 확률 변수에 대한 "사건 및 확률" 섹션에서 큰 수의 법칙이 증명됩니다.

누구에게나 . 중심극한정리를 사용하여 큰 수의 법칙은 와이/ N~와 다르다 아르 자형.

무아브르-라플라스 정리.모든 숫자와 비, ㅏ< 비, 우리는

어디 에프(엑스) 평균이 0이고 분산이 1인 표준 정규 분포 함수입니다.

그것을 증명하려면 표현을 사용하는 것으로 충분합니다. 와이개별 테스트의 결과에 해당하는 독립 확률 변수의 합으로 다음 공식 중(와이) 그리고 디(와이) 그리고 중심극한정리.

이 경우에 대한 정리 아르 자형= ½은 1730년 영국 수학자 A. Moivre(1667-1754)에 의해 증명되었습니다. 위 공식에서 1810년 프랑스 수학자 Pierre Simon Laplace(1749-1827)에 의해 증명되었습니다.

초기하 분포는 대체 기준에 따라 부피 N의 유한 개체 집합을 선택적으로 제어하는 ​​동안 발생합니다. 각 제어 대상은 속성이 있는 것으로 분류됩니다. ㅏ, 또는 이 기능이 없는 것으로 간주됩니다. 초기하 분포에는 확률 변수가 있습니다. 와이기능이 있는 객체의 수와 동일 ㅏ볼륨의 무작위 샘플에서 N, 어디 N< N... 예를 들어, 와이무작위 샘플 볼륨의 결함 품목 N배치 볼륨에서 N다음과 같은 경우 초기하 분포가 있습니다. N< N. 또 다른 예는 복권입니다. 기호를 보자 ㅏ티켓은 "승리"의 표시입니다. 모든 티켓을 보자 N, 그리고 일부 얼굴 획득 N그들의. 그러면 이 사람이 가지고 있는 당첨 티켓의 수는 초기하 분포를 갖습니다.

초기하 분포의 경우 확률 변수 Y가 값 y를 수락할 확률은 다음 형식을 갖습니다.

(20)

어디 디- 기능이 있는 개체의 수 ㅏ, 고려된 볼륨 세트에서 N... 어디에서 와이최대값(0, N - (N - 디))에서 분( N, 디), 서로 와이공식 (20)의 확률은 0입니다. 따라서 초기하 분포는 세 가지 매개 변수에 의해 결정됩니다. 일반 인구의 부피 N, 개체 수 디그것에, 고려된 기능을 소유 ㅏ, 그리고 표본 크기 N.

단순 무작위 볼륨 샘플링 N총 볼륨에서 N무작위 선택의 결과로 얻은 표본이라고 하며, N개체가 선택될 확률은 동일합니다. 응답자 (응답자) 또는 조각 제품의 샘플을 무작위로 선택하는 방법은 교육 방법론 및 규제 기술 문서에서 고려됩니다. 선택 방법 중 하나는 다음과 같습니다. 개체가 다른 개체를 선택하고 각 단계에서 집합의 나머지 개체 각각이 선택될 확률은 동일합니다. 문헌에서 고려 중인 샘플 유형에 대해 "무작위 샘플링" 및 "반환 없는 무작위 샘플링"이라는 용어도 사용됩니다.

일반 인구의 볼륨(배치)부터 N및 샘플링 N일반적으로 알려진 초기하 분포의 매개변수는 다음과 같습니다. 디... 제품 품질 관리의 통계적 방법에서 디- 일반적으로 로트의 불량품 수. 흥미로운 것은 분포의 특성이기도 합니다. 디/ N- 결함 수준.

초기하 분포의 경우

분산에 대한 표현식의 마지막 요인은 다음과 같은 경우 1에 가깝습니다. N>10 N... 동시에 교체하는 경우 피 = 디/ N, 그러면 초기하 분포의 수학적 기대와 분산에 대한 표현식이 이항 분포의 수학적 기대와 분산에 대한 표현식으로 바뀝니다. 이것은 우연이 아닙니다. 임을 나타낼 수 있다

~에 N>10 N, 어디 피 = 디/ N. 제한 관계가 유효합니다.

이 제한 관계를 사용할 수 있습니다. N>10 N.

세 번째로 널리 사용되는 이산 분포는 푸아송 분포입니다. 확률 변수 Y는 다음과 같은 경우 포아송 분포를 갖습니다.

,

여기서 λ는 푸아송 분포의 모수이고, 피(와이= 와이)= 다른 모든 항목에 대해 0 와이(y = 0의 경우 0! = 1로 표시됨). 포아송 분포의 경우

중(와이) = λ, 디(와이) = λ.

이 분포는 1837년에 처음으로 얻은 프랑스 수학자 S.D. Poisson(1781-1840)의 이름을 따서 명명되었습니다. Poisson 분포는 이항 분포의 제한적인 경우입니다. 아르 자형이벤트의 실행은 적지만 시도 횟수 N훌륭하고 NP= λ. 보다 정확하게는 제한 관계가 참입니다.

따라서 포아송 분포(구 용어 "분포 법칙"에서)는 종종 "희귀 사건의 법칙"이라고 불립니다.

포아송 분포는 이벤트 스트림 이론에서 발생합니다(위 참조). 일정한 강도 Λ를 갖는 가장 단순한 흐름에 대해 해당 시간 동안 발생한 이벤트(호출)의 수 티, 모수가 λ = Λ인 푸아송 분포가 있습니다. 티... 따라서 그 시간 동안 티이벤트가 발생하지 않습니다. 같음 이자형 - Λ 티, 즉. 사건 사이의 간격 길이의 분포 함수는 지수적입니다.

포아송 분포는 소비자의 표본 마케팅 설문 조사 결과를 분석하고 결함의 수락 수준의 값이 작은 경우 통계적 수락 제어 계획의 운영 특성을 계산하고 통계적으로 불규칙한 수를 설명하는 데 사용됩니다. 단위 시간당 제어된 기술 프로세스, 대기열 시스템에서 단위 시간당 접수된 "서비스 요청" 수, 사고 및 희귀 질병의 통계 패턴 등

이산 분포의 다른 모수 계열에 대한 설명과 실제 사용 가능성은 문헌에서 고려됩니다.

어떤 경우에는 예를 들어 신뢰성 문제에서 가격, 생산량 또는 총 MTBF를 연구할 때 분포 함수가 조사된 랜덤 변수의 값이 떨어질 수 없는 일부 구간에서 일정합니다.

정규 법칙에 따라 분포하는 확률 변수의 예로는 사람의 키, 잡은 한 종의 물고기의 질량이 있습니다. 정규 분포는 다음을 의미합니다. : 직관적으로 "정상"(그러나 실제로는 평균)으로 인식되는 한 종의 물고기 질량, 인간 키의 값이 있으며 서로 다른 것보다 훨씬 더 자주 상당히 큰 샘플에서 발견됩니다. 더 크거나 작은 방향.

연속 확률 변수의 정규 확률 분포(때로는 가우스 분포)는 평균에 대해 대칭인 이 분포의 밀도 함수가 벨 컷(빨간색 위 그림의 곡선).

표본에서 특정 값을 만날 확률은 곡선 아래 그림의 면적과 같으며, 정규 분포의 경우 값에 해당하는 "종"의 상단 아래에 있음을 알 수 있습니다. 평균으로 가는 경향, 면적, 따라서 확률은 가장자리 아래보다 큽니다. 따라서 우리는 이미 말한 것과 같은 것을 얻습니다. "정상"키의 사람을 만나고 "정상"체중의 물고기를 잡을 확률은 크거나 작은 방향이 다른 값보다 높습니다. 많은 실습에서 측정오차는 정상에 가까운 법칙에 따라 분포한다.

정규 분포의 밀도 함수를 보여주는 수업 시작 부분의 그림에서 다시 멈추도록 합시다. 이 함수의 그래프는 소프트웨어 패키지의 특정 데이터 샘플을 계산하여 얻은 것입니다. 통계... 그 위에 히스토그램의 열은 샘플 값의 간격을 나타내며, 그 분포는 빨간색인 정규 분포의 밀도 함수의 실제 그래프에 가깝습니다(또는 통계에서 말했듯이 곡선. 그래프는 이 곡선이 실제로 종 모양임을 보여줍니다.

정규 분포는 연속 확률 변수와 표준 편차의 수학적 기대값만 알면 이 양과 관련된 모든 확률을 계산할 수 있다는 사실 때문에 여러 면에서 가치가 있습니다.

정규 분포는 또한 사용하기 가장 쉬운 것 중 하나라는 장점이 있습니다. 통계적 가설을 테스트하는 데 사용되는 통계 테스트 - 스튜던트 t 테스트- 표본 데이터가 정규 분포 법칙을 따르는 경우에만 사용할 수 있습니다.

연속 확률 변수 정규 분포의 밀도 함수다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

,

어디 엑스- 변수의 값, - 평균, - 표준편차, 이자형= 2.71828 ... 자연 로그의 밑수, = 3.1416 ...

정규 분포 밀도 함수 속성

평균의 변화는 정규 분포 곡선을 축 방향으로 이동합니다. 황소... 증가하면 곡선이 오른쪽으로 이동하고 감소하면 곡선이 왼쪽으로 이동합니다.

표준 편차가 변경되면 곡선 상단의 높이가 변경됩니다. 표준편차가 커질수록 곡선의 상단은 높아지고 표준편차가 줄어들수록 낮아진다.

주어진 간격에서 정규 분포의 확률 변수 값에 도달할 확률

이 섹션에서 이미 실용적인 문제를 해결하기 시작할 것입니다. 그 의미는 제목에 나와 있습니다. 이론이 문제 해결을 위해 제공하는 가능성을 분석해 봅시다. 정규 분포 확률 변수가 주어진 구간에 속할 확률을 계산하기 위한 시작 개념은 누적 정규 분포 함수입니다.

누적 정규 분포 함수:

.

그러나 평균과 표준편차의 가능한 모든 조합에 대한 표를 얻는 것은 문제가 있습니다. 따라서 정규 분포 확률 변수가 주어진 구간에 속할 확률을 계산하는 가장 간단한 방법 중 하나는 표준화된 정규 분포에 대한 확률 표를 사용하는 것입니다.

표준화 또는 정규화는 정규 분포입니다., 평균은 이고 표준편차는 이다.

표준화된 정규 분포의 밀도 함수:

.

표준화된 정규 분포의 누적 함수:

.

아래 그림은 소프트웨어 패키지에서 특정 데이터 샘플을 계산하여 얻은 그래프인 표준화된 정규 분포의 누적 함수를 보여줍니다. 통계... 그래프 자체가 빨간색 곡선이고 샘플 값이 이에 접근합니다.

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랜덤 변수의 표준화는 작업에 사용된 원래 단위에서 표준화된 단위로의 전환을 의미합니다. 표준화는 공식에 따라 수행됩니다.

실제로 확률 변수의 가능한 모든 값을 알 수 없는 경우가 많기 때문에 평균과 표준 편차를 정확하게 결정할 수 없습니다. 관측값과 표준 편차의 산술 평균으로 대체됩니다. 에스... 규모 지표준 편차를 측정할 때 산술 평균에서 확률 변수 값의 편차를 나타냅니다.

오픈 인터벌

거의 모든 통계 책에서 볼 수 있는 표준화된 정규 분포에 대한 확률 테이블에는 확률 변수가 표준화된 정규 분포를 가질 확률이 포함되어 있습니다. 지특정 숫자보다 작은 값을 취합니다 지... 즉, 마이너스 무한대에서 열린 간격으로 떨어집니다. 지... 예를 들어, 수량 지 1.5보다 작으면 0.93319와 같습니다.

예 1.이 회사는 일반 수명이 1000시간이고 표준 편차가 200시간인 부품을 생산합니다.

무작위로 선택한 부품에 대해 서비스 수명이 최소 900시간이 될 확률을 계산합니다.

해결책. 첫 번째 표기법을 소개하겠습니다.

확률을 추구합니다.

확률 변수의 값은 열린 구간에 있습니다. 그러나 우리는 확률변수가 주어진 값보다 작은 값을 취할 확률을 계산하는 방법을 알고 있으며, 문제의 조건에 따라 주어진 값보다 크거나 같은 값을 찾아야 합니다. 이것은 종의 밀도 곡선 아래 공간의 다른 부분입니다. 따라서 원하는 확률을 찾으려면 확률 변수가 주어진 900보다 작은 값을 취할 언급된 확률을 1에서 빼야 합니다.

이제 확률 변수를 표준화해야 합니다.

우리는 계속해서 표기법을 소개합니다:

지 = (엑스 ≤ 900) ;

엑스= 900 - 랜덤 변수의 주어진 값;

μ = 1000 - 평균값;

σ = 200 - 표준 편차.

이 데이터를 기반으로 문제의 조건은 다음과 같습니다.

.

표준화된 확률변수(간격 경계) 표에 따름 지= −0.5는 0.30854의 확률에 해당합니다. 화합에서 빼서 문제 설명에서 필요한 것을 얻으십시오.

따라서 부품이 최소 900시간 동안 지속될 확률은 69%입니다.

이 확률은 MS Excel NORM.DIST 함수를 사용하여 얻을 수 있습니다(적분 값은 1).

피(엑스≥900) = 1 - 피(엑스≤900) = 1 - NORM.DIST(900, 1000, 200, 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

MS Excel의 계산 정보 - 이 단원의 후속 단락 중 하나.

예 2.어떤 도시에서는 평균 가족 소득이 평균값이 300,000이고 표준편차가 50,000인 정규 분포 랜덤 변수입니다. ㅏ... 가치를 찾아라 ㅏ.

해결책. 이 문제에서 40%는 확률 변수가 문자로 표시된 특정 값보다 작은 열린 구간에서 값을 취할 확률에 불과합니다. ㅏ.

크기를 찾기 위해 ㅏ, 먼저 적분 함수를 구성합니다.

문제의 상태에 따라

μ = 300000 - 평균값;

σ = 50,000 - 표준 편차;

엑스 = ㅏ- 찾을 값.

작곡 평등

.

통계 테이블에 따르면 확률 0.40은 간격 경계 값에 해당합니다. 지 = −0,25 .

따라서 우리는 평등을 구성합니다.

솔루션을 찾으십시오.

ㅏ = 287300 .

답변: 40%의 가족이 287,300달러 미만의 소득을 가지고 있습니다.

닫힌 간격

많은 문제에서 정규 분포 확률 변수가 다음 범위의 값을 취할 확률을 찾는 것이 필요합니다. 지 1 ~ 지 2. 즉, 닫힌 간격에 속합니다. 이러한 문제를 해결하려면 표에서 구간의 경계에 해당하는 확률을 찾은 다음 이러한 확률의 차이를 찾아야 합니다. 이를 위해서는 큰 값에서 작은 값을 빼야 합니다. 이러한 일반적인 문제에 대한 솔루션의 예는 다음과 같으며, 이를 독립적으로 해결하도록 제안하고 올바른 솔루션과 답변을 볼 수 있습니다.

예 3.특정 기간 동안 기업의 이윤은 확률변수이며 평균값은 0.5백만입니다. 및 0.354의 표준 편차. 소수점 이하 두 자리의 정확도로 기업의 이익이 0.4에서 0.6 c.u 사이가 될 확률을 결정하십시오.

예 4.생산할 부품의 길이는 매개변수가 있는 정규 법칙에 따라 분포된 랜덤 변수입니다. μ = 10 및 σ = 0.071. 부품의 허용 치수가 10 ± 0.05인 경우 소수점 이하 두 자리의 정확도로 결혼 확률을 찾으십시오.

힌트: 이 문제에서는 확률변수가 닫힌 구간에 들어갈 확률(불량품이 아닌 부품을 얻을 확률)을 찾는 것 외에도 한 가지 작업을 더 수행해야 합니다.

표준화된 값이 지덜하지 않다 -지그리고 더 이상 + z, 어디 지- 표준화된 랜덤 변수의 임의로 선택된 값.

분포의 정규성을 확인하는 대략적인 방법

표본 값 분포의 정규성을 확인하는 대략적인 방법은 다음을 기반으로 합니다. 정규 분포의 속성: 비대칭 계수 β 1 첨도 계수 β 2 0과 동일.

비대칭 계수 β 1 평균에 대한 경험적 분포의 대칭성을 수치적으로 특성화합니다. 왜도 계수가 0이면 산술 평균, 중앙값 및 최빈값이 동일하며 분포 밀도 곡선은 평균에 대해 대칭입니다. 왜도 계수가 0보다 작은 경우 (β 1 < 0 ), 산술 평균은 중앙값보다 작고 중앙값은 차례로 모드()보다 작습니다. 곡선이 오른쪽으로 이동합니다(정규 분포에 비해). 왜도 계수가 0보다 큰 경우 (β 1 > 0 ), 산술 평균은 중앙값보다 크고 중앙값은 모드()보다 큽니다. 곡선이 왼쪽으로 이동합니다(정규 분포에 비해).

첨도 계수 β 2 축 방향으로 산술 평균 주위의 경험적 분포의 집중을 특징으로 합니다. 오이분포 밀도 곡선의 정점 정도. 첨도 계수가 0보다 크면 곡선이 더 길어집니다(정규 분포에 비해)축을 따라 오이(그래프가 더 뾰족함). 첨도 계수가 0보다 작으면 곡선이 더 평평해집니다(정규 분포에 비해)축을 따라 오이(그래프가 더 무딘).

스큐 계수는 MS Excel SKOS 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 하나의 데이터 배열을 확인하는 경우 "숫자" 하나의 상자에 데이터 범위를 입력해야 합니다.

첨도 계수는 MS Excel EXCESS 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 하나의 데이터 배열을 확인할 때 하나의 상자 "숫자"에 데이터 범위를 입력하는 것만으로도 충분합니다.

따라서 이미 알고 있듯이 정규 분포에서 왜도와 첨도 계수는 0입니다. 그러나 왜도 계수가 -0.14, 0.22, 0.43이고 첨도 계수가 0.17, -0.31, 0.55와 같으면 어떻게 될까요? 실제로 우리는 불가피하고 통제할 수 없는 산포의 대상이 되는 비대칭 및 첨도의 대략적이고 선택적 값만 다루기 때문에 질문은 매우 공정합니다. 따라서 이러한 계수를 0으로 엄격하게 동등하게 요구하는 것은 불가능하며 0에 충분히 가까워야 합니다. 그러나 그것이 의미하는 바는 무엇입니까?

얻은 경험적 값을 허용 가능한 값과 비교할 필요가 있습니다. 이렇게하려면 다음 부등식을 확인해야합니다 (계수의 계수 값을 임계 값과 비교 - 가설 테스트 영역의 경계).

비대칭 계수의 경우 β 1 .