Kétváltozós egyenlőtlenségek grafikonjai. Egyenletek és egyenlőtlenségek két változóval

Hadd f(x,y)És g(x, y)- két változós kifejezés XÉs atés hatálya X. Aztán a formai egyenlőtlenségek f(x, y) > g(x, y) vagy f(x, y) < g(x, y) hívott egyenlőtlenség két változóval .

A változók jelentése x, y sokaktól X, amelynél az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, ezt nevezzük döntés és ki van jelölve (x, y). Oldja meg az egyenlőtlenséget - ez sok ilyen pár megtalálását jelenti.

Ha minden számpár (x, y) a megoldások halmazából az egyenlőtlenséghez, illessze a pontot M(x, y), megkapjuk az egyenlőtlenség által meghatározott sík ponthalmazát. Őt hívják ennek az egyenlőtlenségnek a grafikonja . Az egyenlőtlenség grafikonja általában egy síkon lévő terület.

Az egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolása f(x, y) > g(x, y), járjon el az alábbiak szerint. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egy egyenlőségjelre, és keressen egy sort, amelyen az egyenlet szerepel f(x,y) = g(x,y). Ez a vonal a síkot több részre osztja. Ezek után elég minden részből egy pontot venni, és ellenőrizni, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség f(x, y) > g(x, y). Ha ezen a ponton hajtják végre, akkor a teljes részben végrehajtódik, ahol ez a pont található. Az ilyen alkatrészeket kombinálva számos megoldást kapunk.

Feladat. y > x.

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és egy téglalap alakú koordináta-rendszerben készítünk egy egyenest, amely az egyenletet tartalmazza y = x.

Ez a vonal két részre osztja a síkot. Ezután minden részből vegyünk egy pontot, és ellenőrizzük, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség y > x.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget!
X 2 + at 2 £25.

Rizs. 18.

Megoldás. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre, és húzzon egy vonalat X 2 + at 2 = 25. Ez egy kör, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig 5. A kapott kör a síkot két részre osztja. Az egyenlőtlenség kielégíthetőségének ellenőrzése X 2 + at 2 £ 25 minden részben azt találjuk, hogy a grafikon egy kör pontjainak halmaza és a körön belüli sík részei.

Legyen két egyenlőtlenség adott f 1(x, y) > g 1(x, y)És f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kétváltozós egyenlőtlenséghalmazok rendszerei

Egyenlőtlenségek rendszere képviseli magad ezen egyenlőtlenségek együttállása. Rendszermegoldás minden jelentése (x, y), amely minden egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtat. Sok megoldás rendszerek Az egyenlőtlenségek egy adott rendszert alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja.

Egyenlőtlenségek halmaza képviseli magad ezek diszjunkciója egyenlőtlenségek Állítsa be a megoldást minden jelentése (x, y), amely az egyenlőtlenségek halmazának legalább az egyikét valódi numerikus egyenlőtlenséggé alakítja. Sok megoldás totalitás egy halmazt alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak uniója.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét!

Megoldás. y = xÉs X 2 + at 2 = 25. Megoldjuk a rendszer minden egyenlőtlenségét.

A rendszer grafikonja azon pontok halmaza lesz a síkon, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak metszéspontját (kettős sraffozását) jelentik.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek halmazát

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és ugyanabban a koordinátarendszerben vonalakat rajzolunk y = x+ 4 és X 2 + at 2 = 16. Oldja meg az egyes egyenlőtlenségeket a sokaságban! A sokaság grafikonja a síkon lévő pontok halmaza lesz, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak egyesítése.

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségeket: a) at> 2x; b) at< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségrendszereket:

a) b)

Az egyenlőtlenségek rendszerei

két változóval

Yu.N. Makarychev tankönyvéhez

Algebra, 9. évfolyam, III. fejezet §

legmagasabb kategóriájú matematikatanár

Városi oktatási intézmény "Upshinskaya alapvető középiskola"

A Mari El Köztársaság Orsha kerülete

Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása

két változóval

A kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldása e változók értékpárja, amely egyszerre megoldás a rendszer első és második egyenlőtlenségére.

(1; 2) – megoldás?

(2; 1) – megoldás?

(1; 2) – megoldás

(2; 1) nem megoldás

Egy egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolása két változóban a koordinátasíkon

Egy parabola a koordinátasíkot két részre osztja. Az egyenlőtlenség megoldása az A pontú régió.

Kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldási halmazának ábrázolása a koordinátasíkon

A kétváltozós egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmaza a rendszerben szereplő egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja. A koordinátasíkon az egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmazát olyan pontok halmaza ábrázolja, amelyek közös részei a rendszer egyes egyenlőtlenségeinek megoldásait jelentő halmazoknak.

X = 2

• Építsünk egy egyenest X = 2.

• Építsünk egy egyenest at = -3.
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

at = -3

Ennek a rendszernek a megoldásai a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldáshalmazai metszéspontjainak koordinátái (derékszög)

• Építsünk egy egyenest 2 év + 3x = 6
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

• Építsünk egy egyenest at- 2x = -3
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

Egy adott rendszer megoldásai a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldáshalmazai metszéspontjainak koordinátái (szög)

• Szerkesszünk egy egyenest y = 2 x + 1
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

• Készítsünk egy egyenest y = 2 x - 1
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

Egy adott rendszer megoldásai a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldáshalmazai metszéspontjainak koordinátái (csík)

• Építsünk egy kört X 2 + y 2 = 1
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

• Szerkesszünk egy egyenest 2x + y = 0
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

Ennek a rendszernek a megoldásai a félkör pontjai

• Szerkesszünk meg egy y = (x - 1) 2 -2 parabolát
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

• Szerkesszünk kört (x-1) 2 + (y+2) 2 =1
• Két részre osztja a síkot, válassza ki a kívánt területet és alkalmazza az árnyékolást

Egy adott rendszer megoldásai a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldáshalmazainak metszéspontjai

Rajzoljon olyan pontokat, amelyek a rendszer megoldásai, és számítsa ki a kapott ábra területét

, és még inkább kétváltozós egyenlőtlenségrendszerek, úgy tűnik elég nehéz feladat. Létezik azonban egy egyszerű algoritmus, amely segít könnyedén és különösebb erőfeszítés nélkül megoldani az ilyen nagyon összetettnek tűnő problémákat. Próbáljuk meg kitalálni.

Legyen egy egyenlőtlenségünk két változóval, amelyek az alábbi típusúak egyikéből állnak:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Egy ilyen egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolásához a koordinátasíkon a következőképpen járjunk el:

1. Megszerkesztjük az y = f(x) függvény grafikonját, amely a síkot két régióra osztja.
2. A kapott területek közül bármelyiket kiválasztjuk, és figyelembe veszünk egy tetszőleges pontot benne. Ellenőrizzük az eredeti egyenlőtlenség megvalósíthatóságát erre a pontra. Ha a teszt helyes numerikus egyenlőtlenséget ad, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy az eredeti egyenlőtlenség teljesül abban a régióban, amelyhez a kiválasztott pont tartozik. Így az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza az a régió, amelyhez a kiválasztott pont tartozik. Ha az ellenőrzés eredménye hibás numerikus egyenlőtlenség, akkor az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza lesz a második olyan tartomány, amelyhez a kiválasztott pont nem tartozik.
3. Ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor a tartomány határai, vagyis az y = f(x) függvény grafikonjának pontjai nem szerepelnek a megoldások halmazában, és a határvonalat szaggatott vonallal ábrázoljuk. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a tartomány határai, vagyis az y = f(x) függvény gráfjának pontjai bekerülnek ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmazába, és ebben az esetben a határt ábrázoljuk. folytonos vonalként. Most nézzünk meg néhány problémát ebben a témában.

1. feladat.

Milyen ponthalmazt ad az x · y ≤ 4 egyenlőtlenség?

Megoldás.

1) Megszerkesztjük az x · y = 4 egyenlet grafikonját. Ehhez először transzformáljuk. Nyilvánvaló, hogy x ebben az esetben nem változik 0-ra, mert különben 0 · y = 4 lenne, ami hibás. Ez azt jelenti, hogy az egyenletünket eloszthatjuk x-szel. A következőt kapjuk: y = 4/x. Ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola. Az egész síkot két részre osztja: a hiperbola két ága közötti részre és a rajtuk kívül esőre.

2) Válasszunk ki egy tetszőleges pontot az első régióból, legyen az (4; 2) pont. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 4 · 2 ≤ 4 – hamis.

Ez azt jelenti, hogy ennek a régiónak a pontjai nem elégítik ki az eredeti egyenlőtlenséget. Ekkor arra a következtetésre juthatunk, hogy az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza lesz a második tartomány, amelyhez a kiválasztott pont nem tartozik.

3) Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért a határpontokat, vagyis az y=4/x függvény grafikonjának pontjait egy folytonos vonallal húzzuk meg.

Fessük sárgára az eredeti egyenlőtlenséget meghatározó ponthalmazt (1. ábra).

2. feladat.

Rajzolja meg a koordinátasíkon a rendszer által meghatározott területet

Megoldás.

Először a következő függvények grafikonjait készítjük (2. ábra):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – egyenes

x 2 + y 2 = 9 – kör.

Most nézzük meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön.

1) y > x 2 + 2.

Vegyük azt a pontot (0; 5), amely a függvény grafikonja felett van. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 5 > 0 2 + 2 – igaz.

Következésképpen az adott y = x 2 + 2 parabola feletti összes pont kielégíti a rendszer első egyenlőtlenségét. Festjük őket sárgára.

2) y + x > 1.

Vegyük azt a pontot (0; 3), amely a függvény grafikonja felett van. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 3 + 0 > 1 – igaz.

Következésképpen az y + x = 1 egyenes felett lévő összes pont kielégíti a rendszer második egyenlőtlenségét. Fessük le őket zöld árnyalattal.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Felvesszük a (0; -4) pontot, amely az x 2 + y 2 = 9 körön kívül esik. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – hibás.

Következésképpen az x 2 + y 2 = 9 körön kívül eső összes pont nem elégíti ki a rendszer harmadik egyenlőtlenségét. Ekkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az x 2 + y 2 = 9 körön belül található összes pont kielégíti a rendszer harmadik egyenlőtlenségét. Fessük le őket lila árnyalattal.

Ne felejtsük el, hogy ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor a megfelelő határvonalat szaggatott vonallal kell meghúzni. A következő képet kapjuk (3. ábra).

A keresési terület az a terület, ahol mindhárom színes terület metszi egymást (4. ábra).

Kérdések a jegyzetekhez

Írj fel egy egyenlőtlenséget, amelynek megoldása egy kör és a körön belüli pontok:

Keresse meg azokat a pontokat, amelyek megoldják az egyenlőtlenséget:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Egyenlőtlenségek két változóval és rendszereik 1. lecke

Kétváltozós egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségek 3x – 4y  0; és két x és y változós egyenlőtlenségek. A két változóban lévő egyenlőtlenség megoldása a változók értékpárja, amely valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. Ha x = 5 és y = 3, a 3x - 4y  0 egyenlőtlenség a helyes 3  0 numerikus egyenlőtlenséggé változik. Az (5;3) számpár megoldása erre az egyenlőtlenségre. A (3;5) számpár nem a megoldás.

A (-2; 3) számpár megoldása-e az egyenlőtlenségre: 482 (b, c) nem?

Az egyenlőtlenség megoldása a valós számok rendezett párja, amely az egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. Grafikusan ez egy pont megadásának felel meg a koordinátasíkon. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy sok megoldást kell találni rá.

A kétváltozós egyenlőtlenségek alakja: Egy egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a koordinátasík azon pontjainak halmaza, amelyek egy adott egyenlőtlenséget kielégítenek.

Megoldáshalmazok az F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y egyenlőtlenséghez

F(x, y)>0 F(x, y)

Próbapont szabály Konstrukció F(x; y)=0 Bármely területből egy próbapontot veszünk, határozzuk meg, hogy annak koordinátái megoldása-e az x y egyenlőtlenség megoldására 1 1 2 A(1;2) F (x; y) =0

Lineáris egyenlőtlenségek két változóval A két változós lineáris egyenlőtlenséget ax + bx +c  0 vagy ax + bx +c alakú egyenlőtlenségnek nevezzük.

Találd meg a hibát! No. 484 (b) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Folytonos vonalakkal grafikonokat rajzolunk:

Határozzuk meg az egyenlőtlenség jelét a -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 + területek mindegyikében

Az egyenlőtlenség megoldása a pluszjelet tartalmazó területek pontjainak halmaza és a -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 egyenlet megoldásai. +

Oldjuk meg együtt a 485 (b) No. 486 (b, d) No. 1. Állítsuk be az egyenlőtlenséget, és rajzoljuk fel a koordinátasíkra azon pontok halmazát, amelyeknél: a) az abszcissza nagyobb, mint az ordináta; b) az abszcissza és az ordináta összege nagyobb, mint kettős különbségük.

Oldjuk meg együtt a 2. sz. Határozzuk meg egyenlőtlenséggel az A(1;4) és B(3;5) pontokon átmenő AB egyenes felett elhelyezkedő nyitott félsíkot. Válasz: y  0,5x +3,5 3. sz. A 3x – b y + 7  0 egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a 3x – b y + 7  0 egyenlőtlenség melyik értékére jelent egy nyitott félsíkot, amely a 3x – b y + 7 egyenes felett helyezkedik el = 0. Válasz: b  0.

Házi feladat P. 21, No. 483; No. 484(c,d); No. 485(a); 486. sz. c.

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Egyenlőtlenségek két változóval és rendszereik 2. lecke

Kétváltozós egyenlőtlenségrendszerek

A kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldása egy olyan változóértékpár, amely a rendszer minden egyenlőtlenségét valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. 1. szám. Rajzolja le az egyenlőtlenségek rendszereinek megoldásait! 496. sz. (szóbeli)

a) x y 2 2 x y 2 2 b)

Oldjuk meg együtt az 1-et. Milyen k értékeinél határoz meg az egyenlőtlenségrendszer egy háromszöget a koordinátasíkon? Válasz: 0

Együtt oldjuk meg x y 2 2 2 2 2. sz. Az ábrán egy A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2) csúcsú háromszög látható. Határozza meg ezt a négyszöget egyenlőtlenségi rendszerrel. A B C D

Oldjuk meg együtt a 3. sz. Mire k és b esetén az egyenlőtlenségrendszer által megadott koordinátasík ponthalmaza: a) csík; b) szög; c) üres halmaz. Válasz: a) k= 2,b  3; b) k ≠ 2, b – tetszőleges szám; c) k = 2; b

Oldjuk meg együtt a 4-es számot, milyen ábrát ad meg az egyenlet? (szóban) 1) 2) 3) Sz. 5. Rajzolja fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenséggel meghatározott pontok megoldási halmazát!

Oldjuk meg együtt a 497 (c, d), 498 (c) sz.

Házi feladat P.22 No. 496, No. 497 (a, b), No. 498 (a, b), No. 504.

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Egyenlőtlenségek két változóval és rendszereik 3. lecke

Találd meg a hibát! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Találd meg a hibát! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Határozzuk meg a 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 egyenlőtlenséget

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Határozza meg az egyenlőtlenséget

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Határozza meg az egyenlőtlenség előjelét ≤

Oldja meg grafikusan a -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 egyenlőtlenségrendszert

Kétváltozós egyenlőtlenségek és magasabb fokú egyenlőtlenségrendszerek 1. sz. Rajzolja fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenségrendszer által meghatározott ponthalmazt

Kétváltozós egyenlőtlenségek és magasabb fokú egyenlőtlenségrendszerek 2. sz. Rajzolja fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenségrendszer által meghatározott ponthalmazt

Egyenlőtlenségek és magasabb fokú egyenlőtlenségrendszerek két változóval 3. Rajzoljuk fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenségrendszer által meghatározott ponthalmazt Alakítsuk át a rendszer első egyenlőtlenségét!

Kétváltozós egyenlőtlenségek és magasabb fokú egyenlőtlenségrendszerek Egy ekvivalens rendszert kapunk

Kétváltozós egyenlőtlenségek és magasabb fokú egyenlőtlenségrendszerek 4. sz. Rajzolja fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenségrendszer által meghatározott ponthalmazt

Döntsünk együtt 502. sz. Galitsky-gyűjteményről. No. 9,66 b) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 év x - 3 - 2 1 -3 4

. No. 9.66(c) Együtt megoldani 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Együtt oldjuk meg No. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Oldja meg az egyenlőtlenséget: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Írd fel az egyenlőtlenségek rendszerét

11:11 3) Milyen számot határoz meg az egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmaza? Keresse meg az egyes figurák területét. 6) Hány pár természetes szám megoldása az egyenlőtlenségek rendszerének? Számítsa ki az összes ilyen szám összegét! Gyakorló gyakorlatok megoldása 2) Írjon fel két változós egyenlőtlenségrendszert, melynek megoldási halmazát a 0 2 x y 2 ábra mutatja 1) Rajzolja le a rendszer megoldásainak halmazát a koordinátasíkra: 4) Határozza meg a gyűrűt ábrán az egyenlőtlenségek rendszereként látható. 5) Oldja meg az y x 0 5 10 5 10 egyenlőtlenségrendszert

Gyakorló gyakorlatok megoldása 7) Számítsa ki az egyenlőtlenségrendszer megoldásainak halmaza által adott ábra területét, és keresse meg az ábra pontjai közötti legnagyobb távolságot 8) Mekkora m értéknél az egyenlőtlenségrendszer csak egy megoldás? 9) Adjon meg néhány k és b értéket, amelyeknél az egyenlőtlenségrendszer meghatározza a koordinátasíkon: a) egy csíkot; b) szög.

Ez érdekes Thomas Harriot angol matematikus (Harriot T., 1560-1621) a következőképpen érvelt vele: „Ha két párhuzamos szegmens az egyenlőség szimbóluma, akkor az egymást metsző szakaszoknak az egyenlőtlenség szimbólumának kell lenniük. .” 1585-ben a fiatal Harriotot Anglia királynője egy felfedező expedícióra küldte Észak-Amerikába. Ott egy indiaiak körében népszerű tetoválást látott a következő formában: Harriot valószínűleg ezért javasolta az egyenlőtlenség jelét kétféle formában: „>” nagyobb, mint... és „.

Ez érdekes A ≤ és ≥ szimbólumokat a nem szigorú összehasonlításhoz Wallis javasolta 1670-ben. Eredetileg a vonal az összehasonlító jel fölött volt, és nem alatta, mint most. Ezek a szimbólumok Pierre Bouguer francia matematikus (1734) támogatása után váltak széles körben elterjedtté, akitől modern formájukat nyerték el.