Il raggio del cerchio descritto attorno ad esso. Come trovare il raggio di un cerchio

Obiettivi della lezione:

Approfondire le conoscenze sull'argomento "Circonferenza nei triangoli"

Obiettivi della lezione:

Sistematizzare le conoscenze su questo argomento
Preparati a risolvere problemi di maggiore complessità.

Piano delle lezioni:

Introduzione.
La parte teorica
Per il triangolo
La parte pratica

Introduzione.

Il tema "Cerchi inscritti e circoscritti in triangoli" è uno dei più difficili nel corso della geometria. Nelle lezioni impiega pochissimo tempo.

I compiti geometrici di questo argomento sono inclusi nella seconda parte del documento d'esame per il corso di scuola superiore.
Il completamento con successo di questi compiti richiede una solida conoscenza dei fatti geometrici di base e una certa esperienza nella risoluzione di problemi geometrici.

La parte teorica

Il cerchio circoscritto del poligono - un cerchio contenente tutti i vertici del poligono. Il centro è il punto (comunemente indicato da O) dell'intersezione delle perpendicolari centrali ai lati del poligono.

Proprietà.

Il centro del cerchio circoscritto di una n-gon convessa si trova all'intersezione delle perpendicolari centrali ai suoi lati. Di conseguenza: se un cerchio viene descritto vicino alla n-gon, allora tutte le perpendicolari centrali ai suoi lati si intersecano in un punto (il centro del cerchio).
Intorno a qualsiasi poligono regolare, è possibile descrivere un cerchio.

Per il triangolo

Un cerchio viene chiamato circoscritto attorno a un triangolo se passa attraverso tutti i suoi vertici.

Intorno a qualsiasi triangolo puoi anche descrivere un cerchio solo uno. Il suo centro sarà il punto di intersezione delle perpendicolari centrali.

In un triangolo ad angolo acuto, si trova il centro del cerchio circoscritto entro, in ottuso - fuori dal triangolo, per un rettangolare - nel mezzo dell'ipotenusa.

Il raggio del cerchio circoscritto si trova nelle formule:

dove:
a, b, c - lati del triangolo,
α - angolo appoggiato al lato a,
S è l'area del triangolo.

dimostrare:

t.O - il punto di intersezione delle perpendicolari centrali ai lati ΔABC

la prova:

ΔAОC - isoscele, perché OA \u003d OS (come raggi)
ΔAОC - isoscele, OD perpendicolare - mediana e altezza, ad es. T.O si trova al centro perpendicolare al lato dell'altoparlante
È dimostrato in modo simile che T.O giace sulle perpendicolari centrali ai lati di AB e BC

Che era necessario per dimostrare.

Nota.

Una linea retta che passa attraverso la metà di un segmento perpendicolare ad essa è spesso chiamata perpendicolare centrale. A questo proposito, a volte si dice che il centro del cerchio circoscritto attorno al triangolo si trova all'intersezione delle perpendicolari centrali ai lati del triangolo.

Materie\u003e Matematica\u003e Matematica Grado 7

Entry level

Il cerchio circoscritto. Guida visiva (2019)

La prima domanda che può sorgere: descritta - intorno a cosa?

Bene, in realtà, a volte succede intorno a qualcosa, ma parleremo del cerchio circoscritto (a volte dicono anche "di") il triangolo. Che cos'è questo?

E ora, immagina un fatto sorprendente:

Perché questo fatto è sorprendente?

Ma i triangoli sono diversi!

E per tutti c'è un cerchio che passerà attraverso tutte e tre le vette, ovvero il cerchio circoscritto.

Puoi trovare una prova di questo fatto sorprendente nei seguenti livelli della teoria, ma qui notiamo solo che se prendiamo, ad esempio, un quadrangolo, allora non c'è più alcun cerchio che passa attraverso quattro vertici. Diciamo che un parallelogramma è un eccellente quadrangolo, ma non c'è nessun cerchio che passa attraverso tutti e quattro i suoi vertici!

E c'è solo per il rettangolo:

Bene qui e ogni triangolo ha sempre il suo cerchio circoscritto! E anche è sempre abbastanza semplice trovare il centro di questo cerchio.

Sai cos'è metà perpendicolare?

Ora vediamo cosa succede se guardiamo tre perpendicolari al centro del triangolo.

Si scopre (e questo deve solo essere provato, anche se non lo faremo) tutte e tre le perpendicolari si intersecano in un punto. Guarda la figura: tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.

Pensi che il centro del cerchio circoscritto si trovi sempre all'interno del triangolo? Immagina - non sempre!

Ma se ad angolo acuto, quindi - all'interno:

Cosa fare con un triangolo rettangolo?

Sì, con un bonus aggiuntivo:

Dato che stiamo parlando del raggio del cerchio circoscritto: a cosa equivale per un triangolo arbitrario? E c'è una risposta a questa domanda: il cosiddetto.

Vale a dire:

Bene e ovviamente

1. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Sorge quindi la domanda: esiste un cerchio del genere per ogni triangolo? Si scopre che sì, per tutti. Inoltre, formuleremo ora un teorema che risponde anche alla domanda su dove si trova il centro del cerchio circoscritto.

Assomiglia a questo:

Prendiamo il coraggio e dimostriamo questo teorema. Se hai già letto l'argomento "", hai capito perché le tre bisettrici si intersecano in un punto, allora sarà più facile per te, ma se non l'hai letto, non preoccuparti: ora lo capiremo.

La prova sarà effettuata usando il concetto di un luogo geometrico di punti (ТТТ).

Bene, per esempio, molte palle sono un "luogo geometrico" per oggetti rotondi? No, certo, perché ci sono angurie rotonde ... C'è un sacco di gente, "luogo geometrico" che sa parlare? No, perché ci sono bambini che non sanno parlare. Nella vita, in generale, è difficile trovare un esempio di un vero "luogo geometrico di punti". In geometria è più facile. Qui, ad esempio, è proprio quello di cui abbiamo bisogno:

Qui l'insieme è perpendicolare al centro e la proprietà "" deve "essere equidistante (punto) dalle estremità del segmento."

Dai un'occhiata? Quindi, devi assicurarti di due cose:

Qualsiasi punto equidistante dalle estremità del segmento si trova al centro perpendicolare ad esso.

Connettiti con e C. Quindi la linea è la mediana e l'altezza in. Quindi, - isoscele - si sono assicurati che qualsiasi punto che si trova sulla perpendicolare centrale sia ugualmente distante dai punti e.

Prendi il centro e connettiti e. Il risultato è stato una mediana. Ma - secondo la condizione, gli isosceli non solo la mediana, ma anche l'altezza, cioè la metà perpendicolare. Quindi, il punto - giace esattamente sul centro perpendicolare.

Tutto qui! Completamente verificato il fatto che il centro perpendicolare al segmento è il locus geometrico dei punti equidistanti dalle estremità del segmento.

Va tutto bene, ma ci siamo dimenticati del cerchio circoscritto? Niente affatto, ci siamo appena preparati un "trampolino di lancio per un attacco".

Considera il triangolo. Disegna due perpendicolari centrali e, diciamo, ai segmenti e. Si intersecano ad un certo punto che chiameremo.

E ora attenzione!

Il punto si trova sul centro perpendicolare;
il punto si trova sul centro perpendicolare.
E questo significa, e.

Da qui seguono diverse cose contemporaneamente:

In primo luogo, il punto deve trovarsi sul terzo centro perpendicolare al segmento.

Cioè, anche la perpendicolare mediana deve attraversare il punto e tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.

Secondo: se disegniamo un cerchio centrato in un punto e raggio, anche questo cerchio passerà attraverso il punto e attraverso il punto, cioè sarà un cerchio circoscritto. Quindi, esiste già che l'intersezione delle tre perpendicolari centrali è il centro del cerchio circoscritto per qualsiasi triangolo.

E l'ultimo: sull'unicità. È chiaro (quasi) che il punto può essere ottenuto in un modo unico, quindi anche il cerchio è unico. Bene, "quasi" - lasciamo che pensiate. Ciò ha dimostrato il teorema. Puoi urlare "Evviva!".

E se il problema è "trova il raggio del cerchio circoscritto"? O viceversa, viene dato il raggio, ma è necessario trovare qualcos'altro? Esiste una formula che collega il raggio del cerchio circoscritto con altri elementi del triangolo?

Presta attenzione: il teorema del seno lo dice per trovare il raggio del cerchio circoscritto, hai bisogno di un lato (qualsiasi!) e dell'angolo opposto. E questo è tutto!

3. Centro del cerchio - dentro o fuori

E ora la domanda è: può il centro del cerchio circoscritto trovarsi al di fuori del triangolo.
Risposta: anche come puoi. Inoltre, ciò accade sempre in un triangolo ottuso.

E in generale:

DESCRIZIONE DEL CERCHIO. BREVE INFORMAZIONI SUL PRINCIPALE

1. Il cerchio descritto vicino al triangolo

Questo è il cerchio che attraversa tutti e tre i vertici di questo triangolo.

2. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Bene, l'argomento è finito. Se leggi queste righe, sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora entri in questi 5%!

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Trova attività e risolvi!

Un raggio è una linea che collega qualsiasi punto di un cerchio con il suo centro. Questa è una delle caratteristiche più importanti di questa figura, poiché sulla sua base possono essere calcolati tutti gli altri parametri. Se sai come trovare il raggio di un cerchio, puoi calcolarne il diametro, la lunghezza e anche l'area. Nel caso in cui questa figura sia scritta o descritta attorno ad un'altra, è possibile risolvere un'intera serie di attività. Oggi analizzeremo le formule e le caratteristiche di base della loro applicazione.

Valori noti

Se sai come trovare il raggio di un cerchio, che di solito è indicato dalla lettera R, allora può essere calcolato da una caratteristica. Questi valori includono:

circonferenza (C);
diametro (D) - un segmento (o meglio, un accordo) che passa attraverso un punto centrale;
area (S) - spazio limitato da questa figura.

Lungo la circonferenza

Se il valore di C è noto nel problema, allora R \u003d C / (2 * P). Questa formula è un derivato. Se sappiamo qual è la circonferenza, allora non ha più bisogno di essere ricordata. Supponiamo che nel problema C \u003d 20 m. Come trovare il raggio di un cerchio in questo caso? Sostituisci semplicemente il valore noto nella formula sopra. Si noti che in tali problemi è sempre implicita la conoscenza del numero P. Per comodità dei calcoli, prendiamo il suo valore come 3,14. La soluzione in questo caso è la seguente: annotare quali quantità vengono fornite, ricavare la formula ed eseguire i calcoli. Nella risposta scriviamo che il raggio è 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 M. È importante non dimenticare ciò che abbiamo contato e menzionare il nome delle unità.

Di diametro

Sottolineiamo subito che questo è il tipo più semplice di problema che chiede come trovare il raggio di un cerchio. Se un tale esempio ti è apparso nel controllo, allora puoi essere calmo. Non hai nemmeno bisogno di una calcolatrice! Come abbiamo già detto, il diametro è un segmento o, più correttamente, un accordo che passa attraverso il centro. Inoltre, tutti i punti del cerchio sono equidistanti. Pertanto, questo accordo è costituito da due metà. Ognuno di essi è un raggio, che segue dalla sua definizione come un segmento che collega un punto su un cerchio e il suo centro. Se il diametro è noto nel problema, quindi per trovare il raggio devi solo dividere questo valore in due. La formula è la seguente: R \u003d D / 2. Ad esempio, se il diametro nel problema è 10 m, il raggio è 5 metri.

Per area di un cerchio

Questo tipo di attività viene generalmente definita la più difficile. Ciò è dovuto principalmente all'ignoranza della formula. Se sai come trovare il raggio di un cerchio in questo caso, il resto è una questione di tecnologia. Nella calcolatrice, devi solo trovare l'icona di calcolo della radice quadrata in anticipo. L'area di un cerchio è il prodotto del numero P e il raggio moltiplicato per se stesso. La formula è la seguente: S \u003d P * R 2. Isolando il raggio su un lato dell'equazione, è possibile risolvere facilmente il problema. Sarà uguale alla radice quadrata del quoziente di divisione dell'area per il numero P. Se S \u003d 10 m, quindi R \u003d 1,78 metri. Come nelle attività precedenti, è importante non dimenticare le unità utilizzate.

Come trovare il raggio del cerchio circoscritto

Supponiamo che a, b, c siano i lati di un triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio circoscritto attorno ad esso. Per fare ciò, devi prima trovare il semiperimetro del triangolo. Per renderlo più facile da percepire, lo denotiamo con la piccola lettera p. Sarà pari alla metà della somma delle parti. La sua formula: p \u003d (a + b + c) / 2.

Calcoliamo anche il prodotto delle lunghezze dei lati. Per comodità, lo denotiamo con la lettera S. La formula per il raggio del cerchio circoscritto sarà simile a questa: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Considera un'attività di esempio. Abbiamo un cerchio circoscritto attorno a un triangolo. Le lunghezze dei suoi lati sono di 5, 6 e 7 cm. Innanzitutto, calcoliamo il mezzo perimetro. Nel nostro compito, sarà pari a 9 centimetri. Ora calcoliamo il prodotto delle lunghezze dei lati - 210. Sostituiamo i risultati dei calcoli intermedi nella formula e scopriamo il risultato. Il raggio del cerchio circoscritto è di 3,57 centimetri. Scriviamo la risposta, senza dimenticare le unità di misura.

Come trovare il raggio di un cerchio inscritto

Supponiamo che a, b, c siano le lunghezze dei lati di un triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio inscritto in esso. Per prima cosa devi trovare il suo mezzo perimetro. Per facilitare la comprensione, lo denotiamo con la piccola lettera p. La formula per calcolarla è la seguente: p \u003d (a + b + c) / 2. Questo tipo di attività è leggermente più semplice della precedente, quindi non sono necessari più calcoli intermedi.

Il raggio del cerchio inscritto viene calcolato con la seguente formula: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Consideralo con un esempio specifico. Supponiamo che nel problema sia descritto un triangolo con i lati 5, 7 e 10 cm in cui è inciso un cerchio il cui raggio si trova. Innanzitutto troviamo il mezzo perimetro. Nel nostro problema, sarà pari a 11 cm. Ora lo sostituiamo nella formula principale. Il raggio sarà pari a 1,65 centimetri. Annotiamo la risposta e non dimentichiamo le unità di misura corrette.

Cerchio e le sue proprietà

Ogni figura geometrica ha le sue caratteristiche. È dalla loro comprensione che dipende la soluzione corretta ai problemi. Ci sono anche cerchi. Spesso vengono utilizzati per risolvere esempi con figure descritte o inscritte, poiché danno un'idea chiara di tale situazione. Tra questi ci sono:

Una linea può avere zero, uno o due punti di intersezione con un cerchio. Nel primo caso, non si interseca con esso, nel secondo è tangente, nel terzo è secante.
Se prendiamo tre punti che non si trovano su una linea retta, allora solo un cerchio può essere tracciato attraverso di essi.
Una linea retta può essere tangente a due figure contemporaneamente. In questo caso, passerà attraverso il punto che si trova sul segmento che collega i centri dei cerchi. La sua lunghezza è uguale alla somma dei raggi di queste cifre.
È possibile tracciare un numero infinito di cerchi attraverso uno o due punti.

Ne avrai bisogno

Triangolo con parametri preimpostati
compasso
righello
gomito
Tabella di seni e coseni
Concetti matematici
Determinare l'altezza di un triangolo
Formule di seno e coseno
Formula quadrata triangolare

Manuale di istruzioni

Disegna un triangolo con i parametri desiderati. Un triangolo è su tre lati, o su due lati e l'angolo tra loro, o sul lato e due angoli adiacenti ad esso. Designare i vertici del triangolo come A, B e C, gli angoli come α, β e γ, e i lati opposti ai vertici con l'angolo del lato come a, b e c.

Scorri verso tutti i lati del triangolo e trova il punto di intersezione. Segna le altezze come h con gli indici laterali corrispondenti. Trova il punto della loro intersezione e designalo O. Sarà il centro del cerchio. Pertanto, i raggi di questo cerchio saranno i segmenti OA, OB e OS.

Il raggio si trova in due formule. Per uno devi calcolare prima. È uguale a tutti i lati del triangolo per il seno di uno degli angoli divisi per 2.

In questo caso, il raggio del cerchio circoscritto viene calcolato dalla formula

Per l'altro, la lunghezza di uno dei lati e il seno dell'angolo opposto sono sufficienti.

Calcola il raggio e descrivi il cerchio del triangolo.

Consigli utili

Ricorda qual è l'altezza del triangolo. Questa è una perpendicolare disegnata dall'angolo al lato opposto.

L'area del triangolo può anche essere rappresentata come il prodotto del quadrato di uno dei lati e dei seni di due angoli adiacenti divisi per il seno raddoppiato della somma di questi angoli.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

fonti:

tabella con i raggi del cerchio circoscritto
Il raggio del cerchio descritto vicino equilatero

È considerato circoscritto intorno al poligono se tocca tutti i suoi vertici. Ciò che è degno di nota è il centro di un simile cerchio coincide con il punto di intersezione delle perpendicolari disegnate dai punti medi dei lati del poligono. raggio descritta cerchio dipende completamente dal poligono attorno al quale è descritto.

Ne avrai bisogno

Conosci i lati del poligono, la sua area / perimetro.

Manuale di istruzioni

Presta attenzione

Un cerchio può essere descritto solo se è regolare, ad es. tutti i suoi lati sono uguali e tutti i suoi angoli sono uguali.
La tesi secondo cui il centro del cerchio circoscritto attorno al poligono è l'intersezione delle sue perpendicolari centrali è valida per tutti i poligoni regolari.

fonti:

come trovare il raggio di un poligono

Se per il poligono è possibile costruire il cerchio circoscritto, l'area di questo poligono è inferiore all'area del cerchio circoscritto, ma più grande dell'area del cerchio inscritto. Per alcuni poligoni, formule per la ricerca raggio cerchi incisi e cerchiati.

Manuale di istruzioni

Un cerchio inscritto in un poligono che tocca tutti i lati del poligono. Per triangolo raggio cerchi: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, dove p è il mezzo perimetro; a, b, c sono i lati del triangolo. Per la formula è semplificata: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2) e - il lato del triangolo.

Un cerchio circoscritto attorno a un poligono è chiamato un cerchio su cui giacciono tutti i vertici del poligono. Per un triangolo, il raggio si trova nella formula: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), dove p è il mezzo perimetro; a, b, c sono i lati del triangolo. Per quello corretto è più semplice: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Per i poligoni, non è sempre possibile scoprire il rapporto tra i raggi dell'iscrizione e le lunghezze dei suoi lati. Più spesso limitato alla costruzione di tali cerchi attorno al poligono e quindi fisico raggio cerchi usando strumenti di misura o spazio vettoriale.
Per costruire il cerchio circoscritto di un poligono convesso, vengono costruite bisettrici dei suoi due angoli, il centro del cerchio circoscritto si trova alla loro intersezione. Il raggio sarà la distanza dal punto di intersezione delle bisettrici al vertice di qualsiasi angolo del poligono. Il centro dell'iscrizione all'incrocio delle perpendicolari costruite verso l'interno del poligono dai centri dei lati (queste perpendicolari sono quelle centrali). È sufficiente costruire due di queste perpendicolari. Il raggio del cerchio inscritto è la distanza dal punto di intersezione delle perpendicolari mediane al lato del poligono.

Video correlati

Presta attenzione

Un cerchio non può essere inscritto in un poligono dato arbitrariamente e può essere descritto un cerchio attorno ad esso.

Consigli utili

Un cerchio può essere inscritto in un quadrangolo se a + c \u003d b + d, dove a, b, c, d sono i lati del quadrangolo in ordine. Un cerchio può essere descritto attorno a un quadrangolo se i suoi angoli opposti si sommano fino a 180 gradi;

Per un triangolo, tali cerchi esistono sempre.

Suggerimento 4: trova l'area del triangolo su tre lati

Trovare l'area di un triangolo è uno dei compiti più comuni della planimetria scolastica. La conoscenza dei tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi speciali e triangoli equilateri, è sufficiente conoscere rispettivamente le lunghezze di due e un lato.

Ne avrai bisogno

lunghezze laterali dei triangoli, formula dell'airone, teorema del coseno

Manuale di istruzioni

La formula dell'airone per l'area di un triangolo è la seguente: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Se dipingiamo il semi-perimetro p, otteniamo: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Possiamo derivare una formula per l'area di un triangolo e da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.

Secondo il teorema del coseno, AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Usando la notazione introdotta, queste possono anche essere nella forma: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Quindi, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

L'area del triangolo si trova anche con la formula S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso attraverso di esso usando la principale identità trigonometrica: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Sostituendo il seno nella formula per l'area e dipingendolo, possiamo arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.

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I tre punti che definiscono in modo univoco un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, è possibile calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, incluso limitato dal suo perimetro la zona. Esistono diversi modi per farlo.

Manuale di istruzioni

Usa la formula Airone per calcolare l'area il triangolo. Le dimensioni dei tre lati della figura sono coinvolte in esso, quindi inizia con i calcoli. La lunghezza di ciascun lato dovrebbe essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue sporgenze sugli assi delle coordinate. Se denotiamo le coordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) e C (X₃, Y₃, Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Per semplificare i calcoli, inserire la variabile ausiliaria - mezzo perimetro (P). Poiché è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Calcolare la zona (S) secondo la formula di Airone - prendi la radice dal prodotto del mezzo perimetro dalla differenza tra esso e la lunghezza di ciascun lato. In termini generali, può essere scritto come segue: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + (( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

Per calcoli pratici, è conveniente usare calcolatori specializzati. Si tratta di script situati sui server di alcuni siti che eseguiranno tutti i calcoli necessari in base alle coordinate immesse nel modulo appropriato. L'unico servizio di questo tipo è che non fornisce spiegazioni e giustificazioni per ciascuna fase dei calcoli. Pertanto, se sei interessato solo al risultato finale e non ai calcoli generali, vai, ad esempio, alla pagina http://planetcalc.ru/218/.

Nei campi del modulo, immettere ciascuna coordinata di ciascun vertice il triangolo - sono qui come Ax, Ay, Az, ecc. Se il triangolo è specificato da coordinate bidimensionali, nei campi - Az, Bz e Cz - scrivi zero. Nel campo "Precisione di calcolo", imposta il numero desiderato di posizioni decimali facendo clic con il mouse più o meno. Non è necessario fare clic sul pulsante arancione "Calcola" posizionato sotto il modulo, i calcoli verranno eseguiti senza di essa. Troverai la risposta accanto a "Square il triangolo"- si trova immediatamente sotto il pulsante arancione.

fonti:

trova l'area di un triangolo con i vertici nei punti

A volte, attorno a un poligono convesso, puoi disegnare in modo tale che i vertici di tutti gli angoli si trovino su di esso. Tale cerchio rispetto al poligono deve essere chiamato descritto. la sua centro non deve trovarsi all'interno del perimetro della figura inscritta, ma utilizzando le proprietà descritte cerchio, trovare questo punto di solito non è molto difficile.

Ne avrai bisogno

Righello, matita, goniometro o quadrato, bussola.

Manuale di istruzioni

Se il poligono attorno al quale vuoi descrivere il cerchio è disegnato su carta per trovare centroe basta un cerchio con un righello, una matita e un goniometro o un quadrato. Misura la lunghezza di qualsiasi lato della figura, determina il suo centro e metti un punto ausiliario in questo punto del disegno. Usando un quadrato o un goniometro, traccia una linea perpendicolare a questo lato all'interno del poligono fino a quando non si interseca con il lato opposto.

Fai la stessa operazione con qualsiasi altro lato del poligono. L'intersezione dei due segmenti costruiti sarà il punto desiderato. Ciò deriva dalla proprietà principale descritta cerchio - lei centro in un poligono convesso da qualsiasi lato si trova sempre l'intersezione delle perpendicolari centrali disegnate su di esse

Entry level

Il cerchio circoscritto. Guida visiva (2019)

La prima domanda che può sorgere: descritta - intorno a cosa?

Bene, in realtà, a volte succede intorno a qualcosa, ma parleremo del cerchio circoscritto (a volte dicono anche "di") il triangolo. Che cos'è questo?

E ora, immagina un fatto sorprendente:

Perché questo fatto è sorprendente?

Ma i triangoli sono diversi!

E per tutti c'è un cerchio che passerà attraverso tutte e tre le vette, ovvero il cerchio circoscritto.

E c'è solo per il rettangolo:

Bene qui e ogni triangolo ha sempre il suo cerchio circoscritto! E anche è sempre abbastanza semplice trovare il centro di questo cerchio.

Sai cos'è metà perpendicolare?

Ora vediamo cosa succede se guardiamo tre perpendicolari al centro del triangolo.

Pensi che il centro del cerchio circoscritto si trovi sempre all'interno del triangolo? Immagina - non sempre!

Ma se ad angolo acuto, quindi - all'interno:

Cosa fare con un triangolo rettangolo?

Sì, con un bonus aggiuntivo:

Dato che stiamo parlando del raggio del cerchio circoscritto: a cosa equivale per un triangolo arbitrario? E c'è una risposta a questa domanda: il cosiddetto.

Vale a dire:

Bene e ovviamente

1. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Assomiglia a questo:

La prova sarà effettuata usando il concetto di un luogo geometrico di punti (ТТТ).

Qui l'insieme è perpendicolare al centro e la proprietà "" deve "essere equidistante (punto) dalle estremità del segmento."

Dai un'occhiata? Quindi, devi assicurarti di due cose:

Qualsiasi punto equidistante dalle estremità del segmento si trova al centro perpendicolare ad esso.

Tutto qui! Completamente verificato il fatto che il centro perpendicolare al segmento è il locus geometrico dei punti equidistanti dalle estremità del segmento.

Va tutto bene, ma ci siamo dimenticati del cerchio circoscritto? Niente affatto, ci siamo appena preparati un "trampolino di lancio per un attacco".

Considera il triangolo. Disegna due perpendicolari centrali e, diciamo, ai segmenti e. Si intersecano ad un certo punto che chiameremo.

E ora attenzione!

Il punto si trova sul centro perpendicolare;
il punto si trova sul centro perpendicolare.
E questo significa, e.

Da qui seguono diverse cose contemporaneamente:

In primo luogo, il punto deve trovarsi sul terzo centro perpendicolare al segmento.

Cioè, anche la perpendicolare mediana deve attraversare il punto e tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.

Presta attenzione: il teorema del seno lo dice per trovare il raggio del cerchio circoscritto, hai bisogno di un lato (qualsiasi!) e dell'angolo opposto. E questo è tutto!

3. Centro del cerchio - dentro o fuori

E ora la domanda è: può il centro del cerchio circoscritto trovarsi al di fuori del triangolo.
Risposta: anche come puoi. Inoltre, ciò accade sempre in un triangolo ottuso.

E in generale:

DESCRIZIONE DEL CERCHIO. BREVE INFORMAZIONI SUL PRINCIPALE

1. Il cerchio descritto vicino al triangolo

Questo è il cerchio che attraversa tutti e tre i vertici di questo triangolo.

2. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Bene, l'argomento è finito. Se leggi queste righe, sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora entri in questi 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito una teoria su questo argomento. E ancora, questo ... è semplicemente super! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non essere sufficiente ...

Per cosa?

Per il superamento dell'esame, per l'ammissione all'istituto sul bilancio e, PIÙ IMPORTANTE, per la vita.

Non ti convincerò di niente, dì solo una cosa ...

Le persone che ricevono una buona istruzione guadagnano molto di più di quelle che non lo hanno fatto. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (ci sono tali studi). Forse perché stanno aprendo molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so

Ma pensa a te stesso ...

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