3개의 벡터가 주어지면 삼각형의 면적을 구합니다. 외적 - 정의, 속성, 공식, 예 및 솔루션

테스트 번호 1

벡터. 고등 대수학의 요소

1-20. 벡터의 길이와 는 알려져 있습니다. – 이들 벡터 사이의 각도.

계산: 1) 및 2).3) 벡터 및 위에 만들어진 삼각형의 면적을 찾습니다.

그림을 그리세요.

해결책. 벡터의 내적 정의를 사용하면 다음과 같습니다.

스칼라 곱의 속성은 다음과 같습니다. ,

1) 벡터의 스칼라 제곱을 찾습니다.

즉, 그렇다면 .

비슷하게 논쟁하면, 우리는 얻는다.

즉, 그렇다면 .

벡터 제품의 정의에 따르면:

그것을 고려하여

벡터로 구성된 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

21-40. 세 꼭지점의 알려진 좌표 에이, 비, 디평행사변형 ABCD. 벡터 대수학을 사용하려면 다음이 필요합니다.

ㅏ(3;0;-7), 비(2;4;6), 디(-7;-5;1)

해결책.

평행사변형의 대각선은 교차점에서 반으로 나누어지는 것으로 알려져 있습니다. 그러므로 점의 좌표는 이자형- 대각선의 교차점 - 선분 중간의 좌표로 찾기 BD. 이를 다음과 같이 표시합니다. 엑스 이자형 ,와이 이자형 , 지 이자형우리는 그것을 얻습니다

우리는 얻습니다.

점의 좌표를 아는 것 이자형- 대각선의 중간점 BD그리고 그 끝 중 하나의 좌표 ㅏ(3;0;-7), 공식을 사용하여 꼭지점의 필요한 좌표를 결정합니다. 와 함께평행사변형:

그래서, 상단.

2) 벡터에 대한 벡터의 투영을 찾으려면 다음 벡터의 좌표를 찾습니다.

마찬가지로 . 벡터에 대한 벡터 투영은 다음 공식을 사용하여 구합니다.

3) 평행사변형의 대각선 사이의 각도는 벡터 사이의 각도로 구됩니다.

그리고 스칼라 곱의 속성에 따라:

그 다음에

4) 평행사변형의 면적을 벡터 곱의 계수로 구합니다.

5) 피라미드의 부피는 벡터 혼합 곱의 계수의 6분의 1로 구됩니다. 여기서 O(0;0;0)이면

그런 다음 필요한 부피(입방 단위)

41-60. 주어진 행렬:

V C -1 +3A T

명칭:

먼저 행렬 C의 역행렬을 구합니다.

이를 위해 우리는 행렬식을 찾습니다.

행렬식은 0과 다르므로 행렬은 비단수형이므로 역행렬 C -1을 찾을 수 있습니다.

공식을 사용하여 대수적 보완을 찾아 보겠습니다. 여기서 요소의 마이너는 다음과 같습니다.

그 다음에 , .

61–80. 선형 방정식 시스템을 풉니다.

크레이머의 방법; 2. 매트릭스 방법.

해결책.

a) Cramer의 방법

시스템의 행렬식을 찾아보자

이후 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

계수 행렬의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 열을 각각 자유항 열로 대체하여 행렬식을 찾아보겠습니다.

Cramer의 공식에 따르면:

비)행렬 방법(역행렬 사용).

우리는 이 시스템을 행렬 형태로 작성하고 역행렬을 사용하여 이를 해결합니다.

허락하다 ㅏ– 미지수에 대한 계수 행렬; 엑스– 미지의 행렬 열 엑스, 와이, 지그리고 N– 무료 회원의 매트릭스 열:

시스템 (1)의 왼쪽은 행렬의 곱으로, 오른쪽은 행렬로 쓸 수 있습니다. N. 따라서 우리는 행렬 방정식을 갖습니다.

행렬의 행렬식 때문에 ㅏ 0(점 "a")과 다른 경우 행렬은 ㅏ역행렬을 가지고 있습니다. 왼쪽의 등식(2)의 양변에 행렬을 곱하면 다음과 같습니다.

어디서부터 이자형는 단위 행렬이고 , 그러면

비특이 행렬 A가 있다고 가정해 보겠습니다.

그런 다음 다음 공식을 사용하여 역행렬을 찾습니다.

어디 ㅏ ij- 요소의 대수적 보완 ㅏ ij행렬식에서 ㅏ, 이는 (-1) i+j와 마이너(행렬식)의 곱입니다. n-1삭제로 얻은 주문 i번째라인과 j번째행렬 A의 행렬식에 있는 열:

여기에서 우리는 역행렬을 얻습니다:

열 X: X=A -1 H

81–100. 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

해결책. 확장된 행렬의 형태로 시스템을 작성해 보겠습니다.

문자열을 사용하여 기본 변환을 수행합니다.

두 번째 줄에서 첫 번째 줄에 2를 곱한 값을 뺍니다. 줄 3에서 첫 번째 줄에 4를 곱한 값을 뺍니다. 줄 4에서 첫 번째 줄을 빼서 행렬을 얻습니다.

다음으로, 후속 행의 첫 번째 열에서 0을 얻습니다. 이렇게 하려면 두 번째 행에서 세 번째 행을 뺍니다. 세 번째 행에서 두 번째 행을 빼고 2를 곱합니다. 네 번째 행에서 두 번째 행을 빼고 3을 곱합니다. 결과적으로 다음 형식의 행렬을 얻습니다.

네 번째 줄에서 세 번째 줄을 뺍니다.

두 번째 줄과 마지막 줄을 바꿔 보겠습니다.

마지막 행렬은 방정식 시스템과 동일합니다.

시스템의 마지막 방정식에서 우리는 .

두 번째 방정식을 대체하면 다음과 같습니다. .

시스템의 두 번째 방정식으로부터 다음과 같습니다.

첫 번째 방정식에서 x를 찾습니다.

답변:

테스트 번호 2

분석기하학

1-20. 삼각형의 꼭지점의 좌표가 주어지면 알파벳.찾다:

1) 측면 길이 ㅏ안에;

2) 변의 방정식 AB그리고 해그리고 그들의 각도 계수;

3) 각도 안에라디안 단위로 두 자리까지 정확합니다.

4) 높이 방정식 CD그리고 그 길이;

5) 중앙 방정식 AE

키 CD;

에게측면에 평행 AB,

7) 그림을 그려보세요.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

해결책.

(1)을 적용하면 변의 길이를 구합니다. AB:

2) 변의 방정식 AB그리고 해각도 계수는 다음과 같습니다.

점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

점의 좌표를 (2)에 대입 ㅏ그리고 안에, 우리는 변의 방정식을 얻습니다 AB:

(AB).

(기원전).

3) 각도 안에두 자리의 정확도로 라디안으로 표시됩니다.

두 직선 사이의 각도의 접선은 각도 계수가 각각 같고 공식으로 계산되는 것으로 알려져 있습니다.

필요한 각도 안에직선으로 형성된 AB그리고 해, 각도 계수가 발견됩니다. ; . (3)을 적용하면, 우리는 다음을 얻습니다.

; , 또는

4) 높이 방정식 CD그리고 그 길이.

점 C에서 직선 AB까지의 거리:

5) 중앙 방정식 AE이 중앙값과 교차점 K점의 좌표는 다음과 같습니다.

키 CD.

태양 쪽의 중간:

그러면 방정식 AE는 다음과 같습니다.

우리는 방정식 시스템을 해결합니다.

6) 한 점을 지나는 직선의 방정식 에게측면에 평행 AB:

원하는 선이 옆면과 평행하기 때문에 AB, 각도 계수는 직선의 각도 계수와 같습니다. AB. 찾은 점의 좌표를 (4)에 대입 에게그리고 기울기는 다음과 같습니다.

; (KF).

평행사변형의 면적은 12제곱미터입니다. 단위의 두 정점은 점입니다. A(-1;3)그리고 B(-2;4).대각선의 교차점이 x축에 있는 것으로 알려진 경우 이 평행사변형의 다른 두 꼭지점을 찾으십시오. 그림을 그리세요.

해결책. 대각선의 교차점에 좌표가 있다고 가정합니다.

그렇다면 그것은 분명하다.

따라서 벡터의 좌표는 입니다.

공식을 사용하여 평행 사변형의 면적을 찾습니다.

그런 다음 다른 두 정점의 좌표는 입니다.

문제 51-60에는 점의 좌표가 나와 있습니다. A와 B. 필수의:

이 점들을 통과하는 쌍곡선에 대한 표준 방정식을 작성하세요. A와 B,쌍곡선의 초점이 x축에 위치하면;

이 쌍곡선의 반축, 초점, 이심률 및 점근선 방정식을 구합니다.

이 원이 쌍곡선의 초점을 통과하는 경우 원점에 중심이 있는 원과 쌍곡선의 모든 교차점을 찾습니다.

쌍곡선, 점근선 및 원을 구성합니다.

A(6;-2), B(-8;12).

해결책. 표준 형식으로 원하는 쌍곡선의 방정식이 작성됩니다.

어디 ㅏ- 쌍곡선의 실수 반축, 비-가상의 반축. 점의 좌표 대체 ㅏ그리고 안에이 방정식에서 우리는 다음과 같은 반축을 찾습니다.

– 쌍곡선 방정식: .

반축 a=4,

초점 거리 초점 (-8.0) 및 (8.0)

이심률

점근체:

원이 원점을 통과하면 방정식은 다음과 같습니다.

초점 중 하나를 대체하여 원의 방정식을 찾습니다.

쌍곡선과 원의 교차점을 찾습니다.

우리는 그림을 만듭니다.

61-80번 문제에서는 구간 을 통해  값을 제공하여 점별로 극좌표계의 함수 그래프를 구성하십시오. /8 (0   2). 직사각형 직교 좌표계에서 선의 방정식을 구합니다(가로좌표의 양의 반축은 극축과 일치하고 극은 원점과 일치합니다).

해결책.먼저 값과 ψ 표를 채운 후 점별로 선을 만들어 봅시다.

숫자	φ ,	∅, 도			숫자	φ , 기쁜	도
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 우리는 이 방정식이 타원을 정의한다고 결론을 내립니다. 포인트가 부여됩니다 ㅏ,안에 , CD . 찾아야 할 것: 1. 평면방정식 (큐), 포인트를 통과 에이,비,씨 디비행기에서 (큐); 2. 선 방정식 (나),포인트를 통과 안에그리고 D; 3. 평면 사이의 각도 (큐)그리고 똑바로 (나); 4. 평면 방정식 (아르 자형),한 지점을 통과 ㅏ직선에 수직 (나); 5. 평면 사이의 각도 (아르 자형)그리고 (큐) ; 6. 선의 방정식 (티),한 지점을 통과 ㅏ반경 벡터 방향으로; 7. 직선 사이의 각도 (나)그리고 (티). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),디(6;4;0) 1. 평면방정식 (큐), 포인트를 통과 에이,비,씨그리고 요점이 거짓말인지 확인해보세요 디평면에서 공식 찾기: 1) 에 의해 결정됩니다. 2) 정사각형평행사변형, 세워짐 ~에그리고. 3) 평행육면체의 부피, 세워짐 ~에 벡터, 그리고. 제어 직업이 주제에 대해 " 강요선형 공간 이론 ... 자격 080100. 62 방향으로 학부 파트타임 학습 시험을 완료하기 위한 방법론적 권장 사항 지침 평행육면체와 피라미드의 부피, 세워짐 ~에 벡터, 그리고. 풀이: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. 과업 제어 공장섹션 I. 선형 대수학. 1 – 10. 주어진...

이번 강의에서는 벡터를 사용한 두 가지 연산을 더 살펴보겠습니다. 벡터의 벡터 곱그리고 벡터의 혼합곱 (필요하신 분들을 위해 바로가기 링크). 괜찮아 때로는 완전한 행복을 위해 벡터의 스칼라 곱, 점점 더 많은 것이 필요합니다. 이것은 벡터 중독입니다. 우리는 분석기하학의 정글에 들어서고 있는 것처럼 보일 수도 있습니다. 이것은 잘못된 것입니다. 고등수학의 이 부분에는 일반적으로 피노키오에 충분한 나무를 제외하고는 나무가 거의 없습니다. 사실, 재료는 매우 일반적이고 단순합니다. 동일한 재료보다 더 복잡할 수는 없습니다. 스칼라 곱, 일반적인 작업이 훨씬 적어집니다. 많은 사람들이 확신했거나 이미 확신하고 있듯이 분석 기하학에서 가장 중요한 것은 계산에 실수를 하지 않는 것입니다. 주문처럼 반복하면 행복해질 것입니다 =)

지평선의 번개처럼 벡터가 멀리 떨어진 곳에서 반짝이더라도 문제가 되지 않습니다. 수업부터 시작하세요. 인형용 벡터벡터에 대한 기본 지식을 복원하거나 재습득합니다. 좀 더 준비된 독자라면 선택적으로 정보를 접할 수 있으며, 실무에서 흔히 볼 수 있는 가장 완벽한 사례를 모으려고 노력했습니다.

당장 당신을 행복하게 만드는 것은 무엇입니까? 나는 어렸을 때 공 두 개, 심지어 세 개까지 저글링을 할 수 있었습니다. 잘 됐어요. 이제 저글링을 할 필요가 전혀 없습니다. 공간 벡터만, 두 개의 좌표가 있는 평면 벡터는 제외됩니다. 왜? 이것이 바로 이러한 액션이 탄생한 방식입니다. 벡터와 벡터의 혼합 제품이 정의되고 3차원 공간에서 작동합니다. 이미 더 쉽습니다!

이 연산은 스칼라 곱과 마찬가지로 다음을 포함합니다. 두 개의 벡터. 이것이 불멸의 글자가 되게 하라.

액션 그 자체 로 표시다음과 같은 방법으로: . 다른 옵션도 있지만 저는 벡터의 벡터 곱을 십자 표시가 있는 대괄호로 표시하는 데 익숙합니다.

그리고 바로 질문: 만약에 벡터의 스칼라 곱두 개의 벡터가 관련되어 있으며 여기서 두 벡터도 곱해집니다. 차이점은 무엇입니까? 명백한 차이점은 우선 결과에 있습니다.

벡터의 스칼라 곱 결과는 NUMBER입니다.

벡터의 외적 결과는 VECTOR입니다.: 즉, 벡터를 곱하여 다시 벡터를 얻습니다. 폐쇄된 클럽. 사실 작전명도 여기서 유래됐다. 교육 문헌마다 명칭이 다를 수 있으므로 문자를 사용하겠습니다.

외적의 정의

먼저 그림과 함께 정의가 나온 다음 설명이 나옵니다.

정의: 벡터 제품 비공선적벡터, 이 순서대로 찍은, VECTOR라고 함, 길이수치적으로는 평행사변형의 면적과 같습니다, 이러한 벡터를 기반으로 구축되었습니다. 벡터 벡터에 직교, 기초가 올바른 방향을 갖도록 지시됩니다.

정의를 하나씩 분석해 보겠습니다. 여기에는 흥미로운 내용이 많이 있습니다!

따라서 다음과 같은 중요한 사항을 강조할 수 있습니다.

1) 정의에 따라 빨간색 화살표로 표시된 원본 벡터 동일선상에 있지 않음. 공선형 벡터의 경우는 나중에 고려하는 것이 적절할 것입니다.

2) 벡터가 사용됩니다. 엄격하게 정의된 순서로: – "a"에 "be"를 곱한 것, "a"로 "be"가 아닙니다. 벡터 곱셈의 결과파란색으로 표시된 VECTOR입니다. 벡터를 역순으로 곱하면 길이는 같고 방향은 반대인 벡터(라즈베리 색)를 얻습니다. 즉, 평등이 참이다. .

3) 이제 벡터 곱의 기하학적 의미에 대해 알아 보겠습니다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 파란색 벡터(따라서 진홍색 벡터)의 LENGTH는 수치적으로 벡터 위에 구축된 평행사변형의 AREA와 동일합니다. 그림에서 이 평행사변형은 검은색으로 음영처리되어 있습니다.

메모 : 도면은 개략적이며 당연히 벡터 제품의 공칭 길이는 평행 사변형의 면적과 동일하지 않습니다.

기하학적 공식 중 하나를 떠올려 보겠습니다. 평행사변형의 면적은 인접한 변과 그 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다.. 따라서 위의 내용을 기반으로 벡터 제품의 LENGTH를 계산하는 공식이 유효합니다.

나는 공식이 벡터 자체에 관한 것이 아니라 벡터의 길이에 관한 것임을 강조합니다. 실제적인 의미는 무엇입니까? 그리고 그 의미는 분석 기하학 문제에서 평행사변형의 영역이 종종 벡터 곱의 개념을 통해 발견된다는 것입니다.

두 번째로 중요한 공식을 구해보자. 평행사변형의 대각선(빨간 점선)은 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 벡터(빨간색 음영)를 기반으로 하는 삼각형의 면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

4) 똑같이 중요한 사실은 벡터가 벡터와 직교한다는 것입니다. . 물론, 반대 방향의 벡터(라즈베리 화살표)도 원래 벡터와 직교합니다.

5) 벡터의 방향은 다음과 같습니다. 기초그것은 가지고있다 오른쪽정위. 에 관한 수업에서 새로운 기반으로의 전환나는 그것에 대해 충분히 자세히 이야기했습니다. 평면 방향, 이제 공간 방향이 무엇인지 알아 보겠습니다. 네 손가락으로 설명해줄게 오른손. 정신적으로 결합하다 집게손가락벡터와 가운데 손가락벡터로. 약지와 새끼손가락손바닥으로 눌러보세요. 결과적으로 무지– 벡터 제품이 조회됩니다. 이것이 바로 우향적 기초이다(그림의 이것이다). 이제 벡터를 변경합니다( 검지와 중지) 어떤 곳에서는 엄지손가락이 돌아서고 벡터 제품이 이미 아래를 내려다볼 것입니다. 이것도 우익지향적 기반이다. 질문이 있을 수 있습니다. 어떤 근거가 방향을 떠났습니까? 같은 손가락에 "할당" 왼손벡터, 그리고 공간의 왼쪽 기준과 왼쪽 방향을 얻습니다. (이 경우 엄지손가락은 아래쪽 벡터 방향으로 위치하게 됩니다.). 비유적으로 말하면, 이러한 베이스는 공간을 다른 방향으로 "비틀거나" 방향을 지정합니다. 그리고 이 개념은 터무니없거나 추상적인 것으로 간주되어서는 안 됩니다. 예를 들어, 공간의 방향은 가장 일반적인 거울에 의해 변경되고, "반사된 물체를 거울 밖으로 잡아당기면" 일반적인 경우에는 "원본"과 결합할 수 없습니다. 그런데 세 손가락을 거울에 대고 반사를 분석해보세요 ;-)

...이제 알게 되어 얼마나 좋은지 오른쪽 및 왼쪽 지향기지, 오리엔테이션 변경에 대한 일부 강사의 진술이 무섭기 때문입니다 =)

동일선상 벡터의 외적

정의는 자세히 논의되었으며 벡터가 동일선상에 있을 때 어떤 일이 발생하는지 알아내는 것이 남아 있습니다. 벡터가 동일선상에 있으면 하나의 직선에 배치할 수 있으며 평행사변형도 하나의 직선으로 "접혀"집니다. 수학자들이 말하는 것과 같은 영역은, 퇴화하다평행사변형은 0과 같습니다. 공식에서도 마찬가지입니다. 0 또는 180도의 사인은 0과 같습니다. 이는 면적이 0임을 의미합니다.

따라서 만약 , 그렇다면 그리고 . 벡터 곱 자체는 0 벡터와 동일하지만 실제로는 이를 무시하는 경우가 많으며 역시 0과 같다고 기록됩니다.

특별한 경우는 벡터 자체와의 외적입니다.

벡터 곱을 이용하면 3차원 벡터의 공선성을 확인할 수 있으며, 이 문제도 분석해 보겠습니다.

실제 사례를 해결하려면 다음이 필요할 수 있습니다. 삼각법 테이블그것으로부터 사인 값을 찾는 것입니다.

자, 불을 켜자:

실시예 1

a) 다음의 경우 벡터의 벡터 곱의 길이를 구합니다.

b) 다음과 같은 경우 벡터로 구성된 평행사변형의 면적을 구합니다.

해결책: 아니요, 오타가 아닙니다. 일부러 조항의 초기 데이터를 동일하게 만들었습니다. 솔루션의 디자인이 다르기 때문입니다!

a) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 길이벡터(외적). 해당 공식에 따르면:

답변:

길이에 대한 질문을 받은 경우 답변에 치수(단위)를 표시합니다.

b) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 정사각형벡터를 기반으로 만들어진 평행사변형. 이 평행사변형의 면적은 수치적으로 벡터 곱의 길이와 같습니다.

답변:

답변은 벡터 제품에 대해 전혀 언급하지 않는다는 점에 유의하십시오. 그림의 영역, 따라서 치수는 제곱 단위입니다.

우리는 항상 조건에 따라 찾아야 할 것이 무엇인지 살펴보고, 이를 바탕으로 공식화합니다. 분명한답변. 문자주의처럼 보일 수도 있지만, 교사들 중에는 문자주의자가 많고, 과제가 수정을 위해 반환될 가능성이 높습니다. 이것은 특별히 터무니없는 퀴즈는 아니지만 대답이 틀리면 그 사람이 간단한 것을 이해하지 못하거나 작업의 본질을 이해하지 못했다는 인상을 받게 됩니다. 고등수학과 다른 과목의 문제를 풀 때 이 점을 항상 통제해야 합니다.

큰 글자 "en"은 어디로 갔나요? 원칙적으로는 솔루션에 추가로 붙일 수도 있었는데, 항목 단축을 위해 이렇게는 하지 않았습니다. 모두가 그것을 이해하고 같은 것을 지칭하기를 바랍니다.

DIY 솔루션의 인기 있는 예:

실시예 2

다음과 같은 경우 벡터 위에 만들어진 삼각형의 면적을 구합니다.

벡터 곱을 통해 삼각형의 면적을 구하는 공식은 정의에 대한 주석에 나와 있습니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.

실제로 작업은 매우 일반적이며 삼각형은 일반적으로 당신을 괴롭힐 수 있습니다.

다른 문제를 해결하려면 다음이 필요합니다.

벡터의 벡터 곱의 속성

우리는 이미 벡터 제품의 일부 속성을 고려했지만 이 목록에는 해당 속성을 포함하겠습니다.

임의의 벡터와 임의의 숫자의 경우 다음 속성이 true입니다.

1) 다른 정보 출처에서는 이 항목이 일반적으로 속성에서 강조 표시되지 않지만 실용적인 측면에서는 매우 중요합니다. 그러니 그대로 두십시오.

2) – 속성은 위에서도 논의되었으며 때로는 호출됩니다. 반정환성. 즉, 벡터의 순서가 중요합니다.

3) - 연관 또는 연관벡터 제품법칙. 상수는 벡터 곱 외부로 쉽게 이동할 수 있습니다. 정말로, 그들은 거기서 무엇을 해야 합니까?

4) - 배포 또는 분배적인벡터 제품법칙. 괄호를 여는 데에도 문제가 없습니다.

설명하기 위해 간단한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3

찾기

해결책:이 조건에서는 다시 벡터 곱의 길이를 찾아야 합니다. 미니어처를 칠해 봅시다 :

(1) 결합 법칙에 따라 벡터 곱의 범위를 벗어나는 상수를 사용합니다.

(2) 상수를 모듈 밖으로 옮기면 모듈이 빼기 기호를 "먹습니다". 길이는 음수일 수 없습니다.

(3) 나머지는 명확합니다.

답변:

이제 불에 장작을 더 추가할 시간입니다.

실시예 4

다음과 같은 경우 벡터 위에 만들어진 삼각형의 면적을 계산합니다.

해결책: 공식을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하세요 . 문제는 벡터 "tse"와 "de" 자체가 벡터의 합으로 표시된다는 것입니다. 여기의 알고리즘은 표준이며 수업의 예 3과 4를 다소 연상시킵니다. 벡터의 내적. 명확성을 위해 솔루션을 세 단계로 나누겠습니다.

1) 첫 번째 단계에서는 벡터곱을 통해 벡터곱을 표현하는데, 실제로는 벡터를 벡터로 표현해보자. 길이에 대해서는 아직 아무 말도 없습니다!

(1) 벡터의 표현식을 대체하십시오.

(2) 분배 법칙을 사용하여 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니다.

(3) 결합 법칙을 사용하여 모든 상수를 벡터 곱 이상으로 이동합니다. 약간의 경험만 있으면 2단계와 3단계를 동시에 수행할 수 있습니다.

(4) nice 속성으로 인해 첫 번째 항과 마지막 항은 0(제로 벡터)과 같습니다. 두 번째 항에서는 벡터 곱의 반교환성 속성을 사용합니다.

(5) 비슷한 용어를 제시합니다.

결과적으로 벡터는 벡터를 통해 표현되는 것으로 나타났으며 이는 달성하기 위해 필요한 것입니다.

2) 두 번째 단계에서는 필요한 벡터곱의 길이를 구합니다. 이 작업은 예제 3과 유사합니다.

3) 필요한 삼각형의 면적을 찾으십시오.

솔루션의 2~3단계는 한 줄로 작성될 수 있습니다.

답변:

고려된 문제는 테스트에서 매우 일반적입니다. 다음은 직접 해결하는 예입니다.

실시예 5

찾기

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다. 이전 예제를 연구할 때 얼마나 주의를 기울였는지 살펴보겠습니다 ;-)

좌표 벡터의 외적

, 직교 기준으로 지정됨, 공식으로 표현:

공식은 정말 간단합니다. 행렬식의 맨 윗줄에 좌표 벡터를 쓰고, 두 번째와 세 번째 줄에 벡터의 좌표를 "넣고" 엄격한 순서로– 먼저 "ve" 벡터의 좌표, 그 다음 "double-ve" 벡터의 좌표입니다. 벡터를 다른 순서로 곱해야 하는 경우 행을 바꿔야 합니다.

실시예 10

다음 공간 벡터가 동일선상에 있는지 확인하세요.
ㅏ)
비)

해결책: 검사는 이 단원의 설명 중 하나를 기반으로 합니다. 즉, 벡터가 동일 선상에 있으면 벡터 곱은 0(제로 벡터)과 같습니다. .

a) 벡터 곱을 찾으세요:

따라서 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

b) 벡터 곱을 찾으세요:

답변: a) 동일선상에 있지 않음, b)

아마도 벡터의 벡터 곱에 대한 모든 기본 정보가 여기에 있을 것입니다.

이 구간은 벡터의 혼합곱을 사용하는 경우 문제가 거의 없기 때문에 그리 크지는 않을 것이다. 실제로 모든 것은 정의, 기하학적 의미 및 몇 가지 작동 공식에 따라 달라집니다.

벡터의 혼합 곱은 세 벡터의 곱입니다.:

그래서 그들은 기차처럼 줄을 서서 신원이 확인되기를 간절히 바랐습니다.

먼저 정의와 그림을 다시 설명합니다.

정의: 혼합 작품 동일 평면이 아닌벡터, 이 순서대로 찍은, 라고 불리는 평행육면체의 부피, 이러한 벡터를 기반으로 구축되었으며 기저가 올바른 경우 "+" 기호가 있고 기저가 왼쪽인 경우 "-" 기호가 표시됩니다.

그림을 그려보자. 우리에게 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다.

정의를 자세히 살펴보겠습니다.

2) 벡터가 사용됩니다. 특정 순서로즉, 추측할 수 있듯이 제품의 벡터 재배열은 결과 없이 발생하지 않습니다.

3) 기하학적 의미에 대해 언급하기 전에 다음과 같은 분명한 사실에 주목하겠습니다. 벡터의 혼합곱은 NUMBER입니다.: . 교육 문헌에서는 디자인이 약간 다를 수 있으며 혼합 제품을 로 표시하고 계산 결과를 문자 "pe"로 표시하는 데 익숙합니다.

우선순위 혼합된 생성물은 평행육면체의 부피이다, 벡터를 기반으로 구축되었습니다(그림은 빨간색 벡터와 검은색 선으로 그려져 있음). 즉, 그 숫자는 주어진 평행육면체의 부피와 같습니다.

메모 : 도면은 개략적입니다.

4) 기반과 공간의 방향성에 대한 개념은 다시 고민하지 말자. 마지막 부분의 의미는 볼륨에 빼기 기호를 추가할 수 있다는 것입니다. 간단히 말해서 혼합 제품은 부정적일 수 있습니다.

정의에서 직접 벡터 기반 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식을 따릅니다.

이번 글에서는 두 벡터의 외적(cross product) 개념에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 필요한 정의를 제공하고, 벡터 곱의 좌표를 찾기 위한 공식을 작성하고, 해당 속성을 나열하고 정당화합니다. 그런 다음 두 벡터의 벡터 곱의 기하학적 의미에 대해 설명하고 다양한 일반적인 예에 ​​대한 솔루션을 고려할 것입니다.

페이지 탐색.

외적의 정의.

벡터 곱을 정의하기 전에 3차원 공간에서 순서가 지정된 3중 벡터의 방향을 이해해 보겠습니다.

한 지점에서 벡터를 플로팅해 보겠습니다. 벡터의 방향에 따라 세 개가 오른쪽일 수도 있고 왼쪽일 수도 있습니다. 벡터에서 로 가장 짧은 방향으로 회전하는 방법을 벡터의 끝에서 살펴보겠습니다. 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향으로 발생하면 벡터의 3배를 호출합니다. 오른쪽, 그렇지 않으면 - 왼쪽.

이제 두 개의 비공선형 벡터와 를 살펴보겠습니다. 벡터와 점 A를 플로팅해 보겠습니다. 및 와 에 모두 수직인 벡터를 구성해 보겠습니다. 분명히 벡터를 구성할 때 한 방향 또는 반대 방향을 제공하는 두 가지 작업을 수행할 수 있습니다(그림 참조).

벡터의 방향에 따라 순서가 지정된 벡터의 삼중항은 오른손잡이 또는 왼손잡이가 될 수 있습니다.

이로써 우리는 벡터 제품의 정의에 가까워졌습니다. 에 주어진 두 벡터에 대해 주어진다. 직사각형 좌표계 3차원 공간.

정의.

두 벡터의 외적과 는 3차원 공간의 직교좌표계로 지정되며, 다음과 같은 벡터라고 불린다.

벡터의 외적은 로 표시됩니다.

벡터 제품의 좌표입니다.

이제 주어진 벡터의 좌표에서 좌표를 찾을 수 있는 벡터 곱의 두 번째 정의를 제공합니다.

정의.

3차원 공간의 직각좌표계에서 두 벡터의 벡터곱 그리고 은 벡터입니다. 좌표 벡터는 어디에 있습니까?

이 정의는 좌표 형태의 외적을 제공합니다.

벡터 곱을 3차 정사각 행렬의 행렬식으로 표현하는 것이 편리합니다. 첫 번째 행은 벡터이고, 두 번째 행은 벡터의 좌표를 포함하고, 세 번째 행은 주어진 벡터의 좌표를 포함합니다. 직사각형 좌표계:

이 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하면 좌표의 벡터 곱 정의에서 동일성을 얻습니다(필요한 경우 기사 참조).

벡터 곱의 좌표 형태는 이 기사의 첫 번째 단락에 제공된 정의와 완전히 일치한다는 점에 유의해야 합니다. 게다가 외적의 이 두 가지 정의는 동일합니다. 이 사실에 대한 증거는 기사 끝에 나열된 책에서 확인할 수 있습니다.

벡터 제품의 속성입니다.

좌표의 벡터곱은 행렬의 행렬식으로 표현될 수 있으므로 이를 기반으로 다음과 같은 내용이 쉽게 정당화될 수 있다. 외적의 성질:

예를 들어, 벡터 곱의 반교환 특성을 증명해 보겠습니다.

우선순위 그리고 . 우리는 두 행이 바뀌면 행렬식의 값이 반전된다는 것을 알고 있으므로, , 이는 벡터 곱의 반교환 특성을 증명합니다.

벡터 제품 - 예제 및 솔루션.

문제 유형은 크게 3가지입니다.

첫 번째 유형의 문제에서는 두 벡터의 길이와 그 사이의 각도가 주어지며, 벡터 곱의 길이를 구해야 합니다. 이 경우 공식이 사용됩니다. .

예.

벡터의 벡터곱의 길이를 구하고, 알려진 경우 .

해결책.

우리는 정의를 통해 벡터의 벡터 곱의 길이가 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 사인의 곱과 같다는 것을 알고 있습니다. .

답변:

.

두 번째 유형의 문제는 벡터의 좌표와 관련되어 있으며 벡터 곱, 길이 또는 기타 모든 것이 주어진 벡터의 좌표를 통해 검색됩니다. 그리고 .

여기에는 다양한 옵션이 있습니다. 예를 들어, 벡터의 좌표는 지정될 수 없지만 다음 형식의 좌표 벡터로 확장됩니다. 및 , 또는 벡터이며 시작점과 끝점의 좌표로 지정할 수 있습니다.

대표적인 예를 살펴보겠습니다.

예.

두 개의 벡터가 직각 좌표계로 제공됩니다. . 교차곱을 ​​찾아보세요.

해결책.

두 번째 정의에 따르면 좌표에 있는 두 벡터의 벡터 곱은 다음과 같이 작성됩니다.

벡터 곱이 행렬식으로 작성되었다면 동일한 결과에 도달했을 것입니다.

답변:

.

예.

벡터와 의 벡터 곱의 길이를 구합니다. 여기서 직사각형 직교 좌표계의 단위 벡터는 입니다.

해결책.

먼저 벡터 곱의 좌표를 찾습니다. 주어진 직사각형 좌표계에서.

벡터와 좌표가 있으므로 각각 (필요한 경우 기사 참조) 직각 좌표계의 벡터 좌표), 그런 다음 벡터 곱의 두 번째 정의에 따라 우리는

즉, 벡터곱 주어진 좌표계에 좌표가 있습니다.

우리는 벡터 곱의 길이를 좌표의 제곱합의 제곱근으로 찾습니다. (섹션에서 벡터 길이에 대한 이 공식을 얻었습니다. 벡터의 길이 구하기):

답변:

.

예.

직사각형 직교 좌표계에서는 세 점의 좌표가 제공됩니다. 동시에 수직인 벡터를 찾아보세요.

해결책.

벡터에는 좌표와 각각이 있습니다(기사 참조). 점 좌표를 통해 벡터 좌표 찾기). 벡터와 의 벡터 곱을 찾으면 정의에 따라 이는 과 에 모두 수직인 벡터입니다. 즉, 문제에 대한 해결책입니다. 그를 찾아보자

답변:

- 수직 벡터 중 하나입니다.

세 번째 유형의 문제에서는 벡터의 벡터 곱의 속성을 사용하는 기술이 테스트됩니다. 속성을 적용한 후 해당 수식이 적용됩니다.

예.

벡터 및 는 수직이고 길이는 각각 3과 4입니다. 외적의 길이 구하기 .

해결책.

벡터 곱의 분배 속성을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

조합 속성으로 인해 마지막 표현식의 벡터 곱의 부호에서 수치 계수를 제거합니다.

벡터 곱 과 는 0과 같습니다. 왜냐하면 그리고 , 그 다음에 .

벡터 곱은 반교환적이므로 .

따라서 벡터 곱의 속성을 사용하여 우리는 등식에 도달했습니다. .

조건에 따라 벡터 와 는 수직입니다. 즉, 그들 사이의 각도는 와 같습니다. 즉, 필요한 길이를 찾는 데 필요한 모든 데이터가 있습니다.

답변:

.

벡터 제품의 기하학적 의미입니다.

정의에 따르면 벡터의 벡터 곱의 길이는 다음과 같습니다. . 그리고 고등학교 기하학 과정에서 우리는 삼각형의 면적이 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각도 사인의 곱의 절반과 같다는 것을 알고 있습니다. 결과적으로 벡터 곱의 길이는 변이 벡터인 삼각형 면적의 두 배와 같습니다. 한 점에서 플롯하면 입니다. 즉, 벡터의 벡터 곱의 길이는 변이 있는 평행사변형의 면적과 같고 그 사이의 각도는 . 이것이 벡터 곱의 기하학적 의미입니다.