Calculatrice en ligne directe d'équation. Équation générale de la ligne droite: description, exemples, résolution de problèmes

Considérons l'équation d'une ligne droite passant par un point et un vecteur normal. Soit un point et un vecteur non nul dans le système de coordonnées (Fig. 1).

Définition

Comme vous pouvez le voir, il y a une seule ligne droite qui passe par un point perpendiculaire à la direction du vecteur (dans ce cas, on l'appelle vecteur normal tout droit ).

Figure: 1

Prouvons que l'équation linéaire

c'est l'équation d'une ligne droite, c'est-à-dire que les coordonnées de chaque point de la ligne droite satisfont l'équation (1), mais les coordonnées d'un point qui ne se trouve pas sur, l'équation (1) ne le fait pas.

Pour le prouver, notez que produit scalaire vecteurs et \u003d sous forme de coordonnées coïncide avec le côté gauche de l'équation (1).

Ensuite, nous utilisons la propriété évidente de la droite: les vecteurs et sont perpendiculaires si et seulement si le point est allumé. Et à condition que les deux vecteurs soient perpendiculaires, leur produit scalaire (2) se transforme en pour tous les points qui se trouvent sur, et uniquement pour eux. Par conséquent, (1) est l'équation de la ligne droite.

Définition

L'équation (1) est appelée l'équation de la ligne droite qui passe par ce point avec vecteur normal \u003d.

Transformons l'équation (1)

En notant \u003d, nous obtenons

Ainsi, une droite correspond à une équation linéaire de la forme (3). Au contraire, pour une équation donnée de la forme (3), où au moins un des coefficients n'est pas égal à zéro, une ligne droite peut être construite.

En effet, laissez une paire de nombres satisfaire l'équation (3), c'est-à-dire

En soustrayant ce dernier de (3), nous obtenons une relation qui détermine la ligne derrière le vecteur et le point.

Etude de l'équation générale d'une droite

Il est utile de connaître les caractéristiques du placement d'une ligne droite dans des cas individuels où un ou deux des nombres sont égaux à zéro.

1. Équation générale Ressemble à ça: . Un point le satisfait, ce qui signifie que la droite passe par l'origine. Il peut s'écrire: \u003d - x (voir Fig. 2).

Figure: 2

Nous croyons cela:

Si nous mettons, alors, nous obtenons un point de plus (voir Fig. 2).

2., alors l'équation ressemble à ceci, où \u003d -. Le vecteur normal se trouve sur l'axe, la ligne droite. Ainsi, la ligne droite est perpendiculaire au point, ou parallèle à l'axe (voir Fig. 3). En particulier, si et, alors l'équation est l'équation de l'axe des ordonnées.

Figure: 3

3. De même, pour l'équation s'écrit, où. Le vecteur appartient à l'axe. Une ligne droite en un point (Fig. 4).

Si, alors l'équation de l'axe.

L'étude peut être formulée sous la forme suivante: la droite est parallèle à l'axe des coordonnées, dont le changement est absent dans l'équation générale de la droite.

Par exemple:

Construisons une ligne droite selon l'équation générale, à condition que - ne soient pas égaux à zéro. Pour ce faire, il suffit de trouver deux points qui se trouvent sur cette ligne. Il est parfois plus pratique de trouver de tels points sur les axes de coordonnées.

Ensuite, nous mettons \u003d -.

Pour, alors \u003d -.

On note - \u003d, - \u003d. Les points et sont trouvés. Mettez de côté les axes et tracez une ligne droite à travers eux (voir Fig. 5).

Figure: cinq

Du général, vous pouvez aller à l'équation, qui comprendra des nombres et:

Et puis il s'avère:

Ou, selon la notation, nous obtenons l'équation

Qui est appelée l'équation de la droite dans les segments... Les nombres et, avec la précision du signe, sont égaux aux segments qui sont coupés par une ligne droite sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite avec une pente

Pour savoir ce qu'est l'équation d'une ligne droite avec une pente, considérons l'équation (1):

En notant - \u003d, nous obtenons

équation d'une ligne droite passant par un point dans une direction donnée. Le contenu géométrique du coefficient ressort clairement de la Fig. 6.

B \u003d \u003d, où est le plus petit angle selon lequel vous devez faire pivoter la direction positive de l'axe autour d'un point commun jusqu'à ce qu'il soit aligné avec une ligne droite. Évidemment, si l'angle est net, alors title \u003d "(! LANG: Rendu par QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}

Développons les crochets dans (5) et simplifions-le:

où. Relation (6) - équation pente droite... Quand, est un segment qui coupe une ligne droite sur l'axe (voir Fig. 6).

Remarque!

Pour passer de l'équation générale d'une ligne droite à une équation avec une pente, vous devez d'abord résoudre pour.

Figure: 6

\u003d - x + - \u003d

où \u003d -, \u003d - est noté. Si, à partir de l'étude de l'équation générale, on sait déjà qu'une telle ligne droite est perpendiculaire à l'axe.

Considérez l'équation canonique d'une ligne à l'aide d'un exemple.

Soit un point et un vecteur non nul dans le système de coordonnées (Fig. 7).

Figure: sept

Il est nécessaire de former une équation d'une ligne qui passe par un point parallèle à un vecteur, qui s'appelle un vecteur de direction. Un point arbitraire appartient à cette ligne si et seulement si. Puisque le vecteur est donné, et le vecteur, alors selon la condition de parallélisme, les coordonnées de ces vecteurs sont proportionnelles, c'est-à-dire:

Définition

La relation (7) est appelée l'équation d'une ligne droite qui passe par un point donné dans une direction donnée ou l'équation canonique d'une ligne droite.

Notez qu'une équation de la forme (7) peut être passée, par exemple, à partir de l'équation d'un crayon de lignes droites (4)

ou à partir de l'équation d'une droite passant par un point et un vecteur normal (1):

On a supposé ci-dessus que le vecteur de direction est différent de zéro, mais il peut arriver que l'une de ses coordonnées, par exemple ,. Alors l'expression (7) sera formellement écrite:

ce qui n'a aucun sens. Cependant, l'équation d'une droite perpendiculaire à l'axe est acceptée et obtenue. En effet, on peut voir à partir de l'équation que la droite est définie par un point et un vecteur de direction perpendiculaires à l'axe. Si nous nous débarrassons du dénominateur dans cette équation, nous obtenons:

Ou - l'équation d'une ligne droite perpendiculaire à l'axe. La même chose serait obtenue pour le vecteur.

Équation paramétrique d'une ligne droite

Pour comprendre ce qu'est une équation paramétrique d'une ligne droite, il est nécessaire de revenir à l'équation (7) et d'assimiler chaque fraction (7) à un paramètre. Étant donné qu'au moins l'un des dénominateurs de (7) n'est pas égal à zéro et que le numérateur correspondant peut acquérir des valeurs arbitraires, alors la plage de changement de paramètre est l'ensemble de l'axe des nombres.

Définition

L'équation (8) est appelée l'équation paramétrique de la droite.

Exemples de tâches en ligne droite

Bien sûr, il est difficile de résoudre quoi que ce soit uniquement par des définitions, car vous devez résoudre vous-même au moins quelques exemples ou tâches qui aideront à consolider le matériel couvert. Par conséquent, analysons les tâches principales en ligne droite, car des tâches similaires se retrouvent souvent lors d'examens et de tests.

Équation canonique et paramétrique

Exemple 1

Sur la ligne droite donnée par l'équation, trouvez le point situé à 10 unités du point de cette ligne droite.

Décision:

Laisser être recherché point d'une ligne droite, puis nous notons la distance. Étant donné que . Puisque le point appartient à une ligne droite, qui a un vecteur normal, alors l'équation de la ligne droite peut être écrite: \u003d \u003d et il s'avère alors:

Puis la distance. Fourni, ou. À partir d'une équation paramétrique:

Exemple 2

Une tâche

Le point se déplace uniformément avec la vitesse dans la direction du vecteur à partir du point de départ. Trouvez les coordonnées d'un point depuis le début du mouvement.

Décision

Vous devez d'abord trouver le vecteur d'unité. Ses coordonnées sont des cosinus directeurs:

Puis le vecteur vitesse:

X \u003d x \u003d.

L'équation canonique de la ligne droite s'écrira maintenant:

\u003d \u003d, \u003d Est une équation paramétrique. Après cela, vous devez utiliser l'équation paramétrique de la ligne à.

Décision:

L'équation d'une ligne droite qui passe par un point est trouvée par la formule pour un crayon de lignes droites, où pente pour une ligne droite et \u003d pour une ligne droite.

Considérant le dessin, où l'on voit qu'entre les lignes droites et il y a deux angles: l'un est aigu, et l'autre est obtus. Selon la formule (9), il s'agit de l'angle entre les lignes droites et selon lequel la ligne droite doit être tournée dans le sens antihoraire par rapport à leur point d'intersection jusqu'à ce qu'elle soit alignée avec la ligne droite.

Donc, nous nous sommes souvenus de la formule, avons trié les angles et maintenant nous pouvons revenir à notre exemple. Par conséquent, en tenant compte de la formule (9), nous trouvons d'abord les équations de la jambe.

Puisque la rotation d'une ligne droite d'un angle dans le sens antihoraire par rapport à un point conduit à l'alignement avec une ligne droite, alors dans la formule (9), a. De l'équation:

Par la formule du crayon de l'équation, la ligne droite s'écrit:

De même, nous trouvons, et,

Équation en ligne droite:

Équation d'une ligne droite - types d'équation d'une ligne droite: passant par un point, générale, canonique, paramétrique, etc. mise à jour: 22 novembre 2019 par l'auteur: Articles scientifiques.Ru

Définition.Dans un repère rectangulaire cartésien, un vecteur avec des composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite donnée par l'équation Ax + Vy + C \u003d 0.

Exemple... Trouvez l'équation de la droite passant par le point A (1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Décision... Avec A \u003d 3 et B \u003d -1, l'équation de la droite: 3x - y + C \u003d 0. Pour trouver le coefficient C, remplacez les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. On obtient: 3 - 2 + C \u003d 0, d'où C \u003d -1. Total: l'équation requise: 3x - y - 1 \u003d 0.

Équation d'une droite passant par deux points

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) donnés dans l'espace, puis l'équation de la droite passant par ces points:

Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur le plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée:

si x 1 ≠ x 2 et x \u003d x 1, si x 1 \u003d x 2.

Fraction \u003d k est appelée pentetout droit.

Exemple... Trouvez l'équation de la droite passant par les points A (1, 2) et B (3, 4).

Décision. En appliquant la formule ci-dessus, nous obtenons:

Équation d'une ligne droite par point et pente

Si l'équation générale de la droite Ax + Vy + C \u003d 0 est réduite à la forme:

et désigner , alors l'équation résultante est appelée équation d'une droite avec pentek.

Équation d'une ligne droite le long d'un point et d'un vecteur de direction

Par analogie avec le paragraphe considérant l'équation d'une ligne droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer la spécification d'une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition.Chaque vecteur différent de zéro (α 1, α 2) dont les composantes satisfont à la condition А α 1 + В α 2 \u003d 0 est appelé vecteur directeur de la ligne

Hache + Wu + C \u003d 0.

Exemple. Trouvez l'équation d'une droite avec un vecteur de direction (1, -1) et passant par le point A (1, 2).

Décision. L'équation de la droite souhaitée sera recherchée sous la forme: Ax + By + C \u003d 0. Selon la définition, les coefficients doivent satisfaire les conditions:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, c'est-à-dire A \u003d B.

Alors l'équation de la droite a la forme: Ax + Ay + C \u003d 0, ou x + y + C / A \u003d 0. pour x \u003d 1, y \u003d 2 on obtient C / A \u003d -3, c'est-à-dire équation requise:

Équation d'une droite en segments

Si dans l'équation générale de la droite Ax + Vu + C \u003d 0 C ≠ 0, alors, en divisant par –C, on obtient: ou

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient et est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b - la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Exemple. On donne une équation générale de la droite x - y + 1 \u003d 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C \u003d 1 ,, a \u003d -1, b \u003d 1.

Équation normale d'une ligne droite

Si les deux côtés de l'équation Ax + Vy + C \u003d 0 divisé par le nombre qui est appelée facteur de normalisation, alors nous obtenons

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -

équation normale d'une ligne droite. Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemple... On donne une équation générale de la droite 12x - 5y - 65 \u003d 0. Il est nécessaire d'écrire divers types d'équations de cette droite.

l'équation de cette droite en segments:

équation de cette droite avec pente: (diviser par 5)

équation normale de la droite:

; cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Il est à noter que toutes les lignes ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des lignes parallèles aux axes ou passant par l'origine.

Exemple... La ligne droite coupe les segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Faites une équation en ligne droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.

Décision. L'équation de la ligne droite a la forme:, ab / 2 \u003d 8; a \u003d 4; -4. a \u003d -4 ne correspond pas à l'énoncé du problème. Total: ou x + y - 4 \u003d 0.

Exemple... Tracez l'équation de la droite passant par le point A (-2, -3) et l'origine.

Décision. L'équation de la ligne droite a la forme: , où x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Voyons comment dresser une équation d'une ligne droite passant par deux points, à l'aide d'exemples.

Exemple 1.

Faites l'équation de la droite passant par les points A (-3; 9) et B (2; -1).

Méthode 1 - Composez l'équation d'une ligne droite avec une pente.

L'équation d'une ligne droite avec une pente a la forme. En substituant les coordonnées des points A et B dans l'équation de la droite (x \u003d -3 et y \u003d 9 - dans le premier cas, x \u003d 2 et y \u003d -1 - dans le second), on obtient un système d'équations à partir duquel on trouve les valeurs de k et b:

En additionnant les 1ère et 2ème équations terme par terme, on obtient: -10 \u003d 5k, d'où k \u003d -2. En remplaçant k \u003d -2 dans la deuxième équation, nous trouvons b: -1 \u003d 2 · (-2) + b, b \u003d 3.

Ainsi, y \u003d -2x + 3 est l'équation souhaitée.

Méthode 2 - Composez l'équation générale de la ligne droite.

L'équation générale de la ligne droite est. En substituant les coordonnées des points A et B dans l'équation, nous obtenons le système:

Le nombre d'inconnues étant supérieur au nombre d'équations, le système n'est pas résoluble. Mais vous pouvez exprimer toutes les variables via une seule. Par exemple, via b.

En multipliant la première équation du système par -1 et en ajoutant terme par terme avec la seconde:

nous obtenons: 5a-10b \u003d 0. D'où a \u003d 2b.

Remplacez l'expression résultante par la deuxième équation: 2 · 2b -b + c \u003d 0; 3b + c \u003d 0; c \u003d -3b.
Remplacez a \u003d 2b, c \u003d -3b dans l'équation ax + par + c \u003d 0:

2bx + par-3b \u003d 0. Il reste à scinder les deux parties par b:

L'équation générale d'une ligne droite se réduit facilement à l'équation d'une ligne droite avec une pente:

Méthode 3 - Composez l'équation d'une ligne droite passant par 2 points.

L'équation d'une droite passant par deux points a:

Remplacez dans cette équation les coordonnées des points A (-3; 9) et B (2; -1)

(c'est-à-dire x 1 \u003d -3, y 1 \u003d 9, x 2 \u003d 2, y 2 \u003d -1):

et simplifier:

d'où 2x + y-3 \u003d 0.

DANS cours scolaire le plus souvent utilisé est l'équation d'une ligne droite avec une pente. Mais le moyen le plus simple est de dériver et d'utiliser la formule de l'équation d'une ligne droite passant par deux points.

Commentaire.

Si, lors de la substitution des coordonnées des points donnés, l'un des dénominateurs de l'équation

s'avère égale à zéro, alors l'équation souhaitée est obtenue en égalant à zéro du numérateur correspondant.

Exemple 2.

Faites une équation d'une droite passant par deux points C (5; -2) et D (7; -2).

Nous substituons les coordonnées des points C et D dans l'équation d'une droite passant par 2 points.

Cet article a reçu équation d'une droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées cartésien rectangulaire sur un plan, et a également dérivé les équations d'une ligne droite qui passe par deux points spécifiés dans un système de coordonnées rectangulaire dans un espace tridimensionnel. Après la présentation de la théorie, des solutions d'exemples et de problèmes typiques sont montrées dans lesquelles il est nécessaire de composer des équations d'une ligne droite de différents types, lorsque les coordonnées de deux points de cette ligne droite sont connues.

Navigation dans la page.

Équation d'une droite passant par deux points donnés sur un plan.

Avant d'obtenir l'équation d'une ligne droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées rectangulaire sur un plan, rappelons quelques faits.

L'un des axiomes de la géométrie dit qu'une seule ligne droite peut être tracée par deux points non coïncidents sur le plan. En d'autres termes, en spécifiant deux points sur un plan, on définit de manière unique une ligne droite qui passe par ces deux points (si nécessaire, se référer à la section sur les moyens de définir une ligne droite sur un plan).

Soit Oxy fixé sur le plan. Dans ce système de coordonnées, toute ligne droite correspond à une équation d'une ligne droite sur un plan. Le vecteur directeur de la droite est inextricablement lié à cette ligne. Cette connaissance suffit amplement pour composer l'équation d'une droite passant par deux points donnés.

Formulons la condition du problème: écrivons l'équation de la droite a, qui dans le repère cartésien rectangulaire Oxy passe par deux points non coïncidents et.

Montrons la solution la plus simple et la plus universelle à ce problème.

On sait que l'équation canonique d'une droite dans le plan de la forme spécifie dans le système de coordonnées rectangulaire Oxy une ligne droite passant par un point et ayant un vecteur de direction.

Écrivons l'équation canonique de la droite a passant par deux points donnés et.

Evidemment, le vecteur directeur de la droite a, qui passe par les points M 1 et M 2, est un vecteur, il a des coordonnées (voir article si nécessaire). Ainsi, nous avons toutes les données nécessaires pour écrire l'équation canonique de la droite a - les coordonnées de son vecteur de direction et les coordonnées du (des) point (s) qui s'y trouvent. Il a la forme (ou ).

On peut aussi écrire des équations paramétriques d'une droite sur un plan passant par deux points et. Ils ressemblent à ou .

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Écris l'équation d'une ligne droite passant par deux points donnés .

Décision.

Nous avons découvert que l'équation canonique d'une droite passant par deux points de coordonnées et a la forme .

De l'état du problème que nous avons ... Remplacez ces données dans l'équation ... On a .

Répondre:

.

Si nous n'avons pas besoin d'une équation canonique d'une ligne droite et non d'équations paramétriques d'une ligne droite passant par deux points donnés, mais d'une équation d'une ligne droite d'un autre type, alors nous pouvons toujours y arriver à partir de l'équation canonique d'une ligne droite.

Exemple.

Écrivez l'équation générale de la ligne droite, qui dans le système de coordonnées rectangulaire Oxy sur le plan passe par deux points et.

Décision.

Tout d'abord, nous écrivons l'équation canonique d'une droite passant par deux points donnés. On dirait. Maintenant, apportons l'équation résultante à la forme requise:.

Répondre:

.

C'est là que l'on peut finir avec l'équation d'une ligne droite passant par deux points donnés dans un repère rectangulaire sur un plan. Mais je voudrais vous rappeler comment nous avons résolu un tel problème en école secondaire dans les cours d'algèbre.

A l'école, on ne connaissait que l'équation d'une droite avec une pente de la forme. Trouvons la valeur de la pente k et le nombre b auxquels l'équation définit dans le repère rectangulaire Oxy sur le plan une droite passant par les points et en. (Si x 1 \u003d x 2, alors la pente de la droite est infinie et la droite М 1 М 2 est déterminée par l'équation générale incomplète de la droite x-x 1 =0 ).

Puisque les points М 1 et М 2 se trouvent sur une ligne droite, les coordonnées de ces points satisfont l'équation d'une ligne droite, c'est-à-dire les égalités et sont vraies. Résoudre un système d'équations de la forme par rapport aux variables inconnues k et b, on trouve ou ... Pour ces valeurs de k et b, l'équation de la droite passant par deux points et prend la forme ou .

Cela n'a aucun sens de mémoriser ces formules; lors de la résolution d'exemples, il est plus facile de répéter les actions indiquées.

Exemple.

Écrivez l'équation d'une ligne avec une pente si cette ligne passe par les points et.

Décision.

Dans le cas général, l'équation d'une droite avec une pente a la forme. Trouvons k et b pour lesquels l'équation correspond à une droite passant par deux points et.

Puisque les points М 1 et М 2 se trouvent sur une ligne droite, leurs coordonnées satisfont l'équation d'une ligne droite, c'est-à-dire que les égalités sont vraies et. Les valeurs de k et b sont trouvées comme solution au système d'équations (reportez-vous à l'article si nécessaire):

Il reste à substituer les valeurs trouvées dans l'équation. Ainsi, l'équation requise de la droite passant par deux points et a la forme.

Un travail colossal, n'est-ce pas?

Il est beaucoup plus facile d'écrire l'équation canonique d'une ligne droite passant par deux points et, elle a la forme , et à partir de là, passez à l'équation de la ligne droite avec la pente :.

Répondre:

Équation d'une ligne droite passant par deux points donnés dans un espace tridimensionnel.

Soit un système de coordonnées rectangulaire Oxyz fixé dans un espace tridimensionnel, et deux points non coïncidents sont donnés et par laquelle passe la ligne M 1 M 2. Obtenons les équations de cette ligne droite.

On sait que les équations canoniques d'une droite dans un espace de la forme et équations paramétriques d'une ligne droite dans l'espace de la forme définir dans le système de coordonnées rectangulaire Oxyz une ligne droite qui passe par le point avec des coordonnées et a un vecteur de direction .

Le vecteur directeur de la ligne M 1 M 2 est un vecteur, et cette ligne passe par le point (et ), alors les équations canoniques de cette ligne ont la forme (ou ) et les équations paramétriques - (ou ).

.

Si vous devez définir la droite M 1 M 2 en utilisant les équations de deux plans qui se croisent, vous devez d'abord composer les équations canoniques de la droite passant par deux points et , et à partir de ces équations, obtenez les équations nécessaires des plans.

Liste de références.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Géométrie. 7 - 9 années: manuel pour les établissements d'enseignement.
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• Pogorelov A.V., Géométrie. Manuel pour les 7e et 11e années des établissements d'enseignement.
• Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Mathématiques supérieures. Volume un: éléments algèbre linéaire et géométrie analytique.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Géométrie analytique.

Cet article poursuit le thème de l'équation d'une ligne droite sur un plan: considérez ce type d'équation comme l'équation générale d'une ligne droite. Définissons un théorème et donnons sa preuve; Voyons ce qu'est une équation générale incomplète d'une ligne droite et comment effectuer des transitions d'une équation générale à d'autres types d'équations d'une ligne droite. Nous allons consolider toute la théorie avec des illustrations et résoudre des problèmes pratiques.

Soit un repère rectangulaire O x y donné sur le plan.

Théorème 1

Toute équation du premier degré, de la forme A x + B y + C \u003d 0, où A, B, C sont des nombres réels (A et B ne sont pas égaux à zéro en même temps) définit une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaire sur un plan. À son tour, toute ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaire sur un plan est déterminée par une équation qui a la forme A x + B y + C \u003d 0 pour un certain ensemble de valeurs A, B, C.

Preuve

ce théorème se compose de deux points, nous allons prouver chacun d'eux.

1. Prouvons que l'équation A x + B y + C \u003d 0 définit une droite sur le plan.

Soit un point М 0 (x 0, y 0) dont les coordonnées correspondent à l'équation A x + B y + C \u003d 0. Ainsi: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Soustraire des côtés gauche et droit des équations A x + B y + C \u003d 0 les côtés gauche et droit de l'équation A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, nous obtenons une nouvelle équation qui a la forme A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Cela équivaut à A x + B y + C \u003d 0.

L'équation résultante A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 est une condition nécessaire et suffisante pour les vecteurs n → \u003d (A, B) et M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0 ). Ainsi, l'ensemble des points M (x, y) définit une droite dans un repère rectangulaire perpendiculaire à la direction du vecteur n → \u003d (A, B). On peut supposer que ce n'est pas le cas, mais alors les vecteurs n → \u003d (A, B) et M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ne seraient pas perpendiculaires, et l'égalité A (x - x 0) ) + B (y - y 0) \u003d 0 ne serait pas vrai.

Par conséquent, l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 définit une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaire sur le plan, et par conséquent l'équation équivalente A x + B y + C \u003d 0 définit la même ligne droite. C'est ainsi que nous avons prouvé la première partie du théorème.

1. Donnons la preuve que toute ligne droite dans un repère rectangulaire sur un plan peut être définie par une équation du premier degré A x + B y + C \u003d 0.

Posons la droite a dans un repère rectangulaire sur le plan; le point M 0 (x 0, y 0), par lequel passe cette ligne, ainsi que le vecteur normal de cette ligne n → \u003d (A, B).

Soit aussi un point M (x, y) - un point flottant d'une ligne droite. Dans ce cas, les vecteurs n → \u003d (A, B) et M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) sont perpendiculaires l'un à l'autre, et leur produit scalaire est nul:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Réécrivez l'équation A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0, définissez C: C \u003d - A x 0 - B y 0 et dans le résultat final, nous obtenons l'équation A x + B y + C \u003d 0.

Ainsi, nous avons prouvé la deuxième partie du théorème et prouvé l'ensemble du théorème dans son ensemble.

Définition 1

Une équation de la forme A x + B y + C \u003d 0 - c'est équation générale de la droite sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaire O x y.

Sur la base du théorème prouvé, nous pouvons conclure qu'une ligne droite et son équation générale donnée sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaire fixe sont inextricablement liées. En d'autres termes, la droite initiale correspond à son équation générale; l'équation générale d'une droite correspond à une droite donnée.

Il découle également de la démonstration du théorème que les coefficients A et B pour les variables x et y sont les coordonnées du vecteur normal de la droite, qui est donné par l'équation générale de la droite A x + B y + C \u003d 0.

Prenons un exemple spécifique d'équation générale d'une ligne droite.

Soit l'équation 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, qui correspond à une ligne droite dans un repère rectangulaire donné. Le vecteur normal de cette ligne est le vecteur n → \u003d (2, 3). Tracez une ligne droite donnée dans le dessin.

Vous pouvez aussi dire ceci: la ligne droite que nous voyons sur le dessin est déterminée par l'équation générale 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, puisque les coordonnées de tous les points d'une droite donnée correspondent à cette équation.

On peut obtenir l'équation λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 en multipliant les deux côtés de l'équation générale de la droite par un nombre λ qui n'est pas égal à zéro. L'équation résultante est équivalente à l'équation générale d'origine, par conséquent, elle décrira la même ligne droite sur le plan.

Définition 2

Équation générale complète de la ligne - une telle équation générale de la droite A x + B y + C \u003d 0, dans laquelle les nombres A, B, C sont non nuls. Sinon, l'équation est incomplet.

Examinons toutes les variations de l'équation générale incomplète de la droite.

1. Lorsque A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, l'équation générale devient B y + C \u003d 0. Une telle équation générale incomplète définit une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaire O x y qui est parallèle à l'axe O x, car pour toute valeur réelle de x, la variable y prendra la valeur - C B. En d'autres termes, l'équation générale de la droite A x + B y + C \u003d 0, lorsque A \u003d 0, B ≠ 0, spécifie le lieu des points (x, y), dont les coordonnées sont égales au même nombre - C B.
2. Si A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, l'équation générale prend la forme y \u003d 0. Cette équation incomplète définit l'axe des abscisses O x.
3. Lorsque A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, on obtient une équation générale incomplète A x + C \u003d 0, définissant une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
4. Soit A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, alors l'équation générale incomplète prendra la forme x \u003d 0, et c'est l'équation de la ligne de coordonnées O y.
5. Enfin, pour A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, l'équation générale incomplète prend la forme A x + B y \u003d 0. Et cette équation décrit une ligne droite qui passe par l'origine. En effet, la paire de nombres (0, 0) correspond à l'égalité A x + B y \u003d 0, puisque A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Illustrons graphiquement tous les types ci-dessus de l'équation générale incomplète d'une ligne droite.

Exemple 1

On sait qu'une droite donnée est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point 2 7, - 11. Il est nécessaire d'écrire l'équation générale d'une ligne droite donnée.

Décision

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées est donnée par une équation de la forme A x + C \u003d 0, dans laquelle A ≠ 0. De plus, la condition spécifie les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et les coordonnées de ce point remplissent les conditions de l'équation générale incomplète A x + C \u003d 0, c'est-à-dire l'égalité est vraie:

A · 2 7 + C \u003d 0

Il est possible d'en déterminer C en donnant à A une valeur non nulle, par exemple A \u003d 7. Dans ce cas, nous obtenons: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Nous connaissons les deux coefficients A et C, les substituons dans l'équation A x + C \u003d 0 et obtenons l'équation requise de la droite: 7 x - 2 \u003d 0

Répondre: 7 x - 2 \u003d 0

Exemple 2

Le dessin montre une ligne droite, il faut noter son équation.

Décision

Le dessin donné nous permet de prendre facilement les données initiales pour résoudre le problème. On voit sur le dessin que la ligne donnée est parallèle à l'axe O x et passe par le point (0, 3).

La droite, parallèle aux yeux de l'abscisse, est déterminée par l'équation générale incomplète B y + C \u003d 0. Trouvons les valeurs de B et C. Les coordonnées du point (0, 3), puisqu'une droite donnée le traverse, satisferont l'équation de la droite B y + C \u003d 0, alors l'égalité est valide: B · 3 + C \u003d 0. Définissons pour B une valeur autre que zéro. Supposons que B \u003d 1, dans ce cas à partir de l'égalité B 3 + C \u003d 0, nous pouvons trouver C: C \u003d - 3. Nous utilisons les valeurs connues de B et C, nous obtenons l'équation requise de la droite: y - 3 \u003d 0.

Répondre: y - 3 \u003d 0.

Équation générale d'une droite passant par un point donné du plan

Laissez la droite donnée passer par le point М 0 (x 0, y 0), alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de la droite, i.e. l'égalité est vraie: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Nous soustrayons les côtés gauche et droit de cette équation des côtés gauche et droit de l'équation générale complète de la ligne. On obtient: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, cette équation est équivalente au général d'origine, passe par le point М 0 (x 0, y 0) et a un vecteur normal n → \u003d (A, B).

Le résultat que nous avons obtenu permet d'écrire l'équation générale de la droite à coordonnées connues vecteur normal d'une ligne droite et coordonnées d'un certain point de cette ligne droite.

Exemple 3

Étant donné un point М 0 (- 3, 4), par lequel passe une droite, et un vecteur normal de cette droite n → \u003d (1, - 2). Il est nécessaire d'écrire l'équation d'une ligne droite donnée.

Décision

Les conditions initiales nous permettent d'obtenir les données nécessaires à l'élaboration de l'équation: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Ensuite:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Le problème aurait pu être résolu différemment. L'équation générale de la droite est A x + B y + C \u003d 0. Un vecteur normal donné vous permet d'obtenir les valeurs des coefficients A et B, puis:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Nous trouvons maintenant la valeur de C, en utilisant le point M 0 (- 3, 4) spécifié par la condition du problème, par lequel passe la droite. Les coordonnées de ce point correspondent à l'équation x - 2 y + C \u003d 0, c'est-à-dire - 3 - 2 4 + C \u003d 0. D'où C \u003d 11. L'équation requise de la droite prend la forme: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Répondre: x - 2 ans + 11 \u003d 0.

Exemple 4

Une droite 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 et un point М 0 situé sur cette droite sont donnés. Seule l'abscisse de ce point est connue, et elle est égale à - 3. Il est nécessaire de déterminer l'ordonnée du point donné.

Décision

Définissons la désignation des coordonnées du point М 0 comme x 0 et y 0. Les données initiales indiquent que x 0 \u003d - 3. Puisqu'un point appartient à une droite donnée, alors ses coordonnées correspondent à l'équation générale de cette droite. Alors l'égalité sera vraie:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Déterminer y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Répondre: - 5 2

La transition de l'équation générale d'une ligne droite à d'autres types d'équations d'une ligne droite et vice versa

Comme nous le savons, il existe plusieurs types d'équations pour une même droite sur le plan. Le choix du type d'équation dépend des conditions du problème; il est possible de choisir celui qui est le plus pratique pour le résoudre. C'est là que la capacité de convertir une équation d'un type en une équation d'un autre type est utile.

Pour commencer, considérons la transition de l'équation générale de la forme A x + B y + C \u003d 0 à l'équation canonique x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Si А ≠ 0, alors nous transférons le terme B y au côté droit de l'équation générale. Sur le côté gauche, placez A en dehors des crochets. En conséquence, nous obtenons: A x + C A \u003d - B y.

Cette égalité peut s'écrire sous forme de proportion: x + C A - B \u003d y A.

Si В ≠ 0, on laisse seulement le terme A x sur le côté gauche de l'équation générale, on transfère le reste sur le côté droit, on obtient: A x \u003d - B y - C. On sort - B en dehors des parenthèses, alors: A x \u003d - B y + C B.

Réécrivons l'égalité en proportion: x - B \u003d y + C B A.

Bien entendu, il n'est pas nécessaire de mémoriser les formules résultantes. Il suffit de connaître l'algorithme des actions dans le passage de l'équation générale à l'équation canonique.

Exemple 5

L'équation générale de la droite est donnée: 3 y - 4 \u003d 0. Il est nécessaire de le transformer en une équation canonique.

Décision

Réécrivez l'équation d'origine comme 3 y - 4 \u003d 0. Ensuite, nous agissons selon l'algorithme: le terme 0 x reste à gauche; et sur le côté droit, nous plaçons - 3 en dehors des supports; on obtient: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Écrivons l'égalité résultante sous forme de proportion: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Donc, nous avons une équation de la forme canonique.

Réponse: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Pour transformer l'équation générale de la droite en équation paramétrique, on fait d'abord la transition vers la forme canonique, puis la transition de l'équation canonique de la droite vers les équations paramétriques.

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Notez les équations paramétriques de cette ligne droite.

Décision

Faisons la transition de l'équation générale à l'équation canonique:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Maintenant, nous prenons les deux côtés de l'équation canonique résultante égale à λ, puis:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Répondre: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

L'équation générale peut être transformée en une équation de droite avec une pente y \u003d k x + b, mais seulement si B ≠ 0. Pour la transition à gauche, on laisse le terme B y, le reste est transféré à droite. On obtient: B y \u003d - A x - C. Divisez les deux côtés de l'égalité résultante par B, différent de zéro: y \u003d - A B x - C B.

Exemple 7

L'équation générale de la droite est donnée: 2 x + 7 y \u003d 0. Vous devez convertir cette équation en une équation de pente.

Décision

Effectuons les actions nécessaires selon l'algorithme:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Répondre: y \u003d - 2 7 x.

A partir de l'équation générale d'une droite, il suffit d'obtenir simplement une équation en segments de la forme x a + y b \u003d 1. Pour faire une telle transition, nous transférons le nombre C au côté droit de l'égalité, divisons les deux côtés de l'égalité résultante par - С et, enfin, transférons les coefficients des variables x et y aux dénominateurs:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Exemple 8

Il est nécessaire de transformer l'équation générale de la droite x - 7 y + 1 2 \u003d 0 en l'équation de la droite en segments.

Décision

Déplacez 1 2 vers la droite: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Divisez les deux côtés de l'égalité par -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Répondre: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

En général, la transition inverse est également facile: des autres types d'équations à l'équation générale.

L'équation d'une droite en segments et une équation avec un coefficient de pente peuvent être facilement transformées en une équation générale, simplement en rassemblant tous les termes du côté gauche de l'égalité:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

L'équation canonique est transformée en l'équation générale comme suit:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Pour passer du paramétrique, d'abord, le passage au canonique est effectué, puis au général:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Exemple 9

Les équations paramétriques de la droite x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 sont données. Il est nécessaire d'écrire l'équation générale de cette droite.

Décision

Faisons la transition des équations paramétriques aux équations canoniques:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Passons du canonique au général:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Répondre: y - 4 \u003d 0

Exemple 10

L'équation d'une droite en segments x 3 + y 1 2 \u003d 1 est donnée. Il est nécessaire de faire une transition vers la forme générale de l'équation.

Décision:

Réécrivons simplement l'équation au besoin:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Répondre: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Élaboration de l'équation générale d'une ligne droite

Ci-dessus, nous avons dit que l'équation générale peut s'écrire avec les coordonnées connues du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe la droite. Une telle ligne droite est déterminée par l'équation A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Nous y avons également analysé l'exemple correspondant.

Regardons maintenant des exemples plus complexes, dans lesquels il est d'abord nécessaire de déterminer les coordonnées du vecteur normal.

Exemple 11

Une droite parallèle à la droite 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 est donnée. On connaît également le point M 0 (4, 1), par lequel passe la ligne donnée. Il est nécessaire d'écrire l'équation d'une ligne droite donnée.

Décision

Les conditions initiales nous disent que les droites sont parallèles, alors, comme vecteur normal de la droite, dont l'équation est à écrire, on prend le vecteur direction de la droite n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nous connaissons maintenant toutes les données nécessaires pour composer l'équation générale de la droite:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Répondre: 2 x - 3 ans - 5 \u003d 0.

Exemple 12

La ligne spécifiée passe par l'origine perpendiculairement à la ligne x - 2 3 \u003d y + 4 5. Il est nécessaire de dresser une équation générale pour une droite donnée.

Décision

Le vecteur normal de la ligne donnée sera le vecteur de direction de la ligne x - 2 3 \u003d y + 4 5.

Alors n → \u003d (3, 5). La ligne droite passe par l'origine, c'est-à-dire par le point O (0, 0). Composons l'équation générale d'une ligne droite donnée:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Répondre: 3 x + 5 y \u003d 0.

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