Intervalles de fonction croissante et décroissante en ligne. Recherche fonctionnelle

Fonctions extrêmes

Définition 2

Le point $ x_0 $ est appelé le point maximum de la fonction $ f (x) $ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous les $ x $ de ce voisinage l'inégalité $ f (x) \\ le f (x_0) $ se maintient.

Définition 3

Le point $ x_0 $ est appelé le point maximum de la fonction $ f (x) $ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous $ x $ de ce voisinage l'inégalité $ f (x) \\ ge f (x_0) $ se maintient.

Le concept d'extremum d'une fonction est étroitement lié au concept d'un point critique d'une fonction. Nous introduisons sa définition.

Définition 4

$ x_0 $ est appelé le point critique de la fonction $ f (x) $ si:

1) $ x_0 $ est le point interne du domaine de définition;

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ ou n'existe pas.

Pour le concept d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Une condition suffisante pour extremum

Soit le point $ x_0 $ critique pour la fonction $ y \u003d f (x) $ et situé dans l'intervalle $ (a, b) $. Supposons que sur chaque intervalle $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ et \\ (x_0, b) $ la dérivée $ f "(x) $ existe et conserve un signe constant. Ensuite:

1) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée est $ f" \\ gauche (x \\ droite)

2) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, alors le point $ x_0 $ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $ ou la dérivée $ f" \\ gauche (x \\ droite)

Ce théorème est illustré à la figure 1.

Figure 1. Une condition suffisante pour l'existence d'extrema

Exemples d'extrêmes (Fig.2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

Recherche de règles de fonction sur l'extrême

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

7) Tirez des conclusions sur la présence de maxima et de minima dans chaque intervalle à l'aide du théorème 2.

Augmentation et diminution de la fonction

Nous introduisons, pour commencer, la définition des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée croissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1

Définition 6

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée décroissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1f (x_2) $.

Etude de la fonction d'augmentation et de diminution

Vous pouvez explorer les fonctions d'augmentation et de diminution à l'aide du dérivé.

Afin d'étudier la fonction pour les intervalles d'augmentation et de diminution, il est nécessaire de procéder comme suit:

1) Trouvez le domaine de la fonction $ f (x) $;

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

3) Trouvez les points où l'égalité $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ est maintenue;

4) Trouvez les points où $ f "(x) $ n'existe pas;

5) Marquez sur la ligne de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de cette fonction;

6) Déterminer le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle résultant;

7) Pour conclure: à des intervalles où $ f "\\ gauche (x \\ droite) 0 $ la fonction augmente.

Exemples de tâches pour étudier les fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrêmes

Exemple 1

Étudiez la fonction d'augmentation et de diminution, et la présence de points maximum et minimum: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Étant donné que les 6 premiers points sont identiques, commençons par eux.

1) Portée - tous les nombres réels;

2) $ f "\\ gauche (x \\ droite) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ existe à tous les points du domaine de définition;

5) Ligne de coordonnées:

Figure 3

6) Déterminez le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle:

\\ \\ si pour n'importe quelle paire de points x et x ", et ≤ x l'inégalité f(x) ≤ f (x "), et en augmentation stricte - si l'inégalité f (x) f(x ") La diminution et la diminution stricte d'une fonction sont définies de manière similaire. Par exemple, la fonction à = x 2 (fig. , a) augmente strictement sur le segment, et

(fig. , b) diminue strictement sur ce segment. Les fonctions croissantes sont désignées par f (x), et décroissant f (x) ↓. Afin de fonction différenciable f (x) était en augmentation sur le segment [ mais, b], il est nécessaire et suffisant que son dérivé f"(x) n'était pas négatif le [ mais, b].

Parallèlement à l'augmentation et à la diminution de la fonction sur le segment, l'augmentation et la diminution de la fonction au point sont prises en compte. Fonction à = f (x) est appelé augmenter au point x 0 s'il existe un tel intervalle (α, β) contenant le point x 0 que pour n'importe quel point x à partir de (α, β), x\u003e x 0, l'inégalité f (x 0) ≤ f (x), et pour tout point x à partir de (α, β), x 0, l'inégalité f (x) ≤ f (x 0). De même, une augmentation stricte de la fonction au point x 0. Si f"(x 0) > 0, puis la fonction f(x) augmente strictement au point x 0. Si f (x) augmente à chaque point de l'intervalle ( un, b), puis il augmente dans cet intervalle.

S. B. Stechkin.

Grande Encyclopédie soviétique. - M.: Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Voir ce que "Augmenter et diminuer la fonction" dans d'autres dictionnaires:

Les concepts de l'analyse mathématique. La fonction f (x) est appelée le rapport du nombre de groupes d'âge différents de la population augmentant sur le segment STRUCTURE DE POPULATION D'ÂGE. Dépend des niveaux de fécondité et de mortalité, de l'espérance de vie des personnes ... Big Encyclopedic Dictionary

Les concepts de l'analyse mathématique. La fonction f (x) est appelée croissante sur le segment si, pour toute paire de points x1 et x2, a≤x1 ... Dictionnaire encyclopédique

Les concepts des mathématiques. analyse. La fonction f (x) est appelée augmentant sur le segment [a, b] si pour n'importe quelle paire de points x1 et x2, et<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Histoire naturelle. Dictionnaire encyclopédique

Une branche des mathématiques qui étudie les dérivées et les différentielles de fonctions et leur application à l'étude des fonctions. Conception D. et. dans une discipline mathématique indépendante associée aux noms de I. Newton et G. Leibniz (deuxième moitié de 17 ... Grande Encyclopédie soviétique

La section de mathématiques, dans laquelle les concepts de dérivée et différentielle sont étudiés, et les méthodes de leur application à l'étude des fonctions. Développement et. étroitement liée au développement du calcul intégral. Inextricablement et leur contenu. Ensemble, ils forment la base ... ... Encyclopédie mathématique

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Fonctions extrêmes

Définition 2

Définition 3

Le point $ x_0 $ est appelé le point maximum de la fonction $ f (x) $ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous $ x $ de ce voisinage l'inégalité $ f (x) \\ ge f (x_0) $ se maintient.

Le concept d'extremum d'une fonction est étroitement lié au concept d'un point critique d'une fonction. Nous introduisons sa définition.

Définition 4

$ x_0 $ est appelé le point critique de la fonction $ f (x) $ si:

1) $ x_0 $ est le point interne du domaine de définition;

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ ou n'existe pas.

Pour le concept d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Une condition suffisante pour extremum

1) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée est $ f" \\ gauche (x \\ droite)

2) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $ la dérivée est $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, alors le point $ x_0 $ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si sur l'intervalle $ (a, x_0) $, et sur l'intervalle $ (x_0, b) $ la dérivée $ f "\\ gauche (x \\ droite)\u003e 0 $ ou la dérivée $ f" \\ gauche (x \\ droite)

Ce théorème est illustré à la figure 1.

Figure 1. Une condition suffisante pour l'existence d'extrema

Exemples d'extrêmes (Fig.2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

Recherche de règles de fonction sur l'extrême

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

7) Tirez des conclusions sur la présence de maxima et de minima dans chaque intervalle à l'aide du théorème 2.

Augmentation et diminution de la fonction

Nous introduisons, pour commencer, la définition des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée croissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1

Définition 6

La fonction $ y \u003d f (x) $ définie sur l'intervalle $ X $ est appelée décroissante si pour tout point $ x_1, x_2 \\ dans X $ pour $ x_1f (x_2) $.

Etude de la fonction d'augmentation et de diminution

Vous pouvez explorer les fonctions d'augmentation et de diminution à l'aide du dérivé.

Afin d'étudier la fonction pour les intervalles d'augmentation et de diminution, il est nécessaire de procéder comme suit:

1) Trouvez le domaine de la fonction $ f (x) $;

2) Trouvez la dérivée $ f "(x) $;

3) Trouvez les points où l'égalité $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ est maintenue;

4) Trouvez les points où $ f "(x) $ n'existe pas;

5) Marquez sur la ligne de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de cette fonction;

6) Déterminer le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle résultant;

7) Pour conclure: à des intervalles où $ f "\\ gauche (x \\ droite) 0 $ la fonction augmente.

Exemples de tâches pour étudier les fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrêmes

Exemple 1

Étudiez la fonction d'augmentation et de diminution, et la présence de points maximum et minimum: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Étant donné que les 6 premiers points sont identiques, commençons par eux.

1) Portée - tous les nombres réels;

2) $ f "\\ gauche (x \\ droite) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ existe à tous les points du domaine de définition;

5) Ligne de coordonnées:

Figure 3

6) Déterminez le signe de la dérivée $ f "(x) $ sur chaque intervalle:

\ \.

La plage de valeurs de fonction est intervalle [1; 3].

1. Pour x \u003d -3, x \u003d - 1, x \u003d 1,5, x \u003d 4,5, la valeur de la fonction est nulle.

La valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est zéro est appelée le zéro de la fonction.

// c'est-à-dire pour cette fonction, les nombres -3; -1; 1,5; 4,5 sont des zéros.

2. À intervalles [4,5; 3) et (1; 1,5) et (4,5; 5,5] le graphique de la fonction f est situé au-dessus de l'axe des abscisses, et aux intervalles (-3; -1) et (1,5; 4,5) au-dessous de l'axe en abscisse, cela peut s'expliquer comme suit: sur les intervalles [4,5; 3) et (1; 1,5) et (4,5; 5,5], la fonction prend des valeurs positives, et sur les intervalles (-3; -1) et ( 1,5; 4,5) négatif.

Chacun des intervalles indiqués (où la fonction prend des valeurs du même signe) est appelé intervalle de signe constant de la fonction f.//t.e. par exemple, si nous prenons l'intervalle (0; 3), alors ce n'est pas un intervalle du signe constant de cette fonction.

En mathématiques, lors de la recherche d'intervalles de signe constant d'une fonction, il est habituel d'indiquer des intervalles de longueur maximale. // c'est-à-dire l'écart (2; 3) est signe constant fonction f, mais la réponse doit inclure l'intervalle [4,5; 3) contenant l'espace (2; 3).

3. Si vous vous déplacez le long de l'abscisse de 4,5 à 2, vous remarquerez que le graphique de la fonction descend, c'est-à-dire que les valeurs de la fonction diminuent. // En mathématiques, il est d'usage de dire que dans l'intervalle [4,5; 2] la fonction diminue.

Lorsque x augmente de 2 à 0, le graphique de fonction augmente, c'est-à-dire les valeurs de fonction augmentent. // En mathématiques, il est d'usage de dire que dans l'intervalle [2; 0] augmente la fonction.

Une fonction f est appelée si pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2\u003e x1, l'inégalité f (x2)\u003e f (x1) tient. // ou Fonction appelée augmentant à un certain intervallesi, pour toute valeur d'argument de cet intervalle, une valeur plus élevée de la fonction correspond à une valeur plus grande de l'argument. // i.e. plus x, plus y.

La fonction f est appelée diminuant à un certain intervallesi, pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2\u003e x1, l'inégalité f (x2) diminue sur un certain intervalle, si pour toute valeur de l'argument de cet intervalle, une valeur plus élevée de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction. // c'est-à-dire plus x, moins y.

Si la fonction augmente sur tout le domaine de définition, alors elle est appelée croissant.

Si la fonction diminue sur tout le domaine, elle est alors appelée diminuant.

Exemple 1 le graphique des fonctions croissantes et décroissantes, respectivement.

Exemple 2

Définir La fonction linéaire f (x) \u003d 3x + 5 augmente-t-elle ou diminue-t-elle?

Preuve. Nous utilisons les définitions. Soit x1 et x2 des valeurs arbitraires de l'argument, avec x1< x2., например х1=1, х2=7

Sur la base de signes suffisants, il existe des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes.

Voici le libellé des signes:

si la dérivée de la fonction y \u003d f (x) positif pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X;
si la dérivée de la fonction y \u003d f (x) négatif pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction diminue sur X.

Ainsi, pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction, il faut:

trouver l'étendue de la fonction;

trouver la dérivée de la fonction;

aux intervalles obtenus, ajoutez des points limites auxquels la fonction est définie et continue.

Prenons un exemple pour expliquer l'algorithme.

Un exemple.

Trouvez les intervalles de fonctions croissantes et décroissantes.

Solution.

La première étape consiste à trouver une définition de croissance de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit pas disparaître, par conséquent, .

On passe à la fonction dérivée:

Pour déterminer les intervalles de fonctions croissantes et décroissantes par un critère suffisant, on résout les inégalités et sur le domaine de la définition. Nous utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule racine de numérateur valide est x \u003d 2, et le dénominateur disparaît à x \u003d 0. Ces points décomposent le domaine en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Nous marquons ces points sur la droite numérique. Les avantages et les inconvénients désigneront arbitrairement les intervalles auxquels le dérivé est positif ou négatif. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction dans l'intervalle correspondant.

De cette façon et .

Au point x \u003d 2 la fonction est définie et continue; par conséquent, elle doit être ajoutée à la fois à l'augmentation et à la diminution. Au point x \u003d 0 la fonction n'est pas définie, ce point n'est donc pas inclus dans les intervalles requis.

Nous donnons un graphique de la fonction de comparaison des résultats obtenus avec elle.

La réponse est: la fonction augmente avec diminue sur l'intervalle (0; 2] .

- Points extrêmes d'une fonction d'une variable. Conditions extrêmes suffisantes

Supposons qu'une fonction f (x), définie et continue dans un intervalle, n'y soit pas monotone. Il y aura de telles parties [,] de l'intervalle dans lequel la valeur la plus grande et la plus petite est atteinte par la fonction au point interne, c'est-à-dire entre et.

On dit qu'une fonction f (x) a un maximum (ou un minimum) en un point si ce point peut être entouré par un tel voisinage (x 0 -, x 0 +) contenu dans l'intervalle où la fonction est donnée que l'inégalité tient pour tous ses points.

f (x)< f(x 0)(или f(x)>f (x 0))

En d'autres termes, le point x 0 fournit le maximum (minimum) à la fonction f (x) si la valeur f (x 0) s'avère être la plus grande (la plus petite) des valeurs acceptées par la fonction dans un voisinage (au moins petit) de ce point. Notez que la définition même du maximum (minimum) suppose que la fonction est donnée des deux côtés du point x 0.

S'il existe un quartier dans lequel (pour x \u003d x 0) l'inégalité stricte

f (x) f (x 0)

ils disent que la fonction au point x 0 a son propre maximum (minimum), sinon elle est incorrecte.

Si la fonction a des maxima aux points x 0 et x 1, alors, en appliquant le deuxième théorème de Weierstrass à l'intervalle, nous voyons que la fonction atteint sa plus petite valeur dans cet intervalle à un certain point x 2 entre x 0 et x 1 et y a un minimum. De même, entre deux minima, il y aura certainement un maximum. Dans ce cas le plus simple (et en pratique, le plus important), lorsqu'une fonction n'a généralement qu'un nombre fini de maxima et de minima, ils alternent simplement.

Notez que pour désigner le maximum ou le minimum, il existe un terme qui les unit - l'extremum.

Les concepts de maximum (max f (x)) et de minimum (min f (x)) sont des propriétés locales de la fonction et ont lieu à un certain point x 0. Les concepts des valeurs les plus grandes (sup f (x)) et les plus petites (inf f (x)) se réfèrent à un intervalle fini et sont les propriétés globales d'une fonction sur l'intervalle.

La figure 1 montre qu'aux points x 1 et x 3 il y a des maxima locaux et aux points x 2 et x 4 il y a des minima locaux. Cependant, la fonction atteint la plus petite valeur à x \u003d a et la plus grande à x \u003d b.

Nous posons le problème de trouver toutes les valeurs d'un argument qui fournissent des fonctions extrêmes. En le résolvant, le dérivé jouera son rôle principal.

Supposons d'abord que pour la fonction f (x) dans l'intervalle (a, b) il existe une dérivée finie. Si à un point x 0 la fonction a un extremum, alors en appliquant à l'intervalle (x 0 -, x 0 +), qui a été discuté ci-dessus, le théorème de Fermat, nous concluons que f (x) \u003d 0 c'est une condition nécessaire pour l'extremum. L'extrême ne doit être recherchée qu'aux points où la dérivée est égale à zéro.

Il ne faut cependant pas penser que chaque point où la dérivée est égale à zéro délivre des fonctions extremum: la condition qui vient d'être indiquée n'est pas suffisante