직접 온라인 계산기 방정식. 일반 방정식 직접 : 설명, 예제, 작업 해결
포인트와 보통 벡터를 지나가는 방정식을 고려하십시오. 좌표계에서 포인트와 0이 아닌 벡터 (그림 1)가 설정됩니다.
정의
우리가 보면, 벡터의 방향에 수직 인 포인트를 통과하는 유일한 직선이 있습니다 (이 경우라고합니다. 일반 벡터 똑바로).
무화과. 하나
우리는 선형 방정식을 증명합니다
이 방정식은 똑바로, 즉 각 포인트의 좌표가 방정식 (1)을 직접 만족 시키지만 거짓말하지 않는 지점의 좌표를 만족시키지 못합니다.
증명하기 위해주의를 기울이십시오 스칼라 곱 좌표 형태의 벡터 및 \u003d 방정식 (1)의 왼쪽 부분과 일치합니다.
더 많은 분명한 특성을 직접 사용하십시오 : 벡터와 수직 점이 있고, 포인트가 켜져있는 경우에만. 그리고 두 벡터의 수직도의 조건 하에서, 그들의 스칼라 제품 (2)은 모든 점에 대해, 그 (것)들을 거짓말하고, 그들을위한 것만으로 만듭니다. 그래서, (1) - 방정식은 똑바합니다.
정의
방정식 (1)이 호출됩니다 방정식은 똑바로 이루어져 있습니다 이 점 정상적인 벡터 \u003d.
방정식 (1)
표시 \u003d, Get.
따라서, 직선은 형태 (3)의 선형 방정식에 해당한다. 반대로, 계수 중 적어도 하나가 0이 아닌 데이터 방정식 (3)으로 인해, 직선을 구축 할 수있다.
실제로, 쌍의 숫자가 방정식 (3)을 만족시키는 것, 즉
(3)에서 마지막으로 찍은, 우리는 직접 벡터와 점을 정의하는 관계를 얻습니다.
일반 방정식 직접 연구
어떤 경우에는 숫자 중 하나 또는 두 개의 숫자가 0 일 때 직접 배치의 기능을 아는 것이 유용합니다.
1. 일반 방정식 그처럼 보입니다. 그는 요점을 만족시켜 직접이 좌표의 원점을 통과한다는 것을 의미합니다. \u003d - x (그림 2 참조)를 작성할 수 있습니다.
무화과. 2.
우리는 믿습니다:
당신이 넣으면 다른 점이 밝혀졌습니다 (그림 2 참조).
2. 그런 다음 방정식은 그 것처럼 보입니다. \u003d -. 정상적인 벡터는 축에 놓여 있습니다. 따라서 직접 직접은 점에서 수직이거나 축과 평행합니다 (그림 3 참조). 특히, 방정식은 종축 축 방정식이다.
무화과. 삼.
3. 마찬가지로 방정식이 기록됩니다. 벡터 축 속도입니다. 지점에서 직접 (그림 4).
이면 축 방정식.
이 연구는이 형태로 공식화 될 수 있습니다. 좌표축에 평행 한 것으로, 전반적인 방정식에서 결석하는 변화가 변경됩니다.
예 :
우리는 그것들이 0과 같지 않은 것을 제공하는 전체 방정식에 따라 직선을 구축합니다. 이렇게하려면이 직선에 거짓말하는 두 점을 찾을 수 있습니다. 이러한 점은 때로는 좌표축을 찾는 것이 더 편리합니다.
다음, 다음 \u003d -.
AT, 다음 \u003d -.
destote - \u003d, - \u003d. 포인트를 찾았습니다. 나는 축을 연기하고 그 (것)들을 통해 직접 지출 할 것입니다 (그림 5 참조).
무화과. 다섯
일반에서 숫자가 포함될 방정식으로 이동할 수 있습니다.
그리고 나서 그것은 밖으로 밝혀졌습니다.
또는, 지정에 따르면, 우리는 방정식을 얻는다.
그것은 무엇을 부릅니다 세그먼트의 스트레이트 방정식...에 기호에 대한 숫자와 정확도는 좌표축에서 직선을 차단하는 세그먼트와 같습니다.
각도 계수가있는 직선 방정식
방정식이 각도 계수가있는 직선인지 알아 보려면 방정식 (1)을 고려하십시오.
표시 - \u003d, Get.
방정식은 지정된 방향으로 지점을 통과하는 선입니다. 계수의 기하학적 함량은도 4로부터 명백하다. 6.
b \u003d \u003d, 여기서, 여기서 - 그것이 직선과 결합하기 전에 공통 점 주위의 양의 축 방향을 돌려야하는 가장 작은 각도. 분명히, 각도가 날카 롭다면, 제목 \u003d "(! lang : QuickText에 의해 렌더링" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}
(5)에서 브래킷을 회상하고 단순화하십시오 :
어디. 관계 (6) - 방정식 각도 계수로 직접...에 언제, 축에서 직선을 끄는 세그먼트 (그림 6 참조).
노트!
일반 방정식에서 전환하기 위해, 각도 계수가있는 방정식으로 직접적으로 비교적 해결되어야합니다.
무화과. 6.
\u003d - x + - \u003d
표시 \u003d -, \u003d -. 일반 방정식 연구에서 이미 직접 수직 축이 이미 알려져 있습니다.
예제의 도움으로 정식 방정식을 라인에 고려하십시오.
좌표계에서, 점 및 0이 아닌 벡터가 설정된다고 가정하십시오 (그림 7).
무화과. 7.
가이드 벡터라고하는 벡터와 평행 한 점을 통과하는 방정식 직접을 작성해야합니다. 임의의 지점은이 라인에만 속한 경우에만 있습니다. 벡터가 설정되고 벡터를 설정하면 병렬 처리 조건에 따라 이들 벡터의 좌표는 비례합니다.
정의
관계 (7)는 주어진 방향으로 지정된 지점을 통과하는 직접 방정식이라고 불리우며, 표준식 방정식은 직선입니다.
우리는 예를 들어, 직접의 무리의 방정식으로부터 타입 (7)의 방정식을 진행할 수 있음을 주목한다.
또는 지점과 정상 벡터를 통해 방정식에서 직선으로 인해 :
가이드 벡터 - 0이 아닌 것으로 가정되었지만 예를 들어 좌표 중 하나가 발생할 수 있습니다. 그런 다음 표현식 (7)은 공식적으로 기록됩니다.
이는 전혀 의미가 없습니다. 그러나, 직접 수직 축의 방정식이 취해지고 획득된다. 실제로, 직접이 가이드 벡터에 의해 축에 수직인지에 의해 결정되는 방정식에서 볼 수 있습니다. 이 방정식에서 분모를 없애면 다음을 얻습니다.
하나 - 직접 수직 축 방정식. 마찬가지로 벡터에 대해 얻을 수 있습니다.
파라 메트릭 방정식 Direct.
이러한 파라 메트릭 방정식이 직접적으로이를 이해하기 위해, 식 (7)으로 돌아가서 각 분율 (7)을 매개 변수에 동등해야합니다. (7)의 명세서 중 적어도 하나는 0이 아니고 해당 분자가 임의의 값을 획득 할 수 있기 때문에, 파라미터 변경 영역은 전체 숫자 축이다.
정의
방정식 (8)을 파라 메트릭 방정식이라고합니다.
직선에 대한 작업의 예
물론, 정의에 의해 독점적으로 무언가를 해결하는 것은 어렵습니다. 따라서 비슷한 작업이 종종 시험 및 테스트를 통해 발생하기 때문에 직선의 주요 작업을 살펴 \u200b\u200b보겠습니다.
표준 및 파라 메트릭 방정식
예제 1.
방정식에 의해 주어진 직선 에서이 선의 지점에서 10 단위의 거리에있는 지점을 찾으십시오.
결정:
멎게 해줘 원한다 똑바로 지점을 가리킨 다음 거리를 씁니다. 을 고려하면 . 포인트가 정상적인 벡터를 가진 직선에 속해 있기 때문에 방정식이 직접 작성됩니다. \u003d \u003d 그리고 나서 그것은 밖으로 밝혀졌습니다.
그런 다음 거리. 상태 또는 파라 메트릭 방정식에서 :
예 2.
작업
점은 출발점에서 벡터의 방향으로 속도로 균일하게 움직입니다. 이동의 시작 부분에서 점 좌표를 찾으십시오.
결정
먼저 단일 벡터를 찾아야합니다. 좌표는 코사인 가이드입니다.
속도 벡터 :
x \u003d x \u003d.
정식 방정식은 직접 기록됩니다.
\u003d \u003d, \u003d - 파라 메트릭 방정식. 그런 다음 직접의 파라 메트릭 방정식을 활용해야합니다.
결정:
방정식은 직접의 무리를 찾는 지점을 통과하는 선입니다. 코너 계수 직접 및 \u003d 직선을 위해.
도면을 고려하면 똑바로 두 개의 각도 사이에서 볼 수있는 곳 : 날카 롭고 두 번째는 어리 석다. 식 (9)에 따르면, 이것은 직선 사이의 각도이고, 직선과 결합하기 전에 교차점에 대해 직접 반 시계 방향으로 회전해야합니다.
그래서, 수식은 각도가 알아 냈고 이제는 예제로 돌아갈 수 있습니다. 그래서, 공식 (9)을 고려해 보면, 우리는 처음으로 교정실의 방정식을 발견합니다.
포인트에 대한 각도로 직선의 회전이 직선과 조합되기 때문에, 화학식 9에서, a. 방정식에서 :
빔 수식에 따라 직접 방정식이 기록됩니다.
마찬가지로, 찾아, 그리고
직접 방정식 :
방정식은 라인입니다. 방정식 유형은 직선 : 포인트, 일반, 표준, 파라 메트릭 등을 통과합니다. 업데이트 됨 : 2019 년 11 월 22 일 저자 : 과학적 기사.
정의.데카르트 직사각형 좌표계에서, 구성 요소 (a, b)를 갖는 벡터는 식 ah + w + c \u003d 0으로 지정된 직선에 수직이다.
예...에 벡터 (3, -1)에 수직 인 포인트 A (1, 2)를 지나가는 방정식을 발견하십시오.
결정...에 우리는 A \u003d 3 및 b \u003d -1 방정식 직접 : 3x - y + c \u003d 0으로 형성됩니다. 결과 발현을 대체하여 계수를 찾으려면 주어진 지점 A의 좌표 : 3 - 2 + C \u003d 0, 따라서 c \u003d -1. 합계 : 원하는 방정식 : 3x - y - 1 \u003d 0.
방정식은 직접 두 포인트를 통과합니다
공간 2 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 m 2 (x 2, y 2, z 2)가 주어지면 방정식 이이 점을 지나가고 있습니다.
분모가 0 인 경우 해당 분자가 균등해야합니다. 방정식 직접 위에 기록 된 비행기는 단순화됩니다.
x 1 ≤ x 2 및 x \u003d x 1, x 1 \u003d x 2 인 경우.
분수 \u003d k 불렀다 각도 계수직진.
예...에 포인트 A (1, 2) 및 (3, 4)를 지나가는 방정식을 찾아보십시오.
결정. 위에 기록 된 수식을 적용하면 다음과 같습니다.
포인트와 각도 계수에 직접 방정식
일반 방정식이 직선 인 경우 AH + VO + C \u003d 0이 마음으로 이어집니다.
알림 
그런 다음 결과 방정식이 호출됩니다 각도 계수가있는 직선 방정식케이..
포인트와 가이드 벡터에 직접 방정식
정상의 벡터를 통해 방정식을 고려할 수있는 항목이있는 항목과 비슷한 경우, 점과 줄 안내선 벡터 위에 직접 태스크를 입력 할 수 있습니다.
정의.각각의 0이 아닌 벡터 (α1, α 2), 조건을 만족시키는 구성 요소와 α 1 + α 2 \u003d 0에서 직접 버전 벡터라고합니다.
AH + W + C \u003d 0.
예. 가이드 벡터 (1, -1)의 라인 방정식을 찾아서 A (1, 2)를 지점을 통과시킵니다.
결정. 원하는 선의 방정식은 다음과 같습니다. AX + by + c \u003d 0. 정의에 따라 계수는 조건을 충족해야합니다.
1 * a + (-1) * b \u003d 0, 즉. A \u003d V.
그런 다음 직접 방정식은 AX + ay + c \u003d 0 또는 x + y + c / a \u003d 0에서 x \u003d 1, y \u003d 2에서 c / a \u003d -3, 즉, 원하는 방정식 :
방정식 직접 세그먼트에서
직접 AH + V / C \u003d 0 S ≠ 0의 전반적인 방정식에서 온 - ° C를 분리하면 다음을 얻습니다. 
또는
계수의 기하학적 의미는 계수가 계수입니다. 그러나 축을 사용하여 직접 교차점의 좌표점이며 비. - OU 축을 사용하여 직선의 교차점의 좌표점.
예. 일반적인 방정식은 X-Y + 1 \u003d 0으로 직접 설정됩니다.이 똑바로 세그먼트에서 방정식을 찾으십시오.
C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.
정상적인 방정식은 직접적입니다
방정식 AH + V / C \u003d 0의 두 부분이 숫자로 나눈 경우 
불리창 승수를 정상화합니다, 나는 얻다
xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -
정상적인 방정식은 똑바합니다. μ *가 μ를 선택하여 ± 표준화를 선택해야합니다.< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
예...에 총 방정식은 직선 12x - 5th-65 \u003d 0으로 제공됩니다.이 라인의 다양한 유형의 방정식을 작성해야합니다.
세그먼트 의이 줄의 방정식 : 
각도 계수가있는이 직선의 방정식 : (5를 나누어)
정상 방정식 직접 :
; cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.
c 조리법은 모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현 될 수 있으며, 예를 들어 직선, 평행 축 또는 원점을 통과 할 수 있습니다.
예...에 좌표축의 직접 구획은 양수 세그먼트와 동일합니다. 이 세그먼트가 형성된 삼각형의 면적이 8cm 2 인 경우 방정식을 똑바로 만드십시오.
결정. 방정식 직접은 다음과 같은 형식을 가지고 있습니다 : ab / 2 \u003d 8; a \u003d 4; - 원. A \u003d -4는 작업 조건에 적합하지 않습니다. 합계 : 또는 x + y - 4 \u003d 0.
예...에 포인트 A (-2, -3) 및 좌표의 시작을 통해 직접 전달하는 방정식을 만듭니다.
결정.
직접 방정식에는 다음이 있습니다. 
여기서 x 1 \u003d 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.
방정식을 예제에서 두 점을 지나가는 방법을 고려하십시오.
예제 1.
포인트 A (-3, 9) 및 B (2; -1)를 지나치게 통과하는 방정식을 만드십시오.
1 방법 - 각도 계수로 직접 방정식을 만듭니다.
각도 계수로 직접의 방정식은 형태 를가집니다. 포인트 A와 B의 좌표를 직선 방정식 (x \u003d -3 및 y \u003d 9 - 첫 번째 경우, x \u003d 2, y \u003d -1 - 1)에서 우리는 우리가 k 및 b의 값을 찾으십시오.
1 차 및 제 2 방정식을 접는 후, 우리는 k \u003d -2 인 곳에서 -10 \u003d 5K를 얻습니다. 두 번째 방정식 K \u003d -2로 대체하면 b : -1 \u003d 2 · (-2) + b, b \u003d 3을 찾습니다.
따라서 Y \u003d -2x + 3은 원하는 방정식입니다.
2 방법 - 일반 방정식 직접 금액.
일반 방정식 직접은 양식을 가지고 있습니다. 포인트 A와 B의 좌표를 방정식으로 대체하면 시스템을 얻습니다.
방정식 수보다 알려지지 않은 수이기 때문에 시스템은 풀 수 없습니다. 그러나 모든 변수를 하나로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 비아 b.
첫 번째 시스템 방정식을 -1에 곱하고 두 번째로 접는 후면을 곱하십시오.
우리는 다음과 같습니다 : 5A-10B \u003d 0. 여기에서 A \u003d 2b.
생성 된 발현을 두 번째 방정식으로 대체합니다. 2 · 2B -B + C \u003d 0; 3B + C \u003d 0; C \u003d -3b.
우리는 A \u003d 2B, C \u003d -3B를 방정식 AX + + C \u003d 0으로 대체합니다.
2BX + BY-3B \u003d 0. 두 부분을 B : 모두 나누기 위해 남아 있습니다.
총 방정식은 각도 계수가있는 직접 방정식으로 쉽게 구동됩니다.
3 방법 - 직접 2 점을 통과하는 방정식을 구성합니다.
두 포인트를 통과하는 직접적인 방정식은 다음과 같습니다.
이 방정식의 대체물 A (-3, 9) 및 B (2; -1)의 좌표
(즉, x 1 \u003d -3, y 1 \u003d 9, x 2 \u003d 2, y 2 \u003d -1) :
단순화 :
여기서 2x + y-3 \u003d 0.
에 학교 과정 방정식은 직접 계수에서 가장 자주 사용됩니다. 그러나 두 점을 지나가는 방정식 직접의 공식을 유도하고 사용하는 가장 쉬운 방법은
논평.
지정된 점의 좌표를 대체 할 때 방정식의 분모 중 하나 인 경우
그것은 0으로 밝혀지면, 원하는 방정식은 해당 분자의 0과 동일하게 얻어집니다.
예 2.
2 점 C (5; -2) 및 D (7; -2)를 통과하는 직선의 방정식을 만듭니다.
우리는 2 점, 포인트 C와 D의 좌표를 통과하는 방정식을 직접 대체합니다.
이 기사는 받았습니다 직접 두 개의 설정 값을 통과하는 방정식 평면의 직사각형 사각형의 좌표계뿐만 아니라 방정식은 직사각형 좌표계에서 2 차원 좌표계에서 2 개의 지정된 점을 통과합니다. 이론을 제시 한 후,이 솔루션의 두 점의 좌표가 알려질 때 직선 차이의 방정식이 요구되는 구체적인 예 및 작업이 표시됩니다.
페이지 탐색.
방정식은 평면의 두 가지 지정된 점을 지나가는 직접적으로 전달됩니다.
평면의 직사각형 좌표계에서 두 개의 설정 값을 통과하는 방정식을 얻기 전에 몇 가지 사실을 회상합니다.
기하학의 공리 중 하나는 평면의 두 개의 눈에 띄지 않는 지점을 통해 유일하게 직접적으로 수행 될 수 있다고 말합니다. 즉, 평면에 두 점을 지정하면이 두 점을 통과하는 직접 라인을 확실히 결정합니다 (필요한 경우 라인을 평면에 선을 설정하는 방법을 참조하십시오).
비행기에 산소가 고정되도록하십시오. 이 시스템에서는 모든 직선의 좌표가 평면에서 직접적인 방정식에 해당합니다. 동일한 직선을 사용하면 뗄 수 없으므로 직접 연결됩니다. 이러한 지식은 두 가지 지정된 점을 통과하는 방정식을 직접적으로 추출 할 수있을만큼 충분합니다.
우리는 문제의 상태를 공식화합니다. 방정식 직접 A를 사용하여 산소 좌표의 직사각형 데카르트 시스템에서 두 개의 일관성없는 포인트를 통과합니다.
우리는이 작업에 가장 쉽고 대부분의 범용 해결책을 보여줍니다.
우리는 정식 방정식이 종의 비행기에 직접적이라는 것을 압니다. 
지점을 통과하고 가이드 벡터를 갖는 직사각형 산소 좌표계 직접 라인을 지정합니다.
우리는 두 개의 설정 값을 통과하는 직접적인 A 지구 방정식을 작성합니다.
분명히 포인트 m 1과 m 2를 통과하는지도 가이드 벡터는 벡터이며, 좌표가 있습니다 
(필요한 경우, 기사 참조). 따라서 우리는 가이드 벡터의 정식 방정식 직접 A 좌표를 쓰는 데 필요한 모든 데이터를 가지고 있습니다. 
그리고 그것에 누워있는 포인트의 좌표. 그것은보기가 있습니다 
(또는 
).
우리는 두 점을 지나가는 평면에서 직접적인 매개 변수 방정식을 기록 할 수 있습니다. 그들은 모양이 있습니다 
또는 
.
우리는 예제의 해결책을 분석 할 것입니다.
예.
두 개의 설정 값을 통과하는 직접 방정식을 작성하십시오. 
.
결정.
우리는 정식 방정식이 좌표가있는 두 점을 지나서 직접적으로 전달하고 있으며, .
우리가 가진 과제의 조건에서 
...에 이 데이터를 방정식으로 대체하십시오 ...에 받다 
.
대답:
.
직접적인 방정식이 아니라 직접의 파라 메트릭 방정식이 아니라, 두 개의 지정된 포인트를 통과하지만, 직접 다른 유형의 방정식을 지나서, 당신은 항상 그것에 올 수 있습니다.
예.
평면의 직사각형 산소 좌표계에서 평면의 직사각형 oxy 좌표계에서 두 점을 통과하는 일반적인 방정식을 직접 만드십시오.
결정.
먼저 두 개의 설정 값을 통과하는 직접 전달에 정식 방정식을 작성합니다. 그것은 외모가 있습니다. 이제 우리는 획득 한 방정식을 필요한 유형으로 제공합니다.
대답:
.
이것은 평면의 직사각형 좌표계에서 두 개의 설정 값을 통과하는 직접 방정식으로 완료 될 수 있습니다. 그러나 우리가 그런 일을 해결할 때 우리가 생각 나게하고 싶습니다. 고등학교 수업 대수학에.
학교에서 우리는 종의 각도 계수로 직선 방정식을 알고있었습니다. 방정식이 평면상의 직사각형 좌표계 산란을 결정하는 각도 계수 K와 숫자 B의 값을 찾아서, 포인트 및 AT를 통과시킨다. (x 1 \u003d x 2 인 경우 직접의 각도 계수가 무한하고 직접 m 1 m 2가 총 불완전 방정식을 결정합니다 종 X-X. 1 =0 ).
포인트 M 1과 M 2가 줄에 놓여 있기 때문에,이 점의 좌표는 직접 방정식, 즉 평등 및. 형태의 방정식 시스템을 해결합니다 
비교적 알려지지 않은 변수 K와 B, 우리는 찾습니다 
또는 
...에 K와 B의 이러한 값에서 직접 방정식이 두 점을 통과하고 양식을 취합니다. 
또는 
.
이러한 수식이 의미가 없으면 예를 해결할 때 지정된 작업을 반복하는 것이 더 쉽습니다.
예.
이 직접이 지점을 통과하면 각도 계수로 직선에 방정식을 작성하십시오.
결정.
일반적인 경우에는 각도 계수가있는 직선 방정식이 보입니다. 방정식이 2 점을 통과하는 직접 통과하는 k 및 b를 찾습니다.
포인트 M 1과 M 2가 라인에 놓이기 때문에 좌표는 라인 방정식을 만족시킵니다. 즉, 평등이 사실입니다. 
과. 값 K와 B는 방정식 시스템의 해결책으로 
(필요한 경우, 기사 참조) : 
발견 된 가치와 방정식을 대체하기 위해 남아 있습니다. 따라서, 두 점을 통해 직접 전달하는 원하는 방정식이며 형태를 갖는다.
chapive 일, 그렇지?
두 점을 지나치게 지나가는 표준 방정식을 직접 기록하는 것이 훨씬 쉽습니다. 
각도 계수로 직접 방정식으로 이동하기 위해 이동합니다.
대답:
방정식은 3 차원 공간에서 두 개의 설정 값을 통과하는 방정식입니다.
3 차원 공간으로 가정하면 직사각형 좌표계 Oxyz가 기록되고 두 개의 일관성없는 점이 지정됩니다. 
과 
직선 M1 m 2가 통과하는 우리는이 똑바로 방정식을 얻습니다.
우리는 정식 방정식이 종의 공간에서 직접적이라는 것을 압니다. 
및보기 공간에서 직접 파라 메트릭 방정식 
좌표가있는 지점을 통과하고 가이드 벡터가있는 직사각형 좌표계 옥시 Z 직통 전화를 지정하십시오. 
.
직접 M 1 M 2 가이드 벡터는 벡터이며,이 직접은 점을 통과합니다. (과 이 경우이 직선의 표준 방정식은 (또는 
) 및 파라 메트릭 방정식 - 
(또는 
).
.
두 개의 교차 비행기의 방정식을 사용하여 직선 M 1 M 2를 설정 해야하는 경우 먼저 두 점을 통과하는 정식 방정식을 만드는 것입니다. 과 그리고이 방정식에서는 필요한 평면의 방정식을 얻습니다.
서지.
- Atanasyan L., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak 예 : Yudina I.I. 기하학. 7 - 9 수업 : 일반 교육 기관 교과서.
- Atanasyan L., Buduzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L., Poznyak 예. 기하학. 10-11 고등학교 수업 자습서.
- Pogorelov A.V., 기하학. 일반 교육 기관의 7-11 수업을위한 튜토리얼.
- Bugrov Ya.s., Nikolsky s.m. 높은 수학. 톰 먼저 : 요소 선형 대수학 및 분석 형상.
- ilyin v.a, poznyak 예. 분석 형상.
이 기사는 비행기의 직접 방정식의 주제를 지속적으로 계속합니다. 일반 방정식이 똑바로 일종의 방정식을 고려하십시오. 우리는 정리에 묻고 그 증거를 부여합니다. 우리는 그러한 불완전한 일반적인 방정식이 직접적으로 일반 방정식에서 다른 유형의 방정식으로의 전환을 수행하는 방법을 알게 될 것입니다. 모든 이론은 삽화와 통합되고 실제적인 작업을 해결할 것입니다.
평면에서 사각형 좌표계 Ox Y가 주어집니다.
정리 1.
+ + c \u003d 0, 여기서 A, B, C - 일부 유효한 숫자 (A 및 B는 동시에 0이 아님)를 갖는 제 1 학위의 모든 방정식 (a 및 b)은 직사각형 좌표계의 직접선을 정의한다 비행기. 차례로, 평면상의 직사각형 좌표계에 직접 임의의 직접적인 좌표계는 일부 값 A, B, C의 집합을 갖는 뷰 A x + B Y + C \u003d 0을 갖는 방정식에 의해 결정된다.
증거
지정된 정리는 두 점으로 구성되어 있으며, 우리는 각각을 증명할 것입니다.
- 방정식 A는 X + B Y + C \u003d 0이 직접 평면을 결정한다는 것을 증명합니다.
방정식 A X + B Y + C \u003d 0에 해당하는 좌표가 있다고 가정합니다. 따라서 : x 0 + b y 0 + c \u003d 0입니다. 방정식 AX + + C \u003d 0의 왼쪽 및 오른쪽 부분에서 방정식 A x 0 + 0 + C \u003d 0의 왼쪽 및 오른쪽 부분, 우리는 양식 A (x-x 0)를 갖는 새로운 방정식을 얻습니다. ) + b (y-y 0) \u003d 0. X + B Y + C \u003d 0과 동일합니다.
생성 된 수식 A (X-X 0) + B (Y-Y 0) \u003d 0은 벡터 N → \u003d (A, B) 및 M 0 m → \u003d (x-x 0)의 수직도에 대해 필요한 충분한 조건이다. , y-y 0). 따라서, 점 m (x, y)의 집합은 직사각형 좌표계에서 벡터 n → \u003d (a, b)의 방향에 수직 인 직선을 지정한다. 우리는 이것이 사례가 아니라, 벡터 n → \u003d (a, b) 및 m 0 m → \u003d (x-x 0, y-y 0)이 수직이 아닐 것이고, 평등이 아닙니다. x 0) + b (y-y 0) \u003d 0은 사실이 아닙니다.
결과적으로, 식 a (x-x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0은 평면의 직사각형 좌표계에서 일부 직접을 정의하므로 동등한 방정식 A x + + c \u003d 0은 동일한 직접을 결정합니다. ...에 그래서 우리는 정리의 첫 번째 부분을 증명했습니다.
- 우리는 직사각형 시스템에서 직접적인 좌표를 제 1 수학 식 A x + B Y + C \u003d 0으로 설정할 수 있음을 증명합니다.
평면에 직사각형 좌표계로 설정하십시오. 이 직선을 통과하는 포인트 m 0 (x 0, y 0)뿐만 아니라이 직접 n → \u003d (a, b)의 정상적인 벡터.
일부 포인트 m (x, y)이 있다고 가정하십시오 - 부동 소수점은 똑바로됩니다. 이 경우, 벡터 n → \u003d (a, b) 및 m 0 m → \u003d (x-x 0, y-y 0)은 서로 수직이며, 그 스칼라 제품은 0이다.
n →, m 0 m → \u003d A (x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0
방정식 ax + b y - a x 0 - b y 0 \u003d 0, 우리는 C : C \u003d - Ax 0 - b y 0을 정의하고 최종 결과에서 우리는 방정식 a x + b y + c \u003d 0을 얻습니다.
그래서, 우리는 입증되었으며 정리의 두 번째 부분이며, 일반적으로 모든 정리를 증명했습니다.
정의 1.
방정식 x + b y + c \u003d 0. - 이것은 일반 방정식 직접 직사각형 좌표계의 비행기에서 o x y.
입증 된 정리에 의존하는 것은 고정 된 직사각형 좌표계의 평면에 지정된 직접선과 그 일반적인 방정식이 뗄 수 없을 정도로 연결되어 있음을 결론 지을 수 있습니다. 즉, 초기 라인은 일반적인 방정식에 해당합니다. 일반 방정식 라인은 지정된 직접에 해당합니다.
이론의 증거는 또한 변수 x와 y가있는 계수 A와 B가 직접 A x + B Y + C \u003d 0의 전체 방정식으로 설정되는 정상 벡터 라인의 좌표입니다.
일반 라인 방정식의 구체적인 예를 고려하십시오.
주어진 직사각형 좌표계에서 직선에 해당하는 방정식 2 x + 3 y - 2 \u003d 0을 제거하십시오. 일반 벡터 이것은 똑바로 - 이것은 벡터입니다 n → \u003d (2, 3). 그림 그리기에 주어진 직선.
다음은 또한 지정된 직접의 모든 지점의 좌표 가이 방정식에 해당하기 때문에 도면에서 볼 수있는 직접이 전반적인 방정식 2 x + 3 y - 2 \u003d 0에 의해 결정됩니다.
우리는 방정식 λ · × + λ · b y + λ · c \u003d 0을 얻을 수 있으며 전체 방정식의 두 부분을 0과 같지 않고 숫자 λ로 곱합니다. 결과 방정식은 초기 일반 방정식과 동일하므로 평면에서 동일한 직접을 설명합니다.
정의 2.완전한 일반 방정식 직접 - 이러한 일반적인 방정식은 숫자 A, B가 0과 다른 숫자 A, B가 똑바로 있습니다. 그렇지 않으면 방정식이 있습니다 불완전한.
우리는 불완전한 일반 라인 방정식의 모든 변형을 분석 할 것입니다.
- a \u003d 0, ¼ 0, C ≠ 0에서 일반 식은 B y + c \u003d 0 양식을 취합니다. 이러한 불완전한 일반적인 방정식은 유효한 값 x를 사용하여 your 축을 사용하여 ox 축과 평행 한 직접 직접 직접 지정합니다. - c b. 즉, 일반 식은 X + B Y + C \u003d 0이며 A \u003d 0에서 \u003d 0에서 \u003d 0의 기하학적 위치가 동일한 번호와 동일한 좌표를 설정합니다. - c b.
- a \u003d 0이면 ≠ 0, c \u003d 0이면 일반 방정식은 y \u003d 0입니다. 이러한 불완전한 방정식은 Asscissa 축을 결정합니다.
- ≠ 0, b \u003d 0, c ≠ 0 일 때, 우리는 좌표의 직선, 병렬 축을 지정하여 불완전한 일반 방정식 Ax + C \u003d 0을 얻습니다.
- a ≠ 0, b \u003d 0, c \u003d 0으로, 불완전한 일반 방정식은 x \u003d 0의 형태를 취하고 이것은 좌표 직접 o y의 방정식입니다.
- 마지막으로, ≠ 0에서 ¼ 0에서 ¼ 0에서, 불완전한 일반 방정식은 양식 A x + B Y \u003d 0을 취합니다. 이 방정식은 좌표의 원점을 통과하는 직선을 설명합니다. 사실, 숫자 (0, 0)는 · 0 + B · 0 \u003d 0 이후로 평등 A x + B Y \u003d 0에 해당합니다.
우리는 위의 모든 유형의 불완전하게 공통된 라인 방정식을 그래픽으로 보여줍니다.
예제 1.
지정된 직선이 종축축에 평행 한 것으로 알려져 있으며 지점 2 7, - 11을 통과하는 것으로 알려져 있습니다. 지정된 직접의 일반적인 방정식을 기록해야합니다.
결정
종축의 직선적 인 병렬 축은 ≥ 0 인 X + C \u003d 0의 형태의 방정식에 의해 주어집니다. 또한,이 조건은 직접 및이 점의 좌표가 불완전한 일반 방정식 Ax + C \u003d 0, 즉 I.E.의 조건에 해당하는 지점의 좌표에 의해 주어진다. 올바른 평등 :
A / 2 7 + C \u003d 0.
0이 아닌 값 (예 : a \u003d 7)을 제공하면 C를 정의 할 수 있습니다. 이 경우, 우리는 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2를 얻습니다. 우리는 두 계수 A와 C를 모두 알고 있습니다. 방정식 A x + C \u003d 0으로 대체하고 필요한 방정식 직접 : 7 x - 2 \u003d 0
대답: 7 x - 2 \u003d 0.
예 2.
도면은 직선을 보여 주며, 그 방정식을 기록해야합니다.
결정
위의 그림을 사용하면 소스 데이터를 쉽게 가져 가서 문제를 해결할 수 있습니다. 우리는 지정된 직선 병렬 축 O X와 점 (0, 3)을 통과하는 도면에서 볼 수 있습니다.
횡축의 눈에 평행 한 직접적인 직접은 불완전한 일반 방정식 B y + c \u003d 0을 결정합니다. B 및 C 값을 찾으십시오. 포인트 (0, 3)의 좌표는 그것이 주어진 직선을 통과하기 때문에 방정식 직접 b y + c \u003d 0을 만족시킬 것이고, 평등은 in in in in in in in in in + c \u003d 0입니다. 0 이외의 값을 지정하십시오. 이 경우,이 경우,이 경우 \u003d 3 + C \u003d 0으로 가정하면 C : C \u003d - 3을 찾을 수 있습니다. 알려진 값을 사용하고 C를 사용하면 필요한 직접 방정식을 얻습니다. y - 3 \u003d 0.
대답: y - 3 \u003d 0.
일반 방정식 직접 직접 이동하는 비행기의 지정된 점을 통과합니다.
지정된 직접이 포인트 M 0 (x 0, y 0)을 통해 전달 된 다음 좌표는 라인에 대한 일반 방정식에 해당합니다. 올바른 평등 : A x 0 + B Y 0 + C \u003d 0. 우리는이 방정식의 왼쪽 및 오른쪽 부분을 전체 정식 방정식의 왼쪽 및 오른쪽 부분에서 벗어납니다. 우리는 다음을 획득합니다 : a (x-x 0) + b (y-y 0) + c \u003d 0,이 방정식은 초기 합계와 동일하고 포인트 m 0 (x 0, y 0)을 통과하고 정상적인 벡터를 가지고 있습니다 n → \u003d (a, b).
우리가받은 결과는 일반적인 방정식을 직접 기록하는 것을 가능하게합니다. 유명한 coordinates. 이 직선의 일부 지점의 정확한 벡터와 좌표의 정상적인 벡터.
예 3.
포인트 m 0 (- 3, 4), 직선이 지나가는 것,이 직선의 정상적인 벡터 n → \u003d (1, - 2). 직접적인 방정식을 기록해야합니다.
결정
초기 조건을 통해 식 : a \u003d 1, b \u003d -2, x 0 \u003d -3, y 0 \u003d 4의 방정식 준비에 필요한 데이터를 얻을 수 있습니다. 그때:
a (x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0 ÷ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) \u003d 0 ≤ x - 2 y + 22 \u003d 0
그렇지 않으면 작업을 해결할 수 있습니다. 일반적인 방정식 직접은 형식 A x + B Y + C \u003d 0입니다. 지정된 일반 벡터를 사용하면 계수 A와 B의 값을 얻을 수 있습니다.
x + b + c \u003d 0 ≤ 1 · x-2 · y + c \u003d 0 ≤ x - 2 · y + c \u003d 0
이제 우리는 직접적인 작업의 지정된 조건 인 Point M 0 (- 3, 4)을 사용하여 값 C를 찾을 것입니다. 이 시점의 좌표는 방정식 X-2 · Y + C \u003d 0, 즉. - 3 - 2 · 4 + c \u003d 0. 따라서 c \u003d 11입니다. 필요한 방정식 직접은 다음을 수행합니다. x - 2 y + 11 \u003d 0입니다.
대답: x - 2 · y + 11 \u003d 0.
예 4.
Direct 2 3 X-Y는 1 2 \u003d 0이고 포인트 M은이 직선에 누워 있습니다. 이 지점의 횡좌표 만 알려져 있으며 3과 같습니다. 지정된 점의 순서를 정의해야합니다.
결정
지점 M 0의 좌표 지정을 x 0 및 y 0으로 지정하십시오. 소스 데이터에서 x 0 \u003d - 3입니다. 포인트가 주어진 직접에 속해 있기 때문에 좌표 가이 줄의 총 방정식을 충족 시킨다는 것을 의미합니다. 그런 다음 평등이 사실입니다.
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0
y 0 : 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ¼ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2
대답: - 5 2
일반 방정식에서의 전환은 다른 유형의 방정식 방정식에 직접적으로
우리가 알고있는 것처럼, 비행기에 동일한 직접의 여러 유형의 방정식이 있습니다. 방정식의 관점을 선택하는 것은 문제의 조건에 따라 다릅니다. 해결할 수있는 더 편리한 것을 선택할 수 있습니다. 여기서 한 종의 방정식을 다른 종의 방정식으로 변환하는 것이 매우 유용합니다.
시작하기 위해, 우리는 양식 A의 일반 방정식에서 표준식 방정식 X-x 1 A x \u003d y-y 1 a y 로의 전환을 고려합니다.
A와 ≠ 0이면 B Y를 일반 방정식의 오른쪽 부분으로 옮기는 용어를 옮깁니다. 왼쪽 부분에서 우리는 괄호를 견뎌냅니다. 결과적으로 우리는 다음과 같습니다. A x + C a \u003d - b y.
이 평등은 x + c a - b \u003d y a로 작성 될 수 있습니다.
≠ 0에서 우리는 방정식의 왼쪽 부분에 방정식의 왼쪽 부분에 있으며 다른 하나는 오른쪽으로 전송되며, 우리는 다음을 획득합니다 : A x \u003d - b y - c. 우리는 괄호 안에서 견뎌냅니다 : A x \u003d b y + c b.
우리는 비율의 형태로 평등을 다시 씁니다 : x - b \u003d y + c b a.
물론, 결과적인 수식을 암기하는 것은 필요하지 않습니다. 일반 방정식에서 정식으로 전환 할 때 액션 알고리즘을 알아야합니다.
예 5.
일반 방정식은 3 y - 4 \u003d 0으로 설정됩니다. 정식 방정식으로 변환해야합니다.
결정
초기 방정식을 3 y-4 \u003d 0으로 씁니다. 다음으로, 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 0 x는 왼쪽 부분에 남아 있습니다. 그리고 오른쪽 부분에서 우리는 괄호를 위해 3을 견뎌야합니다. 우리는 다음과 같습니다 : 0 x \u003d - 3 y - 4 3.
우리는 얻은 평등을 비례로 씁니다 : x - 3 \u003d y - 4 3 0. 그래서 우리는 정식 종의 방정식을 가지고 있습니다.
답변 : x - 3 \u003d Y - 4 3 0.
일반 방정식을 파라 메트릭으로 변환하기 위해서는 먼저 표준 형태로의 전환을 수행 한 다음 표준식 방정식으로부터의 전환이 파라 메트릭 방정식으로 직접적입니다.
예 6.
직접은 방정식 2 x - 5 y - 1 \u003d 0으로 설정됩니다. 이 직선의 파라 메트릭 방정식을 기록하십시오.
결정
우리는 일반 방정식에서 표창장으로의 전환을 수행합니다.
2 x - 5 y - 1 \u003d 0 × 2 x \u003d 5 y + 1 ÷ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ÷ x 5 \u003d y + 1 5 2
이제 우리는 얻은 정식 방정식의 두 부분을 λ와 같은 두 부분을 모두 가져갈 것입니다.
x 5 \u003d λ Y + 1 5 2 \u003d λ × x \u003d 5 · λ Y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r
대답: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ r
일반 방정식은 각도 계수 Y \u003d k · x + b로 직선의 방정식으로 변환 될 수 있지만 ¼ 0에있을 때만 전환 될 수 있습니다. 왼쪽 부분으로의 전환을 위해, 우리는 B Y라는 용어를 남겨두고 나머지는 오른쪽으로 옮겨졌습니다. 우리는 다음을 얻습니다. b y \u003d - a x-c. 우리는 0에서 얻은 평등의 두 부분을 0과 다른 두 부분을 분리합니다. y \u003d a b x-c b.
예 7.
일반 방정식은 설정됩니다 : 2 x + 7 y \u003d 0. 방정식을 각도 계수로 방정식으로 변환해야합니다.
결정
우리는 알고리즘에 필요한 조치를 생성 할 것입니다.
2 x + 7 y \u003d 0 ÷ 7 y - 2 x y \u003d - 2 7 x
대답: y \u003d - 2 7 x.
일반 방정식에서 직접은 단순히 X A + Y B \u003d 1의 세그먼트에서 방정식을 얻기에 충분합니다. 이러한 전환을 수행하기 위해 수많은 평등의 오른손 부분으로 옮기는 것, 얻은 평등의 두 부분을 on-c와 마침내 변수 x와 y로 계수를 전송합니다.
x + b + c \u003d 0 ∈ Ax + b y \u003d - c ∈ ⇔ a - c x + b - c y \u003d 1 ≤ x - c a + y - c b \u003d 1
예 8.
일반적인 방정식 직접 x - 7 y + 1 2 \u003d 0을 세그먼트에서 방정식으로 변환해야합니다.
결정
우리는 1 2를 오른쪽으로 전송합니다. x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ÷ x - 7 y \u003d - 1 2.
우리는 1/2 평등의 두 부분으로 나눕니다. x - 7 y \u003d - 1 2 ¼ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.
대답: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.
일반적으로 반품 전이는 다른 유형의 방정식에서 일반적인 것으로 구성됩니다.
방정식은 세그먼트 및 각도 계수가있는 방정식이며, 단순히 평등의 왼쪽 부분의 모든 용어를 수집함으로써 일반적으로 쉽게 변환 될 수있는 방정식입니다.
x A + Y B ⇔ 1 A x + 1 B Y - 1 \u003d 0 ∈ Ax + B Y + C \u003d 0 y \u003d k x + b≤y - k x-b \u003d 0 ≤ Ax + B Y + C \u003d 0
정식 방정식은 다음과 같은 구성표로 변환됩니다.
x - x 1 ax \u003d y-y 1 y ⇔ ay · (x-x 1) \u003d 도끼 (y-y 1) ⇔ ⇔ ayx - ayx - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ¡ x + b y + c \u003d 0.
파라 메트릭에서 이동하려면 표준으로 전환 한 다음 전체로 전환합니다.
x \u003d x 1 + A x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x-x 1 a x \u003d y - y 1 a y ∈ A x + b y + c \u003d 0
예 9.
파라 메트릭 방정식은 X \u003d -1 + 2 · Λ Y \u003d 4로 설정됩니다. 이 줄의 일반적인 방정식을 기록해야합니다.
결정
파라 메트릭 방정식에서 정식으로의 전환을 수행합니다.
x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 × x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 + 0 · λ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ¼ x + 1 2 \u003d y - 4 0
공란에서 합계로 가자.
x + 1 2 \u003d y - 4 0 ÷ 0 · (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ≦ Y - 4 \u003d 0
대답: y - 4 \u003d 0.
예 10.
방정식은 세그먼트 X 3 + Y 1 2 \u003d 1의 선으로 설정됩니다. 총 방정식의 전환을 수행해야합니다.
결정:
필요한 양식의 방정식을 다시 작성하기 만하면됩니다.
x 3 + y 1 2 \u003d 1 ÷ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0
대답: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.
일반적인 방정식을 그리는
위의 경우, 우리는 일반적인 방정식이 정상 벡터의 잘 알려진 좌표와 직선이 통과하는 지점의 좌표로 작성 될 수 있다는 사실에 대해 이야기했습니다. 이러한 직접은 식 a (x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0으로 결정됩니다. 우리는 또한 적절한 예를 분해했습니다.
이제 보통 벡터의 좌표를 결정하는 데 시작하기 위해서는 시작을 위해 더 복잡한 예를 고려하십시오.
예제 11.
직선, 병렬 직접 2 x-3 y + 3 3 \u003d 0. 포인트 M 0 (4, 1)도 알려져 있으며, 지정된 직선이 통과합니다. 직접적인 방정식을 기록해야합니다.
결정
시작 조건은 똑바로 평행 한 반면, 정상적인 벡터는 직선적이며, 그 방정식은 작성 해야하는 방정식, 벡터 직접 n → \u003d (2, - 3) : 2 x-3 + 3 \u003d 0 ...에 이제 우리는 공통 라인 방정식을 작성하는 데 필요한 모든 데이터를 알고 있습니다.
A (x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0 ÷ 2 (x - 4) - 3 (y-1) \u003d 0 ÷ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0
대답: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.
예제 12.
지정된 직접은 직선 X-2 3 \u003d Y + 4 5에 수직 인 좌표의 원점을 통과합니다. 주어진 직선의 일반적인 방정식을 만드는 것이 필요합니다.
결정
지정된 직선의 정상적인 벡터는 직접 벡터 직접 x - 2 3 \u003d Y + 4 5가됩니다.
그런 다음 n → \u003d (3, 5). 좌표의 기원을 통과하는 직접 통과, 즉 I.E.E. 점 (0, 0)을 통해 직접적인 방정식을 만드겠습니다.
A (x-x 0) + b (y-y 0) \u003d 0 × 3 (x - 0) + 5 (Y - 0) \u003d 0 × 3 x + 5 y \u003d 0
대답: 3 x + 5 y \u003d 0.
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