Как построить гиперболический параболоид по уравнению. Свойства параболоида вращения

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид при a=b=1

Эллипти́ческий параболо́ид - поверхность, описываемая функцией вида

,

где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения , образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид при a=b=1

Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») - седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

.

Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью .

Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.

Параболоиды в мире

В технике

В искусстве

В литературе

Устройство, описанное в Гиперболоид инженера Гарина должно было быть параболоидом .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Элон Менахем
• Элтанг

Смотреть что такое "Эллиптический параболоид" в других словарях:

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД Большой Энциклопедический словарь

эллиптический параболоид - один из двух типов параболоидов. * * * ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД, один из двух типов параболоидов (см. ПАРАБОЛОИДЫ) … Энциклопедический словарь

Эллиптический параболоид - один из двух видов параболоидов (См. Параболоиды) … Большая советская энциклопедия

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - незамкнутая поверхность второго порядка. Канонич. уравнение Э. п. имеет вид Э. п. расположен по одну сторону от плоскости Оху (см. рис.). Сечения Э. п. плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются эллипсами с равным эксцентриситетом (если р … Математическая энциклопедия

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - один из двух типов параболоидов … Естествознание. Энциклопедический словарь

ПАРАБОЛОИД - (греч., от parabole парабола, и eidos сходство). Тело, образуемое вращающеюся параболой. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОИД геометрическое тело, образовавшееся от вращения параболы, так… … Словарь иностранных слов русского языка

ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, параболоида, муж. (см. парабола) (мат.). Поверхность второго порядка, не имеющая центра. Параболоид вращения (образуется вращением параболы вокруг ее оси). Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Толковый словарь Ушакова … Толковый словарь Ушакова

ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, поверхность, получаемая при движении параболы, вершина которой скользит по другой, неподвижной параболе (с осью симметрии, параллельной оси движущейся параболы), тогда как ее плоскость, смещаясь параллельно самой себе, остается… … Современная энциклопедия

Параболоид - ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах: если и одного… … Википедия

ПАРАБОЛОИД - незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. Канонич. уравнения П.: эллиптический параболоид (при р = q называется П. вращения) и гиперболический параболоид. А. Б. Иванов … Математическая энциклопедия

Существует два вида параболоидов: эллиптические и гиперболические.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной эллиптического параболоида; числа р и q называются его параметрами.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

Гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числа р и q называются его параметрами.

Упражнение 8.4. Рассмотрим построение гиперболического параболоида вида

Пусть необходимо построить часть параболоида, лежащую в диапазонах: x Î[–3; 3], у Î[–2; 2] с шагом D=0,5 для обеих переменных.

Выполнение . Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

Введем значения переменной х в столбец А . Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (–3). В ячейку A3 - второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (–2,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ , автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14) .

Значения переменной у вводим в строку 1 . Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной - левая граница диапазона (–2). В ячейку С1 - второе значение переменной - левая граница диапазона плюс шаг построения (–1,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1 ,автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки J1 ).

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и ввести формулу - =$А2^2/18 -В$1^2/8, после чего нажать клавишу Enter . В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 . Для этого автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон B2:J2 , после чего (протягиванием вниз) - в диапазон В2:J14 .

В результате в диапазоне В2:J14 появится таблица точек гиперболического параболоида.

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм . В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы - Поверхность , и вид - Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных В2:J14 .

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать данное поле, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести диапазон подписей оси х - А2:А14 .

Вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд выбираем первую запись Ряд 1 и, активизировав рабочее поле Имя указателем мыши, вводим первое значение переменной у: –2. Затем в поле Ряд выбираем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у: –1,5. Повторяем таким образом до последней записи - Ряд 9.

После появления требуемых записей следует нажать кнопку Далее .

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого нужно выбрать вкладку Заголовки , щелкнув на ней указателем мыши. После чего в рабочее поле Название диаграммы ввести с клавиатуры название: Гиперболический параболоид. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) ,Ось Y (рядов данных) иОсь Z (значений) соответствующие названия: х, у и z.

К поверхностям 2-го порядка относится также гиперболический параболоид. Эта поверхность не может быть получена применением алгоритма использующего вращение некоторой линии относительно неподвижной оси.

Для построения гиперболического параболоида используется специальная модель. Эта модель включает в себя две параболы, располагающиеся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Пусть парабола I располагается в плоскости и неподвижна. Парабола II совершает сложное движение:

▫ её начальное положение совпадает с плоскостью
, причём вершина параболы совпадает с началом координат: =(0,0,0);

▫ далее эта парабола совершает движение параллельный перенос, причём её вершина
совершает траекторию, совпадающую с параболой I;

▫ рассматривается два различных начальных положения параболы II: один – ветви параболы вверх, второй – ветви вниз.

Запишем уравнения: для первой параболы I:
– неизменно; для второй параболы II:
– начальное положение, уравнение движения:
Нетрудно видеть, что точка
имеет координаты:
. Так как необходимо отобразить закон движения точки
: эта точка принадлежит параболе I, то должны постоянно выполняться соотношения: =
и
.

Из геометрических особенностей модели легко видеть, что подвижная парабола заметает некоторую поверхность. В таком случае уравнение поверхности, описываемой параболой II, имеет вид:

или→
. (1)

Форма получаемой поверхности зависит от распределения знаков параметров
. Возможны два случая:

1). Знаки величин p и q совпадают: параболы I и II располагаются по одну сторону от плоскости OXY . Примем: p = a 2 и q = b 2 . Тогда получаем уравнение известной поверхности:

→ эллиптический параболоид . (2)

2). Знаки величин p и q различны: параболы I и II располагаются по разные стороны от плоскости OXY . Пусть p = a 2 и q = - b 2 . Теперь получаем уравнение поверхности:

→гиперболический параболоид . (3)

Представить геометрическую форму поверхности, определяемой уравнением (3) нетрудно, если вспомнить кинематическую модель взаимодействия двух парабол, участвующих в движении.

На рисунке красным цветом условно показана парабола I. Показана только окрестность поверхности у начала координат. Из-за того, что форма поверхности выразительно намекает на кавалерийское седло, окрестность эту часто называют – седло .

В физике, при исследованиях устойчивости процессов, вводят типы равновесия: устойчивое – лунка, выпуклостью вниз, неустойчивое – выпуклая вверх поверхность и промежуточное – седло. Равновесие третьего типа также относят к типу неустойчивого равновесия, причём только на красной линии (парабола I) возможно равновесие.

§ 4. Цилиндрические поверхности.

При рассмотрении поверхностей вращения мы определили простейший цилиндрическую поверхность – цилиндр вращения, то есть круговой цилиндр.

В элементарной геометрии цилиндр определён по аналогии с общим определением призмы. Оно достаточно сложное:

▫ пусть имеем в пространстве плоский многоугольник
– обозначим как , и с ним совпадает многоугольник
– обозначим как
;

▫ применим к многоугольнику
движение параллельный перенос: точки
перемещаются по траекториям, параллельным заданному направлению ;

▫ если остановить перенос многоугольника
, то его плоскость
параллельна плоскости ;

▫ поверхностью призмы называют: совокупность многоугольников ,
– основания призмы, а также параллелограммов
,
,... – боковая поверхность призмы.

Воспользуемся элементарным определением призмы для построения более общего определения призмы и её поверхности, а именно, будем различать:

▫ неограниченная призма – это многогранное тело, ограниченное рёбрами ,,... и плоскостями между этими рёбрами;

▫ ограниченная призма – это многогранное тело, ограниченное рёбрами ,,... и параллелограммами
,
,...; боковая поверхность этой призмы – совокупность параллелограммов
,
,...; основания призмы – совокупность многоугольников ,
.

Пусть имеем неограниченную призму: ,,... Пересечём эту призму произвольной плоскостью . Пересечём эту же призму другой плоскостью
. В сечении получим многоугольник
. В общем случае считаем, что плоскость
не параллельна плоскости . Это значит, призма построена не параллельным переносом многоугольника .

Предложенное построение призмы включает не только прямые и наклонные призмы, но и любые усечённые.

В аналитической геометрии цилиндрические поверхности будем понимать настолько обобщённо, что неограниченный цилиндр включает неограниченную призму как частный случай: стоит лишь предположить, что многоугольник можно заменять произвольной линией, не обязательно замкнутой – направляющая цилиндра. Направление называют образующей цилиндра.

Из всего сказанного следует: для определения цилиндрической поверхности необходимо задать линию-направляющую и направление образующей.

Цилиндрические поверхности получают на основе плоских кривых 2-го порядка, служащих направляющими для образующих .

На начальном этапе изучения цилиндрических поверхностей примем упрощающие допущения:

▫ пусть направляющая цилиндрической поверхности всегда располагается в одной из координатных плоскостей;

▫ направление образующей совпадает с одной из осей координат, то есть перпендикулярна плоскости, в которой определена направляющая.

Принятые ограничения не приводят к потере общности, так как остаётся возможность за счёт выбора сечений плоскостями и
строить произвольные геометрические фигуры: прямые, наклонные, усечённые цилиндры.

Эллиптический цилиндр .

Пусть в качестве направляющей цилиндра взяли эллипс :
, расположенный в координатной плоскости

: эллиптический цилиндр.

Гиперболический цилиндр .

:

, а направление образующей определяет ось
. В этом случае уравнение цилиндра – это сама линия : гиперболический цилиндр.

Параболический цилиндр .

Пусть в качестве направляющей цилиндра взяли гиперболу :
, расположенную в координатной плоскости
, а направление образующей определяет ось
. В этом случае уравнение цилиндра – это сама линия : параболический цилиндр.

Замечание : учитывая общие правила построения уравнений цилиндрических поверхностей, а также представленные частные примеры эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров, отметим: построение цилиндра для любой другой образующей, для принятых упрощающих условий, не должно вызвать никаких затруднений!

Рассмотрим теперь более общие условия построения уравнений цилиндрических поверхностей:

▫ направляющая цилиндрической поверхности располагается в произвольной плоскости пространства
;

▫ направление образующей в принятой системе координат произвольно.

Принятые условия изобразим на рисунке.

▫ направляющая цилиндрической поверхности располагается в произвольной плоскости пространства
;

▫ система координат
получена из системы координат
параллельным переносом;

▫ расположение направляющей в плоскости наиболее предпочтительное: для кривой 2-го порядка будем считать, что начало координат совпадает с центром симметрии рассматриваемой кривой;

▫ направление образующей произвольное (может быть задано любым из способов: вектором, прямой и др.).

В дальнейшем будем считать, что системы координат
и
совпадают. Это означает, что 1-й шаг общего алгоритма построения цилиндрических поверхностей, отражающий параллельный перенос:
→
, предварительно выполнен.

Напомним, как учитывается параллельный перенос в общем случае, рассмотрев простой пример.

Пример 6 –13 : В системе координат
в виде:
=0. Записать уравнение этой направляющей в системе
.

Решение :

1). Обозначим произвольную точку
: в системе
как
, и в системе
как
.

2). Запишем векторное равенство:
=
+
. В координатной форме это можно записать в виде:
=
+
. Или в виде:
=
–
, или:
=.

3). Запишем уравнение направляющей цилиндра в системе координат
:

Ответ: преобразованное уравнение направляющей: =0.

Итак, будем считать, что центр кривой, представляющей направляющую цилиндра, всегда располагается в начале координат системы
в плоскости .

Рис. В . Базовый рисунок при построении цилиндра.

Сделаем ещё одно допущение, упрощающее заключительные шаги построения цилиндрической поверхности. Так как применением вращения системы координат нетрудно совместить направление оси
системы координат
с нормалью плоскости , а направления осей
и
с осями симметрии направляющей , то будем считать, что в качестве исходного положения направляющей имеем кривую, расположенную в плоскости
, причём одна её ось симметрии совпадает с осью
, а вторая с осью
.

Замечание : так как выполнение операций параллельный перенос и вращение вокруг неподвижной оси операции достаточно простые, то принятые допущения не сужают применимость разрабатываемого алгоритма построения цилиндрической поверхности в самом общем случае!

Мы видели, что при построении цилиндрической поверхности в случае, когда направляющая располагается в плоскости
, а образующая параллельна оси
, достаточно определить только направляющую .

Так как цилиндрическая поверхность может быть однозначно определена заданием любой линии, получаемой в сечении этой поверхности произвольной плоскостью, то примем такой общий алгоритм решения задачи:

1 ▫ . Пусть направление образующей цилиндрической поверхности задано вектором . Спроектируем направляющую , заданную уравнением:
=0, на плоскость, перпендикулярную направлению образующей , то есть на плоскость
. В результате цилиндрическая поверхность будет задана в системе координат
уравнением:
=0.

2 ▫
вокруг оси
на угол
: смысл угла
совместится с системой
, а уравнение конической поверхности преобразуется в уравнение:
=0.

3 ▫ . Применим вращение системы координат
вокруг оси
на угол
: смысл угла вполне понятен из рисунка. В результате вращения система координат
совместится с системой
, а уравнение конической поверхности преобразуется в
=0. Это и есть уравнение цилиндрической поверхности, у которой были заданы направляющая и образующая в системе координат
.

Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию записанного алгоритма и вычислительные трудности подобных задач.

Пример 6 –14 : В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра в виде:
=9. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору =(2,–3,4).

Р
ешение :

1). Спроектируем направляющую цилиндра на плоскость, перпендикулярную . Известно, что такое преобразование заданную окружность превращает в эллипс, осями которого будут: большая =9, а малая =
.

Этот рисунок иллюстрирует проектирование окружности, заданной в плоскости
на координатную плоскость
.

2). Результатом проектирования окружности является эллипс:
=1, или
. В нашем случае это:
, где
==.

3
). Итак, уравнение цилиндрической поверхности в системе координат
получено. Так как по условию задачи мы должны иметь уравнение этого цилиндра в системе координат
, то остаётся применить преобразование координат, переводящее систему координат
в систему координат
, заодно и уравнение цилиндра:
в уравнение, выраженное через переменные
.

4). Воспользуемся базовым рисунком, и запишем все необходимые для решения задачи тригонометрические значения:

==,
==,
==.

5). Запишем формулы преобразования координат при переходе от системы
к системе
:
(В)

6). Запишем формулы преобразования координат при переходе от системы
к системе
:
(С)

7). Подставляя переменные
из системы (В) в систему (С), а также учитывая значения используемых тригонометрических функций, запишем:

=
=
.

=
=
.

8). Остаётся подставить найденные значения и в уравнение направляющей цилиндра :
в системе координат
. Выполнив аккуратно все алгебраические преобразования, получаем уравнение конической поверхности в системе координат
: =0.

Ответ: уравнение конуса: =0.

Пример 6 –15 : В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра в виде:
=9, =1. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору =(2,–3,4).

Решение :

1). Нетрудно заметить, этот пример отличается от предыдущего только тем, что направляющую параллельно перенесли на 1 вверх.

2). Это значит, что в соотношениях (В) следует принять: =–1. Учитывая выражения системы (С), скорректируем запись для переменной :

=
.

3). Изменение легко учитывается коррекцией конечной записи уравнения для цилиндра из предыдущего примера:

Ответ: уравнение конуса: =0.

Замечание : нетрудно заметить, что основная трудность при многократных преобразованиях систем координат в задачах с цилиндрическими поверхностями – этоаккуратность ивыносливость в алгебраических марафонах: да здравствует система образования, принятая в нашей многострадальной стране!

Доказанное свойство касательной к параболе имеет очень важное значение, так как из него следует, что лучи, исходящие из фокуса вогнутого параболического зеркала, т. е. такого зеркала, поверхность которого полу­чается от вращения параболы вокруг ее оси, отражаются параллельным пучком, а именно параллельно оси зеркала (рис).

Это свойство параболических зеркал применяется при устройстве прожекторов, в фарах любого автомобиля, а также в зеркальных телескопах. При этом в последнем случае, обратно, лучи, идущие от небесного светила; почти параллельно, сосредоточиваются около фокуса зеркала телескопа, и так как лучи, идущие от разных точек светила, намного непараллельны, то они сосредоточиваются около фокуса в разных точках, так что около фокуса получается изображение светила, тем большее, чем больше фокусное расстояние параболы. Это изображение уже рассматривается в микроскоп (окуляр телескопа). Строго говоря, только лучи, строго параллельные оси зеркала, собираются в одну точку (в фокус), параллельные же лучи, идущие, под углом к оси зеркала, собираются лишь почти в одну точку, причем, чем дальше эта точка от фокуса, тем изображение более размытое. Эго обстоятельство ограничивает «поле зрения телескопа».

Пусть внутренняя поверхность его - зеркальная поверхность- это параболическое зеркало освещается пучком лучей света параллель­но оси ОУ. Все лучи, параллельные оси ОУ, после отражения пе­ресекутся в одной точке оси ОУ (фокус F). На этом свойстве осно­вано устройство параболических телескопов. Лучи от далёких звёзд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболи­ческий телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность, усилить световой сигнал, идущий от звезды.

Этот же принцип лежит в основе создания параболической антенны, позволяющей усилить радиосигналы. Ес­ли же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок парал­лельно оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовле­нии прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала кото­рых изготавливают в форме параболоидов.

Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных уста­новок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, парал­лельных оси зеркала.

При вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи собе­рутся в одной точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зер­кальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.

Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида вы­сокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед (287-212 гг. до н. э.). При защи­те Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболи­ческих зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные сол­нечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал ока­залась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар и они сго­рели.

Второе свойство используется, например, при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.

Гипербола

4. Определение гиперболы дает нам простой способ построения ее непрерывным движением: возьмем две нити, разность длин которых равна 2а, и прикрепим по одному концу этих нитей к точкам F" и F. Если держать рукой два других конца соединенными вместе и водить вдоль нитей острием карандаша, заботясь о том, чтобы нити были прижаты к бумаге, натянуты и со­прикасались, начиная от чертящего острия до места соединения концов, то острие начертит часть одной из ветвей гиперболы (тем большую, чем длиннее взяты нити) (Рис.).

Поменяв ролями точки F" и F, получим часть другой ветви.

Например, на тему «Кривые 2-го порядка» можно рассмотреть следующую задачу:

Задача. Две железнодорожные стан­ции А и В находятся на расстоянии s км одна от другой. В любую точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом (первый путь), либо по железной дороге до стан­ции В, а оттуда автомобилями (второй путь). Железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, тариф автотранспорта – n рублей, n > m, тариф погрузки-разгрузки - k рублей. Определить область влия­ния железнодорожной станции В, т.е, ту область, в которую дешевле доставить груз со станции А смешанным пу­тем - по железной дороге, а затем автотранспортом, т.е. определить геометри­ческое место точек, для которых второй путь выгоднее первого.

Решение. Обозначим AM = r , BM = г , тогда стоимость доставки (перевозки и погрузки-разгрузки) по пути AM равна nr + k, а стоимость достав­ки по пути АВМ равна ms + 2k + nг . Тогда точки М, для которых обе стоимости равны, удовлетворяют уравне­нию nr + k = ms+2k+nг , или

ms + k = nr - nг

r - г = = const > О,

следовательно, линия, ограничивающая область, - одна из ветвей гиперболы | r - г | = const. Для всех точек плоскости, лежащих по одну сторону с точкой А от этой гиперболы, более выгоден первый путь, а для точек, лежащих по другую сторону, - второй, поэтому ветвь гиперболы очерчивает область влияния станции В.

Вариант данной задачи .

Две железнодорожные стан­ции А и В находятся на расстоянии l км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m руб­лей, погрузка - разгрузка обходится в k рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта - n рублей (n > m). Определим так назы­ваемую зону влияния железнодорожной стан­ции В, т. е., ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным пу­тем: по - железной дороге и затем автотранспортом.

Решение. Стоимость доставки 1 т груза по пути AM составляет r n, где r = AM, а по пути AВМ она будет равна 1m + k + r n. Нам надо решить двой­ное неравенство r n 1m+ k+ r n и определить, как распределятся точки на плоскости (х, у), в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым путем.

Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, т. е. геометрическое место точек, для которых оба пути «равно выгодны»:

r n = 1m+ k+ r n

Из этого условия получаем r - r = = const.

Следовательно, линия раздела гипербола. Для всех внешних точек этой гипер­болы более выгоден первый путь, а для внутренних - второй. Поэтому гипербола и очертит зону влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы. Ее большая ось 2а = , а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В) в данном слу­чае 2с = l.

Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением a < с, будет

Данная задача связывает абстрактное геометрическое понятие гиперболы с транспортно-экономической задачей.

Искомое геометрическое место точек есть множество точек, лежащих внутри правой ветви гиперболы, содержащей точку В.

6. В курсе «Сельхозмашин » важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.

Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.

При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» рассматриваем задачи:

а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.

б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот
угол?

7. Наличие прямолинейных образующих используется в строительной технике. Основоположником практическо­го применения этого факта является известный рус­ский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853-1939). В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленных из металлических балок, располагающих­ся по прямолинейным образующим однополостного гипер­болоида вращения. Высокая прочность таких конструк­ций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью из­готовления и изяществом обеспечивает широкое распрос­транение их в современном строительстве.

8. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для свободного тела равно возможны все виды движения, но это еще не значит, что движение свободного тела является беспорядочным, не подчиняющимся никаким законам; наоборот, поступательное движе­ние твердого тела независимо от его внешней формы стесняется зако­ном о центре массы и сводится к движению одной точки, а вращатель­ное- так называемыми главными осями инерции или эллипсоидом инерции . Так, палка, брошенная в свободное про­странство, или зерно, вылетающее из сортировки и т. д., движется поступательно, как одна точка (центр масс), а в то же время вращается около центра массы. Вообще при поступательном движении всякое твер­дое тело независимо от его формы или сложную машину можно заме­нить одной точкой (центром массы), а при вращательном - эллипсоидом инерции, радиусы-векторы которого равны --, где / - момент инерции этого тела относительно осей, проходящих через центр эллипсоида.

Если момент инерции тела во время вращения почему-либо изменяется, то соответственно будет изменяться и скорость вращения. Например, во время прыжка через голову акроба­ты сжимаются в комок, отчего момент инерции тела уменьшается, а ско­рость вращения увеличивается, что и нужно для успеха прыжка. Точно так же, поскользнувшись, люди вытягивают руки в стороны, отчего мо­мент инерции увеличивается, а скорость вращения уменьшается. Точно так же переменным является момент инерции грабли жнеи около верти­кальной оси во время ее поворота около горизонтальной оси.

Высота параболоида может быть определена по формуле

Объем параболоида, касающегося дна равен половине объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н, такой же объем занимает пространство W’ под параболоидом (рис.4.5а)

Рис.4.5. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся дна.

Wп- объем параболоида,W’ – объем под параболоидом, Hп – высота параболоида

Рис.4.6. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся краев цилиндра Hп – высота параболоида., R – радиус сосуда, Wж–объем под высотой жидкости в сосуде до начала вращения, z 0 – положение вершины параболоида, Н - высота жидкости в сосуде до начала вращения.

На рис.4.6а уровень жидкости в цилиндре до начала вращения Н. Объем жидкости Wж до и после вращения сохраняется и равен сумме объема Wц цилиндра с высотой z 0 плюс объем жидкости под параболоидом, который равен объему параболоидаWп с высотой Нп

Если параболоид касается верхнего края цилиндра, высота жидкости в цилиндре до начала вращения Н делит высоту параболоида Нп на две равные части, нижняя точка (вершина) параболоида расположена по отношению к основанию(рис.4.6в)

Кроме того, высота Н делит параболоид на две части (рис.4.6в), объемы которых равны W 2 =W 1 . Из равенства объемов параболического кольца W 2 и параболической чашки W 1 , рис.4.6в

При пересечении поверхностью параболоида днища сосуда (рис.4.7) W 1 =W 2 =0,5W кольца

Рис.4.7 Объемы и высоты при пересечении поверхностью параболоида днища цилиндра

Высоты на рис.4.6

объемы на рис.4.6 .

Расположение свободной поверхности в сосуде

Рис.4.8. Три случая относительного покоя при вращении

1. Если сосуд открыт, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоида при вращении опускается ниже начального уровня-Н, а края поднимаются над начальным уровнем, положение вершины

2. Если сосуд заполнен полностью, прикрыт крышкой, не имеет свободной поверхности, находится под избыточным давлением Ро>Ратм, до вращения поверхность (П.П.), на которой Ро=Ратм будет находиться над уровнем крышки на высоте h 0и =М/ρg , H 1 =Н+ М/ρg.

3. Если сосуд заполнен полностью, находится под вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Вращение с большой угловой скоростью (рис.4.9)

При вращении сосуда с жидкостью с большой угловой скоростью силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. Закон изменения давления в жидкости можно получить из формулы

(4.22),

Поверхности уровня образуют цилиндры с общей осью, вокруг которой вращается сосуд. Если сосуд перед началом вращения не полностью заполнен, давление Р 0 будет действовать по радиусу r = r 0 , вместо выражения (4.22) будем иметь

в котором принимаем g(z 0 - z) = 0,

Рис. 4.9 Расположение поверхностей вращения при отсутствии силы тяжести.

Радиус внутренней поверхности при известных H и h