Il raggio del cerchio circoscritto dal teorema seno. Cerchio circoscritto
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Il cerchio circoscritto. Guida visiva (2019)
La prima domanda che può sorgere: descritta - intorno a cosa?
Beh, in realtà, a volte succede intorno a qualsiasi cosa, ma parleremo del cerchio circoscritto (a volte dicono "a proposito") del triangolo. Che cos'è questo?
E ora, immagina un fatto sorprendente:
Perché questo fatto è sorprendente?
Ma i triangoli sono diversi!
E per tutti c'è un cerchio che passerà attraverso tutte e tre le vette, cioè il cerchio circoscritto.
Puoi trovare la prova di questo fatto sorprendente nei seguenti livelli della teoria, ma qui notiamo solo che se prendiamo, ad esempio, un quadrangolo, allora per nessuno c'è un cerchio che passa attraverso quattro vertici. Qui, diciamo, un parallelogramma è un eccellente quadrangolo, ma non c'è nessun cerchio che passa attraverso tutti e quattro i suoi vertici!
E c'è solo per il rettangolo:
Bene qui e ogni triangolo ha sempre il suo cerchio circoscritto! E anche è sempre abbastanza semplice trovare il centro di questo cerchio.
Sai cos'è metà perpendicolare?
Ora vediamo cosa succede se osserviamo tre perpendicolari al centro del triangolo.
Si scopre (e questo deve solo essere provato, anche se non lo faremo) tutte e tre le perpendicolari si intersecano in un punto. Guarda la figura: tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.
Pensi che il centro del cerchio circoscritto si trovi sempre all'interno del triangolo? Immagina - non sempre!
Ma se ad angolo acuto, quindi - all'interno:
Cosa fare con un triangolo rettangolo?
Sì, con un bonus aggiuntivo:
Dato che stiamo parlando del raggio del cerchio circoscritto: a cosa equivale per un triangolo arbitrario? E c'è una risposta a questa domanda: il cosiddetto.
Vale a dire:
Bene e ovviamente
1. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto
Sorge quindi la domanda: esiste un cerchio del genere per ogni triangolo? Si scopre che sì, per tutti. Inoltre, formuleremo ora un teorema che risponde anche alla domanda su dove si trova il centro del cerchio circoscritto.
Assomiglia a questo:
Prendiamo il coraggio e dimostriamo questo teorema. Se leggi già l'argomento "", hai capito perché le tre bisettrici si intersecano in un punto, allora sarà più facile per te, ma se non hai letto, non preoccuparti: ora lo capiremo.
La prova sarà effettuata usando il concetto di un luogo geometrico di punti (ТТТ).
Bene, per esempio, molte palle sono un "luogo geometrico" per oggetti rotondi? No, certo, perché ci sono angurie rotonde ... C'è un sacco di gente, "luogo geometrico" che può parlare? Non troppo, perché ci sono bambini che non sanno parlare. Nella vita, è generalmente difficile trovare un esempio di un vero "luogo geometrico di punti". In geometria è più facile. Qui, ad esempio, è proprio quello di cui abbiamo bisogno:
Qui l'insieme è perpendicolare al centro e la proprietà "" deve "essere equidistante (punto) dalle estremità del segmento."
Dai un'occhiata? Quindi, devi assicurarti di due cose:
- Qualsiasi punto equidistante dalle estremità di un segmento si trova al centro perpendicolare ad esso.
Connettiti con e C. Quindi la linea è la mediana e l'altezza in. Quindi, - isoscele - si sono assicurati che qualsiasi punto che si trova sulla perpendicolare centrale sia ugualmente distante dai punti e.
Prendi il centro e connettiti e. Il risultato è stato una mediana. Ma - secondo la condizione, gli isosceli non solo la mediana, ma anche l'altezza, cioè la metà perpendicolare. Quindi, il punto - giace solo sul centro perpendicolare.
Tutto qui! Completamente verificato il fatto che il centro perpendicolare al segmento è il posto geometrico dei punti equidistanti dalle estremità del segmento.
Va tutto bene, ma ci siamo dimenticati del cerchio circoscritto? Niente affatto, ci siamo appena preparati un "trampolino di lancio per un attacco".
Considera il triangolo. Disegna due perpendicolari centrali e, diciamo, ai segmenti e. Si intersecano ad un certo punto che chiameremo.
E ora attenzione!
Il punto si trova sul centro perpendicolare;
il punto si trova sul centro perpendicolare.
E questo significa, e.
Da qui seguono diverse cose contemporaneamente:
Innanzitutto, il punto deve trovarsi sul terzo centro perpendicolare al segmento.
Cioè, anche la perpendicolare centrale è obbligata a passare attraverso il punto e tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.
Secondo: se disegniamo un cerchio centrato in un punto e raggio, anche questo cerchio passerà attraverso il punto e attraverso il punto, cioè sarà un cerchio circoscritto. Quindi, esiste già che l'intersezione delle tre perpendicolari centrali è il centro del cerchio circoscritto per qualsiasi triangolo.
E l'ultimo: sull'unicità. È chiaro (quasi) che il punto può essere ottenuto in un modo unico, quindi anche il cerchio è unico. Bene, ma "quasi" - lasciamo che pensiate. Ciò ha dimostrato il teorema. Puoi urlare "Evviva!".
E se il problema è "trova il raggio del cerchio circoscritto"? O viceversa, viene dato il raggio, ma è necessario trovare qualcos'altro? Esiste una formula che collega il raggio del cerchio circoscritto con altri elementi del triangolo?
Presta attenzione: il teorema del seno lo dice per trovare il raggio del cerchio circoscritto, hai bisogno di un lato (qualsiasi!) e dell'angolo opposto. E questo è tutto!
3. Centro del cerchio - dentro o fuori
E ora la domanda è: può il centro del cerchio circoscritto trovarsi al di fuori del triangolo.
Risposta: anche come puoi. Inoltre, ciò accade sempre in un triangolo ottuso.
E in generale:
DESCRIZIONE DEL CERCHIO. BREVE INFORMAZIONI SUL PRINCIPALE
1. Il cerchio descritto vicino al triangolo
Questo è il cerchio che attraversa tutti e tre i vertici di questo triangolo.
2. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto
Bene, l'argomento è finito. Se leggi queste righe, sei molto figo.
Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora entri in questi 5%!
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Molto spesso, quando si risolvono problemi geometrici, si devono eseguire azioni con figure ausiliarie. Ad esempio, trova il raggio di un cerchio inscritto o circoscritto, ecc. Questo articolo mostrerà come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo. O, in altre parole, il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo.
Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo - formula generale
La formula generale è la seguente: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), dove R è il raggio del cerchio circoscritto, p è il perimetro del triangolo diviso per 2 (mezzo perimetro). a, b, c sono i lati del triangolo.
Trova il raggio del cerchio circoscritto del triangolo se a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.
Pertanto, in base alla formula sopra, calcoliamo il mezzo perimetro:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.
Sostituisci i valori nella formula e ottieni:
R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.
Risposta: R \u003d 126 / 16√5
Come trovare il raggio di un cerchio descritto vicino a un triangolo equilatero
Per trovare il raggio di un cerchio descritto vicino a un triangolo equilatero, esiste una formula piuttosto semplice: R \u003d a / √3, dove a è la grandezza del suo lato.
Esempio: il lato di un triangolo equilatero è 5. Trova il raggio del cerchio circoscritto.
Poiché un triangolo equilatero ha tutti i lati uguali, per risolvere il problema devi solo inserire il suo valore nella formula. Otteniamo: R \u003d 5 / √3.
Risposta: R \u003d 5 / √3.
Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto vicino a un triangolo rettangolo
La formula è la seguente: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, dove a e b sono le gambe e c è l'ipotenusa. Se aggiungiamo i quadrati delle gambe in un triangolo rettangolo, otteniamo il quadrato dell'ipotenusa. Come si può vedere dalla formula, questa espressione è sotto la radice. Calcolando la radice del quadrato dell'ipotenusa, otteniamo la lunghezza stessa. Moltiplicare l'espressione risultante per 1/2 alla fine ci conduce all'espressione 1/2 × c \u003d c / 2.
Esempio: calcola il raggio del cerchio circoscritto se le gambe del triangolo sono 3 e 4. Sostituisci i valori nella formula. Otteniamo: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2.5.
In questa espressione, 5 è la lunghezza dell'ipotenusa.
Risposta: R \u003d 2,5.
Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo isoscele
La formula è la seguente: R \u003d a² / √ (4a² - b²), dove a è la lunghezza della coscia del triangolo e b è la lunghezza della base.
Esempio: calcola il raggio di un cerchio se la sua anca \u003d 7 e la base \u003d 8.
Soluzione: sostituiamo questi valori nella formula e otteniamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).
R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. La risposta può essere scritta direttamente in questo modo.
Risposta: R \u003d 49 / √132
Risorse online per il calcolo del raggio del cerchio
Puoi confonderti molto facilmente in tutte queste formule. Pertanto, se necessario, è possibile utilizzare calcolatori online che ti aiuteranno a risolvere i problemi di ricerca del raggio. Il principio di funzionamento di tali mini-programmi è molto semplice. Sostituisci il valore del lato nel campo appropriato e ottieni una risposta pronta. È possibile selezionare diverse opzioni per arrotondare la risposta: decimale, centesimi, millesimi, ecc.
Si può vedere che ogni lato il triangolo, la perpendicolare disegnata dal suo centro e i segmenti che collegano il punto di intersezione delle perpendicolari con i vertici formano due uguali rettangolari il triangolo. I segmenti MA, MB, MC sono uguali.
Ti è stato dato un triangolo. Trova il centro di ogni lato: prendi un righello e misura i suoi lati. Dividi le dimensioni risultanti a metà. Mettere da parte le cime su ogni metà della sua dimensione. Segna i risultati con punti.
Da ogni punto, posizionare la perpendicolare al lato. Il punto di intersezione di queste perpendicolari sarà il centro del cerchio circoscritto. Bastano due perpendicolari per trovare il centro del cerchio. Il terzo è in fase di costruzione per l'autotest.
Nota: nel triangolo, dove tutti gli angoli sono nitidi, le intersezioni all'interno il triangolo. In un triangolo rettangolo - si trova sull'ipotenusa. In - si trova all'esterno. Inoltre, la perpendicolare al lato opposto all'angolo ottuso non è verso il centro il triangoloma fuori.
Presta attenzione
C'è un teorema sinusoidale che stabilisce una relazione tra i lati di un triangolo, i suoi angoli e i raggi di un cerchio circoscritto. Questa dipendenza è espressa dalla formula: a / sina \u003d b / sinb \u003d c / sinc \u003d 2R, dove a, b, c sono i lati del triangolo; sina, sinb, sinc - sine di angoli opposti a questi lati; R è il raggio del cerchio che può essere descritto attorno al triangolo.
fonti:
- come descrivere la circonferenza di un quadrangolo
Secondo la definizione descritta cerchio deve passare attraverso tutti i vertici degli angoli di un dato poligono. Allo stesso tempo, non importa che tipo di poligono sia: un triangolo, un quadrato, un rettangolo, un trapezio o qualcos'altro. Inoltre, non importa se si tratta di un poligono, giusto o sbagliato. È solo necessario considerare che ci sono poligoni attorno ai quali cerchio non può essere descritto. Puoi sempre descriverlo cerchio intorno al triangolo. Per quanto riguarda i quadrangoli, quindi cerchio può essere descritto attorno a un quadrato o un rettangolo o un trapezio isoscele.
Ne avrai bisogno
- Preset poligonale
- righello
- gomito
- matita
- compasso
- goniometro
- Tabelle di seno e coseno
- Concetti e formule matematiche
- Teorema di Pitagora
- Teorema del seno
- Teorema del coseno
- Segni di somiglianza dei triangoli
Manuale di istruzioni
Costruisci un poligono con i parametri indicati e se è possibile descriverlo attorno cerchio. Se ti viene dato un quadrangolo, conta le somme dei suoi angoli opposti. Ognuno di essi dovrebbe essere uguale a 180 °.
Per descrivere cerchio, devi calcolarne il raggio. Ricorda dove si trova il centro del cerchio in diversi poligoni. In un triangolo, è all'intersezione di tutte le altezze del triangolo dato. Quadrati e rettangoli - nel punto di intersezione delle diagonali, per un trapezio - nel punto di intersezione dell'asse di simmetria con la linea che collega i punti medi dei lati e per qualsiasi altro poligono convesso - nel punto di intersezione del centro perpendicolare ai lati.
Il diametro del cerchio circoscritto attorno a un quadrato e un rettangolo, calcolato dal teorema di Pitagora. Sarà uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei lati del rettangolo. Per un quadrato in cui tutti i lati sono uguali, la diagonale è uguale alla radice quadrata del doppio del quadrato del lato. Dividendo il diametro per 2, ottieni il raggio.
Calcola il raggio del cerchio circoscritto per il triangolo. Poiché i parametri del triangolo sono specificati nelle condizioni, calcola il raggio usando la formula R \u003d a / (2 · sinA), dove a è uno dei lati del triangolo ,? - l'angolo opposto a lei. Invece di questo lato, puoi prendere il lato e l'angolo opposto ad esso.
Calcola il raggio del cerchio circoscritto attorno al trapezio. R \u003d a * d * c / 4 v (p * (pa) * (pd) * (pc)) In questa formula, aeb sono i trapezi noti dalle condizioni di base, h è l'altezza, d è la diagonale, p \u003d 1 / 2 * (a + d + c). Calcola i valori mancanti. L'altezza può essere calcolata dal teorema di seno o coseno, le lunghezze dei lati del trapezio e gli angoli sono indicati nelle condizioni. Conoscendo l'altezza e tenendo conto delle somiglianze dei triangoli, calcola la diagonale. Dopodiché, resta da calcolare il raggio secondo la formula sopra.
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Consigli utili
Per calcolare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un altro poligono, eseguire una serie di costruzioni aggiuntive. Ottieni forme più semplici di cui conosci i parametri.
Suggerimento 3: come disegnare un triangolo rettangolo lungo un angolo acuto e ipotenusa
Un rettangolo è chiamato triangolo, l'angolo di uno dei vertici è di 90 °. Il lato opposto a questo angolo è chiamato ipotenusa, mentre i lati opposti ai due angoli acuti del triangolo sono chiamati gambe. Se si conoscono la lunghezza dell'ipotenusa e la dimensione di uno degli angoli acuti, questi dati sono sufficienti per costruire un triangolo in almeno due modi.
Un triangolo viene chiamato inscritto se tutti i suoi vertici giacciono su un cerchio. In questo caso, viene chiamato il cerchio descritta intorno al triangolo. La distanza dal suo centro a ciascun vertice del triangolo sarà la stessa e uguale al raggio di questo cerchio. Intorno a qualsiasi triangolo, puoi descrivere un cerchio, ma solo uno.
Il centro del cerchio circoscritto si troverà all'intersezione delle perpendicolari centrali disegnate su ciascun lato del triangolo. Se il cerchio è circoscritto attorno a un triangolo rettangolo, il suo centro si troverà nel mezzo dell'ipotenusa. Per qualsiasi triangolo attorno al quale viene descritto il cerchio, la formula per l'area del triangolo attraverso il raggio del cerchio circoscritto è valida:
in cui a, b, c sono i lati del triangolo e R è il raggio del cerchio circoscritto.
Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo attraverso il raggio del cerchio circoscritto:
Lascia che sia dato un triangolo con i lati a \u003d 5 cm, b \u003d 6 cm, c \u003d 4 cm, attorno ad esso è descritto un cerchio con R \u003d 3 cm. Trova l'area.
Avendo tutti i dati richiesti, sostituiamo semplicemente i valori nella formula: 
L'area del triangolo sarà di 10 metri quadrati. vedere
Molto spesso, nelle condizioni, è possibile trovare una determinata area del cerchio circoscritto, che deve essere utilizzata per trovare l'area del triangolo inscritto. La formula per l'area di un triangolo attraverso l'area del cerchio circoscritto viene trovata dopo aver calcolato il raggio. Può essere calcolato in diversi modi. Per iniziare, considera la formula per l'area di un cerchio:
Trasformando questa formula, otteniamo che il raggio:
Usando questa formula, otteniamo che conoscendo l'area del cerchio circoscritto, possiamo trovare l'area del triangolo nel modo seguente:
Conoscendo tutti e tre i lati di un dato triangolo, puoi fare domanda per trovare l'area. Da esso, si può anche trovare il raggio del cerchio circoscritto. Cioè, se nelle condizioni vengono dati tutti i lati del triangolo e è richiesta la ricerca dell'area attraverso il raggio del cerchio circoscritto, dobbiamo prima calcolarlo con la formula:
Cioè, conoscendo le lunghezze di tutti i lati del triangolo, possiamo trovare l'area del triangolo attraverso il raggio del cerchio circoscritto.
Un esempio di calcolo dell'area di un triangolo attraverso l'area del cerchio circoscritto:
Viene dato un triangolo, attorno al quale viene descritto un cerchio con un'area di 8 metri quadrati. vedi. I lati del triangolo a \u003d 4 cm, b \u003d 3 cm, c \u003d 5 cm. In primo luogo, trova il raggio del cerchio attraverso la sua area: 
Proviamo a trovare il raggio usando un'altra formula, che abbiamo dedotto dal metodo di ricerca
Ne avrai bisogno
- Triangolo con parametri preimpostati
- compasso
- righello
- gomito
- Tabella di seni e coseni
- Concetti matematici
- Determinare l'altezza di un triangolo
- Formule di seno e coseno
- Formula quadrata triangolare
Manuale di istruzioni
Disegna un triangolo con i parametri desiderati. Un triangolo è su tre lati, o su due lati e l'angolo tra loro, o sul lato e due angoli adiacenti ad esso. Designare i vertici del triangolo come A, B e C, gli angoli come α, β e γ, e i lati opposti ai vertici con l'angolo del lato come a, b e c.
Scorri verso tutti i lati del triangolo e trova il punto di intersezione. Segna le altezze come h con gli indici laterali corrispondenti. Trova il punto della loro intersezione e designalo O. Sarà il centro del cerchio. Pertanto, i raggi di questo cerchio saranno i segmenti OA, OB e OS.
Il raggio si trova in due formule. Per uno devi calcolare prima. È uguale a tutti i lati del triangolo per il seno di uno degli angoli divisi per 2.
In questo caso, il raggio del cerchio circoscritto viene calcolato dalla formula
Per l'altro, la lunghezza di uno dei lati e il seno dell'angolo opposto sono sufficienti.
Calcola il raggio e descrivi il cerchio del triangolo.
Consigli utili
Ricorda qual è l'altezza del triangolo. Questa è una perpendicolare disegnata dall'angolo al lato opposto.
L'area del triangolo può anche essere rappresentata come il prodotto del quadrato di uno dei lati e dei seni di due angoli adiacenti divisi per il seno raddoppiato della somma di questi angoli.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ
fonti:
- tabella con i raggi del cerchio circoscritto
- Il raggio del cerchio descritto vicino equilatero
È considerato circoscritto intorno al poligono se tocca tutti i suoi vertici. Ciò che è degno di nota è il centro di un simile cerchio coincide con il punto di intersezione delle perpendicolari disegnate dai punti medi dei lati del poligono. raggio descritta cerchio dipende completamente dal poligono attorno al quale è descritto.
Ne avrai bisogno
- Conosci i lati del poligono, la sua area / perimetro.
Manuale di istruzioni
Presta attenzione
Un cerchio può essere descritto solo se è regolare, ad es. tutti i suoi lati sono uguali e tutti i suoi angoli sono uguali.
La tesi secondo cui il centro del cerchio circoscritto attorno al poligono è l'intersezione delle sue perpendicolari centrali è valida per tutti i poligoni regolari.
fonti:
- come trovare il raggio di un poligono
Se per il poligono è possibile costruire il cerchio circoscritto, l'area di questo poligono è inferiore all'area del cerchio circoscritto, ma più grande dell'area del cerchio inscritto. Per alcuni poligoni, formule per la ricerca raggio cerchi incisi e cerchiati.
Manuale di istruzioni
Un cerchio inscritto in un poligono che tocca tutti i lati del poligono. Per triangolo raggio cerchi: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, dove p è il mezzo perimetro; a, b, c sono i lati del triangolo. Per la formula è semplificata: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2) e - il lato del triangolo.
Un cerchio circoscritto attorno a un poligono è chiamato un cerchio su cui giacciono tutti i vertici del poligono. Per un triangolo, il raggio si trova nella formula: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), dove p è il mezzo perimetro; a, b, c sono i lati del triangolo. Per quello corretto è più facile: R \u003d a / 3 ^ 1/2
Per i poligoni, non è sempre possibile scoprire il rapporto tra i raggi dell'iscrizione e le lunghezze dei suoi lati. Più spesso limitato alla costruzione di tali cerchi attorno al poligono e quindi fisico raggio cerchi usando strumenti di misura o spazio vettoriale.
Per costruire il cerchio circoscritto di un poligono convesso, vengono costruite bisettrici dei suoi due angoli, il centro del cerchio circoscritto si trova alla loro intersezione. Il raggio sarà la distanza dal punto di intersezione delle bisettrici al vertice di qualsiasi angolo del poligono. Il centro dell'iscrizione all'incrocio delle perpendicolari costruite verso l'interno del poligono dai centri dei lati (queste perpendicolari sono quelle centrali). È sufficiente costruire due di queste perpendicolari. Il raggio del cerchio inscritto è la distanza dal punto di intersezione delle perpendicolari mediane al lato del poligono.
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Presta attenzione
Un cerchio non può essere inscritto in un poligono dato arbitrariamente e può essere descritto un cerchio attorno ad esso.
Consigli utili
Un cerchio può essere inscritto in un quadrangolo se a + c \u003d b + d, dove a, b, c, d sono i lati del quadrangolo in ordine. Un cerchio può essere descritto attorno a un quadrangolo se i suoi angoli opposti si sommano fino a 180 gradi;
Per un triangolo, tali cerchi esistono sempre.
Suggerimento 4: trova l'area del triangolo su tre lati
Trovare l'area di un triangolo è uno dei compiti più comuni della planimetria scolastica. La conoscenza dei tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi speciali e triangoli equilateri, è sufficiente conoscere rispettivamente le lunghezze di due e un lato.
Ne avrai bisogno
- lunghezze laterali dei triangoli, formula dell'airone, teorema del coseno
Manuale di istruzioni
La formula dell'airone per l'area di un triangolo è la seguente: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Se dipingiamo il semi-perimetro p, otteniamo: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.
Possiamo derivare una formula per l'area di un triangolo e da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.
Secondo il teorema del coseno, AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Usando la notazione introdotta, queste possono anche essere nella forma: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Quindi, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)
L'area del triangolo si trova anche con la formula S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso attraverso di esso usando l'identità trigonometrica di base: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Sostituendo il seno nella formula per l'area e dipingendolo, possiamo arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.
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I tre punti che definiscono in modo univoco un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, è possibile calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, incluso limitato dal suo perimetro la zona. Esistono diversi modi per farlo.
Manuale di istruzioni
Usa la formula Airone per calcolare l'area il triangolo. Le dimensioni dei tre lati della figura sono coinvolte in esso, quindi inizia con i calcoli. La lunghezza di ciascun lato dovrebbe essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue sporgenze sugli assi delle coordinate. Se denotiamo le coordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) e C (X₃, Y₃, Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).
Per semplificare i calcoli, inserire la variabile ausiliaria - mezzo perimetro (P). Da quello è metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).
Calcolare la zona (S) secondo la formula di Airone - prendi la radice dal prodotto del mezzo perimetro dalla differenza tra esso e la lunghezza di ciascun lato. In termini generali, può essere scritto come segue: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + (( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).
Per calcoli pratici, è conveniente usare calcolatori specializzati. Si tratta di script situati sui server di alcuni siti che eseguiranno tutti i calcoli necessari in base alle coordinate immesse nel modulo appropriato. L'unico servizio di questo tipo è che non fornisce spiegazioni e giustificazioni per ciascuna fase dei calcoli. Pertanto, se sei interessato solo al risultato finale e non ai calcoli generali, vai, ad esempio, alla pagina http://planetcalc.ru/218/.
Nei campi del modulo, immettere ciascuna coordinata di ciascun vertice il triangolo - sono qui come Ax, Ay, Az, ecc. Se il triangolo è specificato da coordinate bidimensionali, nei campi - Az, Bz e Cz - scrivi zero. Nel campo "Precisione di calcolo", imposta il numero desiderato di posizioni decimali facendo clic con il mouse più o meno. Non è necessario fare clic sul pulsante arancione "Calcola" posizionato sotto il modulo, i calcoli verranno eseguiti senza di essa. Troverai la risposta accanto a "Square il triangolo"- si trova immediatamente sotto il pulsante arancione.
fonti:
- trova l'area di un triangolo con i vertici nei punti
A volte, attorno a un poligono convesso, puoi disegnare in modo tale che i vertici di tutti gli angoli si trovino su di esso. Tale cerchio rispetto al poligono deve essere chiamato descritto. la sua centro non deve trovarsi all'interno del perimetro della figura inscritta, ma utilizzando le proprietà descritte cerchiotrovare questo punto di solito non è molto difficile.
Ne avrai bisogno
- Righello, matita, goniometro o quadrato, bussola.
Manuale di istruzioni
Se il poligono attorno al quale vuoi descrivere il cerchio è disegnato su carta per trovare centroe basta un cerchio con un righello, una matita e un goniometro o un quadrato. Misura la lunghezza di qualsiasi lato della figura, determina il suo centro e metti un punto ausiliario in questo punto del disegno. Usando un quadrato o un goniometro, traccia una linea perpendicolare a questo lato all'interno del poligono fino a quando non si interseca con il lato opposto.
Fai la stessa operazione con qualsiasi altro lato del poligono. L'intersezione di due segmenti costruiti sarà il punto desiderato. Ciò deriva dalla proprietà principale descritta cerchio - lei centro in un poligono convesso da qualsiasi lato si trova sempre l'intersezione delle perpendicolari centrali disegnate su di esse
