유도의 예. 수학적 귀납법: 해법의 예

공제이는 일반적인 조항에서 특정 결론까지 추론하는 방법입니다.

연역적 추론은 우리의 지식을 구체화할 뿐입니다. 연역적 결론은 수용된 전제에 있는 정보만을 포함합니다. 추론을 통해 순수한 추론을 통해 기존 지식으로부터 새로운 진실을 얻을 수 있습니다.

추론은 올바른 결론(신뢰할 수 있는 전제 포함)을 100% 보장합니다. 진실로부터의 추론은 진실을 낳는다.

예시 1.

모든 금속은 연성이 있다(비 영형최소 유효 전제 또는 주요 주장).

비스무트는 금속이다(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 비스무트는 플라스틱이다.(올바른 결론).

참된 결론을 도출하는 연역적 추론을 삼단논법이라고 합니다.

예시 2.

모순을 허용하는 정치인은 다 농담이다(비 영형가장 신뢰할 수 있는 전제).

이자형 Ltsin B.N.은 모순을 인정했습니다.(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 E.B.N.은 농담이다.(올바른 결론) .

공제 거짓말에서 거짓말이 나옵니다.

예.

국제통화기금(IMF)의 도움은 언제나 모두의 번영으로 이어집니다(거짓 전제).

IMF는 오랫동안 러시아를 도와왔습니다.(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 러시아는 번영하고 있다.(잘못된 결론).

유도 – 특정 조항에서 일반적인 결론까지 추론하는 방법.

귀납적 결론에는 수용된 전제에 포함되지 않은 정보가 포함될 수 있습니다. 전제의 타당성은 귀납적 결론의 타당성을 의미하지 않습니다. 전제는 결론을 어느 정도 가능하게 만듭니다.

유도는 신뢰할 수 있는 지식을 제공하지 않지만 검증이 필요한 확률적 지식을 제공합니다.

예시 1.

G.M.S. - 완두콩 광대, E.B.N. - 완두콩 광대, Ch.A.B. - 완두콩 광대(신뢰할 수 있는 장소).

G.M.S., E.B.N., Ch.A.B. – 정치인(신뢰할 수 있는 장소).

그러므로 모든 정치인은 광대다.(확률적 결론).

일반화는 그럴듯하다. 그러나 생각할 수 있는 정치인이 있습니다.

예시 2.

최근에는 1구역, 2구역, 3구역에서 군사훈련을 실시해 부대의 전투 효율성을 높이고 있다.(신뢰할 수 있는 장소).

지역 1, 지역 2, 지역 3에서는 러시아군 부대가 훈련에 참여했습니다.(신뢰할 수 있는 장소).

결과적으로 최근 몇 년 동안 러시아 군대의 모든 부대의 전투 효율성이 증가했습니다.(귀납적 무효 추론).

일반적인 결론은 특정 조항에서 논리적으로 도출되지 않습니다. 화려한 사건이 모든 곳에 번영이 있다는 것을 증명하지는 않습니다.

실제로 러시아군의 전반적인 전투 능력은 급격히 감소하고 있습니다.

귀납의 변형은 유추에 의한 추론입니다(한 매개변수에 있는 두 개체의 유사성을 기반으로 다른 매개변수에서도 유사성에 대한 결론이 도출됩니다).

예. 화성과 지구는 여러 면에서 유사합니다. 지구에는 생명이 있습니다. 화성은 지구와 비슷하기 때문에 화성에도 생명체가 있습니다.

물론 이 결론은 확률적일 뿐이다.

모든 귀납적 결론은 검증되어야 합니다.

Dmitry Mezentsev ( "러시아 선한 행동 협회"프로젝트 코디네이터) 2011

귀납법과 연역법은 상호 연관되어 있고 보완적인 추론 방법입니다. 여러 결론에 기초한 판단에서 새로운 진술이 탄생하는 전체가 발생합니다. 이러한 방법의 목적은 기존의 것으로부터 새로운 진실을 도출하는 것입니다. 그것이 무엇인지 알아보고 연역과 귀납의 예를 들어 봅시다. 이 기사에서는 이러한 질문에 대해 자세히 답변할 것입니다.

공제

라틴어(deductio)에서 번역하면 "공제"를 의미합니다. 추론은 일반적인 것에서 특정한 것을 논리적으로 결론짓는 것입니다. 이러한 추론은 항상 올바른 결론으로 ​​이어집니다. 이 방법은 일반적으로 알려진 진실로부터 현상에 대해 필요한 결론을 도출해야 하는 경우에 사용됩니다. 예를 들어 금속은 열전도 물질이고 금은 금속이므로 금은 열전도 요소라고 결론을 내립니다.

데카르트는 이 아이디어의 창시자로 간주됩니다. 그는 추론의 출발점이 지적 직관에서 시작된다고 주장했다. 그의 방법에는 다음이 포함됩니다.

1. 최대한 명확하게 알려진 것만 사실로 인식합니다. 마음 속에 어떤 의심도 있어서는 안 됩니다. 즉, 반박할 수 없는 사실에 대해서만 판단해야 합니다.
2. 연구 중인 현상을 쉽게 극복할 수 있도록 가능한 한 많은 간단한 부분으로 나누십시오.
3. 단순한 것에서 점차적으로 더 복잡한 것으로 이동하십시오.
4. 누락 없이 전체적인 그림을 세밀하게 정리해보세요.

데카르트는 그러한 알고리즘의 도움으로 연구자가 진정한 답을 찾을 수 있을 것이라고 믿었습니다.

직관, 이성, 추론을 통하지 않고는 어떤 지식도 이해하는 것이 불가능합니다. 데카르트

유도

라틴어(inductio)로 번역하면 "안내"를 의미합니다. 귀납법은 특정 판단으로부터 일반적인 결론을 도출하는 것입니다. 추론과 달리 추론은 개연적인 결론에 이르게 되는데, 그 이유는 여러 가지 근거가 일반화되어 성급한 결론이 도출되는 경우가 많기 때문입니다. 예를 들어, 금은 구리, 은, 납과 마찬가지로 고체 물질입니다. 이는 모든 금속이 고체라는 것을 의미합니다. 수은 같은 금속도 있고, 액체이기 때문에 성급하게 결론을 내린 것이기 때문에 결론은 정확하지 않습니다. 연역과 귀납의 예: 첫 번째 경우 결론은 사실로 판명되었습니다. 그리고 두 번째에는 아마도 가능합니다.

경제 분야

경제학에서의 추론과 귀납은 관찰, 실험, 모델링, 과학적 추상화 방법, 분석 및 종합, 시스템 접근, 역사적, 지리적 방법과 동등한 연구 방법입니다. 귀납적 방법을 사용하는 경우 연구는 경제 현상의 관찰에서 시작하여 사실을 축적하고 이를 바탕으로 일반화합니다. 연역적 방법을 적용하면 경제 이론이 공식화되고, 이를 바탕으로 가설이 테스트됩니다. 즉, 이론에서 사실로 연구는 일반적인 것에서 구체적인 것으로 진행됩니다.

경제학에서 추론과 귀납의 예를 들어보자. 빵, 고기, 곡물 및 기타 상품의 가격이 상승하면 우리나라의 가격이 상승하고 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이것이 인덕션이다. 생활비 인상 알림으로 인해 가스, 전기, 기타 유틸리티 및 소비재 가격이 인상될 것으로 보입니다. 이것은 공제입니다.

심리학 분야

처음으로 우리가 고려하고 있는 심리학 현상이 영국 사상가의 작품에서 언급되었는데, 그의 장점은 이성적 지식과 경험적 지식의 통일이었습니다. 홉스는 경험과 이성을 통해 얻을 수 있는 진리는 단 하나뿐이라고 주장했습니다. 그의 견해에 따르면 지식은 일반화를 향한 첫 번째 단계인 감성에서 시작됩니다. 현상의 일반적인 특성은 유도를 사용하여 확립됩니다. 조치를 알면 원인을 찾을 수 있습니다. 모든 이유를 명확히 한 후에는 새롭고 다른 행동과 현상을 이해할 수 있게 해주는 반대 경로인 추론이 필요합니다. Hobbes에 따르면 심리학에서의 추론은 이것이 하나의 인지 과정의 상호 교환 가능한 단계이며 서로 전달된다는 것을 보여줍니다.

논리의 영역

Sherlock Holmes와 같은 캐릭터 덕분에 우리는 두 가지 유형에 익숙합니다. Arthur Conan Doyle은 연역법을 전 세계에 소개했습니다. 셜록은 범죄의 전반적인 모습에서 관찰을 시작하여 구체적으로 이끌어 냈습니다. 즉, 각 용의자, 모든 세부 사항, 동기 및 신체 능력을 연구하고 논리적 결론을 사용하여 철갑 증거를 가지고 논쟁하면서 범인을 알아 냈습니다. .

논리학에서의 연역과 귀납은 간단해서 우리는 자신도 모르게 일상생활에서 매일 사용하고 있습니다. 우리는 종종 빠르게 반응하여 즉각적으로 잘못된 결론을 내리곤 합니다. 공제는 더 오랫동안 생각하는 것입니다. 그것을 개발하려면 끊임없이 두뇌에 도전해야 합니다. 이를 위해 수학, 물리학, 기하학, 심지어 퍼즐과 십자말 풀이까지 모든 분야의 문제를 해결할 수 있으며 사고력 개발에 도움이 될 것입니다. 책, 참고서, 영화, 여행 등 다양한 활동 분야에서 시야를 넓히는 모든 것이 귀중한 도움이 될 것입니다. 관찰은 올바른 논리적 결론을 내리는 데 도움이 될 것입니다. 모든 것, 심지어 가장 사소한 세부 사항이라도 하나의 큰 그림의 일부가 될 수 있습니다.

논리학에서 추론과 귀납의 예를 들어보겠습니다. 40세쯤 된 한 여성의 손에는 많은 수첩이 들어 있어 지퍼가 풀린 핸드백이 들려 있습니다. 그녀는 프릴이나 장식 디테일 없이 정숙한 옷을 입고 있으며, 손에는 얇은 시계와 흰색 분필 자국이 있습니다. 당신은 그녀가 교사로 일할 가능성이 높다고 결론을 내릴 것입니다.

교육학 분야

귀납법과 연역법은 학교 교육에서 자주 사용됩니다. 교사를 위한 방법론 문헌은 귀납적으로 구성되어 있습니다. 이러한 유형의 사고는 기술 장치를 연구하고 실제 문제를 해결하는 데 널리 적용됩니다. 그리고 연역적 방법을 사용하면 많은 사실을 설명하고 일반적인 원리나 속성을 설명하는 것이 더 쉽습니다. 교육학의 공제 및 유도의 예는 모든 수업에서 볼 수 있습니다. 종종 물리학이나 수학에서는 교사가 공식을 제시하고 수업 중에 학생들이 이 경우에 맞는 문제를 해결합니다.

모든 활동 분야에서 귀납법과 연역법은 항상 유용합니다. 그리고 이를 위해 슈퍼 탐정이나 과학 분야의 천재가 될 필요는 없습니다. 사고력을 훈련하고, 두뇌를 발달시키고, 기억력을 훈련하세요. 그러면 미래에는 복잡한 작업이 본능적인 수준에서 해결될 것입니다.

공제이는 일반적인 조항에서 특정 결론까지 추론하는 방법입니다.

연역적 추론은 우리의 지식을 구체화할 뿐입니다. 연역적 결론은 수용된 전제에 있는 정보만을 포함합니다. 추론을 통해 순수한 추론을 통해 기존 지식으로부터 새로운 진실을 얻을 수 있습니다.

추론은 올바른 결론(신뢰할 수 있는 전제 포함)을 100% 보장합니다. 진실로부터의 추론은 진실을 낳는다.

예시 1.

모든 금속은 연성이 있다(비 영형최소 유효 전제 또는 주요 주장).

비스무트는 금속이다(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 비스무트는 플라스틱이다.(올바른 결론).

참된 결론을 도출하는 연역적 추론을 삼단논법이라고 합니다.

예시 2.

모순을 허용하는 정치인은 다 농담이다(비 영형가장 신뢰할 수 있는 전제).

이자형 Ltsin B.N.은 모순을 인정했습니다.(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 E.B.N.은 농담이다.(올바른 결론) .

공제 거짓말에서 거짓말이 나옵니다.

예.

국제통화기금(IMF)의 도움은 언제나 모두의 번영으로 이어집니다(거짓 전제).

IMF는 오랫동안 러시아를 도와왔습니다.(신뢰할 수 있는 전제).

그러므로 러시아는 번영하고 있다.(잘못된 결론).

유도 – 특정 조항에서 일반적인 결론까지 추론하는 방법.

귀납적 결론에는 수용된 전제에 포함되지 않은 정보가 포함될 수 있습니다. 전제의 타당성은 귀납적 결론의 타당성을 의미하지 않습니다. 전제는 결론을 어느 정도 가능하게 만듭니다.

유도는 신뢰할 수 있는 지식을 제공하지 않지만 검증이 필요한 확률적 지식을 제공합니다.

예시 1.

G.M.S. - 완두콩 광대, E.B.N. - 완두콩 광대, Ch.A.B. - 완두콩 광대(신뢰할 수 있는 장소).

G.M.S., E.B.N., Ch.A.B. – 정치인(신뢰할 수 있는 장소).

그러므로 모든 정치인은 광대다.(확률적 결론).

일반화는 그럴듯하다. 그러나 생각할 수 있는 정치인이 있습니다.

예시 2.

최근에는 1구역, 2구역, 3구역에서 군사훈련을 실시해 부대의 전투 효율성을 높이고 있다.(신뢰할 수 있는 장소).

지역 1, 지역 2, 지역 3에서는 러시아군 부대가 훈련에 참여했습니다.(신뢰할 수 있는 장소).

결과적으로 최근 몇 년 동안 러시아 군대의 모든 부대의 전투 효율성이 증가했습니다.(귀납적 무효 추론).

일반적인 결론은 특정 조항에서 논리적으로 도출되지 않습니다. 화려한 사건이 모든 곳에 번영이 있다는 것을 증명하지는 않습니다.

실제로 러시아군의 전반적인 전투 능력은 급격히 감소하고 있습니다.

귀납의 변형은 유추에 의한 추론입니다(한 매개변수에 있는 두 개체의 유사성을 기반으로 다른 매개변수에서도 유사성에 대한 결론이 도출됩니다).

예. 화성과 지구는 여러 면에서 유사합니다. 지구에는 생명이 있습니다. 화성은 지구와 비슷하기 때문에 화성에도 생명체가 있습니다.

물론 이 결론은 확률적일 뿐이다.

모든 귀납적 결론은 검증되어야 합니다.

Dmitry Mezentsev ( "러시아 선한 행동 협회"프로젝트 코디네이터) 2011

추론은 하나 이상의 허용된 진술(전제)으로부터 새로운 진술, 즉 결론(결과)을 얻는 논리적 작업입니다.

전제와 결론 사이에 연관성이 있는지 여부에 따라 논리적 결과, 두 가지 유형의 추론을 구별할 수 있습니다.

연역적 추론에서 이러한 연결은 논리적 법칙을 기반으로 하며, 이로 인해 결론은 수용된 전제로부터 논리적 필연성을 따릅니다.이미 언급했듯이 그러한 추론의 특징은 항상 참된 전제에서 참된 결론으로 ​​이어진다는 것입니다.

연역적 추론에는 예를 들어 다음과 같은 추론이 포함됩니다.

주어진 숫자가 6으로 나누어지면 3으로도 나누어집니다.

이 숫자는 6으로 나누어집니다.

이 숫자는 3으로 나눌 수 있습니다.

헬륨이 금속인 경우 전기 전도성이 있습니다.

헬륨은 전기 전도성이 없습니다.

헬륨은 금속이 아닙니다.

전제와 결론을 구분하는 줄이 "그러므로"라는 단어를 대체합니다.

귀납적 추론에서 전제와 결론 사이의 연결은 논리 법칙이 아니라 순전히 형식적인 성격이 아닌 일부 사실적 또는 심리적 근거에 기반합니다.그러한 추론에서 결론은 전제로부터 논리적으로 도출되지 않으며 전제에 포함되지 않은 정보를 포함할 수 있습니다. 따라서 전제의 신뢰성은 전제로부터 귀납적으로 도출된 진술의 신뢰성을 의미하지 않습니다. 귀납법은 추가 검증이 필요한 개연적이거나 그럴듯한 결론만을 도출합니다.

귀납의 예에는 추론이 포함됩니다.

아르헨티나는 공화국입니다. 브라질은 공화국입니다. 베네수엘라는 공화국이다.

에콰도르는 공화국이다.

아르헨티나, 브라질, 베네수엘라, 에콰도르는 라틴 아메리카 국가입니다.

라틴아메리카의 모든 국가는 공화국이다.

이탈리아는 공화국이다. 포르투갈은 공화국입니다. 핀란드는 공화국입니다.

프랑스는 공화국이다.

이탈리아, 포르투갈, 핀란드, 프랑스는 서유럽 국가입니다.

모든 서유럽 국가는 공화국입니다.

귀납법은 기존 진리로부터 새로운 진리를 얻는다는 완전한 보장을 제공하지 않습니다. 우리가 이야기할 수 있는 최대값은 특정입니다. 확률의 정도추론된 진술. 따라서 첫 번째와 두 번째 귀납추론의 전제는 모두 참이지만, 첫 번째 귀납추론의 결론은 참이고 두 번째 추론은 거짓입니다. 실제로 모든 라틴 아메리카 국가는 공화국입니다. 그러나 서유럽 국가에는 공화국뿐만 아니라 영국, 벨기에, 스페인과 같은 군주국도 있습니다.

특히 특징적인 추론은 논리적 전환입니다. 일반적인 지식에서 특별한 지식으로. 이미 알려진 일반 원리에 기초하여 현상을 고려하고 이 현상에 대해 필요한 결론을 도출해야 하는 모든 경우에 우리는 추론의 형태로 결론을 내립니다(모든 시인은 작가입니다. Lermontov는 시인입니다. 따라서 Lermontov는 작가)입니다.

일부 대상에 대한 지식에서 특정 클래스의 모든 대상에 대한 일반 지식으로 이어지는 추론은 일반화가 성급하고 근거 없는 것으로 판명될 가능성이 항상 있기 때문에(플라톤은 철학자, 아리스토텔레스는 철학자입니다. 모든 사람이 철학자라는 뜻입니다.)

동시에, 일반에서 특정으로의 전환을 연역으로 식별하고 특정에서 일반으로의 전환을 귀납으로 식별할 수 없습니다. 추론은 하나의 진실에서 다른 진실로의 논리적 전환이고, 귀납은 신뢰할 수 있는 지식에서 가능한 지식으로의 전환입니다. 귀납적 추론에는 일반화뿐만 아니라 비유나 유추, 현상의 원인에 대한 결론 등도 포함됩니다.

추론은 진술을 정당화하는 데 특별한 역할을 합니다. 문제의 조항이 이미 확립된 조항을 논리적으로 따른다면, 후자와 동일한 정도로 정당화되고 수용 가능합니다. 이는 관찰이나 직관 등에 의존하지 않고 순수한 추론을 사용하여 진술을 정당화하는 엄격하고 논리적인 방법입니다.

그러나 정당화 과정에서 연역의 중요성을 강조하면서도 이를 귀납과 분리하거나 과소평가해서는 안 된다. 물론 과학 법칙을 포함한 거의 모든 일반 원리는 귀납적 일반화의 결과입니다. 이런 의미에서 귀납법은 우리 지식의 기초입니다. 그 자체로는 진실성과 타당성을 보장하지 않습니다. 그러나 그것은 가정을 일으키고 그것을 경험과 연결함으로써 어느 정도 진실성, 다소 높은 확률을 제공합니다. 경험은 인간 지식의 원천이자 기초입니다. 경험에서 이해되는 것에서 출발하는 귀납은 일반화와 체계화를 위해 꼭 필요한 수단이다.

연역은 수용된 전제만큼 유효한 결론을 도출하는 것입니다.

일반적인 추론에서 공제는 아주 드문 경우에만 완전하고 확장된 형태로 나타납니다. 대부분의 경우 사용된 모든 소포를 표시하지 않고 일부만 표시합니다. 일반적으로 잘 알려져 있다고 가정할 수 있는 일반적인 진술은 생략한다. 수용된 전제에서 나오는 결론이 항상 명확하게 공식화되는 것은 아닙니다. 초기 진술과 추론된 진술 사이에 존재하는 매우 논리적인 연결은 때때로 "그러므로" 및 "수단"과 같은 단어로 표시됩니다.

종종 공제액은 너무 축약되어 추측만 가능합니다. 필요한 모든 요소와 연결을 표시하여 전체 형식으로 복원하는 것은 어려울 수 있습니다.

아무것도 생략하거나 단축하지 않고 연역적 추론을 수행하는 것은 번거롭다. 자신의 결론에 대한 모든 전제를 지적하는 사람은 일종의 현학적인 인상을 줍니다. 동시에 결론의 타당성에 대한 의문이 생길 때마다 추론의 맨 처음으로 돌아가 가능한 가장 완전한 형태로 재현해야 합니다. 이것이 없으면 실수를 탐지하는 것이 어렵거나 심지어 불가능합니다.

많은 문학 평론가들은 셜록 홈즈가 에딘버러 대학의 의학 교수인 Joseph Bell의 A. Conan Doyle에 의해 "복사"되었다고 믿습니다. 후자는 보기 드문 관찰력과 뛰어난 추론 방법을 구사하는 재능 있는 과학자로 알려졌습니다. 그의 학생들 중에는 유명한 탐정 이미지의 미래 창조자가 있었습니다.

어느 날 Conan Doyle은 자서전에서 한 환자가 진료소에 왔고 Bell이 그에게 물었습니다.

군대에서 복무하셨나요?

알겠습니다! - 환자가주의를 기울이고 대답했습니다.

산악 소총 연대에서요?

그렇죠, 미스터닥터!

최근에 은퇴했나요?

알겠습니다!

당신은 상사 였나요?

알겠습니다! -환자가 대담하게 대답했습니다.

바베이도스에 가본 적이 있나요?

그렇죠, 미스터닥터!

이 대화에 참석한 학생들은 놀란 표정으로 교수를 바라보았습니다. 벨은 자신의 결론이 얼마나 단순하고 논리적인지 설명했습니다.

이 남자는 사무실에 들어서자마자 공손함과 예의를 갖추었지만 여전히 모자를 벗지 않았습니다. 군대 습관이 큰 타격을 입었습니다. 환자가 퇴직한 지 오래 되었다면 예의범절을 일찍 배웠을 것입니다. 그의 자세는 오만하고, 그의 국적은 분명히 스코틀랜드인이며, 이는 그가 지휘관이었다는 것을 나타냅니다. 바베이도스에 머무는 동안 방문객은 상피증 (상피증)에 걸렸습니다. 이러한 질병은 해당 장소의 주민들에게 흔합니다.

여기서 연역적 추론은 극도로 축약됩니다. 특히 모든 일반적인 진술은 생략되어 공제가 불가능합니다.

앞서 소개된 '올바른 추론(추론)'이라는 개념은 연역적 추론만을 의미한다. 오직 그것만이 옳을 수도 있고 틀릴 수도 있습니다. 귀납적 추론에서 결론은 수용된 전제와 논리적으로 관련되지 않습니다. '정확성'은 전제와 결론 사이의 논리적 연결의 특징이고, 이 연결은 귀납적 추론에 의해 가정되지 않으므로 그러한 결론은 정확하지도 부정확할 수도 없습니다. 때로는 이를 바탕으로 귀납적 추론이 추론 수에 전혀 포함되지 않는 경우도 있습니다.

“한 방울의 물에서... 논리적으로 생각할 수 있는 사람은 대서양이나 나이아가라 폭포 중 하나를 본 적도 없고 들어본 적도 없다 하더라도... 사람의 손톱, 손, 신발, 무릎 부분의 바지 접힌 부분, 엄지와 검지의 피부가 두꺼워진 것, 얼굴 표정과 셔츠의 소맷단 등 그런 사소한 것에서 비롯됩니다. 그의 직업을 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 그리고 이 모든 것이 합쳐지면 지식이 풍부한 관찰자가 올바른 결론을 내릴 수 있다는 데에는 의심의 여지가 없습니다.”

세계 문학계의 가장 유명한 컨설팅 탐정 셜록 홈즈의 정책 기사에서 인용한 글입니다. 그는 가장 작은 세부 사항을 바탕으로 논리적으로 완벽한 추론 체인을 구축하고 종종 베이커 스트리트에 있는 자신의 아파트를 떠나지 않고도 복잡한 범죄를 해결했습니다. 홈즈는 자신이 만든 연역적 방법을 사용했는데, 그의 친구인 왓슨 박사가 믿었듯이 이 방법은 범죄 해결을 정확한 과학의 문턱에 두었습니다.

물론 홈즈는 법의학에서 추론의 중요성을 다소 과장했지만, 연역적 방법에 대한 그의 추론은 제 역할을 했습니다. 소수에게만 알려진 특수 용어의 "공제"는 일반적으로 사용되며 심지어 유행하는 개념으로 변했습니다. 올바른 추론 기술, 그리고 무엇보다도 연역적 추론의 대중화는 그가 해결한 모든 범죄 못지않게 홈즈의 장점입니다. 그는 "가능한 추론의 수정 미로를 통과하여 하나의 빛나는 결론에 도달하면서 논리에 꿈의 매력을 부여"하는 데 성공했습니다(V. Nabokov).

추론은 추론의 특별한 경우이다.

넓은 의미에서 추론은 하나 이상의 허용된 진술(전제)으로부터 새로운 진술, 즉 결론(결론, 결과)이 얻어지는 논리적 작업입니다.

전제와 결론 사이에 논리적 귀결의 연결이 있는지 여부에 따라 두 가지 유형의 추론이 구별됩니다.

연역적 추론에서 이러한 연결은 논리적 법칙을 기반으로 하며, 이로 인해 결론은 수용된 전제로부터 논리적 필연성을 따릅니다. 그러한 추론의 특징은 항상 참된 전제로부터 참된 결론을 이끌어낸다는 것입니다.

귀납적 추론에서 전제와 결론 사이의 연결은 논리 법칙이 아니라 순전히 형식적인 성격이 아닌 일부 사실적 또는 심리적 근거에 기반합니다. 이러한 추론에서 결론은 스프링클에서 논리적으로 도출되지 않으며 스프링클에 존재하지 않는 정보를 포함할 수 있습니다. 따라서 전제의 신뢰성은 전제로부터 귀납적으로 도출된 진술의 신뢰성을 의미하지 않습니다. 귀납법은 추가 검증이 필요한 개연적이거나 그럴듯한 결론만을 도출합니다.

연역적 추론에는 다음이 포함됩니다.

비가 오면 땅이 젖어 있습니다.

비가 온다.

땅이 젖어 있습니다.

헬륨이 금속인 경우 전기 전도성이 있습니다.

헬륨은 전기 전도성이 없습니다.

헬륨은 금속이 아닙니다.

전제와 결론을 구분하는 줄이 "그러므로"라는 단어를 대체합니다.

귀납의 예에는 추론이 포함됩니다.

아르헨티나는 공화국입니다. 브라질은 공화국입니다.

베네수엘라는 공화국이다. 에콰도르는 공화국이다.

아르헨티나, 브라질, 베네수엘라, 에콰도르는 라틴 아메리카 국가입니다.

라틴아메리카의 모든 국가는 공화국이다.

이탈리아는 공화국이다. 포르투갈은 공화국입니다. 핀란드는 공화국입니다. 프랑스는 공화국이다.

이탈리아, 포르투갈, 핀란드, 프랑스는 서유럽 국가입니다.

모든 서유럽 국가는 공화국입니다.

귀납법은 기존 진리로부터 새로운 진리를 얻는다는 완전한 보장을 제공하지 않습니다. 우리가 이야기할 수 있는 최대치는 진술이 도출될 확률의 어느 정도입니다. 따라서 첫 번째와 두 번째 귀납추론의 전제는 모두 참이지만, 첫 번째 귀납추론의 결론은 참이고 두 번째 추론은 거짓입니다. 실제로 모든 라틴 아메리카 국가는 공화국입니다. 그러나 서유럽 국가에는 공화국뿐만 아니라 영국, 벨기에, 스페인과 같은 군주국도 있습니다.

특히 특징적인 추론은 일반 지식에서 특정 유형으로의 논리적 전환입니다.

모든 사람은 죽는다.

모든 그리스인은 사람입니다.

그러므로 모든 그리스인은 죽는다.

이미 알려진 일반 규칙에 기초하여 일부 현상을 고려하고 이러한 현상에 대해 필요한 결론을 도출해야 하는 모든 경우에 우리는 추론의 형태로 결론을 내립니다. 일부 대상에 대한 지식(사적 지식)에서 특정 클래스의 모든 대상에 대한 지식(일반 지식)으로 이어지는 추론은 전형적인 귀납법입니다. 일반화가 성급하고 근거 없는 것으로 판명될 가능성은 항상 있습니다(“나폴레옹은 사령관이고 수보로프는 사령관입니다. 이는 모든 사람이 사령관임을 의미합니다”).

동시에, 일반에서 특정으로의 전환을 연역으로 식별하고 특정에서 일반으로의 전환을 귀납으로 식별할 수 없습니다. 논쟁에서 “셰익스피어는 소네트를 썼다; 그러므로 셰익스피어가 소네트를 쓰지 않았다는 것은 사실이 아닙니다.” 추론이 있지만 일반적인 것에서 구체적인 것으로의 전환은 없습니다. “알루미늄이 플라스틱이고 점토가 플라스틱이라면 알루미늄은 플라스틱이다”라는 추론은 일반적으로 생각하는 것처럼 귀납적이지만 특정에서 일반으로의 전환은 없습니다. 연역은 수용된 전제만큼 신뢰할 수 있는 결론을 도출하는 것이고, 귀납은 개연적인(타당한) 결론을 도출하는 것입니다. 귀납적 추론에는 특정에서 일반으로의 전환뿐만 아니라 유추, 인과 관계 설정 방법, 결과 확인, 의도적인 정당화 등이 모두 포함됩니다.

연역적 추론에서 나타나는 특별한 관심은 이해할 만합니다. 경험, 직관, 상식 등에 의거하지 않고 순수한 추론의 도움으로 기존 지식으로부터 새로운 진리를 얻을 수 있습니다. 공제는 100% 성공을 보장하며, 단순히 진정한 결론을 내릴 확률 중 하나 또는 다른 것(어쩌면 높은)을 제공하는 것이 아닙니다. 참된 전제에서 시작하여 연역적으로 추론함으로써 우리는 모든 경우에 있어서 신뢰할 수 있는 지식을 얻게 될 것을 확신합니다.

그러나 지식을 전개하고 실증하는 과정에서 연역의 중요성을 강조하면서도 이를 귀납과 분리하여 과소평가해서는 안 된다. 과학법칙을 포함한 거의 모든 일반 조항은 귀납적 일반화의 결과입니다. 이런 의미에서 귀납법은 우리 지식의 기초입니다. 그 자체로는 진실과 타당성을 보장하지 않지만 가정을 발생시키고 이를 경험과 연결하여 어느 정도 신뢰성, 다소 높은 확률을 제공합니다. 경험은 인간 지식의 원천이자 기초입니다. 경험에서 이해되는 것에서 출발하는 귀납은 일반화와 체계화를 위해 꼭 필요한 수단이다.

이전에 논의된 추론 패턴은 모두 연역적 추론의 예였습니다. 명제 논리, 양상 논리, 정언 삼단논법의 논리 이론은 모두 연역 논리의 일부입니다.

따라서 연역이란 수용된 전제만큼 신뢰할 수 있는 결론을 도출하는 것입니다.

일반적인 추론에서 공제는 아주 드문 경우에만 완전하고 확장된 형태로 나타납니다. 대부분의 경우 사용된 모든 소포를 표시하지 않고 일부만 표시합니다. 일반적으로 잘 알려져 있다고 가정할 수 있는 일반적인 진술은 생략한다. 수용된 전제에서 나오는 결론이 항상 명확하게 공식화되는 것은 아닙니다. 초기 진술과 추론된 진술 사이에 존재하는 매우 논리적인 연결은 때때로 "그러므로" 및 "수단"과 같은 단어로 표시됩니다.

종종 공제액은 너무 축약되어 추측만 가능합니다. 필요한 모든 요소와 연결을 표시하여 전체 형식으로 복원하는 것은 어려울 수 있습니다.

셜록 홈즈는 “오랜 습관 덕분에 내 안에서 일련의 추론이 너무 빨리 일어나서 중간 전제도 알아차리지 못한 채 결론에 도달했다”고 말한 적이 있습니다. 하지만 거기에 이 소포들이 있었어요.”

아무것도 생략하거나 단축하지 않고 연역적 추론을 수행하는 것은 꽤 번거롭습니다. 자신의 결론에 대한 모든 전제를 지적하는 사람은 하찮은 현자의 인상을 줍니다. 동시에 결론의 타당성에 대한 의문이 생길 때마다 추론의 맨 처음으로 돌아가 가능한 가장 완전한 형태로 재현해야 합니다. 이것이 없으면 실수를 탐지하는 것이 어렵거나 심지어 불가능합니다.

많은 문학 평론가들은 셜록 홈즈가 에딘버러 대학의 의학 교수인 Joseph Bell의 A. Conan Doyle에 의해 "복사"되었다고 믿습니다. 후자는 보기 드문 관찰력과 뛰어난 추론 방법을 구사하는 재능 있는 과학자로 알려졌습니다. 그의 학생들 중에는 유명한 탐정 이미지의 미래 창조자가 있었습니다.

어느 날 Conan Doyle은 자서전에서 한 환자가 진료소에 왔고 Bell이 그에게 물었습니다.

– 군대에서 복무하셨나요?

- 알겠습니다! – 환자가주의를 기울이고 대답했습니다.

- 산악 소총 연대에서요?

- 그렇죠, 닥터 선생님!

– 최근에 은퇴하셨나요?

- 알겠습니다!

- 당신은 상사였나요?

- 알겠습니다! – 환자는 대담하게 대답했습니다.

– 바베이도스에 주둔하셨나요?

- 그렇죠, 닥터 선생님!

이 대화에 참석한 학생들은 놀란 표정으로 교수를 바라보았습니다. 벨은 자신의 결론이 얼마나 단순하고 논리적인지 설명했습니다.

이 남자는 사무실에 들어서자마자 공손함과 예의를 갖추었지만 여전히 모자를 벗지 않았습니다. 군대 습관이 큰 타격을 입었습니다. 환자가 퇴직한 지 오래 되었다면 예의범절을 일찍 배웠을 것입니다. 그의 자세는 오만하고, 그의 국적은 분명히 스코틀랜드인이며, 이는 그가 지휘관이었다는 것을 나타냅니다. 바베이도스에 머무는 동안 방문객은 상피병(상피증)을 앓고 있습니다. 이러한 질병은 해당 장소의 주민들에게 흔합니다.

여기서 연역적 추론은 극도로 축약됩니다. 특히 모든 일반적인 진술은 생략되어 공제가 불가능합니다.

셜록 홈즈는 매우 인기 있는 캐릭터가 되었고 그와 그의 창조자에 대한 농담도 있었습니다.

예를 들어, 로마에서 Conan Doyle은 택시 운전사를 데리고 이렇게 말했습니다. "아, Doyle 씨, 콘스탄티노플과 밀라노로 여행을 마치고 인사드립니다!" “내가 어디서 왔는지 어떻게 알 수 있었나요?” – 코난 도일은 셜록 홈즈의 통찰력에 놀랐습니다. “여행가방에 붙은 스티커에 따르면요.” 마부는 교활하게 웃었다.

이것은 매우 짧고 간단한 또 ​​다른 추론입니다.

연역적 논증은 이전에 승인된 다른 조항으로부터 입증된 입장을 도출하는 것입니다. 제시된 입장이 이미 확립된 조항으로부터 논리적(연역적으로) 추론될 수 있다면, 이는 해당 조항과 동일한 정도로 수용 가능하다는 것을 의미합니다. 다른 진술의 진실성이나 수용 가능성을 참조하여 일부 진술을 정당화하는 것은 논증 과정에서 연역에 의해 수행되는 유일한 기능은 아닙니다. 연역적 추론은 진술을 검증(간접적으로 확인)하는 역할도 합니다. 검증되는 입장에서 그 경험적 결과가 연역적으로 도출됩니다. 이러한 결과에 대한 확인은 원래 입장을 지지하는 귀납적 주장으로 평가됩니다. 연역적 추론은 진술의 결과가 거짓임을 보여줌으로써 진술을 위조하는 데에도 사용됩니다. 실패한 반증은 검증의 약화 버전입니다. 테스트 중인 가설의 실증적 결과를 반박하지 못하는 것은 비록 매우 약하기는 하지만 이 가설을 뒷받침하는 주장입니다. 마지막으로, 연역은 이론이나 지식 체계를 체계화하고, 논리적 연결과 그에 포함된 진술을 추적하며, 이론이 제시하는 일반 원리를 바탕으로 설명과 이해를 구성하는 데 사용됩니다. 이론의 논리적 구조를 명확히 하고, 이론의 경험적 기반을 강화하며, 이론의 일반적인 전제를 확인하는 것은 이론의 주장을 입증하는 데 중요한 기여를 합니다.

연역적 논증은 보편적이며 모든 지식 영역과 모든 청중에게 적용 가능합니다. 중세 철학자 I.S. Eriugena는 이렇게 썼습니다. “그리고 행복이 영생 외에 다른 것이 아니라면, 영생은 진리에 대한 지식입니다.

행복은 진리에 대한 지식 외에는 아무것도 아닙니다.” 이러한 신학적 추론은 연역적 추론, 즉 삼단논법이다.

다양한 지식 분야에서 연역적 논증의 비율은 상당히 다릅니다. 이는 수학과 수리 물리학에서 매우 널리 사용되며 역사나 미학에서는 가끔 사용됩니다. 아리스토텔레스는 추론의 범위에 관해 이렇게 썼습니다. “수학자에게 감정적 설득을 요구해서는 안 되는 것처럼 연설가에게 과학적 증명을 요구해서는 안 됩니다.” 연역적 논증은 매우 강력한 도구이며 다른 도구와 마찬가지로 좁은 범위에서 사용해야 합니다. 이에 적합하지 않은 영역이나 청중을 대상으로 연역적 논증을 구축하려는 시도는 설득력이 있다는 환상을 만들어낼 수 있는 피상적인 추론으로 이어진다.

연역적 논증이 얼마나 광범위하게 사용되는지에 따라 모든 과학은 일반적으로 연역적 논증과 귀납적 논증으로 구분됩니다. 첫 번째에서는 연역적 논증이 주로 또는 심지어 배타적으로 사용됩니다. 둘째, 그러한 논증은 명백히 보조적인 역할만을 수행하며, 우선 귀납적, 확률론적 성격을 지닌 경험적 논증입니다. 수학은 전형적인 연역과학으로 간주되고, 자연과학은 귀납과학의 한 예입니다. 그러나 금세기 초에 널리 퍼진 연역과 귀납으로 과학을 나누는 것은 이제 그 의미를 거의 상실했습니다. 그것은 안정적이고 최종적으로 확립된 진리의 체계로서 정적으로 고려되는 과학에 초점을 맞추고 있습니다.

연역의 개념은 일반적인 방법론적 개념이다. 논리에서는 증명의 개념에 해당합니다.

증명이란 진실이 더 이상 의심되지 않는 다른 진술을 인용하여 진술의 진실성을 확립하는 추론입니다.

증명은 논제(증명해야 하는 진술)와 근거 또는 주장(논문이 입증되는 데 도움이 되는 진술)을 구별합니다. 예를 들어, "백금은 전기를 전도한다"라는 진술은 "백금은 금속이다"와 "모든 금속은 전기를 전도한다"라는 참 진술로 입증될 수 있습니다.

증명의 개념은 논리학과 수학의 핵심 개념 중 하나이지만 모든 경우와 모든 과학 이론에 적용할 수 있는 명확한 정의는 없습니다.

논리는 직관적이거나 "순진한" 증명 개념을 완전히 공개하는 척하지 않습니다. 증거는 하나의 보편적인 정의로 포착할 수 없는 다소 모호한 증거 체계를 형성합니다. 논리에서는 일반적인 증명 가능성이 아니라 주어진 특정 시스템이나 이론의 틀 내에서의 증명 가능성에 대해 이야기하는 것이 일반적입니다. 동시에, 다양한 시스템과 관련된 다양한 증명 개념의 존재가 허용됩니다. 예를 들어, 직관 논리학 및 이에 기초한 수학의 증명은 고전 논리학 및 이에 기초한 수학의 증명과 크게 다릅니다. 고전적 증명에서는 특히 배제된 중간의 법칙, 이중 부정의 법칙(제거) 및 직관주의 논리에는 없는 기타 여러 논리 법칙을 사용할 수 있습니다.

증거는 사용된 방법에 따라 두 가지 유형으로 구분됩니다. 직접적인 증명을 통해 논제가 논리적으로 이어지는 설득력 있는 주장을 찾는 것이 과제입니다. 간접 증거는 논제에 반대되는 가정, 즉 대립의 오류를 밝혀줌으로써 논제의 타당성을 확립합니다.

예를 들어, 사각형의 내각의 합이 360°라는 것을 증명해야 합니다. 이 논제는 어떤 진술로부터 도출될 수 있는가? 대각선은 사각형을 두 개의 삼각형으로 나눕니다. 즉, 각도의 합은 두 삼각형의 각도의 합과 같습니다. 삼각형의 내각의 합은 180°인 것으로 알려져 있습니다. 이 법칙으로부터 우리는 사각형의 내각의 합이 360°라는 것을 추론합니다. 다른 예시. 우주선이 우주 역학의 법칙을 따른다는 것을 증명하는 것이 필요합니다. 이러한 법칙은 보편적인 것으로 알려져 있습니다. 우주 공간의 어느 지점에 있는 모든 물체도 이 법칙을 따릅니다. 우주선이 우주체라는 것도 분명합니다. 이를 지적한 후, 우리는 그에 상응하는 연역적 결론을 내립니다. 이는 문제의 진술에 대한 직접적인 증거입니다.

간접 증명에서는 추론이 우회적으로 진행됩니다. 입증된 입장을 추론하기 위해 논증을 직접 찾는 대신, 이 입장에 대한 부정인 대조가 공식화됩니다. 또한 어떤 식 으로든 대조의 불일치가 표시됩니다. 배타중의 법칙에 따르면, 모순되는 명제 중 하나가 거짓이라면 두 번째 명제는 반드시 참이어야 합니다. 대조는 거짓이다. 이는 논제가 참이라는 뜻이다.

간접 증거는 증명되는 명제의 부정을 사용하기 때문에 모순에 의한 증명이라고 합니다.

"사각형은 원이 아니다"라는 매우 사소한 논제에 대한 간접적인 증거를 구축해야 한다고 가정해 보겠습니다. "사각형은 원이다"라는 반대 논제가 제시됩니다. 이 진술이 허위임을 보여줄 필요가 있습니다. 이를 위해 우리는 그것으로부터 결과를 도출합니다. 그 중 적어도 하나가 거짓으로 밝혀지면 이는 추론이 도출되는 진술 자체도 거짓임을 의미합니다. 특히 다음 추론은 거짓입니다. 정사각형에는 모서리가 없습니다. 대조가 거짓이므로 원래의 논제는 참이어야 합니다.

다른 예시. 환자에게 독감에 걸리지 않았다고 확신시키는 의사는 다음과 같이 주장합니다. 실제로 독감이 발생했다면 두통, 발열 등의 특징적인 증상이 나타날 것입니다. 그러나 그와 같은 것은 없습니다. 이는 독감이 없다는 뜻입니다.

이것은 또 간접적인 증거이다. 논제를 직접적으로 입증하는 대신 환자가 실제로 독감에 걸렸다는 대조가 제시됩니다. 결과는 대조에서 도출되지만 객관적인 데이터에 의해 반박됩니다. 이는 인플루엔자 가정이 잘못되었음을 시사합니다. 따라서 "독감은 없다"는 주장이 사실입니다.

모순에 의한 증거는 우리의 추론, 특히 논쟁에서 흔히 볼 수 있습니다. 능숙하게 사용하면 특히 설득력이 있을 수 있습니다.

증명 개념의 정의에는 논리의 두 가지 핵심 개념, 즉 진실 개념과 논리적 결과 개념이 포함됩니다. 이 두 개념은 모두 명확하지 않으며, 따라서 이를 통해 정의되는 증명의 개념 역시 명확하다고 분류할 수 없습니다.

많은 진술은 진실도 거짓도 아니며, 평가, 규범, 조언, 선언, 맹세, 약속 등 "진실의 범주" 밖에 있습니다. 어떤 상황도 설명하지 않고 상황이 무엇인지, 어떤 방향으로 변화해야 하는지를 나타냅니다. 설명은 현실과 일치해야 합니다. 성공적인 조언(주문 등)은 효과적이거나 편리한 것으로 특징지어지지만 사실은 아닙니다. "물이 끓는다"라는 말은 물이 실제로 끓는다면 참입니다. “물을 끓여라!”라는 명령 편의적일 수는 있지만 진실과 관련이 없습니다. 진리값이 없는 표현으로 작업할 때 논리적이고 실증적일 수 있고 그래야 한다는 것은 명백합니다. 따라서 진실의 관점에서 정의되는 증거 개념이 크게 확장되는 문제가 발생합니다. 설명뿐만 아니라 평가, 규범 등도 다루어야 합니다. 증명을 재정의하는 문제는 아직 평가 논리나 의무적(규범적) 논리로 해결되지 않았습니다. 이로 인해 증거의 개념이 그 의미에서 완전히 명확하지 않게 됩니다.

게다가 논리적 결과에 대한 단일 개념도 없습니다. 원칙적으로 이 개념을 정의한다고 주장하는 논리 시스템은 무한히 많습니다. 현대 논리학에서 이용할 수 있는 논리법칙과 논리적 함의에 대한 정의 중 어느 것도 비판과 일반적으로 “논리적 함의의 역설”이라고 불리는 것으로부터 자유롭지 않습니다.

모든 과학이 어느 정도 따르려고 노력하는 증명 모델은 수학적 증명입니다. 오랫동안 그것은 명확하고 논쟁의 여지가 없는 과정을 대표한다고 믿어졌습니다. 금세기에는 수학적 증명에 대한 태도가 바뀌었습니다. 수학자들은 적대적인 파벌로 나뉘었고, 각 파벌은 증명에 대한 자신의 해석을 가지고 있었습니다. 그 이유는 주로 증명의 기초가 되는 논리적 원리에 대한 생각이 바뀌었기 때문입니다. 그들의 독창성과 무오류성에 대한 자신감은 사라졌습니다. 논리주의는 논리가 모든 수학을 정당화하기에 충분하다고 확신했습니다. 형식주의자(D. Hilbert 등)에 따르면 논리만으로는 충분하지 않으며 논리적 공리는 수학적 공리로 보완되어야 합니다. 집합론 운동의 대표자들은 논리적 원리에 특별히 관심이 없었으며 항상 이를 명시적으로 나타내지는 않았습니다. 직관주의자들은 원칙적인 이유로 논리학에 전혀 들어가지 않는 것이 필요하다고 생각했습니다. 수학적 증명에 대한 논란은 시간, 증명하려는 내용 또는 기준을 사용하는 사람에 의존하지 않는 증명 기준이 없다는 것을 보여주었습니다. 수학적 증명은 일반적으로 증명의 패러다임이지만 수학에서도 증명은 절대적이고 최종적이지 않습니다.