Transformation des expressions contenant des degrés. Transformation des expressions
Considérons le sujet de la transformation des expressions avec degrés, mais arrêtons d'abord à un certain nombre de transformations pouvant être effectuées avec toutes les expressions, y compris avec puissance. Nous allons apprendre à révéler des crochets, apporter des termes similaires, travailler avec la base et l'indicateur du degré, utilisez les propriétés de degrés.
Quelles sont les expressions puissantes?
DANS cours d'école Peu d'utilisations de la phrase "expressions puissantes", mais ce terme se réunit constamment dans les collections pour préparer l'examen. Dans la plupart des cas, des phrases sont indiquées par des expressions contenant dans leurs dossiers de diplôme. C'est nous réfléchir dans notre définition.
Définition 1.
Expression de puissance - C'est une expression qui contient des degrés.
Donnons quelques exemples d'expressions de courant, en commençant par le degré d'indicateur naturel et se terminant par le réel indicateur.
Les expressions de puissance les plus simples peuvent être considérées comme le degré du nombre avec l'indicateur naturel: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 · A 2 - A + A 2, X 3 - 1, (A 2) 3. Ainsi que des degrés avec indicateur zéro: 5 0, (A + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Et degrés avec des degrés négatifs entiers: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Facilement plus difficile à travailler avec un degré d'indicateurs rationnels et irrationnels: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 2 3, 5 · 2 - 2 2 - 1, 5, 1 A 1 4 · A 1 2 - 2 · A - 1 6 · B 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.
En tant qu'indicateur, une variable 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 ou un logarithme peut être x 2 · l g x - 5 · x l g x.
Avec la question de quelles expressions puissantes, nous avons compris. Maintenant, nous allons traiter de leur conversion.
Les principaux types de transformations des expressions de puissance
Tout d'abord, nous examinerons les transformations d'identité de base des expressions pouvant être effectuées avec des expressions de puissance.
Exemple 1.
Calculer la valeur de l'expression de puissance 2 3 · (4 2 - 12).
Décision
Toutes les transformations que nous serons effectuées conformément à la procédure d'exécution des actions. Dans ce cas, nous commençons par la mise en œuvre des actions entre crochets: remplacez le degré de valeur numérique et calculez la différence de deux nombres. Avoir 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.
Nous devons encore remplacer le diplôme 2 3 Sa signification 8 et calculer le travail 8 · 4 \u003d 32. Voici notre réponse.
Répondre: 2 3 · (4 2 - 12) \u003d 32.
Exemple 2.
Simplifier l'expression avec degrés 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7.
Décision
Une expression qui nous est donnée en termes de tâche contient des termes similaires que nous pouvons mener: 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7 \u003d 5 · A 4 · B - 7 - 1.
Répondre: 3 · A 4 · B - 7 - 1 + 2 · A 4 · B - 7 \u003d 5 · A 4 · B - 7 - 1.
Exemple 3.
Préparez une expression avec des degrés 9 - B 3 · π - 1 2 en tant que pièce.
Décision
Imaginez le numéro 9 comme diplôme 3 2 et appliquer la formule de multiplication abrégée:
9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 2 - B 3 π - 1 2 \u003d \u003d 3 - B 3 · π - 1 3 + B 3 · π - 1
Répondre: 9 - B 3 · π - 1 2 \u003d 3 - B 3 · - 1 3 + B 3 · π - 1.
Et maintenant, nous nous tournons vers l'analyse de transformations identiques pouvant être appliquées avec précision par rapport aux expressions de puissance.
Travailler avec la base et l'indicateur du degré
Le degré de base ou indicateur peut également avoir des chiffres, des variables et des expressions. Par example, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7 et . Travailler avec de telles entrées est difficile. Il est beaucoup plus facile de remplacer l'expression à la base du degré ou de l'expression dans l'indicateur identique expression égale.
Les transformations degrés et indicateurs sont effectuées selon les règles qui nous sont connues séparément les unes des autres. La chose la plus importante est que, à la suite de la transformation, une expression est identique à celle initiale.
Le but des transformations consiste à simplifier l'expression initiale ou à obtenir la solution au problème. Par exemple, dans l'exemple, que nous avons mentionné ci-dessus, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7, vous pouvez effectuer des actions pour transmettre au degré 4 , 1 1 , 3 . Supports ouverts, nous pouvons mener des termes similaires au fond (A · (A + 1) - A 2) 2 · (x + 1) et obtenir une expression puissante d'un type plus simple A 2 · (x + 1).
Utiliser les propriétés de degrés
Les propriétés des degrés enregistrées sous forme de paux sont l'un des principaux outils de transformation des expressions avec des degrés. Voici le principal d'entre eux, étant donné que UNE. et B. - ce sont des nombres positifs et R et S. - nombres valides arbitraires:
Définition 2.
- un r · A S \u003d A R + S;
- un R: A S \u003d A R - S;
- (a · b) r \u003d un r · b r;
- (A: b) r \u003d a r: b r;
- (Un r) s \u003d un r · s.
Dans les cas où nous traitons des indicateurs naturels, entier, des indicateurs positifs du degré, les limitations du nombre A et B peuvent être beaucoup moins strictes. Donc, par exemple, si nous considérons l'égalité a m · a n \u003d a m + noù M. et N. - nombres naturels, il sera vrai pour toutes les valeurs d'A, à la fois positives et négatives, ainsi que pour a \u003d 0.
Il est possible d'appliquer les propriétés des degrés sans restrictions dans les cas où les bases de degrés sont positives ou contiennent des variables, dont la zone de valeurs admissibles est telle que seules les valeurs positives sont prises dessus. En fait, dans programme scolaire En mathématiques, la tâche de l'étudiant est de choisir une propriété appropriée et sa demande correcte.
Lors de la préparation de l'admission aux universités, des tâches peuvent survenir dans lesquelles l'utilisation inexcitante des propriétés conduira à un rétrécissement de l'OTZ et d'autres difficultés avec la solution. Dans cette section, nous n'en analysons que deux cas de ce type. Plus d'informations sur la question se trouvent dans la rubrique "Transformation des expressions utilisant les propriétés de degrés".
Exemple 4.
Imaginez une expression A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 sous la forme d'un degré UNE..
Décision
Pour commencer, nous utilisons la propriété d'exercice et nous transformons le deuxième facteur à ce sujet. (A 2) - 3 . Ensuite, utilisez les propriétés de la multiplication et de la division des degrés avec la même base:
a 2, 5 · A - 6: A - 5, 5 \u003d A 2, 5 - 6: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5: A - 5, 5 \u003d A - 3, 5 - (- 5, 5) \u003d A 2.
Répondre: A 2, 5 · (A 2) - 3: A - 5, 5 \u003d A 2.
La transformation des expressions de puissance selon la propriété de degrés peut être fabriquée à la fois de gauche à droite et dans la direction opposée.
Exemple 5.
Trouvez la valeur de l'expression de puissance 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.
Décision
Si nous appliquons l'égalité (A · b) r \u003d un r · b r, à droite à gauche, puis nous obtenons un produit du formulaire 3 · 7 1 3 · 21 2 3 et des 21 1 3 · 21 2 3 supplémentaires. Déplacement des indicateurs lors de la multiplication de degrés avec les mêmes bases: 21 1 3 · 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Il y a une autre façon d'effectuer la conversion:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21
Répondre: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21
Exemple 6.
L'expression de puissance est donnée A 1, 5 - a 0, 5 - 6Entrez une nouvelle variable T \u003d a 0, 5.
Décision
Imaginer un diplôme A 1, 5 comme a 0, 5 · 3 . Utilisez la propriété de degré dans le degré (a r) s \u003d un r · s À droite et obtenir (A 0, 5) 3: A 1, 5 - A 0, 5 - 6 \u003d (A 0, 5) 3 - A 0, 5 - 6. Dans l'expression résultante, vous pouvez facilement entrer une nouvelle variable. T \u003d a 0, 5: Recevoir T 3 - T - 6.
Répondre: T 3 - T - 6.
Transformation de fractions contenant des degrés
Nous traitons habituellement deux variantes d'expressions de puissance avec des fractions: l'expression est une fraction avec un degré ou contient une telle fraction. Ces expressions appliquent toutes les transformations majeures des fractions sans restrictions. Ils peuvent être réduits, conduire à un nouveau dénominateur, fonctionnent séparément avec un numérateur et un dénominateur. Nous illustrons cela par des exemples.
Exemple 7.
Simplifiez l'expression de puissance 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · 2 - 3 - 3 · 2.
Décision
Nous avons affaire à une fraction, nous effectuons donc des transformations dans le numérateur et dans le dénominateur:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · 2 \u003d 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 \u003d \u003d 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 \u003d 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2
Position moins avant la fraction afin de changer le signe du dénominateur: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2
Répondre: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · 2 \u003d - 12 2 + x 2
Les fractions contenant des degrés sont données au nouveau dénominateur dans exactement ainsi que des fractions rationnelles. Pour ce faire, vous devez trouver un multiplicateur supplémentaire et multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction. Il est nécessaire de sélectionner un facteur supplémentaire de manière à ne pas s'appliquer à zéro sous aucune valeur des variables des variables impaires de l'expression initiale.
Exemple 8.
Donner des fractions à un nouveau dénominateur: a) A + 1 A 0, 7 au dénominateur UNE., B) 1 x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y 1 6 + 4 · Y 1 3 au dénominateur x + 8 · Y 1 2.
Décision
a) Nous sélectionnerons un multiplicateur qui nous permettra d'apporter à un nouveau dénominateur. a 0, 7 · a 0, 3 \u003d A 0, 7 + 0, 3 \u003d A,par conséquent, comme un multiplicateur supplémentaire que nous allons prendre A 0, 3. La zone de valeurs admissibles de la variable A comprend de nombreux nombres valides positifs. Dans cette zone A 0, 3 Pas accès à zéro.
Effectuer la multiplication du numérateur et du dénominateur de la fraction sur A 0, 3:
a + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A 0, 7 · A 0, 3 \u003d A + 1 · A 0, 3 A
b) Faites attention au dénominateur:
x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · Y 1 6 + 2 · Y 1 6 2
Multipliez cette expression sur x 1 3 + 2 · y 1 6, nous obtenons la somme des cubes x 1 3 et 2 · y 1 6, c'est-à-dire X + 8 · y 1 2. Ceci est notre nouveau dénominateur auquel nous devons apporter la fraction d'origine.
Nous avons donc trouvé un multiplicateur supplémentaire X 1 3 + 2 · Y 1 6. Sur la zone des valeurs admissibles des variables X. et Y. L'expression x 1 3 + 2 · y 1 6 ne se tourne pas à zéro, nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction:
1 x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · Y 1 6 x 1 3 + 2 · Y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · Y 1 6 x 1 3 3 + 2 · Y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 · Y 1 6 x + 8 · Y 1 2
Répondre: a) A + 1 A 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 A, B) 1 x 2 3 - 2 · X 1 3 · Y 1 6 + 4 · Y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · Y 1 2.
Exemple 9.
Réduisez la fraction: a) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3, B) A 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2.
Décision
a) Nous utilisons le plus grand dénominateur commun (noeud) auquel le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits. Pour les chiffres 30 et 45, c'est 15. Nous pouvons également réduire sur x 0, 5 + 1 et sur x + 2 · x 1 1 3 - 5 3.
On a:
30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1)
b) Ici, la présence des mêmes multiplicateurs n'est pas évidente. Vous devrez effectuer des conversions afin d'obtenir les mêmes multiplicateurs dans un numérateur et un dénominateur. Pour ce faire, posez un dénominateur à l'aide de la formule de différence carrée:
a 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 2 - B 1 2 2 2 \u003d A 1 4 - B 1 4 A 1 4 + B 1 4 · A 1 4 - B 1 4 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4
Répondre:a) 30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 · X 3 3 · (x 0, 5 + 1), B) A 1 4 - B 1 4 A 1 2 - B 1 2 \u003d 1 A 1 4 + B 1 4.
Les actions essentielles avec les fractions incluent une nouvelle dénominatrice et des fractions de coupe. Les deux actions sont effectuées conformément à un certain nombre de règles. Lors de l'ajout et de la soustraction des fractions, les fractions sont données à un dénominateur commun, après quoi les actions (addition ou soustraction) sont effectuées avec des chiffres. Le dénominateur reste le même. Le résultat de nos actions est une nouvelle fraction, dont le numérateur est le produit de numérateurs, et le dénominateur est un produit de dénominateurs.
Exemple 10.
Effectuez des actions x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.
Décision
Commençons par la soustraction de fractions situées entre crochets. Nous leur donnons au dénominateur général:
x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1
S'inscrire NUMÉROS:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2
Maintenant, nous multiplions les fractions:
4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2
Nous réduirons dans le degré x 1 2., nous obtenons 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1.
De plus, il est possible de simplifier l'expression de puissance dans le dénominateur, à l'aide de la formule de différence carrée: carrés: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.
Répondre: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1
Exemple 11.
Simplifiez l'expression de puissance x 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3.
Décision
Nous pouvons réduire la fraction sur (x 2, 7 + 1) 2. Nous obtenons la fraction x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1.
Nous continuons à transformer les degrés de x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Maintenant, vous pouvez utiliser les défenses de degrés avec les mêmes bases: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 · 1 x 2, 7 + 1.
Allez de la dernière œuvre à la fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Répondre: x 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Les multiples-multiples avec des indicateurs négatifs dans la plupart des cas sont plus pratiques pour transférer du numérateur au dénominateur et au dos, modifiant le signe de l'indicateur. Cette action vous permet de simplifier la solution supplémentaire. Donnons un exemple: une expression de puissance (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 peut être remplacée par x 3 · (x + 1) 0, 2.
Transformation des expressions avec des racines et des degrés
Dans les tâches, il existe des expressions puissantes qui contiennent non seulement des degrés avec indicateurs fractionnaires, mais aussi des racines. De telles expressions sont souhaitables à apporter uniquement aux racines ou seulement à des degrés. La transition vers des degrés est préférable, car ils sont plus faciles à travailler avec eux. Une telle transition est particulièrement préférable lorsque les variables OTZ pour l'expression originale permettent de remplacer les racines par des degrés sans qu'il soit nécessaire de se tourner vers le module ou de scinder l'OTZ en plusieurs lacunes.
Exemple 12.
Préparez l'expression x 1 9 · x · x 3 6 comme degré.
Décision
Zone de valeurs variables admissibles X. Déterminé par deux inégalités x ≥ 0. et x · x 3 ≥ 0, qui définit beaucoup [ 0 , + ∞) .
Sur cet ensemble, nous avons le droit de passer des racines aux degrés:
x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 9 · x · x 1 3 1 6
En utilisant les propriétés de degrés, simplifie l'expression de puissance résultante.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 \u003d x 1 9 · x 1 6 · X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3
Répondre: x 1 9 · x · x 3 6 \u003d x 1 3.
Transformation de degrés avec variables dans l'indicateur
Les données de conversion produisent simplement en cas d'utilisation compétente des propriétés degré. Par example, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 \u003d 0.
Nous pouvons remplacer le degré dans les indicateurs dont il y a une somme de certaines variables et le nombre. Dans le côté gauche, cela peut être fait avec le premier et le dernier terme de la partie gauche de l'expression:
5 2 · x · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 \u003d 0, 5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x \u003d 0.
Partagez maintenant les deux parties de l'égalité sur 7 2 · x. Cette expression sur la variable OTZ X ne reçoit que des valeurs positives:
5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0.
Nous réduirons les fractions avec degrés, nous obtenons: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 \u003d 0.
Enfin, le ratio de degrés avec indicateurs identiques Remplacé par des degrés de relations, qui conduit à une équation 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0, équivalente à 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.
Nous introduisons une nouvelle variable T \u003d 5 7 x, qui réduit la solution de l'original Équation indicative Résoudre l'équation carrée 5 · t 2 - 3 · t - 2 \u003d 0.
Transformation des expressions avec degrés et logarithmes
Les expressions contenant le diplôme et l'enregistrement du logarithme se trouvent également dans des tâches. Un exemple de telles expressions peut être: 1 4 1 - 5 · Journal 2 3 ou Log 3 27 9 + 5 (1 - Log 3 5) · Log 5 3. La transformation de telles expressions est effectuée en utilisant les approches ci-dessus et les propriétés des logarithmes, que nous avons démantelées en détail dans la thème "transformation des expressions logarithmiques".
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Matière: " Transformation des expressions contenant des degrés avec indicateur fractionnaire "
"Laissez quelqu'un essaier de passer des mathématiques et il verra qu'ils ne les laisseront pas sans eux." (M.v. lomonosov)
Objectifs leçon:
Éducatif:résumer et systématiser la connaissance des étudiants sur le sujet " indicateur rationnel"; Contrôler le niveau de maîtriser le matériau; éliminer les lacunes dans les connaissances et les compétences des étudiants;
développement:former les compétences de la maîtrise de soi des étudiants; créer une atmosphère de l'intérêt de chaque élève du travail, développez activité cognitive étudiants;
Éducatif:intérêt ferroviaire dans le sujet, à l'histoire des mathématiques.
Type de leçon: Leçon de généralisation et systématisation des connaissances
Équipement: Feuilles estimées, cartes avec missions, décodeurs, mots croisés pour chaque élève.
Préparation préliminaire: La classe est divisée en groupes, dans chaque groupe, la tête est consultante.
Pendant les classes
JE. Temps d'organisation.
Prof: Nous avons fini d'apprendre le sujet "degré avec un indicateur rationnel et ses propriétés". Votre tâche dans cette leçon, montrez comment vous avez appris le matériel étudié et comment vous pouvez appliquer les connaissances acquises lors de la résolution de tâches spécifiques. Sur la table, chacun d'entre vous a une feuille estimée. Vous y contribuerez à chaque étape de la leçon. À la fin de la leçon, vous présenterez score central Pour une leçon.
Papier d'évaluation
| Mots croisés | Entraînement | Travailler dans | Équations | Vérifiez-vous (s \\ p) | ||
II. Vérifier devoirs.
Mutual avec un crayon à la main, les réponses sont lues par les étudiants.
III. Actualisation des connaissances des étudiants.
Prof: Un écrivain français célèbre Anatole France a déclaré à la fois: "Il est nécessaire d'apprendre à s'amuser. ... pour absorber les connaissances pour les absorber d'appétit."
Nous répétons les informations théoriques nécessaires lors de la solidification de mots croisés.
Horizontalement:
1. L'action par laquelle la valeur est calculée (érection).
2. Un travail composé des mêmes multiplicateurs (Puissance).
3. L'action des diplômes lors de l'entention du degré de mesure (composition).
4. L'action de degrés dans laquelle les indicateurs de degrés sont soustraits (division).
Verticalement:
5. Le nombre de tous les mêmes multiplicateurs (indicateur).
6. Le degré avec le zéro (unité).
7. Répéter le multiplicateur (base).
8. Valeur 10 5: (2 3 5 5) (quatre).
9. Indicateur qui n'écrit généralement pas (unité).
Iv. Entraînement mathématique.
Prof. Répétez la définition du degré avec l'indicateur rationnel et ses propriétés, exécutez les tâches suivantes.
1. Représenter une expression x 22 sous la forme d'un morceau de deux degrés avec la base x, si l'un des facteurs est égal à: x 2, x 5,5, x 1 \\ 3, x 17,5, x 0
2. Simplifier:
b) en 5 \\ 8 en 1 \\ 4: dans 1 \\ 8 \u003d y
c) avec 1,4 s -0,3 ° C 2.9
3. Calculez et faites un mot à l'aide d'un décodeur.
En complétant cette tâche, vous apprendrez le nom des mathématiques allemandes, qui introduisiront le terme «indicateur».
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
Mot: 1234567 (raidel)
V. Emploi écrit dans les ordinateurs portables (réponses ouvertes sur le tableau) .
Tâches:
1. Simplifier l'expression:
(x - 2): (x 1 \\ 2 -2 1 \\ 2) (U-3): (en 1 \\ 2 - 3 1 \\ 2) (x - 1): (x 2 \\ 3 S 1 \\ 3 + + 1)
2. Trouver la valeur de l'expression:
(x 3 \\ 8 x 1 \\ 4 :) 4 à x \u003d 81
Vi. Travailler en groupes.
La tâche. Résolvez les équations et faites un mot à l'aide d'un décodeur.
Numéro de carte 1.
Mot: 1234567 (Diofant)
Numéro de carte 2.
Numéro de carte 3.
Calovo: 123451 (Newton)
Décodeur
Prof. Tous ces scientifiques ont contribué au développement du concept de "degré".
Vii. Informations historiques sur l'élaboration du concept de diplôme (rapport de l'étudiant).
Le concept de diplôme avec l'indicateur naturel a été formé par les peuples anciens. Le nombre carré et cube a été utilisé pour calculer les zones et les volumes. Les degrés de certains chiffres ont été utilisés lors de la résolution des tâches individuelles par des scientifiques L'Egypte ancienne Et Babylone.
Dans le IIIème siècle, le livre des scientifiques grecs Diophanta "Arithmétic" a été publié dans lequel il était nécessaire de commencer l'introduction du symbolisme alphabétique. Diopant introduit des symboles pour les six premiers degrés de valeurs inconnues et inverse. Dans ce livre, le carré est indiqué par l'index r; Cube - Sign K avec index R, etc.
De la pratique consistant à résoudre des tâches algébriques plus complexes et à fonctionner avec degrés, il était nécessaire de généraliser le concept de degré et de l'étendre en administrant comme indicateur de nombres zéro, négatif et fractionné. L'idée de généraliser le concept de degré de diplôme avec un taux de mathématiques non rempli s'est progressivement.
Les indicateurs fractionnaires du degré et des règles d'action les plus simples sur les degrés avec des indicateurs fractionnaires se trouvent dans les mathématiques françaises de Nicholas Orema (1323-1382) dans son travail "L'algorithme des proportions".
L'égalité et 0 \u003d 1 (pour ne pas égale à 0) a été utilisée dans ses écrits au début du 20ème siècle, Samarkand Scientifique Gyasaddin Kashi Jamshid. Indépendamment de lui, l'indicateur zéro a été introduit par Nikolai Shuke au XVe siècle. Il est connu que Nikolai Schuke (1445-1500), considérés comme des degrés avec des indicateurs négatifs et zéro.
Plus tard, fractionnaires et négatifs, les indicateurs se trouvent dans "Arithmétique intégral" (1544) des mathématiques allemandes m.stifel et Simon Stewina. Simon Stevein a suggéré d'impliquer sous une racine 1 / N.
Le mathématicien allemand m.stifel (1487-1567) a donné une définition A 0 \u003d 1 avec et entré le nom de l'indicateur (il s'agit d'une traduction alphabétique de l'exposant allemand). Allemand Potenzieren signifie exercice.
À la fin du XVIe siècle, François Vieta a introduit les lettres à désigner non seulement des variables, mais également de leurs coefficients. Il a appliqué des réductions: N, Q, C - pour les premier, deuxième et troisième degrés. Mais les désignations modernes (type A 4 et 5) dans le XVII ont introduit René Descartes.
Définitions modernes et désignations du degré d'indicateur zéro, négatif et fractionnaire proviennent des œuvres de mathématiciens anglais John Valis (1616-1703) et Isaac Newton (1643-1727).
Sur la faisabilité d'introduire des indicateurs zéro, négatif et fractionnaire et symboles modernes Pour la première fois, j'ai écrit en détail en 1665. Mathématicien anglais John Vallis. Il a été achevé par Isaac Newton, qui a commencé à appliquer systématiquement de nouveaux symboles, après quoi ils ont été inclus dans l'utilisation globale.
L'introduction d'un diplôme avec un indicateur rationnel est l'un des nombreux exemples une généralisation des concepts d'action mathématique. Le degré d'indicateurs zéro, négatif et fractionnaire est déterminé de manière à ce que les mêmes règles d'actions soient appliquées, qui se produisent pour une question d'indicateur naturel, c'est-à-dire Préserver les propriétés de base du concept défini initial de degré.
Une nouvelle définition avec un indicateur rationnel ne contredit pas l'ancienne détermination du degré avec une figure naturelle, c'est-à-dire que la signification d'une nouvelle définition d'un degré avec un indicateur rationnel est également maintenue pour un cas particulier avec un indicateur naturel. Ce principe, observé dans la généralisation de concepts mathématiques, s'appelle le principe de permanence (conservation de la constance). De manière imparfaite, il a été exprimé par 1830. Le juge de mathématicien anglais, le juge de mathématicien, l'a complètement établi par le mathématicien allemand G. Gankel en 1867
Viii. Vérifie toi-même.
Travail indépendant sur les cartes (réponses ouvertes sur le tableau) .
Option 1
1. Calculez: (1 point)
(A + 3A 1 \\ 2): (A 1 \\ 2 +3)
Option 2.
1. Calculez: (1 point)
2. Simplifier l'expression: 1 point
a) x 1.6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6
3. Résolvez l'équation: (2 points)
4. Simplifiez l'expression: (2 points)
5. Trouvez la valeur de l'expression: (3 points)
Ix. Résumant la leçon.
Quelles formules et nos règles se souviennent de la leçon?
Analysez votre travail dans la leçon.
Le travail des étudiants dans la leçon est estimé.
H. Devoirs. K: P IV (répétition) Article 156-157 N ° 4 (A-B), N ° 7 (A-B),
Facultatif: № 16
application
Papier d'évaluation
F / et / étudiant ______________________________________________
| Mots croisés | Entraînement | Travailler dans | Équations | Vérifiez-vous (s \\ p) | ||
Numéro de carte 1.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 2.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) dans 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 3.
1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 1.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 2.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) dans 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 3.
1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 1.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) en 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 7) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 2.
1) x 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) dans 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (U-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3
Décodeur
Numéro de carte 3.
1) A 2 \\ 7 A 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3,7 \u003d 8; 4) A 1 \\ 2: A \u003d 1 \\ 3; 5) A 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
Décodeur
| Option 1 1. Calculez: (1 point) 2. Simplifier l'expression: 1 point a) x 1 \\ 2 x 3 \\ 4 b) (x -5 \\ 6) -2 \\ 3 c) x -1 \\ 3: x 3 \\ 4 g) (0.04x 7 \\ 8 \\ 8) -1 \\ 2 3. Résolvez l'équation: (2 points) 4. Simplifiez l'expression: (2 points) (A + 3A 1 \\ 2): (A 1 \\ 2 +3) 5. Trouvez la valeur de l'expression: (3 points) (En 1 \\ 2 -2) -1 - (en 1 \\ 2 +2) -1 à Y \u003d 18 | Option 2. 1. Calculez: (1 point) 2. Simplifier l'expression: 1 point a) x 1.6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6 c) x 3 \\ 7: x -2 \\ 3 g) (0.008x -6 \\ 7) -1 \\ 3 3. Résolvez l'équation: (2 points) 4. Simplifiez l'expression: (2 points) (dans 1.5 SSH 1,5): (à 0,5 - de 0,5) 5. Trouvez la valeur de l'expression: (3 points) (x 3 \\ 2 + x 1 \\ 2): (x 3 \\ 2 s 1 \\ 2) à x \u003d 0,75 |
|||||||||||||
Institution uniforme des États municipaux
de base école complète № 25
Algèbre de cours
Matière:
« Transformation des expressions contenant des degrés avec des indicateurs fractionnaires "
Développé:
,
professeur mathématique
k.catégorie de valivalité
Nouer
2013
Cours de thème: Transformation des expressions contenant des degrés avec des indicateurs fractionnaires
Le but de la leçon:
1. Formation supplémentaire des compétences, des connaissances, des compétences de transformation des expressions contenant des degrés avec des indicateurs fractionnaires
2. Développement de la capacité de trouver des erreurs, un développement de la pensée, de la créativité, de la parole, des compétences informatiques
3. Éducation de l'indépendance, intérêt pour le sujet, soins, précision.
TSO: Carte magnétique, cartes de contrôle, tables, cartes individuelles, écoliers sur la table Nettoyer des feuilles signées pour un travail individuel, mots croisés, tables d'entraînement mathématique, projecteur multimédia.
Type de leçon: Fixation Zun.
Plan de cours de temps
1. Moments organisationnels (2 min)
2. Vérification des devoirs (5 min)
3. Solution de mots croisés (3 min)
4. Entraînement mathématique (5 min)
5. Exercices de résolution pour la fixation avant (7 min)
6. Travail individuel (10 min)
7. Exercices de résolution pour la répétition (5 min)
8. Total Leçon (2 min)
9. Tâche pour la maison (1 min)
Pendant les classes
1) Vérifier les devoirs sous forme de mutuelle . Bons disciples Consultez les ordinateurs portables des gars faibles. Et les mecs faibles vérifient fort en fonction de la carte de référence. Les devoirs sont donnés en deux versions.
JE. la tâche d'option est facile
II. complexe de tâches d'option
À la suite de la vérification des gars mettant l'accent sur les erreurs avec un crayon simple et mettre une évaluation. Je vérifie enfin le travail après que les gars passent le cahier après la leçon. Je demande aux gars les résultats de leurs chèques et définissent les estimations de ce type de travail dans votre table de résumée.
2) Pour vérifier que le matériau théorique est proposé..
Verticalement:
1. La propriété de multiplication utilisée lors de la multiplication est inutile à un polynôme?
2. Action des taux de diplôme lors de la construction de diplômes?
3. Le degré avec l'indicateur zéro?
4. Le travail composé des mêmes multiplicateurs?
Horizontalement:
5. N. racine - Essentiel d'un nombre non négatif?
6. Action des indicateurs lors de la multiplication de degrés?
7. Action d'indicateurs de diplôme lors de la division de degrés?
8. Le nombre de tous les mêmes multiplicateurs?
3) Entraînement mathématique
a) Effectuer le calcul et avec l'aide du chiffre, lisez le mot chargé dans la tâche.
Sur le tableau devant votre table. Dans le tableau de la colonne 1, des exemples sont écrits pour calculer.
La clé de la table
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
Et écrire la réponse dans la colonneII, et dans la colonne III Mettre la lettre correspondant à cette réponse.
Enseignant: Donc, le mot crypté "degré". Dans la tâche suivante, nous travaillons avec le 2e et le 3ème degré
b) Le jeu "Watch ne se trompe pas"
Au lieu de points, placez le nombre
a) x \u003d (x ...) 2; b) A3 / 2 \u003d (A1 / 2) ...; c) A \u003d (A1 / 3) ...; d) 5 ... \u003d (51/4) 2; e) 34/3 \u003d (34/9) ...; e) 74/5 \u003d (7 ...) 2; g) x1 / 2 \u003d (x ...) 2; h) u1 / 2 \u003d (y ...) 2
Trouvez une erreur:
A1 / 4 - 2A1 / 2 + 1 \u003d (A1 /
Donc, les gars, ce qu'il fallait être appliqué pour effectuer cette tâche:
La propriété de degrés: lorsque le diplôme est soulevé dans le degré, les indicateurs sont variables;
4) Et maintenant procéder au travail écrit frontal. en utilisant les résultats de l'œuvre précédente. Ouvrez les cahiers Écrivez le numéro, leçon de thème.
№ 000
a) A - B \u003d (A1 / 2) 2 - (B1 / 2) 2 \u003d (A1 / 2 - B1 / 2) * (A1 / 2 + B1 / 2)
b) A - B \u003d (A1 / 3) 3 - (B1 / 3) 3 \u003d (A1 / 3 - B1 / 3) * (A2 / 3 + A1 / 3 B1 / 3 + B2 / 3)
№000 (a, b, g, d)
mais ) M2 - 5 \u003d M2 - (M1 / 2) 2 \u003d (M - 51/2) * (M + 51/2)
c) A3 - 4 \u003d (A3 / 2) 2 - 22 \u003d (A3 / 2 - 2) * (A3 / 2 +2)
d) x2 / 5 - y4 / 5 \u003d (x1 / 5) 2 - (Y2 / 5) 2 \u003d (x1 / 5 - y2 / 5) * (x1 / 5 + y2 / 5)
e) 4 - A \u003d 22 - (A1 / 2) 2 \u003d (2 - A1 / 2) * (2 + A1 / 2)
№000 (a, g, e)
a) x3 - 2 \u003d x3 - (21/3) 3 \u003d (x - 21/3) * (x2 + 21/3 x + 22/3)
d) A6 / 5 + 27 \u003d (A2 / 5) 3 + 33 \u003d (A2 / 5 + 3) * (A4 / 3 - 3 A2 / 5 + 9)
e) 4 + y \u003d (41/3) 3 + (Y1 / 3) 3 \u003d (41/3 + Y1 / 3) * (42/3 + 41/3 Y1 / 3 + Y2 / 3)
Évaluation
5) Travailler sur des cartes individuelles en quatre options sur des feuilles individuelles
Les tâches avec des degrés de complexité variables sont effectuées sans aucun conseil d'enseignant.
Je vérifie immédiatement le travail et mettez une évaluation dans ma table et sur les feuilles des gars.
№000 (a, b, d, z)
a) 4 * 31/2 / (31/2 - 3) \u003d 4 * 31/2 / 31/2 * (1 - 31/2) \u003d 4 / (1 - 31/2)
c) x + x1 / 2 / 2x \u003d x1 / 2 * (x1 / 2 + 1) / 2 * (x1 / 2) 2 \u003d (x1 / 2 + 1) / 2x1 / 2
e) (A2 / 3 - B2 / 3) / (A1 / 3 + B1 / 3) \u003d (A1 / 3) 2 - (B1 / 3) 2 / (A1 / 3 + B1 / 3) \u003d (A1 / 3 + B1 / 3) * (A1 / 3 -B1 / 3) / (A1 / 3 + B1 / 3) \u003d A1 / 3 - B1 / 3
h) (x2 / 3 - x1 / 3 y1 / 3 + y2 / 3) / (x + y) \u003d (x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (u1 / 3) 2) / (( x1 / 3) 3 + (U1 / 3) 3) \u003d (x1 / 3) 2 - x1 / 3 u1 / 3 + (U1 / 3) 2) / (x1 / 3 + u1 / 3) * ((x1 / 3) 2 - X1 / 3 U1 / 3 + (U1 / 3) 2) \u003d 1 / (x1 / 3 + u1 / 3)
7) Travailler sur des cartes individuelles avec des degrés de complexité variés. Dans certains exercices, il y a des recommandations de l'enseignant, car le matériau compliqué et les mecs faibles sont difficiles à faire face au travail
Les quatre options sont également proposées. L'évaluation se produit immédiatement. Je vais appeler toutes les évaluations dans la table.
Numéro de tâche de la collection
L'enseignant pose des questions:
1. Que devriez-vous trouver dans la tâche?
2. De quoi avez-vous besoin de savoir?
3. Comment exprimer le temps 1 piéton et 2 piétons?
4. Comparez le temps 1 et 2 piéton sous la condition du problème et faites l'équation.
La solution du problème:
Soit x (km / h) une vitesse de 1 piéton
X +1 (km / h) - vitesse 2 piétonne
4 / x (h) - Temps piétonnier
4 / (x +1) (h) - l'heure du deuxième piéton
Sous l'état du problème 4 / x\u003e 4 / (x +1) de 12 minutes
12 min \u003d 12/60 h \u003d 1/5 h
Compiler l'équation
X / 4 - 4 / (x +1) \u003d 1/5
NOS: 5x (x +1) ≠ 0
5 * 4 * (x + 1) - 5 * 4x \u003d x * (x + 1)
20x + 20 - 20x - x2 - x \u003d 0
X2 + x -20 \u003d 0
D \u003d 1 - 4 * (- 20) \u003d 81, 81\u003e 0, 2 à
x1 \u003d (-1 -√81) / (- 2) \u003d 5 km / h - vitesse 1 piéton
x2 \u003d (-1 + √81) / (- 2) \u003d 4 - ne convient pas au sens du problème, depuis x\u003e 0
Réponse: 5 km / h - Vitesse 2 Piéton
9) Leçon totale: Donc, aujourd'hui à la leçon, nous avons obtenu des connaissances, des compétences, des compétences de conversion des expressions contenant des degrés, des formules de multiplication abrégée, la transaction du facteur total derrière les crochets, a été répétée. J'indique des avantages et des inconvénients.
Résumant la leçon dans la table.
Mots croisés | Tapis. Entraînement | De face. Travail | Indiana Job K-1 | Indiana Travail K-2 | ||||
10) Je annonce des estimations. Tâche à la maison
Cartes individuelles K - 1 et K - 2
Je change - 1 et B - 2; En - 3 et dans - 4, comme ils sont équivalents
Applications à la leçon.
1) cartes pour les devoirs
1. Simplifier
a) (X1 / 2 - U1 / 2) 2 + 2x1 / 2 U1 / 2
b) (A3 / 2 + 5A1 \\ 2) 2 - 10a2
2. Imaginez le montant
a) A1 / 3 C1 \\ 4 * (B2 / 3 + C3 / 4)
b) (A1 / 2 - B1 / 2) * (A + A1 / 2 B1 \\ 2 + B)
3. Retirez le multiplicateur commun
c) 151/3 +201/3
1. Simplifier
a) √m + √n - (M1 / 4 - N1 / 4) 2
b) (A1 / 4 + B1 / 4) * (A1 / 8 + B1 / 8) * (A1 \\ 8 - B1 / 8)
2. Imaginez le montant
a) x0.5 y0.5 * (x-0,5 - u1,5)
b) (x1 / 3 + u1 / 3) * (x2 \\ 3 - x1 / 3 u1 \\ 3 + u2 / 3)
3. Retirez le multiplicateur général des supports
b) b1 \\ 3 - dans
c) (2a) 1/3 - (5a) 1 \\ 3
2) Carte de contrôle pour B - 2
a) √m + √n - (m 1 | 4 - N 1 | 4) 2 \u003d m 1 | 2 + N 1 | 2 - ((M 1 | 2) 2 - 2 m 1/4 N 1/4 + (N 1/2) 2) \u003d M 1/2 + N 1/2 - M 1/2 + 2 m 1/4 N 1/4 - N 1/2 \u003d 2 m 1/4 N 1/4
b) (A1 / 4 + B1 / 4) * (A1 / 8 + B1 / 8) * (A1 / 8 - B1 / 8) \u003d (A1 / 4 + B1 / 4) * (A1 / 8) 2 - ( B1 / 8) 2 \u003d (A1 / 4 + B1 / 4) * (A1 / 4 - B1 / 4) \u003d (A1 / 4) 2 - (B1 / 4) 2 \u003d A1 / 2 - B1 / 2
a) x0.5 y0.5 * (x-0,5-y1,5) \u003d x0,5 y0.5 x-0,5 - x0.5 y0,5u1,5,5 \u003d x0 y0.5 - x0.5 u2 \u003d Y0.5 - X0.5 Y2
b) (x1 / 3 + u1 / 3) * (x2 / 3 - x1 / 3 u1 \\ 3 + u2 / 3) \u003d (x1 \\ 3 + u1 / 3) * (x1 / 3) 2 - x1 / 3 U1 \\ 3 + (U1 / 3) 2) \u003d (x1 / 3) 2 + (U1 / 3) 2 \u003d x +
a) 3 - 31/2 \u003d 31/2 * (31/2 - 1)
b) B1 / 3 - B \u003d B1 / 3 * (1 - B2 / 3)
c) (2a) 1/3 - (5a) 1/3 \u003d A1 / 3 * (21/3 - 51/3)
3) cartes pour le premier travail individuel
a) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0
b) a - et, et ≥ 0
1. Développer les facteurs soumis sous forme de carrés
a) A1 / 2 - B1 / 2
2. Explorer les facteurs soumis comme une différence ou une quantité de cubes
a) C1 / 3 + D1 / 3
1. Développer les facteurs soumis sous forme de carrés
a) x1 / 2 + u1 / 2
b) x1 / 4 - U1 / 4
2. Explorer les facteurs soumis comme une différence ou une quantité de cubes
4) cartes pour le deuxième travail individuel
a) (x - x1 / 2) / (x1 / 2 - 1)
Spécification: X1 / 2 Prenez les chiffres pour le support
b) (A - C) / (A1 / 2 - B1 / 2)
Remarque: A - B \u003d (A1 / 2) 2 - (B1 / 2) 2
Réduire la fraction
a) (21/4 - 2) / 5 * 21/4
Remarque: 21/4 Sortez le support
b) (A - B) / (5A1 / 2 - 5V1 / 2)
Remarque: A - B \u003d (A1 / 2) 2- (B1 / 2) 2
Option 3.
1. Réduire la fraction
a) (x1 / 2 - x1 / 4) / x3/4
Spécification: X1 / 4 pour faire un support
b) (A1 / 2 - B1 / 2) / (4A1 / 4 - 4V1 / 4)
Option 4.
Réduire la fraction
a) 10 / (10 - 101/2)
b) (A - C) / (A2 / 3 + A1 \\ 3B1 / 3 + en 1/3)
Expressions, transformation des expressions
Expressions puissantes (expressions avec des degrés) et leur conversion
Dans cet article, nous parlerons de transformer des expressions avec degrés. Nous allons d'abord se concentrer sur les transformations effectuées avec des expressions de toute espèce, y compris avec des expressions puissantes, telles que la divulgation de supports, apportant des termes similaires. Et ensuite, nous analyserons la transformation inhérente aux expressions avec degrés: travailler avec la base et l'indicateur du degré, l'utilisation des propriétés de degrés, etc.
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Quelles sont les expressions de pouvoir?
Le terme "expressions puissantes" ne se produit pratiquement pas aux manuels scolaires des mathématiques, mais il apparaît souvent dans des collections de tâches, spécialement conçues pour se préparer à EGE et à OGE, par exemple. Après avoir analysé les tâches dans lesquelles toute action est requise avec les expressions de puissance, il devient clair que, sous des expressions électriques, comprenez les expressions contenant dans leurs documents de diplôme. Par conséquent, il est possible d'accepter une telle définition pour vous-même:
Définition.
Expressions électriques - Ce sont des expressions contenant des degrés.
Ici exemples d'expressions de puissance. De plus, nous les soumettrons en fonction de la manière dont le développement des vues sur un indicateur naturel au degré au degré d'indicateur réel se produit.
Comme vous le savez, d'abord la connaissance avec le degré de nombre avec une figure naturelle, à ce stade, les premières expressions de puissance les plus simples de type 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · A 2 apparaissent -a + a 2, x 3-1, (a 2) 3, etc.
Un peu plus tard, le degré de nombre avec un entier est étudié, ce qui conduit à l'émergence d'expressions de pouvoir avec des degrés négatifs entiers, comme les éléments suivants: 3 -2, 
, A -2 + 2 · B -3 + C 2.
Au lycée, retourna à degrés. Il existe un diplôme avec un indicateur rationnel, qui implique l'apparition d'expressions de puissance appropriées: 
, , 
etc. Enfin, discute de degrés avec des indicateurs irrationnels et comprenant leurs expressions: ,.
Le cas énumérés par les expressions d'alimentation ne se limite pas à: la variable pénètre plus loin en termes de mesure et de telles expressions 2 x 2 +1 ou 
. Et après la connaissance, les expressions avec degrés et logarithmes commencent à se rencontrer, par exemple, X 2 · LGX -5 · X LGX.
Nous avons donc traité la question qui représente des expressions puissantes. Nous continuerons d'apprendre à les convertir.
Les principaux types de transformations des expressions de puissance
Avec des expressions électriques, vous pouvez effectuer l'une des principales transformations d'identité des expressions. Par exemple, vous pouvez révéler des crochets, remplacer les expressions numériques par leurs valeurs, apporter des termes similaires, etc. Naturellement, il devrait être nécessaire de respecter la procédure d'exécution des actions. Nous donnons des exemples.
Exemple.
Calculez la valeur de l'expression de puissance 2 3 · (4 2 à 12).
Décision.
Selon la procédure d'exécution des actions, effectuez d'abord des actions entre crochets. Là, premièrement, nous remplaçons le degré 4 2 de sa valeur 16 (voir si nécessaire) et, d'autre part, nous calculons la différence 16-12 \u003d 4. Avoir 2 3 · (4 2 à 12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.
Dans l'expression résultante, nous remplaçons le degré 2 3 de sa valeur 8, après quoi nous calculons le produit 8 · 4 \u003d 32. Ceci est la valeur souhaitée.
Donc, 2 3 · (4 2 à 12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.
Répondre:
2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.
Exemple.
Simplifier les expressions avec degrés 3 · A 4 · B -7 -1 -1 + 2 · A 4 · B -7.
Décision.
Il est évident que cette expression contient des termes similaires 3 · A 4 · B -7 et 2 · A 4 · B -7, et nous pouvons les conduire :.
Répondre:
3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B -7 -1 -1.
Exemple.
Présenter une expression avec des degrés sous la forme d'un travail.
Décision.
Le crédit avec la tâche permet la représentation du numéro 9 sous la forme de degré 3 2 et de l'utilisation ultérieure de la formule de la multiplication abrégée. Différences carrées: 
Répondre:
Il existe également un certain nombre de transformations identiques inhérentes aux expressions de puissance. Ensuite, nous les discerons.
Travailler avec la base et l'indicateur du degré
Il y a de l'étendue, à la base et / ou à l'indicateur desquels ne sont pas des chiffres ou des variables, mais certaines expressions. À titre d'exemple, donnez l'enregistrement (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 et (A · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1).
Lorsque vous travaillez avec des expressions similaires, il est possible comme une expression à la base du degré et l'expression de l'indicateur est remplacée par l'impression identique à celle de l'impression de ses variables. En d'autres termes, nous pouvons convertir séparément l'onine de degré de mesure séparément et séparément l'indicateur. Il est clair que, à la suite de cette transformation, une expression sera identique à celle initiale.
De telles transformations permettent de simplifier les expressions avec des degrés ou d'atteindre d'autres fins dont nous avons besoin. Par exemple, dans l'expression de puissance susmentionnée (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, il est possible d'effectuer des actions avec des nombres à la base et à l'indicateur, ce qui vous permettra de passer au degré de 4.1 1.3. Et après les divulgations des supports et apportent des termes similaires à la base du degré (A · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1), nous obtenons une expression de puissance d'une forme plus simple A 2 · ( X + 1).
Utiliser les propriétés de degrés
L'un des principaux outils pour transformer des expressions avec degrés est l'égalité reflétant. Rappeler le principal d'entre eux. Pour tout le monde nombres positifs A et B et des nombres valides arbitraires R et S sont équitables aux propriétés suivantes de degrés:
- un r · A S \u003d A R + S;
- un R: A S \u003d A R-S;
- (a · b) r \u003d un r · b r;
- (A: b) r \u003d a r: b r;
- (Un r) s \u003d un r · s.
Notez qu'avec naturel, les entiers, ainsi que les indicateurs positifs du degré de restriction sur le nombre A et B peuvent ne pas être aussi stricts. Par exemple, pour les nombres naturels M et N, l'égalité A M · A N \u003d A M + N est vraie non seulement pour une solution positive, mais également négative et pour A \u003d 0.
À l'école, l'accent mis sur la transformation des expressions de puissance est axé sur la possibilité de sélectionner une propriété appropriée et de l'appliquer correctement. Dans le même temps, les bases de degrés sont généralement positives, ce qui permet d'utiliser les propriétés de degrés sans restrictions. Il en va de même pour la transformation des expressions contenant des variables dans les bases de degrés - la zone de valeurs admissibles des variables est généralement que seules les valeurs positives sont prises dessus, ce qui vous permet d'utiliser librement les propriétés de degrés. . En général, il est nécessaire de se demander constamment s'il est possible d'utiliser toute propriété de degrés dans ce cas, car l'utilisation inexcitante des propriétés peut entraîner un rétrécissement de l'OTZ et d'autres problèmes. En détail et sur des exemples, ces moments sont démontés dans la transformation des expressions d'article utilisant les propriétés de degrés. Ici, nous nous limiterons à la prise en compte de plusieurs exemples simples.
Exemple.
Préparez une expression A 2.5 · (A 2) -3: A -5.5 comme degré avec une base a.
Décision.
Premièrement, le deuxième facteur (a 2) -3 convertit l'exercice dans la mesure du degré de mesure: (a 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. L'expression de puissance initiale prend la forme A 2.5 · A -6: A -5.5. Évidemment, il reste à tirer parti des propriétés de la multiplication et de la division des degrés de la même base, nous avons
a 2.5 · A -6: A -5.5 \u003d
a 2.5-6: A -5.5 \u003d A -3,5: A -5.5 \u003d
a -3,5 - (- 5.5) \u003d A 2.
Répondre:
a 2.5 · (A 2) -3: A -5.5 \u003d A 2.
Les propriétés des degrés lors de la conversion des expressions de puissance sont utilisées à partir de gauche à droite et à droite à gauche.
Exemple.
Trouvez la valeur d'une expression de puissance.
Décision.
L'égalité (A · B) R \u003d A R · B R, appliquée à droite à gauche, permet à l'expression initiale de se déplacer sur le produit et de plus en plus. Et lors de la multiplication de degrés avec les mêmes bases, les indicateurs se plient: 
.
Il était possible d'effectuer la transformation de l'expression initiale et autrement: 
Répondre:
.
Exemple.
L'expression de puissance a 1,5 -a 0,5 -6, entrez une nouvelle variable T \u003d A 0.5.
Décision.
Le degré A 1.5 peut être représenté sous forme de 0,5 · 3 et sur la base de données de la propriété de degré au degré (A R) S \u003d A R · S, appliqué à droite à gauche, le convertir en forme (A 0.5) 3. De cette façon, un 1,5 -A 0.5 -6 \u003d (A 0.5) 3 -A 0.5 -6. Maintenant, il est facile d'entrer une nouvelle variable T \u003d A 0.5, nous obtenons T 3 -T-6.
Répondre:
t 3 -T-6.
Transformation de fractions contenant des degrés
Les expressions puissantes peuvent contenir des fractions avec des degrés ou représenter de telles fractions. De telles fractions sont parfaitement applicables à toutes les transformations principales de fractions inhérentes aux fractions de tout type. C'est-à-dire que les fractions contenant des degrés peuvent être réduites, conduisent à un nouveau dénominateur, fonctionnent séparément avec leur numérateur et séparément avec le dénominateur, etc. Pour illustrer les mots, envisagez des solutions de plusieurs exemples.
Exemple.
Simplifier l'expression de puissance 
.
Décision.
Cette expression de puissance est une fraction. Nous travaillerons avec son numérateur et son dénominateur. Dans le numérateur, nous allons révéler les crochets et simplifie l'expression obtenue après cela, en utilisant les propriétés de degrés et dans le dénominateur, nous donnerons des termes similaires: 
Et change toujours le signe du dénominateur, plaçant moins avant la fraction: 
.
Répondre:
.
Amener les degrés de fractions à un nouveau dénominateur est effectué de la même manière pour apporter des fractions rationnelles à un nouveau dénominateur. Dans le même temps, un facteur supplémentaire est également situé et multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction. Effectuer cette action, il convient de rappeler que l'apport à un nouveau dénominateur peut entraîner un rétrécissement de l'OTZ. À ce moment-là, il est nécessaire que le facteur supplémentaire ne s'applique pas à zéro à peu près quelles valeurs des variables des variables impaires pour l'expression initiale.
Exemple.
Donner des fractions à un nouveau dénominateur: a) au dénominateur A, B) 
au dénominateur.
Décision.
a) Dans ce cas, il est assez simple d'imaginer ce qu'un facteur supplémentaire contribue à atteindre le résultat souhaité. Ceci est un multiplicateur A 0,3, comme 0,7 · A 0,3 \u003d A 0,7 + 0,3 \u003d a. Notez que sur la zone de valeurs admissibles de la variable A (celles-ci constituent une pluralité de tous les nombres valides positifs), un degré de 0,3 ne fait pas appel à zéro, nous avons donc le droit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la Fraction spécifiée sur ce facteur supplémentaire: 
b) regarder de plus près le dénominateur, on peut constater que 
Et la multiplication de cette expression sur donnera la quantité de cubes et, c'est-à-dire. Et c'est le nouveau dénominateur auquel nous devons apporter la fraction d'origine.
Nous avons donc trouvé un facteur supplémentaire. Sur la zone de valeurs admissibles des variables X et Y, l'expression ne s'applique pas à zéro, par conséquent, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction: 
Répondre:
mais) 
b) 
.
Il n'y a rien de nouveau dans la réduction des fractions contenant des degrés, il n'y a rien de nouveau: le numérateur et le dénominateur sont représentés sous la forme d'un certain nombre de multiplicateurs, et les mêmes multiplicateurs du numérateur et le dénominateur sont réduits.
Exemple.
Réduire la fraction: a) 
, b).
Décision.
a) Premièrement, le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits à des nombres 30 et 45, ce qui est égal à 15. De plus, évidemment, vous pouvez faire une réduction sur x 0,5 +1 et 
. C'est ce que nous avons: 
b) Dans ce cas, les mêmes multiplicateurs du numérateur et du dénominateur ne peuvent pas être immédiatement visibles. Pour les obtenir, vous devrez effectuer des transformations préliminaires. Dans ce cas, ils sont conclus dans l'expansion du dénominateur pour les multiplicateurs utilisant la formule de la différence carrée: 
Répondre:
mais) 
b) 
.
Porter des fractions à un nouveau dénominateur et la réduction des fractions est principalement utilisée pour effectuer une action avec des fractions. Les actions sont effectuées en fonction des règles bien connues. Lors de l'ajout de fractions (soustrayez), ils sont donnés à un dénominateur partagé, après quoi ils sont remplis (soustraits) chiffres et le dénominateur reste le même. En conséquence, il allume une fraction, dont le numérateur est le produit de chiffres et le dénominateur est un produit de dénominateurs. La division de la fraction est multiplication par fraction, inverse.
Exemple.
Suis les étapes 
.
Décision.
Premièrement, nous effectuons la soustraction de fractions situées entre crochets. Pour ce faire, amenez-les à un dénominateur commun qui a 
, après quoi nous soustrayons les chiffres: 
Maintenant, nous multiplions les fractions: 
Évidemment, il est possible de réduire le degré de x 1/2, après quoi nous avons 
.
Vous pouvez toujours simplifier l'expression de puissance dans le dénominateur, en utilisant la formule de la différence carrée: 
.
Répondre:
Exemple.
Simplifier l'expression de puissance 
.
Décision.
Évidemment, cette fraction peut être réduite de (x 2.7 +1) 2, elle donne une fraction 
. Il est clair que vous devez faire autre chose avec les degrés d'ICA. Pour ce faire, nous transformons la fraction résultante dans le travail. Cela nous donne la possibilité de tirer parti de la propriété de degrés avec les mêmes motifs: 
. Et en conclusion, passez du dernier travail à la fraction.
Répondre:
.
Et j'ajoute également que cela est possible et dans de nombreux cas, il est souhaitable de transférer plusieurs taux de degré du numérateur vers un dénominateur ou du dénominateur à un numérateur, modifiant le signe de l'indicateur. De telles transformations simplifient souvent d'autres actions. Par exemple, une expression de puissance peut être remplacée par.
Transformation des expressions avec des racines et des degrés
Souvent, dans des expressions nécessitant des transformations, ainsi que de degrés avec des indicateurs fractionnaires, il y a des racines. Convertir une expression similaire à l'esprit droit, dans la plupart des cas, il suffit d'aller aux racines ou seulement à des degrés. Mais comme il est plus pratique de travailler avec des degrés, passez généralement de racines à degrés. Cependant, il est conseillé d'exercer une telle transition lorsque les variables OTZ pour l'expression initiale permettent de remplacer les racines par des degrés sans avoir à se tourner vers le module ni scinder otz à plusieurs écarts (nous sommes désassemblés en détail la transition des racines au degré de degrés et de retour après avoir exploré le degré avec un indicateur rationnel, le degré avec l'indicateur irrationnel est introduit, ce qui vous permet de parler du degré avec un indicateur réel arbitraire. À ce stade, l'école commence à étudier fonction exponentiellequi est défini analysablement par le degré dans lequel le nombre est situé et dans l'indicateur - la variable. Nous sommes donc confrontés aux puissantes expressions contenant le numéro à la base du degré et dans l'indicateur - expressions avec des variables et, naturellement, il est nécessaire de procéder à des transformations de telles expressions.
Il convient de dire que la transformation des expressions de l'espèce spécifiée doit généralement être effectuée lors de la résolution Équations indicatrices et inégalités indicativesEt ces transformations sont assez simples. Dans le nombre écrasant de cas, ils sont basés sur les propriétés degré et visent la plupart à entrer dans une nouvelle variable à l'avenir. Démontrer qu'ils permettront l'équation 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.
Premièrement, les degrés des indicateurs dont il y a une somme de certaines variables (ou expressions avec des variables) et les chiffres sont remplacés par les travaux. Ceci s'applique aux expressions de premier et dernier terme du côté gauche:
5 2 · X · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.
En outre, la division des deux parties de l'égalité est effectuée sur l'expression 7 2 · x, que seules des valeurs positives prennent l'équation source à l'équation source (c'est la réception standard de la résolution d'équations de ce type, ce n'est pas À propos de lui maintenant, alors concentrez-vous sur les transformations ultérieures des expressions avec degrés): 
Maintenant, les fractions sont réduites de degrés, ce qui donne 
.
Enfin, le ratio de degrés avec les mêmes indicateurs est remplacé par des degrés de relations, ce qui conduit à l'équation 
C'est équivalent 
. Les transformations fabriquées permettent d'introduire une nouvelle variable, ce qui réduit la solution de l'équation indicative initiale pour résoudre l'équation carrée
L'action arithmétique effectuée par le dernier lors du calcul des valeurs de l'expression est la "principale".
C'est-à-dire que si vous remplacez des numéros (tous) au lieu de lettres, et vous allez essayer de calculer la valeur de l'expression, si la dernière action est la multiplication - cela signifie que nous avons un travail (l'expression est décomposée sur des multiplicateurs).
Si cette dernière action est une addition ou une soustraction, cela signifie que l'expression n'est pas décomposée sur les facteurs (et donc ne peut donc être réduite).
Pour la consolidation, je vais vous résoudre quelques exemples:
Exemples:
Solutions:
1. J'espère que vous ne vous êtes pas précipité immédiatement et? Pas assez "couper" tor tel tel:
La première action devrait être une décomposition de multiplicateurs:
4. Ajout et soustraction des fractions. Apporter des fractions à un dénominateur commun.
Addition et soustraction des fractions ordinaires - L'opération est bien familière: nous recherchons un dénominateur commun, nous sommes dominants chaque fraction du multiplicateur manquant et plier / déduire les chiffres.
Souvenons-nous:
Réponses:
1. Les dénominateurs sont mutuellement simples, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de multiplicateurs communs. Par conséquent, le CNO de ces chiffres est égal à leur travail. Ce sera un dénominateur commun:
2. Ici, le dénominateur général est:
3. Voici la première chose fractions mixtes Nous nous transformons en incorrect, puis - par le schéma habituel:
C'est une autre chose si les fractions contiennent des lettres, par exemple:
Commençons par simple:
a) les dénominateurs ne contiennent pas de lettres
Voici toutes les mêmes comme des fractions numériques classiques: nous trouvons un dénominateur commun, nous sommes dominants chaque fraction du multiplicateur manquant et de plier / déduire les chiffres:
maintenant, dans le numérateur, vous pouvez donner des semblables, le cas échéant, et de disposer des multiplicateurs:
Essayez-le vous-même:
Réponses:
b) Les dénominateurs contiennent des lettres
Rappelons-nous le principe de trouver un dénominateur commun sans lettres:
· Tout d'abord, nous définissons des facteurs généraux;
· Ensuite, nous écrivons tous les facteurs généraux une fois;
· Et ils dominent tous les autres multiplicateurs, pas communs.
Pour déterminer les multiplicateurs généraux des dénominateurs, les posez d'abord sur des facteurs simples:
Nous mettons l'accent sur les facteurs généraux:
Nous écrirons maintenant les facteurs généraux pour une fois et ajouterons toutes les multiplicateurs (non soulignés).
Ceci est un dénominateur commun.
Revenons aux lettres. Les dannels sont donnés exactement au même schéma:
· Déterminez des dénominateurs pour les multiplicateurs;
· Déterminer les multiplicateurs généraux (identiques);
· Nous écrivons tous les facteurs généraux une fois;
· Nous dominant tous les autres multiplicateurs, pas communs.
Donc, dans l'ordre:
1) Développez les dénominateurs pour les multiplicateurs:
2) Déterminez les multiplicateurs généraux (identiques):
3) Nous écrivons tous les facteurs généraux une fois et le dominant d'entre eux sur tous les autres (inextrités) multiplicateurs:
Donc, le dénominateur général est ici. La première fraction doit se multiplier, le second - sur:
Au fait, il y a un tour:
Par example: .
Nous voyons les mêmes multiplicateurs dans le dénominateur, tout avec différents indicateurs. Dans le dénominateur général ira:
degré
degré
degré
au degré.
Tâche compliquée:
Comment faire le même dénominateur?
Rappelons-vous la propriété principale de la fraci:
Nulle part n'est pas dit que la fraction peut être soustraite du numérateur et du dénominateur) (ou d'ajouter) le même nombre. Parce que c'est incorrect!
Nettoyez-vous: prenez une fraction, par exemple, et d'ajouter au numérateur et au dénominateur, par exemple, par exemple. Qu'est-ce que vous avez dit?
Donc, la prochaine règle inébranlable:
Lorsque vous apportez une fraction à un dénominateur commun, utilisez uniquement une opération de multiplication!
Mais qu'est-ce que vous avez besoin de multiplier pour obtenir?
Voici et le Dominat. Et le domanki sur:
Les expressions qui ne peuvent pas être décomposées sur des multiples seront appelées "multiplicateurs élémentaires".
Par exemple, c'est un multiplicateur élémentaire. - également. Mais - non: il est décomposé sur des multiplicateurs.
Que dites-vous de l'expression? C'est élémentaire?
Non, car il peut être décomposé sur des multiplicateurs:
(Sur la décomposition des multiplicateurs, vous avez déjà lu dans le sujet "").
Ainsi, les multiplicateurs élémentaires auxquels vous refusez l'expression avec des lettres sont un analogue de multiplicateurs simples auxquels vous diffusez des nombres. Et nous agirons avec eux de la même manière.
Nous voyons que dans les deux dénominateurs, il y a un multiplicateur. Il ira à un dénominateur commun dans une certaine mesure (rappelez-vous pourquoi?).
Le multiplicateur est élémentaire, et ils n'ont pas d'un général, ce qui signifie que la première fraction sur elle devra simplement dessiner:
Un autre exemple:
Décision:
Expire que dans une panique multiplier ces dénominateurs, vous devez penser à la décomposition pour les décomposer pour les multiplicateurs? Les deux représentent:
Excellent! Puis:
Un autre exemple:
Décision:
Comme d'habitude, décomposer les dénominateurs pour les multiplicateurs. Dans le premier dénominateur, nous supporterons juste derrière les supports; Dans la seconde - la différence de carrés:
Il semblerait qu'il n'y ait pas de facteurs généraux. Mais si vous regardez, alors ils sont similaires ... et la vérité:
Alors écris:
C'est-à-dire que cela s'est avéré comme ceci: à l'intérieur du support, nous avons changé les lieux dans des endroits et, en même temps, le signe a été changé avant le contraire. Prenez note, de sorte que cela devra faire souvent.
Maintenant, nous donnons un dénominateur commun:
Aider? Maintenant vérifier.
Tâches pour des solutions auto-values:
Réponses:
Ici, il est nécessaire de se souvenir d'un autre - la différence de cubes:
Faites attention que dans le dénominateur, la deuxième fraction n'est pas la formule «montant carré»! Le montant carré ressemblerait à ceci:.
Et - il s'agit du carré dit incomplet du montant: le deuxième trimestre est le travail du premier et dernier et non doublé leur travail. Le carré incomplet du montant est l'un des multiplicateurs de la décomposition de la différence de cubes:
Que faire si les fractions sont déjà trois morceaux?
Et la même chose! Tout d'abord, nous le faisons pour que le nombre maximum de multiplicateurs dans les dénominateurs était la même:
Faites attention: si vous modifiez les panneaux à l'intérieur d'un support, le panneau avant que la fraction change à l'opposé. Lorsque nous modifions les signes dans le deuxième support, le panneau avant que la fraction ne change à nouveau vers le contraire. En conséquence, il (le signe avant la fraction) n'a pas changé.
Dans le dénominateur général, le premier dénominateur est déchargé, puis ajoutez tous les facteurs qui ne sont pas écrits, de la seconde, puis du troisième (et ainsi de suite, si les babines sont plus). C'est-à-dire qu'il s'avère comme ça:
Hmm ... avec des fractions, il est clair que faire. Mais comment être avec un twos?
Tout est simple: vous savez comment mettre une fraction? Donc, vous devez le faire pour que le double devienne une fraction! Nous nous souvenons: la fraction est une opération de division (le numérateur partage le dénominateur si vous avez soudainement oublié). Et il n'y a rien de plus facile que de scinder le nombre. Dans le même temps, le nombre lui-même ne changera pas, mais se transformera en une fraction:
Exactement ce qui est nécessaire!
5. Multiplication et division des fractions.
Eh bien, le plus difficile maintenant derrière. Et nous avons le plus simple, mais le plus important est:
Procédure
Quelle est la procédure de comptage d'une expression numérique? N'oubliez pas que l'importance d'une telle expression:
Calculé?
Doit arriver.
Alors, je me rappelle.
La première chose est calculée degré de calcul.
La seconde est la multiplication et la division. Si les multiplications et les divisions sont simultanément plusieurs, vous pouvez les faire dans n'importe quel ordre.
Et enfin, nous effectuons une addition et une soustraction. Encore une fois, dans n'importe quel ordre.
Mais: l'expression entre parenthèses est calculée hors tension!
Si plusieurs supports sont multipliés ou partagés les uns sur les autres, nous calculons d'abord l'expression dans chacun des supports, puis la multiplie ou les a livrées.
Et s'il y a encore des supports à l'intérieur des crochets? Eh bien, pensons: une expression est écrite à l'intérieur des supports. Et lorsque vous calculez l'expression, tout d'abord, vous devez faire quoi? C'est vrai, calculez les crochets. Eh bien, alors figurait: nous calculons d'abord les supports internes, puis tout le reste.
Donc, la procédure d'expression est supérieure à celle-ci (les valeurs actuelles sont allouées en rouge, c'est-à-dire l'action que je joue en ce moment):
Eh bien, c'est simple.
Mais ce n'est pas la même chose que l'expression avec des lettres?
Non, c'est la même chose! Seulement au lieu d'actions arithmétiques doit être faite algébrique, c'est-à-dire les actions décrites dans la section précédente: apporter des semblables, Ajustement des fractions, des fractions de coupe, etc. La seule différence sera l'action de la décomposition des polynômes sur les multiplicateurs (nous l'appliquons souvent lorsque vous travaillez avec des fractions). Le plus souvent, pour la décomposition sur les multiplicateurs, j'ai besoin d'appliquer ou de supprimer simplement un facteur commun pour les supports.
Habituellement, notre objectif est de soumettre une expression sous la forme d'un travail ou d'une privée.
Par example:
Nous simplifions l'expression.
1) Nous simplifions d'abord l'expression entre parenthèses. Nous avons une fraction de différence et notre objectif est de le présenter en tant que travail ou privé. Nous donnons donc une fraction pour un dénominateur commun et plierons:
Plus Cette expression est facile à simplifier, tous les facteurs ici sont élémentaires (vous vous souvenez toujours de ce que cela signifie?).
2) Nous obtenons:
Multiplication des fractions: Qu'est-ce qui pourrait être plus facile.
3) Vous pouvez maintenant réduire:
C'est ça. Rien de difficile, non?
Un autre exemple:
Simplifier l'expression.
Essayez d'abord de résoudre moi-même et ne voyez que la décision.
Décision:
Premièrement, nous définissons la procédure d'action.
Tout d'abord, nous effectuerons l'ajout de fractions entre parenthèses, il s'avère à la place de deux fractions.
Ensuite, nous effectuerons des fractions de division. Le résultat se déroulera avec la dernière fraction.
Nombre schématiquement Actions:
Maintenant, je vais montrer le processus d'information, appuyant sur l'action actuelle en rouge:
1. S'il y a des semblables, ils doivent être apportés immédiatement. Dans quelque temps, nous avons la similarie, il est conseillé de les amener immédiatement.
2. Il en va de même pour la réduction des fractions: dès que la capacité de réduire, il doit être utilisé. L'exception est les fractions que vous pliez ou déduisez: s'ils ont les mêmes dénominateurs maintenant, l'abréviation doit être laissée pour plus tard.
Voici vos tâches pour les solutions auto-values:
Et promis au tout début:
Réponses:
Solutions (mémoire):
Si vous avez été bouclé au moins avec les trois premiers exemples, vous considérez, maîtrisez-le.
Maintenant, avant d'apprendre!
Transformation des expressions. Résumé et formules de base
Opérations de simplification de base:
- Apporter des semblables: Plier (plomb) Composants similaires, il est nécessaire de plier leurs coefficients et d'attribuer la partie de la lettre.
- Factorisation:prendre un facteur commun pour les crochets, l'application, etc.
- Réduction des fractions: Le numérateur et le dénominateur de la fraction peuvent être multipliés ou divisés en un seul et même numéro non nul, à partir de laquelle la fraction n'est pas modifiée.
1) Numérateur et dénominateur décomposer sur des multiplicateurs
2) S'il y a des multiplicateurs généraux dans un numérateur et un dénominateur, ils peuvent être supprimés.IMPORTANT: Seuls les multiplicateurs peuvent être coupés!
- Ajout et soustraction des fractions:
; - Multiplication et division des fractions:
;
