Come trovare il volume di una palla accedi con. Volume della palla
La palla e la sfera sono principalmente figure geometriche e se la palla è un corpo geometrico, allora la sfera è la superficie della palla. Queste cifre erano ancora interessate a molte migliaia di anni fa aC.
Successivamente, quando è stato scoperto che la Terra è una sfera e il cielo è una sfera celeste, si è sviluppata una nuova affascinante direzione della geometria: la geometria su una sfera o la geometria sferica. Per parlare delle dimensioni e del volume della palla, devi prima dargli una definizione.
palla
Una sfera di raggio R centrata nel punto O nella geometria è un corpo creato da tutti i punti nello spazio che hanno una proprietà comune. Questi punti si trovano a una distanza non superiore al raggio della palla, ovvero riempiono l'intero spazio meno del raggio della palla in tutte le direzioni dal suo centro. Se consideriamo solo quei punti equidistanti dal centro della palla, prenderemo in considerazione la sua superficie o il guscio della palla.
Come posso ottenere una palla? Possiamo ritagliare un cerchio dalla carta e iniziare a ruotarlo attorno al suo diametro. Cioè, il diametro del cerchio sarà l'asse di rotazione. Una figura istruita: ci sarà una palla. Pertanto, la palla è anche chiamata il corpo della rivoluzione. Perché può essere formato ruotando una figura piatta - un cerchio.
Prendi un aereo e tagliaci la palla. Proprio come abbiamo tagliato un'arancia con un coltello. Il pezzo che abbiamo tagliato fuori dalla palla si chiama segmento sferico.
Nell'antica Grecia, sapevano non solo lavorare con la palla e la sfera, come con le figure geometriche, ad esempio, per usarle nella costruzione, ma erano anche in grado di calcolare la superficie della palla e il volume della palla.
La sfera viene altrimenti chiamata la superficie della palla. Una sfera non è un corpo - è una superficie di un corpo di rivoluzione. Tuttavia, poiché sia \u200b\u200bla Terra che molti corpi hanno una forma sferica, ad esempio una goccia d'acqua, lo studio delle relazioni geometriche all'interno della sfera è diventato molto diffuso.
Ad esempio, se colleghiamo due punti di una sfera l'uno con l'altro con una linea retta, allora questa linea retta sarà chiamata un accordo e se questo accordo passa attraverso il centro della sfera, che coincide con il centro della sfera, l'accordo verrà chiamato il diametro della sfera.
Se disegniamo una linea retta che tocca la sfera in un solo punto, allora questa linea verrà chiamata tangente. Inoltre, questa tangente alla sfera in questo punto sarà perpendicolare al raggio della sfera attratto dal punto di tangenza.
Se continuiamo l'accordo su una linea retta nell'una e nell'altra direzione dalla sfera, questo accordo diventerà chiamato secante. Oppure possiamo dire diversamente: secante per una sfera contiene il suo accordo.
Volume della palla
La formula per calcolare il volume della palla è:
dove R è il raggio della palla.
Se è necessario trovare il volume di un segmento sferico, utilizzare la formula:
V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h è l'altezza del segmento sferico.
La superficie di una palla o sfera
Per calcolare l'area di una sfera o l'area superficiale di una palla (questa è la stessa cosa):
dove R è il raggio della sfera.
Archimede era molto affezionato alla palla e alla sfera, ha persino chiesto di lasciare un disegno sulla sua tomba su cui è incisa la palla nel cilindro. "Archimede credeva che il volume della palla e la sua superficie fossero pari a due terzi del volume e della superficie del cilindro in cui è inscritta la palla."
dove V è il desiderato volume della palla, π - 3,14, R è il raggio.
Pertanto, con un raggio di 10 centimetri volume della palla è uguale a:
| V | 3,14 × 10 3 | = 4186,7 | centimetri cubi. |
In geometria palla è definito come un certo corpo, che è un insieme di tutti i punti dello spazio che si trovano dal centro a una distanza non superiore a un determinato, chiamato raggio della palla. La superficie della palla è chiamata sfera ed è formata ruotando un semicerchio attorno al suo diametro, che rimane immobile.
Questo corpo geometrico viene spesso incontrato da progettisti e architetti, che spesso devono farlo calcolare il volume della palla. Ad esempio, nel design della sospensione anteriore della stragrande maggioranza delle auto moderne, vengono utilizzati i cosiddetti cuscinetti a sfera, in cui, come si può immaginare dal nome stesso, le sfere sono uno degli elementi principali. Con il loro aiuto, i mozzi delle ruote sterzanti e le leve sono collegati. Da quanto sarà giusto calcolato il loro volume, per molti aspetti, dipende non solo dalla durata di questi nodi e dalla correttezza del loro lavoro, ma anche dalla sicurezza del traffico.
Nella tecnologia, tali componenti come i cuscinetti a sfera sono ampiamente utilizzati, con l'aiuto dei quali gli assi sono fissati nelle parti fisse di varie unità e assiemi e la loro rotazione è garantita. Va notato che quando vengono calcolati, i progettisti hanno bisogno trova il volume della palla (o meglio, palline poste in una gabbia) con un alto grado di precisione. Per quanto riguarda la produzione di sfere metalliche per cuscinetti, sono realizzate in filo metallico mediante un processo complesso, che comprende le fasi di stampaggio, tempra, rettifica grezza, rettifica fine e rettifica. A proposito, quelle palle che sono incluse nel design di tutte le penne a sfera sono realizzate usando esattamente la stessa tecnologia.
Abbastanza spesso, le palle sono anche usate in architettura e lì sono spesso elementi decorativi di edifici e altre strutture. Nella maggior parte dei casi, sono fatti di granito, che spesso richiede molto lavoro manuale. Naturalmente, non è necessario osservare una precisione così elevata nella fabbricazione di queste sfere come quelle utilizzate in varie unità e meccanismi.
Senza palle, un gioco così interessante e popolare come il biliardo è impensabile. Per la loro produzione vengono utilizzati vari materiali (osso, pietra, metallo, plastica) e vari processi tecnologici. Uno dei requisiti principali per le palle da biliardo è la loro elevata resistenza e capacità di sopportare elevati carichi meccanici (principalmente shock). Inoltre, la loro superficie dovrebbe essere una sfera esatta al fine di garantire una superficie liscia e uniforme sulla superficie dei tavoli da biliardo.
Infine, non un singolo albero di Natale o Capodanno può fare a meno di corpi geometrici come le palle. Nella maggior parte dei casi, queste decorazioni sono realizzate in vetro con il metodo di soffiaggio e nella loro fabbricazione viene prestata la massima attenzione non all'accuratezza dimensionale, ma all'estetica dei prodotti. Il processo tecnologico è quasi completamente automatizzato e manualmente le palle di Natale vengono imballate solo.
Le figure sferiche ci circondano quasi ovunque, tuttavia, siamo così abituati a loro che non ci riserviamo alcuna attenzione. Nel frattempo, succede che dobbiamo conoscere il volume di uno di essi. Ma tutti sanno come trovare volume della palla ? Per approfondire i ricordi della scuola al fine di ripristinare il corso della geometria nella testa? Non complicare il tuo compito. Abilitiamo meglio la logica e affrontiamo questo problema.
istruzioni:
- Cominciamo con un esempio quando non abbiamo bisogno della formula per il volume della palla - immagina di avere l'opportunità di fare calcoli modo pratico . Uno dei modi più semplici per farlo è seguire le orme di Archimede, determinando il volume non della palla stessa, ma acqua spostata da lui . Per fare questo, metterlo in un contenitore di dimensioni adeguate, dopo aver notato il livello dell'acqua. Dopo aver immerso l'intera sfera nel liquido, eseguire misurazioni ripetute. Ora resta da trovare la differenza tra i numeri risultanti. Naturalmente, è meglio posizionare la palla in un contenitore con divisioni, ad esempio, in misurino - se le dimensioni lo consentono. Quindi, otterremo immediatamente la caratteristica desiderata - di solito le divisioni sono mostrate in millilitri. Altrimenti, basta convertire il numero in metri cubi.
- Se sei sicuro del materiale di cui è fatta la sfera, prova a determinarla densità - Queste informazioni saranno probabilmente reperibili sulla vastità della rete mondiale. In questa situazione, devi solo pesare questa figura e quindi utilizzare la semplice formula del volume della palla, dividendo il peso dell'oggetto per la sua densità: V \u003d m / p.
- È possibile che le opzioni precedenti non siano disponibili. Non disperare: se riesci a scoprire il raggio della palla, ci verrà in aiuto la formula giusta, più complessa della precedente, ma accessibile. Dobbiamo moltiplicare il numero Pi per 4, quindi moltiplicare il numero risultante per il valore del raggio nel cubo. Di conseguenza, dividi tutto per 3 e ottieni il volume della palla: V \u003d 4 * π * r³ / 3. Facciamo un semplice esempio: il raggio di una sfera è 30 cm., quindi il volume della figura sarà: 4 * 3.14 * 30³ / 3 \u003d 11340cm³ ≈ 0.113m³.
- Succede anche che è molto più facile da trovare diametro di una figura del suo raggio. Questa opzione è ancora migliore: non è possibile effettuare calcoli così complessi, la formula diventa molto più semplice. Dobbiamo solo moltiplicare il diametro nel cubo per il numero Pi e quindi dividere il numero risultante per sei: V \u003d π * d³ / 6. Ad esempio, hai imparato che il diametro della tua sfera è di 25 cm, quindi il suo volume sarà uguale a: 3.14 * 25³ / 6 \u003d 8177.08333cm³ ≈ 0.818m³.
Prima di iniziare a studiare il concetto di palla, qual è il volume della palla, per considerare la formula per il calcolo dei suoi parametri, è necessario ricordare il concetto di cerchio, studiato in precedenza nel corso della geometria. Dopotutto, la maggior parte delle azioni nello spazio tridimensionale sono simili o seguono da una geometria bidimensionale, regolata per l'aspetto di una terza coordinata e un terzo grado.
Che cos'è un cerchio?
Un cerchio è una figura su un piano cartesiano (mostrato in Figura 1); molto spesso, la definizione suona come "la posizione geometrica di tutti i punti sul piano, la distanza da cui a un determinato punto (centro) non supera un certo numero non negativo chiamato raggio".
Come puoi vedere dalla figura, il punto O è il centro della figura e l'insieme di assolutamente tutti i punti che riempiono il cerchio, ad esempio A, B, C, K, E, non si trovano oltre il raggio specificato (non andare oltre il cerchio mostrato in Fig. 2).
Se il raggio è zero, il cerchio si trasforma in un punto.
Comprensione dei problemi
Gli studenti spesso confondono questi concetti. Facile da ricordare disegnando un'analogia. Il cerchio che i bambini ruotano nelle lezioni di educazione fisica è un cerchio. Comprendendo questo o ricordando che le prime lettere di entrambe le parole sono “O”, i bambini capiranno mnemonicamente la differenza.
L'introduzione del concetto di "palla"
Una palla è un corpo (Fig. 3) delimitato da una determinata superficie sferica. Che tipo di "superficie sferica" \u200b\u200brisulterà chiaro dalla sua definizione: questa è la posizione geometrica di tutti i punti sulla superficie, la distanza da cui a un determinato punto (centro) non supera un certo numero non negativo, chiamato raggio. Come puoi vedere, i concetti di un cerchio e una superficie sferica sono simili, solo gli spazi in cui si trovano sono diversi. Se raffiguriamo una palla nello spazio bidimensionale, otteniamo un cerchio il cui confine è un cerchio (il confine della palla è una superficie sferica). Nella figura vediamo una superficie sferica con raggi OA \u003d OB.
La palla è chiusa e aperta
Negli spazi vettoriali e metrici, vengono considerati anche due concetti relativi a una superficie sferica. Se la palla include questa sfera in sé, allora si chiama chiusa, ma in caso contrario, in questo caso la palla è aperta. Questi sono concetti più "avanzati" e vengono studiati negli istituti quando vengono introdotti in analisi. Per un uso semplice e persino domestico, saranno sufficienti quelle formule studiate nel corso di stereometria dei gradi 10-11. Sono tali concetti che sono disponibili per quasi ogni persona istruita media che saranno considerati di seguito.
Concetti che devi conoscere per i seguenti calcoli
Raggio e diametro.
Il raggio della palla e il suo diametro sono determinati allo stesso modo del cerchio.
Raggio: un segmento che collega un punto qualsiasi al limite della palla e un punto che è il centro della palla.
Diametro: un segmento che collega due punti sul confine della palla e passa attraverso il suo centro. La Figura 5a mostra chiaramente quali segmenti sono i raggi della sfera e la Figura 5b mostra i diametri della sfera (segmenti che passano attraverso il punto O).
Sezione nella sfera (sfera)
Ogni sezione di una sfera è un cerchio. Se passa attraverso il centro della palla, allora viene chiamato un cerchio grande (un cerchio con un diametro di AB), le sezioni rimanenti sono chiamate piccoli cerchi (un cerchio con un diametro di DC).
L'area di questi cerchi è calcolata dalle seguenti formule:
Qui S è la designazione dell'area, R è il raggio, D è il diametro. Esiste anche una costante pari a 3,14. Ma non confondere il fatto che per calcolare l'area di un grande cerchio, utilizzare il raggio o il diametro della sfera (sfera) stessa e per determinare l'area, sono necessarie le dimensioni del raggio di un piccolo cerchio.
Innumerevoli sezioni che attraversano due punti dello stesso diametro che giacciono sul bordo della palla. Ad esempio, il nostro pianeta: due punti ai poli Nord e Sud, che sono le estremità dell'asse terrestre e, in senso geometrico, le estremità del diametro e i meridiani che passano attraverso questi due punti (Figura 7). Cioè, il numero di grandi cerchi in una sfera tende all'infinito in quantità.
Parti a sfera
Se un "pezzo" viene tagliato fuori dalla sfera con l'aiuto di un certo piano (Figura 8), verrà chiamato segmento sferico o sferico. Avrà un'altezza - la perpendicolare dal centro del piano secante alla superficie sferica O 1 K. Il punto K sulla superficie sferica a cui arriva l'altezza è chiamato vertice del segmento sferico. Un piccolo cerchio con un raggio di O 1 T (in questo caso, secondo la figura, il piano non è passato attraverso il centro della sfera, ma se la sezione passa attraverso il centro, il cerchio della sezione sarà grande), formato quando il segmento sferico è tagliato, sarà chiamato la base del nostro pezzo palla - un segmento sferico.
Se colleghiamo ciascun punto della base del segmento sferico con il centro della sfera, otteniamo una figura chiamata "settore sferico".
Se due piani paralleli tra loro passano attraverso una sfera, la parte della sfera racchiusa tra loro viene chiamata strato sferico (Figura 9, che mostra una sfera con due piani e separatamente, uno strato sferico).
La superficie (la parte evidenziata nella Figura 9 a destra) di questa parte della sfera è chiamata cintura (di nuovo, per una migliore comprensione, possiamo tracciare un'analogia con il globo, cioè con le sue zone climatiche - Artico, tropicale, temperato, ecc.), E i cerchi della sezione saranno le basi strato sferico. Altezza dello strato - parte del diametro disegnato perpendicolarmente ai piani secanti dai centri delle basi. C'è anche il concetto di sfera sferica. Si forma nel caso in cui i piani paralleli tra loro non intersecano la sfera, ma la toccano in un punto ciascuno.
Formule per il calcolo del volume di una palla e della sua superficie
Una palla si forma ruotando attorno a un semicerchio o un cerchio a diametro fisso. Per calcolare i vari parametri di questo oggetto, non saranno necessari molti dati.
Il volume della palla, la cui formula per il calcolo è indicata sopra, deriva dall'integrazione. Diamo un'occhiata ai punti.
Consideriamo un cerchio in un piano bidimensionale, perché, come detto sopra, è il cerchio che sta alla base della costruzione della palla. Usiamo solo la sua quarta parte (Figura 10).
Prendiamo un cerchio con un raggio unitario e centriamo l'origine. L'equazione di un tale cerchio è la seguente: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Esprimiamo da qui Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Assicurati di notare che la funzione risultante è non negativa, continua e decrescente sul segmento X (0; R), perché il valore di X nel caso in cui consideriamo un quarto del cerchio si trova da zero al valore del raggio, cioè all'unità.
La prossima cosa che facciamo è ruotare il nostro quarto di cerchio attorno all'ascissa. Di conseguenza, otteniamo un emisfero. Per determinare il suo volume, ricorreremo a metodi di integrazione.
Poiché questo volume è solo una mezza palla, raddoppiamo il risultato, da dove otteniamo che il volume della palla è:
Piccole sfumature
Se è necessario calcolare il volume di una palla attraverso il suo diametro, ricorda che il raggio è metà del diametro e sostituisci questo valore nella formula sopra.
Inoltre, la formula per il volume della palla può essere raggiunta attraverso l'area della sua superficie confinante - la sfera. Ricordiamo che l'area della sfera è calcolata dalla formula S \u003d 4πr 2, integrando la quale, arriviamo anche alla formula sopra per il volume della palla. Da queste formule, si può esprimere il raggio se la condizione del problema ha un valore di volume.
Una palla è un corpo geometrico di rivoluzione formato ruotando un cerchio o un semicerchio attorno al suo diametro. Inoltre, una palla è uno spazio delimitato da una superficie sferica. Esistono molti oggetti sferici reali e problemi correlati, la cui soluzione richiede la determinazione del volume della palla.
Palla e sfera
Il cerchio è la più antica figura geometrica e gli antichi studiosi attribuivano ad esso un significato sacro. Un cerchio è un simbolo di tempo e spazio infiniti, un simbolo dell'universo e dell'essere. Secondo Pitagora, il cerchio è la più bella delle figure. Nello spazio tridimensionale, un cerchio si trasforma in una sfera perfetta, cosmica e bella come un cerchio.
La sfera in greco antico significa "palla". Una sfera è una superficie formata da un numero infinito di punti equidistanti dal centro della figura. Lo spazio limitato da una sfera è una sfera. Una palla è una figura geometrica ideale, la forma di cui prendono molti oggetti reali. Ad esempio, nella vita reale, le palle di cannone, i cuscinetti o le sfere hanno la forma di una palla, in natura - gocce d'acqua, corone di alberi o bacche, nello spazio - stelle, meteore o pianeti.
Volume della palla
Determinare il volume di una figura sferica è un compito difficile, poiché un tale corpo geometrico non può essere diviso in cubi o prismi triangolari, le cui formule di volume sono già note. La scienza moderna ci permette di calcolare il volume di una palla usando un certo integrale, ma come è stata ricavata la formula del volume nell'antica Grecia, quando nessuno aveva ancora sentito parlare degli integrali? Archimede calcolò il volume della palla usando un cono e un cilindro, poiché le formule del volume di queste figure erano già determinate dall'antico filosofo e matematico greco Democrito.
Archimede presentava metà della palla usando lo stesso cono e cilindro, con il raggio di ogni figura uguale alla sua altezza R \u003d h. L'antico scienziato presentava il cono e il cilindro spezzati in un numero infinito di piccoli cilindri. Archimede si rese conto che se sottrassimo il volume del cono Vk dal volume del cilindro Vc, avrebbe ricevuto il volume di un emisfero Vsh:
0,5 Vsh \u003d Vc - Vk
Il volume del cono è calcolato con una semplice formula:
Vk \u003d 1/3 × So × h,
ma sapendo che in questo caso è l'area del cerchio e h \u003d R, quindi la formula si trasforma in:
Vk \u003d 1/3 × pi × R × R 2 \u003d 1/3 pi × R 3
Il volume del cilindro è calcolato dalla formula:
Vc \u003d pi × R 2 × h,
ma supponendo che l'altezza del cilindro sia uguale al suo raggio, otteniamo:
Vc \u003d pi × R 3.
Utilizzando queste formule, Archimede ha ricevuto:
0,5 Vsh \u003d pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 o Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
La moderna definizione della formula del volume della sfera deriva dall'integrale della superficie sferica, tuttavia il risultato rimane lo stesso
Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
Il calcolo del volume della palla può essere necessario sia nella vita reale che nella risoluzione di problemi astratti. Per calcolare il volume di una palla usando una calcolatrice online, dovrai scoprire solo un parametro tra cui scegliere: diametro o raggio di una sfera. Diamo un'occhiata a un paio di esempi.
Esempi di vita
palle di cannone
Supponiamo che tu voglia sapere quanta ghisa è necessaria per lanciare una palla di cannone calibro sei piedi. Sai che il diametro di un tale nucleo è di 9,6 centimetri. Inserisci questo numero nella cella del calcolatore "Diametro" e riceverai una risposta nel modulo
Pertanto, per fondere una palla di cannone di un determinato calibro, avrai bisogno di 463 centimetri cubici o 0,463 litri di ghisa.
palloncini
Lascia che sia curioso quanta aria è necessaria per pompare un pallone perfettamente sferico. Sai che il raggio della sfera selezionata è di 10 cm. Spingi questo valore nella cella del calcolatore del raggio e otterrai il risultato
Ciò significa che per pompare una di queste sfere, avrai bisogno di 4188 centimetri cubi o 4,18 litri di aria.
conclusione
La necessità di determinare il volume della palla può sorgere in una varietà di situazioni: da compiti scolastici astratti a problemi di ricerca scientifica e produzione. Per risolvere domande di qualsiasi complessità, usa il nostro calcolatore online, che ti presenterà immediatamente il risultato esatto e i calcoli matematici necessari.
