실수의 공리. 정수 이론의 공리 연구 정수 시스템
정수론의 주어진 공리 체계는 연습문제 3.1.4에서 언급한 것처럼 독립적이지 않습니다.
정리 1.정수의 공리 이론은 일관성이 있습니다.
증거. 자연수 공리 이론이 일관성이 있다는 가정을 바탕으로 정수 공리 이론의 일관성을 증명하겠습니다. 이를 위해 우리는 이론의 모든 공리를 충족하는 모델을 구축할 것입니다.
먼저 링을 만들어 보겠습니다. 세트를 고려해보세요
N´ N = {(에, 비)ï 에, 비Î N}.
에, 비) 자연수. 그러한 쌍을 통해 우리는 자연수의 차이를 이해하게 될 것입니다 a–b. 그러나 그러한 차이가 존재하는 정수 체계의 존재가 입증될 때까지 우리는 그러한 명칭을 사용할 권리가 없습니다. 동시에 이러한 이해는 우리가 요구하는 대로 쌍의 속성을 설정할 수 있는 기회를 제공합니다.
우리는 자연수의 서로 다른 차이가 동일한 정수와 같을 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 세트에 대해 소개하겠습니다. N´ N평등 관계:
(에, 비) = (CD) Û a + d = b + c.
이 관계가 반사적, 대칭적, 추이적이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러므로 그것은 등가관계이고 평등이라 부를 권리가 있다. 세트의 요인 세트 N´ N 지. 우리는 그 요소를 정수라고 부를 것입니다. 이는 쌍 세트의 동등 클래스를 나타냅니다. 쌍을 포함하는 클래스
(에, 비), [로 표시 에, 비].
지 에, 비] 차이가 어때요? a–b
[에, 비] + [CD] = [a+c, b+d];
[에, 비] × [ CD] = [ac+bd, ad+bc].
엄밀히 말하면 여기서 작업 기호를 사용하는 것이 완전히 정확하지는 않다는 점을 명심해야 합니다. 동일한 기호 +는 자연수와 쌍의 추가를 나타냅니다. 그러나 주어진 연산이 어떤 세트에서 수행되는지는 항상 명확하므로 여기서는 이러한 연산에 대해 별도의 표기법을 도입하지 않습니다.
이러한 작업 정의의 정확성, 즉 결과가 요소 선택에 의존하지 않는지 확인해야 합니다. ㅏ그리고 비, 쌍을 정의 [ 에, 비]. 과연, 하자
[에, 비] = [ㅏ 1 , 비 1 ], [초, 디] = [와 함께 1 , 디 1 ].
그것은 다음을 의미합니다 a+b 1 = b+a 1 , 씨 + 디 1 =디 + 와 함께 1 . 이러한 평등을 추가하면 다음을 얻습니다.
a+b 1 + 씨 + 디 1 = b+a 1 +디 + 와 함께 1 Þ[ a + b, c + d] = [ㅏ 1 +와 함께 1 , 비 1 + 디 1] Þ
Þ [ 에, 비] + [CD] = [ㅏ 1 , 비 1 ] + [씨 1 , 디 1 ].
곱셈 정의의 정확성도 비슷하게 결정됩니다. 하지만 여기서 먼저 확인해야 할 점은 [ 에, 비] × [ CD] = [ㅏ 1 , 비 1 ] × [ CD].
이제 결과 대수가 링, 즉 공리 (Z1) – (Z6)인지 확인해야 합니다.
예를 들어 덧셈의 교환성, 즉 공리(Z2)를 확인해 보겠습니다. 우리는
[CD] + [에, 비] = = [a+c, b+d] = [에, 비] + [CD].
정수에 대한 덧셈의 교환성은 이미 알려진 것으로 간주되는 자연수에 대한 덧셈의 교환성에서 파생됩니다.
공리 (Z1), (Z5), (Z6)도 동일한 방식으로 확인됩니다.
0의 역할은 쌍이 담당합니다. 로 표시해보자 0 . 정말,
[에, 비] + 0 = [에, 비] + = [에이+ 1,b+ 1] = [에, 비].
마지막으로, -[ 에, 비] = [비, 에이]. 정말,
[에, 비] + [비, 에이] = [a+b, b+a] = = 0 .
이제 확장 공리를 확인해 보겠습니다. 링의 요소는 자연수 쌍의 클래스이기 때문에 구성된 링에는 자연수가 없다는 점을 명심해야 합니다. 그러므로 우리는 자연수의 반원과 동형인 부분대수를 찾아야 합니다. 여기서 다시 부부의 생각이 [ 에, 비] 차이가 어때요? a–b. 자연수 N예를 들어 다음과 같이 두 개의 자연적인 것의 차이로 표현될 수 있습니다. N = (N+ 1) – 1. 따라서 서신을 설정하라는 제안이 발생합니다. 에프: N ® 지규칙에 따라
에프(N) = [N + 1, 1].
이 서신은 단사적입니다.
에프(N) = 에프(중) Þ [ N + 1, 1]= [중+ 1, 1] Þ ( N + 1) + 1= 1 + (중+ 1) Þ n = m.
결과적으로 우리는 다음과 같은 일대일 대응 관계를 갖습니다. N그리고 일부 하위 집합 지, 이는 다음과 같이 표시됩니다. N*. 작업이 저장되는지 확인해 보겠습니다.
에프(N) + 에프(중) = [N + 1, 1]+ [중 + 1, 1] = [N + m+ 2, 2]= [N + 중+ 1, 1] = 에프(n+m);
에프(N) × 에프(중) = [N+ 1, 1]× [ 중 + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = 에프(nm).
이는 다음을 입증합니다. N*양식 지덧셈과 곱셈의 연산과 관련하여 부분대수는 동형이다 N
쌍을 표시합시다 [ N+ 1, 1] 에서 N* N, 을 통해 N 에, 비] 우리는
[에, 비] = [ㅏ + 1, 1] + = [ㅏ + 1, 1] – [비 + 1, 1] = ㅏ – 비 .
이것은 마침내 커플의 아이디어를 입증합니다 [ 에, 비]는 자연수의 차이로 나타납니다. 동시에 구성된 세트의 각 요소는 다음과 같습니다. 지두 개의 자연적인 것의 차이로 표현됩니다. 이는 최소의 공리를 검증하는 데 도움이 됩니다.
허락하다 중 -하위 집합 지, 포함하는 N*그리고 어떤 요소와 함께 ㅏ그리고 비그들의 차이점 a – b. 이 경우를 증명해 보자. 남 =지. 실제로, 지조건에 따라 다음과 같은 두 자연수의 차이로 표시됩니다. 중그 차이점과 함께.
지
정리 2.정수의 공리 이론은 범주형입니다.
증거. 이 이론의 모든 공리를 만족하는 두 모델이 동형이라는 것을 증명해 보겠습니다.
하자 지 1 , +, ×, N 1 ñ 및 á 지 2 , +, ×, N 2ñ – 우리 이론의 두 가지 모델. 엄밀히 말하면, 그 동작은 다른 기호로 표시되어야 합니다. 계산이 복잡해지지 않도록 이 요구 사항에서 벗어날 것입니다. 어떤 작업에 대해 이야기하고 있는지는 매번 명확합니다. 고려 중인 모델에 속하는 요소에는 해당 색인 1 또는 2가 제공됩니다.
우리는 첫 번째 모델에서 두 번째 모델로의 동형 매핑을 정의할 것입니다. 왜냐하면 N 1과 N 2는 자연수의 반고리이고, 첫 번째 반고리의 j가 두 번째 반고리로 동형 매핑됩니다. 매핑을 정의해보자 에프: 지 1® 지 2. 모든 정수 엑스 1일 지 1은 두 개의 자연적인 것의 차이로 표현됩니다.
엑스 1 =a 1 – 비 1 . 우리는 믿는다
에프 (엑스 1) = j( ㅏ 1) – 제이( 비 1).
그것을 증명해보자 에프– 동형. 매핑이 올바르게 정의되었습니다. 엑스 1 = ~에 1 곳 와이 1 = 씨 1 – 디 1, 그럼
ㅏ 1 – 비 1 = 씨 1 – 디 1 Þ ㅏ 1 +d 1 = 비 1 + 씨 1 Þ j( ㅏ 1 +d 1) = j( 비 1 + 씨 1) Þ
Þ j( ㅏ 1) + 제이( 디 1) = j( 비 1) + j( 씨 1) Þ j( ㅏ 1)–j( 비 1)=j( 씨 1) – j( 디 1) Þ 에프(엑스 1) =에프 (와이 1).
그것은 다음과 같습니다 에프 -일대일 매핑 지 1인치 지 2. 하지만 누구에게나 엑스 2개 지 2 자연적인 요소를 찾을 수 있습니다 ㅏ 2 및 비 2 그렇게 엑스 2 =a 2 – 비 2. j는 동형이므로 이러한 요소는 역상을 갖습니다. ㅏ 1과 비 1 . 수단, 엑스 2 = j( ㅏ 1) –
제이( 비 1) =
= 에프 (ㅏ 1 – 비 1), 그리고 각 요소에 대해 지 2는 프로토타입이다. 따라서 서신 에프 1-1. 작업이 저장되는지 확인해 보겠습니다.
만약에 엑스 1 =a 1 – 비 1 , 와이 1 =c 1 -디 1, 그럼
엑스 1 + 와이 1 = (ㅏ 1 + 씨 1) – (비 1 +디 1),
에프(엑스 1 + 와이 1) = j( ㅏ 1 + 씨 1) – 제이( 비 1 +디 1) =j( ㅏ 1)+ 제이( 씨 1) – 제이( 비 1) – 제이( 디 1) =
제이( ㅏ 1) – 제이( 비 1)+ 제이( 씨 1)– 제이( 디 1) =에프(엑스 1) + 에프(와이 1).
마찬가지로 곱셈이 유지되는 것이 확인되었습니다. 이는 다음을 입증합니다. 에프는 동형이고 정리가 증명되었습니다.
수업 과정
1. 자연수 체계를 포함하는 모든 고리에는 정수 고리도 포함되어 있음을 증명하십시오.
2. 항등성을 갖는 모든 최소 순서 교환 링은 정수 링과 동형임을 증명하십시오.
3. 영 제수는 1개이고 영 제수는 없는 모든 순서 링에는 정수 링과 동형인 하위 링이 하나만 포함되어 있음을 증명하십시오.
4. 실수장 위의 2차 행렬의 고리에는 정수 고리와 동형인 부분 고리가 무한히 많이 포함되어 있음을 증명하십시오.
유리수 필드
유리수 체계의 정의와 구성은 정수 체계의 경우와 동일한 방식으로 수행됩니다.
정의.유리수 시스템은 정수 고리의 확장인 최소 필드입니다.
이 정의에 따라 우리는 유리수 체계의 다음과 같은 공리적 구성을 얻습니다.
기본 용어:
큐– 유리수 세트;
0, 1 – 상수;
+, × – 이진 연산 큐;
지– 하위 집합 큐, 정수 세트;
Å, ä – 이진 연산 켜기 지.
공리:
나. 필드 공리.
(1분기) ㅏ+ (b+c) = (a+b) + 씨.
(2분기) a + b = b + a.
(Q3) (" ㅏ) ㅏ + 0 = ㅏ.
(Q4) (" ㅏ)($(–ㅏ)) ㅏ + (–ㅏ) = 0.
(Q5) ㅏ× ( 비× 씨) = (ㅏ× 비) × 씨.
(Q6) ㅏ× b = b× ㅏ.
(Q7) ㅏ× 1 = ㅏ.
(Q8) (" ㅏ¹ 0)($ ㅏ –1) ㅏ × ㅏ –1 = 1.
(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× 씨.
II. 확장 공리.
(Q10) ㄴ 지, Å, ä, 0, 1ñ – 자연수의 고리.
(Q11) 지 Í 큐.
(Q12) (" a,bÎ 지) a + b = aÅ 비.
(Q13) (" a,bÎ 지) ㅏ× 비 = 에이Ä 비.
III. 최소의 공리.
(Q14) 중Í 큐, 지Í 중, ("에, 비Î 중)(비 ¹ 0 ® ㅏ× 비–1 О 중)Þ 중 = 큐.
숫자 ㅏ× 비-1을 숫자의 몫이라고 합니다. ㅏ그리고 비, 표시 ㅏ/비또는 .
정리 1.모든 유리수는 두 정수의 몫으로 표현될 수 있습니다.
증거. 허락하다 중- 두 정수의 몫으로 표현될 수 있는 유리수의 집합. 만약에 N- 그럼 전체적으로 n = n/1이 속함 중, 따라서, 지Í 중. 만약에 에, 비Î 중, 저것 a = k/l, b = m/N,어디 케이, 엘, 엠, 엔Î 지. 따라서, ㅏ/비=
= (kn) / (lm)Î 중. 공리(Q14)에 따르면 중= 큐, 그리고 정리가 증명되었습니다.
정리 2.유리수 필드는 선형적이고 엄격하게 정렬될 수 있으며 고유한 방식으로 정렬될 수 있습니다. 유리수 분야의 순서는 아르키메데스이며 정수의 고리에서 순서를 이어갑니다.
증거. 다음으로 나타내자 큐+ 분수로 표현할 수 있는 숫자 집합, 여기서 KL> 0. 이 조건은 숫자를 나타내는 분수의 유형에 의존하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
확인해 보자 큐 + – 해당 분야의 긍정적인 부분 큐. 정수이기 때문에 KL세 가지 경우가 가능합니다: KL = 0, KLÎ N, –KL Î N, a =에 대해 우리는 세 가지 가능성 중 하나를 얻습니다: a = 0, aО 큐+ , -aО 큐 + . 또한, a = 이면 b = 속한다 큐+, 그럼 KL > 0, 백만> 0. 그런 다음 a + b = , 그리고 ( kn + ml)ln = kln 2 + MNL 2 > 0. 그래서 a + bО 큐 + . abО와 비슷한 방식으로 확인할 수 있습니다. 큐 + . 따라서, 큐 + – 현장의 긍정적인 부분 큐.
허락하다 큐++ – 이 필드의 긍정적인 부분. 우리는
내가 =.l 2 О 큐 ++ .
여기에서 NÍ 큐++. 정리 2.3.4에 따르면 자연수의 역수도 다음에 속합니다. 큐++. 그 다음에 큐 + Í 큐++. 정리 2.3.6에 따라 큐 + =큐++. 따라서 양의 부분으로 정의된 순서도 일치합니다. 큐+ 및 큐 ++ .
왜냐하면 지 + = NÍ 큐+ 그러면 순서는 다음과 같습니다. 큐계속 주문하다 지.
이제 a => 0, b => 0이라고 합시다. 아르키메데스 정수의 고리 순서는 양수이므로 kn그리고 밀리리터뭔가 자연스러운 게 있어 와 함께그렇게 와 함께× kn>밀리리터. 여기에서 와 함께 a = 와 함께> = ㄴ. 이는 유리수 분야의 순서가 아르키메데스라는 것을 의미합니다.
수업 과정
1. 유리수의 장이 밀집되어 있음을 증명하십시오. 즉, 모든 유리수에 대해 ㅏ < 비합리적이다 아르 자형그렇게 ㅏ < 아르 자형 < 비.
2. 방정식을 증명 엑스 2 = 2에는 해결책이 없습니다. 큐.
3. 집합임을 증명하라 큐셀 수 있는.
정리 3.유리수의 공리 이론은 일관성이 있습니다.
증거. 유리수의 공리 이론의 일관성은 정수의 경우와 동일한 방식으로 입증됩니다. 이를 위해 이론의 모든 공리를 충족하는 모델이 구축됩니다.
기본적으로 우리는 세트를 사용합니다
지´ 지* = {(에, 비)ï 에, 비Î 지, 비 ¹ 0}.
이 세트의 요소는 쌍입니다( 에, 비) 정수. 그러한 쌍으로 우리는 정수의 몫을 이해할 것입니다 ㅏ/비. 이에 따라 쌍의 속성을 설정합니다.
현장을 소개하겠습니다 지´ 지*평등 관계:
(에, 비) = (CD) Û 광고 = 기원전.
우리는 이것이 등가 관계이며 평등이라고 부를 권리가 있음을 주목합니다. 세트의 요인 세트 지´ 지*이 평등 관계에 따라 우리는 다음과 같이 표시합니다. 큐. 우리는 그 요소를 유리수라고 부를 것입니다. 쌍을 포함하는 클래스( 에, 비), [로 표시 에, 비].
구성된 세트를 소개하겠습니다 큐덧셈과 곱셈의 연산. 이는 요소 [를 이해하는 데 도움이 될 것입니다. 에, 비] 비공개로 ㅏ/비. 이에 따라 우리는 정의에 따라 다음을 가정합니다.
[에, 비] + [CD] = [광고+BC, BD];
[에, 비] × [ CD] = [교류, BD].
우리는 이러한 작업 정의의 정확성, 즉 결과가 요소 선택에 의존하지 않는지 확인합니다. ㅏ그리고 비, 쌍을 정의 [ 에, 비]. 이는 정리 3.2.1의 증명과 같은 방식으로 이루어진다.
0의 역할은 쌍이 담당합니다. 로 표시해보자 0 . 정말,
[에, 비] + 0 = [에, 비] + = [에× 1+0× 비,비× 1] = [에, 비].
[ 반대쪽 에, 비]는 –[ 쌍입니다. 에, 비] = [–에, 비]. 정말,
[에, 비] + [–에, 비]= [ab – ab, bb] = = 0 .
단위는 쌍 = 1 . 쌍 [ 에, 비] - 쌍 [ 비, 에이].
이제 확장 공리를 확인해 보겠습니다. 대응을 확립하자
에프: 지 ® 큐규칙에 따라
에프(N) = [N, 1].
우리는 이것이 일대일 대응인지 확인합니다. 지그리고 일부 하위 집합 큐, 이는 다음과 같이 표시됩니다. 지*. 우리는 그것이 연산을 유지하는지 확인합니다. 즉, 지그리고 링 아래 지* V 큐. 이는 확장 공리가 검증되었음을 의미합니다.
쌍을 표시합시다 [ N, 1] 에서 지*, 자연수에 해당 N, 을 통해 N . 그런 다음 임의의 쌍에 대해 [ 에, 비] 우리는
[에, 비] = [ㅏ, 1] × = [ ㅏ, 1] / [비, 1] = ㅏ /비 .
이것은 한 쌍의 아이디어를 정당화합니다 [ 에, 비]를 정수의 몫으로 사용합니다. 동시에 구성된 세트의 각 요소는 다음과 같습니다. 큐두 정수의 몫으로 표현됩니다. 이는 최소의 공리를 검증하는 데 도움이 됩니다. 검증은 정리 3.2.1과 같이 수행된다.
따라서 구축된 시스템에 대해서는 큐정수 이론의 모든 공리가 충족됩니다. 즉, 우리는 이 이론의 모델을 구축했습니다. 정리가 입증되었습니다.
정리 4.유리수의 공리 이론은 범주형입니다.
증명은 정리 3.2.2와 유사하다.
정리 5.아르키메데스 순서 필드는 유리수 필드의 확장입니다.
증거는 연습이다.
정리 6.허락하다 에프– 아르키메데스 정렬 필드, ㅏ > 비,어디 에, 비Î 에프. 유리수 Î가 있습니다 에프그렇게 ㅏ > > 비.
증거. 허락하다 ㅏ > 비³ 0. 그런 다음 a–b> 0 및 ( a–b) –1 > 0. 자연스러운 현상이 있습니다. 티그렇게 중×1 > ( a–b) –1, 어디에서 중 –1 < a–b £ ㅏ. 게다가 자연산도 있고 케이그렇게 케이× 중-1 ³ ㅏ. 허락하다 케이이 불평등이 유지되는 가장 작은 숫자입니다. 왜냐하면 케이> 1, 그러면 우리는 넣을 수 있습니다 k = n + 1, N Î N. 여기서
(N+ 1)× 중-1 ³ ㅏ, N× 중 –1 < ㅏ. 만약에 N× 중–1 £ 비, 저것 ㅏ = 비 + (a–b) > b+m-1 ³ N× 중 –1 + 중 –1 =
= (N+ 1)× 중-1 . 모순. 수단, ㅏ >N× 중 –1 > 비.
수업 과정
4. 정수의 고리를 포함하는 모든 필드에는 유리수 필드도 포함된다는 것을 증명하십시오.
5. 모든 최소 순서 필드가 유리수 필드와 동형임을 증명하십시오.
실수
자연수에 대한 공리 이론을 구성할 때 기본 용어는 "요소" 또는 "수"(이 매뉴얼의 맥락에서 동의어로 간주할 수 있음) 및 "집합", 주요 관계: "소속"(요소 세트에 속함), "평등" 및 " 후속 조치", a /로 표시됩니다("숫자 a 다음에 획이 오는 숫자"라고 읽습니다. 예를 들어 2 뒤에 3이 옵니다. 즉, 2 / = 3, 숫자 10 뒤에 숫자 11이 옵니다. 즉, 10 / = 11 등).
자연수의 집합(자연 계열, 양의 정수)는 다음 4가지 공리가 충족되는 "follow after" 관계가 도입된 집합 N입니다.
1. 집합 N에는 다음과 같은 요소가 있습니다. 단위, 이는 다른 숫자를 따르지 않습니다.
2. 자연 계열의 각 요소 옆에는 하나만 있습니다.
3. N의 각 요소는 자연 계열의 최대 하나의 요소를 따릅니다.
4.( 귀납법의 공리) 집합 N의 부분 집합 M이 하나를 포함하고 또한 각 요소 a와 함께 다음 요소 a/도 포함하는 경우 M은 N과 일치합니다.
동일한 공리는 수학 기호를 사용하여 간략하게 작성할 수 있습니다.
A 1 ( 1 N) ( a N) a / ≠ 1
A 2 ( a N) ( a / N) a = b => a / = b /
A 3 a / = b / => a = b
요소 b가 요소 a 뒤에 오면(b = a /) 요소 a가 요소 b보다 앞선다고 말할 것입니다(또는 b보다 앞선다). 이 공리 체계를 다음과 같이 부릅니다. 페아노 공리 시스템(19세기 이탈리아 수학자 주세페 페아노(Giuseppe Peano)가 처음 도입한 이후). 이것은 자연수 집합을 정의할 수 있는 공리 집합 중 하나일 뿐입니다. 다른 동등한 접근 방식이 있습니다.
자연수의 가장 간단한 속성
속성 1. 요소가 다르면 그 뒤에 오는 요소도 다릅니다.
a b => a / b / .
증거모순에 의해 수행됩니다. a / = b /, 그런 다음 (A 3에 의해) a = b라고 가정하면 정리의 조건과 모순됩니다.
속성 2. 요소가 다르면 그 앞에 있는 요소(존재하는 경우)도 다릅니다.
a / b / => a b.
증거: a = b라고 가정하면 A 2에 따르면 정리의 조건에 모순되는 a / = b /가 있습니다.
속성 3. 다음 자연수와 같은 자연수는 없습니다.
증거: 이 조건을 만족하는 자연수로 구성된 집합 M을 고려해 보겠습니다.
M = (a N | a a / ).
귀납법칙을 바탕으로 증명을 진행하겠습니다. 집합 M의 정의에 따르면 이는 자연수 집합의 부분 집합입니다. 다음 1M은 어떤 자연수(A 1)도 따르지 않으므로 a = 1에 대해서도 1 1 / 가 됩니다. 이제 일부 a M을 가정해 보겠습니다. 이는 a a / (M의 정의에 따라), 여기서 a / (a /) / (속성 1), 즉 a / M을 의미합니다. 위의 귀납법 공리를 사용하여 M = N이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 우리의 정리는 모든 자연수에 대해 참입니다.
정리 4. 1이 아닌 자연수에는 그 앞에 숫자가 옵니다.
증거: 세트를 고려
M = (1) (c N | ( a N) c = a / ).
이 M은 자연수 집합의 부분 집합이며, 하나는 분명히 이 집합에 속합니다. 이 세트의 두 번째 부분은 선행 항목이 있는 요소입니다. 따라서 a M이면 a /도 M에 속합니다(두 번째 부분은 a/에 선행 항목이 있으므로 a입니다). 따라서 귀납법에 따르면 M은 모든 자연수의 집합과 일치합니다. 이는 모든 자연수가 1이거나 선행 요소가 있는 자연수임을 의미합니다. 정리가 입증되었습니다.
자연수의 공리 이론의 일관성
자연수 집합의 직관적인 모델로서 우리는 선 집합을 고려할 수 있습니다. 숫자 1은 |, 숫자 2 || 등에 해당합니다. 즉, 자연수는 다음과 같습니다.
|, ||, |||, ||||, ||||| ….
이러한 행의 행은 "하나의 행을 숫자에 귀속시키는 것"이 "후속" 관계로 사용되는 경우 자연수의 모델 역할을 할 수 있습니다. 모든 공리의 타당성은 직관적으로 명백합니다. 물론 이 모델이 엄밀히 말하면 논리적인 것은 아닙니다. 엄격한 모델을 구축하려면 명백히 일관된 또 다른 공리 이론이 필요합니다. 그러나 위에서 언급한 것처럼 우리는 그러한 이론을 마음대로 사용할 수 없습니다. 따라서 우리는 직관에 의존하거나 모델 방법에 의존하지 않고 자연수 연구가 수행 된 6 천년 이상 동안 다음과 모순되지 않는다는 사실을 언급해야합니다. 이러한 공리가 발견되었습니다.
Peano 공리 시스템의 독립성
첫 번째 공리의 독립성을 증명하려면 공리 A 1이 거짓이고 공리 A 2, A 3, A 4가 참인 모델을 구성하는 것으로 충분합니다. 숫자 1, 2, 3을 기본 용어(요소)로 간주하고 "추종" 관계를 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1 관계로 정의하겠습니다.
이 모델에는 다른 공리를 따르지 않는 요소가 없지만(공리 1은 거짓) 다른 모든 공리는 충족됩니다. 따라서 첫 번째 공리는 다른 공리에 의존하지 않습니다.
두 번째 공리는 존재와 고유성이라는 두 부분으로 구성됩니다. (존재 측면에서) 이 공리의 독립성은 단일 관계인 1 / = 2로 정의된 "추종" 관계를 갖는 두 숫자(1, 2)의 모델로 설명할 수 있습니다.
두 가지 경우 다음 요소가 누락되었지만 공리 A 1, A 3, A 4는 참입니다.
고유성 측면에서 이 공리의 독립성은 집합 N이 모든 일반 자연수 집합은 물론 모든 종류의 단어(반드시 의미가 없는 문자 집합)의 집합이 되는 모델로 설명됩니다. 라틴 알파벳 문자로 구성됩니다(문자 z 다음은 aa, ab ... az, ba ...입니다. 가능한 모든 두 글자 단어(마지막 문자는 zz) 뒤에 옵니다. aaa라는 단어 등). 그림과 같이 "follow" 관계를 소개합니다.
여기서 공리 A 1, A 3, A 4도 참이지만 1 바로 뒤에 두 요소 2와 a가 옵니다. 따라서 공리 2는 다른 공리에 의존하지 않습니다.
공리 3의 독립성은 모델로 설명됩니다.
여기서 A 1, A 2, A 4는 참이지만 숫자 2는 숫자 4와 숫자 1 뒤에 옵니다.
귀납법 공리의 독립성을 증명하기 위해 모든 자연수와 세 글자(a, b, c)로 구성된 집합 N을 사용합니다. 이 모델의 관계는 다음 그림과 같이 도입될 수 있습니다.
여기서, 자연수에 대해서는 일반적인 추종관계를 사용하고, 문자에 대해서는 추종관계를 a/=b, b/=c, c/=a의 수식으로 정의한다. 1은 어떤 자연수도 따르지 않는다는 것이 명백합니다. 각각에 대해 다음이 있고 단 하나만 있고, 각 요소는 많아야 하나의 요소를 따릅니다. 그러나 일반적인 자연수로 구성된 집합 M을 고려하면 이는 M의 각 요소에 대한 다음 요소뿐만 아니라 하나를 포함하는 이 집합의 하위 집합이 됩니다. 그러나 이 하위 집합은 아래의 전체 모델과 일치하지 않습니다. 문자 a, b, c가 포함되지 않으므로 고려하세요. 따라서 이 모델에서는 귀납 공리가 만족되지 않으며, 따라서 귀납 공리는 다른 공리에 의존하지 않습니다.
자연수의 공리 이론은 다음과 같습니다. 범주형(좁은 의미에서는 완전하다).
(n /) =( (n)) / .
완전한 수학적 귀납법의 원리.
유도 정리.모든 자연수에 대해 어떤 명제 P(n)을 공식화하고, a) P(1)이 참이라고 가정하면, b) P(k)가 참이라는 사실로부터 P(k /)도 역시 참이라는 결론이 나옵니다. 그러면 명제 P(n)은 모든 자연수에 대해 참입니다.
이를 증명하기 위해 명제 P(n)이 참인 자연수 n(M N)의 집합 M을 도입해 보겠습니다. 공리 A 4를 사용하여 다음을 증명해 보겠습니다.
k M => k / M.
성공하면 공리 A 4에 따라 M = N, 즉 P(n)이 모든 자연수에 대해 참이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
1) 정리의 조건 a)에 따르면 P(1)은 참이므로 1 M입니다.
2) 어떤 k M이면 (M의 구성에 따라) P(k)는 참입니다. 정리의 조건 b)에 따르면 이는 P(k /)의 참을 수반하며 이는 k / M을 의미합니다.
따라서 귀납법 공리(A 4)에 따르면 M = N이며 이는 P(n)이 모든 자연수에 대해 참임을 의미합니다.
따라서 귀납법의 공리는 "귀납법에 의해" 정리를 증명하는 방법을 만들 수 있게 해줍니다. 이 방법은 자연수에 관한 산술의 기본 정리를 증명하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 이는 다음으로 구성됩니다:
1) 진술의 타당성을 확인합니다.N=1 (유도 베이스) ,
2) 이 진술의 타당성은 다음에 대해 가정됩니다.N= 케이, 어디케이– 임의의 자연수(귀납적 가설) , 그리고 이 가정을 고려하여 진술의 타당성은 다음과 같이 확립됩니다.N= 케이 / (유도 단계 ).
주어진 알고리즘을 기반으로 한 증명을 증명이라고 합니다. 수학적 귀납법에 의한 .
독립적인 솔루션을 위한 과제
번호 1.1. 나열된 시스템 중 Peano 공리(자연수 집합의 모델)를 충족하는 시스템이 무엇인지 알아보고 어떤 공리가 충족되고 어떤 공리가 충족되지 않는지 확인합니다.
a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1;
b) N =(n 6, n N), n / = n + 1;
c) N =(n – 2, n 지), n / = n + 1;
d) N =(n – 2, n 지), n / = n + 2;
e) 홀수 자연수, n / = n +1;
f) 홀수 자연수, n / = n +2;
g) n / = n + 2 비율의 자연수;
h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;
i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;
j) 자연수, n / = n + 3 비율의 3의 배수
k) n / = n + 2 비율의 짝수 자연수
m) 정수, 
.
정수 시스템
사물을 나열하기 위해 자연계열이 등장했다는 사실을 기억하자. 그러나 객체에 대해 몇 가지 작업을 수행하려면 숫자에 대한 산술 연산이 필요합니다. 즉, 사과를 쌓거나 케이크를 나누고 싶다면 이러한 행동을 숫자의 언어로 번역해야 합니다.
+ 및 * 연산을 자연수 언어에 도입하려면 이러한 연산의 속성을 정의하는 공리를 추가해야 합니다. 그러나 자연수 집합 자체도 다음과 같습니다. 확장.
자연수 집합이 어떻게 확장되는지 봅시다. 가장 먼저 요구되는 연산 중 가장 간단한 연산은 덧셈입니다. 덧셈 연산을 정의하려면 역 뺄셈을 정의해야 합니다. 실제로 덧셈의 결과가 무엇인지 안다면(예를 들어 5와 2), 11을 얻기 위해 4에 무엇을 더해야 하는지와 같은 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 덧셈과 관련된 문제는 확실히 반대 동작(뺄셈)을 수행하는 능력이 필요합니다. 그러나 자연수를 더하면 다시 자연수가 주어지고, 자연수를 빼면 N에 맞지 않는 결과가 나옵니다. 다른 숫자가 필요했습니다. 더 큰 숫자에서 더 작은 숫자를 이해할 수 있는 빼기와 유사하게, 더 작은 숫자에서 더 큰 숫자를 빼는 규칙이 도입되었습니다. 이것이 음의 정수가 나타나는 방식입니다.
자연 계열에 + 및 - 연산을 추가하여 정수 집합에 도달합니다.
Z=N+연산(+-)
산술 언어로서의 유리수 체계
이제 다음으로 가장 복잡한 동작인 곱셈을 고려해 보겠습니다. 본질적으로 이는 반복적인 추가입니다. 그리고 정수의 곱은 정수로 유지됩니다.
그러나 곱셈의 역연산은 나눗셈입니다. 그러나 항상 최상의 결과를 제공하는 것은 아닙니다. 그리고 다시 우리는 딜레마에 직면하게 됩니다. 분할의 결과가 "존재하지 않을" 수도 있다는 사실을 주어진 대로 받아들이거나 새로운 유형의 숫자를 생각해 내는 것입니다. 이것이 유리수가 나타난 방식입니다.
정수 시스템에 곱셈과 나눗셈의 연산을 정의하는 공리를 추가해 보겠습니다. 우리는 유리수 시스템을 얻습니다.
Q=Z+연산(*/)
따라서 유리수의 언어를 사용하면 다음을 생성할 수 있습니다. 모든 산술 연산숫자 위에. 자연수의 언어만으로는 충분하지 않았습니다.
유리수 체계에 대한 공리적 정의를 제시해 보겠습니다.
정의. 집합 Q를 유리수 집합이라고 하며, 유리수의 공리라고 하는 다음 조건 집합이 충족되면 그 요소를 유리수라고 합니다.
덧셈 연산의 공리. 모든 주문 쌍에 대해 x,y요소 큐일부 요소가 정의되었습니다 x+yОQ, 합계라고 함 엑스그리고 ~에. 이 경우 다음 조건이 충족됩니다.
1. (제로의 존재) 어떤 원소에도 0(제로)이 존재한다. 엑스ΨQ
엑스+0=0+엑스=엑스.
2. 모든 요소에 대해 엑스О Q 요소가 있습니다 - 엑스О Q (반대 엑스) 그런 식으로
엑스+ (-엑스) = (-엑스) + 엑스 = 0.
3. (교환성) 어떤 경우에도 x,yО Q
4. (연관성) 임의의 x,y,zО에 대해 Q
x + (y + z) = (x + y) + z
곱셈 연산의 공리.
모든 주문 쌍에 대해 엑스, 와이 Q의 요소 일부 요소가 정의되었습니다. xyО Q, 제품이라고 함 엑스그리고 유.이 경우 다음 조건이 충족됩니다.
5. (단위 요소의 존재) 어떤 요소에 대해서도 1 О Q 요소가 있습니다. 엑스О Q
엑스 . 1 = 1. x = x
6. 모든 요소에 대해 엑스О Q , ( 엑스≠ 0) 역요소가 있음 엑스-1 ≠0 즉
엑스. x -1 = x -1. 엑스 = 1
7. (연관성) 어떤 경우에도 x, y, zО Q
엑스 . (와이 . z) = (엑스 . 와이) . 지
8. (교환성) 엑스, 와이О Q
덧셈과 곱셈의 연결 공리.
9. (분배성) x, y, zО Q
(x+y) . z = 엑스 . z+y . 지
질서의 공리.
임의의 두 요소 엑스, 와이,О Q는 비교 관계를 맺습니다 ≤. 이 경우 다음 조건이 충족됩니다.
10. (엑스≤~에)엘( ~에≤엑스) ó x=y
11. (엑스≤와이)엘 ( y ≤ 지) => 엑스≤지
12. 누구에게나 엑스, 와이О Q 또는 x< у, либо у < x .
태도< называется строгим неравенством,
관계 =를 Q의 요소 동일성이라고 합니다.
덧셈과 순서 사이의 연결 공리.
13. 임의의 x, y, z에 대해 ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z
곱셈과 순서 사이의 연결 공리.
14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x'y)
아르키메데스의 연속성 공리.
15. a > b > 0에 대해, m 3 1, n이 되는 m О N과 n О Q가 존재합니다.< b и a= mb+n.
*****************************************
따라서 유리수 체계는 산술의 언어입니다.
그러나 이 언어는 실제 컴퓨팅 문제를 해결하기에는 충분하지 않습니다.
수학의 공리적 방법.
자연급수 공리이론의 기본 개념과 관계. 자연수의 정의.
자연수의 추가.
자연수의 곱셈.
자연수 집합의 속성
자연수의 뺄셈과 나눗셈.
수학의 공리적 방법
모든 수학적 이론의 공리적 구성에서는 다음 규칙이 준수됩니다. 특정 규칙:
1. 이론의 일부 개념은 다음과 같이 선택됩니다. 기본정의 없이 받아들여집니다.
2. 배합되어 있습니다 공리, 이 이론에서는 증거 없이 받아들여지며 기본 개념의 속성을 드러냅니다.
3. 기본 이론 목록에 포함되지 않은 이론의 각 개념이 제공됩니다. 정의, 주요 개념과 선행 개념을 사용하여 그 의미를 설명합니다.
4. 공리 목록에 포함되지 않은 이론의 모든 명제는 입증되어야 합니다. 그러한 제안을 정리고려 중인 공리와 정리에 기초하여 이를 증명합니다.
공리 시스템은 다음과 같아야 합니다.
a) 일관성:우리는 주어진 공리 체계로부터 가능한 모든 결론을 도출함으로써 결코 모순에 이르지 않을 것임을 확신해야 합니다.
b) 독립적: 어떤 공리도 이 시스템의 다른 공리의 결과가 되어서는 안 됩니다.
V) 가득한, 프레임워크 내에서 주어진 진술이나 부정을 증명하는 것이 항상 가능하다면.
공리 이론 구성의 첫 번째 경험은 유클리드의 "원소"(기원전 3세기)에서 기하학을 제시한 것으로 간주될 수 있습니다. N.I는 기하학과 대수학을 구성하는 공리적 방법 개발에 크게 기여했습니다. Lobachevsky와 E. Galois. 19세기 말. 이탈리아의 수학자 페아노(Peano)는 산술을 위한 공리 체계를 개발했습니다.
자연수의 공리이론의 기본 개념과 관계. 자연수의 정의.
특정 세트의 기본(정의되지 않은) 개념으로 N 선택되었습니다 태도 , 또한 집합 이론 개념과 논리 규칙을 사용합니다.
요소 바로 뒤에 오는 요소 ㅏ,나타내다 ㅏ".
"직접 팔로우" 관계는 다음 공리를 충족합니다.
페아노의 공리:
공리 1. 풍부하게 N 직접 요소가 있습니다 다음은 아니야이 세트의 어떤 요소에도 해당되지 않습니다. 그에게 전화하자 단위그리고 기호로 표시되는 1 .
공리 2. 각 요소에 대해 ㅏ ~에서 N 요소가 하나뿐이야 ㅏ" , 바로 다음 ㅏ .
공리 3. 각 요소에 대해 ㅏ ~에서 N바로 뒤에 오는 요소는 많아야 하나입니다. ㅏ .
공리 4.모든 하위 집합 중 세트 N 일치하다 N , 다음 속성이 있는 경우: 1) 1 에 포함된 중 ; 2) 사실로부터 ㅏ 에 포함된 중 , 그것은 다음과 같다 ㅏ" 에 포함된 중.
정의 1. 한 무리의 N , 해당 요소에 대해 관계가 설정됩니다. "직접 따라와"는 공리 1-4를 만족하는 것으로 불립니다. 자연수의 집합, 해당 요소는 다음과 같습니다. 자연수.
이 정의는 집합 요소의 성격에 대해 아무 것도 말하지 않습니다. N . 그래서 그것은 무엇이든 될 수 있습니다. 세트로 선택 N 공리 1-4를 만족시키면서 "직접 따르는" 특정 관계가 제공되는 특정 세트는 다음을 얻습니다. 이 시스템의 모델 공리.
페아노 공리 체계의 표준 모델은 사회의 역사적 발전 과정에서 등장한 일련의 숫자입니다: 1,2,3,4,... 자연 계열은 숫자 1(공리 1)로 시작합니다. 모든 자연수 바로 뒤에는 단일 자연수가 따라옵니다(공리 2). 모든 자연수는 최대 하나의 자연수 바로 뒤에 옵니다(공리 3). 숫자 1부터 시작하여 서로 바로 뒤따르는 자연수 순서로 이동하면 이 숫자의 전체 집합을 얻습니다(공리 4).
그래서 우리는 기본을 선택함으로써 자연수 체계의 공리적 구성을 시작했습니다. "직접 팔로우" 관계그리고 그 속성을 설명하는 공리. 이론의 추가 구성에는 자연수의 알려진 특성과 그에 대한 연산을 고려하는 것이 포함됩니다. 그것들은 정의와 정리로 공개되어야 합니다. "직접 따르다"라는 관계와 공리 1-4로부터 순전히 논리적으로 파생됩니다.
자연수를 정의한 후 소개할 첫 번째 개념은 태도 "바로 앞선다" , 자연계열의 성질을 고려할 때 자주 사용되는 표현이다.
정의 2.자연수인 경우 비 바로 따라간다자연수 ㅏ, 그 번호 ㅏ ~라고 불리는 직전(또는 이전) 번호 b .
'선행'이라는 관계는 여러 가지 속성.
정리 1. 단위 앞에는 자연수가 없습니다.
정리 2. 모든 자연수 ㅏ, 1이 아닌 앞에 숫자가 하나 있습니다. 비,그렇게 비"= ㅏ.
자연수 이론의 공리적 구성은 초등학교나 중등학교에서는 고려되지 않습니다. 그러나 Peano의 공리에 반영된 "직접 따르는" 관계의 속성은 수학의 초기 과정에서 연구 주제입니다. 이미 1학년 때 처음 10의 숫자를 고려하면 각 숫자를 어떻게 얻을 수 있는지가 분명해집니다. "다음" 및 "선행"이라는 개념이 사용됩니다. 각각의 새로운 숫자는 자연 숫자 계열의 연구된 세그먼트의 연속 역할을 합니다. 학생들은 각 숫자 뒤에 다음 숫자가 따라오고, 게다가 자연적인 숫자 계열은 무한하다는 단 한 가지만 확신합니다.
자연수의 덧셈
공리 이론을 구성하기 위한 규칙에 따르면, 자연수 덧셈의 정의는 관계식만을 사용하여 도입되어야 합니다. "바로 팔로우"및 개념 "자연수"그리고 "이전 번호".
다음 고려 사항을 고려하여 덧셈의 정의를 시작하겠습니다. 임의의 자연수라면 ㅏ 1을 더하면 숫자가 나옵니다 ㅏ",바로 다음 ㅏ, 즉. ㅏ+ 1=아"그러므로 우리는 모든 자연수에 1을 더하는 규칙을 얻습니다. 하지만 숫자에 추가하는 방법 ㅏ자연수 비, 1이랑 다른데? 다음 사실을 활용해 봅시다: 2 + 3 = 5라는 것을 안다면 합은 2 + 4 = 6이고 숫자 5 바로 뒤에 옵니다. 이는 합 2 + 4에서 두 번째 항이 바로 다음 숫자이기 때문에 발생합니다. 숫자 3. 따라서 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". 일반적으로 우리는 , .
이러한 사실은 공리 이론에서 자연수의 덧셈을 정의하는 기초를 형성합니다.
정의 3. 자연수 더하기다음과 같은 속성을 갖는 대수 연산입니다.
숫자 a + b ~라고 불리는 숫자의 합 ㅏ그리고 비 , 그리고 숫자 자체 ㅏ그리고 비 - 자귀.
OMSK 주립 교육 대학
TAR의 옴스크 주립 교육 대학 분교
BBK 편집 및 출판의 결정에 따라 출판
Tara에 있는 Omsk State Pedagogical University 지점의 22ya73 부문
Ch67
권장 사항은 "대수학 및 정수론" 분야를 공부하는 교육학 대학의 학생들을 위한 것입니다. 이 학문의 틀 내에서 주 표준에 따라 6학기에 "수치 시스템" 섹션을 공부합니다. 이러한 권장 사항은 자연수 시스템(페아노 공리 시스템), 정수 시스템 및 유리수 시스템의 공리적 구성에 대한 자료를 제시합니다. 이 공리를 통해 우리는 학교 수학 과정의 기본 개념 중 하나인 숫자가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있습니다. 자료의 더 나은 동화를 위해 관련 주제에 대한 문제가 제공됩니다. 권장 사항 끝에는 문제에 대한 답변, 지침 및 해결 방법이 있습니다.
검토자: 교육학 박사, 교수. Dalinger V.A.
(c) 모잔 N.N.
출판을 위해 서명됨 - 98년 10월 22일
신문용지
발행부수 100부.
인쇄 방식이 작동 중입니다.
옴스크 주립 교육 대학, 644099, Omsk, emb. 투카체프스키, 14세
지점, 644500, Tara, st. 슈콜나야, 69세
1. 자연수.
자연수 체계의 공리적 구성에서 우리는 집합의 개념, 관계, 함수 및 기타 집합 이론 개념이 알려져 있다고 가정합니다.
1.1 Peano 공리 시스템과 가장 간단한 결과.
페아노의 공리 이론의 초기 개념은 집합 N(자연수 집합이라고 함), 그 집합에서 나오는 특수 숫자 영(0), 그리고 S(a)로 표시되는 N을 "따르는" 이항 관계입니다. ㅏ()).
원칙:
1. ((a(N) a"(0 (어떤 숫자도 따르지 않는 자연수 0이 있습니다.)
2. a=b (a"=b" (모든 자연수 a에 대해 그 뒤에 자연수 a"가 있고 하나만 있습니다.)
3. a"=b" (a=b (각 자연수는 최대 하나의 숫자 뒤에 옵니다.)
4. (귀납 공리) 집합 M(N 및 M이 두 가지 조건을 만족하는 경우:
답) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, 그러면 M=N.
기능적 용어로 이는 S:N®N 매핑이 주입적임을 의미합니다. 공리 1에서 S:N®N 매핑은 전사가 아닙니다. 공리 4는 "수학적 귀납법에 의해" 진술을 증명하는 기초입니다.
공리를 직접 따르는 자연수의 몇 가지 속성에 주목해 보겠습니다.
속성 1. 모든 자연수 a(0은 하나의 숫자 뒤에 옵니다.
증거. M은 0과 모든 자연수를 포함하는 자연수 집합을 나타내며, 각 자연수는 특정 숫자를 따릅니다. M=N, 고유성은 공리 3에서 나온다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 귀납 공리 4를 적용해 보겠습니다.
A) 0(M - 세트 M의 구성에 의해;
B) a(M이면 a"(M, 왜냐하면 a"가 a를 따르기 때문입니다.
이는 공리 4에 따르면 M=N임을 의미합니다.
속성 2. a(b이면 a"(b"입니다.
이 속성은 공리 3을 사용하여 모순으로 증명됩니다. 다음 속성 3은 공리 2를 사용하여 비슷한 방식으로 증명됩니다.
속성 3. a"(b"이면 a(b.
속성 4. ((a(N)a(a". (자기 자신에게 오는 자연수는 없습니다.)
증거. M=(x (x(N, x(x"))라고 하면 M=N임을 보여주는 것으로 충분합니다. 공리 1에 따르면 ((x(N)x"(0, 특히 0"(0) , 따라서 공리 4 0(M -의 조건 A)가 충족됩니다. x(M, 즉 x(x")이면 속성 2 x"((x")"에 의해 조건 B) x가 충족됩니다. ( M ® x"(M. 그러나 공리 4에 따르면 M=N입니다.
(를 자연수의 일부 속성으로 둡니다. 숫자 a가 속성을 갖는다는 사실을 ((a)라고 씁니다.
과제 1.1.1. 자연수 집합 정의의 공리 4가 다음 진술과 동일하다는 것을 증명하십시오: for any property (, if ((0) and, then.
과제 1.1.2. 3개 요소 집합 A=(a,b,c)에서 단항 연산(은 다음과 같이 정의됩니다: a(=c, b(=c, c(=a). Peano 공리 중 집합에서 참인 것은 무엇입니까? A와 수술(?
과제 1.1.3. A=(a)를 단일 집합, a(=a라고 가정합니다. 연산(?)을 사용하여 집합 A에 대해 Peano 공리 중 어느 것이 참입니까?
과제 1.1.4. 집합 N에서 우리는 모든 것을 가정하여 단항 연산을 정의합니다. 연산의 관점에서 공식화한 Peano 공리의 진술이 N에서 참인지 알아보세요.
문제 1.1.5. 하자. 연산 (.)에서 A가 닫혀 있음을 증명하십시오. 연산 (.
문제 1.1.6. 하자, . A에 대한 단항 연산을 정의해 보겠습니다. 연산이 포함된 집합 A에서 Peano 공리 중 참인 것은 무엇입니까?
1.2. Peano 공리 시스템의 일관성과 범주성.
공리 시스템은 공리로부터 정리 T와 그 부정을 증명하는 것이 불가능할 경우 일관성이 있다고 합니다. (T. 모순된 공리 시스템은 수학에서 의미가 없다는 것이 분명합니다. 왜냐하면 그러한 이론에서는 무엇이든 증명할 수 있기 때문입니다. 이론은 현실세계의 법칙을 반영하지 않기 때문에 공리체계의 일관성은 절대적으로 필요한 요구사항이다.
공리이론에서 정리 T와 그 부정(T)이 발견되지 않는다고 해서 공리체계가 일관성이 있다는 의미는 아니며, 그러한 이론이 미래에 나타날 수도 있으므로, 공리체계의 일관성이 입증되어야 한다. 일관성을 증명하는 가장 일반적인 방법은 명백히 일관된 이론 S에서 공리 시스템의 해석이 있으면 공리 시스템 자체가 일관성이 있다는 사실에 기초한 해석 방법입니다. 그러면 정리 T와 (T는 증명 가능하지만 이러한 정리는 유효하고 해석에 있어서 이론 S의 일관성과 모순됩니다. 해석 방법을 사용하면 이론의 상대적 일관성만 증명할 수 있습니다.
Peano 공리 시스템에 대해 다양한 해석을 구성할 수 있습니다. 집합론은 특히 해석이 풍부합니다. 이러한 해석 중 하나를 지정해 보겠습니다. 우리는 집합 (, ((), ((()), ((())),...을 자연수로 간주할 것입니다. 우리는 0을 특수 숫자 (()로 간주할 것입니다. "다음" 관계는 다음과 같이 해석됩니다: 집합 M 다음에는 집합 (M)이 오고, 그 유일한 요소는 M 자체입니다. 따라서 ("=((), (()"=((())) 등이 됩니다. 공리 1-4는 쉽게 검증할 수 있지만, 집합론이 일관성이 있으면 페아노 공리 체계도 일관성이 있음을 보여주므로 이러한 해석의 효율성은 작습니다. Peano 공리 시스템의 가장 설득력 있는 해석은 직관적인 산술이며, 그 일관성은 수세기에 걸친 개발 경험을 통해 확인되었습니다.
이 시스템의 각 공리가 다른 공리를 기반으로 정리로 입증될 수 없는 경우 일관된 공리 시스템을 독립적이라고 합니다. 공리가 (시스템의 다른 공리에 의존하지 않음을 증명하기 위해)
(1, (2, ..., (n, ((1))
공리 체계가 일관성이 있다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.
(1, (2, ..., (n, (((2)
실제로, (이 시스템 (1)의 나머지 공리를 기반으로 증명되었다면 시스템 (2)는 모순이 될 것입니다. 왜냐하면 그 안에 정리 (및 공리 ((.
따라서 (체계 (1)의 다른 공리로부터) 공리의 독립성을 증명하려면 공리 체계 (2)를 해석하는 것으로 충분합니다.
공리 시스템의 독립성은 선택적인 요구 사항입니다. 때로는 "어려운" 정리를 증명하는 것을 피하기 위해 의도적으로 중복된(종속) 공리 시스템이 구성됩니다. 그러나 "추가" 공리는 이론에서 공리의 역할뿐만 아니라 이론의 여러 부분 사이의 내부 논리적 연결을 연구하기 어렵게 만듭니다. 또한, 종속 공리 시스템에 대한 해석을 구성하는 것은 독립 공리 시스템보다 훨씬 더 어렵습니다. 결국 우리는 "추가" 공리의 타당성을 확인해야 합니다. 이러한 이유로 공리 간의 의존성 문제는 고대부터 가장 중요한 문제로 여겨져 왔습니다. 한때 유클리드의 공리에서 "선과 평행한 점 A를 통과하는 선은 많아야 하나가 있습니다"라는 가정을 증명하려는 시도는 정리(즉, 나머지 공리에 따라 다름)이며 Lobachevsky의 발견으로 이어졌습니다. 기하학.
주어진 이론의 임의의 명제 A가 입증되거나 반박될 수 있는 경우, 즉 A 또는 (A는 이 이론의 정리입니다. 증명할 수도 반박할 수도 없는 명제가 있는 경우, 일관된 시스템을 연역적으로 완전하다고 합니다. 그런 다음 공리 시스템을 연역적으로 불완전하다고 합니다. 연역적 완전성도 필수 요구 사항이 아닙니다. 예를 들어, 그룹 이론, 고리 이론, 장 이론의 공리 시스템은 불완전합니다. 유한 및 무한 그룹, 고리, 필드가 모두 있기 때문입니다. , 그러면 이들 이론에서는 "그룹(고리, 필드)은 유한한 수의 요소를 포함합니다."라는 명제를 증명하거나 반증하는 것이 불가능합니다.
많은 공리 이론(즉, 비정형화된 이론)에서는 명제 집합을 정확하게 정의할 수 없으므로 그러한 이론의 공리 체계의 연역적 완전성을 증명하는 것이 불가능하다는 점에 유의해야 합니다. 완전성의 또 다른 의미는 범주성이라고 합니다. 해석 중 두 개가 동형이면 공리 시스템을 범주형이라고 합니다. 즉, 하나의 초기 대상 집합과 모든 초기 관계에서 보존되는 다른 해석 사이에 일대일 대응이 있는 경우입니다. 범주성은 선택적인 조건이기도 합니다. 예를 들어, 그룹 이론의 공리 체계는 범주형이 아닙니다. 이는 유한군이 무한군과 동형일 수 없다는 사실에서 비롯됩니다. 그러나 수치 체계의 이론을 공리화할 때 범주성은 필수입니다. 예를 들어, 자연수를 정의하는 공리 시스템의 범주형 특성은 동형사상까지 자연 계열이 하나만 있음을 의미합니다.
Peano 공리 시스템의 범주적 성격을 증명해 보겠습니다. (N1, s1, 01)과 (N2, s2, 02)를 Peano 공리 시스템의 두 가지 해석으로 가정합니다. 다음 조건을 만족하는 전단사(일대일) 매핑 f:N1®N2를 표시해야 합니다.
a) N1의 임의의 x에 대해 f(s1(x)=s2(f(x)));
b) f(01)=02
단항 연산 s1과 s2가 모두 동일한 소수로 표시되면 조건 a)는 다음과 같이 다시 작성됩니다.
a) f(x()=f(x)(.
다음 조건에 따라 집합 N1(N2)에 대한 이진 관계 f를 정의해 보겠습니다.
1) 01f02;
2) xfy이면 x(fy(.
이 관계가 N1에서 N2로의 매핑, 즉 N1의 각 x에 대한 매핑인지 확인하겠습니다.
(((y(N2) xfy (1)
M1은 조건 (1)이 충족되는 N1의 모든 요소 x의 집합을 나타냅니다. 그 다음에
A) 01(1로 인한 M1);
B) x(M1 ® x((2에 의한 M1) 및 단락 1의 속성 1.
여기에서 공리 4에 따라 우리는 M1=N1이라는 결론을 내립니다. 이는 관계 f가 N1을 N2로 매핑한다는 것을 의미합니다. 또한, 1)로부터 f(01)=02가 된다. 조건 2)는 if f(x)=y이면 f(x()=y() 형식으로 작성됩니다. 따라서 f(x()=f(x)()가 됩니다. 따라서 f 조건 a를 표시하려면 ) 및 b)가 만족됩니다. 매핑 f가 전단사임을 증명하는 것이 남아 있습니다.
N2의 요소 집합을 M2로 표시하겠습니다. 각 요소는 매핑 f에서 N1의 단 하나의 요소 이미지입니다.
f(01)=02이므로 02는 이미지입니다. 또한 x(N2 및 x(01)인 경우 항목 1의 속성 1에 따라 x는 N1의 일부 요소 c를 따르고 f(x)=f(c()=f(c)((02)를 의미합니다. 은 유일한 요소 01, 즉 02(M2)의 이미지입니다.
추가로 y(M2 및 y=f(x)라고 가정합니다. 여기서 x는 요소 y의 유일한 역이미지입니다. 그런 다음 조건 a) y(=f(x)(=f(x())에 따라, 즉, y(는 요소 x(의 이미지입니다. c를 요소 y(, 즉 f(c)=y()의 역 이미지로 둡니다. y((02이므로 c(01이고 c의 경우 이전 이미지입니다. d로 표시되는 요소. 그러면 y(=f( c)=f(d()=f(d)(), 여기서 공리 3 y=f(d). 그러나 y(M2이므로 d= x, 여기서 c=d(=x(. 우리는 y가 고유 요소의 이미지인 경우 y(는 고유 요소의 이미지, 즉 y(M2 ® y((M2. 둘 다)라는 것을 증명했습니다. 공리 4의 조건이 충족되므로 M2=N2이므로 범주성 증명이 완료됩니다.
모든 그리스 이전 수학은 본질적으로 경험적이었습니다. 이론의 개별 요소는 실제 문제를 해결하기 위한 수많은 경험적 방법에 빠져 있었습니다. 그리스인들은 이 경험적 자료를 논리적 처리에 적용하고 다양한 경험적 정보 사이의 연관성을 찾으려고 노력했습니다. 이런 의미에서 피타고라스와 그의 학파(기원전 5세기)는 기하학에서 중요한 역할을 했습니다. 공리적 방법의 아이디어는 아리스토텔레스(기원전 4세기)의 작품에서 분명하게 들렸습니다. 그러나 이러한 아이디어의 실제 구현은 Euclid의 Elements(기원전 3세기)에서 수행되었습니다.
현재 공리 이론의 세 가지 형태가 구별될 수 있다.
1). 지난 세기 중반까지 유일한 의미 있는 공리학이었습니다.
2). 지난 세기의 마지막 분기에 발생한 준형식적 공리학.
삼). D. Hilbert가 형식화된 수학의 기본 원리에 대한 유명한 프로그램을 출판한 1904년으로 간주될 수 있는 공식(또는 형식화된) 공리학.
각각의 새로운 형식은 이전 형식을 부정하는 것이 아니라 개발 및 설명이므로 각 새 형식의 엄격함 수준은 이전 형식보다 높습니다.
집중 공리학은 공리가 공식화되기 전에도 초기 개념이 직관적으로 명확한 의미를 갖는다는 사실이 특징입니다. 따라서 유클리드의 원소론에서 점은 우리가 이 개념으로 직관적으로 이해하는 것과 정확히 같은 의미입니다. 이 경우 아리스토텔레스까지 거슬러 올라가는 일반적인 언어와 일반적인 직관적 논리가 사용됩니다.
준형식적 공리 이론은 또한 일상적인 언어와 직관적 논리를 사용합니다. 그러나 의미 있는 공리와는 달리 원래 개념에는 어떤 직관적인 의미도 부여되지 않고 공리로만 특징지어집니다. 직관이 엄격함을 어느 정도 방해하기 때문에 이는 엄격함을 증가시킵니다. 게다가, 그러한 이론에서 입증된 모든 정리는 어떤 해석에서도 타당할 것이기 때문에 일반성이 획득됩니다. 반정형화된 공리 이론의 예는 그의 저서 "기하학의 기초"(1899)에 설명된 힐베르트의 이론입니다. 준정형 이론의 예로는 대수 과정에서 제시되는 고리 이론과 기타 여러 이론도 있습니다.
공식화된 이론의 예로는 수학적 논리 과정에서 공부하는 명제 미적분학이 있습니다. 실체적 및 준형식적 공리학과 달리 형식화된 이론은 특별한 상징 언어를 사용합니다. 즉, 이론의 알파벳, 즉 일반 언어의 문자와 동일한 역할을 하는 특정 기호 집합이 제공됩니다. 유한한 문자 시퀀스를 표현식 또는 단어라고 합니다. 수식 중에서 수식의 종류를 구별하고, 각 수식이 수식인지 여부를 알 수 있는 정확한 기준을 표시합니다. 공식은 일반 언어의 문장과 동일한 역할을 합니다. 일부 공식은 공리로 선언됩니다. 또한 논리적 추론 규칙이 지정됩니다. 이러한 각 규칙은 특정 공식이 특정 공식 세트에서 직접적으로 나온다는 것을 의미합니다. 정리 자체의 증명은 공식의 유한 체인입니다. 여기서 마지막 공식은 정리 자체이고 각 공식은 공리이거나 이전에 입증된 정리이거나 다음 중 하나에 따라 체인의 이전 공식에서 직접 따릅니다. 추론의 규칙. 따라서 증거의 엄격성에 대해서는 전혀 의문의 여지가 없습니다. 주어진 체인이 증거이거나 증거가 아니거나 의심스러운 증거가 없습니다. 이와 관련하여, 형식화된 공리학은 주로 일상 언어의 부정확성과 모호함으로 인해 일반적인 직관적 논리가 잘못된 결론으로 이어질 수 있는 수학적 이론의 입증에 대한 특히 미묘한 문제에 사용됩니다.
공식화된 이론에서는 각 표현에 대해 공식인지 여부를 말할 수 있으므로 공식화된 이론의 문장 집합은 명확한 것으로 간주될 수 있습니다. 이와 관련하여 원칙적으로 해석에 의존하지 않고도 연역적 완전성을 증명하고 일관성을 증명하는 문제를 제기할 수 있습니다. 여러 가지 간단한 경우에 이는 달성될 수 있습니다. 예를 들어, 명제 미적분학의 일관성은 해석 없이 입증됩니다.
비정형화된 이론에서는 많은 명제가 명확하게 정의되지 않으므로 해석에 의존하지 않고 일관성을 입증하는 문제를 제기하는 것은 의미가 없습니다. 연역적 완전성을 증명하는 문제에도 동일하게 적용됩니다. 그러나 입증도 반증도 불가능한 비정형화된 이론의 제안이 나타나면 그 이론은 분명히 연역적으로 불완전한 것입니다.
공리적 방법은 오랫동안 수학뿐만 아니라 물리학에서도 사용되어 왔습니다. 이 방향에 대한 첫 번째 시도는 아리스토텔레스에 의해 이루어졌지만 공리적 방법은 뉴턴의 역학 연구에서만 물리학에 실제로 적용되었습니다.
과학의 수학적화의 급속한 과정과 관련하여 공리화의 과정도 있습니다. 현재 공리적 방법은 생물학의 일부 영역, 예를 들어 유전학에서도 사용됩니다.
그럼에도 불구하고 공리적 방법의 가능성은 무한하지 않습니다.
우선, 우리는 형식화된 이론에서도 직관을 완전히 피하는 것이 불가능하다는 점에 주목합니다. 해석이 없는 형식화된 이론 자체는 의미가 없습니다. 그러므로 형식화된 이론과 그 해석 사이의 관계에 대해 많은 질문이 제기됩니다. 또한, 형식화된 이론과 마찬가지로 공리체계의 일관성, 독립성, 완전성에 대한 의문이 제기된다. 이러한 모든 질문의 총체는 또 다른 이론의 내용을 구성하는데, 이를 형식화된 이론의 메타이론이라고 합니다. 형식화된 이론과 달리 메타이론의 언어는 일상적인 일상언어이며, 논리적 추론은 일반적인 직관논리의 규칙에 따라 이루어진다. 따라서 형식화된 이론에서 완전히 추방된 직관은 메타이론에서 다시 나타난다.
그러나 이것이 공리적 방법의 주된 약점은 아니다. 우리는 공식화된 공리적 방법의 기초를 놓은 D. Hilbert의 프로그램을 이미 언급했습니다. 힐베르트의 주요 아이디어는 고전 수학을 형식화된 공리 이론으로 표현하고 그 일관성을 증명하는 것이었습니다. 그러나 이 프로그램의 주요 내용은 유토피아적인 것으로 판명되었습니다. 1931년에 오스트리아 수학자 K. 괴델은 자신의 유명한 정리를 증명했는데, 그로부터 힐베르트가 제기한 두 가지 주요 문제는 모두 불가능하다는 결론이 나왔습니다. 그는 자신의 코딩 방법을 사용하여 형식 산술 공식을 사용하여 메타이론의 몇 가지 실제 가정을 표현하고 이러한 공식이 형식 산술에서 연역할 수 없음을 증명했습니다. 따라서 공식화된 산술은 연역적으로 불완전한 것으로 판명되었습니다. 괴델의 결과에 따르면, 만약 이 증명할 수 없는 공식이 공리의 수에 포함된다면, 어떤 참 명제를 표현하는 또 다른 증명할 수 없는 공식이 있을 것이라는 결론이 나왔습니다. 이 모든 것은 모든 수학뿐만 아니라 가장 간단한 부분인 산술조차도 완전히 공식화할 수 없다는 것을 의미했습니다. 특히, 괴델은 “정식화된 산술은 일관성이 있다”라는 문장에 해당하는 공식을 구성하고 이 공식도 도출할 수 없음을 보여주었습니다. 이는 정형화된 산술의 일관성이 산술 자체 내에서 입증될 수 없다는 것을 의미합니다. 물론 더 강력한 형식화된 이론을 구성하고 그 수단을 사용하여 형식화된 산술의 일관성을 증명하는 것이 가능하지만 이 새로운 이론의 일관성에 대해 더 어려운 질문이 발생합니다.
괴델의 결과는 공리적 방법의 한계를 나타냅니다. 그러나 지식 이론에는 알 수 없는 진실이 있다는 비관적인 결론을 내릴 근거가 전혀 없습니다. 형식적인 산술에서 증명할 수 없는 산술적 진리가 있다는 것은 알 수 없는 진리가 있다는 것을 의미하지 않으며, 인간의 사고가 제한되어 있다는 것을 의미하지도 않습니다. 이는 우리 사고의 가능성이 완전히 형식화된 절차에 국한되지 않고 인류가 아직 새로운 증명 원칙을 발견하고 발명하지 못했다는 것을 의미할 뿐입니다.
1.3.자연수의 덧셈
자연수의 덧셈과 곱셈 연산은 Peano 공리 시스템에 의해 가정되지 않습니다. 우리는 이러한 연산을 정의할 것입니다.
정의. 자연수의 덧셈은 집합 N에 대한 이진 대수 연산 +이며 다음과 같은 속성을 갖습니다.
1초. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
질문이 생깁니다. 그러한 작업이 있습니까? 그렇다면 유일한 작업입니까?
정리. 자연수는 한 번만 더하면 됩니다.
증거. 집합 N에 대한 이진 대수 연산은 매핑 (:N(N®N)입니다. 속성이 1인 고유한 매핑 (:N(N®N)이 있음을 증명하는 데 필요합니다. 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). 각 자연수 x에 대해 매핑의 존재를 증명합니다. fx:N®N 속성 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), 함수 ((x,y), 등식으로 정의됨 ((x ,y) (fx(y)는 조건 1)과 2를 만족합니다.
집합 N에서 우리는 다음 조건에 따라 이진 관계 fx를 정의합니다.
가) 0fxx;
b) yfxz이면 y(fxz(.
이 관계가 N에서 N으로의 매핑, 즉 N의 각 y에 대한 매핑인지 확인하겠습니다.
(((z(N) yfxz (1)
M은 조건 (1)이 만족되는 자연수 집합 y를 나타냅니다. 그런 다음 조건 a)에서 0(M, 조건 b) 및 1절의 속성 1에서 y(M이면 y((M)이 됩니다. 따라서 공리 4에 기초하여 M = N이라는 결론을 내립니다. , 이는 관계 fx가 N에서 N으로의 매핑임을 의미합니다. 이 매핑의 경우 다음 조건이 충족됩니다.
1() fx(0)=x - a)로 인해;
2() fx((y)=fx(y() - b) 덕분입니다.
이로써 덧셈의 존재가 증명되었다.
유일성을 증명해보자. +와 (를 속성 1c와 2c를 가진 집합 N에 대한 두 개의 이진 대수 연산이라고 가정합니다. 우리는 다음을 증명해야 합니다.
((x,y(N) x+y=x(y
임의의 숫자 x를 고정하고 동등성이 있는 자연수 y의 집합을 S로 표시하겠습니다.
x+y=x(y (2)
수행. 1c에 따르면 x+0=x 및 x(0=x이므로
아) 0(에스
이제 y(S, 즉 동등성(2)이 충족됩니다. x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(and x+y=x(y), 그런 다음 공리 2 x+y(=x(y(, 즉 조건이 충족됩니다.
B) y(S ® y((S.
따라서 공리 4에 따르면 S=N이 되며, 이는 정리의 증명을 완성합니다.
덧셈의 몇 가지 속성을 증명해 보겠습니다.
1. 숫자 0은 덧셈의 중립 요소입니다. 즉, 모든 자연수 a에 대해 a+0=0+a=a입니다.
증거. a+0=a 등식은 조건 1c를 따릅니다. 0+a=a 등식을 증명해 봅시다.
M이 유지하는 모든 숫자의 집합을 M으로 표시하겠습니다. 분명히 0+0=0이므로 0(M입니다. a(M, 즉 0+a=a라고 합니다. 그런 다음 0+a(=(0+a)(=a(따라서 a((M . 이는 M=N을 의미하며, 이는 증명이 필요한 것입니다.
다음으로 보조정리가 필요합니다.
보조정리. a(+b=(a+b)(.
증거. M을 a의 임의의 값에 대해 동등 a(+b=(a+b)가 참인 모든 자연수 b의 집합으로 설정합니다. 그런 다음:
A) 0(M, a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. 실제로 b(M과 2c)라는 사실로부터 우리는
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
즉, b((M입니다. 이는 M=N을 의미하며, 이는 증명이 필요한 것입니다.
2. 자연수의 덧셈은 교환 가능합니다.
증거. M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))라고 하면 M=N임을 증명하기에 충분합니다.
A) 0(M - 속성 1로 인해.
B) a(M ® a((M. 실제로 정리와 a(M이라는 사실을 적용하면 다음을 얻습니다.
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
이는 a((M, 공리 4 M=N에 의해 의미됩니다.
3. 추가는 연관적입니다.
증거. 허락하다
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
M=N임을 증명해야 합니다. (a+b)+0=a+b 및 a+(b+0)=a+b이므로 0(M. c(M, 즉 (a+b)+c=a+(b+c ) . 그 다음에
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
이는 c((M 및 공리 4 M=N에 의해 의미됩니다.
4. a+1=a(, 여기서 1=0(.
증거. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. b(0이면 ((a(N)a+b(a.
증거. M=(a(a(N(a+b(a)). 0+b=b(0이므로 0(M입니다. 또한 a(M, 즉 a+b(a)이면 다음과 같습니다. 속성 2 항목 1 (a+b)((a(또는 a(+b(a(. 따라서 a((M 및 M=N.
6. b(0이면 ((a(N)a+b(0.
증거. a=0이면 0+b=b(0이지만 a(0 및 a=c()이면 a+b=c(+b=(c+b)(0입니다. 따라서 어쨌든 a + 비(0.
7. (덧셈의 삼분법의 법칙) 임의의 자연수 a와 b에 대해 세 관계 중 하나만 참입니다.
1) a=b;
2) b=a+u, 여기서 u(0;
3) a=b+v, 여기서 v(0.
증거. 임의의 숫자 a를 고정하고 관계 1), 2), 3) 중 적어도 하나가 유지되는 모든 자연수 b의 집합을 M으로 표시하겠습니다. M=N임을 증명해야 합니다. b=0이라고 하자. 그러면 a=0이면 관계 1이 참이고, a(0이면 관계 3이 참)입니다. 왜냐하면 a=0+a이기 때문입니다. 그래서 0(M.
이제 b(M, 즉 선택된 a에 대해 관계 1), 2), 3) 중 하나가 만족된다고 가정해 보겠습니다. a=b이면 b(=a(=a+1, 즉 b에 대해(관계 2가 성립함), b=a+u이면 b(=a+u(, 즉 b(에 대해) 관계 2). a=b+v이면 두 가지 경우가 가능합니다: v=1과 v(1. v=1이면 a=b+v=b", 즉 b" 관계 1은 다음과 같습니다. 만족). 동일 v(1이면 v=c", 여기서 c(0이면 a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, 여기서 c(0, 즉 b"에 대한 관계 3이 충족됩니다. 따라서 우리는 b(M®b"(M, 따라서 M=N, 즉 모든 a와 b에 대해 관계 1), 2) 중 적어도 하나가 있음을 증명했습니다. 3이 만족됨). 두 가지가 동시에 충족될 수 없는지 확인합시다. 실제로: 관계 1)과 2)가 만족되면 b=b+u가 되며, 여기서 u(0이며 이는 속성과 모순됩니다. 5. 1)과 3)의 만족 불가능. 마지막으로, 관계 2)와 3)이 만족되면 a=(a+u)+v = a+ +(u+v)가 되며 이는 다음과 같습니다. 속성 5와 6으로 인해 불가능합니다. 속성 7은 완전히 입증되었습니다.
과제 1.3.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))이라고 하자. 3+5=8, 2+4=6.
1.4. 자연수의 곱셈.
정의 1. 자연수의 곱셈은 이진 연산입니다(세트 N에서 다음 조건이 충족됨).
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
질문이 다시 제기됩니다. 그러한 작업이 존재합니까, 존재한다면 그것이 유일한 것입니까?
정리. 자연수를 곱하는 연산은 단 하나뿐입니다.
증명은 덧셈과 거의 동일하게 수행됩니다. 조건을 만족하는 매핑(:N(N®N)을 찾는 것이 필요합니다.
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
숫자 x를 임의로 고정해 보겠습니다. 각 x(N에 대해 매핑 fx의 존재를 증명하면 다음 속성을 사용하여 N®N
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
그런 다음 ((x,y)=fx(y) 등식으로 정의된 함수 ((x,y)는 조건 1)과 2)를 충족합니다.
따라서 정리의 증명은 속성 1")과 2")를 갖는 함수 fx(y)의 각 x에 대한 존재와 고유성을 증명하는 것으로 축소됩니다. 다음 규칙에 따라 집합 N에 대한 대응 관계를 설정해 보겠습니다.
a) 숫자 0은 숫자 0과 비슷합니다.
b) 숫자 y가 숫자 c와 연관되어 있으면 숫자 y(숫자 c+x와 연관됨)
이러한 비교를 통해 각 숫자 y가 고유한 이미지를 가지고 있는지 확인하겠습니다. 이는 해당 대응이 N을 N으로 매핑한다는 것을 의미합니다. 고유한 이미지를 가진 모든 자연수 y의 집합을 M으로 표시하겠습니다. 조건 a)와 공리 1에서는 0(M을 따릅니다. y(M. 다음 조건 b)와 공리 2에서는 y((M)을 따릅니다. 이는 M=N을 의미합니다. 즉, 우리의 대응은 N에서 N 매핑입니다. ; fx로 표시하겠습니다. 그런 다음 조건 a)로 인해 fx(0)=0이고 조건 b)로 인해 fx(y()=fx(y)+x입니다.
이로써 곱셈 연산의 존재가 증명되었습니다. 이제 (and (를 속성 1у와 2у를 가진 집합 N에 대한 임의의 두 이진 연산이라고 가정합니다. 이제 ((x,y(N) x(y=x(y)를 증명해야 합니다. 임의의 숫자 x를 고정하고 다음과 같이 합시다.
S=(y?y(N (x(y=x(y))
1y에 의해 x(0=0 및 x(0=0)이므로 0(S. y(S, 즉 x(y=x(y)라고 하자. 그러면
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
따라서 y((S. 이는 S=N을 의미하며, 이는 정리의 증명을 완성합니다.
곱셈의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다.
1. 곱셈에 관한 중립 요소는 숫자 1=0(, 즉 ((a(N) a(1=1(a=a.
증거. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. 따라서 평등 a(1=a가 입증되었습니다. 평등 1(a=a. 하자 M=(a ?a(N (1(a=a). 1(0=0이므로 0(M. a(M, 즉 1(a=a)이라고 합니다. 그러면 1(a(=1(a+1= a+1= a(, 따라서 a((M입니다. 이는 공리 4에 의해 M=N이 증명되어야 함을 의미합니다.
2. 곱셈의 경우 권리 분배 법칙이 유효합니다.
((a,b,c(N)(a+b)c=ac+bc.
증거. M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc))라고 합니다. (a+b)0=0 이고 a(0+b(0=0 )이므로, 그러면 0(M입니다. c(M, 즉 (a+b)c=ac+bc이면 (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. 따라서 c((M 및 M=N.
3. 자연수의 곱셈은 교환 가능합니다. 즉 ((a,b(N) ab=ba.
증거. 먼저 임의의 b(N에 대해 동등성 0(b=b(0=0)을 증명해 보겠습니다. 동등성 b(0=0은 조건 1y에서 따릅니다. M=(b (b(N (0(b=0))이라고 가정합니다. 0( 0=0이므로 0(M. b(M, 즉 0(b=0이면 0(b(=0(b+0=0)이므로 b((M. 그래서 M =N, 즉 평등 0(b=b(0은 모든 b(N에 대해 입증되었습니다. 더 나아가 S=(a (a(N (ab=ba))라고 가정합니다. 0(b=b(0, 그러면 0(S. a (S, 즉 ab=ba라고 가정합니다. 그런 다음 a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, 즉 a((S. 이는 S를 의미합니다) =N, 이것이 증명되어야 하는 것입니다.
4. 곱셈은 덧셈에 비례하여 분배됩니다. 이 속성은 속성 3과 4를 따릅니다.
5. 곱셈은 결합적입니다. 즉 ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc))입니다.
증명은 c에 대한 귀납법에 의해 수행됩니다.
6. a(b=0이면 a=0 또는 b=0입니다. 즉, N에는 영약수가 없습니다.
증거. b(0 및 b=c(라고 합니다. ab=0이면 ac(=ac+a=0입니다. 이는 3절의 속성 6에 따라 a=0임을 의미합니다.
과제 1.4.1. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))이라고 하자. 2(4=8, 3(3=9.
n, a1, a2,...,an을 자연수라고 하자. 숫자 a1, a2,...,an의 합은 조건에 의해 표시되고 결정되는 숫자입니다. 임의의 자연수 k에 대해
숫자 a1, a2,...,an의 곱은 다음 조건으로 표시되고 결정되는 자연수입니다. 임의의 자연수 k에 대해
그렇다면 숫자는 an으로 표시됩니다.
과제 1.4.2. 증명해 보세요
ㅏ) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
마) ;
그리고) ;
시간) ;
그리고) .
1.5. 자연수 체계의 순서.
"따르다"라는 관계는 반반사적이고 반대칭적이지만 추이적이지 않으므로 순서 관계가 아닙니다. 자연수의 덧셈에 기초한 순서관계를 정의하겠습니다.
정의 1. 가
정의 2. a(b (((x(N) b=a+x.
평등과 불평등의 관계와 관련된 자연수의 일부 속성을 살펴 보겠습니다.
1.
1.1 a=b(a+c=b+c.
1.2 a=b(ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1시 10분
증거. 속성 1.1과 1.2는 덧셈과 곱셈 연산의 고유성을 따릅니다. 만약
2. ((a(N)a
증거. a(=a+1이므로 a
3. N의 가장 작은 원소는 0이고, N\(0)의 가장 작은 원소는 숫자 1입니다.
증거. ((a(N) a=0+a이므로 0(a이므로 0은 N에서 가장 작은 요소입니다. 또한 x(N\(0))이면 x=y(, y(N 또는 x=y+1입니다. 따라서 ((x(N\(0))) 1(x, 즉 1은 N\(0)에서 가장 작은 요소입니다.
4. 관계식 ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
증거. 분명히, 임의의 자연수 a에 대해 다음과 같은 자연수 n이 있습니다.
a 이러한 숫자는 예를 들어 n=a(입니다. 또한, b(N\(0)이면 속성 3에 의해
1(b(2)
(1)과 (2)에서 속성 1.10과 1.4를 기반으로 aa를 얻습니다.
1.6. 자연수 체계의 완전한 순서.
정의 1. 순서 집합의 모든 비어 있지 않은 부분 집합(M; 전체 순서가 선형인지 확인합시다. a와 b가 완전히 순서 집합(M; Lemma)의 두 요소라고 가정합니다. . 1)아
증거.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
정리 1. 자연수 집합의 자연 순서는 전체 순서입니다.
증거. M은 비어 있지 않은 자연수 집합이고 S는 N의 하한 집합입니다. 즉, S=(x (x(N (((m(M) x(m))입니다. 속성 3에서 5절의 0(S입니다. 공리 4 n(S (n((S))의 두 번째 조건도 충족되면 S=N이 됩니다. 실제로 S(N; 즉, a( M, 다음 a((부등식으로 인한 S
정리 2. 위에서 제한된 비어 있지 않은 자연수 집합은 가장 큰 요소를 갖습니다.
증거. M을 위에서 경계가 있는 비어 있지 않은 자연수 집합으로 설정하고 S를 상한 집합, 즉 S=(x(x(N (((m(M) m(x))으로 설정합니다. x0은 다음을 나타냅니다. S에서 가장 작은 요소입니다. 그러면 부등식 m(x0은 M의 모든 숫자 m에 대해 유지되고 엄격한 부등식 m
과제 1.6.1. 증명해 보세요
ㅏ) ;
b) ;
V) .
문제 1.6.2. (를 자연수의 일부 속성으로 하고 k를 임의의 자연수로 둡니다. 다음을 증명하십시오.
a) 모든 자연수는 (, 0이 매 n(0)에 대해 이 속성을 가지자마자
b) k보다 크거나 같은 모든 자연수는 (라는 속성을 갖습니다. k가 이 속성을 가지자마자 n이 속성(()을 갖는다는 가정에서 모든 n(k(n))에 대해 숫자 n+1이 됩니다. 또한 이 속성이 있습니다.
c) k보다 크거나 같은 모든 자연수는 속성을 갖습니다. k가 이 속성을 가지자마자 모든 n(n>k)에 대해 조건 k(t)에 의해 정의된 모든 숫자 t가 있다는 가정 하에
1.7. 유도의 원리.
자연수 체계의 완전한 순서를 사용하여 증명 방법 중 하나인 수학적 귀납법의 기초가 되는 다음 정리를 증명할 수 있습니다.
정리(귀납법의 원리). 다음 조건이 충족되면 시퀀스 A1, A2, ..., An, ...의 모든 명령문은 참입니다.
1) 진술 A1은 참입니다.
2) 진술 Ak가 k에 대해 참인 경우
증거. 반대의 경우를 가정해 보겠습니다. 조건 1)과 2)는 충족되지만 정리는 참이 아닙니다. 즉, 집합 M=(m(m(N\(0), Am is false)은 비어 있지 않습니다). 6절의 정리 1에 따르면 n으로 표시하는 가장 작은 요소가 있습니다. 조건 1에 따르면 A1은 참이고 An은 거짓이므로 1(n이므로 1입니다.
귀납법으로 증명할 때 두 단계로 구분할 수 있습니다. 귀납기초라고 불리는 첫 번째 단계에서는 조건 1)의 타당성을 확인한다. 유도 단계라고 불리는 두 번째 단계에서는 조건 2)의 타당성이 입증됩니다. 이 경우 진술의 진실성을 증명하기 위해 진술의 진실성을 사용할 필요가 없는 경우가 가장 자주 발생합니다. Ak for k
예. 부등식 Put =Sk를 증명하십시오. 진술 Ak=(Sk의 참됨을 증명해야 합니다. 정리 1에 언급된 일련의 진술은 집합 N 또는 그 하위 집합 Nk=(x (x(N)에 정의된 술어 A(n)에서 얻을 수 있습니다. , x(k), 여기서 k는 임의의 고정된 자연수입니다.
특히, k=1이면 N1=N\(0)이고 문장의 번호 매기기는 A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A 등식을 사용하여 수행될 수 있습니다. (n), ... k(1)이면 등식 A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n)을 사용하여 일련의 명령문을 얻을 수 있습니다. -1), .. 이러한 표기법에 따르면 정리 1은 다른 형태로 공식화될 수 있다.
정리 2. 다음 조건이 충족되면 술어 A(m)은 집합 Nk에서 동일하게 참입니다.
1) 진술 A(k)는 참입니다.
2) 진술 A(m)이 m에 대해 참인 경우
과제 1.7.1. 다음 방정식은 자연수 영역에서 해를 갖지 않음을 증명하십시오.
가) x+y=1;
b) 3x=2;
다) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
과제 1.7.2. 수학적 귀납법을 사용하여 증명하십시오.
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
마) .
1.8. 자연수의 뺄셈과 나눗셈.
정의 1. 자연수 a와 b의 차이는 b+x=a가 되는 자연수 x입니다. 자연수 a와 b의 차이를 a-b로 표시하고, 차이를 찾는 연산을 뺄셈이라고 합니다. 뺄셈은 대수적 연산이 아닙니다. 이는 다음 정리에 따릅니다.
정리 1. a-b의 차이는 b(a)인 경우에만 존재합니다. 차이가 존재하면 하나만 존재합니다.
증거. b(a이면 관계 정의에 따라(b+x=a인 자연수 x가 있습니다. 그러나 이는 또한 x=a-b를 의미합니다. 반대로 차이 a-b가 존재하면 정의 1에 따라 a가 있습니다.) 자연수 x, 즉 b+x=a. 그러나 이것은 또한 b(a.
a-b 차이의 고유성을 증명해 보겠습니다. a-b=x 및 a-b=y라고 가정합니다. 그러면 정의 1에 따르면 b+x=a, b+y=a입니다. 따라서 b+x=b+y이므로 x=y입니다.
정의 2. 두 자연수 a와 b(0)의 몫은 a=bc인 자연수 c입니다. 몫을 구하는 작업을 나눗셈이라고 합니다. 몫의 존재에 대한 문제는 다음의 이론으로 해결됩니다. 정제.
정리 2. 몫이 존재하면 하나만 존재합니다.
증거. =x와 =y라고 하자. 그런 다음 정의 2에 따르면 a=bx 및 a=by입니다. 따라서 bx=by이므로 x=y입니다.
뺄셈과 나눗셈의 연산은 학교 교과서에서와 거의 같은 방식으로 정의되어 있습니다. 이는 Peano의 공리를 기반으로 단락 1-7에서 자연수 산술을 위한 탄탄한 이론적 기반이 마련되었으며 이에 대한 추가 프레젠테이션이 학교 수학 과정과 대학 과정 "대수 및 정수론"에서 지속적으로 수행됨을 의미합니다. .
과제 1.8.1. 공식화에 나타나는 모든 차이점이 존재한다고 가정하고 다음 진술의 타당성을 증명하십시오.
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(bc)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
문제 1.8.2. 공식에 나타나는 모든 몫이 존재한다고 가정하고 다음 진술의 타당성을 증명하십시오.
ㅏ) ; b) ; V) ; G) ; d) ; 마) ; 그리고) ; 시간) ; 그리고) ; 에게) ; 엘) ; 중) ; N) ; 아) ; 피) ; 답) .
문제 1.8.3. 다음 방정식은 두 개의 서로 다른 자연해를 가질 수 없음을 증명하십시오: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b(a,b(N).
문제 1.8.4. 다음 방정식을 자연수로 풀어보세요.
가) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y;c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
문제 1.8.5. 다음 방정식은 자연수 분야에서 해가 없음을 증명하십시오. a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; e) x2=2y2.
문제 1.8.6. 자연수의 다음 부등식을 푼다: a) ; b) ; V) ; d) x+y2 문제 1.8.7. 자연수 분야에서 다음 관계가 유효함을 증명하십시오: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 .양적 의미 자연수.
실제로 자연수는 원소의 개수를 세는 데 주로 사용되는데, 이를 위해서는 페아노 이론에서 자연수의 양적 의미를 정립할 필요가 있다.
정의 1. 집합 (x (x(N, 1(x(n)))을 자연급수의 선분이라고 하며 (1;n(.
정의 2. 유한 집합은 공집합뿐만 아니라 자연 계열의 특정 세그먼트와 동일한 집합입니다. 유한하지 않은 집합을 무한집합이라고 합니다.
정리 1. 유한 집합 A는 자신의 부분 집합(즉, A와 다른 부분 집합)과 동일하지 않습니다.
증거. A=(이면 빈 집합에 진부분집합이 없기 때문에 정리가 참입니다. A((와 A가 동등하게 강력하다고 가정합니다. (1,n((A((1,n())). 우리는 정리를 증명할 것입니다. n에 대한 귀납법에 의해 n= 1, 즉 A((1,1()이면 집합 A의 유일한 진부분집합은 공집합입니다. A(따라서 n=1에 대해 정리는 참입니다. 정리가 n=m에 대해 참이라고 가정합니다. 즉, 세그먼트 (1,m()와 동등한 모든 유한 집합은 동등한 진부분 집합을 갖지 않습니다. A를 세그먼트 (1,m과 동일한 집합)로 둡니다. +1(and (:(1,m+1(®A - 세그먼트 (1,m+1(A에서)의 일부 전단사 맵입니다. ((k)가 ak로 표시되는 경우 k=1,2,.. .,m+1이면 집합 A는 A=(a1, a2, ... , am, am+1)로 쓸 수 있습니다. 우리의 임무는 A가 동등한 고유 부분 집합을 갖지 않는다는 것을 증명하는 것입니다. 반대로 가정하십시오. B(A, B(A, B(A 및 f: A®B를 전단사 맵으로 설정합니다. 다음과 같은 전단사 맵을 선택할 수 있습니다(그리고 f는 am+1(B 및 f(am+1)=am+ 1.
집합 A1=A\(am+1) 및 B1=B\(am+1)을 생각해 보세요. f(am+1)=am+1이므로 함수 f는 집합 A1을 집합 B1에 대한 전단사 매핑을 수행합니다. 따라서 집합 A1은 자신의 하위 집합 B1과 동일합니다. 그러나 A1((1,m()부터 이는 귀납법 가정과 모순됩니다.
결론 1. 자연수의 집합은 무한하다.
증거. Peano 공리로부터 S:N®N\(0), S(x)=x( 매핑은 전단사적입니다. 이는 N이 자체 하위 집합 N\(0)과 동일하다는 것을 의미하며 정리에 의해 1, 유한하지 않습니다.
결과 2. 비어 있지 않은 모든 유한 집합 A는 자연 계열의 단 하나의 세그먼트와 동일합니다.
증거. A((1,m(및 A((1,n(. 그러면 (1,m(((1,n(, 이로부터 정리 1에 따라 m=n이 됩니다. 실제로 다음과 같이 가정하면 중
결과 2를 통해 우리는 정의를 도입할 수 있습니다.
정의 3. A((1,n(, 자연수 n을 집합 A의 요소 수라고 하며, 집합 A와 (1,n( 집합 A의 요소 수를 세는 것을 말합니다. 빈 집합 번호 0의 요소 수를 고려하는 것은 당연합니다.
실생활에서 계산의 엄청난 중요성에 대해 이야기하는 것은 불필요합니다.
자연수의 양적 의미를 알면 덧셈을 통한 곱셈 연산을 정의하는 것이 가능합니다. 즉:
.
우리는 산술 자체에는 양적 의미가 필요하지 않다는 것을 보여주기 위해 의도적으로 이 길을 택하지 않았습니다. 즉, 자연수의 양적 의미는 산술을 적용할 때만 필요합니다.
1.10. 완전하게 순서가 지정된 이산 집합으로서의 자연수 시스템.
우리는 자연수 집합이 자연 순서에 비해 완전히 정렬되어 있음을 보여주었습니다. 게다가, ((a(N) a
1. 어떤 숫자 a(N에 대해 관계에서 그 뒤에 오는 이웃 숫자가 있습니다. 2. 어떤 숫자 a(N\(0)에 대해 관계 A에서 그 앞에 오는 이웃 숫자가 있습니다. 완전 순서 집합(A;() 속성 1과 2를 사용하여 이산 완전 정렬 집합이라고 부릅니다. 속성 1과 2를 사용한 완전 정렬은 자연수 시스템의 특징적인 속성입니다. 실제로 A=(A;()를 완전 정렬 집합이라고 가정합니다. 속성 1과 2를 사용하여 집합 A에서 다음과 같이 "따르는" 관계를 정의해 보겠습니다. a(=b, b가 관계 (에서 a 뒤에 오는 이웃 요소인 경우 집합 A의 가장 작은 요소는 분명합니다. 어떤 요소도 따르지 않으므로 Peano의 공리 1이 충족됩니다.
관계((선형 순서)이므로 모든 요소 a에 대해 그 뒤에 고유한 요소가 있고 최대 하나의 이전 이웃 요소가 있습니다. 이는 공리 2와 3의 타당성을 의미합니다. 이제 M을 집합 A의 하위 집합으로 지정합니다. 이는 다음 조건이 충족됩니다.
1) a0(M, 여기서 a0은 A에서 가장 작은 요소입니다.
2) a(M (a((M.
M=N임을 증명해보자. 반대, 즉 A\M((. A\M에서 가장 작은 요소를 b로 표시하겠습니다. a0(M이므로 b(a0이므로 c( =b.c 이후
그래서 우리는 자연수 체계에 대한 또 다른 정의의 가능성을 입증했습니다.
정의. 자연수 체계는 다음 조건을 만족하는 잘 정렬된 집합입니다.
1. 모든 요소에 대해 그 뒤에 인접한 요소가 있습니다.
2. 가장 작은 요소가 아닌 다른 요소의 경우 그 앞에 인접한 요소가 있습니다.
자연수 체계를 정의하는 다른 접근법이 있지만 여기서는 다루지 않습니다.
2. 정수와 유리수.
2.1. 정수 시스템의 정의 및 속성.
직관적으로 이해되는 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 관한 고리이며 이 고리에는 모든 자연수가 포함되어 있는 것으로 알려져 있습니다. 모든 자연수를 포함하는 정수의 고리에는 적절한 하위링이 없다는 것도 분명합니다. 이러한 속성은 정수 시스템의 엄격한 정의를 위한 기초로 사용될 수 있음이 밝혀졌습니다. 단락 2.2와 2.3에서는 이 정의의 정확성이 입증될 것입니다.
정의 1. 정수 시스템은 다음 조건이 충족되는 대수 시스템입니다.
1. 대수학 시스템은 링입니다.
2. 자연수의 집합은 에 포함되며, 부분집합의 고리에 있는 덧셈과 곱셈은 자연수의 덧셈과 곱셈과 일치한다.
3. (최소 조건). Z는 속성 1과 2를 갖는 포함 최소 집합입니다. 즉, 링의 하위 링에 모든 자연수가 포함되어 있으면 Z0=Z입니다.
정의 1에는 확장된 공리적 특성이 부여될 수 있습니다. 이 공리 이론의 초기 개념은 다음과 같습니다.
1) 요소를 정수라고 부르는 집합 Z.
2) 0이라고 불리는 특수 정수이며 0으로 표시됩니다.
3) 삼항 관계 + 및 (.
평소와 같이 N은 덧셈(및 곱셈())이 포함된 자연수 집합을 나타냅니다. 정의 1에 따르면 정수 시스템은 다음 공리가 유지되는 대수 시스템(Z; +, (, N)입니다.
1. (반지 공리.)
1.1.
이 공리는 +가 집합 Z에 대한 이진 대수 연산임을 의미합니다.
1.2. ((a,b,c(Z)(a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, 즉 숫자 0은 덧셈에 있어서 중립적인 원소입니다.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, 즉 모든 정수에 대해 반대 숫자 a(가 있습니다.
1.6. ((a,b(Z)((!d(Z) a(b=d.
이 공리는 곱셈이 집합 Z에 대한 이진 대수 연산임을 의미합니다.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b))=c(a+c(b.
2. (고리 Z를 자연수 체계와 관련된 공리.)
2.1. 엔(지.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N)a(b=a(b.
3. (최소화의 공리)
Z0이 고리 Z와 N(Z0)의 하위 고리이면 Z0=Z입니다.
정수 시스템의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다.
1. 각 정수는 두 자연수의 차이로 표현될 수 있습니다. 이 표현은 z=a-b 및 z=c-d로 모호합니다. 여기서 a,b,c,d(N, a+d=b+c인 경우에만 해당됩니다.
증거. 모든 정수의 집합을 Z0로 표시하겠습니다. 각 정수는 두 자연수의 차이로 표현될 수 있습니다. 분명히, ((a(N) a=a-0이므로 N(Z0.
다음으로, x,y(Z0, 즉 x=a-b, y=c-d, 여기서 a,b,c,d(N입니다. 그러면 x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c)). 여기에서 x-y, x(y(Z0 및 따라서 Z0은 집합 N을 포함하는 링 Z의 하위 링이라는 것이 분명합니다. 그러나 공리 3에 따르면 Z0=Z 따라서 속성 1의 첫 번째 부분이 증명됩니다. 이 속성의 두 번째 설명은 명백합니다.
2. 정수의 고리는 단위를 갖는 교환환이며, 이 고리의 영은 자연수 0이고, 이 고리의 단위는 자연수 1이다.
증거. x,y(Z. 속성 1에 따르면 x=a-b, y=c-d, 여기서 a,b,c,d(N. 그런 다음 x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( 광고 +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c)), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b)). 따라서 자연수의 곱셈의 교환성으로 인해 우리는 xy=yx라는 결론을 내립니다. 링 Z에서 곱셈의 교환성은 입증되었습니다. 속성 2의 나머지 설명은 다음과 같은 명백한 등식을 따릅니다. 여기서 0과 1은 자연수 0과 1을 나타냅니다. x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x.x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .
2.2. 정수 시스템의 존재.
정수 시스템은 2.1에서 모든 자연수를 포함하는 최소 포함 고리로 정의됩니다. 질문이 생깁니다. 그러한 반지가 존재합니까? 즉, 2.1의 공리 시스템이 일관성이 있습니까? 이 공리 체계의 일관성을 증명하려면 명백히 일관된 이론으로 해석을 구성하는 것이 필요합니다. 이러한 이론은 자연수의 산술로 간주될 수 있습니다.
이제 공리 2.1 시스템의 해석을 시작하겠습니다. 세트를 초기 세트로 간주하겠습니다. 이 세트에서 우리는 두 개의 이진 연산과 이진 관계를 정의합니다. 쌍의 덧셈과 곱셈은 자연수의 덧셈과 곱셈으로 감소하므로, 자연수의 경우 쌍의 덧셈과 곱셈은 교환적이고 결합적이며 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다. 예를 들어, +===+ 쌍의 덧셈의 교환성을 확인해 보겠습니다.
관계 ~의 속성을 고려해 봅시다. a+b=b+a이므로 ~, 즉 관계 ~는 반사적입니다. ~, 즉 a+b1=b+a1이면 a1+b=b1+a, 즉 ~입니다. 이는 관계가 대칭임을 의미합니다. 더 ~하고 ~하자. 그러면 a+b1=b+a1 및 a1+b2=b1+a2 등식은 참입니다. 이러한 등식을 더하면 a+b2=b+a2, 즉 ~가 됩니다. 이는 ~ 관계도 추이적이므로 동등함을 의미합니다. 쌍을 포함하는 동등 클래스는 다음과 같이 표시됩니다. 따라서 동등 클래스는 해당 쌍 중 하나로 표시될 수 있으며 동시에
(1)
우리는 모든 동등 클래스의 집합을 다음으로 표시합니다. 우리의 임무는 덧셈과 곱셈 연산의 적절한 정의를 통해 이 집합이 2.1의 공리 체계를 해석할 것임을 보여주는 것입니다. 우리는 등식으로 집합에 대한 연산을 정의합니다.
(2)
(3)
즉, 집합 N에서 평등 a+b(=b+a(, c+d(=a+c())가 참이면 평등 (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), (1)을 통해 이를 얻습니다. 이는 동등성 (2)가 다음과 관계없이 집합에 대한 고유한 덧셈 연산을 정의한다는 것을 의미합니다. 추가되는 클래스를 나타내는 쌍 선택 유사한 방식과 클래스 곱셈의 고유성으로 확인됩니다. 따라서 등식 (2)와 (3)은 집합에 대한 이진 대수 연산을 정의합니다.
클래스의 덧셈과 곱셈은 쌍의 덧셈과 곱셈으로 줄어들기 때문에 이러한 연산은 교환적이고 결합적이며 클래스 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다. 등식으로부터 우리는 클래스가 덧셈과 관련하여 중립 요소이고 각 클래스에 대해 그 반대 클래스가 있다는 결론을 내립니다. 이는 집합이 링이라는 것을 의미합니다. 즉, 2.1의 그룹 1의 공리를 충족합니다.
링의 하위 집합을 고려해보세요. a(b)이면 (1)로, 그리고 a이면
집합에서 우리는 이진 관계(((; 즉, 클래스 뒤에 클래스가 옵니다. 여기서 x(는 x 뒤에 오는 자연수)입니다. 다음 클래스는 자연스럽게 (로 표시됩니다. 클래스가 따르지 않는 것이 분명합니다. 모든 클래스와 각 클래스에는 그 뒤에 클래스가 있고 게다가 단 하나만 있습니다. 후자는 관계가 다음을 따른다는 것을 의미합니다. (세트 N에 대한 단항 대수 연산입니다.
매핑을 고려해 봅시다. 분명히 이 매핑은 전단사적이며 조건 f(0)= , f(x()==(=f(x)()입니다. 이는 매핑 f가 대수학(N;0,()의 동형임을 의미합니다. 즉, 대수(;,()는 Peano 공리 체계를 해석한 것입니다. 이러한 동형 대수를 식별함으로써, 즉 집합 N 자체가 집합 N의 부분 집합이라고 가정함으로써 링. 명백한 등식에서의 이와 동일한 식별은 등식 a(c =a+c, a(c=ac)로 이어지며, 이는 부분 집합 N에 대한 링의 덧셈과 곱셈이 자연수의 덧셈과 곱셈과 일치한다는 것을 의미합니다. 따라서, 그룹 2 공리의 만족 여부가 확립되었으며, 이제 최소 공리의 만족 여부를 확인하는 작업이 남았습니다.
Z0를 집합 N과를 포함하는 링의 임의의 하위 링으로 설정합니다. 따라서 . 그러나 Z0은 링이므로 이러한 클래스의 차이도 링 Z0에 속합니다. 등식으로부터 -= (= 우리는 (Z0 및 따라서 Z0=이라고 결론을 내립니다. 2.1절의 공리 시스템의 일관성이 입증되었습니다.
2.3. 정수 체계의 고유성.
직관적으로 이해되는 정수 시스템은 단 하나뿐입니다. 이는 정수를 정의하는 공리 시스템이 범주형이어야 함을 의미합니다. 즉, 이 공리 시스템의 두 가지 해석은 동형이어야 합니다. 범주형은 동형사상까지 정수 시스템이 하나만 존재함을 의미합니다. 이것이 실제로 사실인지 확인합시다.
(Z1;+,(,N) 및 (Z2;(,(,N))을 2.1절의 공리 시스템에 대한 두 가지 해석으로 둡니다. 이러한 전단사 매핑 f:Z1®Z2의 존재를 증명하는 것으로 충분합니다. 자연수는 고정되어 있으며 링 Z1의 모든 요소 x 및 y에 대해 다음과 같은 등식이 유지됩니다.
(1)
. (2)
N(Z1 및 N(Z2) 이후로,
, a(b=a(b. (3)
x(Z1 및 x=a-b, 여기서 a,b(N이라고 가정합니다. 이 요소 x=a-b 요소 u=a(b, 여기서 (링 Z2의 빼기)와 연관시키겠습니다. a-b=c-d이면 a+d =b+c, 여기서 (3)에 의해 a(d=b(c 및 a(b=c(d)가 됩니다. 이는 우리의 대응이 요소 x의 표현에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 두 자연수 차이의 형태로 매핑 f가 결정됩니다: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. v(Z2 및 v=c(d)이면 v=f(c-d)가 분명합니다. ) 이는 Z2의 각 요소가 매핑 f 아래의 이미지이므로 매핑 f가 전사임을 의미합니다.
x=a-b, y=c-d, 여기서 a,b,c,d(N 및 f(x)=f(y)이면 a(b=c(d. 그러나 a(d=b(d, in) force (3) a+d=b+c, 즉, a-b=c-d 우리는 f(x)=f(y)의 동등성이 x=y의 동등성을 의미함을 증명했습니다. 즉, f 매핑은 단사적입니다. .
a(N이면 a=a-0이고 f(a)=f(a-0)=a(0=a입니다. 이는 자연수가 매핑 f 아래에 고정된다는 의미입니다. 또한, x=a-b이면, y=c-d, 여기서 a,b,c,d(N이면 x+y=(a+c)- 및 f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). 등식(1)의 타당성이 입증되었습니다. 등식(2)을 확인해 보겠습니다. f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c)), 반면에 f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c)). 이는 f(xy)=f(x)(f(y)를 의미하며 이는 완료됩니다. 공리 체계의 범주성에 대한 증명 p.2.1.
2.4. 유리수 체계의 정의 및 속성.
직관적인 이해에서 유리수 집합 Q는 정수 집합 Z가 부분링인 필드입니다. Q0이 모든 정수를 포함하는 필드 Q의 하위 필드인 경우 Q0=Q라는 것이 분명합니다. 우리는 이러한 속성을 유리수 체계의 엄격한 정의를 위한 기초로 사용할 것입니다.
정의 1. 유리수 체계는 다음 조건이 충족되는 대수 체계(Q;+,(;Z)입니다.
1. 대수 시스템(Q;+,()은 필드입니다.
2. 정수의 링 Z는 필드 Q의 하위 링입니다.
3. (최소 조건) 필드 Q의 하위 필드 Q0에 부분링 Z가 포함되어 있으면 Q0=Q입니다.
간단히 말해서, 유리수 체계는 정수의 부분링을 포함하는 최소 포함 필드입니다. 유리수 체계에 대해 더 자세한 공리적 정의를 제공하는 것이 가능합니다.
정리. 모든 유리수 x는 두 정수의 몫으로 표현될 수 있습니다.
, 여기서 a,b(Z,b(0. (1)
이 표현은 모호하며 여기서 a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
증거. 형식 (1)로 표현할 수 있는 모든 유리수 집합을 Q0으로 표시하겠습니다. Q0=Q인지 확인하는 것으로 충분합니다. 여기서 a,b,c,d(Z, b(0, d(0). 그런 다음 필드의 속성에 따라 , 및 c(0에 대해. 이는 Q0이 숫자에 의한 뺄셈과 나눗셈에서 닫혀 있음을 의미합니다. 0과 같으므로 필드 Q의 하위 필드입니다. 임의의 정수 a는 Z(Q0) 형식으로 표현 가능하므로 여기에서 최소 조건으로 인해 Q0=Q가 됩니다. 증명 정리의 두 번째 부분은 분명합니다.
2.5. 유리수 체계의 존재.
유리수 체계는 정수 부분링을 포함하는 최소 필드로 정의됩니다. 자연스럽게 발생하는 질문은 다음과 같습니다. 그러한 필드가 존재합니까? 즉, 유리수를 정의하는 공리 시스템이 일관성이 있습니까? 일관성을 입증하려면 이 공리 체계를 해석하는 것이 필요합니다. 이 경우 정수 시스템의 존재에 의존할 수 있습니다. 해석을 구성할 때 집합 Z(Z\(0)을 시작점으로 간주합니다. 이 집합에서 우리는 두 개의 이진 대수 연산을 정의합니다.
, (1)
(2)
그리고 이진 관계
(3)
조작과 관계에 대한 이러한 정의의 편리함은 우리가 구축하고 있는 해석에서 쌍이 특정을 표현할 것이라는 사실에서 비롯됩니다.
연산 (1)과 (2)가 교환적, 결합적이며 곱셈이 덧셈에 대해 분배적이라는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다. 이러한 모든 속성은 정수의 덧셈과 곱셈의 해당 속성에 대해 테스트됩니다. 예를 들어 곱셈 쌍의 연관성을 확인해 보겠습니다.
마찬가지로 관계 ~가 등가라는 것이 검증되므로 집합 Z(Z\(0)은 등가 클래스로 구분됩니다. 모든 클래스의 집합은 by로, 쌍을 포함하는 클래스는 by로 나타냅니다. , 클래스는 해당 쌍 중 하나로 표시될 수 있으며 조건 (3)을 통해 다음을 얻습니다.
. (4)
우리의 임무는 집합이 필드가 되도록 덧셈과 곱셈의 연산을 정의하는 것입니다. 우리는 이러한 작업을 등식으로 정의합니다.
, (5)
(6)
즉, ab1=ba1이고, 즉 cd1=dc1이면 이러한 등식을 곱하면 (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1)을 얻습니다. 이는 이는 우리에게 평등 (6 )이 실제로 있음을 확신시킨다는 것을 의미합니다. 각 클래스의 대표자 선택과 관계없이 클래스 집합에 대한 고유한 작업을 정의합니다. 연산(5)의 고유성도 같은 방식으로 확인됩니다.
클래스의 덧셈과 곱셈은 쌍의 덧셈과 곱셈으로 줄어들기 때문에 연산 (5)와 (6)은 교환적이고 결합적이며 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다.
등식으로부터 우리는 클래스가 덧셈과 관련하여 중립 요소이고 각 클래스에 대해 그 반대 요소가 있다는 결론을 내립니다. 마찬가지로, 등식으로부터 클래스는 곱셈과 관련하여 중립 요소이며 각 클래스에는 역 클래스가 있습니다. 이는 연산 (5) 및 (6)에 관한 필드임을 의미합니다. 2.4절 정의의 첫 번째 조건이 충족됩니다.
다음으로 집합을 고려해 보겠습니다. 확실히, . 집합은 뺄셈과 곱셈에서 닫혀 있으므로 필드의 부분링입니다. 정말, . 다음으로 매핑을 고려해 보겠습니다. 이 매핑의 전사성은 명백합니다. f(x)=f(y), 즉 x(1=y(1 또는 x=y)입니다. 따라서 매핑 f도 단사적입니다. 더욱이 . 따라서 매핑 f는 링을 다음으로 동형화합니다. 링. 이들이 동형 링임을 식별하면 링 Z가 필드의 하위 링이라고 가정할 수 있습니다. 즉, 2.4절 정의의 조건 2가 충족됩니다. 필드의 최소성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 필드의 하위 필드 및 및 let. 이후, a, then. 그러나 - 필드 이후, 이들 요소의 몫도 필드에 속합니다. 따라서 if , then이 즉, 시스템의 존재가 증명됩니다. 유리수의 증명이 이루어졌습니다.
2.6. 유리수 체계의 고유성.
직관적인 이해에는 유리수 체계가 단 하나뿐이므로 여기에 제시된 유리수 공리 이론은 범주형이어야 합니다. 범주형은 동형사상까지 유리수 체계가 하나만 있다는 것을 의미합니다. 이것이 실제로 사실임을 보여드리겠습니다.
(Q1;+, (; Z) 및 (Q2; (, (; Z))를 임의의 두 유리수 시스템으로 설정하면 모든 정수가 고정된 상태로 유지되는 전단사 매핑의 존재를 증명하는 데 충분합니다. , 조건이 만족됩니다
(1)
(2)
Q1 필드의 모든 요소 x 및 y에 대해.
필드 Q1에 있는 요소 a와 b의 몫은 필드 Q2에 a:b로 표시됩니다. Z는 각 필드 Q1과 Q2의 하위 링이므로 모든 정수 a와 b에 대해 등식은 참입니다.
, . (3)
하자 그리고, 어디서, . 이 요소 x와 필드 Q2의 요소 y=a:b를 연관시켜 보겠습니다. Q1 필드에서 동등성이 참이면 링 Z에서 정리 2.4에 의해 동등 ab1=ba1이 유지되거나 (3)에 의해 동등이 유지되고 동일한 정리에 의해 동등 a:b=가 유지됩니다. a1:b1 은 Q2 필드에 보관됩니다. 즉, Q2 필드의 요소 y=a:b를 Q1 필드의 요소와 연결하여 매핑을 정의합니다.
필드 Q2의 모든 요소는 a:b로 표시될 수 있습니다. 여기서 및는 필드 Q1의 요소 이미지입니다. 이는 매핑 f가 전사적임을 의미합니다.
그렇다면 필드 Q1에 다음이 있습니다. 따라서 매핑 f는 전단사적이며 모든 정수는 고정된 상태로 유지됩니다. 평등 (1)과 (2)의 타당성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 그리고, 여기서 a,b,c,d(Z, b(0, d(0)라고 하자. 그런 다음, 그리고, 어디서, (3) f(x+y)=f(x)(f(y)에 의해. 마찬가지로, 그리고 어디서.
해석 (Q1;+, (; Z) 및 (Q2; (, (; Z))의 동형이 입증되었습니다.
답변, 지침, 솔루션.
1.1.1. 해결책. 공리 4의 조건이 참이라고 가정합니다(((0)과 같은 자연수의 속성. Let. 그러면 M은 공리 4의 전제를 충족합니다. 왜냐하면 ((0)(0(M and. 따라서 M=N, 즉, 모든 자연수는 속성 (. 반대로. 어떤 속성에 대해 (((0)이라는 사실로부터 다음과 같이 가정합니다. M을 N의 부분 집합으로 설정하여 0(M and. M = N. 가정(가정)을 소개하겠습니다. 그런 다음 ((0), 이후, 그리고. 따라서 M=N입니다.
1.1.2. 답: 페아노 공리 1차와 4차의 진술은 참입니다. 두 번째 공리의 진술은 거짓입니다.
1.1.3. 답변: Peano의 공리 중 2,3,4번 진술은 사실입니다. 첫 번째 공리의 진술은 거짓입니다.
1.1.4. Peano의 공리 중 진술 1, 2, 3은 참입니다. 4번째 공리의 진술은 거짓이다. 방향: 집합이 연산 측면에서 공식화된 공리 4의 전제를 만족하는지 증명하십시오.
1.1.5. 힌트: 공리 4의 진술이 참임을 증명하려면 조건 a) 1((M, b) 및 집합을 만족하는 A의 부분 집합 M을 고려하십시오. 이를 증명하십시오. 그런 다음 M=A입니다.
1.1.6. 페아노 공리 1, 2, 3의 진술은 참입니다. 페아노(Peano)의 제4공리의 진술은 거짓이다.
1.6.1. a) 해결책: 먼저 오전 1시인지 증명하십시오. 뒤쪽에. 하자
1.6.2. a) 해결책: 반대로 가정해보자. M을 속성((. 가정에 따르면 M((. 정리 1에 따라 M은 가장 작은 요소 n(0)을 갖지 않는 모든 숫자의 집합을 나타냅니다. 임의의 숫자 x
1.8.1. f) 항목 e)와 항목 c)를 사용합니다: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, 따라서 (a-b)-(c-b)=a-c.
h) 해당 부동산을 사용하십시오.
k) 항목 b)를 사용합니다.
m) 항목 b)와 항목 h)를 사용합니다.
1.8.2. c) 그러므로 우리는… 그래서, .
d) 그렇습니다. 따라서, .
그리고) .
1.8.3. a) 만약 (and (는 방정식 ax2+bx=c의 다른 해법이라면, a(2+b(=a(2+b())입니다. 반면에, 예를 들어, (b) Let (and ( 방정식의 다른 해가 됩니다. If ((. 그러나 (2=a(+b>a(, 따라서 (>a). 모순이 있습니다.
c) (와 (는 방정식과 (>(의 서로 다른 근이 됩니다. 그런 다음 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-()))(( (+( ) 따라서 a((+()=2이지만 (+(>2이므로 a((+()>2)는 불가능합니다.
1.8.4. 가) x=3; b) x=y=2. 힌트: and 이후 x=y가 됩니다. c) x=y(y+2), y - 임의의 자연수; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) 최대 순열 x=1, y=2, z=3. 해결 방법: 예를 들어 x(y(z)라고 가정합니다. 그러면 xyz=x+y+z(3z, 즉 xy(3. xy=1이면 x=y=1이고 z=2+z이므로 불가능합니다. xy=2이면 x=1, y=2입니다. 이 경우 2z=3+z, 즉 z=3입니다. xy=3이면 x=1, y=3이면 3z= 4+z, 즉, z=2이며 이는 가정 y(z.
1.8.5. b) 만약 x=a, y=b가 방정식의 해라면 ab+b=a입니다. 즉, a>ab, 그건 불가능해요. d) x=a이면 y=b는 방정식의 해이고 b는
1.8.6. a) x=ky, 여기서 k,y는 임의의 자연수이고 y(1.b) x는 임의의 자연수, y=1입니다. c) x는 임의의 자연수, y=1입니다. d) 해결책이 없습니다. 마) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) a=b이면 2ab=a2+b2입니다. 예를 들어
문학
1. Redkov M.I. 수치 시스템. /"수치 시스템" 과정을 공부하기 위한 방법론적 권장 사항. 1부.- 옴스크: 옴스크 주립 교육학 연구소, 1984.- 46 p.
2. Ershova T.I. 수치 시스템. /실습 수업을 위한 방법론 개발 - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 p.
