Trouvez des lacunes dans les fonctions. "fonction d'augmentation et de diminution"

Fonction appelée augmenter dans l'intervalle
si pour des points

l'inégalité tient
(une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction).

De même, la fonction
appelé décroissant dans l'intervalle
si pour des points
à partir de cet intervalle sous la condition
l'inégalité tient
(une valeur plus élevée de l'argument correspond à une valeur inférieure de la fonction).

Augmentation sur intervalle
et décroissant dans l'intervalle
les fonctions sont appelées monotone sur l'intervalle
.

Connaître la dérivée d'une fonction dérivable permet de retrouver les intervalles de sa monotonie.

Théorème (condition suffisante pour augmenter la fonction).
les fonctions
positif sur l'intervalle
alors la fonction
augmente de façon monotone dans cet intervalle.

Théorème (condition suffisante pour une diminution d'une fonction).  Si la dérivée est différenciable sur l'intervalle
les fonctions
négatif sur l'intervalle
alors la fonction
diminue de façon monotone dans cet intervalle.

Signification géométrique   de ces théorèmes consiste dans le fait que sur les intervalles de fonctions décroissantes les tangentes au graphe de la fonction se forment avec l'axe
angles obtus, et à des intervalles d'augmentation - nets (voir fig. 1).

Théorème (condition nécessaire à la monotonie d'une fonction).Si la fonction
différenciable et
(
) sur l'intervalle
, alors il ne diminue pas (n'augmente pas) dans cet intervalle.

Algorithme pour trouver des intervalles de monotonie d'une fonction
:

Un exemple.  Trouver les intervalles de monotonie de la fonction
.

Point appelé fonction point maximum

de telle sorte que pour tous satisfaisant la condition
, l'inégalité
.

Fonction maximale   Est la valeur de la fonction au point maximum.

La figure 2 montre un exemple de graphique d'une fonction avec des maxima aux points
.

Point appelé fonction point minimum
si un certain nombre existe
de telle sorte que pour tous satisfaisant la condition
, l'inégalité
. Naris. 2 fonction a un minimum en un point .

Pour les hauts et les bas, il y a un nom commun - points extrêmes . En conséquence, les points maximum et minimum sont appelés points extremum .

Une fonction définie sur un segment peut avoir un maximum et un minimum uniquement aux points à l'intérieur de ce segment. Il est également impossible de confondre le maximum et le minimum d'une fonction avec sa plus grande et sa plus petite valeur sur un segment - ce sont des concepts fondamentalement différents.

Aux points d'extrémum, le dérivé a des propriétés spéciales.

Théorème (une condition nécessaire pour un extremum).  Soit à un point fonction
a un extremum. Alors soit
n'existe pas non plus
.

Les points du domaine de la fonction auxquels
n'existe pas ou dans lequel
sont appelés points critiques de la fonction .

Ainsi, les points extrêmes se situent parmi les points critiques. En général, un point critique ne doit pas être un point extremum. Si la dérivée de la fonction à un certain point est égale à zéro, cela ne signifie pas que la fonction a un extremum à ce point.

Un exemple.  Considérez
. Nous avons
mais le point
n'est pas un point extremum (voir fig. 3).

Théorème (première condition suffisante pour un extremum).  Soit à un point fonction
continu et dérivé
en traversant un point change de signe. Alors - point d'extrémum: maximum, si le signe passe de "+" à "-", et minimum, si de "-" à "+".

Si en traversant un point dérivé ne change pas de signe alors à il n'y a pas d'extrémum.

Théorème (deuxième condition suffisante pour un extremum).  Soit à un point dérivée d'une fonction deux fois différenciable
égal à zéro (
), et sa dérivée seconde à ce stade est non nulle (
) et est continue dans certains quartiers du point . Alors - point d'extrémum
; à
c'est le point minimum, et quand
c'est le point maximum.

L'algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour un extremum:

Trouvez le dérivé.

Trouvez les points critiques d'une fonction.

Examinez le signe de la dérivée à gauche et à droite de chaque point critique et concluez qu'il y a des extrèmes.

Trouvez les valeurs extrêmes de la fonction.

L'algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la deuxième condition suffisante pour un extremum:

Un exemple.  Rechercher des fonctions extrema
.

1. Trouvez l'étendue de la fonction

2. Trouvez la dérivée de la fonction

3. Réglez la dérivée sur zéro et trouvez les points critiques de la fonction

4. Marquez les points critiques sur la zone de définition

5. Calculez le signe de la dérivée dans chacun des intervalles obtenus

6. Découvrez le comportement de la fonction dans chaque intervalle.

Exemple: recherche des intervalles de fonctions croissantes et décroissantesf(x) = et le nombre de zéros de cette fonction dans l'intervalle.

Solution:

1. D ( f) \u003d R

2. f"(x) =

D ( f") \u003d D ( f) \u003d R

3. Trouvez les points critiques de la fonction en résolvant l'équation f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

points critiques de la fonction x  \u003d 0 et x = 10.

4. Définissez le signe de la dérivée.

f"(x) + – +

f(x) 0 10  x

dans les intervalles (-∞; 0) et (10; + ∞), la dérivée de la fonction est positive aux points x  \u003d 0 et x \u003d 10 fonction f(x) est continue, donc cette fonction augmente dans les intervalles: (-(; 0] ;.

Nous définissons le signe des valeurs de la fonction aux extrémités du segment.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Puisque la fonction diminue sur l'intervalle et que le signe des valeurs de la fonction change, alors sur cet intervalle un zéro de la fonction.

Réponse: la fonction f (x) augmente dans les intervalles: (-∞; 0] ;;

dans l'intervalle, la fonction a une fonction zéro.

2. Fonction points extremum: points maximum et minimum. Conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un extremum d'une fonction. Recherche de règles de fonction sur l'extrémum .

Définition 1:Les points où la dérivée est égale à zéro sont appelés critiques ou stationnaires.

Définition 2.   Un point est appelé un point minimum (maximum) de la fonction si la valeur de la fonction à ce point est inférieure (supérieure à) la fonction la plus proche.

Il ne faut pas oublier que le maximum et le minimum dans ce cas sont locaux.

Dans la fig. 1. les maxima et minima locaux sont indiqués.

Les fonctions maximum et minimum sont unies par un nom commun: extremum d'une fonction.

Théorème 1  (signe nécessaire de l'existence d'un extremum d'une fonction). Si une fonction différenciable en un point a un maximum ou un minimum en ce point, alors sa dérivée disparaît en ,.

Théorème 2  (signe suffisant de l'existence d'un extremum d'une fonction). Si une fonction continue a une dérivée à tous les points d'un certain intervalle contenant un point critique (à l'exception de ce point lui-même), et si la dérivée change de signe de plus en moins en passant l'argument de gauche à droite à travers le point critique, alors la fonction a un maximum à ce point, et en passant le signe de moins en plus, elle a un minimum.

Des informations très importantes sur le comportement de la fonction sont fournies par les intervalles d'augmentation et de diminution. Leur découverte fait partie du processus de recherche d'une fonction et de traçage. De plus, les points extrêmes où un changement se produit de l'augmentation à la diminution ou de la diminution à l'augmentation reçoivent une attention particulière lors de la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction dans un certain intervalle.

Dans cet article, nous donnons les définitions nécessaires, formulons un signe suffisant de l'augmentation et de la diminution de la fonction sur l'intervalle et des conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum, et appliquons toute cette théorie à la résolution d'exemples et de problèmes.

Navigation de page.

L'augmentation et la diminution de la fonction sur l'intervalle.

Définition de la fonction croissante.

La fonction y \u003d f (x) augmente sur l'intervalle X si, pour tout et   l'inégalité tient. En d'autres termes, une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Définition d'une fonction décroissante.

La fonction y \u003d f (x) diminue sur l'intervalle X si, pour tout et   l'inégalité tient . En d'autres termes, une valeur plus élevée de l'argument correspond à une valeur inférieure de la fonction.

REMARQUE: si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle d'augmentation ou de diminution (a; b), c'est-à-dire avec x \u003d a et x \u003d b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle d'augmentation ou de diminution. Cela ne contredit pas les définitions des fonctions croissantes et décroissantes sur l'intervalle X.

Par exemple, à partir des propriétés des fonctions élémentaires de base, nous savons que y \u003d sinx est défini et continu pour toutes les valeurs réelles de l'argument. Par conséquent, à partir d'une augmentation de la fonction du sinus dans l'intervalle, nous pouvons affirmer l'augmentation de l'intervalle.

Points d'extrémum, extrèmes de la fonction.

Point appelé point maximum  fonction y \u003d f (x), si pour tout x de son voisinage l'inégalité se maintient. La valeur de la fonction au point maximum est appelée fonction maximale  et dénoter.

Point appelé point minimum  fonction y \u003d f (x), si pour tout x de son voisinage l'inégalité se maintient. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale  et dénoter.

Par quartier, les points signifient l'intervalle où est un nombre positif suffisamment petit.

Les points minimum et maximum sont appelés points extremum, et les valeurs de la fonction correspondant aux points de l'extremum sont appelées fonctions extrema.

Ne confondez pas les extrema de la fonction avec la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction.

Dans la première figure, la plus grande valeur de la fonction dans l'intervalle est atteinte au point maximum et est égale au maximum de la fonction, et dans la deuxième figure, la plus grande valeur de la fonction est atteinte au point x \u003d b, qui n'est pas le point maximum.

Conditions suffisantes pour augmenter et diminuer les fonctions.

Sur la base de conditions (signes) suffisantes d'augmentation et de diminution de la fonction, les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.

Voici la formulation des signes de fonctions croissantes et décroissantes sur l'intervalle:

• si la dérivée de la fonction y \u003d f (x) est positive pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction augmente sur X;
• si la dérivée de la fonction y \u003d f (x) est négative pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction diminue sur X.

Ainsi, pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction, il faut:

Prenons l'exemple de la recherche des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes pour clarifier l'algorithme.

Un exemple.

Trouvez les intervalles de fonctions croissantes et décroissantes.

Solution.

Dans la première étape, vous devez trouver l'étendue de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit donc pas disparaître.

Nous procédons à la recherche de la fonction dérivée:

Pour déterminer les intervalles de fonctions croissantes et décroissantes par un critère suffisant, nous résolvons les inégalités dans le domaine de la définition. Nous utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule racine valide du numérateur est x \u003d 2 et le dénominateur disparaît à x \u003d 0. Ces points décomposent le domaine en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Nous marquons ces points sur la droite numérique. Les avantages et les inconvénients désigneront arbitrairement les intervalles auxquels le dérivé est positif ou négatif. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction dans l'intervalle correspondant.

De cette façon   et .

Au point x \u003d 2, la fonction est définie et continue; par conséquent, elle doit être ajoutée à la fois à l'augmentation et à la diminution. Au point x \u003d 0, la fonction n'est pas définie; par conséquent, ce point n'est pas inclus dans les intervalles souhaités.

Nous donnons un graphique de la fonction de comparaison des résultats obtenus avec elle.

La réponse est:

La fonction augmente lorsque , diminue sur l'intervalle (0; 2].

Conditions suffisantes pour l'extrémum d'une fonction.

Pour trouver les maxima et les minima de la fonction, vous pouvez bien sûr utiliser n'importe lequel des trois signes de l'extremum si la fonction remplit leurs conditions. Le plus courant et le plus pratique est le premier d'entre eux.

La première condition suffisante pour un extremum.

Soit la fonction y \u003d f (x) différenciable au voisinage d'un point, et continue au point lui-même.

En d'autres termes:

Algorithme de recherche de points extremum par le premier signe de l'extremum d'une fonction.

• On retrouve le domaine de définition de la fonction.
• On retrouve la dérivée de la fonction sur le domaine de définition.
• On détermine les zéros du numérateur, les zéros du dénominateur de la dérivée, et les points du domaine dans lequel la dérivée n'existe pas (tous les points listés sont appelés points d'extrême possibleen passant par ces points, la dérivée peut juste changer de signe).
• Ces points divisent le domaine de la fonction en intervalles dans lesquels la dérivée conserve le signe. Nous déterminons les signes de la dérivée sur chacun des intervalles (par exemple, en calculant la valeur de la dérivée d'une fonction en tout point d'un intervalle donné).
• Nous choisissons les points où la fonction est continue et, en passant par lesquels, la dérivée change de signe - ce sont les points d'extremum.

Trop de mots, il vaut mieux considérer quelques exemples de recherche de points de l'extremum et de l'extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour l'extremum de la fonction.

Un exemple.

Trouvez les extrema de la fonction.

Solution.

Le domaine de la fonction est l'ensemble entier des nombres réels, sauf x \u003d 2.

On retrouve la dérivée:

Les zéros du numérateur sont les points x \u003d -1 et x \u003d 5, le dénominateur disparaît à x \u003d 2. Marquez ces points sur l'axe numérique.

Nous déterminons les signes de la dérivée sur chaque intervalle, pour cela nous calculons la valeur de la dérivée à l'un des points de chaque intervalle, par exemple, aux points x \u003d -2, x \u003d 0, x \u003d 3 et x \u003d 6.

Par conséquent, la dérivée est positive sur l'intervalle (sur la figure, nous mettons un signe plus sur cet intervalle). De même

Par conséquent, nous mettons un moins sur le deuxième intervalle, un moins sur le troisième et un plus sur le quatrième.

Reste à choisir les points où la fonction est continue et sa dérivée change de signe. Ce sont les points extrêmes.

Au point x \u003d -1 la fonction est continue et la dérivée change de signe de plus en moins, donc, selon le premier signe d'extremum, x \u003d -1 est le point maximum, le maximum de la fonction lui correspond .

Au point x \u003d 5 la fonction est continue et la dérivée change de signe de moins en plus, donc x \u003d -1 est le point minimum, le minimum de la fonction lui correspond .

Illustration graphique.

La réponse est:

ATTENTION: le premier signe suffisant d'un extremum ne nécessite pas de différenciation de la fonction au point lui-même.

Un exemple.

Trouver les points extrêmes et les extrêmes de la fonction .

Solution.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble des nombres réels. La fonction elle-même peut s'écrire:

Trouvez la dérivée de la fonction:

Au point x \u003d 0, la dérivée n'existe pas, car les valeurs des limites unilatérales ne coïncident pas lorsque l'argument tend vers zéro:

Dans le même temps, la fonction d'origine est continue à x \u003d 0 (voir la section sur l'examen d'une fonction pour la continuité):

Trouvez la valeur de l'argument auquel le dérivé disparaît:

Nous marquons tous les points obtenus sur la droite numérique et déterminons le signe de la dérivée sur chacun des intervalles. Pour cela, nous calculons les valeurs de la dérivée à des points arbitraires de chaque intervalle, par exemple, pour x \u003d -6, x \u003d -4, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6.

Autrement dit,

Ainsi, selon le premier signe d'extremum, les points minimaux sont , les points maximum sont .

Nous calculons les minima de fonction correspondants

Nous calculons les maxima de fonction correspondants

Illustration graphique.

La réponse est:

.

Le deuxième signe de l'extrémum de la fonction.

Comme vous pouvez le voir, ce signe d'extrémum de la fonction nécessite l'existence d'un dérivé au moins jusqu'au deuxième ordre en un point.

Augmentation et diminution de la fonction

fonction y = f(x) est appelé augmentation sur le segment [ un, b] si pour n'importe quelle paire de points x  et x ", et ≤ x l'inégalité f(x) ≤ f (x "), et strictement croissant - si l'inégalité f (x) f(x ") La diminution et la diminution stricte d'une fonction sont définies de manière similaire. Par exemple, la fonction à = x 2 (fig. , a) augmente strictement sur le segment, et

(fig. , b) diminue strictement sur ce segment. Les fonctions croissantes sont désignées par f (x), et décroissant f (x) ↓. Afin de fonction différenciable f (x) était en augmentation sur le segment [ mais, b], il est nécessaire et suffisant que son dérivé f"(x) n'était pas négatif le [ mais, b].

Parallèlement à l'augmentation et à la diminution de la fonction sur le segment, l'augmentation et la diminution de la fonction au point sont prises en compte. Fonction à = f (x) est appelé augmenter au point x  0 s'il existe un tel intervalle (α, β) contenant le point x  0 que pour n'importe quel point x  à partir de (α, β), x\u003e x  0, l'inégalité f (x 0) ≤ f (x), et pour tout point x  à partir de (α, β), x 0, l'inégalité f (x) ≤ f (x  0). De même, une augmentation stricte de la fonction au point x  0. Si f"(x 0) >   0, puis la fonction f(x) augmente strictement au point x  0. Si f (x) augmente à chaque point de l'intervalle ( un, b), puis il augmente dans cet intervalle.

  S. B. Stechkin.

Grande Encyclopédie soviétique. - M.: Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Voir ce que "Augmenter et diminuer la fonction" dans d'autres dictionnaires:

Les concepts de l'analyse mathématique. La fonction f (x) est appelée le rapport du nombre de groupes d'âge différents de la population augmentant sur le segment STRUCTURE DE POPULATION D'ÂGE. Dépend des niveaux de fécondité et de mortalité, de l'espérance de vie des personnes ... Big Encyclopedic Dictionary

Les concepts de l'analyse mathématique. La fonction f (x) est appelée croissante sur le segment si, pour toute paire de points x1 et x2, a≤x1 ... Dictionnaire encyclopédique

Les concepts des mathématiques. analyse. La fonction f (x) est appelée augmentant sur le segment [a, b] si pour n'importe quelle paire de points x1 et x2, et<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Histoire naturelle. Dictionnaire encyclopédique

Une branche des mathématiques qui étudie les dérivées et les différentielles de fonctions et leur application à l'étude des fonctions. Conception D. et. dans une discipline mathématique indépendante associée aux noms de I. Newton et G. Leibniz (deuxième moitié de 17 ... Grande Encyclopédie soviétique

La section de mathématiques, dans laquelle les concepts de dérivée et différentielle sont étudiés, et les méthodes de leur application à l'étude des fonctions. Développement et. étroitement liée au développement du calcul intégral. Inextricablement et leur contenu. Ensemble, ils forment la base ... ... Encyclopédie mathématique

Ce terme a d'autres significations, voir fonction. La requête "Affichage" est redirigée ici; voir aussi d'autres significations ... Wikipedia

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Fonctions extrêmes

Définition 2

Le point $ x_0 $ est appelé le point maximum de la fonction $ f (x) $ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous les $ x $ de ce voisinage l'inégalité $ f (x) \\ le f (x_0) $ se maintient.

Définition 3

Le point $ x_0 $ est appelé le point maximum de la fonction $ f (x) $ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous $ x $ de ce voisinage l'inégalité $ f (x) \\ ge f (x_0) $ se maintient.

Le concept d'extremum d'une fonction est étroitement lié au concept d'un point critique d'une fonction. Nous introduisons sa définition.

Définition 4

$ x_0 $ est appelé le point critique de la fonction $ f (x) $ si:

1) $ x_0 $ est le point interne du domaine de définition;

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ ou n'existe pas.

Pour le concept d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Une condition suffisante pour extremum

Soit le point $ x_0 $ critique pour la fonction $ y \u003d f (x) $ et situé dans l'intervalle $ (a, b) $. Supposons que sur chaque intervalle $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ et \\ (x_0, b) $ la dérivée $ f "(x) $ existe et conserve un signe constant. Ensuite:

1) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée est $ f" \\ gauche (x \\ droite)

2) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, alors le point $ x_0 $ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $ ou la dérivée $ f" \\ gauche (x \\ droite)

Ce théorème est illustré à la figure 1.

Figure 1. Une condition suffisante pour l'existence d'extrema

Exemples d'extrêmes (Fig.2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

  Recherche de règles de fonction sur l'extrémum

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

7) Tirez des conclusions sur la présence de maxima et de minima dans chaque intervalle à l'aide du théorème 2.

  Augmentation et diminution de la fonction

Nous introduisons, pour commencer, la définition des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée croissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1

Définition 6

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée décroissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1f (x_2) $.

  Etude de la fonction d'augmentation et de diminution

Vous pouvez explorer les fonctions d'augmentation et de diminution à l'aide du dérivé.

Afin d'étudier la fonction pour les intervalles d'augmentation et de diminution, il est nécessaire de procéder comme suit:

1) Trouvez le domaine de la fonction $ f (x) $;

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

3) Trouvez les points où l'égalité $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ est maintenue;

4) Trouvez les points où $ f "(x) $ n'existe pas;

5) Marquez sur la ligne de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de cette fonction;

6) Déterminer le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle résultant;

7) Pour conclure: à des intervalles où $ f "\\ gauche (x \\ droite) 0 $ la fonction augmente.

  Exemples de tâches pour étudier les fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrêmes

Exemple 1

Étudiez la fonction d'augmentation et de diminution, et la présence de points maximum et minimum: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Étant donné que les 6 premiers points sont identiques, commençons par eux.

1) Portée - tous les nombres réels;

2) $ f "\\ gauche (x \\ droite) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ existe à tous les points du domaine de définition;

5) Ligne de coordonnées:

Figure 3

6) Déterminez le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle:

\ \}