자세한 솔루션이 포함된 온라인 선형 부등식 솔루션. 선형 부등식

그림 5의 다이어그램:

다음 예: 부등식 해결 0.6 2x - 3< 0,36 .

그림 5의 계획에 따라 우리는
2x - 3> 로그 0.6 0.36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2.5

대답: (2,5; +∞) .

양식의 불평등을 해결하기위한 마지막 계획을 고려하십시오. 및 f(x)< b , 에 에이> 0과 비<0 그림 6에 나와 있습니다.

예를 들어 부등식을 해결해 보겠습니다.

x를 어떤 숫자로 대체하든 상관없이 부등식의 왼쪽은 항상 0보다 크고 표현식은 -8보다 작습니다. 0이면 솔루션이 없습니다.

대답: 해결책이 없다.

가장 간단한 지수 부등식을 해결하는 방법을 알면 다음으로 진행할 수 있습니다. 지수 부등식 풀기.

예 1.

부등식을 만족하는 가장 큰 정수 값 x 찾기

6 x는 0보다 크므로(모든 x에 대해 분모가 사라지지 않음) 부등식의 양쪽에 6 x를 곱하면 다음을 얻습니다.

440 - 2 6 2x> 8, 그럼
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2배< 3,

엑스< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

답: 1.

실시예 2.

불평등 해결 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

2 x ~ y를 표시하고 부등식 y 2 - 3y + 2 ≤ 0을 얻고 이 제곱 부등식을 풉니다.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 및 y 2 = 2.

포물선의 가지가 위쪽으로 향하고 그래프를 묘사합니다.

그러면 부등식에 대한 해는 부등식 1입니다.< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

대답: (0; 1) .

예제 3... 불평등 해결 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
부등식의 한 부분에서 같은 밑을 가진 표현들을 모아보자

5 x +1 - 2.5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

우리는 부등식의 좌변에서 5 x를, 부등식의 우변에서 3 x를 취하여 부등식을 얻습니다.

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

우리는 불평등의 양쪽을 3 3 x 식으로 나눕니다. 3 3 x는 양수이므로 불평등 기호는 변경되지 않습니다. 우리는 불평등을 얻습니다.

엑스< 2 (так как 5/3 > 1).

대답: (–∞; 2) .

지수 부등식을 푸는 것에 대해 질문이 있거나 유사한 예제를 푸는 연습을 하고 싶다면 내 수업에 등록하세요. 교사 Valentina Galinevskaya.

사이트, 자료의 전체 또는 부분 복사와 함께 소스에 대한 링크가 필요합니다.

온라인 불평등 해결

부등식을 풀기 전에 방정식을 푸는 방법을 잘 이해할 필요가 있습니다.

부등식이 엄격() 또는 비엄격(≤, ≥)인지 여부는 중요하지 않습니다. 첫 번째 단계는 부등호를 등식(=)으로 교체하여 방정식을 푸는 것입니다.

불평등을 해결한다는 것이 무엇을 의미하는지 설명해 볼까요?

학생의 머리에서 방정식을 공부하면 다음 그림이 나타납니다. 방정식의 양쪽이 동일한 값을 취하는 변수의 값을 찾아야합니다. 즉, 평등이 성립하는 모든 점을 찾으십시오. 맞아요!

불평등에 대해 이야기할 때 불평등이 유지되는 구간(세그먼트)을 찾는 것을 의미합니다. 부등식에 두 개의 변수가 있으면 솔루션은 더 이상 간격이 아니라 평면의 일부 영역이 됩니다. 세 가지 변수의 부등식에 대한 해결책이 무엇인지 맞춰보세요.

불평등에 대처하는 방법?

불평등을 해결하기 위한 보편적인 방법은 지정된 불평등이 충족되는 모든 구간을 결정하는 것으로 구성된 구간 방법(일명 구간 방법)으로 간주됩니다.

부등식의 유형에 들어 가지 않고이 경우 본질이 아니며 해당 방정식을 풀고 그 근을 결정한 다음 숫자 축에 이러한 솔루션을 지정해야합니다.

부등식에 대한 솔루션을 올바르게 작성하는 방법은 무엇입니까?

부등식에 대한 솔루션의 간격을 결정했으면 솔루션 자체를 올바르게 작성해야 합니다. 중요한 뉘앙스가 있습니다. 솔루션에 포함된 간격의 경계가 있습니까?

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 방정식의 해가 GDV를 만족하고 부등식이 엄밀하지 않으면 구간의 경계가 부등식의 해에 포함됩니다. 그렇지 않으면 아니오.

각 구간을 고려할 때 부등식에 대한 해는 구간 자체 또는 반구간(경계 중 하나가 부등식을 만족하는 경우) 또는 세그먼트(경계와 함께 구간)가 될 수 있습니다.

중요한 점

구간, 반구간, 선분만이 부등식의 해결책이 될 수 있다고 생각하지 마십시오. 아니요, 솔루션에 개별 포인트가 포함될 수 있습니다.

예를 들어, 부등식 | x | ≤0에는 단 하나의 해가 있습니다. 이것이 점 0입니다.

그리고 부등식 | x |

부등식 계산기는 무엇을 위한 것입니까?

부등식 계산기는 정확한 최종 답을 제공합니다. 이 경우 대부분의 경우 숫자 축 또는 평면의 그림이 제공됩니다. 간격의 경계가 솔루션에 포함되어 있는지 여부를 확인할 수 있습니다. 점은 채워지거나 구멍이 뚫린 것으로 표시됩니다.

온라인 부등식 계산기 덕분에 방정식의 근을 올바르게 찾았는지, 숫자 축에 표시했는지, 구간(및 경계)에서 부등식 조건을 확인했는지 확인할 수 있습니다.

답이 계산기의 답과 다르면 결정을 다시 확인하고 실수를 식별해야합니다.

불평등은 서로에 대한 숫자의 크기를 나타내는 숫자 비율입니다. 부등식은 응용 과학에서 양을 찾을 때 널리 사용됩니다. 우리 계산기는 선형 부등식을 푸는 것과 같은 어려운 주제를 다루는 데 도움이 될 것입니다.

불평등이란

실생활에서 불평등한 관계는 더 높거나 더 낮은, 더 멀거나 더 가깝거나, 더 무겁거나 더 가벼운 다양한 대상의 끊임없는 비교와 관련이 있습니다. 직관적으로든 시각적으로든 한 물체가 다른 물체보다 더 크거나 높거나 무겁다는 것을 이해할 수 있지만, 사실 우리는 항상 해당 값을 특징짓는 숫자를 비교하는 것에 대해 이야기하고 있습니다. 어떤 기준으로 대상을 비교할 수 있으며 어떤 경우에도 수치적 부등식을 작성할 수 있습니다.

특정 조건에서 알 수 없는 양이 같으면 수치 결정을 위해 방정식을 작성합니다. 그렇지 않은 경우 "등호" 대신 이러한 값 사이의 다른 관계를 나타낼 수 있습니다. 두 개의 숫자 또는 수학 개체는 ">"보다 크고 "보다 작을 수 있습니다.<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

현대적인 형태의 부등호는 1631년에 부등비에 관한 책을 출판한 영국의 수학자 Thomas Garriot에 의해 발명되었습니다. ">"보다 크고 "보다 작은 기호<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

불평등 해결

방정식과 마찬가지로 부등식도 유형이 다릅니다. 선형, 제곱, 로그 또는 지수 부등 관계는 다양한 방법으로 분리됩니다. 그러나 방법에 관계없이 모든 불평등은 먼저 표준 형식으로 축소되어야 합니다. 이를 위해 평등의 수정과 동일한 동일한 변환이 사용됩니다.

불평등의 동일한 변환

이러한 식의 변환은 방정식의 유령과 매우 유사하지만 불평등을 분리할 때 고려해야 할 중요한 뉘앙스가 있습니다.

첫 번째 동일한 변환은 등식을 사용한 유사한 작업과 동일합니다. 부등비의 양쪽에 미지수 x가 있는 동일한 숫자 또는 표현식을 더하거나 뺄 수 있지만 부등호는 동일하게 유지됩니다. 대부분이 방법은 숫자의 부호가 반대 방향으로 변경되는 부등호를 통해 표현식의 용어를 변환하는 간단한 형태로 사용됩니다. 이는 항 자체의 부호가 변경됨을 의미합니다. 즉, 부등호를 통해 전달될 때 + R이 -R로 변경되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

두 번째 변환에는 두 가지 점이 있습니다.

1. 같지 않은 비율의 양쪽에 동일한 양수를 곱하거나 나눌 수 있습니다. 이 경우 부등식 자체의 부호는 변경되지 않습니다.
2. 부등식의 양쪽에 동일한 음수를 나누거나 곱할 수 있습니다. 부등식 자체의 부호가 반대로 바뀝니다.

불평등의 두 번째 동일한 변환은 방정식의 수정과 심각한 차이가 있습니다. 첫째, 음수로 곱하거나 나눌 때 같지 않은 표현식의 부호는 항상 반전됩니다. 둘째, 관계의 일부를 나누거나 곱하는 것은 숫자로만 허용되며 미지수를 포함하는 표현식은 허용되지 않습니다. 사실은 0보다 크거나 작은 숫자가 미지수 뒤에 숨겨져 있는지 여부를 확실히 알 수 없으므로 두 번째 동일한 변환이 숫자로만 부등식에 적용됩니다. 예제를 통해 이러한 규칙을 살펴 보겠습니다.

불평등 해소의 예

대수 할당에는 다양한 부등식 할당이 포함됩니다. 다음과 같은 표현이 주어집니다.

6x - 3 (4x + 1)> 6.

먼저 괄호를 열고 모든 미지수를 왼쪽으로 이동하고 모든 숫자를 오른쪽으로 이동합니다.

6x - 12x> 6 + 3

식의 양변을 −6으로 나누어야하므로 미지의 x가 발견되면 부등식 부호가 반대로 바뀝니다.

이 부등식을 풀 때 우리는 두 가지 동일한 변환을 사용했습니다. 모든 숫자를 부호 오른쪽으로 옮기고 비율의 양쪽을 음수로 나눕니다.

우리 프로그램은 미지수를 포함하지 않는 수치 부등식을 풀기 위한 계산기입니다. 이 프로그램에는 세 숫자의 비율에 대한 다음 정리가 포함되어 있습니다.

• 만약< B то A–C< B–C;
• A> B이면 A – C> B – C입니다.

멤버 A – C를 빼는 대신 더하기, 곱하기 또는 나누기와 같은 모든 산술 연산을 지정할 수 있습니다. 따라서 계산기는 합계, 차이, 곱 또는 분수의 부등식을 자동으로 나타냅니다.

결론

실생활에서 불평등은 방정식만큼 흔합니다. 당연히 일상생활에서는 불평등 해소에 대한 지식이 필요하지 않을 수 있다. 그러나 불평등과 그 시스템은 응용 과학에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 세계 경제의 문제에 대한 다양한 연구는 선형 또는 제곱 부등식 시스템의 편집 및 해제로 축소되고 일부 불평등 관계는 특정 대상의 존재를 증명하는 모호하지 않은 방법으로 사용됩니다. 우리 프로그램을 사용하여 선형 부등식을 풀거나 자신의 계산을 확인하십시오.

간격 방법- 분수-합리적 부등식을 푸는 간단한 방법. 이것은 변수에 의존하는 합리적(또는 분수-합리적) 표현식을 포함하는 부등식의 이름입니다.

1. 예를 들어, 그러한 불평등을 고려하십시오.

간격 방법을 사용하면 몇 분 안에 해결할 수 있습니다.

이 부등식의 왼쪽에는 분수 유리 함수가 있습니다. 근, 사인, 로그가 없고 합리적인 표현만 포함되어 있기 때문에 합리적입니다. 오른쪽은 0입니다.

간격 방법은 분수 유리 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다.

분수 유리 함수는 0과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있습니다.

제곱 삼항식이 어떻게 인수로 분해되는지, 즉 형식의 표현을 기억합시다.

와 는 이차 방정식의 근입니다.

축을 그리고 분자와 분모가 사라지는 점을 배치합니다.

분모의 0은 구멍이 뚫린 점입니다. 이 점에서 부등식의 왼쪽에 있는 함수가 정의되지 않기 때문입니다(0으로 나눌 수 없음). 부등식이 엄격하지 않기 때문에 분자 0과 -가 채워집니다. 그리고, 우리의 부등식은 양쪽 변이 모두 0이기 때문에 만족됩니다.

이 점은 축을 간격으로 나눕니다.

이러한 각 구간에서 불평등의 왼쪽에 분수 합리적 함수의 부호를 정의 해 보겠습니다. 분수 유리 함수는 0과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있음을 기억합니다. 이것은 분자 또는 분모가 사라지는 점 사이의 각 간격에서 부등식의 왼쪽에 있는 식의 부호가 "플러스" 또는 "마이너스"로 일정하다는 것을 의미합니다.

따라서 이러한 각 간격에서 함수의 부호를 결정하기 위해 이 간격에 속하는 임의의 점을 취합니다. 우리에게 편리한 것.
... 예를 들어 부등식의 왼쪽에 있는 식의 부호를 확인하십시오. 각 "대괄호"는 음수입니다. 왼쪽에는 표지판이 있습니다.

다음 스팬:. 에 대한 기호를 확인합시다. 왼쪽이 기호로 변경되었음을 알 수 있습니다.

해 보자. 따라서 표현식이 양수이면 ~에서 전체 간격에 걸쳐 양수입니다.

왜냐하면 부등식의 좌변은 음수이기 때문입니다.

마지막으로 class = "tex" alt = "(! LANG: x> 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

우리는 표현식이 어떤 간격으로 긍정적인지 찾았습니다. 답을 적어야 합니다.

대답:.

공백의 문자가 번갈아 표시됩니다. 이것은 때문에 발생했습니다 각 점을 지날 때 선형 요인 중 정확히 하나만 부호가 바뀌고 나머지는 그대로 유지됨.

간격 방법이 매우 간단함을 알 수 있습니다. 간격 방법으로 분수-합리적 부등식을 해결하기 위해 다음 형식으로 가져옵니다.

또는 class = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle P \ 왼쪽 (x \ 오른쪽)) (\ displaystyle Q \ 왼쪽 (x \ 오른쪽)) > 0"> !}, 또는 또는 .

(왼쪽 - 분수 유리 함수, 오른쪽 - 0).

그런 다음-분자 또는 분모가 사라지는 지점을 수직선에 표시합니다.
이 점은 분수 유리 함수가 부호를 유지하는 간격으로 정수 선을 나눕니다.
각 간격에서 부호를 찾는 것만 남아 있습니다.
주어진 간격에 속하는 임의의 지점에서 표현식의 부호를 확인하여 이를 수행합니다. 그 후, 우리는 답을 기록합니다. 그게 다야.

그러나 문제가 발생합니다. 표시가 항상 번갈아 표시됩니까? 아니 항상! 기계적으로나 생각없이 표지판을 배치하지 않도록주의해야합니다.

2. 불평등을 하나 더 생각해보자.

클래스 = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle \ 왼쪽 (x-2 \ 오른쪽) ^ 2) (\ displaystyle \ 왼쪽 (x-1 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (x-3 \ 오른쪽))> 0"> !}

축에 점을 다시 배치합니다. 점과 점은 분모의 0이기 때문에 펀치 아웃됩니다. 불평등이 엄격하기 때문에 요점도 구멍이 뚫립니다.

분자가 양수이면 분모의 두 요소는 모두 음수입니다. 예를 들어, 주어진 간격에서 임의의 숫자를 가져와서 쉽게 확인할 수 있습니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

분자가 양수일 때; 분모의 첫 번째 요소는 양수이고 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

상황은 동일합니다! 분자는 양수, 분모의 첫 번째 요소는 양수, 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

마지막으로 class = "tex" alt = "(! LANG: x> 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

대답:.

왜 표지판의 교대가 깨졌습니까? 점을 지날 때 "책임있는"요소는 다음과 같습니다. 기호를 변경하지 않았습니다... 결과적으로 우리 부등식의 왼쪽 전체도 부호를 바꾸지 않았습니다.

산출: 선형 요인이 짝수 거듭제곱인 경우(예: 정사각형) 점을 지날 때 왼쪽에 있는 식의 부호는 변경되지 않습니다.... 홀수 차수의 경우에는 물론 부호가 바뀝니다.

3. 좀 더 복잡한 경우를 생각해보자. 불평등이 엄격하지 않다는 점에서 이전과 다릅니다.

왼쪽은 이전 작업과 동일합니다. 표지판의 그림은 동일합니다.

아마 답은 같겠죠? 아니! 솔루션이 추가됩니다. 이것은 부등식의 왼쪽과 오른쪽이 모두 0이기 때문입니다. 따라서 이 점이 솔루션입니다.

대답:.

수학 시험 문제에서 이런 상황이 종종 발생합니다. 여기서 지원자는 함정에 빠져 점수를 잃게 됩니다. 조심해!

4. 분자나 분모를 선형화할 수 없다면? 이 불평등을 고려하십시오.

제곱 삼항식은 인수분해할 수 없습니다. 판별식은 음수이고 근이 없습니다. 하지만 이것은 좋다! 이것은 표현의 부호가 모두에게 동일하다는 것을 의미하며, 특히 양수입니다. 이차 함수의 속성에 대한 기사에서 이에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다.

이제 우리는 불평등의 양면을 모두에게 긍정적인 값으로 나눌 수 있습니다. 등가 부등식에 도달합시다.

간격의 방법으로 쉽게 해결할 수 있습니다.

참고 - 우리는 불평등의 양쪽을 우리가 확실히 알고 있는 양으로 나누었습니다. 물론 일반적인 경우 부호를 알 수 없는 변수로 부등식을 곱하거나 나눌 가치가 없습니다.

5 ... 아주 단순해 보이는 또 다른 부등식을 생각해 보십시오.

곱하기만 하면 됩니다. 그러나 우리는 이미 똑똑하고 그렇게 하지 않을 것입니다. 결국 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. 그리고 우리는 불평등의 양쪽에 음수 값을 곱하면 불평등 기호가 변경된다는 것을 알고 있습니다.

우리는 다르게 할 것입니다. 우리는 모든 것을 한 부분으로 모아 공통 분모로 가져올 것입니다. 0은 오른쪽에 남습니다.

클래스 = "tex" alt = "(! LANG: \ genfrac () () () (0) (\ displaystyle x-2) (\ displaystyle x)> 0"> !}

그리고 그 후에 - 우리는 신청할 것입니다 간격 방법.

기사에서 우리는 고려할 것입니다 불평등의 해결책... 에 대해 알기 쉽게 알려드립니다. 불평등에 대한 해결책을 구성하는 방법, 명확한 예와 함께!

예제를 사용하여 부등식의 솔루션을 고려하기 전에 기본 개념을 이해합시다.

불평등에 대한 일반 정보

불평등함수를 관계 기호>,로 연결한 식이라고 합니다. 불평등은 숫자와 알파벳으로 나뉩니다.
관계의 두 가지 징후가있는 불평등은 이중, 삼중 등으로 불립니다. 예를 들면 :
a(x)> b(x),
a(x) a(x) b(x),
a (x) b (x).
a (x) 기호> 또는 또는 엄격하지 않은 기호를 포함하는 부등식.
불평등 해결이 부등식이 참인 변화의 값입니다.
"불평등 해결"는 모든 솔루션 중 많은 부분을 찾아야 함을 의미합니다. 불평등을 해결하는 방법... 에 대한 불평등에 대한 해결책무한한 숫자 라인을 사용하십시오. 예를 들어, 불평등의 해결 x> 3은 3에서 +까지의 간격이고 숫자 3은 이 간격에 포함되지 않으므로 직선 위의 한 점은 빈 원으로 표시됩니다. 불평등이 엄격하다.
+
답은 x(3; +)입니다.
값 x = 3은 솔루션 세트에 포함되지 않으므로 괄호는 반올림됩니다. 무한대 기호는 항상 괄호로 둘러싸여 있습니다. 기호는 "소속"을 의미합니다.
다른 서명된 예를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 고려하십시오.
x 2
-+
값 x = 2는 솔루션 세트에 포함되므로 대괄호와 선의 한 점은 채워진 원으로 표시됩니다.
답은 다음과 같습니다. x)