Ensembles Éléments de la théorie des ensembles. Opérations sur les ensembles

Je ne me souviens pas quand j'ai appris la topologie pour la première fois, mais cette science m'a tout de suite intéressé. La théière se transforme en beignet, la sphère se retourne. Beaucoup en ont entendu parler. Mais ceux qui veulent approfondir ce sujet à un niveau plus sérieux ont souvent des difficultés. Cela est particulièrement vrai pour maîtriser les concepts les plus élémentaires, qui sont par nature très abstraits. De plus, de nombreuses sources semblent délibérément chercher à embrouiller le lecteur. Disons que le wiki russe donne une formulation très vague de ce que fait la topologie. Il dit que c'est une science qui étudie espaces topologiques. Dans l'article sur les espaces topologiques, le lecteur peut apprendre que les espaces topologiques sont des espaces équipés de topologie. De telles explications dans le style des sépulces de Lemov ne clarifient pas vraiment l'essence du sujet. Je vais essayer plus loin d'énoncer les principaux concepts de base sous une forme plus claire. Dans ma note, il n'y aura pas de transformation des théières et des bagels, mais les premières étapes seront franchies qui vous permettront éventuellement d'apprendre cette magie.

Cependant, comme je ne suis pas un mathématicien, mais un humaniste à 100%, il est fort possible que ce qui est écrit ci-dessous soit un mensonge ! Eh bien, ou du moins une partie de celui-ci.

J'ai d'abord écrit cette note, comme début d'une série d'articles sur la topologie, pour mes amis humanitaires, mais aucun d'eux n'a commencé à la lire. J'ai décidé de poster la version corrigée et étendue sur Habr. Il m'a semblé qu'il y avait un certain intérêt pour ce sujet ici et il n'y a pas encore eu d'articles de ce genre. Merci d'avance pour tous les commentaires sur les erreurs et les inexactitudes. Attention, j'utilise beaucoup de photos.

Commençons par un bref rappel de la théorie des ensembles. Je pense que la plupart des lecteurs le connaissent, mais néanmoins je vais vous rappeler les bases.

Ainsi, on croit que l'ensemble n'a pas de définition et que l'on comprend intuitivement de quoi il s'agit. Kantor disait ceci : « Par « ensemble », nous entendons la combinaison en un certain ensemble M de certains objets bien distincts m de notre contemplation ou de notre pensée (que l'on appellera les « éléments » de l'ensemble M) ». Bien sûr, ce n'est qu'une description allégorique, pas une définition mathématique.
La théorie des ensembles est connue pour (pardonnez le jeu de mots) beaucoup de paradoxes étonnants. Par exemple . Elle est également associée à la crise des mathématiques au début du XXe siècle.

La théorie des ensembles existe dans plusieurs variantes telles que ZFC ou NBG et autres. Une variante de la théorie est la théorie des types, qui est très importante pour les programmeurs. Enfin, certains mathématiciens suggèrent d'utiliser la théorie des catégories comme fondement des mathématiques au lieu de la théorie des ensembles, sur laquelle on a beaucoup écrit sur Habré. La théorie des types et la théorie des ensembles décrivent les objets mathématiques comme "de l'intérieur", tandis que la théorie des catégories ne s'intéresse pas à leur structure interne, mais uniquement à la manière dont ils interagissent, c'est-à-dire donne leurs caractéristiques "externes".
Seuls les fondements très élémentaires de la théorie des ensembles sont importants pour nous.

Les ensembles sont finis.

Ils sont sans fin. Par exemple, un ensemble d'entiers, qui est désigné par la lettre ℤ (ou simplement Z, si vous n'avez pas de lettres bouclées sur votre clavier).

Enfin, il y a un ensemble vide. C'est exactement un dans l'univers entier. Il existe une preuve simple de ce fait, mais je ne la donnerai pas ici.

Si l'ensemble est infini, il arrive dénombrable. Dénombrable - ces ensembles dont les éléments peuvent être renumérotés par des nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels lui-même, vous l'avez deviné, est également dénombrable. Voici comment énumérer des nombres entiers.

Avec les nombres rationnels, c'est plus difficile, mais ils peuvent aussi être numérotés. Cette méthode s'appelle processus diagonal et ressemble à l'image ci-dessous.

On zigzague parmi les nombres rationnels, à partir de 1. En même temps, on attribue un nombre pair à chaque nombre que l'on obtient. Les nombres rationnels négatifs sont comptés de la même manière, seuls les nombres sont impairs, en commençant par 3. Zéro obtient traditionnellement le premier nombre. Ainsi, il est clair que tous les nombres rationnels peuvent être numérotés. Tous les nombres comme 4.87592692976340586068 ou 1.00000000000001 ou -9092 ou même 42 obtiennent leur numéro dans ce tableau. Cependant, tous les chiffres ne sont pas inclus ici. Par exemple, √2 n'obtiendra pas de nombre. À un moment donné, cela a beaucoup bouleversé les Grecs. Ils disent que le gars qui a découvert les nombres irrationnels s'est noyé.

Une généralisation du concept de taille pour les ensembles est pouvoir. La cardinalité des ensembles finis est égale au nombre de leurs éléments. La cardinalité des ensembles infinis est désignée par la lettre hébraïque aleph avec un index. La plus petite puissance infinie est la puissance ℵ 0 . Elle est égale à la cardinalité des ensembles dénombrables. Comme on le voit, il y a donc autant de nombres naturels qu'il y a d'entiers ou de rationnels. Etrange mais vrai. Vient ensuite le pouvoir continuum. Il est désigné par une petite lettre gothique c. C'est la cardinalité de l'ensemble des nombres réels ℝ, par exemple. Il existe une hypothèse selon laquelle la puissance du continuum est égale à la puissance ℵ 1 . C'est-à-dire qu'il s'agit de la cardinalité suivante après la cardinalité des ensembles dénombrables, et qu'il n'y a pas de cardinalité intermédiaire entre les ensembles dénombrables et le continuum.

Vous pouvez effectuer diverses opérations sur les ensembles et obtenir de nouveaux ensembles.

1. Les ensembles peuvent être combinés.

3. Vous pouvez rechercher l'intersection des ensembles.

En fait, il s'agit d'ensembles que vous devez connaître aux fins de cette note. Nous pouvons maintenant passer à la topologie elle-même.
La topologie est la science qui étudie les ensembles avec une structure spécifique. Cette structure est également appelée topologie.
Prenons un ensemble non vide S.
Soit cet ensemble une structure, qui est décrite à l'aide d'un ensemble, que nous appellerons T. T est un ensemble de sous-ensembles de l'ensemble S tel que :

1. S lui-même et ∅ appartiennent à T.
2. Toute union de familles arbitraires d'éléments T appartient à T.
3. Intersection d'un arbitraire final de la famille d'éléments T appartient à T.

Si ces trois points sont vérifiés, alors notre structure est la topologie de T sur l'ensemble S. Les éléments de l'ensemble T sont appelés ouvrir ensembles sur S dans la topologie T. Les compléments aux ensembles ouverts sont fermé ensembles. Il est important de noter que si un ensemble est ouvert, cela ne signifie pas qu'il n'est pas fermé et vice versa. De plus, dans un ensemble donné, par rapport à une certaine topologie, il peut y avoir des sous-ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermés.

Prenons un exemple. Supposons que nous ayons un ensemble composé de trois triangles colorés.

La topologie la plus simple s'appelle topologie antidiscrète. Elle est là.

Cette topologie est aussi appelée topologie points collants. Il se compose de l'ensemble lui-même et de l'ensemble vide. Cela satisfait en effet les axiomes de la topologie.

Plusieurs topologies peuvent être définies sur un ensemble. Voici une autre topologie très primitive qui se produit. C'est ce qu'on appelle discret. C'est une topologie qui se compose de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné.

Et voici la topologie. Il est donné sur un ensemble de 7 étoiles multicolores S, que j'ai marquées de lettres. Assurez-vous qu'il s'agit d'une topologie. Je ne suis pas sûr de cela, tout à coup j'ai raté une sorte d'union ou d'intersection. Cette image doit contenir l'ensemble S lui-même, l'ensemble vide, les intersections et les unions de tous les autres éléments de la topologie doivent également figurer dans l'image.

Paire de la topologie et de l'ensemble sur lequel il est donné est appelé espace topologique.

S'il y a beaucoup de points dans l'ensemble (sans parler du fait qu'il peut y en avoir un nombre infini), alors lister tous les ensembles ouverts peut être problématique. Par exemple, pour une topologie discrète sur un ensemble de trois éléments, il faut faire une liste de 8 ensembles. Et pour un ensemble à 4 éléments, la topologie discrète en aura déjà 16, pour 5 - 32, pour 6 -64, et ainsi de suite. Afin de ne pas énumérer tous les ensembles ouverts, une sorte de notation abrégée est utilisée - ces éléments sont écrits, dont les unions peuvent donner tous les ensembles ouverts. On l'appelle base topologie. Par exemple, pour une topologie d'espace discret de trois triangles, ce seront trois triangles pris séparément, car en les combinant, vous pouvez obtenir tous les autres ensembles ouverts de cette topologie. On dit que la base génère la topologie. Un ensemble dont les éléments génèrent une base est appelé une prébase.

Ci-dessous un exemple de base pour une topologie discrète sur un ensemble de cinq étoiles. Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, la base se compose de seulement cinq éléments, tandis que la topologie compte jusqu'à 32 sous-ensembles. D'accord, utiliser la base pour décrire la topologie est beaucoup plus pratique.

A quoi servent les open sets ? En un sens, ils donnent une idée de la "proximité" entre les points et de la différence entre eux. Si les points appartiennent à deux ensembles ouverts différents, ou si un point est dans un ensemble ouvert qui ne contient pas l'autre, alors ils sont topologiquement différents. Dans la topologie antidiscrète, tous les points sont indiscernables en ce sens, ils semblent coller ensemble. Inversement, dans la topologie discrète Tous les pointes sont différentes.

La notion d'ensemble ouvert est inextricablement liée à la notion quartier. Certains auteurs définissent la topologie non pas en termes d'ensembles ouverts, mais en termes de voisinages. Le voisinage du point p est l'ensemble qui contient la boule ouverte centrée en ce point. Par exemple, la figure ci-dessous montre les voisinages et les non-voisinages de points. L'ensemble S 1 est un voisinage du point p, mais l'ensemble S 2 ne l'est pas.

La relation entre l'ensemble ouvert et l'octestité peut être formulée comme suit. Un ensemble ouvert est un tel ensemble, dont chaque élément a un voisinage situé dans l'ensemble donné. Ou inversement, on peut dire qu'un ensemble est ouvert s'il est voisin de l'un de ses points.

Ce sont là les concepts les plus élémentaires de la topologie. À partir de là, il n'est pas encore clair comment retourner les sphères. Peut-être que dans le futur, je pourrai aborder ce genre de sujets (si je le découvre moi-même).

UPD. En raison de l'imprécision de mon discours, il y a eu une certaine confusion sur les cardinalités des ensembles. J'ai légèrement corrigé mon texte et ici je veux donner une explication. Kantor, créant sa théorie des ensembles, a introduit le concept de cardinalité, qui a permis de comparer des ensembles infinis. Cantor a établi que les cardinalités des ensembles dénombrables (par exemple, les nombres rationnels) et du continuum (par exemple, les nombres réels) sont différentes. Il a suggéré que la cardinalité du continuum est la suivante après la cardinalité des ensembles dénombrables, c'est-à-dire est égal à aleph-one. Cantor essaya de prouver cette conjecture, mais sans succès. Plus tard, il est devenu clair que cette hypothèse ne pouvait être ni réfutée ni prouvée.

Le concept d'ensemble est le concept original non strictement défini. Voici la définition d'un ensemble (plus précisément, une explication de l'idée d'ensemble) appartenant à G. Cantor : « Par variété ou ensemble, j'entends en général toutes les nombreuses choses qui peuvent être pensées comme une seule un, c'est-à-dire un tel ensemble de certains éléments qui peuvent être reliés au moyen d'une loi en un tout."

Les ensembles seront, en règle générale, désignés par des lettres majuscules de l'alphabet latin et leurs éléments par des lettres minuscules, bien qu'il faille parfois s'écarter de cette convention, car les éléments d'un certain ensemble peuvent être d'autres ensembles. Le fait que l'élément a appartient à l'ensemble s'écrit .

En mathématiques, nous traitons une grande variété d'ensembles. Pour les éléments de ces ensembles, nous utilisons deux principaux types de notation : les constantes et les variables.

Une constante individuelle (ou juste une constante) avec une plage dénote un élément fixe d'un ensemble. Telles sont, par exemple, les désignations (enregistrements dans un certain système de numération) des nombres réels :. Pour deux constantes et avec un intervalle de valeurs, on écrira , signifiant par là la coïncidence des éléments de l'ensemble qu'elles dénotent.

Une variable individuelle (ou simplement une variable) avec une plage désigne un élément arbitraire et non prédéterminé de l'ensemble. Dans ce cas, ils disent que la variable parcourt l'ensemble ou que la variable prend des valeurs arbitraires sur l'ensemble. Vous pouvez fixer la valeur d'une variable en écrivant , où est une constante avec la même plage que . Dans ce cas, ils disent qu'au lieu d'une variable, sa valeur spécifique a été substituée, ou une substitution a été faite à la place, ou la variable a pris la valeur .

L'égalité des variables s'entend comme suit : chaque fois qu'une variable prend une valeur arbitraire, la variable prend la même valeur, et vice versa. Ainsi, des variables égales "synchroniquement" prennent toujours les mêmes valeurs.

Habituellement, les constantes et les variables dont la plage est un certain ensemble numérique, à savoir l'un des ensembles et , sont appelées constantes et variables naturelles, entières (ou entières), rationnelles, réelles et complexes, respectivement. Au cours des mathématiques discrètes, nous utiliserons diverses constantes et variables dont l'étendue n'est pas toujours un ensemble numérique.

Pour raccourcir le dossier, nous utiliserons le symbolisme logique, qui nous permet d'écrire brièvement des énoncés, comme des formules. Le concept d'énoncé n'est pas défini. Il est seulement indiqué que toute affirmation peut être vraie ou fausse (bien sûr, pas les deux en même temps !).

Opérations logiques (liaisons) sur les ensembles

Pour former de nouvelles instructions à partir d'instructions existantes, les opérations logiques suivantes (ou connecteurs logiques) sont utilisées.

1. Disjonction : une affirmation (lire : « ou ») est vraie si et seulement si au moins une des affirmations et est vraie.

2. Conjonction : une affirmation (lire : « et ») est vraie si et seulement si les deux affirmations et sont vraies.

3. Négation : une affirmation (lire : « non ») est vraie si et seulement si elle est fausse.

4. Implication : une déclaration (lire : "si, alors" ou "implique") est vraie si et seulement si la déclaration est vraie ou si les deux déclarations sont fausses.

5. Équivalence (ou équivalence) : une affirmation (lire : « si et seulement si ») est vraie si et seulement si les deux affirmations et sont soit simultanément vraies, soit simultanément fausses. Deux déclarations quelconques et telles qu'elles sont vraies sont appelées logiquement équivalentes ou équivalentes.

En écrivant des instructions utilisant des opérations logiques, nous supposons que l'ordre dans lequel toutes les opérations sont effectuées est déterminé par la disposition des parenthèses. Pour simplifier la notation, les parenthèses sont souvent omises, tout en acceptant un certain ordre des opérations ("convention de priorité").

L'opération de négation est toujours effectuée en premier et n'est donc pas entre parenthèses. La seconde effectue l'opération de conjonction, puis de disjonction, et enfin d'implication et d'équivalence. Par exemple, une déclaration s'écrit comme ceci : Cet énoncé est une disjonction de deux énoncés : le premier est une négation, et le second l'est. Au contraire, la proposition est la négation de la disjonction des propositions et .

Par exemple, l'énoncé après mise entre parenthèses selon les priorités prendra la forme

Faisons quelques commentaires sur les connecteurs logiques introduits ci-dessus. L'interprétation significative de la disjonction, de la conjonction et de la négation n'a pas besoin d'explications particulières. Une implication est vraie, par définition, chaque fois que la proposition est vraie (indépendamment de la vérité) et que les deux sont fausses. Ainsi, si l'implication est vraie, alors quand elle est vraie, la vérité a lieu, mais le contraire peut ne pas être vrai, c'est-à-dire s'il est faux, l'énoncé peut être vrai ou faux. Cela motive la lecture de l'implication sous la forme de "si , alors". Il est également facile de comprendre que la proposition est équivalente à la proposition et donc significativement "si , alors" est identifié avec "non ou".

L'équivalence n'est rien d'autre qu'une "implication bilatérale", c'est-à-dire équivaut à . Cela signifie que la vérité découle de la vérité et, inversement, la vérité découle de la vérité.

Exemple 1.1. Pour déterminer la vérité ou la fausseté d'un énoncé complexe, en fonction de la vérité ou de la fausseté des énoncés qui y sont inclus, des tables de vérité sont utilisées.

Les deux premières colonnes du tableau contiennent tous les ensembles de valeurs possibles que les instructions et peuvent prendre. La vérité de la déclaration est indiquée par la lettre "I" ou le chiffre 1, et la fausseté - par la lettre "L" ou le chiffre 0. Les colonnes restantes sont remplies de gauche à droite. Donc, pour chaque ensemble de valeurs et trouver les valeurs correspondantes des déclarations.

Les tables de vérité des opérations logiques ont la forme la plus simple (tableaux 1.1-1.5).

Considérons une déclaration complexe. Pour la commodité des calculs, nous notons l'énoncé par , l'énoncé par , et écrivons l'énoncé original par . La table de vérité de cet énoncé est constituée de colonnes et (tableau 1.6).

Prédicats et quantificateurs

Les déclarations composées sont formées non seulement par des connecteurs logiques, mais aussi à l'aide de prédicats et de quantificateurs.

Un prédicat est une instruction contenant une ou plusieurs variables individuelles. Par exemple, "il y a un nombre pair" ou "il y a un étudiant de l'Université technique d'État de Moscou nommé d'après Bauman, qui est entré en 1999". Dans le premier prédicat, il y a une variable entière, dans le second - une variable parcourant l'ensemble des "individus humains". Un exemple de prédicat contenant plusieurs variables individuelles est : « a un fils », « et étudie dans le même groupe », « est divisé par », « est inférieur à », etc. Les prédicats seront écrits sous la forme , en supposant que toutes les variables incluses dans le prédicat donné sont répertoriées entre parenthèses.

Remplacer une valeur spécifique pour chaque variable incluse dans le prédicat , c'est-à-dire en fixant les valeurs, où se trouvent des constantes avec la plage de valeurs correspondante, nous obtenons une déclaration qui ne contient pas de variables. Par exemple, "2 est un nombre pair", "Isaac Newton est un étudiant de l'Université technique d'État de Moscou du nom de Bauman, entré en 1999", "Ivanov est le fils de Petrov", "5 est divisible par 7", etc. Selon que l'énoncé ainsi obtenu est vrai ou faux, le prédicat est dit satisfait ou non satisfait sur l'ensemble des valeurs des variables. Un prédicat qui est satisfait sur tout ensemble de variables qu'il contient est appelé identiquement vrai, et un prédicat qui n'est satisfait sur aucun ensemble de valeurs de ses variables est appelé identiquement faux.

Une déclaration à partir d'un prédicat peut être obtenue non seulement en substituant les valeurs de ses variables, mais également au moyen de quantificateurs. Deux quantificateurs sont introduits - l'existence et l'universalité, dénotés par et respectivement.

La proposition ("pour chaque élément de l'ensemble est vrai", ou, plus brièvement, "pour tout est vrai") est vraie, par définition, si et seulement si le prédicat est vrai pour chaque valeur de la variable .

L'énoncé ("il y a, ou il y a, tel élément de l'ensemble qui est vrai", aussi "pour certains est vrai") est vrai, par définition, si et seulement si le prédicat est satisfait sur certaines valeurs de la variable.

Associer des variables de prédicat à des quantificateurs

Lorsqu'un énoncé est formé à partir d'un prédicat au moyen d'un quantificateur, on dit que la variable du prédicat est liée par le quantificateur. De même, les variables sont liées dans des prédicats contenant plusieurs variables. Dans le cas général, les expressions de la forme

où l'un des quantificateurs ou peut être remplacé par un indice pour chaque lettre.

Par exemple, l'énoncé se lit comme suit : "pour tout le monde, il y a tel qui est vrai". Si les ensembles qui parcourent les variables des prédicats sont fixes (c'est-à-dire « par défaut »), alors les quantificateurs s'écrivent sous une forme abrégée : ou .

Notez que de nombreux théorèmes mathématiques peuvent être écrits sous une forme similaire aux énoncés avec quantificateurs qui viennent d'être donnés, par exemple : "c'est vrai pour tout le monde et pour tout le monde : si est une fonction qui est différentiable en un point, alors la fonction est continue en un point".

Façons de spécifier des ensembles

Après avoir discuté des caractéristiques de l'utilisation du symbolisme logique, revenons à la considération des ensembles.

Deux ensembles et sont considérés comme égaux si un élément de l'ensemble est un élément de l'ensemble et vice versa. Il découle de la définition ci-dessus des ensembles égaux qu'un ensemble est complètement déterminé par ses éléments.

Considérons les manières de spécifier les ensembles concrets. Pour un ensemble fini dont le nombre d'éléments est relativement faible, la méthode d'énumération directe des éléments peut être utilisée. Les éléments d'un ensemble fini sont listés entre accolades dans un ordre fixe arbitraire. Nous soulignons que puisque l'ensemble est complètement déterminé par ses éléments, alors lors de la spécification d'un ensemble fini, l'ordre dans lequel ses éléments sont répertoriés n'a pas d'importance. Par conséquent, les entrées, etc. définissent tous le même ensemble. De plus, des répétitions d'éléments sont parfois utilisées dans la notation des ensembles. Nous supposerons que l'entrée définit le même ensemble que l'entrée .

Dans le cas général, pour un ensemble fini, la notation est utilisée. En règle générale, la répétition d'éléments est évitée. Alors l'ensemble fini donné par la notation est constitué d'éléments. On l'appelle aussi un ensemble de n éléments.

Cependant, la méthode de spécification d'un ensemble en énumérant directement ses éléments est applicable dans une gamme très étroite d'ensembles finis. La façon la plus générale de spécifier des ensembles concrets est de spécifier une propriété que tous les éléments de l'ensemble décrit doivent avoir, et seulement eux.

Cette idée est mise en œuvre de la manière suivante. Laissez la variable s'étendre sur un ensemble appelé l'ensemble universel. Nous supposons que seuls les ensembles dont les éléments sont également des éléments de l'ensemble sont considérés. Dans ce cas, une propriété que seuls les éléments d'un ensemble donné possèdent peut être exprimée au moyen d'un prédicat , qui est exécuté si et seulement si la variable prend une valeur arbitraire de l'ensemble . En d'autres termes, vrai si et seulement si la constante individuelle est substituée à .

Le prédicat est appelé dans ce cas prédicat caractéristique de l'ensemble, et la propriété exprimée à l'aide de ce prédicat est appelée propriété caractéristique ou propriété collectivisante.

L'ensemble défini par le prédicat caractéristique s'écrit sous la forme suivante :

Par exemple, cela signifie qu'"il existe un ensemble composé de tous les éléments tels que chacun d'eux est un nombre naturel pair".

Le terme "propriété collectivisante" est motivé par le fait que cette propriété vous permet de rassembler des éléments disparates en un seul ensemble. Ainsi, la propriété qui définit un ensemble (voir ci-dessous) forme littéralement une sorte de « collectif » :

Si nous revenons à la définition de Cantor d'un ensemble, alors le prédicat caractéristique d'un ensemble est la loi par laquelle un ensemble d'éléments est combiné en un seul tout. Un prédicat spécifiant une propriété collectivisante peut être identiquement faux. Un ensemble défini de cette manière n'aura pas d'éléments. Il est appelé l'ensemble vide et noté .

En revanche, un prédicat caractéristique identiquement vrai définit un ensemble universel.

Notez que tous les prédicats n'expriment pas une propriété collectivisante.

Remarque 1.1. Le contenu spécifique du concept d'ensemble universel est déterminé par le contexte spécifique dans lequel nous appliquons les idées de la théorie des ensembles. Par exemple, si nous ne traitons que de divers ensembles numériques, alors l'ensemble de tous les nombres réels peut apparaître comme un ensemble universel. Chaque branche des mathématiques traite d'un ensemble relativement limité d'ensembles. Par conséquent, il convient de supposer que les éléments de chacun de ces ensembles sont aussi les éléments d'un ensemble universel qui les « embrasse ». En fixant l'ensemble universel, on fixe ainsi la plage de valeurs de toutes les variables et constantes qui apparaissent dans notre raisonnement mathématique. Dans ce cas, il est justement possible de ne pas indiquer dans les quantificateurs l'ensemble qui traverse la variable liée par le quantificateur. Dans ce qui suit, nous rencontrerons divers exemples d'ensembles universels concrets.

Définition 1.beaucoup est une collection de quelques objets réunis en un tout selon un certain ‒ ou attribut.

Les objets qui composent un ensemble sont appelés ses éléments.

Ils sont désignés par des lettres majuscules de l'alphabet latin : UN, B, …, X, Oui, …, et leurs éléments sont désignés par les majuscules correspondantes : un B, …, x, y.

Définition 1.1. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé vide et est désigné par le symbole Ø.

Un ensemble peut être spécifié par une énumération et une description.

Exemple:; .

Définition 1.2. beaucoup UN appelé un sous-ensemble B si chaque élément de l'ensemble UN est un élément de l'ensemble B. Symboliquement, cela s'exprime comme suit : UN B (UN contenu dans B).

Définition 1.3. Deux jeux UN Et B appelé égal, s'ils sont constitués des mêmes éléments :( UN =B).

Opérations sur les ensembles.

Définition 1.4. Union ou somme d'ensembles UN Et B est un ensemble constitué d'éléments dont chacun appartient à au moins un de ces ensembles.

L'union des ensembles est notée UN B(ou UN +B). Brièvement, on peut écrire UN B = .

UN B= UN +B

Si BA, Ce UN +B=A

Définition 1.5. Intersection ou produit d'ensembles UN Et B est appelé un ensemble composé d'éléments dont chacun appartient à l'ensemble UN et beaucoup B simultanément. L'intersection des ensembles est notée UN B(ou UN· B). Brièvement, vous pouvez écrire :

AB= .

UN B =UN · B

Si B UN, Ce UN · B=B

Définition 1.6. définir la différence UN Et B on appelle un ensemble dont chaque élément est un élément de l'ensemble UN et n'est pas un élément de l'ensemble B. La différence des ensembles est notée UN\B. A-prieuré UN\B = .

UN\B = UN–B

Les ensembles dont les éléments sont des nombres sont appelés numérique.

Voici des exemples d'ensembles numériques :

N =est l'ensemble des nombres naturels.

Z= - ensemble d'entiers.

Q=est l'ensemble des nombres rationnels.

R est l'ensemble des nombres réels.

Un tas de R contient des nombres rationnels et irrationnels. Tout nombre rationnel est exprimé soit sous la forme d'une fraction décimale finie, soit sous la forme d'une fraction périodique infinie. Ainsi, ;… sont des nombres rationnels.

Un nombre irrationnel est exprimé comme une fraction décimale non périodique infinie. Donc, = 1,41421356... ; = 3,14159265.... est un nombre irrationnel.

K est l'ensemble des nombres complexes (de la forme Z=un+ bi)

Définition 1.7.Ɛ ‒ voisinage d'un point X 0 est appelé un intervalle symétrique ( X 0 – Ɛ; X 0 + Ɛ) contenant un point X 0 .

En particulier, si l'intervalle ( X 0 –Ɛ; X 0 +Ɛ), alors l'inégalité X 0 –Ɛ<X<X 0 +Ɛ, ou de manière équivalente, │ X– X 0 │<Ɛ. Exécuter ce dernier signifie toucher le point X en Ɛ – voisinage du point X 0 .

Exemple 1:

(2 - 0,1 ; 2 + 0,1) ou (1,9 ; 2,1) - Ɛ - quartier.

│X– 2│< 0,1

–0,1<X – 2<0,1

2 –0,1<X< 2 + 0,1

1,9<X< 2,1

Exemple 2 :

UN– ensemble de diviseurs 24 ;

B est l'ensemble des diviseurs 18.

Je suis physicien théoricien de formation, mais j'ai une bonne formation en mathématiques. Dans la magistrature l'une des matières était la philosophie, il fallait choisir un sujet et soumettre une dissertation dessus. Comme la plupart des options étaient plus d'une fois obmusoleny, j'ai décidé de choisir quelque chose de plus exotique. Je ne prétends pas à la nouveauté, j'ai juste réussi à accumuler toute/presque toute la littérature disponible sur ce sujet. Les philosophes et les mathématiciens peuvent me jeter des pierres, je ne serai reconnaissant que pour les critiques constructives.

PS Très "langue sèche", mais assez lisible après le programme universitaire. Pour la plupart, les définitions des paradoxes ont été tirées de Wikipédia (formulation simplifiée et balisage TeX prêt à l'emploi).

Introduction

La théorie des ensembles elle-même et les paradoxes qui lui sont inhérents sont apparus il n'y a pas si longtemps, il y a un peu plus de cent ans. Cependant, au cours de cette période, un long chemin a été parcouru, la théorie des ensembles, d'une manière ou d'une autre, est en fait devenue la base de la plupart des sections des mathématiques. Ses paradoxes, liés à l'infinité de Cantor, ont été expliqués littéralement avec succès en un demi-siècle.

Vous devriez commencer par une définition.

Qu'est-ce qu'une multitude ? La question est assez simple, la réponse est assez intuitive. Un ensemble est un ensemble d'éléments représentés par un seul objet. Cantor dans son ouvrage Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre en donne une définition : par « ensemble », nous entendons la combinaison en un certain ensemble M de certains objets bien définis m de notre contemplation ou de notre pensée (qu'on appellera « éléments » de la ensemble M). Comme vous pouvez le voir, l'essence n'a pas changé, la différence n'est que dans la partie qui dépend de la vision du monde du déterminant. L'histoire de la théorie des ensembles, tant en logique qu'en mathématiques, est très controversée. En fait, Kantor en a jeté les bases au 19ème siècle, puis Russell et les autres ont poursuivi le travail.

Paradoxes (logique et théorie des ensembles) - (grec - inattendu) - contradictions logiques formelles qui surviennent dans la théorie des ensembles significative et la logique formelle tout en maintenant l'exactitude logique du raisonnement. Les paradoxes surviennent lorsque deux propositions mutuellement exclusives (contradictoires) sont également prouvables. Des paradoxes peuvent apparaître à la fois dans la théorie scientifique et dans le raisonnement ordinaire (par exemple, le paradoxe de Russell sur l'ensemble de tous les ensembles normaux donné par Russell : « Le barbier du village rase tous ceux et seulement ceux des habitants de son village qui ne se rasent pas eux-mêmes. rase-toi ?"). Puisque la contradiction logique formelle détruit le raisonnement comme moyen de découvrir et de prouver la vérité (dans une théorie où apparaît un paradoxe, toute phrase, vraie ou fausse, est prouvable), le problème se pose d'identifier les sources de telles contradictions et de trouver moyens de les éliminer. Le problème de la compréhension philosophique des solutions spécifiques aux paradoxes est l'un des problèmes méthodologiques importants de la logique formelle et des fondements logiques des mathématiques.

Le but de ce travail est d'étudier les paradoxes de la théorie des ensembles en tant qu'héritiers des anciennes antinomies et conséquences tout à fait logiques du passage à un nouveau niveau d'abstraction - l'infini. La tâche consiste à considérer les principaux paradoxes, leur interprétation philosophique.

Paradoxes de base de la théorie des ensembles

Le barbier ne rase que les personnes qui ne se rasent pas. Est-ce qu'il se rase ?

Continuons avec une brève excursion dans l'histoire.

Certains des paradoxes logiques sont connus depuis l'Antiquité, mais du fait que la théorie mathématique était limitée à l'arithmétique et à la géométrie seules, il était impossible de les corréler avec la théorie des ensembles. Au XIXe siècle, la situation change radicalement : Kantor atteint un nouveau niveau d'abstraction dans ses œuvres. Il a introduit le concept d'infini, créant ainsi une nouvelle branche des mathématiques et permettant ainsi de comparer différents infinis en utilisant le concept de "puissance d'un ensemble". Cependant, ce faisant, il a créé de nombreux paradoxes. Le premier est le soi-disant Paradoxe Burali-Forti. Dans la littérature mathématique, il existe diverses formulations basées sur une terminologie différente et un ensemble présumé de théorèmes bien connus. Voici une des définitions formelles.

On peut prouver que si x est un ensemble arbitraire d'ordinaux, alors l'ensemble somme est un ordinal supérieur ou égal à chacun des éléments X. Supposons maintenant que soit l'ensemble de tous les nombres ordinaux. Alors est un nombre ordinal supérieur ou égal à l'un des nombres dans . Mais alors et est un nombre ordinal, et il est déjà strictement supérieur, et donc n'est égal à aucun des nombres dans . Mais cela contredit la condition qui est l'ensemble de tous les nombres ordinaux.

L'essence du paradoxe est que lorsque l'ensemble de tous les nombres ordinaux est formé, un nouveau type ordinal est formé, qui n'était pas encore parmi « tous » les nombres ordinaux transfinis qui existaient avant la formation de l'ensemble de tous les nombres ordinaux. Ce paradoxe a été découvert par Cantor lui-même, découvert et publié indépendamment par le mathématicien italien Burali-Forti, les erreurs de ce dernier ont été corrigées par Russell, après quoi la formulation a acquis sa forme finale.

Parmi toutes les tentatives pour éviter de tels paradoxes et, dans une certaine mesure, essayer de les expliquer, l'idée du Russell déjà mentionné mérite le plus d'attention. Il a proposé d'exclure des mathématiques et de la logique les phrases imprédicatives dans lesquelles la définition d'un élément d'un ensemble dépend de ce dernier, ce qui provoque des paradoxes. La règle ressemble à ceci : "aucun ensemble C ne peut contenir des éléments m, définis uniquement en fonction de l'ensemble C, ainsi que des éléments n, en supposant cet ensemble dans leur définition". Une telle restriction sur la définition d'un ensemble nous permet d'éviter les paradoxes, mais en même temps réduit considérablement la portée de son application en mathématiques. De plus, cela ne suffit pas à expliquer leur nature et les raisons de leur apparition, ancrées dans la dichotomie de la pensée et du langage, dans les traits de la logique formelle. Dans une certaine mesure, cette limitation peut être attribuée à une analogie avec ce que, plus tard, les psychologues cognitifs et les linguistes ont commencé à appeler la "catégorisation de niveau de base": la définition est réduite au concept le plus facile à comprendre et à étudier.

Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe. Dans ce cas, c'est vrai, c'est-à-dire que tout ensemble t est un sous-ensemble de V. Mais il s'ensuit que la puissance de tout ensemble ne dépasse pas la puissance de V. Mais en vertu de l'axiome de l'ensemble de tous sous-ensembles, pour V, ainsi que pour tout ensemble, il existe un ensemble de tous les sous-ensembles , et par le théorème de Cantor, qui contredit l'énoncé précédent. Par conséquent, V ne peut pas exister, ce qui contredit l'hypothèse "naïve" selon laquelle toute condition logique syntaxiquement correcte définit un ensemble, c'est-à-dire que pour toute formule A qui ne contient pas y librement. Une preuve remarquable de l'absence de telles contradictions sur la base de la théorie des ensembles axiomatisée de Zermelo-Fraenkel est donnée par Potter.

D'un point de vue logique, les deux paradoxes ci-dessus sont identiques au "menteur" ou au "barbier": le jugement exprimé est dirigé non seulement sur quelque chose d'objectif par rapport à lui, mais aussi sur lui-même. Cependant, il faut faire attention non seulement au côté logique, mais aussi au concept d'infini, qui est présent ici. La littérature fait référence à l'ouvrage de Poincaré, dans lequel il écrit : "la croyance en l'existence de l'infini réel... rend nécessaires ces définitions non prédicatives"".
En général, les points principaux sont :

dans ces paradoxes, la règle est violée pour séparer clairement les « sphères » du prédicat et du sujet ; le degré de confusion est proche de la substitution d'un concept à un autre ;
généralement en logique, on suppose que dans le processus de raisonnement, le sujet et le prédicat conservent leur portée et leur contenu, dans ce cas
passage d'une catégorie à une autre, entraînant une inadéquation;
la présence du mot "tous" a un sens pour un nombre fini d'éléments, mais dans le cas d'un nombre infini d'entre eux, il est possible d'en avoir un qui
se définir exigerait la définition d'un ensemble ;
les lois logiques de base sont violées :
- la loi de l'identité est violée lorsque la non-identité du sujet et du prédicat est révélée ;
- la loi de contradiction - lorsque deux jugements contradictoires sont tirés avec le même droit;
- la loi du tiers exclu - lorsque ce tiers doit être reconnu, et non exclu, puisque ni le premier ni le second ne peuvent être reconnus l'un sans l'autre, car ils sont également valables.

Le troisième paradoxe porte le nom de Russell.. Une définition est donnée ci-dessous.
Soit K l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas comme élément, K se contient-il comme élément ? Si oui, alors, par définition de K, ce ne devrait pas être un élément de K - une contradiction. Sinon - alors, par définition de K, ce doit être un élément de K - encore une contradiction. Cette affirmation est logiquement dérivée du paradoxe de Cantor, qui montre leur relation. Cependant, l'essence philosophique se manifeste plus clairement, puisque «l'auto-mouvement» des concepts a lieu juste «sous nos yeux».

Le paradoxe de Tristram Shandy :
Dans La vie et les opinions de Tristram Shandy, Gentleman de Stern, le héros constate qu'il lui a fallu une année entière pour raconter les événements du premier jour de sa vie, et une autre année pour décrire le deuxième jour. À cet égard, le héros se plaint que le matériel de sa biographie s'accumulera plus vite qu'il ne pourra le traiter et qu'il ne pourra jamais le terminer. "Maintenant, je maintiens," objecte Russell, "que s'il vivait éternellement et que son travail ne devenait pas un fardeau pour lui, même si sa vie continuait d'être aussi mouvementée qu'au début, alors pas une partie de sa biographie ne resterait non écrit.
En effet, Shandy pouvait décrire les événements du nième jour pour la nième année et, ainsi, dans son autobiographie, chaque jour serait capturé.

En d'autres termes, si la vie durait indéfiniment, elle aurait alors autant d'années que de jours.

Russell établit une analogie entre ce roman et Zénon avec sa tortue. Selon lui, la solution réside dans le fait que le tout équivaut à sa partie à l'infini. Ceux. seul « l'axiome du sens commun » conduit à une contradiction. Cependant, la solution du problème se situe dans le domaine des mathématiques pures. De toute évidence, il existe deux ensembles - années et jours, entre les éléments dont il existe une correspondance bijective - une bijection. Ensuite, sous la condition de la vie infinie du protagoniste, il y a deux ensembles infinis de puissance égale, ce qui, si l'on considère la puissance comme une généralisation du concept du nombre d'éléments dans un ensemble, résout le paradoxe.

Paradoxe (théorème) de Banach-Tarski ou paradoxe du doublement de la boule- un théorème en théorie des ensembles stipulant qu'une boule tridimensionnelle est également composée de deux de ses copies.
Deux sous-ensembles de l'espace euclidien sont dits également composés si l'un peut être divisé en un nombre fini de parties, les déplacer, et en constituer la seconde.
Plus précisément, deux ensembles A et B sont également composés s'ils peuvent être représentés comme une union finie de sous-ensembles disjoints tels que pour chaque i le sous-ensemble est congruent.

Si nous utilisons le théorème du choix, la définition ressemble à ceci :
L'axiome du choix implique qu'il existe une division de la surface d'une sphère unitaire en un nombre fini de parties, qui, par des transformations de l'espace euclidien tridimensionnel qui ne changent pas la forme de ces composants, peuvent être assemblées en deux sphères de rayon unitaire.

Évidemment, compte tenu de l'exigence que ces pièces soient mesurables, cette affirmation n'est pas réalisable. Le célèbre physicien Richard Feynman a raconté dans sa biographie comment, à un moment donné, il a réussi à gagner le différend concernant la division d'une orange en un nombre fini de parties et sa recomposition.

À certains moments, ce paradoxe est utilisé pour réfuter l'axiome du choix, mais le problème est que ce que nous considérons comme la géométrie élémentaire n'est pas essentiel. Ces concepts que nous considérons comme intuitifs devraient être étendus au niveau des propriétés des fonctions transcendantales.

Pour affaiblir davantage la confiance de ceux qui croient que l'axiome de choix est faux, il convient de mentionner le théorème de Mazurkiewicz et Sierpinski, qui stipule qu'il existe un sous-ensemble non vide E du plan euclidien qui a deux sous-ensembles disjoints, chacun de qui peuvent être divisés en un nombre fini de parties, de sorte qu'ils peuvent être traduits par des isométries en un revêtement de l'ensemble E.
La preuve ne nécessite pas l'utilisation de l'axiome de choix.
D'autres constructions basées sur l'axiome de certitude donnent une résolution au paradoxe de Banach-Tarski, mais ne sont pas d'un tel intérêt.

Paradoxe de Richard : il faut nommer « le plus petit nombre non nommé dans ce livre ». La contradiction est que d'une part, cela peut être fait, puisqu'il y a le plus petit nombre nommé dans ce livre. A partir de là, on peut aussi nommer le plus petit sans nom. Mais ici un problème se pose : le continuum est indénombrable, entre deux nombres quelconques on peut insérer un nombre infini de nombres intermédiaires. Par contre, si nous pouvions nommer ce numéro, il passerait automatiquement de la classe non mentionnée dans le livre à la classe mentionnée.
Le paradoxe de Grelling-Nilson : des mots ou des signes peuvent dénoter une propriété et en même temps l'avoir ou non. La formulation la plus triviale ressemble à ceci : le mot « hétérologique » (qui signifie « non applicable à lui-même ») est-il hétérologique ?. est violé. Dans le cas de mots qui ont un haut niveau d'abstraction, il est impossible de décider si ces mots sont hétérologiques.
Paradoxe de Skolem : en utilisant le théorème de complétude de Gödel et le théorème de Löwenheim-Skolem, nous obtenons que la théorie axiomatique des ensembles reste vraie même lorsque seul un ensemble dénombrable d'ensembles est supposé (disponible) pour son interprétation. Dans le même temps
la théorie axiomatique inclut le théorème de Cantor déjà mentionné, qui nous amène à des ensembles infinis innombrables.

Résolution de paradoxes

La création de la théorie des ensembles a donné lieu à ce qui est considéré comme la troisième crise des mathématiques, qui n'a pas encore été résolue de manière satisfaisante pour tout le monde.
Historiquement, la première approche était la théorie des ensembles. Il était basé sur l'utilisation de l'infini réel, alors que l'on considérait que toute séquence infinie est complétée à l'infini. L'idée était qu'en théorie des ensembles, il fallait souvent opérer sur des ensembles qui pouvaient faire partie d'autres ensembles plus grands. Les actions réussies dans ce cas n'étaient possibles que dans un cas: les ensembles donnés (finis et infinis) sont complétés. Un certain succès était au rendez-vous : la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel, toute une école de mathématiques de Nicolas Bourbaki, qui existe depuis plus d'un demi-siècle et suscite encore beaucoup de critiques.

Le logicisme était une tentative de réduire toutes les mathématiques connues aux termes de l'arithmétique, puis de réduire les termes de l'arithmétique aux concepts de la logique mathématique. Frege a repris cela de près, mais après avoir terminé le travail sur le travail, il a été forcé de souligner son incohérence, après que Russell ait souligné les contradictions de la théorie. Le même Russell, comme mentionné précédemment, a tenté d'éliminer l'utilisation de définitions imprédicatives à l'aide de la "théorie des types". Cependant, ses concepts d'ensemble et d'infini, ainsi que l'axiome de réductibilité, se sont avérés illogiques. Le principal problème était que les différences qualitatives entre la logique formelle et mathématique n'étaient pas prises en compte, ainsi que la présence de concepts superflus, y compris ceux de nature intuitive.
En conséquence, la théorie du logicisme ne pouvait pas éliminer les contradictions dialectiques des paradoxes associés à l'infini. Il n'y avait que des principes et des méthodes qui permettaient de s'affranchir des définitions au moins non prédicatives. Dans son propre raisonnement, Russell était l'héritier de Cantor.

Fin XIX - début XX siècle. la diffusion du point de vue formaliste sur les mathématiques a été associée au développement de la méthode axiomatique et du programme de justification des mathématiques, proposé par D. Hilbert. L'importance de ce fait est indiquée par le fait que le premier des vingt-trois problèmes qu'il a présentés à la communauté mathématique était le problème de l'infini. La formalisation était nécessaire pour prouver la consistance des mathématiques classiques, « tout en en excluant toute métaphysique ». Compte tenu des moyens et des méthodes utilisés par Hilbert, son objectif s'est avéré fondamentalement impossible, mais son programme a eu un impact énorme sur l'ensemble du développement ultérieur des fondements des mathématiques. Hilbert a longtemps travaillé sur ce problème, ayant d'abord construit l'axiomatique de la géométrie. Comme la solution du problème s'est avérée assez réussie, il a décidé d'appliquer la méthode axiomatique à la théorie des nombres naturels. Voici ce qu'il écrit à ce propos : « Je poursuis un but important : c'est moi qui voudrais traiter des questions de fondement des mathématiques en tant que telles, transformant chaque énoncé mathématique en une formule strictement dérivable. En même temps, il était prévu de supprimer l'infini en le réduisant à un certain nombre fini d'opérations. Pour ce faire, il s'est tourné vers la physique avec son atomisme, afin de montrer toute l'incohérence des quantités infinies. En fait, Hilbert a soulevé la question de la relation entre la théorie et la réalité objective.

Une idée plus ou moins complète des méthodes finies est donnée par l'étudiant de Hilbert, J. Herbran. Par raisonnement fini, il entend un raisonnement qui satisfait aux conditions suivantes : paradoxes logiques "- seul un nombre fini et défini d'objets et de fonctions est toujours considéré ;

Les fonctions ont une définition précise, et cette définition permet de calculer leur valeur ;

Il n'affirme jamais "Cet objet existe" à moins qu'un moyen de le construire ne soit connu;

L'ensemble de tous les objets X de toute collection infinie n'est jamais considéré ;

Si l'on sait qu'un raisonnement ou un théorème est vrai pour tous ces X, cela signifie que ce raisonnement général peut être répété pour chaque X spécifique, et ce raisonnement général lui-même ne doit être considéré que comme un modèle pour un tel raisonnement spécifique.

Cependant, au moment de la dernière publication dans ce domaine, Gödel avait déjà reçu ses résultats, en substance, il a de nouveau découvert et approuvé la présence de la dialectique dans le processus de cognition. Essentiellement, le développement ultérieur des mathématiques a démontré l'échec du programme de Hilbert.

Qu'est-ce que Gödel a prouvé exactement ? Il y a trois résultats principaux :

1. Gödel a montré l'impossibilité d'une preuve mathématique de la cohérence de tout système suffisamment grand pour inclure toute l'arithmétique, une preuve qui n'utiliserait aucune autre règle d'inférence que celles trouvées dans le système lui-même. Une telle preuve, qui utilise une règle d'inférence plus puissante, peut être utile. Mais si ces règles d'inférence sont plus fortes que les moyens logiques du calcul arithmétique, alors il n'y aura aucune confiance dans la cohérence des hypothèses utilisées dans la preuve. Dans tous les cas, si les méthodes utilisées ne sont pas finitistes, alors le programme de Hilbert se révélera impraticable. Gödel montre juste l'incohérence des calculs pour trouver une preuve finitiste de la cohérence de l'arithmétique.
2. Gödel a souligné les limites fondamentales des possibilités de la méthode axiomatique : le système Principia Mathematica, comme tout autre système avec lequel l'arithmétique est construite, est essentiellement incomplet, c'est-à-dire que pour tout système cohérent d'axiomes arithmétiques, il existe de vraies phrases arithmétiques qui sont pas dérivé des axiomes de ce système.
3. Le théorème de Gödel montre qu'aucune extension d'un système arithmétique ne peut le rendre complet, et même si nous le remplissons avec un ensemble infini d'axiomes, alors dans le nouveau système il y aura toujours vrai, mais non déductible au moyen de ce système, postes. L'approche axiomatique de l'arithmétique des nombres naturels ne peut pas couvrir tout le domaine des vraies propositions arithmétiques, et ce que nous entendons par processus de preuve mathématique ne se limite pas à l'utilisation de la méthode axiomatique. Après le théorème de Godel, il est devenu absurde de s'attendre à ce que le concept d'une preuve mathématique convaincante puisse être donné une fois pour toutes sous des formes délimitées.

La dernière de cette série de tentatives d'explication de la théorie des ensembles était l'intuitionnisme.

Il est passé par un certain nombre d'étapes dans son évolution - semi-intuitionnisme, intuitionnisme proprement dit, ultra-intuitionnisme. À différentes étapes, les mathématiciens se sont inquiétés de différents problèmes, mais l'un des principaux problèmes des mathématiques est le problème de l'infini. Les concepts mathématiques d'infini et de continuité ont fait l'objet d'analyses philosophiques depuis leur origine (idées d'atomistes, apories de Zénon d'Elée, méthodes infinitésimales dans l'Antiquité, calcul infinitésimal dans les temps modernes, etc.). La plus grande controverse a été causée par l'utilisation de divers types d'infini (potentiel, réel) comme objets mathématiques et leur interprétation. Tous ces problèmes, à notre avis, ont été générés par un problème plus profond - le rôle du sujet dans la connaissance scientifique. C'est que l'état de crise des mathématiques est généré par l'incertitude épistémologique de la comparaison du monde de l'objet (infini) et du monde du sujet. Le mathématicien en tant que sujet a la possibilité de choisir les moyens de cognition - soit l'infini potentiel, soit l'infini réel. L'utilisation de l'infini potentiel comme devenir, lui donne l'opportunité de réaliser, de construire un ensemble infini de constructions qui peuvent être construites au-dessus de celles finies, sans avoir un pas fini, sans achever la construction, c'est seulement possible. L'utilisation de l'infini actuel lui donne l'opportunité de travailler avec l'infini comme déjà réalisable, achevé dans sa construction, comme effectivement donné en même temps.

Au stade du semi-intuitionnisme, le problème de l'infini n'était pas encore indépendant, mais était tissé dans le problème de la construction d'objets mathématiques et des moyens de le justifier. Le semi-intuitionnisme d'A. Poincaré et des représentants de l'école parisienne de la théorie des fonctions Baire, Lebesgue et Borel était dirigé contre l'acceptation de l'axiome du libre choix, à l'aide duquel le théorème de Zermelo est prouvé, qui stipule que tout ensemble peut être rendu complètement ordonné, mais sans indiquer de manière théorique de déterminer les éléments de tout sous-ensemble des ensembles requis. Il n'y a aucun moyen de construire un objet mathématique, et il n'y a pas d'objet mathématique lui-même. Les mathématiciens pensaient que la présence ou l'absence d'une méthode théorique de construction d'une séquence d'objets d'étude pouvait servir de base pour justifier ou réfuter cet axiome. Dans la version russe, le concept semi-intuitionniste dans les fondements philosophiques des mathématiques a été développé dans une direction telle que l'effectivisme développé par N.N. Luzine. L'effectivité est une opposition aux principales abstractions de la doctrine de l'infini de Cantor - actualité, choix, induction transfinie, etc.

Pour l'effectivisme, l'abstraction de la faisabilité potentielle est épistémologiquement plus précieuse que l'abstraction de l'infini réel. Grâce à cela, il devient possible d'introduire le concept d'ordinaux transfinis (nombres ordinaux infinis) sur la base du concept effectif de croissance des fonctions. Le cadre épistémologique de l'effectivité pour afficher le continu (continuum) était basé sur des moyennes discrètes (arithmétique) et la théorie descriptive des ensembles (fonctions) créée par N.N. Luzin. L'intuitionnisme du Néerlandais L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting voit émerger librement des séquences de divers types comme un objet d'étude traditionnel. À ce stade, en résolvant les problèmes mathématiques proprement dits, y compris la restructuration de toutes les mathématiques sur une nouvelle base, les intuitionnistes ont soulevé la question philosophique du rôle du mathématicien en tant que sujet connaissant. Quelle est sa position, où il est plus libre et actif dans le choix des moyens de cognition ? Les intuitionnistes ont été les premiers (et au stade du semi-intuitionnisme) à critiquer le concept d'infini réel, la théorie des ensembles de Cantor, y voyant l'atteinte à la capacité du sujet à influencer le processus de recherche scientifique d'une solution à un problème constructif. . Dans le cas de l'utilisation de l'infini potentiel, le sujet ne se trompe pas, puisque pour lui l'idée d'infini potentiel est intuitivement beaucoup plus claire que l'idée d'infini réel. Pour un intuitionniste, un objet est considéré comme existant s'il est donné directement à un mathématicien ou si la méthode de construction est connue. Dans tous les cas, le sujet peut commencer le processus d'achèvement de la construction d'un certain nombre d'éléments de son ensemble. L'objet non construit n'existe pas pour les intuitionnistes. En même temps, le sujet travaillant avec l'infini réel sera privé de cette possibilité et ressentira la double vulnérabilité de la position adoptée :

1) il n'est jamais possible de réaliser cette construction infinie ;
2) il décide d'opérer avec l'infini effectif comme avec un objet fini, et dans ce cas perd sa spécificité du concept d'infini. L'intuitionnisme limite consciemment les possibilités d'un mathématicien par le fait qu'il peut construire des objets mathématiques exclusivement par des moyens qui, bien qu'obtenus à l'aide de concepts abstraits, sont efficaces, convaincants, prouvables, fonctionnellement constructifs précisément pratiquement et sont eux-mêmes intuitivement clairs en tant que constructions, constructions dont la fiabilité dans la pratique ne fait aucun doute. L'intuitionnisme, s'appuyant sur le concept d'infini potentiel et les méthodes de recherche constructives, traite des mathématiques du devenir, la théorie des ensembles renvoie aux mathématiques de l'être.

Pour l'intuitionniste Brouwer, en tant que représentant de l'empirisme mathématique, la logique est secondaire, il la critique ainsi que la loi du tiers exclu.

Dans ses œuvres en partie mystiques, il ne nie pas l'existence de l'infini, mais ne permet pas son actualisation, seulement sa potentialisation. L'essentiel pour lui est l'interprétation et la justification des moyens logiques et du raisonnement mathématique pratiquement utilisés. La restriction adoptée par les intuitionnistes surmonte l'incertitude de l'utilisation du concept d'infini en mathématiques et exprime le désir de surmonter la crise dans le fondement des mathématiques.

L'ultra-intuitionnisme (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov et autres) est la dernière étape du développement de l'intuitionnisme, au cours de laquelle ses idées principales sont modernisées, considérablement complétées et transformées, sans changer son essence, mais en surmontant les lacunes et en renforçant les aspects positifs, guidés par la rigueur mathématique des critères. La faiblesse de l'approche intuitionniste était une compréhension étroite du rôle de l'intuition comme seule source de justification de l'exactitude et de l'efficacité des méthodes mathématiques. Prenant la « clarté intuitive » comme critère de vérité en mathématiques, les intuitionnistes ont appauvri méthodologiquement les possibilités d'un mathématicien en tant que sujet de connaissance, ont réduit son activité uniquement à des opérations mentales basées sur l'intuition et n'ont pas inclus la pratique dans le processus de connaissance mathématique. Le programme ultra-intuitionniste de justification des mathématiques est une priorité russe. Par conséquent, les mathématiciens nationaux, surmontant les limites de l'intuitionnisme, ont accepté la méthodologie efficace de la dialectique matérialiste, reconnaissant la pratique humaine comme une source de formation à la fois des concepts mathématiques et des méthodes mathématiques (inférences, constructions). Le problème de l'existence d'objets mathématiques a été résolu par les ultra-intuitionnistes, en s'appuyant non pas sur le concept subjectif indéfini d'intuition, mais sur la pratique mathématique et un mécanisme spécifique de construction d'un objet mathématique - un algorithme exprimé par une fonction récursive calculable.

L'ultra-intuitionnisme renforce les avantages de l'intuitionnisme, qui consistent en la possibilité d'ordonner et de généraliser les méthodes de résolution de problèmes constructifs utilisées par les mathématiciens de toute direction. Par conséquent, l'intuitionnisme de la dernière étape (ultraintuitionnisme) est proche du constructivisme en mathématiques. Dans l'aspect épistémologique, les principales idées et principes de l'ultraintuitionnisme sont les suivants : critique de l'axiomatique classique de la logique ; l'utilisation et le renforcement significatif (sur les instructions explicites de A.A. Markov) du rôle de l'abstraction de l'identification (abstraction mentale des propriétés dissemblables des objets et isolement simultané des propriétés générales des objets) comme moyen de construire et de comprendre de manière constructive l'abstraction concepts, jugements mathématiques; preuve de la cohérence des théories cohérentes. Dans l'aspect formel, l'application de l'abstraction de l'identification est justifiée par ses trois propriétés (axiomes) d'égalité - réflexivité, transitivité et symétrie.

Résoudre la principale contradiction des mathématiques sur le problème de l'infini, qui a donné lieu à une crise de ses fondements, au stade de l'ultra-intuitionnisme dans les travaux d'A.N. Kolmogorov a suggéré des moyens de sortir de la crise en résolvant le problème des relations entre la logique classique et intuitionniste, les mathématiques classiques et intuitionnistes. L'intuitionnisme de Brouwer dans son ensemble a nié la logique, mais comme tout mathématicien ne peut se passer de logique, la pratique du raisonnement logique était encore préservée dans l'intuitionnisme, certains principes de la logique classique étaient autorisés, ayant l'axiomatique comme base. SK Kleene, R. Wesley notent même que les mathématiques intuitionnistes peuvent être décrites comme une sorte de calcul, et le calcul est un moyen d'organiser les connaissances mathématiques sur la base de la logique, de la formalisation et de sa forme - l'algorithmisation. Une nouvelle version de la relation entre la logique et les mathématiques dans le cadre des exigences intuitionnistes pour la clarté intuitive des jugements, en particulier ceux qui incluaient la négation, A.N. Kolmogorov a proposé ce qui suit: il a présenté la logique intuitionniste, étroitement liée aux mathématiques intuitionnistes, sous la forme d'un calcul minimal implicatif axiomatique de propositions et de prédicats. Ainsi, le scientifique a présenté un nouveau modèle de connaissance mathématique, surmontant les limites de l'intuitionnisme en ne reconnaissant que l'intuition comme moyen de cognition et les limites du logicisme, qui absolutise les possibilités de la logique en mathématiques. Cette position a permis de démontrer sous forme mathématique la synthèse de l'intuitif et du logique comme fondement de la rationalité flexible et de son efficacité constructive.

Conclusions. Ainsi, l'aspect épistémologique des connaissances mathématiques permet d'évaluer les mutations révolutionnaires au stade de la crise des fondements des mathématiques au tournant des XIXe-XXe siècles. de nouvelles positions dans la compréhension du processus de cognition, de la nature et du rôle du sujet dans celui-ci. Le sujet épistémologique de la théorie traditionnelle de la connaissance, correspondant à la période de domination de l'approche ensembliste en mathématiques, est un sujet abstrait, incomplet, « partiel », représenté dans des relations sujet-objet, arraché par les abstractions, la logique, formalisme de la réalité, rationnellement, théoriquement connaissant son objet et compris comme un miroir, reflétant et copiant fidèlement la réalité. En fait, le sujet était exclu de la cognition en tant que processus réel et résultat de l'interaction avec l'objet. L'entrée de l'intuitionnisme dans l'arène de la lutte des tendances philosophiques en mathématiques a conduit à une nouvelle compréhension du mathématicien en tant que sujet de connaissance - une personne qui sait, dont l'abstraction philosophique doit être, pour ainsi dire, à nouveau construite. Le mathématicien est apparu comme un sujet empirique, déjà compris comme une personne réelle intégrale, incluant toutes ces propriétés qui étaient abstraites dans le sujet épistémologique - le concret empirique, la variabilité, l'historicité ; c'est un agir et connaître dans la cognition réelle, un sujet créatif, intuitif, inventif. La philosophie des mathématiques intuitionnistes est devenue la base, le fondement du paradigme épistémologique moderne, construit sur le concept de rationalité flexible, dans lequel une personne est un sujet intégral (holistique) de la cognition, possédant de nouvelles qualités cognitives, méthodes, procédures; il synthétise sa nature et sa forme abstraite-épistémologique et logico-méthodologique, et reçoit en même temps une compréhension existentielle-anthropologique et "historico-métaphysique".

Un point important est également l'intuition dans la cognition et, en particulier, dans la formation des concepts mathématiques. Encore une fois, il y a une lutte avec la philosophie, des tentatives d'exclure la loi du tiers exclu, comme n'ayant aucun sens en mathématiques et venant de la philosophie. Cependant, la présence d'un accent excessif sur l'intuition et le manque de justifications mathématiques claires n'ont pas permis de transférer les mathématiques sur une base solide.

Cependant, après l'émergence d'un concept rigoureux d'algorithme dans les années 1930, le relais de l'intuitionnisme a été repris par le constructivisme mathématique, dont les représentants ont apporté une contribution significative à la théorie moderne de la calculabilité. De plus, dans les années 1970 et 1980, des liens significatifs ont été découverts entre certaines des idées des intuitionnistes (même celles qui semblaient auparavant absurdes) et la théorie mathématique des topos. Les mathématiques trouvées dans certains topoi sont très similaires à celles que les intuitionnistes essayaient de créer.

En conséquence, on peut faire une déclaration : la plupart des paradoxes ci-dessus n'existent tout simplement pas dans la théorie des ensembles avec propriété de soi. La question de savoir si une telle approche est définitive est discutable, d'autres travaux dans ce domaine le montreront.

Conclusion

L'analyse dialectique-matérialiste montre que les paradoxes sont une conséquence de la dichotomie du langage et de la pensée, une expression de profondes difficultés dialectiques (le théorème de Gödel a permis de manifester la dialectique dans le processus de cognition) et épistémologiques associées aux concepts d'objet et de sujet. domaine en logique formelle, un ensemble (classe) en logique et en théorie des ensembles, avec l'utilisation du principe d'abstraction, qui permet d'introduire de nouveaux objets (abstraits) (infini), avec des méthodes pour définir des objets abstraits en science, etc. Par conséquent, un moyen universel d'éliminer tous les paradoxes ne peut être donné.

Que la troisième crise des mathématiques soit terminée (parce qu'elle était dans une relation causale avec les paradoxes; maintenant les paradoxes en font partie intégrante) - les opinions divergent ici, bien que les paradoxes formellement connus aient été éliminés en 1907. Cependant, maintenant en mathématiques, il existe d'autres circonstances qui peuvent être considérées comme une crise ou préfigurer une crise (par exemple, l'absence d'une justification rigoureuse de l'intégrale de chemin).

Quant aux paradoxes, le fameux paradoxe du menteur a joué un rôle très important en mathématiques, ainsi que toute une série de paradoxes dans la théorie des ensembles dite naïve (axiomatique précédente) qui a provoqué une crise des fondements (l'un de ces paradoxes a joué un rôle fatal dans la vie de H. Frege) . Mais, peut-être, l'un des phénomènes les plus sous-estimés des mathématiques modernes, que l'on peut qualifier à la fois de paradoxe et de crise, est la solution par Paul Cohen en 1963 du premier problème de Hilbert. Plus précisément, non pas le fait même de la décision, mais la nature de cette décision.

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I. Concepts de base et axiomes de la théorie des ensembles

Au cours des milliers d'années de son existence, à partir des idées les plus simples sur le nombre et la figure, les mathématiques sont parvenues à la formation de nombreux concepts et méthodes nouveaux. Il est devenu un outil puissant pour l'étude de la nature et un instrument flexible de pratique. Le XXe siècle a apporté de nouvelles idées et théories aux mathématiques, et la portée de son application s'est élargie. Les mathématiques occupent une position particulière dans le système des sciences - elles ne peuvent être attribuées ni aux sciences humaines ni aux sciences naturelles. Mais elle a introduit les concepts de base qui y sont utilisés. Un tel concept est le concept d '«ensemble», qui est apparu pour la première fois en mathématiques et est maintenant scientifique général.

La première ébauche de la théorie des ensembles est de Bernard Bolzano (Paradoxes de l'infini, 1850). Dans ce travail, des ensembles arbitraires (numériques) sont considérés et, pour leur comparaison, le concept de correspondance biunivoque est défini.

A la fin du 19e siècle, Georg Cantor, mathématicien allemand et fondateur de la théorie des ensembles, a donné une définition intuitive du concept d'« ensemble » comme suit : "Beaucoup est beaucoup pensé comme un tout". Une telle définition d'un ensemble nécessitait l'introduction trois personnages.

D'abord d'entre eux doivent représenter la multitude comme quelque chose "d'un", c'est-à-dire être représentatif de la multitude. En tant que tel symbole, il est d'usage d'utiliser n'importe quelle lettre majuscule de n'importe quel alphabet : par exemple, pour désigner des ensembles avec des lettres majuscules de l'alphabet latin A, B, ..., X, ou tout autre par convention.

Deuxième le symbole doit représenter "plusieurs", c'est-à-dire être considéré comme un élément d'un ensemble. Comme symbole, il est d'usage d'utiliser des lettres minuscules d'un même alphabet : a, b, ..., z.

Troisième un symbole doit relier sans ambiguïté un élément à un ensemble. Le signe est défini comme le symbole correspondant, qui vient de la première lettre du mot grec (être). L'entrée définit la relation : x est un élément de X. Pour indiquer que x n'est pas un élément de X, écrivez .

Il convient de noter qu'une telle définition du concept d'ensemble conduit à un certain nombre de contradictions internes de la théorie - les soi-disant paradoxes.

Par exemple, considérons le paradoxe de Russell. Coiffeur
(élément x) vivant dans un village qui ne se rase pas (soit X l'ensemble de tous ceux et seulement ceux des habitants du village donné qui ne se rasent pas). Le barbier se rase-t-il ? C'est-à-dire ou ? Il est impossible de répondre à la question, car en supposant, par exemple, que , nous arrivons immédiatement à une contradiction : , et vice versa.

Dans le cours scolaire de mathématiques, les élèves considèrent le concept d'ensemble comme un concept indéfinissable, qui s'entend comme un ensemble d'objets de la réalité qui nous entoure, conçu comme un tout unique. Et chaque objet de cette collection s'appelle élément de cet ensemble.

Actuellement, il existe plusieurs systèmes axiomatiques de la théorie des ensembles :

Le système d'axiomes de Zermelo. Ce système d'axiomes est souvent complété par l'axiome du choix, et est appelé le système de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC).

Axiomes de la théorie NBG. Ce système d'axiomes, proposé par von Neumann, a ensuite été révisé et simplifié par Robinson, Bernays et Gödel.

Le système de Zermelo (système Z) se compose de 7 axiomes. Décrivons ces axiomes dans le cadre dans lequel ils sont utilisés dans le cours de mathématiques à l'école.

Axiome du volume (Z1). Si tous les éléments de l'ensemble A appartiennent à l'ensemble B et que tous les éléments de l'ensemble B appartiennent également à l'ensemble A, alors A=B.

Pour clarifier cet axiome, nous devons utiliser le terme "sous-ensemble": Si chaque élément de l'ensemble A est un élément de l'ensemble Z, alors on dit que A est sous-ensemble Z, et écrivez . Le symbole est appelé "on". Si la possibilité d'une situation où Z = A n'est pas exclue, alors pour se concentrer sur cela, ils écrivent.

En introduisant le terme « sous-ensemble », nous formulons l'axiome 1 sous forme symbolique : .

Axiome du couple (Z2). Pour a et b quelconques, il existe un ensemble dont les seuls éléments sont (a,b).

Cet axiome est utilisé pour expliquer le produit cartésien d'ensembles, où le concept initial est une "paire ordonnée". Sous paire ordonnée comprendre la totalité de deux éléments, dont chacun occupe une certaine place dans le dossier. Une paire ordonnée est notée comme suit : (a, b).

L'axiome de la somme (Z3). Pour des ensembles arbitraires A et B, il existe un ensemble unique C dont les éléments sont tous des éléments de l'ensemble A et tous des éléments de l'ensemble B et qui ne contient plus d'autres éléments.

Sous forme symbolique, l'axiome Z3 peut s'écrire comme suit : . A partir de cet axiome et des théorèmes qui en découlent, on indique les propriétés des opérations ensemblistes dont la description sera présentée dans la section 3. Les axiomes Z1 et Z2 permettent d'introduire la notion d'opération d'union, d'intersection, d'addition , différence d'ensembles.

Axiome de degré (Z4). Pour tout ensemble X, il existe un ensemble de tous ses sous-ensembles P(X).

Axiome de l'infini (Z6). Il existe au moins un ensemble infini - la série naturelle des nombres.

Axiome du choix (Z7). Pour toute famille d'ensembles non vides, il existe une fonction qui associe à chaque ensemble de la famille un des éléments de cet ensemble. La fonction s'appelle fonction de sélection pour une famille donnée.

Il convient de noter l'importance des axiomes correspondants, puisque les ensembles et les relations entre eux font l'objet d'études de toute discipline mathématique.

Nous soulignons une autre découverte importante en théorie des ensembles - l'image des relations entre sous-ensembles, pour la représentation visuelle. L'un des premiers à utiliser cette méthode fut l'éminent mathématicien et philosophe allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Ensuite, cette méthode a été développée de manière assez approfondie par Leonhard Euler. Après Euler, la même méthode a été développée par le mathématicien tchèque Bernard Bolzano. Seulement, contrairement à Euler, il ne dessine pas des schémas circulaires, mais rectangulaires. La méthode du cercle d'Euler a également été utilisée par le mathématicien allemand Ernest Schroeder. Mais les méthodes graphiques ont atteint leur plus grand essor dans les écrits du logicien anglais John Venn. En l'honneur de Venn, au lieu de cercles d'Euler, les figures correspondantes sont parfois appelées diagrammes de Venn, et dans certains livres, elles sont également appelées diagrammes d'Euler-Venn. Les diagrammes d'Euler-Venn sont utilisés non seulement en mathématiques et en logique, mais aussi en gestion et dans d'autres domaines appliqués.

II. Relations entre ensembles et façons de les définir

Ainsi, les ensembles sont compris comme un ensemble d'objets quelconques, concevables comme un tout unique. Les ensembles peuvent être constitués d'objets de natures très différentes. Leurs éléments peuvent être des lettres, des atomes, des nombres, des équations, des points, des angles, etc. Cela explique l'extrême ampleur de la théorie des ensembles et son application aux domaines de connaissance les plus divers (mathématiques, physique, économie, linguistique, etc.).

On pense qu'un ensemble est défini par ses éléments, c'est-à-dire qu'un ensemble est donné si un objet peut être considéré comme appartenant à cet ensemble ou non. Il existe deux manières de spécifier des ensembles.

énumérations d'éléments.

Par exemple, si l'ensemble A est constitué d'éléments a, b, c, alors ils écrivent : A = (a, b, c).

Tous les ensembles ne peuvent pas être spécifiés à l'aide d'une énumération d'éléments. Les ensembles dont tous les éléments peuvent être énumérés sont dits finis. Les ensembles dont tous les éléments ne peuvent pas être énumérés sont dits infinis. Ils ne peuvent pas être spécifiés à l'aide d'une énumération d'éléments. L'exception concerne les ensembles infinis, dans lesquels l'ordre de formation de chaque élément suivant sur la base du précédent est clair. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels est un ensemble infini. Mais on sait qu'en lui chaque nombre suivant, à partir du second, est 1 de plus que le précédent. Par conséquent, vous pouvez définir N = (1, 2, 3, 4, ...) comme suit.

L'ensemble peut être spécifié à l'aide de indication d'une propriété caractéristique.

propriété caractéristique d'un ensemble donné est une propriété que possèdent tous les éléments de cet ensemble et qu'aucun des éléments qui n'en font pas partie n'a. On le note : A = (x|…), où après la barre verticale s'écrit la propriété caractéristique des éléments de cet ensemble.

Par exemple, B=(1,2,3). Il est facile de voir que chaque élément de l'ensemble B est un entier naturel inférieur à 4. C'est cette propriété des éléments de l'ensemble B qui le caractérise. Dans ce cas, ils écrivent : et lisent : « L'ensemble B est constitué d'éléments x tels que x appartient à l'ensemble des entiers naturels et x est inférieur à quatre » ou l'ensemble B est constitué d'entiers naturels inférieurs à 4. L'ensemble B peut aussi être spécifié d'une autre manière : ou, etc.

De plus, si un élément n'obéit pas à la propriété caractéristique de l'ensemble, alors il n'appartient pas à cet ensemble. Certains ensembles ne peuvent être spécifiés qu'en spécifiant une propriété caractéristique, par exemple, .

Une importance particulière dans le cours scolaire de mathématiques sont ensembles de nombres, c'est à dire. un ensemble dont les éléments sont des nombres. Pour le nom des ensembles numériques en mathématiques, une notation spéciale est acceptée :

N = (1, 2, 3, 4, …) - ensemble de nombres naturels ;

Z = (…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) - un ensemble d'entiers (contient tous les nombres naturels et leurs nombres opposés);

Q = (x | x=p/q, où p∈Z, q∈N) - l'ensemble des nombres rationnels (se compose de nombres qui peuvent être représentés comme une fraction ordinaire) ;

J - un ensemble de nombres irrationnels (un ensemble composé de fractions décimales non périodiques infinies, par exemple : 1,23456342 …;, et etc.)

R = (-∞; +∞) - l'ensemble des nombres réels.

L'ensemble de tous les nombres réels L. Euler représentés à l'aide de cercles. (Fig. 1)

Il convient de noter que tous les ensembles numériques peuvent être spécifiés à l'aide d'un intervalle numérique. (Fig. 2)

Types de plages numériques

L'ensemble C, décrit ci-dessus, est un ensemble numérique et peut être spécifié à l'aide d'un espace numérique (Fig. 3)

Figure 3 - Écart numérique

Précisons une autre règle importante pour spécifier les ensembles numériques : les ensembles numériques finis sont représentés sur la ligne réelle par des points séparés.

En mathématiques, on doit parfois considérer des ensembles ne contenant qu'un seul élément, et même des ensembles qui n'ont pas un seul élément. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé vide. Il est noté par le signe ∅. Par exemple, étant donné un ensemble A=(x|x∈N∧-2

Il convient de noter que lorsqu'il s'agit de deux ensembles ou plus, il peut y avoir ou non une relation entre eux. Si les ensembles sont dans une relation quelconque, alors nous parlons d'une relation égalité ou relation inclusion.

Ensemble A s'allumeà l'ensemble B, si chaque élément de l'ensemble A appartient à l'ensemble B. Cette relation est notée : A⊂B. Ou, d'une autre manière, ils disent que l'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble B.

Les ensembles A et B sont appelés égal, si et seulement si chaque élément de l'ensemble A appartient à l'ensemble B et en même temps chaque élément de l'ensemble B appartient à l'ensemble A. Cette relation est notée comme suit : A \u003d B

Par exemple:

1) A=(a,b,c,d) et B=(b,d), ces ensembles sont relatifs à l'inclusion B⊂A, car Chaque élément de l'ensemble B appartient à l'ensemble A.

2) M=(x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)

Figure 4 - Écart numérique

3) A=(x|x∈N∧x:2)=(2,4,6,8,10,...) et B=(x|x∈N∧x:3)=(3,6 ,9,12,...), ces deux ensembles ne sont dans aucune relation A⊄B, puisque l'ensemble A a un élément 2 qui n'appartient pas à l'ensemble B

et B⊄A, car dans l'ensemble B il y a un élément 3 qui n'appartient pas à l'ensemble A.

Par conséquent, ces ensembles ne sont dans aucune relation.

III. Opérations et propriétés des opérations sur les ensembles

Déf.1. traversée ensembles A et B est une opération dont le résultat est un ensemble composé de ceux et seulement des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B en même temps.

A∩B=(x|x∈A∧x∈B)

Déf.2.Association ensembles A et B est une opération dont le résultat est un ensemble composé de ceux et seulement des éléments qui appartiennent à l'ensemble A ou à l'ensemble B (c'est-à-dire au moins un de ces ensembles).

A∪B=(x|x∈A∨x∈B)

Déf.3. différence ensembles A et B est appelée une opération dont le résultat est un ensemble composé de ceux et seulement des éléments qui appartiennent à A et n'appartiennent pas à B en même temps.

A\ B =(x∈A∧x∉B)

Déf.4. Compléter l'ensemble A à l'ensemble universel Un ensemble est appelé un ensemble dont chaque élément appartient à l'universel et n'appartient pas à A.

Définir des expressions

À partir d'ensembles, de signes d'opérations sur eux et, peut-être, de crochets, des expressions peuvent être formées. Par exemple, A∩B\C.

Vous devez connaître l'ordre des opérations dans de telles expressions et être capable de les lire.

Ordre des opérations

s'il n'y a pas de parenthèses, alors tout d'abord, l'addition à l'ensemble universel d'un ensemble simple est effectuée, puis l'intersection et l'union (elles sont égales l'une à l'autre), et enfin, la différence;

si l'expression contient des parenthèses, effectuer d'abord les opérations entre parenthèses dans l'ordre indiqué au paragraphe 1), puis toutes les opérations hors parenthèses.

Par exemple, a) A∩B\C ; b) A∩(B\C); c) A∩(B\C)" .

La lecture de l'expression commence à partir du résultat de la dernière opération. Par exemple, l'expression a) se lit comme suit : la différence de deux ensembles, dont le premier est l'intersection des ensembles A et B, et le second est l'ensemble C.

Cercles d'Euler

Les opérations sur les ensembles et les relations entre eux peuvent être représentées à l'aide de cercles d'Euler. Ce sont des dessins spéciaux dans lesquels les ensembles ordinaires sont représentés par des cercles, l'ensemble universel par un rectangle.

Tâche. Dessinez l'ensemble (A∪B)"∩C à l'aide des cercles d'Euler.

Solution. Ordonnons l'ordre d'exécution des opérations dans cette expression : (A∪B) "∩C. Ombrez les résultats des opérations selon l'ordre de leur exécution

Définir les propriétés de l'opération(fig.5)

Les propriétés I - 8 et 1 0 - 8 0 sont interconnectées par le soi-disant principe de dualité :

si dans l'une des deux colonnes de propriétés les signes ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅ sont inversés, alors une autre colonne de propriétés sera obtenue.

IV. Partitionner un ensemble en classes

On considère que l'ensemble X est divisé en sous-ensembles ou classes deux à deux disjoints si les conditions suivantes sont remplies :

1) l'intersection de deux sous-ensembles quelconques est vide ;

2) l'union de tous les sous-ensembles coïncide avec l'ensemble X.

La division d'un ensemble en classes s'appelle une classification.

V. Produit cartésien d'ensembles

Le produit cartésien des ensembles A et B est un ensemble de paires dont la première composante appartient à l'ensemble A et la seconde à l'ensemble B. Le produit cartésien des ensembles A et B est noté A x B. Ainsi, A×B=((x,y)|x ∈A˄y∈B). L'opération consistant à trouver le produit cartésien des ensembles A et B s'appelle la multiplication cartésienne de ces ensembles. Si A et B sont des ensembles numériques, alors les éléments du produit cartésien de ces ensembles seront des paires ordonnées de nombres.

VI. Règles de somme et de produit

Notons le nombre d'éléments d'un ensemble fini A par n(A). Si les ensembles A et B ne se coupent pas, alors n(AUB)= n(A) + n(B). Si les ensembles A et B se coupent, alors n(A U B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B).

Le nombre d'éléments du produit cartésien des ensembles A et B est calculé par la formule n (A X B) = n (A) . n(B).

La règle de comptage du nombre d'éléments de l'union d'ensembles finis disjoints en combinatoire est appelée la règle de somme, si l'élément x peut être choisi de k manières, et l'élément y de m manières, et aucune des manières de choisir le l'élément x coïncide avec la façon de choisir l'élément y, alors le choix "x ou y" peut se faire de k + m façons.

La règle de comptage du nombre d'éléments d'un produit cartésien d'ensembles finis en combinatoire s'appelle la règle du produit : si un élément x peut être choisi de k façons, et un élément y de m façons, alors le couple (x, y) peut être choisi en kilomètres.

VII. Liste des sources utilisées

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