Гипербола: определение, свойства, построение. Основные свойства гиперболы Ветка гиперболы
Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.
Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:
Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).
У, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции
Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.
Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,
(1")
То функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.
Напомню, что функция является возрастающей
, если для двух значений х 1 и х 2 ,таких, что х 1 <х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
И функция будет убывающей
, если f(х 1) > f(х 2) для тех же значений х.
Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой
данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).
А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.
(2)
Всего-то добавили константу "а" в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей "гиперболической конструкции" (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.
На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а<0, значит, -a>0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.
А какая магия может повлиять на перенос "гиперболической конструкции" вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.
(3)
Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.
Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.
Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию
(4)
Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.
Что значит "чётная функция"? Функция называется чётной
, если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной
, если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае
(5)
Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.
Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.
Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.
(6)
Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к "х" вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).
(7)
А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!
А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.
Домашнее задание 1.
Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3).
Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.
Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.
Задание 2 . Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.
Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3
.
Построить график вот такой функции:
(8)
Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек иесть величина постоянная, меньшая расстояниямежду этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражаетфокальное свойство гиперболы .
Фокальное свойство гиперболы
Точки иназываются фокусами гиперболы, расстояниемежду ними - фокусным расстоянием, серединаотрезка- центром гиперболы, число- длиной действительной оси гиперболы (соответственно,- действительной полуосью гиперболы). Отрезкии, соединяющие произвольную точкугиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение ,
где
,
называетсяэксцентриситетом
гиперболы
.
Из определения следует,
что.
Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точкик точке); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координатоказалась правой).
Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и. Для произвольной точки, принадлежащей гиперболе, имеем:
Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:
Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:
где 
,
т.е. выбранная система координат является
канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее (рис.3.41,а). При, когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.
Гиперболу с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки(фокуса) к расстоянию до заданной прямой(директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету(директориальное свойство гиперболы ). Здесь и- один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
В самом деле, например, для фокуса и директрисы(рис.3.41,а) условиеможно записать в координатной форме:
Избавляясь
от иррациональности и заменяя 
,
приходим к каноническому уравнению
гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения
можно провести для фокусаи
директрисы:
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис.3.41,б) имеет вид
,
где -фокальный
параметр гиперболы
.
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке, принадлежащий прямой, но не содержащий точки(рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки, принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем. Выражаем расстояние между точкамии(см. пункт 2 замечаний 2.8):
Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет в
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
Выражаем
полярный радиус и
делаем замены
:
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (для гиперболы,для эллипса).
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы
Найдем
точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а)
с осью абсцисс (вершины гиперболы).
Подставляя в уравнение ,
находим абсциссы точек пересечения:.
Следовательно, вершины имеют координаты
.
Длина отрезка, соединяющего вершины,
равна.
Этот отрезок называется действительной
осью гиперболы, а число-
действительной полуосью гиперболы.
Подставляя,
получаем.
Длина отрезка оси ординат, соединяющего
точки
,
равна.
Этот отрезок называется мнимой осью
гиперболы, а число-
мнимой полуосью гиперболы. Гипербола
пересекает прямую, содержащую
действительную ось, и не пересекает
прямую, содержащую мнимую ось.
Замечания 3.10.
1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).
2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).
Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат(рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид(гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).
В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами
Подставляя эти выражения в уравнение равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем
3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии. Действительно, если точка принадлежит гиперболе. то и точкии, симметричные точкеотносительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.
Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.
4.
Из
уравнения гиперболы в полярных
координатах 
(см.
рис.3.41,б) выясняется геометрический
смысл фокального параметра - это
половина длины хорды гиперболы, проходящей
через ее фокус перпендикулярно фокальной
оси (при).
5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше, тем шире ветви гиперболы, а чем ближек единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).
Действительно, величина угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника:. Учитывая,чтои, получаем
Чем больше , тем больше угол. Для равносторонней гиперболыимееми. Дляуголтупой, а дляуголострый (рис.3.43,а).
6
.
Две гиперболы, определяемые в одной и
той же системе координат
уравнениями и
называютсясопряженными
друг с другом
.
Сопряженные гиперболы имеют одни и те
же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение
сопряженной гиперболы
приводится
к каноническому при помощи переименования
координатных осей (3.38).7.
Уравнение 
определяет
гиперболу с центром в точке,
оси которой параллельны координатным
осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится
к каноническому при помощи параллельного
переноса (3.36). Уравнение
определяет
сопряженную гиперболу с центром в
точке.
Параметрическое уравнение гиперболы
Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид
где 
-
гиперболический косинус, a
гиперболический
синус.
Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству .
Пример 3.21. Изобразить гиперболу в канонической системе координат. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.
Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: - действительная полуось,- мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонамис центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляяв уравнение гиперболы, получаем
Следовательно, точки с координатами ипринадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние
эксцентриситет 
;
фокальныи параметр
.
Составляем уравнения асимптот,
то есть,
и уравнения директрис:
.
Парабола и её каноническое уравнение
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.
Опустим из фокуса перпендикуляр на директрисуи точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой. Введём на плоскости ДПСК, поместив начало координатв центре отрезка, принимая за осьпрямую, с положительным направлением отк(См. рис.176).
|
|
Расстояние от
фокусадо
директрисыобозначим
буквой(это
параметр параболы). В выбранной системе
координат фокусимеет
координаты
.
Уравнение директрисы.
Пусть 
-
произвольная точка плоскости. Обозначим
черезрасстояниеот
точкидо
фокусапараболы,
а через-
расстояниеот
точкидо
директрисы этой параболы.
Точка 
лежит
на данной параболе тогда и
только
тогда, когда .
Так как
,
а 
,
то уравнение параболы имеет вид:
.
Это уравнение эквивалентно следующему
уравнению: 
.
Или: 
(1)
Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
Гипербола
представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой
модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы
) является
постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием
и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется
центром
.
У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось,
проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые
называются вершинами
. Отрезок, соединяющий
центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью
и обозначается
через \(a\). Мнимая полуось
обозначается символом \(b\).
Каноническое уравнение гиперболы
записывается в виде
\(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\).
Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
\(\left| {{r_1} - {r_2}} \right| = 2a\),
где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left({x,y} \right)\) гиперболы
до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.
Уравнения асимптот гиперболы
\(y = \pm \large\frac{b}{a}\normalsize x\)
Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\),
где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.
Эксцентриситет
гиперболы
\(e = \large\frac{c}{a}\normalsize > 1\)
Уравнения директрис гиперболы
Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее
на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра.
Уравнения директрис имеют вид
\(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize\).
Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме
\(\left\{
\begin{aligned}
x &= a \cosh t \\
y &= b \sinh t
\end{aligned}
\right.,
\;\;0 \le t \le 2\pi\),
где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.
Общее уравнение гиперболы
где \(B^2 - 4AC > 0\).
Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат
\(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(AC
Равнобочная гипербола
Гипербола называется равнобочной
, если ее полуоси одинаковы: \(a = b\).
У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная
координатные оси (соответственно, \(y = 0\) и \(x = 0\)), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид
\(xy = \large\frac{{{e^2}}}{4}\normalsize\) или \(y = \large\frac{k}{x}\normalsize\), где
\(k = \large\frac{e^2}{4}\normalsize .\)
Параболой
называется плоская кривая, в каждой точки которой
выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы
) равно расстоянию
до заданной прямой (директрисы параболы
).
Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы
и обозначается через \(p\). Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее
вершине
. Каноническое уравнение параболы
имеет вид
\(y = 2px\).
Уравнение директрисы
\(x = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
Координаты фокуса
\(F \left({\large\frac{p}{2}\normalsize, 0} \right)\)
Координаты вершины
\(M \left({0,0} \right)\)
Общее уравнение параболы
\(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\),
где \(B^2 - 4AC = 0\).
Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)
\(A{x^2} + Dx + Ey + F = 0\;\left({A \ne 0, E \ne 0} \right) \),
или в эквивалентной форме
\(y = a{x^2} + bx + c,\;\;p = \large\frac{1}{2a}\normalsize\)
Уравнение директрисы
\(y = {y_0} - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.
Координаты фокуса
\(F\left({{x_0},{y_0} + \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)
Координаты вершины
\({x_0} = - \large\frac{b}{{2a}}\normalsize,\;\;{y_0} = ax_0^2 + b{x_0} + c = \large\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\normalsize\)
Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)
\(y = a{x^2},\;\;p = \large\frac{1}{{2a}}\normalsize\)
Уравнение директрисы
\(y = - \large\frac{p}{2}\normalsize\),
где \(p\) − параметр параболы.
Координаты фокуса
\(F \left({0, \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)
Координаты вершины
\(M \left({0,0} \right)\)
Гипербола
- это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются.
Формула гиперболы y = k/x
, при условии, что k
не равно 0
. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.
Гипербола - это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Свойства:
1. Оптическое свойство:
свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF2.
2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
3. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей , а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
4. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.
Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
42. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Эксцентриситет: 
Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
43.Случай сопряжённой,вырожденной гиперболы (НЕ ПОЛНОСТЬЮ)
Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.
Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .
