L'area del cerchio circoscritto del triangolo. Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo

Un raggio è una linea che collega qualsiasi punto di un cerchio con il suo centro. Questa è una delle caratteristiche più importanti di questa figura, poiché sulla sua base possono essere calcolati tutti gli altri parametri. Se sai come trovare il raggio di un cerchio, puoi calcolarne il diametro, la lunghezza e anche l'area. Nel caso in cui questa figura sia scritta o descritta attorno ad un'altra, è possibile risolvere un'intera serie di attività. Oggi analizzeremo le formule e le caratteristiche di base della loro applicazione.

Valori noti

Se sai come trovare il raggio di un cerchio, che di solito è indicato dalla lettera R, allora può essere calcolato da una caratteristica. Questi valori includono:

• circonferenza (C);
• diametro (D) - un segmento (o meglio, un accordo) che passa attraverso un punto centrale;
• area (S) - spazio limitato da questa figura.

Lungo la circonferenza

Se il valore di C è noto nel problema, allora R \u003d C / (2 * P). Questa formula è un derivato. Se sappiamo qual è la circonferenza, allora non ha più bisogno di essere ricordata. Supponiamo che nel problema C \u003d 20 m. Come trovare il raggio di un cerchio in questo caso? Sostituisci semplicemente il valore noto nella formula sopra. Si noti che in tali problemi è sempre implicita la conoscenza del numero P. Per comodità dei calcoli, prendiamo il suo valore come 3,14. La soluzione in questo caso è la seguente: annotare quali quantità vengono fornite, ricavare la formula ed eseguire i calcoli. Nella risposta scriviamo che il raggio è 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 M. È importante non dimenticare ciò che abbiamo contato e menzionare il nome delle unità.

Di diametro

Sottolineiamo subito che questo è il tipo più semplice di problema che chiede come trovare il raggio di un cerchio. Se un tale esempio ti è apparso nel controllo, allora puoi essere calmo. Non hai nemmeno bisogno di una calcolatrice! Come abbiamo già detto, il diametro è un segmento o, più correttamente, un accordo che passa attraverso il centro. Inoltre, tutti i punti del cerchio sono equidistanti. Pertanto, questo accordo è costituito da due metà. Ognuno di essi è un raggio, che segue dalla sua definizione come un segmento che collega un punto su un cerchio e il suo centro. Se il diametro è noto nel problema, quindi per trovare il raggio devi solo dividere questo valore in due. La formula è la seguente: R \u003d D / 2. Ad esempio, se il diametro nel problema è 10 m, il raggio è 5 metri.

Per area di un cerchio

Questo tipo di attività viene generalmente definita la più difficile. Ciò è dovuto principalmente all'ignoranza della formula. Se sai come trovare il raggio di un cerchio in questo caso, il resto è una questione di tecnologia. Nella calcolatrice, devi solo trovare l'icona di calcolo della radice quadrata in anticipo. L'area di un cerchio è il prodotto del numero P e il raggio moltiplicato per se stesso. La formula è la seguente: S \u003d P * R 2. Isolando il raggio su un lato dell'equazione, è possibile risolvere facilmente il problema. Sarà uguale alla radice quadrata del quoziente di divisione dell'area per il numero P. Se S \u003d 10 m, quindi R \u003d 1,78 metri. Come nelle attività precedenti, è importante non dimenticare le unità utilizzate.

Come trovare il raggio del cerchio circoscritto

Supponiamo che a, b, c siano i lati di un triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio circoscritto attorno ad esso. Per fare ciò, devi prima trovare il semiperimetro del triangolo. Per renderlo più facile da percepire, lo denotiamo con la piccola lettera p. Sarà pari alla metà della somma delle parti. La sua formula: p \u003d (a + b + c) / 2.

Calcoliamo anche il prodotto delle lunghezze dei lati. Per comodità, lo denotiamo con la lettera S. La formula per il raggio del cerchio circoscritto sarà simile a questa: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Considera un'attività di esempio. Abbiamo un cerchio circoscritto attorno a un triangolo. Le lunghezze dei suoi lati sono di 5, 6 e 7 cm. Innanzitutto, calcoliamo il mezzo perimetro. Nel nostro compito, sarà pari a 9 centimetri. Ora calcoliamo il prodotto delle lunghezze dei lati - 210. Sostituiamo i risultati dei calcoli intermedi nella formula e scopriamo il risultato. Il raggio del cerchio circoscritto è di 3,57 centimetri. Scriviamo la risposta, senza dimenticare le unità di misura.

Come trovare il raggio di un cerchio inscritto

Supponiamo che a, b, c siano le lunghezze dei lati di un triangolo. Se conosci i loro valori, puoi trovare il raggio del cerchio inscritto in esso. Per prima cosa devi trovare il suo mezzo perimetro. Per facilitare la comprensione, lo denotiamo con la piccola lettera p. La formula per calcolarla è la seguente: p \u003d (a + b + c) / 2. Questo tipo di attività è leggermente più semplice della precedente, quindi non sono necessari più calcoli intermedi.

Il raggio del cerchio inscritto viene calcolato con la seguente formula: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Consideralo con un esempio specifico. Supponiamo che nel problema sia descritto un triangolo con i lati 5, 7 e 10 cm in cui è inciso un cerchio il cui raggio si trova. Innanzitutto troviamo il mezzo perimetro. Nel nostro problema, sarà pari a 11 cm. Ora lo sostituiamo nella formula principale. Il raggio sarà pari a 1,65 centimetri. Annotiamo la risposta e non dimentichiamo le unità di misura corrette.

Cerchio e le sue proprietà

Ogni figura geometrica ha le sue caratteristiche. È dalla loro comprensione che dipende la soluzione corretta ai problemi. Ci sono anche cerchi. Spesso vengono utilizzati per risolvere esempi con figure descritte o inscritte, poiché danno un'idea chiara di tale situazione. Tra questi ci sono:

• Una linea può avere zero, uno o due punti di intersezione con un cerchio. Nel primo caso, non si interseca con esso, nel secondo è tangente, nel terzo è secante.
• Se prendiamo tre punti che non si trovano su una linea retta, allora solo un cerchio può essere tracciato attraverso di essi.
• Una linea retta può essere tangente a due figure contemporaneamente. In questo caso, passerà attraverso il punto che si trova sul segmento che collega i centri dei cerchi. La sua lunghezza è uguale alla somma dei raggi di queste cifre.
• È possibile tracciare un numero infinito di cerchi attraverso uno o due punti.

Molto spesso, quando si risolvono problemi geometrici, si devono eseguire azioni con figure ausiliarie. Ad esempio, trova il raggio di un cerchio inscritto o circoscritto, ecc. Questo articolo ti mostrerà come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo. O, in altre parole, il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo.

  Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo - formula generale

La formula generale è la seguente: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), dove R è il raggio del cerchio circoscritto, p è il perimetro del triangolo diviso per 2 (mezzo perimetro). a, b, c sono i lati del triangolo.

Trova il raggio del cerchio circoscritto del triangolo se a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.

Pertanto, in base alla formula sopra, calcoliamo il mezzo perimetro:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Sostituisci i valori nella formula e ottieni:
  R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.

Risposta: R \u003d 126 / 16√5

  Come trovare il raggio di un cerchio descritto vicino a un triangolo equilatero

Per trovare il raggio di un cerchio descritto vicino a un triangolo equilatero, esiste una formula piuttosto semplice: R \u003d a / √3, dove a è la grandezza del suo lato.

Esempio: il lato di un triangolo equilatero è 5. Trova il raggio del cerchio circoscritto.

Poiché un triangolo equilatero ha tutti i lati uguali, per risolvere il problema devi solo inserire il suo valore nella formula. Otteniamo: R \u003d 5 / √3.

Risposta: R \u003d 5 / √3.

  Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto vicino a un triangolo rettangolo

La formula è la seguente: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, dove a e b sono le gambe e c è l'ipotenusa. Se aggiungiamo i quadrati delle gambe in un triangolo rettangolo, otteniamo il quadrato dell'ipotenusa. Come si può vedere dalla formula, questa espressione è sotto la radice. Calcolando la radice del quadrato dell'ipotenusa, otteniamo la lunghezza stessa. Moltiplicare l'espressione risultante per 1/2 alla fine ci conduce all'espressione 1/2 × c \u003d c / 2.

Esempio: calcola il raggio del cerchio circoscritto se le gambe del triangolo sono 3 e 4. Sostituisci i valori nella formula. Otteniamo: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2.5.

In questa espressione, 5 è la lunghezza dell'ipotenusa.

Risposta: R \u003d 2,5.

  Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo isoscele

La formula è la seguente: R \u003d a² / √ (4a² - b²), dove a è la lunghezza dell'anca del triangolo e b è la lunghezza della base.

Esempio: calcola il raggio di un cerchio se la sua anca \u003d 7 e la base \u003d 8.

Soluzione: sostituiamo questi valori nella formula e otteniamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. La risposta può essere scritta direttamente in questo modo.

Risposta: R \u003d 49 / √132

  Risorse online per il calcolo del raggio di un cerchio

Puoi confonderti molto facilmente in tutte queste formule. Pertanto, se necessario, è possibile utilizzare calcolatori online che ti aiuteranno a risolvere i problemi di ricerca del raggio. Il principio di funzionamento di tali mini-programmi è molto semplice. Sostituisci il valore del lato nel campo appropriato e ottieni una risposta pronta. È possibile selezionare diverse opzioni per arrotondare la risposta: decimale, centesimi, millesimi, ecc.

Nell'ingegneria moderna, vengono utilizzati molti elementi e parti di ricambio, che hanno cerchi sia esterni che interni nella loro struttura. Gli esempi più eclatanti sono l'alloggiamento del cuscinetto, le parti del motore, i gruppi mozzi e molto altro. Nella loro fabbricazione, vengono utilizzati non solo dispositivi ad alta tecnologia, ma anche conoscenza della geometria, in particolare informazioni sulle circonferenze di un triangolo. Ci familiarizzeremo con conoscenze simili in modo più dettagliato di seguito.

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Quale cerchio è iscritto e quale è descritto

Prima di tutto, ricorda che il cerchio si chiama infinito molti punti alla stessa distanza dal centro. Se è consentito costruire un cerchio all'interno del poligono, che con ciascun lato avrà solo un punto di intersezione comune, verrà chiamato inscritto. Un cerchio circoscritto (non un cerchio, questi sono concetti diversi) è un luogo geometrico di punti in cui solo un vertice del poligono avrà punti comuni per una figura costruita con un dato poligono. Conosceremo questi due concetti in un esempio più illustrativo (vedi Figura 1).

Figura 1. Cerchi inscritti e circoscritti di un triangolo

Sull'immagine sono costruite due figure di diametro grande e piccolo, i cui centri sono G e I. Il cerchio di un valore più grande è chiamato area descritta Δ ABC, e quello piccolo - al contrario, inscritto in Δ ABC.

Per descrivere i dintorni attorno a un triangolo,   traccia una linea retta perpendicolare attraverso il centro di ciascun lato(cioè con un angolo di 90 °) - questo è il punto di intersezione, gioca un ruolo chiave. Che sarà il centro del cerchio circoscritto. Prima di trovare un cerchio, il suo centro in un triangolo, devi costruire per ogni angolo, quindi selezionare il punto di intersezione delle linee. A sua volta, sarà il centro del quartiere inscritto e il suo raggio in qualsiasi condizione sarà perpendicolare a entrambi i lati.

Alla domanda: "Quanti cerchi inscritti possono esserci per un poligono con tre?" Rispondiamo subito che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi triangolo, e solo uno. Perché esiste un solo punto di intersezione di tutte le bisettrici e un punto di intersezione di perpendicolari provenienti dai punti medi dei lati.

Proprietà del cerchio a cui appartengono i vertici del triangolo

Il cerchio descritto, che dipende dalle lunghezze dei lati alla base, ha le sue proprietà. Indichiamo le proprietà del cerchio circoscritto:

Per comprendere più chiaramente il principio del cerchio circoscritto, risolveremo un semplice problema. Supponiamo che sia dato un triangolo Δ ABC, i cui lati sono 10, 15 e 8,5 cm Il raggio del cerchio circoscritto intorno al triangolo (FB) è 7,9 cm Trova la misura in gradi di ciascun angolo e l'area del triangolo attraverso di essi.

Figura 2. Cerca il raggio del cerchio attraverso il rapporto tra i lati e il seno degli angoli

Soluzione: in base al teorema sinusoidale precedentemente citato, troviamo il valore sinusoidale di ciascun angolo separatamente. Per condizione, è noto che il lato AB è di 10 cm. Calcoliamo il valore di C:

Usando i valori della tabella Bradis, scopriamo che la misura in gradi dell'angolo C è 39 °. Usando lo stesso metodo, troviamo le rimanenti misure degli angoli:

Come facciamo a sapere che CAB \u003d 33 ° e ABC \u003d 108 °. Ora, conoscendo i valori dei seni di ciascuno degli angoli e del raggio, troviamo l'area, sostituendo i valori trovati:

Risposta: l'area del triangolo è di 40,31 cm² e gli angoli sono rispettivamente di 33 °, 108 ° e 39 °.

! importanteRisolvendo i problemi di un tale piano, sarà utile avere sempre le tabelle Bradis o l'applicazione corrispondente sullo smartphone, poiché manualmente il processo può trascinarsi per molto tempo. Inoltre, per risparmiare tempo, non è necessario costruire tutti e tre i punti medi della perpendicolare o delle tre bisettrici. Qualsiasi terzo di essi si intersecherà sempre all'intersezione dei primi due. E per la costruzione ortodossa, di solito finiscono il terzo. Forse questo è sbagliato nella domanda dell'algoritmo, ma sull'esame o su altri esami fa risparmiare molto tempo.

Calcolo del raggio del cerchio inscritto

Tutti i punti del cerchio sono ugualmente distanti dal suo centro alla stessa distanza. La lunghezza di questo segmento (da e a) è chiamata raggio. A seconda del tipo di ambiente che abbiamo, si distinguono due tipi: interno ed esterno. Ciascuno di essi viene calcolato secondo la propria formula ed è direttamente correlato al calcolo di parametri quali:

• zona;
• misura in gradi di ciascun angolo;
• lunghezze laterali e perimetro.

Figura 3. Posizione del cerchio inscritto all'interno del triangolo

È possibile calcolare la lunghezza della distanza dal centro al punto di contatto su entrambi i lati nei seguenti modi: h lato, lati e angoli   (per un triangolo isoscele).

Usando un mezzo perimetro

Un mezzo perimetro è chiamato metà della somma delle lunghezze di tutti i lati. Questo metodo è considerato il più popolare e universale, perché indipendentemente dal tipo di triangolo dato dalla condizione, è adatto a tutti. La procedura di calcolo è la seguente:

Se indicato "corretto"

Uno dei piccoli vantaggi del triangolo "perfetto" è quello i cerchi inscritti e circoscritti hanno un centro in un punto. Questo è utile quando si costruiscono forme. Tuttavia, nell'80% dei casi, la risposta è brutta. Ciò significa che molto raramente il raggio del quartiere inscritto sarà intero, piuttosto il contrario. Per il calcolo semplificato, viene utilizzata la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo:

Se i fianchi sono della stessa lunghezza

Uno dei sottotipi di compiti per lo stato. gli esami troveranno il raggio del cerchio inscritto del triangolo, i cui due lati sono uguali tra loro e il terzo no. In questo caso, consigliamo di utilizzare questo algoritmo, che consentirà di risparmiare tangibilmente tempo nel trovare il diametro dell'area inscritta. Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo con uguale "lato" è calcolato dalla formula:

Dimostreremo un'applicazione più visiva di queste formule nel seguente problema. Cerchiamo di avere un triangolo (Δ HJI), in cui il cerchio è inscritto nel punto K. La lunghezza del lato è HJ \u003d 16 cm, JI \u003d 9,5 cm e il lato di HI è 19 cm (Figura 4). Trova il raggio del quartiere inscritto, conoscendo i lati.

Figura 4. Cerca il valore del raggio del cerchio inscritto

Soluzione: per trovare il raggio dell'area iscritta, troviamo il mezzo perimetro:

Da qui, conoscendo il meccanismo di calcolo, scopriamo il seguente valore. Per fare questo, hai bisogno delle lunghezze di ciascun lato (dato dalla condizione), così come la metà del perimetro, risulta:

Ne consegue che il raggio desiderato è di 3,63 cm In base alla condizione, tutti i lati sono uguali, quindi il raggio desiderato sarà uguale a:

A condizione che il poligono sia equilatero (ad esempio, i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), il diametro del cerchio interno centrato nel punto K sarà uguale a:

Nella condizione del problema, è possibile indicare un triangolo con un angolo di 90 °, nel qual caso non è necessario memorizzare la formula. L'ipotenusa del triangolo sarà uguale al diametro. Più chiaramente sembra così:

! importanteSe il compito è cercare il raggio interno, non è consigliabile calcolare i valori dei seni e dei coseni degli angoli, il cui valore della tabella non è noto esattamente. Se in caso contrario non è possibile conoscerne la lunghezza, non tentare di "estrarre" il valore da sotto la radice. Nel 40% dei compiti, il valore risultante sarà trascendentale (cioè infinito) e la commissione potrebbe non contare la risposta (anche se è corretta) a causa della sua inesattezza o presentazione errata. Prestare particolare attenzione a come la formula per il raggio del cerchio circoscritto di un triangolo può essere modificata in base ai dati proposti. Tali "spazi vuoti" consentono di "vedere" lo scenario per risolvere il problema in anticipo e scegliere la soluzione più economica.

Raggio del cerchio interno e dell'area

Per calcolare l'area di un triangolo inscritto in un cerchio, solo il raggio e le lunghezze dei lati del poligono:

Se il valore del raggio non viene fornito direttamente nella condizione del problema, ma solo l'area, la formula dell'area specificata viene trasformata nel seguente:

Considera l'azione dell'ultima formula su un esempio più specifico. Supponiamo che sia dato un triangolo in cui sono incisi i dintorni. L'area del quartiere è di 4π, mentre i lati sono rispettivamente di 4, 5 e 6 cm. Calcoliamo l'area del poligono dato calcolando il mezzo perimetro.

Usando l'algoritmo sopra, calcoliamo l'area del triangolo attraverso il raggio del cerchio inscritto:

A causa del fatto che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi triangolo, il numero di variazioni nel trovare l'area aumenta in modo significativo. ie la ricerca dell'area di un triangolo include la conoscenza obbligatoria della lunghezza di ciascun lato, nonché il valore del raggio.

Triangolo inscritto in un cerchio Geometria di grado 7.

Triangoli rettangolari incisi in un cerchio

conclusione

Da queste formule, possiamo verificare che la complessità di qualsiasi attività utilizzando cerchi inscritti e cerchiati consiste solo in azioni aggiuntive per trovare i valori richiesti. Compiti di questo tipo richiedono solo una conoscenza approfondita dell'essenza delle formule, nonché la razionalità della loro applicazione. Dalla pratica della soluzione, notiamo che in futuro il centro del cerchio circoscritto apparirà anche in ulteriori argomenti di geometria, quindi non dovrebbe essere avviato. In caso contrario, la decisione potrebbe essere ritardata utilizzando mosse non necessarie e conclusioni logiche.

Entry level

Il cerchio circoscritto. Guida visiva (2019)

La prima domanda che può sorgere: descritta - intorno a cosa?

Bene, in realtà, a volte succede intorno a qualcosa, ma parleremo del cerchio circoscritto (a volte dicono anche "di") il triangolo. Che cos'è questo?

E ora, immagina un fatto sorprendente:

Perché questo fatto è sorprendente?

Ma i triangoli sono diversi!

E per tutti c'è un cerchio che passerà attraverso tutte e tre le vette, ovvero il cerchio circoscritto.

Puoi trovare una prova di questo fatto sorprendente nei seguenti livelli della teoria, ma qui notiamo solo che se prendiamo, ad esempio, un quadrangolo, allora non c'è più alcun cerchio che passa attraverso quattro vertici. Diciamo che un parallelogramma è un eccellente quadrangolo, ma non c'è nessun cerchio che passa attraverso tutti e quattro i suoi vertici!

E c'è solo per il rettangolo:

Bene qui e ogni triangolo ha sempre il suo cerchio circoscritto!   E anche è sempre abbastanza semplice trovare il centro di questo cerchio.

Sai cos'è metà perpendicolare?

Ora vediamo cosa succede se guardiamo tre perpendicolari al centro del triangolo.

Si scopre (e questo deve solo essere provato, anche se non lo faremo)   tutte e tre le perpendicolari si intersecano in un punto.   Guarda la figura: tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.

Pensi che il centro del cerchio circoscritto si trovi sempre all'interno del triangolo? Immagina - non sempre!

Ma se   ad angolo acuto, quindi - all'interno:

Cosa fare con un triangolo rettangolo?

Sì, con un bonus aggiuntivo:

Dato che stiamo parlando del raggio del cerchio circoscritto: a cosa equivale per un triangolo arbitrario? E c'è una risposta a questa domanda: il cosiddetto.

Vale a dire:

Bene e ovviamente

1. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Sorge quindi la domanda: esiste un cerchio del genere per ogni triangolo? Si scopre che sì, per tutti. Inoltre, formuleremo ora un teorema che risponde anche alla domanda su dove si trova il centro del cerchio circoscritto.

Assomiglia a questo:

Prendiamo il coraggio e dimostriamo questo teorema. Se hai già letto l'argomento "", hai capito perché le tre bisettrici si intersecano in un punto, allora sarà più facile per te, ma se non l'hai letto, non preoccuparti: ora lo capiremo.

La prova sarà effettuata usando il concetto di un luogo geometrico di punti (ТТТ).

Bene, per esempio, molte palle sono un "luogo geometrico" per oggetti rotondi? No, certo, perché ci sono angurie rotonde ... C'è un sacco di gente, "luogo geometrico" che sa parlare? No, perché ci sono bambini che non sanno parlare. Nella vita, in generale, è difficile trovare un esempio di un vero "luogo geometrico di punti". In geometria è più facile. Qui, ad esempio, è proprio quello di cui abbiamo bisogno:

Qui l'insieme è perpendicolare al centro e la proprietà "" deve "essere equidistante (punto) dalle estremità del segmento."

Dai un'occhiata? Quindi, devi assicurarti di due cose:

1. Qualsiasi punto equidistante dalle estremità del segmento si trova al centro perpendicolare ad esso.

Connettiti con e C. Quindi la linea è la mediana e l'altezza in. Quindi, - isoscele - si sono assicurati che qualsiasi punto che si trova sulla perpendicolare centrale sia ugualmente distante dai punti e.

Prendi il centro e connettiti e. Il risultato è stato una mediana. Ma - secondo la condizione, gli isosceli non solo la mediana, ma anche l'altezza, cioè la metà perpendicolare. Quindi, il punto - giace esattamente sul centro perpendicolare.

Tutto! Completamente verificato il fatto che il centro perpendicolare al segmento è il locus geometrico dei punti equidistanti dalle estremità del segmento.

Va tutto bene, ma ci siamo dimenticati del cerchio circoscritto? Niente affatto, ci siamo appena preparati un "trampolino di lancio per un attacco".

Considera il triangolo. Disegna due perpendicolari centrali e, diciamo, ai segmenti e. Si intersecano ad un certo punto che chiameremo.

E ora attenzione!

Il punto si trova sul centro perpendicolare;
  il punto si trova sul centro perpendicolare.
  E questo significa, e.

Da qui seguono diverse cose contemporaneamente:

In primo luogo, il punto deve trovarsi sul terzo centro perpendicolare al segmento.

Cioè, anche la perpendicolare mediana deve attraversare il punto e tutte e tre le perpendicolari centrali si intersecano in un punto.

Secondo: se disegniamo un cerchio centrato in un punto e raggio, anche questo cerchio passerà attraverso il punto e attraverso il punto, cioè sarà un cerchio circoscritto. Quindi, esiste già che l'intersezione delle tre perpendicolari centrali è il centro del cerchio circoscritto per qualsiasi triangolo.

E l'ultimo: sull'unicità. È chiaro (quasi) che il punto può essere ottenuto in un modo unico, quindi anche il cerchio è unico. Bene, "quasi" - lasciamo che pensiate. Ciò ha dimostrato il teorema. Puoi urlare "Evviva!".

E se il problema è "trova il raggio del cerchio circoscritto"? O viceversa, viene dato il raggio, ma devi trovare qualcos'altro? Esiste una formula che collega il raggio del cerchio circoscritto con altri elementi del triangolo?

Presta attenzione: il teorema del seno lo dice per trovare il raggio del cerchio circoscritto, hai bisogno di un lato (qualsiasi!) e dell'angolo opposto. E questo è tutto!

3. Centro del cerchio - dentro o fuori

E ora la domanda è: il centro del cerchio circoscritto può trovarsi al di fuori del triangolo?
  Risposta: anche come puoi. Inoltre, ciò accade sempre in un triangolo ottuso.

E in generale:

DESCRIZIONE DEL CERCHIO. BREVE SULLA PRINCIPALE

1. Il cerchio descritto vicino al triangolo

Questo è il cerchio che attraversa tutti e tre i vertici di questo triangolo.

2. L'esistenza e il centro del cerchio circoscritto

Bene, l'argomento è finito. Se leggi queste righe, allora sei molto figo.

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Definizione 2

Un poligono che soddisfa la condizione della Definizione 1 viene chiamato descritto attorno a un cerchio.

Figura 1. Cerchio inscritto

  Teorema 1 (su un cerchio inscritto in un triangolo)

Teorema 1

In qualsiasi triangolo, puoi inserire un cerchio e, inoltre, solo uno.

Proof.

Considera il triangolo $ ABC $. Disegniamo bisettrici che si intersecano nel punto $ O $ e disegniamo perpendicolari da esso ai lati del triangolo (Fig. 2)

Figura 2. Illustrazione del teorema 1

Esistenza: disegna un cerchio centrato su $ O $ e raggio $ OK. \\ $ Poiché il punto $ O $ si trova su tre bisettrici, è equidistante dai lati del triangolo $ ABC $. Cioè, $ OM \u003d OK \u003d OL $. Pertanto, il cerchio costruito passa anche attraverso i punti $ M \\ e \\ L $. Poiché $ OM, OK \\ e \\ OL $ sono perpendicolari ai lati del triangolo, dalla tangente al teorema del cerchio, il cerchio costruito è tangente a tutti e tre i lati del triangolo. Pertanto, a causa dell'arbitrarietà del triangolo, un cerchio può essere inscritto in qualsiasi triangolo.

Unicità: Supponiamo che nel triangolo $ ABC $ un altro cerchio possa essere inscritto con il centro nel punto $ O "$. Il suo centro è equidistante dai lati del triangolo, e quindi coincide con il punto $ O $ e ha un raggio uguale alla lunghezza di $ OK $ Ma allora questo cerchio coinciderà con il primo.

Il teorema è dimostrato.

Corollario 1:   Il centro del cerchio inscritto nel triangolo si trova all'intersezione delle sue bisettrici.

Ecco alcuni altri fatti relativi al concetto di un cerchio inscritto:

Non tutti i quadrangoli possono adattarsi a un cerchio.

In ogni quadrilatero descritto, le somme dei lati opposti sono uguali.

Se le somme dei lati opposti del quadrangolo convesso sono uguali, allora un cerchio può essere inscritto in esso.

Definizione 3

Se tutti i vertici di un poligono si trovano su un cerchio, il cerchio viene chiamato circoscritto attorno al poligono (Fig. 3).

Definizione 4

Un poligono che soddisfa la condizione di Definizione 2 viene chiamato inscritto in un cerchio.

Figura 3. Il cerchio circoscritto

  Teorema 2 (su un cerchio circoscritto attorno a un triangolo)

Teorema 2

Vicino a qualsiasi triangolo, puoi descrivere un cerchio e, inoltre, solo uno.

Proof.

Considera il triangolo $ ABC $. Disegniamo in esso le perpendicolari centrali che si intersecano nel punto $ O $ e lo colleghiamo ai vertici del triangolo (Fig. 4)

Figura 4. Illustrazione del teorema 2

Esistenza: costruisci un cerchio centrato su $ O $ e raggio $ OC $. Il punto $ O $ è equidistante dai vertici del triangolo, ovvero $ OA \u003d OB \u003d OC $. Di conseguenza, il cerchio costruito passa attraverso tutti i vertici del triangolo dato, il che significa che è circoscritto attorno a questo triangolo.

Unicità: Supponiamo che intorno al triangolo $ ABC $ un altro cerchio possa essere descritto con il centro nel punto $ O "$. Il suo centro è equidistante dai vertici del triangolo e, quindi, coincide con il punto $ O $ e ha un raggio uguale alla lunghezza di $ OC. $ Ma allora questo cerchio coinciderà con il primo.

Il teorema è dimostrato.

Corollario 1:   Il centro del cerchio circoscritto attorno al triangolo coincide con il punto di intersezione delle sue perpendicolari centrali.

Ecco alcuni fatti relativi al concetto di un cerchio circoscritto:

Intorno a un quadrangolo non è sempre possibile descrivere un cerchio.

In ogni quadrilatero inscritto, la somma degli angoli opposti è $ (180) ^ 0 $.

Se la somma degli angoli opposti del quadrangolo è $ (180) ^ 0 $, allora un cerchio può essere descritto attorno ad esso.

  Un esempio di un problema sui concetti di un cerchio inscritto e circoscritto

Esempio 1

In un triangolo isoscele, la base è di 8 cm, il lato è di 5 cm, trova il raggio del cerchio inscritto.

Decisione.

Considera il triangolo $ ABC $. Per Corollario 1, sappiamo che il centro del cerchio inscritto si trova all'intersezione delle bisettrici. Disegniamo le bisettrici $ AK $ e $ BM $, che si intersecano nel punto $ O $. Disegna la perpendicolare $ OH $ dal punto $ O $ al lato $ BC $. Facciamo un disegno:

Figura 5

Poiché il triangolo è isoscele, $ BM $ è sia la mediana che l'altezza. Con il teorema di Pitagora $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2- \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d $ 3. $ OM \u003d OH \u003d r $ è il raggio desiderato del cerchio inscritto. Poiché $ MC $ e $ CH $ sono segmenti di tangenti che si intersecano, dal teorema sulle tangenti che si intersecano, abbiamo $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ cm $. Pertanto, $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ cm $. $ BO \u003d 3-r $. Dal triangolo $ OHB $, dal teorema di Pitagora, otteniamo:

  \\ [(((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\

La risposta è:   $ \\ frac (4) (3) $.