Формула вычисления длины вектора в пространстве. Как найти координаты вектора
Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.
Определение 3
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.
Определение 4
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).
Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.
Определение 5
Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:
$\overline{c}={m,n}$
Как найти длину вектора?
Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:
Пример 1
Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.
Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).
Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит
$=x$, $[ OA_2]=y$
Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим
$|\overline{α}|^2=^2+^2$
$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$
$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$
Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.
Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.
Пример задач
Пример 2
Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.
Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что
На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).
Формула определения координат вектора для двухмерных задач.
В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).
Формула определения координат вектора для пространственных задач.
В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).
Свойства координат вектора.
1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .
2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.
3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .
4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .
6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.
Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.
Определение 3
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.
Определение 4
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).
Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.
Определение 5
Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:
$\overline{c}={m,n}$
Как найти длину вектора?
Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:
Пример 1
Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.
Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).
Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит
$=x$, $[ OA_2]=y$
Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим
$|\overline{α}|^2=^2+^2$
$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$
$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$
Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.
Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.
Пример задач
Пример 2
Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.
Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что
Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.
Определение 3
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.
Определение 4
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).
Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.
Определение 5
Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:
$\overline{c}={m,n}$
Как найти длину вектора?
Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:
Пример 1
Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.
Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).
Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит
$=x$, $[ OA_2]=y$
Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим
$|\overline{α}|^2=^2+^2$
$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$
$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$
Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.
Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.
Пример задач
Пример 2
Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.
Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что
12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.
Например, вектор, направленный из точки A к точке B , можно обозначить a ,
Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B . Отсюда, 0 = – 0 .
Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a | . В частности, | 0 | = 0.
Векторы называются коллинеарными , если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b .
Три и более векторов называются компланарными , если они лежат в одной плоскости.
Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически . (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что
a = AB and b = CD ,
тогда вектор __ __
a + b = AB + CD
есть результат выполнения двух операций:
a ) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;
б ) геометрического сложения , т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.
Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + (– b ) .
Законы сложения.
I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).
II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).
III. a + 0 = a .
IV. a + (– a ) = 0 .
Законы умножения вектора на число.
I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , (– 1) · a = – a .
II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .
III. m (n a ) = (m n) a . (С о ч е т а т е л ь н ы й
закон умножения на число ).
IV. (m + n ) a = m a + n a , (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й
m (a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).
Скалярное произведение векторов. __ __
Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:
( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Скалярное произведение (a , a ), равное | a | 2 , называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:
Скалярное произведение двух векторов:
- положительно , если угол между векторами острый ;
- отрицательно, если угол между векторами тупой .
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):
Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:
I. (a , b ) = ( b , a ) . (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)
II. (m a , b ) = m ( a , b ) .
III. (a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ). (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон)
Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i , j и k , связанные с координатными осями: i – с осью Х , j – с осью Y и k – с осью Z . В соответствии с этим определением:
(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,
| i | = | j | = | k | = 1.
Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = (x, y, z ). Здесь x , y , z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.
Пусть a = (x, y, z ); b = (u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw .
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Длина (модуль) вектора a = (x , y , z ) равна:
Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов может выполняться по координатам:
a + b = (x + u , y + v , z + w ) ;
a – b = (x – u , y – v , z – w ) .
Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b ] векторов a и b (в указанном порядке) называется вектор:
Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :
| [ a, b ] | = | a | | b | sin (a, b ) ,
т.e. длина ( модуль ) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин (модулей) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина (модуль) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Свойства векторного произведения.
I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b .
(Докажите это, пожалуйста!) .
II. [ a , b ] = – [ b , a ] .
III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .
IV. [ a + b , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] .
V. [ a , [ b , c ] ] = b (a , c ) – c ( a , b ) .
VI. [ [ a , b ] , c ] = b (a , c ) – a (b , c ) .
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = (x, y, z ) и b = (u, v, w ) :
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = (x, y, z ), b = (u, v, w ) и c = (p, q, r ) :
П р и м е р. Даны векторы: a = (1, 2, 3) и b = (– 2 , 0 ,4).
Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол
между этими векторами.
Р е ш е н и е. Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:
a). скалярное произведение:
( a , b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;
б). векторное произведение:
" |