코너 사이드 2 3 베이스 높이. 삼각형 높이

기하학적 문제를 풀 때 이 알고리즘을 따르는 것이 유용합니다. 작업문을 읽으면서 필요한

그림을 그리세요. 그림은 가능한 한 문제의 조건과 일치해야 하므로 주요 작업은 솔루션을 찾는 데 도움을 주는 것입니다.
작업 조건의 모든 데이터를 도면에 적용
문제에서 발생하는 모든 기하학적 개념을 작성하십시오.
이 개념과 관련된 모든 정리를 기억하십시오.
이 정리를 따르는 기하학적 도형 요소 간의 모든 관계를 그림에 표시하십시오.

예를 들어 작업에 삼각형 각도의 이등분선이라는 단어가 포함된 경우 이등분선의 정의와 속성을 기억하고 도면에서 같거나 비례하는 세그먼트와 각도를 지정해야 합니다.

이 기사에서는 문제를 성공적으로 해결하기 위해 알아야 할 삼각형의 기본 속성을 찾을 수 있습니다.

삼각형.

삼각형의 면적.

1. ,

여기 - 삼각형의 임의의 측면 - 이 측면으로 낮아진 높이.

2. ,

여기 와 는 삼각형의 임의의 변이고 는 이 변 사이의 각도입니다.

3. 헤론 공식:

여기 - 삼각형의 변의 길이 - 삼각형의 반원,

4. ,

여기 - 삼각형의 반원, - 내접원의 반지름.

접선 세그먼트의 길이를 이라고 합니다.

그러면 Heron의 공식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

6. ,

여기 - 삼각형의 변의 길이 - 외접원의 반지름.

이 변을 m:n 비율로 나누는 삼각형의 한 변에 점을 취하면 이 점과 반대각의 꼭지점을 연결하는 선분은 삼각형을 두 개의 삼각형으로 나누고 그 넓이는 m입니다. :N:

유사 삼각형의 면적 비율은 유사 계수의 제곱과 같습니다.

삼각형 중앙값

이것은 삼각형의 꼭지점과 반대쪽 변의 중간점을 연결하는 선분입니다.

삼각형 중앙값한 점에서 교차하고 위에서부터 세어 2:1의 비율로 교차점을 공유합니다.

정삼각형의 중선의 교점은 중선을 두 개의 선분으로 나누고, 작은 선분은 내접원의 반지름과 같고 큰 선분은 외접원의 반경과 같습니다.

외접원의 반지름은 내접원 반지름의 2배: R=2r

중간 길이임의의 삼각형

여기 - 측면에 그려진 중앙값 - 삼각형의 측면 길이.

삼각형의 이등분선

이것은 삼각형의 모든 각도의 이등분선 부분으로, 이 각도의 꼭지점을 반대쪽과 연결합니다.

삼각형의 이등분선측면을 인접한 측면에 비례하는 세그먼트로 나눕니다.

삼각형 이등분선내접원의 중심인 한 점에서 교차합니다.

각도의 이등분선에 있는 모든 점은 각도의 측면에서 등거리에 있습니다.

삼각형 높이

이것은 삼각형의 꼭지점에서 반대편, 또는 그 연속. 둔각삼각형에서 예각의 꼭짓점에서 그은 고도는 삼각형의 바깥쪽에 있다.

삼각형의 높이는 한 점에서 교차합니다. 삼각형의 직교 중심.

삼각형의 높이를 구하려면측면으로 그려지면 가능한 모든 방법으로 해당 영역을 찾은 다음 공식을 사용해야 합니다.

삼각형에 외접하는 원의 중심, 삼각형의 측면에 그려진 수직 이등분선의 교점에 있습니다.

삼각형의 외접원의 반지름 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

삼각형의 변의 길이는 다음과 같습니다. 삼각형의 면적.

여기서 삼각형의 변의 길이는 반대 각도입니다. (이 공식은 사인 정리에서 따릅니다).

삼각형 부등식

삼각형의 각 변은 합보다 작고 다른 두 변의 차보다 큽니다.

두 변의 길이의 합은 항상 세 번째 변의 길이보다 큽니다.

더 큰 면의 반대편에는 더 큰 각도가 있습니다. 더 큰 각의 반대편에는 더 큰 면이 있습니다.

이면 그 반대도 마찬가지입니다.

사인 정리:

삼각형의 변은 반대 각도의 사인에 비례합니다.

코사인 정리:

삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다. 이때 각 변의 코사인 값을 두 배로 곱하지 않습니다.

정삼각형

- 한 각이 90°인 삼각형입니다.

합집합 날카로운 모서리 정삼각형 90°와 같습니다.

빗변은 90° 각도의 반대편에 있는 면입니다. 빗변은 가장 긴 변입니다.

피타고라스의 정리:

빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다:

직각삼각형에 내접하는 원의 반지름은

여기 - 내접원의 반지름, - 다리, - 빗변:

직각삼각형에 외접하는 원의 중심 빗변의 중간에 위치:

빗변에 그려진 직각 삼각형의 중앙값빗변의 절반과 같습니다.

직각 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의보다

직각 삼각형의 요소 비율:

꼭짓점에서 그린 직각삼각형의 고도의 제곱 직각, 빗변의 다리 투영의 곱과 같습니다.

다리의 제곱은 빗변의 곱과 빗변에 대한 다리의 투영과 같습니다.

코너에 누워있는 다리 빗변의 절반과 같습니다.

이등변 삼각형.

이등분 이등변 삼각형밑면에 그려진 것은 중앙값과 높이입니다.

이등변 삼각형에서 밑면의 각도는 같습니다.

상단 각도.

I - 측면

그리고 - 밑면의 각도.

높이, 이등분선 및 중앙값.

주목!측면에 그려진 높이, 이등분선 및 중앙값이 일치하지 않습니다.

정삼각형

(또는 정삼각형 )는 모든면과 각도가 서로 같은 삼각형입니다.

정삼각형의 면적동일하다

여기서 삼각형의 변의 길이입니다.

정삼각형에 내접하는 원의 중심, 정삼각형에 외접하는 원의 중심과 일치하고 중선의 교점에 있습니다.

정삼각형의 중앙선의 교점중앙값을 두 개의 세그먼트로 나누는데, 그 중 작은 것은 내접원의 반지름과 같고 큰 것은 외접원의 반지름과 같습니다.

이등변 삼각형의 각도 중 하나가 60°이면 삼각형은 정삼각형입니다.

삼각형의 가운데 선

이것은 두면의 중간점을 연결하는 세그먼트입니다.

그림에서 DE는 삼각형 ABC의 중심선입니다.

삼각형의 중심선은 세 번째 변과 평행하고 그 절반과 같습니다: DE||AC, AC=2DE

삼각형의 외부 모서리

이것은 삼각형의 모든 각도에 인접한 각도입니다.

삼각형의 외각은 인접하지 않은 두 각의 합과 같습니다.

외부 각도의 삼각 함수:

삼각형의 등호:

1 . 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

2 . 한 삼각형의 한 변과 두 인접각이 각각 다른 삼각형의 한 변과 두 인접각과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

3 한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

중요한:직각 삼각형에서 두 각은 분명히 같기 때문에 두 직각 삼각형의 평등 2개의 요소만 동일해야 합니다: 두면 또는 측면과 예각.

삼각형의 유사성 징후:

1 . 한 삼각형의 두 변이 다른 삼각형의 두 변에 비례하고 이 변 사이에 포함된 각도가 같으면 이 삼각형은 유사합니다.

2 . 한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변에 비례하면 이 삼각형은 비슷합니다.

3 . 한 삼각형의 두 각이 다른 삼각형의 두 각과 같으면 이 삼각형은 유사합니다.

중요한:닮음 삼각형에서 닮음 변은 서로 마주보는 각이 같습니다.

메넬라오스의 정리

선이 삼각형과 교차하자. 여기서 는 변과의 교점, 는 변과의 교점, 는 변의 연장과 교점입니다. 그 다음에

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E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(정체성을 증명하려면 공식을 사용해야 합니다.

A B → = E B → - E A → , B C → = E C → - E B → , C A → = E A → - E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EC)))

점 E는 삼각형의 두 높이의 교점으로 취해야 합니다.)

수심중심에 isogonally 켤레 외접원 .
수심중심, 중심과 같은 선상에 위치 외접원 9개 점으로 구성된 원의 중심(오일러 선 참조).
수심예각 삼각형은 직각 삼각형에 내접하는 원의 중심입니다.
주어진 삼각형 변의 중간점에 정점이 있는 직교 중심으로 설명되는 삼각형의 중심입니다. 마지막 삼각형은 첫 번째 삼각형에 대한 추가 삼각형이라고 합니다.
마지막 속성은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 삼각형에 외접하는 원의 중심은 수심추가 삼각형.
점, 대칭 수심삼각형의 변은 외접원 위에 있습니다.
점, 대칭 수심측면의 중간점에 대한 삼각형도 외접원에 있으며 해당 꼭지점과 정반대에 있는 점과 일치합니다.
만약에 에 대한는 외접원 ΔABC의 중심이고, 그러면 O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
삼각형의 꼭지점에서 수심까지의 거리는 외접원의 중심에서 반대편까지의 거리의 2배입니다.
에서 가져온 모든 세그먼트 수심외접원과 교차할 때까지 항상 오일러 원을 이등분합니다. 수심이 두 원의 동질성의 중심입니다.
해밀턴의 정리. 예각 삼각형의 꼭짓점과 직교 중심을 연결하는 세 개의 선분은 원래 예각 삼각형과 동일한 오일러 원(9개의 점으로 구성된 원)을 갖는 세 개의 삼각형으로 나눕니다.
해밀턴 정리의 결과:
- 예각 삼각형의 꼭짓점과 직교 중심을 연결하는 세 개의 선분은 그것을 세 개로 나눕니다. 해밀턴 삼각형외접원의 반지름이 동일합니다.
- 3개의 외접원의 반지름 해밀턴 삼각형원래 예각 삼각형에 외접하는 원의 반지름과 같습니다.
예각 삼각형에서 직교 중심은 삼각형 내부에 있습니다. 둔각 - 삼각형 외부; 직사각형 - 직각의 꼭지점.

이등변 삼각형의 표고 속성

삼각형에서 두 높이가 같으면 삼각형은 이등변이고(Steiner-Lemus 정리) 세 번째 높이는 삼각형이 나오는 각도의 중앙값이자 이등분선입니다.
그 반대도 마찬가지입니다. 이등변 삼각형에서 두 높이는 같고 세 번째 높이는 중앙값과 이등분선입니다.
정삼각형은 세 고도가 모두 같습니다.

삼각형 높이의 밑면 속성

기초높이는 자체 속성을 갖는 소위 직교 삼각형을 형성합니다.
직교 삼각형 근처에 설명된 원은 오일러 원입니다. 삼각형 변의 세 중간점과 직교 중심을 삼각형 정점과 연결하는 세 세그먼트의 세 중간점도 이 원에 있습니다.
마지막 속성의 또 다른 공식:
- 9점의 원에 대한 오일러의 정리. 기초삼 높이임의의 삼각형, 세 변의 중간점( 내부의 기초중앙값) 및 정점을 직교 중심과 연결하는 세 세그먼트의 중간점은 모두 동일한 원에 있습니다(위에 9개의 점 원).
정리. 모든 삼각형에서 연결하는 선분 근거둘 높이삼각형은 주어진 것과 유사한 삼각형을 잘라냅니다.
정리. 삼각형에서 연결하는 선분 근거둘 높이양쪽에 삼각형 역평행공통점이 없는 제3자. 두 끝과 세 번째로 언급된 면의 두 꼭지점을 통해 항상 원을 그릴 수 있습니다.

삼각형 높이의 다른 속성

삼각형의 최소 높이 속성

삼각형의 최소 높이는 많은 극단적인 속성을 가지고 있습니다. 예를 들어:

삼각형 평면에 놓인 선에 대한 삼각형의 최소 직교 투영은 높이 중 가장 작은 것과 같은 길이를 갖습니다.
구부러지지 않는 삼각형 판을 당길 수 있는 평면의 최소 직선 절단 길이는 이 판의 가장 작은 높이와 같아야 합니다.
삼각형의 둘레를 따라 두 점이 서로를 향해 연속적으로 이동하면 첫 번째 회의에서 두 번째 회의로 이동하는 동안 두 지점 사이의 최대 거리는 삼각형 높이 중 가장 작은 길이보다 작을 수 없습니다.
삼각형의 최소 높이는 항상 해당 삼각형 내에 있습니다.

기본 비율

h a = b sin ⁡ γ = c sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b\sin \gamma =c\sin \beta ,)
h a = 2 S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2S)(a)),)어디 S (\디스플레이스타일 S)- 삼각형의 면적, a (\디스플레이스타일 a)- 높이가 낮아지는 삼각형의 변의 길이.
h a 2 = 1 2 (b 2 + c 2 − 1 2 (a 2 + (b 2 − c 2) 2 a 2)) (\displaystyle h_(a)^(2)=(\frac (1)(2 ))(b^(2)+c^(2)-(\frac (1)(2))(a^(2)+(\frac ((b^(2)-c^(2))^ (2))(a^(2))))))
h a = b c 2 R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (bc)(2R)),)어디 bc (\디스플레이스타일 bc)- 측면 제품, R − (\displaystyle R-)외접원의 반지름
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = b c: a c: a b (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):( \frac (1)(b)):(\frac (1)(c))=bc:ac:ab)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), 어디 r (\디스플레이스타일 r)내접원의 반지름입니다.
S = 1 (1ha + 1hb + 1hc) ⋅ (1ha + 1hb − 1hc) ⋅ (1ha + 1hc − 1hb) ⋅ (1hb + 1hc − 1ha) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), 어디 S (\디스플레이스타일 S)- 삼각형의 면적.
a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ 디스플레이 스타일 a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (ㅏ))))))))), a (\디스플레이스타일 a)- 높이가 떨어지는 삼각형의 변 h a (\displaystyle h_(a)).
이등변 삼각형의 높이가 밑면으로 낮아졌습니다. h c = 1 2 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\sqrt (4a^(2)-c^(2))),)

어디 c (\디스플레이스타일 c)- 베이스, a (\디스플레이스타일 a) - 옆.

직각 삼각형의 높이 정리

직각삼각형의 높이가 A B C (\디스플레이스타일 ABC)길이 h (\디스플레이스타일 h), 직각 꼭지점에서 그린 빗변을 길이로 나눕니다. c (\디스플레이스타일 c)세그먼트로 m (\디스플레이스타일 m)그리고 n (\디스플레이스타일 n)다리에 해당하는 b (\디스플레이스타일 b)그리고 a (\디스플레이스타일 a), 다음 등식이 참입니다.

많은 기하학적 문제를 해결하려면 주어진 도형의 높이를 찾아야 합니다. 이러한 작업에는 적용된 값. 건설 작업을 수행할 때 높이를 결정하면 계산에 도움이 됩니다. 필요한 금액재료뿐만 아니라 경사와 개구부가 얼마나 정확하게 만들어지는지 결정합니다. 종종 패턴을 구축하려면 속성에 대한 아이디어가 필요합니다.

많은 사람들이 학교에서 좋은 성적을 받았음에도 불구하고 평범하게 지을 때 기하학적 모양삼각형이나 평행 사변형의 높이를 찾는 방법에 대한 질문이 생깁니다. 그리고 가장 어렵습니다. 이것은 삼각형이 예각, 둔각, 이등변 또는 직각일 수 있기 때문입니다. 그들 각각은 구성 및 계산에 대한 자체 규칙을 가지고 있습니다.

모든 각도가 예각인 삼각형의 높이를 그래픽으로 찾는 방법

삼각형의 모든 각도가 예각이면(삼각형의 각 각도가 90도 미만) 높이를 찾으려면 다음을 수행하십시오.

주어진 매개변수에 따라 삼각형을 구성합니다.
표기법을 소개합니다. A, B 및 C는 그림의 정점이 됩니다. 각 정점에 해당하는 각도는 α, β, γ입니다. 이 모서리의 반대편은 a, b, c입니다.
높이는 각도의 꼭지점에서 삼각형의 반대쪽 변까지의 수직선입니다. 삼각형의 높이를 찾기 위해 각도 α의 꼭지점에서 변 a까지, 각도 β의 꼭지점에서 변 b까지 수직선을 그립니다.
높이와 측면 a의 교차점은 H1로 표시되고 높이 자체는 h1이 됩니다. 높이와 측면 b의 교차점은 각각 높이 h2인 H2가 됩니다. c면의 높이는 h3이고 교차점 H3입니다.

둔각이 있는 삼각형의 높이

이제 삼각형이 90도보다 큰 경우 삼각형의 높이를 찾는 방법을 고려하십시오. 이 경우 둔각에서 그린 높이는 삼각형 내부에 있습니다. 나머지 두 높이는 삼각형 외부에 있습니다.

삼각형의 각도 α와 β는 예각이고 각도 γ는 둔각이라고 합니다. 그런 다음 각도 α와 β에서 나오는 높이를 구성하려면 수직선을 그리기 위해 반대쪽 삼각형의 변을 계속해야 합니다.

이등변 삼각형의 높이를 찾는 방법

이 수치는 두 가지 등변밑면과 밑면의 각도도 서로 같습니다. 측면과 각도의 이러한 평등은 높이 구성과 계산을 용이하게 합니다.

먼저 삼각형 자체를 그립니다. 변 b와 c, 각도 β, γ를 각각 같게 합니다.

이제 각도 α의 꼭지점에서 높이를 그려 h1로 표시합니다. 이 높이는 이등분선과 중앙값이 될 것입니다.

기초 공사는 한 번만 할 수 있습니다. 예를 들어, 이등변삼각형의 꼭지점과 반대변인 밑변을 연결하는 선분인 중앙값을 그려 높이와 이등분선을 찾습니다. 그리고 다른 두 변의 높이의 길이를 계산하려면 하나의 높이만 지을 수 있습니다. 따라서 이등변 삼각형의 높이를 계산하는 방법을 그래픽으로 결정하려면 3개 중 2개의 높이를 찾는 것으로 충분합니다.

직각 삼각형의 높이를 찾는 방법

다른 것보다 직각 삼각형의 높이를 결정하는 것이 훨씬 쉽습니다. 다리 자체가 직각을 이루기 때문에 높이입니다.

평소와 같이 세 번째 높이를 만들기 위해 직각의 꼭지점과 반대쪽을 연결하는 수직선이 그려집니다. 결과적으로 이 경우 삼각형을 만들기 위해서는 하나의 구성만 필요하다.

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