Résoudre les inégalités linéaires en ligne avec une solution détaillée. Inégalités linéaires

Schéma de la figure 5:

Et l'exemple suivant: pour résoudre les inégalités 0,6 2x - 3< 0,36 .

Schéma debout sur la figure 5, nous obtenons
2x - 3\u003e Log 0.6 0.36,
2x - 3\u003e 2,
2x\u003e 5,
x\u003e 2.5

Répondre: (2,5; +∞) .

Considérez le dernier régime de la décision de la forme inégalité a f (x)< b , P. a\u003e 0 et b.<0 montré à la figure 6:

Par exemple, résoudre l'inégalité:

Nous remarquons que quel que soit le numéro que nous substitué au lieu de X, la partie gauche de l'inégalité est toujours supérieure à zéro, et nous avons moins d'expression -8, c'est-à-dire Et zéro, cela signifie qu'il n'y a pas de solution.

Répondre: aucune solution.

Sachant comment les inégalités de démonstration les plus simples sont résolues, vous pouvez procéder à décision des inégalités de démonstration.

Exemple 1.

Trouver le plus grand entier x satisfaisant

Depuis 6 x plus zéro (ni comment x dénominateur ne fait pas appel à zéro), nous multiplierons les deux parties de l'inégalité de 6 x, nous obtenons:

440 - 2 · 6 2x\u003e 8, puis
- 2 · 6 2x\u003e 8 - 440,
- 2 · 6 2x\u003e - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x.< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Réponse 1..

Exemple 2..

Résoudre les inégalités 2 2 x - 3 · 2 x + 2 ≤ 0

Notez 2 x à travers y, nous obtenons des inégalités dans 2 - 3A + 2 ≤ 0, décidant de cette inégalité carrée.

en 2 - 3ow +2 \u003d 0,
en 1 \u003d 1 et en 2 \u003d 2.

Les branches de Parabola sont attribuées, décrivant une planification:

Alors la décision de l'inégalité sera l'inégalité 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Répondre: (0; 1) .

Exemple 3.. Résoudre les inégalités 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Nous collectons des expressions avec les mêmes fondations dans une partie de l'inégalité.

5 x +1 - 2 · 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Je apporterai 5 x x tranches dans la partie gauche de l'inégalité et dans la partie droite de l'inégalité de 3 x et que nous obtenons des inégalités

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 · 5 x< (25/3)·3 х

Nous divisons les deux parties de l'inégalité vers l'expression 3 · 3 x, le signe d'inégalité ne changera pas, car 3 · 3 x nombre positif, nous obtenons des inégalités:

h.< 2 (так как 5/3 > 1).

Répondre: (–∞; 2) .

Si vous avez des questions sur la résolution des inégalités exponentielles ou si vous souhaitez vous entraîner dans la résolution de tels exemples, écrivez-vous pour des leçons. Tutor Valentina Galinevskaya.

le site, avec une copie totale ou partielle de la référence matérielle à la source d'origine est requise.

Résoudre les inégalités en ligne

Avant de résoudre les inégalités, il est nécessaire d'assimiler comment les équations sont résolues.

Peu importe la manière dont l'inégalité est stricte () ou incroyable (≤, ≥), la première chose à faire est de commencer à résoudre l'équation, remplaçant le signe de l'inégalité à l'égalité (\u003d).

Expliquons ce que signifie l'inégalité?

Après avoir étudié les équations dans la tête, l'étudiant est composé de la photo suivante: il est nécessaire de trouver de telles valeurs de la variable dans laquelle les deux parties de l'équation prennent les mêmes valeurs. En d'autres termes, trouvez tous les points dans lesquels l'égalité est effectuée. Très bien!

Quand ils parlent d'inégalités, ils signifient la conclusion d'intervalles (segments) sur lesquelles l'inégalité est réalisée. S'il y a deux variables dans les inégalités, la solution ne sera pas d'intervalle, mais une zone de l'avion. Devinez-vous, quelle sera la solution d'inégalité de trois variables?

Comment résoudre les inégalités?

Un moyen universel de résoudre les inégalités Considérez la méthode d'intervalle (il s'agit de la même méthode d'intervalle), qui réside dans la définition de tous les intervalles, qui sera effectuée dans les limites de l'inégalité spécifiée.

Sans entrer dans le type d'inégalité, dans ce cas, ce n'est pas l'essence, il est nécessaire de résoudre l'équation correspondante et de déterminer ses racines suivies de la désignation de ces solutions sur l'axe numérique.

Comment enregistrer la solution d'inégalité?

Lorsque vous avez identifié des intervalles de solutions d'inégalité, vous devez écrire correctement la décision elle-même. Il y a une nuance importante - faire les limites des intervalles dans la solution?

Tout est simple ici. Si la solution de l'équation satisfait à l'OTZ et que l'inégalité est incroyable, la bordure d'intervalle est incluse dans la solution d'inégalité. Sinon - non.

Compte tenu de chaque intervalle, la résolution de l'inégalité peut être l'intervalle lui-même, ou un demi-intervalle (lorsque l'une de ses limites satisfait à l'inégalité), ou le segment - l'intervalle avec ses frontières.

Moment important

Ne pensez pas que seuls les intervalles, les demi-intervalles et les segments peuvent résoudre les inégalités. Non, la solution peut inclure des points prélevés séparément.

Par exemple, inégalité | x | ≤0 Une seule solution est le point 0.

Et inégalité | x |

Pourquoi ai-je besoin d'un calculateur d'inégalité?

La calculatrice d'inégalité émet la réponse finale correcte. Dans la plupart des cas, une illustration d'un axe numérique ou d'un plan est donnée. On peut voir que les limites des intervalles sont incluses dans la solution ou non - les points sont affichés avec peint ou poncturé.

Grâce à la calculatrice en ligne des inégalités, vous pouvez vérifier si vous avez trouvé les racines de l'équation, ils les ont marqués sur l'axe numérique et vérifiés à intervalles (et frontières) la condition de l'inégalité?

Si votre réponse est dispersée avec la réponse de la calculatrice, alors besoin sans ambiguïté de vérifier votre solution et de révéler l'erreur supposée.

L'inégalité est un rapport numérique illustrant le nombre de nombres par rapport à l'autre. Les inégalités sont largement utilisées lors de la recherche de valeurs en sciences appliquées. Notre calculatrice vous aidera à traiter un sujet aussi difficile qu'une solution de inégalités linéaires.

Qu'est-ce que l'inégalité

Des ratios inégaux dans la vie réelle corrélent avec une comparaison constante de divers objets: ci-dessus ou inférieur, sur ou plus proche, plus difficile ou plus facile. Intuitivement ou visuellement, nous pouvons comprendre qu'un objet est supérieur, supérieur ou plus dur que l'autre, mais il s'agit toujours d'une comparaison des chiffres qui caractérisent les valeurs correspondantes. Vous pouvez comparer des objets sur n'importe quelle base et dans tous les cas, nous pouvons faire une inégalité numérique.

Si des valeurs inconnues sont égales dans des conditions spécifiques, alors pour leur définition numérique, nous constituons l'équation. Sinon, au lieu du signe "égal", nous pouvons spécifier toute autre relation entre ces quantités. Deux nombres ou objets mathématiques peuvent être plus "\u003e", moins "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Les signes d'inégalités de leur forme moderne ont abouti au mathématicien britannique Thomas Harry, qui a publié en 1631 un livre sur des relations inégales. Signes plus "\u003e" et moins "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Décision des inégalités

Les inégalités, ainsi que des équations, il existe différents types. Les ratios linéaires, carrés, logarithmiques ou démonstratifs inégaux sont libellés par diverses méthodes. Cependant, quelle que soit la méthode, toute inégalité est d'abord nécessaire pour entraîner une forme standard. Pour ce faire, des transformations identiques sont utilisées identiques à modifier des égalités.

Transformations identiques d'inégalité

De telles transformations d'expressions sont très similaires au fantôme des équations, mais ils ont des nuances qu'il est important de prendre en compte lorsqu'il est inégalé les inégalités.

La première conversion identique d'une opération identique similaire avec des égalités. Pour les deux parties d'une relation inégale, vous pouvez ajouter ou prendre en compte le même numéro ou une expression avec un XIM inconnu, tandis que le signe de l'inégalité restera le même. Le plus souvent, cette méthode est appliquée sous une forme simplifiée en tant que transfert de membres de l'expression par le signe de l'inégalité avec le changement du signe du nombre à l'opposé. Cela fait référence au changement du signe de l'organe lui-même, c'est-à-dire + r lors du transfert de tout signe d'inégalité, il changera à R et vice versa.

La deuxième transformation a deux éléments:

1. Les deux côtés du rapport inégal sont autorisés à multiplier ou à se diviser sur le même nombre positif. Le signe de l'inégalité elle-même ne changera pas.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont autorisés à diviser ou à se multiplier sur le même nombre négatif. Le signe de l'inégalité elle-même changera à l'opposé.

La deuxième conversion identique de l'inégalité a de graves différences avec la modification des équations. Premièrement, lors de la multiplication / de la division sur un nombre négatif, l'expression inégale est toujours changée à l'opposé. Deuxièmement, une partie divisée ou multipliée de la relation n'est autorisée que par le nombre et non sur une expression contenant un inconnu. Le fait est que nous ne pouvons pas savoir exactement, le nombre est grand ou moins zéro est caché derrière l'inconnu, la deuxième conversion identique est donc appliquée à des inégalités exclusivement avec des nombres. Considérez ces règles sur les exemples.

Exemples d'inégalité de déclenchement

Dans les tâches de l'algèbre, il existe une variété de tâches sur le sujet des inégalités. Donnons une expression:

6x - 3 (4x + 1)\u003e 6.

Pour commencer, nous allons ouvrir des crochets et déplacerons tout inconnu à gauche et tous les chiffres sont corrects.

6x - 12x\u003e 6 + 3

Nous devons partager les deux parties de l'expression sur -6, alors lorsque l'ICSE inconnu, le signe des inégalités changera à l'inverse.

Lors de la décision de cette inégalité, nous avons utilisé à la fois des transformations identiques: transféré tous les chiffres à droite du signe et divisé les deux côtés du rapport à un nombre négatif.

Notre programme est une calculatrice permettant de résoudre les inégalités numériques qui ne contiennent pas d'inconnues. Le programme a posé les théorèmes suivants pour les ratios des trois chiffres:

• si un.< B то A–C< B–C;
• si A\u003e B, puis A-C\u003e B-C.

Au lieu de soustraire des membres A-C, vous pouvez spécifier tout effet arithmétique: addition, multiplication ou division. Ainsi, la calculatrice présentera automatiquement les inégalités des sommes, des différences, des œuvres ou des fractions.

Conclusion

Dans la vie réelle, l'inégalité est également trouvée souvent comme des équations. Naturellement, dans la connaissance quotidienne de la résolution des inégalités peut ne pas être nécessaire. Cependant, dans les sciences appliquées de l'inégalité et leurs systèmes sont largement utilisés. Par exemple, diverses études sur les problèmes de l'économie mondiale sont réduites au système de compilation et de déchaînement des inégalités linéaires ou carrées, et certaines relations inégales constituent un moyen sans ambiguïté de la preuve de l'existence de certains objets. Utilisez nos programmes pour résoudre les inégalités linéaires ou vérifier vos propres calculs.

Méthode d'intervalle - Un moyen simple de résoudre des inégalités rationnelles fractionnelles. Tellement appelé des inégalités contenant des expressions rationnelles (ou fractions rationnelles) en fonction de la variable.

1. Considérer, par exemple, une telle inégalité

La méthode d'intervalle vous permet de le résoudre dans quelques minutes.

Dans le côté gauche de cette inégalité - une fonction rationnelle fractionnée. Rational, car il ne contient pas de racines, ni de sinus, pas de logarithmes - seules des expressions rationnelles. À droite - zéro.

La méthode d'intervalle est basée sur la propriété suivante d'une fonction rationnelle fractionnelle.

La fonction rationnelle fractionnée ne peut modifier le panneau que sur ces points dans lesquels il est zéro ou n'existe pas.

Nous rappellerons, car il est plié sur les multiplicateurs, le carré trois diminue, c'est-à-dire l'expression de la forme.

Où et les racines de l'équation carrée.

Nous dessinons l'axe et définissons les points dans lesquels le numérateur et le dénominateur sont appliqués à zéro.

Les zéros du dénominateur et des points frivoles, car à ces points, la fonction du côté gauche de l'inégalité n'est pas définie (ne peut pas être divisée en zéro). Les zéros du numérateur et - peints, comme l'inégalité du Nestor. A et notre inégalité est effectuée, car les deux parties de celui-ci sont nulles.

Ces points rompent l'axe dans les lacunes.

Déterminez le signe d'une fonction rationnelle fractionnée sur le côté gauche de notre inégalité dans chacune de ces lacunes. Nous nous souvenons qu'une fonction rationnelle fractionnée ne peut modifier le signe que sur ces points dans lesquels il est zéro ou n'existe pas. Cela signifie que sur chacune des lacunes entre les points, où le numérateur ou le dénominateur se transforme en zéro, le signe d'expression sur le côté gauche de l'inégalité sera permanent - soit «plus» ou «moins».

Et par conséquent, déterminer le signe de la fonction à chaque intervalle de ce type, nous prenons tout point appartenant à cet écart. Celui que nous sommes commodes.
. Prenez, par exemple, et vérifiez le signe de l'expression sur le côté gauche de l'inégalité. Chacun des «crochets» est négatif. Le côté gauche a un signe.

Next Gap :. Vérifiez le signe à. Nous obtenons que la partie gauche a changé le signe.

Prendre. Lorsque vous exprimez de manière positive, cela est par conséquent positivement sur toute la gamme.

À la partie gauche de l'inégalité est négatif.

Et enfin, classe \u003d "tex" alt \u003d "(! Lang: x\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Nous avons trouvé à quelles périodes l'expression est positive. Il reste à écrire la réponse:

Répondre:.

Veuillez noter: signes sur les intervalles alternes. C'est arrivé parce que lors de la déplacement à travers chaque point, l'un des multiplicateurs linéaires a changé le signe et le reste le tenait non modifié.

Nous voyons que la méthode d'intervalle est très simple. Pour résoudre la méthode d'inégalité rationnelle fractionnée des intervalles d'intervalle, donnez-le à l'esprit:

Ou alors Classe \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: \\ Genfrac () () () (0) (\\ displaystyle p \\ gauche (x \\ droite)) (\\ displaystyle Q \\ gauche (x \\ droite))\u003e 0"> !}, ou ou .

(Dans le côté gauche - une fonction rationnelle fractionnée, à droite - zéro).

Ensuite, noter sur un point direct numérique dans lequel le numérateur ou le dénominateur est appliqué à zéro.
Ces points rompent l'ensemble du chiffre directement aux lacunes, sur chacune d'une fonction rationnelle fractionnée qui enregistre son signe.
Il reste seulement de trouver son signe à chaque intervalle.
Nous faisons cela en vérifiant le signe de l'expression n'importe où appartenant à cet écart. Après cela, écrivez la réponse. C'est tout.

Mais la question se pose: Y a-t-il toujours des signes alternes? Non pas toujours! Il est nécessaire d'être attentif et de ne pas organiser des signes mécaniquement et sans importance.

2. Considérer une autre inégalité.

Classe \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle \\ gauche (x-2 \\ droite) ^ 2) (\\ displaystyle \\ gauche (x-1 \\ droite) \\ Gauche (x-3 \\ \\ droite)\u003e 0"> !}

Ouvrir des points à nouveau sur l'axe. Points et - rampé, parce que c'est des zéros du dénominateur. Le point est également peint, car l'inégalité est stricte.

Le numérateur est positif, les deux multiplicateurs du dénominateur sont négatifs. Il est facile de vérifier en prenant n'importe quel nombre de cet intervalle, par exemple. Le côté gauche a un signe:

Avec un numérateur est positif; Le premier facteur du dénominateur est positif, le deuxième facteur est négatif. Le côté gauche a un signe:

Avec la situation la même! Le numérateur est positif, le premier facteur du dénominateur est positif, la seconde est négative. Le côté gauche a un signe:

Enfin, avec classe \u003d "Tex" alt \u003d "(! Lang: x\u003e 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Répondre:.

Pourquoi l'alternance de signes? Parce que lorsque vous passez à travers le point "responsable" pour son multiplicateur n'a pas changé le signe. Par conséquent, n'a pas changé le signe et toute la partie gauche de notre inégalité.

Production: si le multiplicateur linéaire est à un degré clair (par exemple, sur un carré), alors lors de la commutation à travers le point, le signe d'expression dans la partie gauche ne change pas. En cas de panne fréquente, bien sûr, changements.

3. Considérer un cas plus difficile. De la précédente, il est distingué par le fait que l'inégalité est inégale:

La partie gauche est la même que dans la tâche précédente. La même chose sera la photo des signes:

Peut-être que la réponse sera la même? Pas! La solution est ajoutée car, à gauche, et les parties appropriées d'inégalité sont donc zéro - ce point est une solution.

Répondre:.

Dans la tâche de l'examen en mathématiques, cette situation est courante. Ici, les candidats tombent dans le piège et perdent des points. Fais attention!

4. Et si le numérateur ou le dénominateur ne décompose-t-il pas à des multiplicateurs linéaires? Considérez une telle inégalité:

Square Trois-Stakes à décomposer Il est impossible: le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. Mais c'est bien! Cela signifie que le signe d'expression du tout est le même et spécifiquement - est positif. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans l'article sur les propriétés de la fonction quadratique.

Et maintenant, nous pouvons partager les deux parties de notre inégalité pour une valeur positive du tout. Venez à l'inégalité équivalente:

Qui est facilement résolu par la méthode d'intervalle.

Veuillez noter - nous avons partagé les deux parties de l'inégalité par le montant dont ils savaient exactement que c'était positif. Bien sûr, en général, il n'est pas nécessaire de multiplier ni de diviser l'inégalité sur une valeur variable, dont le signe est inconnu.

5 . Considérez une autre inégalité, c'est assez simple:

Donc, je veux le multiplier. Mais nous sommes déjà intelligents et nous ne ferons pas cela. En effet, il peut être à la fois positif et négatif. Et nous savons que si les deux parties d'inégalité sont multipliées par une valeur négative - le signe des modifications des inégalités.

Nous ferons différemment - nous collecterons tout dans une partie et nous donnons au dénominateur général. La partie droite restera zéro:

Classe \u003d "Tex" Alt \u003d "(! Lang: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle x-2) (\\ displaystyle x)\u003e 0"> !}

Et après cela - applicable méthode d'intervalle.

Dans l'article considérer décision des inégalités. Nous allons vous parler de comment construire des inégalités, sur des exemples compréhensibles!

Avant d'envisager la solution des inégalités dans les exemples, nous traiterons des concepts de base.

Informations communes sur les inégalités

Inégalité Il s'appelle une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par les signes de la relation\u003e. Les inégalités sont à la fois numériques et alphabet.
Les inégalités avec deux signes de relations sont appelées doubles, avec trois - triple, etc. Par example:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
Une (x) inégalités contenant un signe\u003e ou - non stratégique.
Par la décision d'inégalité C'est une valeur d'un changement dans lequel cette inégalité sera correcte.
"Résoudre les inégalités"signifie que vous devez trouver beaucoup de toutes ses solutions. Il y a divers méthodes de résolution des inégalités. Pour solutions d'inégalité Profitez d'une ligne droite numérique, qui est infinie. Par example, par la décision d'inégalité X\u003e 3 Il existe une lacune de 3 à +, et le numéro 3 n'est pas inclus dans cet écart. Le point sur le droit est indiqué par un cercle vide, car Inégalité stricte.
+
La réponse sera la suivante: x (3; +).
La valeur X \u003d 3 n'est pas incluse dans de nombreuses solutions, de sorte que le support est rond. Le signe infini est toujours mis en évidence par un support rond. Le signe signifie "possédée".
Examinez comment résoudre les inégalités d'un autre exemple avec un signe:
x 2
-+
La valeur X \u003d 2 entre de nombreuses solutions, le support est donc carré et le point de droite est indiqué par le cercle.
La réponse sera la suivante: x)