Axiomes des nombres réels. Etude des axiomes de la théorie des nombres entiers Système des nombres entiers

Le système d'axiomes donné de la théorie des nombres entiers n'est pas indépendant, comme indiqué dans l'exercice 3.1.4.

Théorème 1. La théorie axiomatique des nombres entiers est cohérente.

Preuve. Nous prouverons la cohérence de la théorie axiomatique des nombres entiers, en partant de l'hypothèse que la théorie axiomatique des nombres naturels est cohérente. Pour ce faire, nous allons construire un modèle sur lequel tous les axiomes de notre théorie sont satisfaits.

Tout d’abord, construisons un anneau. Considérez l'ensemble

N´ N = {(un B)ï un BÎ N}.

un B) nombres naturels. Par une telle paire nous comprendrons la différence des nombres naturels un B. Mais jusqu'à ce que l'existence d'un système d'entiers dans lequel une telle différence existe soit prouvée, nous n'avons pas le droit d'utiliser une telle désignation. En même temps, une telle compréhension nous donne la possibilité de définir les propriétés des paires selon nos besoins.

Nous savons que différentes différences de nombres naturels peuvent être égales au même nombre entier. En conséquence, présentons sur le plateau N´ N relation d'égalité:

(un B) = (c, d) Û a + d = b + c.

Il est facile de voir que cette relation est réflexive, symétrique et transitive. Il s’agit donc d’une relation d’équivalence et a le droit d’être appelée égalité. Facteur d'ensemble d'ensembles N´ N Z. Nous appellerons ses éléments des entiers. Ils représentent des classes d'équivalence sur l'ensemble des paires. Classe contenant une paire
(un B), noté par [ un B].

Z un B] qu'en est-il de la différence un B

[un B] + [c, d] = [a+c, b+d];

[un B] × [ c, d] = [ac+bd, annonce+bc].

Il convient de garder à l’esprit qu’à proprement parler, l’utilisation ici des symboles d’opération n’est pas tout à fait correcte. Le même symbole + désigne l'addition de nombres naturels et de paires. Mais comme il est toujours clair dans quel ensemble une opération donnée est effectuée, nous n'introduireons pas ici de notation séparée pour ces opérations.

Il est nécessaire de vérifier l'exactitude des définitions de ces opérations, à savoir que les résultats ne dépendent pas du choix des éléments un Et b, définissant la paire [ un B]. En effet, laissez

[un B] = [un 1 ,b 1 ], [Dakota du Sud] = [Avec 1 , d 1 ].

Cela signifie que a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + Avec 1 . En additionnant ces égalités, on obtient

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + Avec 1Þ[ a + b, c + d] = [un 1 +Avec 1 ,b 1 + d 1]Þ

Þ [ un B] + [c, d] = [un 1 ,b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

L'exactitude de la définition de la multiplication est déterminée de la même manière. Mais ici, vous devez d'abord vérifier que [ un B] × [ c, d] = [un 1 ,b 1 ] × [ c, d].

Nous devons maintenant vérifier que l’algèbre résultante est un anneau, c’est-à-dire les axiomes (Z1) – (Z6).

Vérifions par exemple la commutativité de l'addition, c'est-à-dire l'axiome (Z2). Nous avons

[c, d] + [un B] = = [a+c, b+d] = [un B] + [c, d].

La commutativité de l'addition pour les entiers est dérivée de la commutativité de l'addition pour les nombres naturels, qui est considérée comme déjà connue.

Les axiomes (Z1), (Z5), (Z6) sont vérifiés de la même manière.

Le rôle du zéro est joué par le couple. Notons-le par 0 . Vraiment,

[un B] + 0 = [un B] + = [un+ 1,b+ 1] = [un B].

Enfin, -[ un B] = [b, un]. Vraiment,

[un B] + [b, un] = [a+b, b+a] = = 0 .

Vérifions maintenant les axiomes d'extension. Il convient de garder à l'esprit que dans l'anneau construit, il n'y a pas de nombres naturels en tant que tels, puisque les éléments de l'anneau sont des classes de paires de nombres naturels. Par conséquent, nous devons trouver une sous-algèbre isomorphe au semi-cercle des nombres naturels. Là encore l'idée de couple [ un B] qu'en est-il de la différence un B. Entier naturel n peut être représenté comme la différence de deux valeurs naturelles, par exemple comme suit : n = (n+ 1) – 1. D’où la proposition d’établir une correspondance F: N ® Z selon la règle

F(n) = [n + 1, 1].

Cette correspondance est injective :

F(n) = F(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1)Þ n = m.

On a donc une correspondance bijective entre N et un sous-ensemble Z, que nous désignons par N*. Vérifions qu'il enregistre les opérations :

F(n) + F(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = F(n+m);

F(n) × F(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = F(nm).

Ceci établit que N* formulaires dans Z en ce qui concerne les opérations d'addition et de multiplication une sous-algèbre isomorphe N

Notons le couple [ n+ 1, 1] de N* n, à travers n un B] nous avons

[un B] = [un + 1, 1] + = [un + 1, 1] – [b + 1, 1] = un – b .

Cela justifie enfin l'idée d'un couple [ un B] comme la différence des nombres naturels. Parallèlement, il a été établi que chaque élément de l'ensemble construit Z est représenté comme la différence de deux naturels. Cela aidera à vérifier l’axiome de minimalité.

Laisser M – sous-ensemble Z, contenant N* et avec tous les éléments UN Et b leur différence un B. Montrons que dans ce cas M =Z. En effet, tout élément de Z est représenté comme la différence de deux nombres naturels, qui par condition appartiennent à M avec ses différences.

Z

Théorème 2. La théorie axiomatique des nombres entiers est catégorique.

Preuve. Montrons que deux modèles quelconques sur lesquels tous les axiomes de cette théorie sont satisfaits sont isomorphes.

Laissez un Z 1 , +, ×, N 1 ñ et á Z 2 , +, ×, N 2 ñ – deux modèles de notre théorie. À proprement parler, les opérations qui y sont effectuées doivent être indiquées par différents symboles. On s'éloignera de cette exigence pour ne pas encombrer les calculs : on voit à chaque fois de quelle opération on parle. Les éléments appartenant aux modèles considérés recevront les indices correspondants 1 ou 2.

Nous allons définir une application isomorphe du premier modèle au second. Parce que N 1 et N 2 sont des semi-anneaux de nombres naturels, alors il existe une application isomorphe j du premier semi-anneau sur le second. Définissons le mappage F: Z 1® Z 2. Chaque entier X 1 î Z 1 est représenté comme la différence de deux naturels :
X 1 = un 1 –b 1 . Nous croyons

F (X 1) = j( un 1) – j( b 1).

Prouvons que F– l'isomorphisme. Le mappage est défini correctement : si X 1 = à 1 où oui 1 = c 1 – d 1, alors

un 1 –b 1 = c 1 – d 1Þ un 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( un 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)Þ

Þj( un 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þj( un 1)–j( b 1)= j( c 1) – j( d 1)Þ F(X 1) =F (oui 1).

Il s'ensuit que F - cartographie un à un Z 1 dans Z 2. Mais pour n'importe qui X 2 de Z 2 vous pouvez trouver des éléments naturels un 2 et b 2 tel que X 2 = un 2 –b 2. Puisque j est un isomorphisme, ces éléments ont des images inverses un 1 et b 1 . Moyens, X 2 = j( un 1) – j( b 1) =
= F (un 1 –b 1), et pour chaque élément de Z 2 est un prototype. D'où la correspondance F Un par un. Vérifions qu'il enregistre les opérations.

Si X 1 = un 1 –b 1 , oui 1 =c 1 -d 1, alors

X 1 + oui 1 = (un 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

F(X 1 + oui 1) = j( un 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( un 1)+j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( un 1) – j( b 1)+j( c 1)– j( d 1) =F(X 1) + F(oui 1).

De même, on vérifie que la multiplication est conservée. Ceci établit que F est un isomorphisme, et le théorème est prouvé.

Des exercices

1. Montrer que tout anneau qui inclut le système des nombres naturels inclut également l’anneau des nombres entiers.

2. Montrer que tout anneau commutatif ordonné minimal avec identité est isomorphe à l'anneau des entiers.

3. Montrer que tout anneau ordonné avec un diviseur nul et aucun diviseur nul ne contient qu'un seul sous-anneau isomorphe à l'anneau des entiers.

4. Montrer que l'anneau des matrices du second ordre sur le corps des nombres réels contient une infinité de sous-anneaux isomorphes à l'anneau des entiers.

Champ des nombres rationnels

La définition et la construction d'un système de nombres rationnels s'effectuent de la même manière que pour un système de nombres entiers.

Définition. Un système de nombres rationnels est un corps minimal qui est une extension de l’anneau des nombres entiers.

Conformément à cette définition, nous obtenons la construction axiomatique suivante du système de nombres rationnels.

Termes principaux:

Q– ensemble de nombres rationnels ;

0, 1 – constantes ;

+, × – opérations binaires sur Q ;

Z– sous-ensemble Q, ensemble d'entiers ;

Å, Ä – opérations binaires sur Z.

Axiomes:

JE. Axiomes de terrain.

(T1) un+ (b+c) = (a+b) + c.

(T2) une + b = b + une.

(Q3) (" un) un + 0 = un.

(Q4) (" un)($(–un)) un + (–un) = 0.

(Q5) un× ( b× c) = (un× b) × c.

(Q6) un× b = b× un.

(Q7) UN× 1 = UN.

(Q8) (" un¹ 0)($ un –1) un × un –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = une × c + b× c.

II. Axiomes d'extension.

(Q10)b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – anneau de nombres naturels.

(Q11) Z Í Q.

(Q12) (" un BÎ Z) une + b = uneÅ b.

(Q13) (" un BÎ Z) un× b = uneÄ b.

III. Axiome de minimalité.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("un BÎ M)(b ¹ 0 ® un× b–1 О M)Þ M = Q.

Nombre un× b–1 est appelé le quotient des nombres UN Et b, noté un/b ou .

Théorème 1. Tout nombre rationnel peut être représenté comme le quotient de deux nombres entiers.

Preuve. Laisser M– un ensemble de nombres rationnels qui peuvent être représentés comme le quotient de deux entiers. Si n- entier, alors n = n/1 appartient M, ainsi, ZÍ M. Si un BÎ M, Que une = k/l, b = m/n, Où k, l, m, nÎ Z. Ainsi, un/b=
= (je sais) / (lm)Î M. D'après l'axiome (Q14) M= Q, et le théorème est prouvé.

Théorème 2. Le corps des nombres rationnels peut être ordonné linéairement et strictement, et de manière unique. L'ordre dans le domaine des nombres rationnels est archimédien et continue l'ordre dans l'anneau des nombres entiers.

Preuve. Notons par Q+ un ensemble de nombres représentables sous forme de fraction, où kl> 0. Il est facile de voir que cette condition ne dépend pas du type de fraction représentant le nombre.

Vérifions ça Q + – partie positive du champ Q. Puisque pour un entier kl trois cas sont possibles : kl = 0, klÎ N, –kl Î N, alors pour a = nous obtenons l'une des trois possibilités suivantes : a = 0, aО Q+ , –aО Q + . De plus, si a = , b = appartenir Q+ , alors kl > 0, minute> 0. Alors a + b = , et ( kn + ml)ln = kln 2 + MNL 2 > 0. Donc a + bО Q + . On peut vérifier de la même manière que abО Q + . Ainsi, Q + – partie positive du terrain Q.

Laisser Q++ – une partie positive de ce domaine. Nous avons

l =.l 2 О Q ++ .

D'ici NÍ Q++. D'après le théorème 2.3.4, les inverses des nombres naturels appartiennent également à Q++. Alors Q + Í Q++. En vertu du théorème 2.3.6 Q + =Q++. Par conséquent, les ordres définis par les parties positives coïncident également Q+ et Q ++ .

Parce que Z + = NÍ Q+ , alors la commande est Q continue la commande dans Z.

Soit maintenant a => 0, b => 0. Puisque l'ordre dans l'anneau des entiers archimédiens, alors pour positif je sais Et ml il y a quelque chose de naturel Avec tel que Avec× je sais>ml. D'ici Avec une = Avec> = B. Cela signifie que l’ordre dans le domaine des nombres rationnels est archimédien.

Des exercices

1. Montrer que le corps des nombres rationnels est dense, c'est-à-dire pour tout nombre rationnel un < b il y a un rationnel r tel que un < r < b.

2. Montrer que l'équation X 2 = 2 n'a pas de solutions dans Q.

3. Prouver que l'ensemble Q dénombrable.

Théorème 3. La théorie axiomatique des nombres rationnels est cohérente.

Preuve. La cohérence de la théorie axiomatique des nombres rationnels est prouvée de la même manière que pour les nombres entiers. Pour ce faire, on construit un modèle sur lequel tous les axiomes de la théorie sont satisfaits.

Comme base nous prenons l'ensemble

Z´ Z* = {(un B)ï un BÎ Z, b ¹ 0}.

Les éléments de cet ensemble sont des paires ( un B) des entiers. Par une telle paire on entendra le quotient des entiers un/b. Conformément à cela, nous définissons les propriétés des paires.

Laissez-nous vous présenter sur le plateau Z´ Z* relation d'égalité:

(un B) = (c, d) Û annonce = avant JC.

Notons qu'il s'agit d'une relation d'équivalence et qu'elle a le droit d'être appelée égalité. Facteur d'ensemble d'ensembles Z´ Z* d'après cette relation d'égalité on note Q. Nous appellerons ses éléments nombres rationnels. Une classe contenant une paire ( un B), noté par [ un B].

Introduisons dans l'ensemble construit Q opérations d'addition et de multiplication. Cela nous aidera à comprendre l'élément [ un B] en tant que particulier un/b. Conformément à cela, nous supposons par définition :

[un B] + [c, d] = [annonce+bc, bd];

[un B] × [ c, d] = [ca, bd].

On vérifie l'exactitude des définitions de ces opérations, à savoir que les résultats ne dépendent pas du choix des éléments un Et b, définissant la paire [ un B]. Cela se fait de la même manière que dans la preuve du théorème 3.2.1.

Le rôle du zéro est joué par le couple. Notons-le par 0 . Vraiment,

[un B] + 0 = [un B] + = [une × 1+0× b, b × 1] = [un B].

L'opposé de [ un B] est la paire –[ un B] = [–un B]. Vraiment,

[un B] + [–un B]= [ab – ab, bb] = = 0 .

L'unité est la paire = 1 . Revers à la paire [ un B] - paire [ b, un].

Vérifions maintenant les axiomes d'extension. Établissons une correspondance
F: Z ® Q selon la règle

F(n) = [n, 1].

On vérifie qu'il s'agit d'une correspondance bijective entre Z et un sous-ensemble Q, que nous désignons par Z*. Nous vérifions en outre qu'il préserve les opérations, ce qui signifie qu'il établit un isomorphisme entre Z et sous le ring Z* V Q. Cela signifie que les axiomes d’extension ont été vérifiés.

Notons le couple [ n, 1] de Z*, correspondant à un nombre naturel n, à travers n . Alors pour une paire arbitraire [ un B] nous avons

[un B] = [un, 1] × = [ un, 1] / [b, 1] = un /b .

Cela justifie l'idée d'une paire [ un B] comme quotient d’entiers. Parallèlement, il a été établi que chaque élément de l'ensemble construit Q est représenté comme le quotient de deux nombres entiers. Cela aidera à vérifier l’axiome de minimalité. La vérification s'effectue comme dans le théorème 3.2.1.

Ainsi, pour le système construit Q tous les axiomes de la théorie des nombres entiers sont satisfaits, c'est-à-dire que nous avons construit un modèle de cette théorie. Le théorème a été prouvé.

Théorème 4. La théorie axiomatique des nombres rationnels est catégorique.

La preuve est similaire à celle du théorème 3.2.2.

Théorème 5. Un corps ordonné d'Archimède est une extension du corps des nombres rationnels.

La preuve est un exercice.

Théorème 6. Laisser F– Champ ordonné archimédien, un > b, Où un BÎ F. Il existe un nombre rationnel Î F tel que un > > b.

Preuve. Laisser un > b³ 0. Alors un B> 0, et ( un B) –1 > 0. Il existe un naturel T tel que m×1 > ( un B) –1 , d'où m –1 < un B £ UN. De plus, il existe un naturel k tel que k× m–1 ³ un. Laisser k est le plus petit nombre pour lequel cette inégalité est vraie. Parce que k> 1, alors on peut mettre k = n + 1, n Î N. Où
(n+ 1)× m–1 ³ un, n× m –1 < un. Si n× m–1 £ b, Que un = b + (un B) > b+m–1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Contradiction. Moyens, un >n× m –1 > b.

Des exercices

4. Montrer que tout corps qui inclut l’anneau des nombres entiers inclut également le corps des nombres rationnels.

5. Montrer que tout corps ordonné minimal est isomorphe au corps des nombres rationnels.

Nombres réels

Lors de la construction d'une théorie axiomatique des nombres naturels, les termes principaux seront « élément » ou « nombre » (que dans le contexte de ce manuel nous pouvons considérer comme des synonymes) et « ensemble », les relations principales : « appartenance » (l'élément appartient à l'ensemble), « égalité » et « suivi", noté a / (lit "le nombre un trait suit le nombre a", par exemple, un deux est suivi d'un trois, c'est-à-dire 2 / = 3, le nombre 10 est suivi du nombre 11, c'est-à-dire 10 / = 11, etc.).

L'ensemble des nombres naturels(série naturelle, entiers positifs) est un ensemble N avec la relation « suivre après » introduite, dans lequel les 4 axiomes suivants sont satisfaits :

Un 1. Dans l'ensemble N il y a un élément appelé unité, qui ne suit aucun autre numéro.

Un 2. Pour chaque élément de la série naturelle, il n'y en a qu'un à côté.

Un 3. Chaque élément de N suit au plus un élément de la série naturelle.

Un 4.( Axiome d'induction) Si un sous-ensemble M d'un ensemble N en contient un et qu'il contient également, avec chacun de ses éléments a, l'élément suivant a / , alors M coïncide avec N.

Les mêmes axiomes peuvent être écrits brièvement en utilisant des symboles mathématiques :

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

UNE 3 une / = b / => une = b

Si l'élément b suit l'élément a (b = a /), alors on dira que l'élément a est antérieur à l'élément b (ou précède b). Ce système d'axiomes est appelé Systèmes d'axiomes de Peano(puisqu'il a été introduit au 19ème siècle par le mathématicien italien Giuseppe Peano). Ce n’est qu’un des ensembles possibles d’axiomes qui nous permettent de définir l’ensemble des nombres naturels ; Il existe d'autres approches équivalentes.

Les propriétés les plus simples des nombres naturels

Propriété 1. Si les éléments sont différents, alors ceux qui les suivent sont différents, c'est-à-dire

une  b => une /  b / .

Preuve s'effectue par contradiction : supposons que a / = b /, alors (par A 3) a = b, ce qui contredit les conditions du théorème.

Propriété 2. Si les éléments sont différents, alors ceux qui les précèdent (s'ils existent) sont différents, c'est-à-dire

une /  b / => une  b.

Preuve: supposons que a = b, alors, d'après A 2, nous avons a / = b /, ce qui contredit les conditions du théorème.

Propriété 3. Aucun nombre naturel n’est égal au suivant.

Preuve: Introduisons en considération l'ensemble M, constitué de tels nombres naturels pour lesquels cette condition est satisfaite

M = (une  N | une  une / ).

Nous effectuerons la preuve basée sur l’axiome d’induction. Par définition de l'ensemble M, c'est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres naturels. Ensuite 1M, puisqu'on ne suit aucun nombre naturel (A 1), ce qui veut dire que aussi pour a = 1 on a : 1  1 / . Supposons maintenant que certains a  M. Cela signifie que a  a / (par définition de M), d'où a /  (a /) / (propriété 1), soit a /  M. De tous les ci-dessus, sur la base de l'utilisation des axiomes d'induction, nous pouvons conclure que M = N, c'est-à-dire que notre théorème est vrai pour tous les nombres naturels.

Théorème 4. Pour tout nombre naturel autre que 1, il est précédé d'un nombre.

Preuve: Considérez l'ensemble

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Ce M est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres naturels, on appartient clairement à cet ensemble. La deuxième partie de cet ensemble est constituée des éléments pour lesquels il existe des prédécesseurs, donc si a  M, alors a / appartient également à M (sa deuxième partie, puisque a / a un prédécesseur - c'est a). Ainsi, sur la base de l'axiome d'induction, M coïncide avec l'ensemble de tous les nombres naturels, ce qui signifie que tous les nombres naturels sont soit 1, soit ceux pour lesquels il existe un élément précédent. Le théorème a été prouvé.

Cohérence de la théorie axiomatique des nombres naturels

Comme modèle intuitif de l'ensemble des nombres naturels, on peut considérer des ensembles de droites : le nombre 1 correspondra à |, le nombre 2 ||, etc., c'est-à-dire que la série naturelle ressemblera à :

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Ces rangées de lignes peuvent servir de modèle de nombres naturels si « l’attribution d’une ligne à un nombre » est utilisée comme relation « suivre après ». La validité de tous les axiomes est intuitivement évidente. Bien entendu, ce modèle n’est pas strictement logique. Pour construire un modèle rigoureux, vous devez disposer d’une autre théorie axiomatique évidemment cohérente. Mais nous ne disposons pas d’une telle théorie, comme indiqué ci-dessus. Ainsi, soit nous sommes obligés de nous fier à l'intuition, soit de ne pas recourir à la méthode des modèles, mais de nous référer au fait que depuis plus de 6 mille ans, au cours desquels l'étude des nombres naturels a été réalisée, aucune contradiction avec ces axiomes ont été découverts.

Indépendance du système d'axiome de Peano

Pour prouver l'indépendance du premier axiome, il suffit de construire un modèle dans lequel l'axiome A 1 est faux, et les axiomes A 2, A 3, A 4 sont vrais. Considérons les nombres 1, 2, 3 comme termes primaires (éléments), et définissons la relation « suivre » par les relations : 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Il n’y a aucun élément dans ce modèle qui ne suit aucun autre (l’axiome 1 est faux), mais tous les autres axiomes sont satisfaits. Ainsi, le premier axiome ne dépend pas des autres.

Le deuxième axiome se compose de deux parties : l'existence et l'unicité. L'indépendance de cet axiome (en termes d'existence) peut être illustrée par un modèle à deux nombres (1, 2) avec la relation « suivre » définie par une relation unique : 1 / = 2 :

Pour deux, l'élément suivant manque, mais les axiomes A 1, A 3, A 4 sont vrais.

L'indépendance de cet axiome, en termes d'unicité, est illustrée par un modèle dans lequel l'ensemble N sera l'ensemble de tous les nombres naturels ordinaires, ainsi que de toutes sortes de mots (ensembles de lettres qui n'ont pas nécessairement de sens) constitués composé de lettres de l'alphabet latin (après la lettre z le suivant sera aa, puis ab... az, puis ba... ; tous les mots possibles de deux lettres, dont le dernier est zz, seront suivis de le mot aaa, etc.). Nous introduisons la relation « suivre » comme le montre la figure :

Ici les axiomes A 1, A 3, A 4 sont également vrais, mais 1 est immédiatement suivi de deux éléments 2 et a. Ainsi, l’axiome 2 ne dépend pas des autres.

L'indépendance de l'Axiome 3 est illustrée par le modèle :

dans laquelle A 1, A 2, A 4 sont vrais, mais le chiffre 2 suit à la fois le chiffre 4 et le chiffre 1.

Pour prouver l'indépendance de l'axiome d'induction, nous utilisons l'ensemble N, composé de tous les nombres naturels, ainsi que de trois lettres (a, b, c). La relation suivante dans ce modèle peut être introduite comme le montre la figure suivante :

Ici, pour les nombres naturels, la relation de suivi habituelle est utilisée, et pour les lettres, la relation de suivi est définie par les formules suivantes : a / = b, b / = c, c / = a. Il est évident que 1 ne suit aucun nombre naturel, pour chacun il y a un suivant, et un seul, chaque élément suit au plus un élément. Cependant, si nous considérons un ensemble M constitué d'entiers naturels ordinaires, alors ce sera un sous-ensemble de cet ensemble en contenant un, ainsi que l'élément suivant pour chaque élément de M. Cependant, ce sous-ensemble ne coïncidera pas avec l'ensemble du modèle sous considération, car il ne contiendra pas les lettres a, b, c. Ainsi, l’axiome d’induction n’est pas satisfait dans ce modèle et, par conséquent, l’axiome d’induction ne dépend pas des autres axiomes.

La théorie axiomatique des nombres naturels est catégorique(complet au sens étroit).

 (n /) =( (n)) / .

Principe de l'induction mathématique complète.

Théorème d'induction. Supposons qu'une affirmation P(n) soit formulée pour tous les nombres naturels, et que a) P(1) soit vrai, b) du fait que P(k) est vrai, il s'ensuit que P(k /) est également vrai. Alors l’énoncé P(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Pour le prouver, introduisons un ensemble M d’entiers naturels n (M  N) pour lequel l’énoncé P(n) est vrai. Utilisons l'axiome A 4, c'est-à-dire que nous allons essayer de prouver que :

1. k  M => k /  M.

Si nous réussissons, alors, selon l'axiome A 4, nous pouvons conclure que M = N, c'est-à-dire que P(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

1) D’après la condition a) du théorème, P(1) est vrai, donc 1  M.

2) Si certains k  M, alors (par construction de M) P(k) est vrai. D’après la condition b) du théorème, cela implique la vérité de P(k /), ce qui signifie k /  M.

Ainsi, d'après l'axiome d'induction (A 4) M = N, ce qui signifie que P(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Ainsi, l’axiome d’induction nous permet de créer une méthode pour prouver des théorèmes « par induction ». Cette méthode joue un rôle clé dans la preuve des théorèmes de base de l’arithmétique concernant les nombres naturels. Il se compose des éléments suivants :

1) la validité de la déclaration est vérifiéen=1 (base induction) ,

2) la validité de cette déclaration est supposée pourn= k, Oùk– nombre naturel arbitraire(hypothèse inductive) , et en tenant compte de cette hypothèse, la validité de la déclaration est établie pourn= k / (étape d'induction ).

Une preuve basée sur un algorithme donné est appelée une preuve par induction mathématique .

Tâches pour une solution indépendante

N° 1.1. Découvrez lequel des systèmes répertoriés satisfait aux axiomes de Peano (ce sont des modèles de l'ensemble des nombres naturels), déterminez quels axiomes sont satisfaits et lesquels ne le sont pas.

a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1 ;

b) N =(n  6, n  N), n / = n + 1 ;

c) N =(n  – 2, n  Z), n / = n + 1 ;

d) N =(n  – 2, n  Z), n / = n + 2 ;

e) nombres naturels impairs, n / = n +1 ;

f) nombres naturels impairs, n / = n +2 ;

g) Nombres naturels avec le rapport n / = n + 2 ;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2 ;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1 ;

j) Nombres naturels, multiples de 3 avec le rapport n / = n + 3

k) Nombres naturels pairs de rapport n / = n + 2

m) Nombres entiers,
.

Système entier

Rappelons que les séries naturelles semblaient lister les objets. Mais si nous voulons effectuer certaines actions avec des objets, nous aurons alors besoin d’opérations arithmétiques sur les nombres. Autrement dit, si nous voulons empiler des pommes ou diviser un gâteau, nous devons traduire ces actions dans le langage des chiffres.

Attention, pour introduire les opérations + et * dans le langage des nombres naturels, il est nécessaire d'ajouter des axiomes qui définissent les propriétés de ces opérations. Mais alors l’ensemble des nombres naturels lui-même est aussi expansion.

Voyons comment l'ensemble des nombres naturels se développe. L'opération la plus simple, qui fut une des premières exigées, est l'addition. Si l'on veut définir l'opération d'addition, il faut définir son inverse - soustraction. En fait, si nous savons quel sera le résultat de l'addition, par exemple 5 et 2, alors nous devrions être capables de résoudre des problèmes tels que : que faut-il ajouter à 4 pour obtenir 11. Autrement dit, les problèmes liés à l'addition seront certainement nécessitent la capacité d'effectuer l'action inverse - soustraction. Mais si l’ajout de nombres naturels donne à nouveau un nombre naturel, alors la soustraction de nombres naturels donne un résultat qui ne rentre pas dans N. D’autres nombres étaient nécessaires. Par analogie avec la soustraction compréhensible d'un nombre plus petit à un nombre plus grand, la règle consistant à soustraire un nombre plus grand à un nombre plus petit a été introduite - c'est ainsi que les nombres entiers négatifs sont apparus.

En complétant la série naturelle avec les opérations + et -, on arrive à l'ensemble des entiers.

Z=N+opérations(+-)

Le système des nombres rationnels comme langage de l'arithmétique

Considérons maintenant la prochaine action la plus complexe : la multiplication. Essentiellement, il s’agit d’une addition répétée. Et le produit d’entiers reste un entier.

Mais l’opération inverse de la multiplication est la division. Mais cela ne donne pas toujours les meilleurs résultats. Et encore une fois, nous sommes confrontés à un dilemme : soit accepter comme acquis que le résultat de la division peut « ne pas exister », soit proposer des nombres d'un nouveau type. C'est ainsi qu'apparaissent les nombres rationnels.

Prenons un système d'entiers et complétons-le par des axiomes qui définissent les opérations de multiplication et de division. Nous obtenons un système de nombres rationnels.

Q=Z+opérations(*/)

Ainsi, le langage des nombres rationnels nous permet de produire toutes les opérations arithmétiques au fil des chiffres. Le langage des nombres naturels n’était pas suffisant pour cela.

Donnons une définition axiomatique du système des nombres rationnels.

Définition. Un ensemble Q est appelé un ensemble de nombres rationnels, et ses éléments sont appelés nombres rationnels, si l'ensemble de conditions suivant, appelé axiomatique des nombres rationnels, est satisfait :

Axiomes de l'opération d'addition. Pour chaque paire commandée x,yéléments de Q un élément est défini x+yОQ, appelé somme X Et à. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :

1. (Existence de zéro) Il existe un élément 0 (zéro) tel que pour tout XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Pour tout élément XО Q il y a un élément - XО Q (ci-contre X) tel que

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Commutativité) Pour tout x,yО Q

4. (Associativité) Pour tout x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiomes de l'opération de multiplication.

Pour chaque paire commandée x, yéléments de Q un élément est défini xyО Q, appelé le produit X Et toi. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :

5. (Existence d'un élément unité) Il existe un élément 1 О Q tel que pour tout XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Pour tout élément XО Q , ( X≠ 0) il y a un élément inverse X-1 ≠0 tel que

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Associativité) Pour tout x, y, zО Q

X . (oui . z) = (x . y) . z

8. (Commutativité) Pour tout x, yО Q

Axiome du lien entre addition et multiplication.

9. (Distributivité) Pour tout x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Axiomes d'ordre.

Deux éléments quelconques x, y,О Q entre dans une relation de comparaison ≤. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :

10. (X≤à)L ( à≤X) ó x = y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Pour tout le monde x, yО Q ou x< у, либо у < x .

Attitude< называется строгим неравенством,

La relation = est appelée égalité des éléments de Q.

Axiome du lien entre addition et ordre.

13. Pour tout x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axiome du lien entre multiplication et ordre.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

L'axiome de continuité d'Archimède.

15. Pour tout a > b > 0, il existe m О N et n О Q tels que m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Ainsi, le système des nombres rationnels est le langage de l’arithmétique.

Cependant, ce langage ne suffit pas à résoudre des problèmes informatiques pratiques.

Méthode axiomatique en mathématiques.

Concepts de base et relations de la théorie axiomatique des séries naturelles. Définition d'un nombre naturel.

Ajout de nombres naturels.

Multiplication de nombres naturels.

Propriétés de l'ensemble des nombres naturels

Soustraction et division de nombres naturels.

Méthode axiomatique en mathématiques

Dans la construction axiomatique de toute théorie mathématique, les règles suivantes sont observées : Certaines règles:

1. Certains concepts de la théorie sont choisis comme principal et sont acceptés sans définition.

2. Sont formulés axiomes, qui dans cette théorie sont acceptés sans preuve, ils révèlent les propriétés des concepts de base.

3. Chaque concept de la théorie qui ne figure pas dans la liste des concepts de base est donné définition, il explique sa signification à l'aide des concepts principaux et précédents.

4. Toute proposition d'une théorie qui n'est pas contenue dans la liste des axiomes doit être prouvée. De telles propositions sont appelées théorèmes et les prouver sur la base d'axiomes et de théorèmes précédant celui considéré.

Le système d'axiomes devrait être :

a) cohérent : il faut être sûr qu'en tirant toutes les conclusions possibles d'un système d'axiomes donné, on n'arrivera jamais à une contradiction ;

b) indépendant: aucun axiome ne doit être une conséquence d’autres axiomes de ce système.

V) complet, si dans son cadre il est toujours possible de prouver soit une affirmation donnée, soit sa négation.

La première expérience de construction de théories axiomatiques peut être considérée comme la présentation de la géométrie par Euclide dans ses « Éléments » (IIIe siècle avant JC). Une contribution significative au développement de la méthode axiomatique de construction de la géométrie et de l'algèbre a été apportée par N.I. Lobatchevski et E. Galois. Fin du 19ème siècle. Le mathématicien italien Peano a développé un système d'axiomes pour l'arithmétique.

Concepts de base et relations de la théorie axiomatique des nombres naturels. Définition d'un nombre naturel.

En tant que concept de base (non défini) dans un certain ensemble N est sélectionné attitude , et utilise également des concepts de théorie des ensembles, ainsi que les règles de la logique.

L'élément qui suit immédiatement l'élément UN, dénoter UN".

La relation « suivre directement » satisfait aux axiomes suivants :

Les axiomes de Peano:

Axiome 1. En quantité N il y a un élément directement pas le prochain pas pour aucun élément de cet ensemble. Appelons-le unité et désigné par le symbole 1 .

Axiome 2. Pour chaque élément UN depuis N il n'y a qu'un seul élément UN" , immédiatement après UN .

Axiome 3. Pour chaque élément UN depuis N il y a au plus un élément qui est immédiatement suivi de UN .

Axiome 4. Tout sous-ensemble M ensembles N coïncide avec N , s'il a les propriétés suivantes : 1) 1 contenu dans M ; 2) du fait que UN contenu dans M , il s'ensuit que UN" contenu dans M.

Définition 1. Un tas de N , pour les éléments desquels la relation est établie "suivre directement", satisfaisant les axiomes 1 à 4, s'appelle ensemble de nombres naturels, et ses éléments sont nombres naturels.

Cette définition ne dit rien sur la nature des éléments de l'ensemble N . Donc ça peut être n'importe quoi. Choisir en ensemble N un ensemble spécifique sur lequel une relation spécifique « suit directement » est donnée, satisfaisant les axiomes 1 à 4, nous obtenons modèle de ce système axiome.

Le modèle standard du système d'axiomes de Peano est une série de nombres apparus au cours du processus de développement historique de la société : 1,2,3,4,... La série naturelle commence par le chiffre 1 (axiome 1) ; tout nombre naturel est immédiatement suivi d'un seul nombre naturel (axiome 2) ; tout nombre naturel suit immédiatement au plus un nombre naturel (axiome 3) ; en partant du nombre 1 et en passant par les nombres naturels qui se suivent immédiatement, on obtient l'ensemble de ces nombres (axiome 4).

Nous avons donc commencé la construction axiomatique d'un système de nombres naturels en choisissant la base relation "suivre directement" et des axiomes qui décrivent ses propriétés. La construction ultérieure de la théorie implique la prise en compte des propriétés connues des nombres naturels et des opérations sur ceux-ci. Ils doivent être divulgués dans des définitions et des théorèmes, c'est-à-dire sont dérivés purement logiquement de la relation « suivre directement » et des axiomes 1 à 4.

Le premier concept que nous introduirons après avoir défini un nombre naturel est attitude "précède immédiatement" , qui est souvent utilisé pour considérer les propriétés de la série naturelle.

Définition 2. Si un nombre naturel b suit directement entier naturel UN, ce numéro UN appelé précédant immédiatement(ou précédent) numéro b .

La relation « précède » a un certain nombre de propriétés.

Théorème 1. L’unité n’a pas d’entier naturel précédent.

Théorème 2. Tout nombre naturel UN, autre que 1, est précédé d'un seul numéro b, tel que b"= UN.

La construction axiomatique de la théorie des nombres naturels n’est envisagée ni dans les écoles primaires ni dans les écoles secondaires. Cependant, les propriétés de la relation « suivre directement », qui se reflètent dans les axiomes de Peano, font l’objet d’études dans le cours initial de mathématiques. Déjà en première année, lorsque l'on considère les nombres des dix premiers, il devient clair comment chaque nombre peut être obtenu. Les concepts « suit » et « précède » sont utilisés. Chaque nouveau nombre agit comme une continuation du segment étudié de la série naturelle des nombres. Les étudiants sont convaincus que chaque nombre est suivi du suivant et, de plus, d'une seule chose, que la série naturelle des nombres est infinie.

Ajout de nombres naturels

Selon les règles de construction d'une théorie axiomatique, la définition de l'addition d'entiers naturels doit être introduite en utilisant uniquement la relation "suivre directement", et des notions "entier naturel" Et "numéro précédent".

Commençons par faire précéder la définition de l’addition des considérations suivantes. Si à n'importe quel nombre naturel UN ajoutez 1, nous obtenons le nombre UN", immédiatement après UN, c'est à dire. UN+ 1= un" et, par conséquent, nous obtenons la règle pour ajouter 1 à tout nombre naturel. Mais comment ajouter à un nombre UN entier naturel b, différent de 1 ? Utilisons le fait suivant : si nous savons que 2 + 3 = 5, alors la somme est 2 + 4 = 6, qui suit immédiatement le nombre 5. Cela se produit parce que dans la somme 2 + 4 le deuxième terme est le nombre qui suit immédiatement le nombre 3. Ainsi, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". En général nous avons , .

Ces faits constituent la base de la définition de l’addition de nombres naturels dans la théorie axiomatique.

Définition 3. Ajouter des nombres naturels est une opération algébrique qui a les propriétés suivantes :

Nombre a + b appelé somme de nombres UN Et b , et les chiffres eux-mêmes UN Et b - termes.

UNIVERSITÉ PÉDAGOGIQUE D'ÉTAT D'OMSK
BRANCHE DE L'Université pédagogique d'État d'Omsk en TAR
BBK Publié par décision de la rédaction et de l'édition
Secteur 22ya73 de la branche de l'Université pédagogique d'État d'Omsk à Tara
Ch67

Les recommandations sont destinées aux étudiants des universités pédagogiques étudiant la discipline « Algèbre et théorie des nombres ». Dans le cadre de cette discipline, conformément à la norme de l'État, au 6ème semestre la section « Systèmes numériques » est étudiée. Ces recommandations présentent des éléments sur la construction axiomatique de systèmes de nombres naturels (le système d'axiome de Peano), de systèmes de nombres entiers et de nombres rationnels. Cette axiomatique permet de mieux comprendre ce qu'est un nombre, qui est l'un des concepts de base d'un cours de mathématiques à l'école. Pour une meilleure assimilation de la matière, des problèmes sur des sujets pertinents sont posés. À la fin des recommandations se trouvent des réponses, des instructions et des solutions aux problèmes.

Réviseur : Docteur en Sciences Pédagogiques, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Signé pour publication - 22/10/98

Papier journal
Tirage 100 exemplaires.
La méthode d'impression est opérationnelle
Université pédagogique d'État d'Omsk, 644099, Omsk, emb. Toukhatchevski, 14 ans
succursale, 644500, Tara, st. Shkolnaïa, 69 ans

1. NOMBRES NATURELS.

Dans la construction axiomatique d'un système de nombres naturels, nous supposerons que le concept d'ensemble, les relations, les fonctions et autres concepts de la théorie des ensembles sont connus.

1.1 Le système d'axiome de Peano et les conséquences les plus simples.

Les concepts initiaux de la théorie axiomatique de Peano sont l'ensemble N (que nous appellerons l'ensemble des nombres naturels), le nombre spécial zéro (0) qui en découle, et la relation binaire « suit » sur N, notée S(a) (ou un()).
AXIOMES :
1. ((a(N) a"(0 (Il existe un nombre naturel 0 qui ne suit aucun nombre.)
2. a=b (a"=b" (Pour chaque nombre naturel a, il y a un nombre naturel a" qui le suit, et un seul.)
3. a"=b" (a=b (Chaque nombre naturel suit au plus un nombre.)
4. (axiome d'induction) Si l'ensemble M(N et M satisfont deux conditions :
UNE)0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, alors M=N.
En terminologie fonctionnelle, cela signifie que la cartographie S:N®N est injective. De l’axiome 1, il s’ensuit que l’application S:N®N n’est pas surjective. L'axiome 4 est la base pour prouver des énoncés « par la méthode de l'induction mathématique ».
Notons quelques propriétés des nombres naturels qui découlent directement des axiomes.
Propriété 1. Tout nombre naturel a(0 suit un et un seul nombre.
Preuve. Soit M désignant l'ensemble des nombres naturels contenant zéro et tous ces nombres naturels, dont chacun suit un nombre. Il suffit de montrer que M=N, l’unicité découle de l’axiome 3. Appliquons l’axiome d’induction 4 :
A) 0(M - par construction de l'ensemble M ;
B) si a(M, alors a"(M, car a" suit a.
Cela signifie, par l'axiome 4, M=N.
Propriété 2. Si a(b, alors a"(b".
La propriété est prouvée par contradiction à l'aide de l'axiome 3. La propriété 3 suivante est prouvée de la même manière à l'aide de l'axiome 2.
Propriété 3. Si a"(b", alors a(b.
Propriété 4. ((a(N)a(a). (Aucun nombre naturel ne se suit.)
Preuve. Soit M=(x (x(N, x(x")). Il suffit de montrer que M=N. Puisque d'après l'axiome 1 ((x(N)x"(0, alors en particulier 0"(0 , et donc la condition A) de l'axiome 4 0(M - est satisfaite. Si x(M, c'est-à-dire x(x", alors par la propriété 2 x"((x")", ce qui signifie que la condition B) x ( M ® x"(M. Mais alors, selon l'axiome 4, M=N.
Soit ( une propriété des nombres naturels. Le fait qu'un nombre a ait la propriété (, nous écrirons ((a).
Tâche 1.1.1. Montrer que l'axiome 4 de la définition de l'ensemble des nombres naturels est équivalent à l'énoncé suivant : pour toute propriété (, si ((0) et, alors.
Tâche 1.1.2. Sur un ensemble de trois éléments A=(a,b,c), l'opération unaire ( est définie comme suit : a(=c, b(=c, c(=a. Lesquels des axiomes de Peano sont vrais sur l'ensemble Un avec l'opération (?
Tâche 1.1.3. Soit A=(a) un ensemble singleton, a(=a. Lesquels des axiomes de Peano sont vrais sur l'ensemble A avec l'opération (?
Tâche 1.1.4. Sur l'ensemble N nous définissons une opération unaire, en supposant qu'elle soit quelconque. Découvrez si les affirmations des axiomes de Peano formulées en termes d'opération seront vraies dans N.
Problème 1.1.5. Laisser être. Montrer que A est fermé sous l'opération (. Vérifier la vérité des axiomes de Peano sur l'ensemble A avec l'opération (.
Problème 1.1.6. Laisser être, . Définissons une opération unaire sur A, réglage. Lesquels des axiomes de Peano sont vrais sur l’ensemble A avec l’opération ?

1.2. Cohérence et catégoricité du système d'axiome de Peano.

Un système d'axiomes est dit cohérent si, à partir de ses axiomes, il est impossible de prouver le théorème T et sa négation (T. Il est clair que les systèmes d'axiomes contradictoires n'ont aucun sens en mathématiques, car dans une telle théorie on peut prouver n'importe quoi et tel la théorie ne reflète pas les lois du monde réel. Par conséquent, la cohérence du système d'axiomes est une exigence absolument nécessaire.
Si le théorème T et ses négations (T) ne se trouvent pas dans une théorie axiomatique, cela ne signifie pas que le système d'axiomes est cohérent ; de telles théories peuvent apparaître dans le futur. Par conséquent, la cohérence du système d'axiomes doit être prouvée. La manière la plus courante de prouver la cohérence est la méthode d'interprétation, basée sur le fait que s'il existe une interprétation du système d'axiomes dans une théorie S manifestement cohérente, alors le système d'axiomes lui-même est cohérent. En effet, si le système d'axiomes était incohérent, alors les théorèmes T et (T y seraient prouvables, mais alors ces théorèmes seraient valables et dans son interprétation, et cela contredit la cohérence de la théorie S. La méthode d'interprétation permet de prouver uniquement la cohérence relative de la théorie.
De nombreuses interprétations différentes peuvent être construites pour le système d'axiomes de Peano. La théorie des ensembles est particulièrement riche en interprétations. Indiquons une de ces interprétations. Nous considérerons les ensembles (, ((), ((()), (((())),... comme des nombres naturels ; nous considérerons zéro comme un nombre spécial (. La relation « suit » être interprété comme suit : l'ensemble M est suivi de l'ensemble (M), dont le seul élément est M lui-même. Ainsi, ("=((), (()"=((()), etc. La faisabilité de Les axiomes 1 à 4 peuvent être facilement vérifiés. Cependant, l'efficacité d'une telle interprétation est faible : elle montre que le système d'axiomes de Peano est cohérent si la théorie des ensembles est cohérente. Mais prouver la cohérence du système d'axiomes de la théorie des ensembles est une tâche encore plus difficile. L'interprétation la plus convaincante du système d'axiomes de Peano est l'arithmétique intuitive, dont la cohérence est confirmée par des siècles d'expérience en matière de développement.
Un système cohérent d'axiomes est dit indépendant si chaque axiome de ce système ne peut être prouvé comme un théorème sur la base d'autres axiomes. Prouver que l'axiome (ne dépend pas des autres axiomes du système
(1, (2, ..., (n, ((1)
il suffit de prouver que le système d'axiomes est cohérent
(1, (2, ..., (n, (((2)
En effet, si (était prouvé sur la base des axiomes restants du système (1), alors le système (2) serait contradictoire, puisqu'il contient le théorème (et l'axiome ((.
Ainsi, pour prouver l'indépendance de l'axiome (par rapport aux autres axiomes du système (1), il suffit de construire une interprétation du système d'axiomes (2).
L'indépendance du système d'axiomes est une exigence facultative. Parfois, afin d’éviter de prouver des théorèmes « difficiles », un système d’axiomes délibérément redondant (dépendant) est construit. Cependant, les axiomes « supplémentaires » rendent difficile l’étude du rôle des axiomes dans la théorie, ainsi que des connexions logiques internes entre les différentes sections de la théorie. De plus, construire des interprétations pour des systèmes d'axiomes dépendants est beaucoup plus difficile que pour des systèmes indépendants ; Après tout, il faut vérifier la validité des axiomes « supplémentaires ». Pour ces raisons, la question de la dépendance entre les axiomes revêt une importance primordiale depuis l’Antiquité. À un moment donné, les tentatives pour prouver que le postulat 5 dans les axiomes d'Euclide « Il y a au plus une droite passant par le point A parallèle à la droite (« » est un théorème (c'est-à-dire dépend des axiomes restants) et a conduit à la découverte de Lobatchevski géométrie.
Un système cohérent est appelé déductivement complet si une proposition A d'une théorie donnée peut être prouvée ou réfutée, c'est-à-dire soit A soit (A est un théorème de cette théorie. S'il existe une proposition qui ne peut être ni prouvée ni réfutée, alors le système d'axiomes est appelé déductivement incomplet. La complétude déductive n'est pas non plus une exigence obligatoire. Par exemple, le système d'axiomes de la théorie des groupes, de la théorie des anneaux, de la théorie des champs est incomplet ; puisqu'il existe à la fois des groupes, des anneaux, des champs finis et infinis. , alors dans ces théories il est impossible de prouver ou de réfuter la proposition : "Un groupe (anneau, champ) contient un nombre fini d'éléments."
Il convient de noter que dans de nombreuses théories axiomatiques (notamment celles non formalisées), l'ensemble des propositions ne peut pas être considéré comme défini avec précision et il est donc impossible de prouver l'exhaustivité déductive du système d'axiomes d'une telle théorie. Un autre sentiment d’exhaustivité est appelé catégorisation. Un système d'axiomes est dit catégorique si deux de ses interprétations sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une telle correspondance biunivoque entre les ensembles d'objets initiaux de l'une et de l'autre interprétation, qui est préservée sous toutes les relations initiales. La catégoricité est également une condition facultative. Par exemple, le système d’axiomes de la théorie des groupes n’est pas catégorique. Cela découle du fait qu’un groupe fini ne peut pas être isomorphe à un groupe infini. Cependant, lors de l’axiomatisation de la théorie d’un système numérique, la catégorisation est obligatoire ; par exemple, le caractère catégorique du système d'axiomes définissant les nombres naturels fait que, à isomorphisme près, il n'existe qu'une seule série naturelle.
Prouvons la nature catégorique du système d'axiomes de Peano. Soit (N1, s1, 01) et (N2, s2, 02) deux interprétations quelconques du système d'axiome de Peano. Il est nécessaire d'indiquer une cartographie bijective (un-à-un) f:N1®N2 pour laquelle les conditions suivantes sont satisfaites :
a) f(s1(x)=s2(f(x)) pour tout x de N1 ;
b)f(01)=02
Si les deux opérations unaires s1 et s2 sont notées par le même nombre premier, alors la condition a) sera réécrite comme
une) f(x()=f(x)(.
Définissons une relation binaire f sur l'ensemble N1(N2) par les conditions suivantes :
1) 01f02 ;
2) si xfy, alors x(fy(.
Assurons-nous que cette relation est une application de N1 vers N2, c'est-à-dire pour chaque x de N1
(((y(N2) xfy (1)
Soit M1 l’ensemble de tous les éléments x de N1 pour lesquels la condition (1) est satisfaite. Alors
A) 01(M1 dû à 1);
B) x(M1 ® x((M1 en vertu de 2) et propriétés 1 du paragraphe 1.
De là, selon l’axiome 4, nous concluons que M1=N1, ce qui signifie que la relation f est une application de N1 dans N2. De plus, de 1) il résulte que f(01)=02. La condition 2) s’écrit sous la forme : si f(x)=y, alors f(x()=y(. Il s’ensuit que f(x()=f(x)(). Ainsi, pour afficher f condition a ) et b) sont satisfaits, il reste à prouver que l'application f est bijective.
Notons M2 l'ensemble des éléments de N2 dont chacun est l'image d'un et d'un seul élément de N1 sous l'application f.
Puisque f(01)=02, alors 02 est une image. De plus, si x(N2 et x(01), alors par la propriété 1 de l'élément 1 x suit un élément c de N1 et alors f(x)=f(c()=f(c)((02. Cela signifie 02 est l'image du seul élément 01, soit 02(M2.
Soit en outre y(M2 et y=f(x), où x est la seule image inverse de l'élément y. Alors, par condition a) y(=f(x)(=f(x()), c'est-à-dire, y(est l'image de l'élément x (. Soit c toute image inverse de l'élément y(, c'est-à-dire f(c)=y(. Puisque y((02, alors c(01 et pour c est le précédent élément, que nous désignons par d. Alors y(=f( c)=f(d()=f(d)(), d'où par l'Axiome 3 y=f(d). Mais puisque y(M2, alors d= x, d'où c=d(=x(. Nous avons prouvé que si y est l'image d'un élément unique, alors y(est l'image d'un élément unique, c'est-à-dire y(M2 ® y((M2. Les deux les conditions de l’axiome 4 sont satisfaites et donc M2=N2, ce qui complète la preuve de catégoricité.
Toutes les mathématiques pré-grecques étaient de nature empirique. Certains éléments de la théorie étaient noyés dans la masse de méthodes empiriques permettant de résoudre des problèmes pratiques. Les Grecs ont soumis ce matériel empirique à un traitement logique et ont essayé de trouver des liens entre diverses informations empiriques. En ce sens, Pythagore et son école (Ve siècle avant JC) ont joué un rôle majeur en géométrie. Les idées de la méthode axiomatique étaient clairement entendues dans les œuvres d'Aristote (IVe siècle avant JC). Cependant, la mise en œuvre pratique de ces idées a été réalisée par Euclide dans ses Éléments (IIIe siècle avant JC).
Actuellement, trois formes de théories axiomatiques peuvent être distinguées.
1). Une axiomatique significative, qui était la seule jusqu'au milieu du siècle dernier.
2). Axiomatiques semi-formelles apparues dans le dernier quart du siècle dernier.
3). Axiomatiques formelles (ou formalisées), dont la date de naissance peut être considérée comme 1904, lorsque D. Hilbert publie son célèbre programme sur les principes de base des mathématiques formalisées.
Chaque nouvelle forme ne nie pas la précédente, mais elle est son développement et sa clarification, de sorte que le niveau de rigueur de chaque nouvelle forme soit supérieur à celui de la précédente.
L'axiomatique intensive se caractérise par le fait que les concepts initiaux ont une signification intuitivement claire avant même que les axiomes ne soient formulés. Ainsi, dans les Éléments d’Euclide, un point signifie exactement ce que nous comprenons intuitivement par ce concept. Dans ce cas, on utilise un langage ordinaire et une logique intuitive ordinaire, remontant à Aristote.
Les théories axiomatiques semi-formelles utilisent également un langage ordinaire et une logique intuitive. Cependant, contrairement aux axiomatiques signifiantes, les concepts originaux ne reçoivent aucune signification intuitive ; ils sont caractérisés uniquement par des axiomes. Cela augmente la rigueur, puisque l'intuition interfère dans une certaine mesure avec la rigueur. De plus, la généralité est acquise car chaque théorème prouvé dans une telle théorie sera valable dans n'importe quelle interprétation. Un exemple de théorie axiomatique semi-formelle est la théorie de Hilbert, exposée dans son livre « Foundations of Geometry » (1899). Des exemples de théories semi-formelles sont également la théorie des anneaux et un certain nombre d'autres théories présentées dans un cours d'algèbre.
Un exemple de théorie formalisée est le calcul propositionnel, étudié dans un cours de logique mathématique. Contrairement aux axiomatiques substantielles et semi-formelles, la théorie formalisée utilise un langage symbolique spécial. À savoir, l'alphabet de la théorie est donné, c'est-à-dire un certain ensemble de symboles qui jouent le même rôle que les lettres dans le langage ordinaire. Toute séquence finie de caractères est appelée une expression ou un mot. Parmi les expressions, on distingue une classe de formules, et on indique un critère précis qui permet à chaque expression de savoir s'il s'agit d'une formule. Les formules jouent le même rôle que les phrases dans le langage ordinaire. Certaines formules sont déclarées axiomes. De plus, des règles d'inférence logique sont spécifiées ; Chacune de ces règles signifie qu'une certaine formule découle directement d'un certain ensemble de formules. La preuve du théorème lui-même est une chaîne finie de formules, dans laquelle la dernière formule est le théorème lui-même et chaque formule est soit un axiome, soit un théorème préalablement prouvé, soit découle directement des formules précédentes de la chaîne selon l'un des les règles d’inférence. Ainsi, la rigueur de la preuve ne fait absolument aucun doute : soit une chaîne donnée est une preuve, soit elle ne l’est pas ; il n’y a aucune preuve douteuse. À cet égard, les axiomatiques formalisées sont utilisées dans des questions particulièrement subtiles de justification des théories mathématiques, lorsque la logique intuitive ordinaire peut conduire à des conclusions erronées, principalement dues aux inexactitudes et aux ambiguïtés de notre langage ordinaire.
Puisque dans une théorie formalisée on peut dire à propos de chaque expression s'il s'agit d'une formule, alors l'ensemble des phrases d'une théorie formalisée peut être considéré comme défini. À cet égard, on peut, en principe, se poser la question de la preuve de l'exhaustivité déductive, ainsi que de la preuve de la cohérence, sans recourir à l'interprétation. Dans un certain nombre de cas simples, cela peut être réalisé. Par exemple, la cohérence du calcul propositionnel est prouvée sans interprétation.
Dans les théories non formalisées, de nombreuses propositions ne sont pas clairement définies, il est donc inutile de se poser la question de la preuve de la cohérence sans recourir à des interprétations. Il en va de même pour la question de la preuve de l’exhaustivité déductive. Cependant, si l’on rencontre une proposition de théorie non formalisée qui ne peut être ni prouvée ni réfutée, alors la théorie est évidemment incomplète du point de vue déductif.
La méthode axiomatique est utilisée depuis longtemps non seulement en mathématiques, mais aussi en physique. Les premières tentatives dans ce sens ont été faites par Aristote, mais la méthode axiomatique n’a reçu sa véritable application en physique que dans les travaux de Newton sur la mécanique.
En lien avec le processus rapide de mathématisation des sciences, il existe également un processus d'axiomatisation. Actuellement, la méthode axiomatique est même utilisée dans certains domaines de la biologie, par exemple en génétique.
Néanmoins, les possibilités de la méthode axiomatique ne sont pas illimitées.
Tout d’abord, notons que même dans les théories formalisées, il n’est pas possible d’éviter complètement l’intuition. La théorie formalisée elle-même, sans interprétations, n’a aucun sens. Un certain nombre de questions se posent donc quant à la relation entre une théorie formalisée et son interprétation. De plus, comme dans les théories formalisées, des questions se posent quant à la cohérence, l’indépendance et l’exhaustivité du système d’axiomes. L’ensemble de ces questions constitue le contenu d’une autre théorie, appelée métathéorie d’une théorie formalisée. Contrairement à une théorie formalisée, le langage de la métathéorie est un langage ordinaire de tous les jours, et le raisonnement logique est réalisé selon les règles de la logique intuitive ordinaire. Ainsi l’intuition, complètement expulsée de la théorie formalisée, réapparaît dans sa métathéorie.
Mais ce n’est pas là la principale faiblesse de la méthode axiomatique. Nous avons déjà évoqué le programme de D. Hilbert, qui a jeté les bases de la méthode axiomatique formalisée. L'idée principale de Hilbert était d'exprimer les mathématiques classiques sous la forme d'une théorie axiomatique formalisée, puis de prouver sa cohérence. Cependant, ce programme s’est révélé, dans ses principaux points, utopique. En 1931, le mathématicien autrichien K. Gödel prouva ses célèbres théorèmes, d'où il découlait que les deux problèmes principaux posés par Hilbert étaient impossibles. Grâce à sa méthode de codage, il a réussi à exprimer certaines hypothèses vraies de la métathéorie en utilisant des formules d'arithmétique formelle et à prouver que ces formules ne sont pas déductibles en arithmétique formelle. Ainsi, l’arithmétique formalisée s’est avérée déductivement incomplète. Des résultats de Gödel, il s'ensuit que si cette formule non démontrable est incluse dans le nombre d'axiomes, alors il y aura une autre formule non démontrable exprimant une proposition vraie. Tout cela signifiait que non seulement toutes les mathématiques, mais même l’arithmétique – sa partie la plus simple – ne pouvaient pas être complètement formalisées. En particulier, Gödel a construit une formule correspondant à la phrase « L'arithmétique formalisée est cohérente » et a montré que cette formule n'est pas non plus dérivable. Ce fait signifie que la cohérence de l’arithmétique formalisée ne peut être prouvée au sein même de l’arithmétique. Bien sûr, il est possible de construire une théorie formalisée plus solide et d’utiliser ses moyens pour prouver la cohérence de l’arithmétique formalisée, mais une question plus difficile se pose alors quant à la cohérence de cette nouvelle théorie.
Les résultats de Gödel indiquent les limites de la méthode axiomatique. Et pourtant, la théorie de la connaissance ne permet absolument aucune conclusion pessimiste selon laquelle il existe des vérités inconnaissables. Le fait qu’il existe des vérités arithmétiques qui ne peuvent pas être prouvées par l’arithmétique formelle ne signifie pas qu’il existe des vérités inconnaissables ni que la pensée humaine est limitée. Cela signifie simplement que les possibilités de notre pensée ne se limitent pas à des procédures complètement formalisées et que l’humanité doit encore découvrir et inventer de nouveaux principes de preuve.

1.3.Ajout de nombres naturels

Les opérations d'addition et de multiplication des nombres naturels ne sont pas postulées par le système d'axiome de Peano ; nous allons définir ces opérations.
Définition. L'addition d'entiers naturels est une opération algébrique binaire + sur l'ensemble N, qui possède les propriétés suivantes :
1s. ((une(N) une+0=une;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
La question se pose : existe-t-il une telle opération, et si oui, est-elle la seule ?
Théorème. Il n’y a qu’une seule addition de nombres naturels.
Preuve. Une opération algébrique binaire sur l'ensemble N est l'application (:N(N®N). Il faut prouver qu'il existe une application unique (:N(N®N) avec les propriétés : 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Si pour chaque nombre naturel x on prouve l'existence d'une application fx:N®N avec les propriétés 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), puis la fonction ((x,y), définie par l'égalité ((x ,y) (fx(y), satisfera aux conditions 1) et 2 ).
Sur l'ensemble N, on définit la relation binaire fx par les conditions :
a) 0fxx;
b) si yfxz, alors y(fxz(.
Assurons-nous que cette relation est une application de N vers N, c'est-à-dire pour chaque y de N
(((z(N) yfxz (1)
Soit M l'ensemble des nombres naturels y pour lequel la condition (1) est satisfaite. Ensuite, de la condition a), il s'ensuit que 0(M, et de la condition b) et de la propriété 1 de la clause 1, il s'ensuit que si y(M, alors y((M. Par conséquent, sur la base de l'axiome 4, nous concluons que M = N , et cela signifie que la relation fx est une application de N vers N. Pour cette application les conditions suivantes sont remplies :
1() fx(0)=x - en raison de a);
2() fx((y)=fx(y() - en vertu de b).
Ainsi, l’existence de l’addition est prouvée.
Prouvons l'unicité. Soient + et ( deux opérations algébriques binaires quelconques sur l'ensemble N avec les propriétés 1c et 2c. Nous devons prouver que
((x,y(N) x+y=x(y
Fixons un nombre arbitraire x et notons S l'ensemble des nombres naturels y pour lesquels l'égalité
x+y=x(y (2)
effectué. Puisque d’après 1c x+0=x et x(0=x, alors
A)0(S
Soit maintenant y(S, c'est-à-dire que l'égalité (2) est satisfaite. Puisque x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(et x+y=x(y), alors par l'axiome 2 x+y(=x(y(, c'est-à-dire que la condition est satisfaite
B) y(S ® y((S.
Ainsi, d’après l’axiome 4, S=N, ce qui complète la preuve du théorème.
Démontrons quelques propriétés d'addition.
1. Le nombre 0 est un élément d’addition neutre, c’est-à-dire a+0=0+a=a pour tout nombre naturel a.
Preuve. L’égalité a+0=a découle de la condition 1c. Montrons l'égalité 0+a=a.
Notons M l'ensemble de tous les nombres pour lesquels il est valable. Évidemment, 0+0=0 et donc 0(M. Soit a(M, c'est-à-dire 0+a=a. Alors 0+a(=(0+a)(=a(et, donc, a((M Cela signifie M=N, ce qui devait être prouvé.
Ensuite, nous avons besoin d’un lemme.
Lemme. une(+b=(une+b)(.
Preuve. Soit M l'ensemble de tous les nombres naturels b pour lesquels l'égalité a(+b=(a+b) est vraie pour toute valeur de a. Alors :
A) 0(M, puisque a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. En effet, du fait que b(M et 2c, on a
une(+b(=(une(+b)(=((une+b)()(=(une+b())(,
c'est-à-dire b((M. Cela signifie M=N, ce qui devait être prouvé.
2. L'addition d'entiers naturels est commutative.
Preuve. Soit M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Il suffit de prouver que M=N. On a :
A) 0(M - en raison de la propriété 1.
B) a(M ® a((M. En effet, en appliquant le lemme et le fait que a(M, on obtient :
une(+b=(une+b)(=(b+une)(=b+une(.
Cela signifie a((M, et par l'axiome 4 M=N.
3. L'addition est associative.
Preuve. Laisser
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Il faut prouver que M=N. Puisque (a+b)+0=a+b et a+(b+0)=a+b, alors 0(M. Soit c(M, c'est-à-dire (a+b)+c=a+(b+c ) . Alors
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Cela signifie c((M et par l'axiome 4 M=N.
4. a+1=a(, où 1=0(.
Preuve. une+1=une+0(=(une+0)(=une(.
5. Si b(0, alors ((a(N)a+b(a.
Preuve. Soit M=(a(a(N(a+b(a). Puisque 0+b=b(0, alors 0(M. De plus, si a(M, c'est-à-dire a+b(a), alors par propriété 2 élément 1 (a+b)((a(ou a(+b(a(. Donc a((M et M=N.
6. Si b(0, alors ((a(N)a+b(0.
Preuve. Si a=0, alors 0+b=b(0, mais si a(0 et a=c(, alors a+b=c(+b=(c+b)(0. Donc, dans tous les cas a + b(0.
7. (Loi de trichotomie d'addition). Pour tout nombre naturel a et b, une et une seule des trois relations est vraie :
1) une=b;
2) b=a+u, où u(0;
3) a=b+v, où v(0.
Preuve. Fixons un nombre arbitraire a et désignons par M l'ensemble de tous les nombres naturels b pour lesquels au moins une des relations 1), 2), 3) est vraie. Il faut prouver que M=N. Soit b=0. Alors si a=0, alors la relation 1 est vraie), et si a(0, alors la relation 3 est vraie), puisque a=0+a. Donc 0(M.
Supposons maintenant que b(M, c'est-à-dire pour le a choisi, l'une des relations 1), 2), 3) est satisfaite. Si a=b, alors b(=a(=a+1, c'est-à-dire pour b(la relation 2 est vraie). Si b=a+u, alors b(=a+u(, c'est-à-dire pour b( la relation 2). Si a=b+v, alors deux cas sont possibles : v=1 et v(1. Si v=1, alors a=b+v=b", c'est-à-dire pour b" les relations 1 sont satisfait). Si même v(1, alors v=c", où c(0 et alors a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, où c(0, que est pour b" la relation 3 est satisfaite). Ainsi, nous avons prouvé que b(M®b"(M, et donc M=N, c'est-à-dire pour tout a et b au moins une des relations 1), 2), 3 est satisfait). Assurons-nous que deux d'entre elles ne peuvent pas être remplies simultanément. En effet : si les relations 1) et 2) étaient satisfaites, alors elles auraient b=b+u, où u(0, et cela contredit la propriété 5. L'impossibilité de satisfiabilité de 1) et 3). Enfin, si les relations 2) et 3) étaient satisfaites, alors nous aurions a=(a+u)+v = a+ +(u+v), et c'est impossible à cause des propriétés 5 et 6. La propriété 7 est complètement prouvée.
Tâche 1.3.1. Soit 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Montrer que 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLICATION DE NOMBRES NATURELS.

Définition 1. La multiplication d'entiers naturels est une telle opération binaire (sur l'ensemble N, pour laquelle les conditions suivantes sont remplies :
1у. ((x(N)x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
La question se pose à nouveau : une telle opération existe-t-elle et, si elle existe, est-elle la seule ?
Théorème. Il n’existe qu’une seule opération pour multiplier les nombres naturels.
La preuve s'effectue à peu près de la même manière que pour l'addition. Il est nécessaire de trouver une application (:N(N®N) qui satisfait aux conditions
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Fixons arbitrairement le nombre x. Si l'on prouve pour chaque x(N l'existence d'une application fx : N®N avec les propriétés
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
puis la fonction ((x,y), définie par l'égalité ((x,y)=fx(y) et satisfera les conditions 1) et 2).
Ainsi, la preuve du théorème se réduit à prouver l'existence et l'unicité pour chaque x de la fonction fx(y) de propriétés 1") et 2"). Établissons une correspondance sur l'ensemble N selon la règle suivante :
a) le nombre zéro est comparable au nombre 0,
b) si le nombre y est associé au nombre c, alors le nombre y (associe le nombre c+x.
Assurons-nous qu'avec une telle comparaison, chaque nombre y a une image unique : cela signifiera que la correspondance est une application de N dans N. Notons M l'ensemble de tous les nombres naturels y qui ont une image unique. De la condition a) et de l'axiome 1, il s'ensuit que 0(M. Soit y(M. Puis de la condition b) et de l'axiome 2, il s'ensuit que y((M. Cela signifie M=N, c'est-à-dire que notre correspondance est une application N dans N ; notons-le par fx. Alors fx(0)=0 en raison de la condition a) et fx(y()=fx(y)+x - en raison de la condition b).
Ainsi, l’existence de l’opération de multiplication est prouvée. Soit maintenant (et ( deux opérations binaires quelconques sur l'ensemble N avec les propriétés 1у et 2у. Il reste à prouver que ((x,y(N) x(y=x(y. Fixons un nombre arbitraire x et soit
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Puisque en vertu de 1y x(0=0 et x(0=0, alors 0(S. Soit y(S, c'est-à-dire x(y=x(y. Alors
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
et, par conséquent, y((S. Cela signifie S=N, ce qui complète la preuve du théorème.
Notons quelques propriétés de la multiplication.
1. L'élément neutre par rapport à la multiplication est le nombre 1=0(, soit ((a(N) a(1=1(a=a.
Preuve. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Ainsi, l'égalité a(1=a est prouvée. Il reste à prouver l'égalité 1(a=a. Soit M=(a ?a(N (1(a=a). Puisque 1(0=0, alors 0(M. Soit a(M, c'est-à-dire 1(a=a. Alors 1(a(=1(a+1= a+1= a(, et, par conséquent, a((M. Cela signifie, selon l'axiome 4, M=N, ce qui devait être prouvé.
2. Pour la multiplication, la loi distributive correcte est valable, c'est-à-dire
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Preuve. Soit M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Puisque (a+b)0=0 et a(0+b(0=0 , alors 0(M. Si c(M, c'est-à-dire (a+b)c=ac+bc, alors (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Donc, c((M et M=N.
3. La multiplication des nombres naturels est commutative, c'est-à-dire ((a,b(N) ab=ba.
Preuve. Prouvons d'abord pour tout b(N l'égalité 0(b=b(0=0. L'égalité b(0=0 découle de la condition 1y. Soit M=(b (b(N (0(b=0). Puisque 0( 0=0, alors 0(M. Si b(M, c'est-à-dire 0(b=0, alors 0(b(=0(b+0=0 et, par conséquent, b((M. Donc M =N, c'est-à-dire que l'égalité 0(b=b(0 a été prouvée pour tout b(N. Soit en outre S=(a (a(N (ab=ba). Puisque 0(b=b(0, alors 0(S. Soit a (S, c'est-à-dire ab=ba. Alors a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, c'est-à-dire a((S. Cela signifie S =N, ce qui devait être prouvé.
4. La multiplication est distributive par rapport à l'addition. Cette propriété découle des propriétés 3 et 4.
5. La multiplication est associative, c'est-à-dire ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
La preuve s'effectue, comme pour l'addition, par récurrence sur c.
6. Si a(b=0, alors a=0 ou b=0, c'est-à-dire que N n'a pas de diviseur nul.
Preuve. Soit b(0 et b=c(. Si ab=0, alors ac(=ac+a=0, ce qui signifie, en vertu de la propriété 6 de la clause 3, que a=0.
Tâche 1.4.1. Soit 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Montrer que 2(4=8, 3(3=9.
Soit n, a1, a2,...,an des nombres naturels. La somme des nombres a1, a2,...,an est un nombre désigné et déterminé par les conditions ; pour tout nombre naturel k
Le produit des nombres a1, a2,...,an est un nombre naturel, désigné et déterminé par les conditions : ; pour tout nombre naturel k
Si, alors le nombre est désigné par un.
Tâche 1.4.2. Prouve-le
UN) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) ;
et) ;
h) ;
Et) .

1.5. ORDRE DU SYSTÈME DE NOMBRE NATUREL.

La relation « suit » est anti-réflexive et anti-symétrique, mais non transitive et n'est donc pas une relation d'ordre. Nous définirons une relation d'ordre basée sur l'addition d'entiers naturels.
Définition 1. un
Définition 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Assurons-nous que la relation Notons quelques propriétés des nombres naturels associées aux relations d'égalité et d'inégalité.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1,8 c.a.
1.9a
1.10a
Preuve. Les propriétés 1.1 et 1.2 découlent du caractère unique des opérations d'addition et de multiplication. Si un
2. ((une(N)une
Preuve. Puisque a(=a+1, alors a
3. Le plus petit élément de N est 0 et le plus petit élément de N\(0) est le nombre 1.
Preuve. Puisque ((a(N) a=0+a, alors 0(a, et, par conséquent, 0 est le plus petit élément de N. De plus, si x(N\(0), alors x=y(, y(N , ou x = y + 1. Il s'ensuit que ((x(N\(0)) 1(x, c'est-à-dire que 1 est le plus petit élément de N\(0).
4. Relation ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Preuve. Évidemment, pour tout nombre naturel a, il existe un nombre naturel n tel que
a Un tel nombre est, par exemple, n=a(. De plus, si b(N\(0), alors par la propriété 3
1(b(2)
A partir de (1) et (2), basés sur les propriétés 1.10 et 1.4, nous obtenons aa.

1.6. ORDRE COMPLET DU SYSTÈME DE NOMBRES NATURELS.

Définition 1. Si chaque sous-ensemble non vide d'un ensemble ordonné (M ; Assurons-nous que l'ordre total est linéaire. Soient a et b deux éléments quelconques d'un ensemble complètement ordonné (M ; Lemme . 1) un
Preuve.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
Théorème 1. L’ordre naturel sur l’ensemble des nombres naturels est l’ordre total.
Preuve. Soit M tout ensemble non vide de nombres naturels, et S l'ensemble de ses limites inférieures dans N, c'est-à-dire S=(x (x(N (((m(M) x(m). De la propriété 3 de l'article 5, il s'ensuit que 0(S. Si la deuxième condition de l'axiome 4 n(S (n((S) était également satisfaite, alors nous aurions S=N. En fait, S(N; à savoir, si a( M, alors a((S dû à l'inégalité a
Théorème 2. Tout ensemble non vide de nombres naturels borné ci-dessus a un plus grand élément.
Preuve. Soit M tout ensemble non vide de nombres naturels délimité ci-dessus, et S l'ensemble de ses limites supérieures, c'est-à-dire S=(x(x(N (((m(M) m(x). Soit x0 le plus petit élément de S. Alors l'inégalité m(x0 est valable pour tous les nombres m de M, et l'inégalité stricte m
Tâche 1.6.1. Prouve-le
UN) ;
b) ;
V) .
Problème 1.6.2. Soit ( une propriété des nombres naturels et k un nombre naturel arbitraire. Montrer que
a) tout entier naturel a la propriété (, dès que 0 a cette propriété pour tout n (0
b) tout nombre naturel supérieur ou égal à k a la propriété (, dès que k a cette propriété et pour tout n (k(n) de l'hypothèse que n a la propriété (, il s'ensuit que le nombre n+1 possède également cette propriété ;
c) tout nombre naturel supérieur ou égal à k a la propriété (, dès que k a cette propriété et pour tout n (n>k) sous l'hypothèse que tous les nombres t définis par la condition k(t

1.7. PRINCIPE D'INDUCTION.

En utilisant l'ordre complet du système des nombres naturels, on peut prouver le théorème suivant, sur lequel est basée l'une des méthodes de preuve, appelée méthode d'induction mathématique.
Théorème (principe d'induction). Toutes les affirmations de la séquence A1, A2, ..., An, ... sont vraies si les conditions suivantes sont remplies :
1) l'affirmation A1 est vraie ;
2) si les affirmations Ak sont vraies pour k
Preuve. Supposons le contraire : les conditions 1) et 2) sont remplies, mais le théorème n'est pas vrai, c'est-à-dire que l'ensemble M=(m(m(N\(0), Am est faux) n'est pas vide). Selon Selon le théorème 1 de l'article 6, il existe un plus petit élément, que nous désignons par n. Puisque selon la condition 1) A1 est vrai et An est faux, alors 1(n, et donc 1
Lors de la démonstration par induction, deux étapes peuvent être distinguées. Lors de la première étape, appelée base d’induction, la faisabilité de la condition 1) est vérifiée. Lors de la deuxième étape, appelée étape d’induction, la faisabilité de la condition 2) est prouvée. Dans ce cas, il y a le plus souvent des cas où prouver la véracité des déclarations An il n'est pas nécessaire d'utiliser la vérité des déclarations Ak pour k
Exemple. Démontrer l’inégalité Put =Sk. Il faut prouver la véracité des énoncés Ak=(Sk. La séquence d'énoncés mentionnée dans le théorème 1 peut être obtenue à partir du prédicat A(n) défini sur l'ensemble N ou sur son sous-ensemble Nk=(x (x(N , x(k), où k est un nombre naturel fixe.
En particulier, si k=1, alors N1=N\(0), et la numérotation des instructions peut être effectuée à l'aide des égalités A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Si k(1, alors la séquence d'énoncés peut être obtenue en utilisant les égalités A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. Conformément à cette notation, le théorème 1 peut être formulé sous une autre forme.
Théorème 2. Le prédicat A(m) est identiquement vrai sur l'ensemble Nk si les conditions suivantes sont satisfaites :
1) l'énoncé A(k) est vrai ;
2) si les affirmations A(m) sont vraies pour m
Tâche 1.7.1. Montrer que les équations suivantes n’ont pas de solutions dans le domaine des nombres naturels :
a) x+y=1 ;
b) 3x=2 ;
c)x2=2;
d) 3x+2=4 ;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2a.
Tâche 1.7.2. Prouver en utilisant le principe de l’induction mathématique :
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) .

1.8. Soustraction et division des nombres naturels.

Définition 1. La différence des nombres naturels a et b est un nombre naturel x tel que b+x=a. La différence entre les nombres naturels a et b est désignée par a-b, et l'opération consistant à trouver la différence est appelée soustraction. La soustraction n'est pas une opération algébrique. Cela découle du théorème suivant.
Théorème 1. La différence a-b existe si et seulement si b(a. Si la différence existe, alors il n'y en a qu'une.
Preuve. Si b(a, alors par définition de la relation (il existe un entier naturel x tel que b+x=a. Mais cela signifie aussi que x=a-b. Inversement, si la différence a-b existe, alors par définition 1 il existe un naturel x, que b+x=a. Mais cela signifie aussi que b(a.
Prouvons le caractère unique de la différence a-b. Soit a-b=x et a-b=y. Alors selon la définition 1 b+x=a, b+y=a. Donc b+x=b+y et donc x=y.
Définition 2. Le quotient de deux nombres naturels a et b(0) est un nombre naturel c tel que a=bc. L'opération de recherche d'un quotient est appelée division. La question de l'existence d'un quotient est résolue dans la théorie de divisibilité.
Théorème 2. Si un quotient existe, alors il n'y en a qu'un.
Preuve. Soit =x et =y. Alors selon la définition 2 a=bx et a=by. Donc bx=by et donc x=y.
A noter que les opérations de soustraction et de division sont définies quasi mot pour mot de la même manière que dans les manuels scolaires. Cela signifie que dans les paragraphes 1 à 7, basés sur les axiomes de Peano, une base théorique solide est posée pour l'arithmétique des nombres naturels et que sa présentation ultérieure est systématiquement effectuée dans le cours de mathématiques scolaire et dans le cours universitaire « Algèbre et théorie des nombres ». .
Tâche 1.8.1. Prouver la validité des affirmations suivantes, en supposant que toutes les différences apparaissant dans leurs formulations existent :
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (ab)(c=a(cb(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(bc)=(a+c)-b ;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (ab)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
n) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(ab)(a+b).
Problème 1.8.2. Démontrer la validité des énoncés suivants, en supposant que tous les quotients apparaissant dans leurs formulations existent.
UN) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; et) ; h) ; Et) ; À) ; l) ; m) ; n) ; O) ; P) ; R) .
Problème 1.8.3. Montrer que les équations suivantes ne peuvent pas avoir deux solutions naturelles différentes : a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (une,b(N).
Problème 1.8.4. Résolvez les équations suivantes en nombres naturels :
une) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problème 1.8.5. Montrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions dans le domaine des nombres naturels : a) x2-y2=14 ; b) x-y=xy ; V) ; G) ; e)x2=2x+1 ; e) x2=2y2.
Problème 1.8.6. Résoudre les inégalités suivantes en nombres naturels : a) ; b) ; V) ; d) x+y2 Problème 1.8.7. Montrer que dans le domaine des nombres naturels les relations suivantes sont valides : a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 SIGNIFICATION QUANTITATIVE NOMBRES NATURELS.
En pratique, les nombres naturels sont principalement utilisés pour compter des éléments, et pour cela, il est nécessaire d'établir la signification quantitative des nombres naturels dans la théorie de Peano.
Définition 1. L'ensemble (x (x(N, 1(x(n))) est appelé un segment de la série naturelle et est noté (1;n(.
Définition 2. Un ensemble fini est tout ensemble égal à un certain segment de la série naturelle, ainsi qu'un ensemble vide. Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.
Théorème 1. Un ensemble fini A n’est équivalent à aucun de ses propres sous-ensembles (c’est-à-dire un sous-ensemble différent de A).
Preuve. Si A=(, alors le théorème est vrai, puisque l’ensemble vide n’a pas de sous-ensembles propres. Soient A((et A également puissants (1,n((A((1,n()). Nous prouverons le théorème par récurrence sur n. Si n= 1, c'est-à-dire A((1,1(, alors le seul sous-ensemble propre de l'ensemble A est l'ensemble vide. Il est clair que A(et, par conséquent, pour n=1 l'ensemble Le théorème est vrai. Supposons que le théorème soit vrai pour n=m, c'est-à-dire que tous les ensembles finis équivalents au segment (1,m() n'ont pas de sous-ensembles propres équivalents. Soit A tout ensemble égal au segment (1,m +1(et (:(1,m+1(®A - une application bijective du segment (1,m+1(dans A. Si ((k) est noté ak, k=1,2,.. .,m+1, alors l'ensemble A peut s'écrire A=(a1, a2, ... , am, am+1). Notre tâche est de prouver que A n'a pas de sous-ensembles propres équivalents. Supposons le contraire ; soit B(A, B(A, B(A et f : A®B) une application bijective. On peut choisir des applications bijectives comme celle-ci (et f telle que am+1(B et f(am+1)=am+ 1.
Considérons les ensembles A1=A\(am+1) et B1=B\(am+1). Puisque f(am+1)=am+1, la fonction f va effectuer une application bijective de l'ensemble A1 sur l'ensemble B1. Ainsi, l’ensemble A1 sera égal à son propre sous-ensemble B1. Mais puisque A1((1,m(, cela contredit l’hypothèse d’induction.
Corollaire 1. L’ensemble des nombres naturels est infini.
Preuve. Des axiomes de Peano, il s'ensuit que l'application S:N®N\(0), S(x)=x( est bijective. Cela signifie que N est égal à son propre sous-ensemble N\(0) et, en vertu du théorème 1, n’est pas fini.
Corollaire 2. Tout ensemble fini non vide A équivaut à un et un seul segment de la série naturelle.
Preuve. Soient A((1,m(et A((1,n(. Alors (1,m(((1,n(, d'où, par le théorème 1, il s'ensuit que m=n. En effet, si l'on suppose que m
Le corollaire 2 permet d’introduire une définition.
Définition 3. Si A((1,n(, alors l'entier naturel n est appelé le nombre d'éléments de l'ensemble A, et le processus d'établissement d'une correspondance biunivoque entre les ensembles A et (1,n( s'appelle le comptage des éléments de l'ensemble A. Il est naturel de considérer le nombre d'éléments de l'ensemble vide comme le nombre zéro.
Il est inutile de parler de l’énorme importance du comptage dans la vie pratique.
A noter que, connaissant la signification quantitative d'un nombre naturel, il serait possible de définir l'opération de multiplication par addition, à savoir :
.
Nous n'avons délibérément pas emprunté cette voie pour montrer que l'arithmétique elle-même n'a pas besoin d'un sens quantitatif : le sens quantitatif d'un nombre naturel n'est nécessaire que dans les applications de l'arithmétique.

1.10. SYSTÈME DE NOMBRES NATURELS COMME UN ENSEMBLE DISCRET COMPLÈTEMENT ORDONNÉ.

Nous avons montré que l’ensemble des nombres naturels est complètement ordonné par rapport à l’ordre naturel. De plus, ((a(N) a
1. pour tout nombre a(N il y en a un voisin qui le suit dans la relation 2. pour tout nombre a(N\(0) il y en a un voisin qui le précède dans la relation A ensemble complètement ordonné (A;() avec les propriétés 1 et 2 nous appellerons ensemble discret complètement ordonné. Il s'avère que l'ordre complet avec les propriétés 1 et 2 est une propriété caractéristique du système des nombres naturels. En effet, soit A=(A;() tout ensemble complètement ordonné avec les propriétés 1 et 2. Définissons sur l'ensemble A la relation "suit" comme suit : a(=b, si b est un élément voisin suivant a dans la relation (. Il est clair que le plus petit élément de l'ensemble A ne suit aucun élément et, par conséquent, l'axiome 1 de Peano est satisfait.
Puisque la relation (est un ordre linéaire, alors pour tout élément a il y a un élément unique qui le suit et au plus un élément voisin précédent. Cela implique la validité des axiomes 2 et 3. Soit maintenant M n'importe quel sous-ensemble de l'ensemble A pour dont les conditions suivantes sont remplies :
1) a0(M, où a0 est le plus petit élément de A ;
2) une(M (une((M.
Montrons que M=N. Supposons le contraire, c'est-à-dire A\M((. Notons b le plus petit élément de A\M. Puisque a0(M, alors b(a0 et, par conséquent, il existe un élément c tel que c( =b. Depuis c
Ainsi, nous avons prouvé la possibilité d'une autre définition du système des nombres naturels.
Définition. Un système de nombres naturels est tout ensemble bien ordonné sur lequel les conditions suivantes sont satisfaites :
1. pour tout élément, il est suivi d'un élément adjacent ;
2. pour tout élément autre que le plus petit, il est précédé d'un élément adjacent.
Il existe d'autres approches pour définir le système des nombres naturels, sur lesquelles nous ne nous attarderons pas ici.

2. ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS.

2.1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME D'ENTIERS.
On sait que l'ensemble des nombres entiers, dans leur compréhension intuitive, est un anneau en ce qui concerne l'addition et la multiplication, et cet anneau contient tous les nombres naturels. Il est également clair qu’il n’existe pas de sous-anneau propre dans l’anneau des nombres entiers qui contiendrait tous les nombres naturels. Il s’avère que ces propriétés peuvent servir de base à une définition stricte du système d’entiers. Dans les paragraphes 2.2 et 2.3, l'exactitude de cette définition sera prouvée.
Définitions 1. Un système d'entiers est un système algébrique pour lequel les conditions suivantes sont remplies :
1. Le système algébrique est un anneau ;
2. L'ensemble des nombres naturels est contenu dans, et l'addition et la multiplication dans un anneau sur un sous-ensemble coïncident avec l'addition et la multiplication des nombres naturels, c'est-à-dire
3. (condition de minimalité). Z est un ensemble minimal d'inclusion avec les propriétés 1 et 2. En d'autres termes, si un sous-anneau d'un anneau contient tous les nombres naturels, alors Z0=Z.
La définition 1 peut recevoir un caractère axiomatique élargi. Les concepts initiaux de cette théorie axiomatique seront :
1) L'ensemble Z, dont les éléments sont appelés entiers.
2) Un entier spécial appelé zéro et noté 0.
3) Relations ternaires + et (.
Comme d'habitude, N désigne l'ensemble des nombres naturels avec addition (et multiplication (). Conformément à la définition 1, un système d'entiers est un système algébrique (Z; +, (, N) pour lequel les axiomes suivants sont valables :
1. (Axiomes en anneau.)
1.1.
Cet axiome signifie que + est une opération algébrique binaire sur l'ensemble Z.
1.2. ((une,b,c(Z) (une+b)+c=une+(b+c).
1.3. ((une,b(Z) une+b=b+une.
1.4. ((a(Z) a+0=a, c'est-à-dire que le nombre 0 est un élément neutre par rapport à l'addition.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, c'est-à-dire que pour chaque entier il y a un nombre opposé a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Cet axiome signifie que la multiplication est une opération algébrique binaire sur l'ensemble Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Axiomes reliant l'anneau Z au système des nombres naturels.)
2.1. N(Z.
2.2. ((une,b(N) une+b=une(b.
2.3. ((une,b(N) une(b=une(b.
3. (Axiome de minimalité.)
Si Z0 est un sous-anneau de l'anneau Z et N(Z0, alors Z0=Z.
Notons quelques propriétés du système entier.
1. Chaque entier peut être représenté comme la différence de deux nombres naturels. Cette représentation est ambiguë, avec z=ab et z=c-d, où a,b,c,d(N, si et seulement si a+d=b+c.
Preuve. Notons Z0 l'ensemble de tous les entiers dont chacun peut être représenté comme la différence de deux nombres naturels. Évidemment, ((a(N) a=a-0, et donc N(Z0.
Ensuite, soit x,y(Z0, c'est-à-dire x=a-b, y=c-d, où a,b,c,d(N. Alors x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). De là, il est clair que x-y, x(y(Z0 et, par conséquent, Z0 est un sous-anneau de l'anneau Z contenant l'ensemble N. Mais alors, d'après l'axiome 3, Z0=Z et ainsi la première partie de la propriété 1 est prouvée. La deuxième affirmation de cette propriété est évidente.
2. L'anneau des entiers est un anneau commutatif avec unité, et le zéro de cet anneau est l'entier naturel 0, et l'unité de cet anneau est l'entier naturel 1.
Preuve. Soit x,y(Z. D'après la propriété 1 x=a-b, y=c-d, où a,b,c,d(N. Alors x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c) ( a(d(b)-(d(a(c(b). Par conséquent, en raison de la commutativité de la multiplication des nombres naturels, nous concluons que xy=yx. La commutativité de la multiplication dans l'anneau Z a été prouvée. Le Les énoncés restants de la propriété 2 découlent des égalités évidentes suivantes, dans lesquelles 0 et 1 désignent les nombres naturels zéro et un : x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=ab=x. x(1=(ab)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=ab=x .

2.2. EXISTENCE D'UN SYSTÈME DE NOMBRES ENTIERS.

Le système entier est défini en 2.1 comme l'anneau d'inclusion minimal contenant tous les nombres naturels. La question se pose : une telle bague existe-t-elle ? En d’autres termes, le système d’axiomes de 2.1 est-il cohérent ? Pour prouver la cohérence de ce système d’axiomes, il est nécessaire de construire son interprétation dans une théorie évidemment cohérente. Une telle théorie peut être considérée comme l’arithmétique des nombres naturels.
Commençons donc par construire une interprétation du système d'axiomes 2.1. Nous considérerons l'ensemble comme l'ensemble initial. Sur cet ensemble on définit deux opérations binaires et une relation binaire. Puisque l'addition et la multiplication de paires se réduisent à l'addition et à la multiplication d'entiers naturels, alors, comme pour les nombres naturels, l'addition et la multiplication de paires sont commutatives, associatives et la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Vérifions par exemple la commutativité d'addition de couples : +===+.
Considérons les propriétés de la relation ~. Puisque a+b=b+a, alors ~, c'est-à-dire que la relation ~ est réflexive. Si ~, c'est-à-dire a+b1=b+a1, alors a1+b=b1+a, c'est-à-dire ~. Cela signifie que la relation est symétrique. Laissez plus loin ~ et ~. Alors les égalités a+b1=b+a1 et a1+b2=b1+a2 sont vraies. En additionnant ces égalités, on obtient a+b2=b+a2, soit ~. Cela signifie que la relation ~ est également transitive et donc équivalence. La classe d'équivalence contenant une paire sera notée par. Ainsi, une classe d'équivalence peut être désignée par n'importe laquelle de ses paires et en même temps
(1)
Nous désignons l’ensemble de toutes les classes d’équivalence par. Notre tâche est de montrer que cet ensemble, avec la définition appropriée des opérations d'addition et de multiplication, sera une interprétation du système d'axiomes de 2.1. On définit les opérations sur un ensemble par les égalités :
(2)
(3)
Si et, c'est-à-dire que sur l'ensemble N les égalités a+b(=b+a(, c+d(=a+c() sont vraies, alors l'égalité (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), d'où, grâce à (1), on obtient cela. Cela signifie que l'égalité (2) définit une opération d'addition unique sur un ensemble, indépendante du choix des couples désignant les classes à ajouter. Il est vérifié de manière similaire et l'unicité de la multiplication des classes. Ainsi, les égalités (2) et (3) définissent des opérations algébriques binaires sur l'ensemble.
Puisque l'addition et la multiplication de classes se réduisent à l'addition et à la multiplication de paires, ces opérations sont commutatives, associatives, et la multiplication de classes est distributive par rapport à l'addition. Des égalités, on conclut que la classe est un élément neutre par rapport à l'addition et que pour chaque classe il existe une classe qui lui est opposée. Cela signifie que l'ensemble est un anneau, c'est-à-dire que les axiomes du groupe 1 de 2.1 sont satisfaits.
Considérons un sous-ensemble d'un anneau. Si a(b, alors par (1) , et si a
Sur l'ensemble on définit la relation binaire (suit (; à savoir, une classe est suivie d'une classe, où x(est un nombre naturel suivant x. La classe qui suit naturellement est notée (. Il est clair qu'une classe ne suit pas à toute classe et à chaque classe il y a une classe qui la suit et, de plus, une seule. Ce dernier signifie que la relation (suit (est une opération algébrique unaire sur l'ensemble N.
Considérons la cartographie. Évidemment, cette application est bijective et les conditions f(0)= , f(x()==(=f(x)(). Cela signifie que l'application f est un isomorphisme de l'algèbre (N;0,() sur l'algèbre (;, (). En d'autres termes, l'algèbre (;,() est une interprétation du système d'axiome de Peano. En identifiant ces algèbres isomorphes, c'est-à-dire en supposant que l'ensemble N lui-même est un sous-ensemble de l'algèbre anneau. Cette même identification dans les égalités évidentes conduit aux égalités a(c =a+c, a(c=ac), ce qui signifie que l'addition et la multiplication dans un anneau sur un sous-ensemble N coïncident avec l'addition et la multiplication d'entiers naturels. Ainsi, la satisfiabilité des axiomes du groupe 2 a été établie. Il reste à vérifier la satisfiabilité de l'axiome de minimalité.
Soit Z0 n'importe quel sous-anneau de l'anneau contenant l'ensemble N et. Notez que et, par conséquent, . Mais puisque Z0 est un anneau, la différence de ces classes appartient aussi à l’anneau Z0. À partir des égalités -= (= nous concluons que (Z0 et, par conséquent, Z0=. La cohérence du système d'axiomes de la clause 2.1 a été prouvée.

2.3. UNICACITÉ DU SYSTÈME DE NOMBRES ENTIERS.

Il n’existe qu’un seul système d’entiers tels qu’ils sont compris intuitivement. Cela signifie que le système d'axiomes définissant les entiers doit être catégorique, c'est-à-dire que deux interprétations quelconques de ce système d'axiomes doivent être isomorphes. Catégorique signifie que, à isomorphisme près, il n’existe qu’un seul système d’entiers. Assurons-nous que c'est réellement le cas.
Soit (Z1;+,(,N) et (Z2;(,(,N)) deux interprétations quelconques du système d'axiomes de la clause 2.1. Il suffit de prouver l'existence d'une telle application bijective f:Z1®Z2 pour lesquels les nombres naturels restent fixes et sauf que, pour tous les éléments x et y de l'anneau Z1, les égalités suivantes sont vérifiées :
(1)
. (2)
Notez que puisque N(Z1 et N(Z2), alors
, une(b=une(b. (3)
Soient x(Z1 et x=a-b, où a,b(N. Associons à cet élément x=a-b l'élément u=a(b, où (soustraction dans l'anneau Z2. Si a-b=c-d, alors a+d =b+c, ​​d'où, en vertu de (3), a(d=b(c et donc a(b=c(d). Cela signifie que notre correspondance ne dépend pas du représentant de l'élément x dans le forme de la différence de deux nombres naturels et ainsi l'application f est déterminée : Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Il est clair que si v(Z2 et v=c(d, alors v=f(c-d ). Cela signifie que chaque élément de Z2 est une image sous l’application f et, par conséquent, l’application f est surjective.
Si x=a-b, y=c-d, où a,b,c,d(N et f(x)=f(y), alors a(b=c(d. Mais alors a(d=b(d, in force (3) a+d=b+c, ​​​​soit a-b=c-d Nous avons prouvé que l'égalité f(x)=f(y) implique l'égalité x=y, c'est-à-dire que l'application f est injective .
Si a(N, alors a=a-0 et f(a)=f(a-0)=a(0=a. Cela signifie que les nombres naturels sont fixés sous le mappage f. De plus, si x=a-b, y=c-d, où a,b,c,d(N, alors x+y=(a+c)- et f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). La validité de l'égalité (1) est prouvée. Vérifions l'égalité (2). Puisque f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), et d'autre part f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Cela signifie f(xy)=f(x)(f(y), ce qui complète la preuve de la catégorisation du système d'axiomes p.2.1.

2.4. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME DE NOMBRES RATIONNELS.

L'ensemble Q des nombres rationnels dans leur compréhension intuitive est un corps pour lequel l'ensemble Z des nombres entiers est un sous-anneau. Il est évident que si Q0 est un sous-champ du corps Q contenant tous des entiers, alors Q0=Q. Nous utiliserons ces propriétés comme base pour une définition stricte du système des nombres rationnels.
Définition 1. Un système de nombres rationnels est un système algébrique (Q;+,(;Z) pour lequel les conditions suivantes sont satisfaites :
1. le système algébrique (Q;+,() est un corps ;
2. l'anneau Z des entiers est un sous-anneau du corps Q ;
3. (condition de minimalité) si un sous-champ Q0 d'un champ Q contient un sous-anneau Z, alors Q0=Q.
En bref, le système de nombres rationnels est un champ d'inclusion minimal contenant un sous-ensemble d'entiers. Il est possible de donner une définition axiomatique plus détaillée du système des nombres rationnels.
Théorème. Tout nombre rationnel x peut être représenté comme le quotient de deux entiers, c'est-à-dire
, où a,b(Z, b(0. (1)
Cette représentation est ambiguë, et où a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Preuve. Notons Q0 l'ensemble de tous les nombres rationnels représentables sous la forme (1). Il suffit de s'assurer que Q0=Q. Soit, où a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Alors d'après les propriétés du champ nous avons : , et pour c(0. Cela signifie que Q0 est fermé sous soustraction et division par des nombres non est égal à zéro, et est donc un sous-champ du champ Q. Puisque tout entier a est représentable sous la forme, alors Z(Q0. De là, en raison de la condition de minimalité, il s'ensuit que Q0=Q. La preuve de la deuxième partie du théorème est évidente.

2.5. EXISTENCE D'UN SYSTÈME DE NUMÉROS RATIONNELS.

Le système de nombres rationnels est défini comme un corps minimal contenant un sous-ensemble d'entiers. La question se pose naturellement : un tel champ existe-t-il, c'est-à-dire le système d'axiomes qui définit les nombres rationnels est-il cohérent ? Pour prouver la cohérence, il est nécessaire de construire une interprétation de ce système d’axiomes. Dans ce cas, on peut s’appuyer sur l’existence d’un système d’entiers. Lors de la construction d’une interprétation, nous considérerons l’ensemble Z(Z\(0) comme le point de départ. Sur cet ensemble nous définissons deux opérations algébriques binaires
, (1)
(2)
et relation binaire
(3)
L’opportunité précisément de cette définition des opérations et des relations découle du fait que dans l’interprétation que nous construisons, le couple exprimera le particulier.
Il est facile de vérifier que les opérations (1) et (2) sont commutatives, associatives et que la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Toutes ces propriétés sont testées par rapport aux propriétés correspondantes d’addition et de multiplication d’entiers. Vérifions, par exemple, l'associativité des couples multiplicateurs : .
De même, on vérifie que la relation ~ est une équivalence, et, par conséquent, l'ensemble Z(Z\(0) est divisé en classes d'équivalence. On note l'ensemble de toutes les classes par, et la classe contenant une paire par. Ainsi , une classe peut être désignée par n'importe laquelle de ses paires et En vertu de la condition (3), on obtient :
. (4)
Notre tâche est de définir l'opération d'addition et de multiplication sur un ensemble pour qu'il soit un corps. On définit ces opérations par des égalités :
, (5)
(6)
Si, c'est-à-dire ab1=ba1 et, cd1=dc1, alors en multipliant ces égalités, nous obtenons (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), ce qui signifie que cela nous convainc que l'égalité (6 ) en effet définit une opération unique sur un ensemble de classes, indépendante du choix des représentants dans chaque classe. L'unicité de l'opération (5) est vérifiée de la même manière.
Puisque l'addition et la multiplication de classes se réduisent à l'addition et à la multiplication de paires, les opérations (5) et (6) sont commutatives, associatives et la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Des égalités, nous concluons que la classe est constituée d'éléments neutres par rapport à l'addition et que pour chaque classe il y a un élément qui lui est opposé. De même, des égalités il résulte qu'une classe est un élément neutre par rapport à la multiplication et pour chaque classe il existe une classe inverse. Cela signifie qu'il s'agit d'un champ par rapport aux opérations (5) et (6) ; la première condition de la définition de la clause 2.4 est satisfaite.
Considérons ensuite l'ensemble. Évidemment, . L'ensemble est fermé par soustraction et multiplication et est donc un sous-anneau du corps. Vraiment, . Considérons ensuite la cartographie, . La surjectivité de cette cartographie est évidente. Si f(x)=f(y), c'est-à-dire alors x(1=y(1 ou x=y. Donc l'application f est également injective. De plus, . Ainsi, l'application f est un isomorphisme d'un anneau dans un anneau. En identifiant qu'il s'agit d'anneaux isomorphes, nous pouvons supposer que l'anneau Z est un sous-anneau du corps, c'est-à-dire que la condition 2 dans la définition de la clause 2.4 est satisfaite. Il reste à prouver la minimalité du corps. Soit n'importe quel sous-champ du champ et, et let. Puisque, a, alors. Mais puisque - champ, alors le quotient de ces éléments appartient également au champ. Ainsi, il est prouvé que si , alors, c'est-à-dire. L'existence d'un système des nombres rationnels est prouvée.

2.6. UNICACITÉ DU SYSTÈME DE NUMÉROS RATIONNELS.

Puisqu’il n’existe qu’un seul système de nombres rationnels dans leur compréhension intuitive, la théorie axiomatique des nombres rationnels présentée ici doit être catégorique. Catégorique signifie que, à isomorphisme près, il n’existe qu’un seul système de nombres rationnels. Montrons que c'est bien le cas.
Soit (Q1;+, (; Z) et (Q2; (, (; Z)) deux systèmes quelconques de nombres rationnels. Il suffit de prouver l'existence d'une application bijective sous laquelle tous les entiers restent fixes et, en plus , les conditions sont remplies
(1)
(2)
pour tous les éléments x et y du champ Q1.
Le quotient des éléments a et b dans le champ Q1 sera noté, et dans le champ Q2 par a:b. Puisque Z est un sous-anneau de chacun des champs Q1 et Q2, alors pour tout entier a et b les égalités sont vraies
, . (3)
Laissez et, où, . Associons à cet élément x l'élément y=a:b du corps Q2. Si l'égalité est vraie dans le corps Q1, où, alors par le théorème 2.4 dans l'anneau Z l'égalité ab1=ba1 est vraie, ou en vertu de (3) l'égalité est vraie, et alors par le même théorème l'égalité a:b= a1:b1 est valable dans le champ Q2 . Cela signifie qu'en associant l'élément y=a:b du champ Q2 à un élément du champ Q1, nous définissons une cartographie, .
Tout élément du champ Q2 peut être représenté par a:b, où et est donc l'image d'un élément du champ Q1. Cela signifie que l'application f est surjective.
Si, alors dans le champ Q1 et ensuite. Ainsi, l'application f est bijective et tous les entiers restent fixes. Reste à prouver la validité des égalités (1) et (2). Soit et, où a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Alors et, d'où, en vertu de (3) f(x+y)=f(x)(f(y). De même, et où.
L'isomorphisme des interprétations (Q1;+, (; Z) et (Q2; (, (; Z)) a été prouvé.

RÉPONSES, INSTRUCTIONS, SOLUTIONS.

1.1.1. Solution. Soit la condition de l'axiome 4 (une propriété des nombres naturels telle que ((0) et. Soit. Alors M satisfait la prémisse de l'axiome 4, puisque ((0)(0(M et. Par conséquent, M=N, c'est-à-dire que tout nombre naturel a la propriété (. Inversement. Supposons que pour toute propriété (du fait que ((0) et, il s'ensuit. Soit M un sous-ensemble de N tel que 0(M et. Montrons que M = N. Introduisons la propriété (, en supposant. Alors ((0), puisque, et. Ainsi donc, M=N.
1.1.2. Réponse : Les affirmations des 1er et 4ème axiomes de Peano sont vraies. L'énoncé du 2ème axiome est faux.
1.1.3. Réponse : les affirmations 2,3,4 des axiomes de Peano sont vraies. L’énoncé du 1er axiome est faux.
1.1.4. Les affirmations 1, 2, 3 des axiomes de Peano sont vraies. L'énoncé du 4ème axiome est faux. Direction : prouver que l'ensemble satisfait à la prémisse de l'axiome 4, formulé en termes de l'opération mais.
1.1.5. Indice : pour prouver la véracité de l'énoncé de l'axiome 4, considérons un sous-ensemble M de A satisfaisant les conditions : a) 1((M, b) , et l'ensemble. Prouvez-le. Alors M=A.
1.1.6. Les affirmations des 1er, 2e et 3e axiomes de Peano sont vraies. L'énoncé du 4ème axiome de Peano est faux.
1.6.1. a) Solution : Prouvez d’abord que s’il est 1 heure du matin. Dos. Laisse-moi
1.6.2. a) Solution : Supposons le contraire. Soit M l'ensemble de tous les nombres qui n'ont pas la propriété (. Par hypothèse, M((. D'après le théorème 1, M a le plus petit élément n(0. Tout nombre x
1.8.1. f) Utilisez les éléments e) et c) : (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, donc (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Utiliser la propriété.
k) Utilisez l'élément b).
l) Utilisez les éléments b) et les éléments h).
1.8.2. c) Nous avons donc . Donc, .
d) Nous l'avons fait. Ainsi, .
et) .
1.8.3. a) Si (et (sont des solutions différentes de l'équation ax2+bx=c, alors a(2+b(=a(2+b()). Par contre, si, par exemple, (b) Soit (et ( être des solutions différentes de l'équation. Si ((. Cependant (2=a(+b>a(, donc, (>a. Nous avons une contradiction.
c) Soient (et ( des racines différentes de l'équation et (>(. Alors 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Donc a((+()=2, mais (+(>2, donc a((+()>2, ce qui est impossible.
1.8.4. a)x=3 ; b) x=y=2. Indice : puisque et, nous avons x=y ; c) x=y(y+2), y - n'importe quel nombre naturel ; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Jusqu'aux permutations x=1, y=2, z=3. Solution : Soit, par exemple, x(y(z. Alors xyz=x+y+z(3z, c'est-à-dire xy(3. Si xy=1, alors x=y=1 et z=2+z, ce qui est impossible. Si xy=2, alors x=1, y=2. Dans ce cas, 2z=3+z, soit z=3. Si xy=3, alors x=1, y=3. Alors 3z= 4+z, c'est-à-dire z=2, ce qui contredit l'hypothèse y(z.
1.8.5. b) Si x=a, y=b est une solution de l'équation, alors ab+b=a, c'est-à-dire a>ab, ce qui est impossible. d) Si x=a, y=b est une solution de l'équation, alors b
1.8.6. a) x=ky, où k,y sont des nombres naturels arbitraires et y(1. b) x est un nombre naturel arbitraire, y=1. c) x est un nombre naturel arbitraire, y=1. d) Il n'y a pas de solution. e)x1=1; x2=2; x3=3. e)x>5.
1.8.7. a) Si a=b, alors 2ab=a2+b2. Soit, par exemple, un

LITTÉRATURE

1. Redkov M.I. Systèmes numériques. /Recommandations méthodologiques pour l'étude du cours "Systèmes numériques". Partie 1.- Omsk : Institut pédagogique d'État d'Omsk, 1984.- 46 p.
2. Ershova T.I. Systèmes numériques. /Développement méthodologique pour les cours pratiques.- Sverdlovsk : SGPI, 1981. - 68 p.