Kümnendarvu korrutamine naturaalarvuga. Kümnendkohtade korrutamine: reeglid, näited, lahendused Reegel kümnendkohtade korrutamiseks tavaliste murdudega

§ 1 Kümnendmurdude korrutamise reegli kohaldamine

Selles õppetükis tutvustate ja õpite rakendama kümnendmurdude korrutamise reeglit ja kümnendmurdu kohaühikuga (nt 0,1, 0,01 jne) korrutamise reeglit. Lisaks võtame kümnendmurde sisaldavate avaldiste väärtuste leidmisel arvesse korrutamise omadusi.

Lahendame probleemi:

Sõiduki kiirus on 59,8 km/h.

Kui kaugele sõidab auto 1,3 tunniga?

Teatavasti tuleb raja leidmiseks kiirus korrutada ajaga, s.t. 59,8 korda 1,3.

Kirjutame arvud veergu ja hakkame neid korrutama ilma komasid märkamata: 8 korda 3 on 24, 4 kirjutame mõttes 2, 3 korda 9 on 27 pluss 2, saame 29, kirjutame 9, 2 sisse meie meelt. Nüüd korrutame 3 5-ga, see on 15 ja lisame veel 2, saame 17.

Minge teisele reale: 1 korda 8 on 8, 1 korda 9 on 9, 1 korda 5 on 5, lisage need kaks rida, saame 4, 9+8 on 17, 7 kirjutage 1 pähe, 7 +9 on 16 pluss 1, saab 17, 7 kirjutame mõttes 1, 1+5 pluss 1 saame 7.

Nüüd vaatame, mitu komakohta on mõlemas kümnendmurrus! Esimesel murrul on üks koht pärast koma ja teisel murdosal on üks koht pärast koma, kokku kaks kohta. Seega tuleb tulemuses paremale lugeda kaks numbrit ja panna koma, s.t. saab 77,74. Seega, kui korrutada 59,8 1,3-ga, saime 77,74. Seega on ülesande vastus 77,74 km.

Seega on kahe kümnendmurru korrutamiseks vaja:

Esiteks: tehke korrutamine, ignoreerides komasid

Teiseks: eraldage saadud korrutis komaga nii palju numbreid paremal, kui palju on koma järel mõlemas teguris kokku.

Kui saadud korrutis on vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldada, siis tuleb ette määrata üks või mitu nulli.

Näiteks: 0,145 korda 0,03 saame tootes 435 ja peame eraldama 5 paremat numbrit komaga, nii et lisame enne numbrit 4 veel 2 nulli, paneme koma ja lisame veel ühe nulli. Saame vastuseks 0,00435.

§ 2 Kümnendmurdude korrutamise omadused

Kümnendmurdude korrutamisel säilivad kõik samad korrutusomadused, mis kehtivad naturaalarvude puhul. Teeme mõned ülesanded.

Ülesanne number 1:

Lahendame selle näite, rakendades liitmise suhtes korrutamise jaotusomadust.

5,7 (ühistegur) võetakse sulgudest välja, 3,4 pluss 0,6 jääb sulgudesse. Selle summa väärtus on 4 ja nüüd tuleb 4 korrutada 5,7-ga, saame 22,8.

Ülesanne number 2:

Kasutame korrutamise kommutatiivset omadust.

Kõigepealt korrutame 2,5 4-ga, saame 10 täisarvu ja nüüd peame 10 korrutama 32,9-ga ja saame 329.

Lisaks võite kümnendmurdude korrutamisel märgata järgmist:

Arvu korrutamisel vale kümnendmurruga, s.t. suurem kui 1 või sellega võrdne, see suureneb või ei muutu, näiteks:

Arvu korrutamisel korraliku kümnendmurruga, s.o. vähem kui 1, siis see väheneb, näiteks:

Lahendame näite:

23,45 korda 0,1.

Peame 2345 korrutama 1-ga ja eraldama kolm koma paremalt, saame 2,345.

Nüüd lahendame veel ühe näite: 23,45 jagatud 10-ga, peame koma ühe koha võrra vasakule nihutama, sest 1 null ühes bitti, saame 2,345.

Nendest kahest näitest võime järeldada, et kümnendkoha korrutamine arvuga 0,1, 0,01, 0,001 jne tähendab arvu jagamist 10, 100, 1000 jne, s.t. kümnendmurrus nihutage koma vasakule nii mitme numbri võrra, kui palju on kordajas nullid 1 ees.

Saadud reeglit kasutades leiame toodete väärtused:

13,45 korda 0,01

arvu 1 ees on 2 nulli, seega nihutame koma 2 numbri võrra vasakule, saame 0,1345.

0,02 korda 0,001

arvu 1 ees on 3 nulli, mis tähendab, et liigutame koma kolm numbrit vasakule, saame 0,00002.

Seega olete selles õppetükis õppinud, kuidas korrutada kümnendmurde. Selleks tuleb lihtsalt sooritada korrutamine, ignoreerides komasid, ja eraldada saadud korrutis paremal pool komaga nii palju numbreid, kui on mõlemas teguris kokku koma järel. Lisaks tutvuti kümnendmurru 0,1, 0,01 jne korrutamise reegliga ning vaagiti ka kümnendmurrude korrutamise omadusi.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

Matemaatika 5. klass. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ja teised 31. väljaanne, ster. - M: 2013.
Didaktilised materjalid matemaatikas 5. klass. Autor - Popov M.A. - aasta 2013
Arvutame ilma vigadeta. Töö enesekontrolliga matemaatika 5.-6.klassis. Autor - Minaeva S.S. - aasta 2014
Didaktilised materjalid matemaatikas 5. klass. Autorid: Dorofejev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Kontroll- ja iseseisev töö matemaatikas 5. klass. Autorid - Popov M.A. - aasta 2012
Matemaatika. 5. klass: õpik. üldhariduskoolide õpilastele. institutsioonid / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. väljaanne, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Kümnendkorrutis toimub kolmes etapis.

Kümnendkohad kirjutatakse veergu ja korrutatakse tavaliste arvudena.

Loendame kümnendkohtade arvu esimese ja teise kümnendkoha jaoks. Lisame nende numbri.

Saadud tulemuses loendame paremalt vasakule nii palju numbreid, kui need ülaltoodud lõigus selgus, ja paneme koma.

Kuidas kümnendkohti korrutada

Kirjutame veergu kümnendmurrud ja korrutame need naturaalarvudena, ignoreerides komasid. See tähendab, et me käsitleme 3,11 kui 311 ja 0,01 kui 1.

Saabus 311 . Nüüd loeme mõlema murru koma järel olevate märkide (numbrite) arvu. Esimeses kümnendkohas on kaks numbrit ja teises kaks. Komade järel olevate numbrite koguarv:

Loendame saadud numbrist paremalt vasakule 4 tähemärki (numbrit). Tulemuses on vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldamiseks. Sel juhul vajate vasakule määrata puuduv arv nulle.

Meil on puudu üks number, seega omistame vasakule ühe nulli.

Mis tahes kümnendmurru korrutamisel kohta 10; 100; 1000 jne. koma liigub paremale nii palju numbreid, kui ühe järel on nulle.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

Kümnendkoha korrutamine 0,1-ga; 0,01; 0,001 jne, tuleb selles murdes koma vasakule nihutada nii mitme numbri võrra, kui ühiku ees on nulle.

Loeme nulli täisarvu!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1,256 0,01 = 0,012 56

Et mõista, kuidas kümnendkohti korrutada, vaatame konkreetseid näiteid.

Kümnendkorrutamise reegel

1) Korrutame, jättes koma tähelepanuta.

2) Selle tulemusena eraldame koma järel sama palju numbreid, kui on mõlemas teguris koma järel kokku.

Leidke kümnendkohtade korrutis:

Kümnendkohtade korrutamiseks korrutame komadele tähelepanu pööramata. See tähendab, et me ei korruta 6,8 ja 3,4, vaid 68 ja 34. Selle tulemusena eraldame pärast koma sama palju numbreid, kui on mõlemas teguris kokku komade järel. Esimeses kordajas on koma järel üks number, teises samuti üks. Kokku eraldame pärast koma kaks numbrit Nii saime lõpliku vastuse: 6,8∙3,4=23,12.

Kümnendkohtade korrutamine koma arvesse võtmata. See tähendab, et selle asemel, et 36,85 korrutada 1,14-ga, korrutame 3685 14-ga. Saame 51590. Nüüd tuleb selles tulemuses eraldada komaga nii palju numbreid, kui palju on mõlemas teguris kokku. Esimesel numbril on pärast koma kaks kohta, teisel üks. Kokku eraldame kolm numbrit komaga. Kuna sisestuse lõpus on pärast koma null, siis me seda vastuseks ei kirjuta: 36,85∙1,4=51,59.

Nende kümnendkohtade korrutamiseks korrutame arvud komadele tähelepanu pööramata. See tähendab, et korrutame naturaalarvud 2315 ja 7. Saame 16205. Selles arvus tuleb pärast koma eraldada neli numbrit - nii palju kui neid on mõlemas teguris kokku (mõlemas kaks). Lõplik vastus: 23,15∙0,07=1,6205.

Kümnendmurru korrutamine naturaalarvuga toimub samal viisil. Korrutame arvud komale tähelepanu pööramata ehk 75 korrutame 16-ga. Saadud tulemuses peaks koma järel olema nii palju märke, kui palju on mõlemas teguris kokku - üks. Seega 75∙1,6=120,0=120.

Kümnendmurdude korrutamist alustame naturaalarvude korrutamisega, kuna me ei pööra komadele tähelepanu. Pärast seda eraldame koma järel nii palju numbreid, kui on mõlemas teguris kokku. Esimesel numbril on kaks komakohta ja teisel kaks kohta pärast koma. Kokku peaks koma järel olema neli numbrit: 4,72∙5,04=23,7888.

Ja veel paar näidet kümnendmurdude korrutamiseks:

www.for6cl.uznateshe.ru

Kümnendmurdude korrutamine, reeglid, näited, lahendid.

Pöördume kümnendmurdudega järgmise toimingu uurimise poole, nüüd kaalume põhjalikult kümnendkohtade korrutamine. Kõigepealt käsitleme kümnendmurdude korrutamise üldpõhimõtteid. Seejärel liigume edasi kümnendmurru kümnendmurruga korrutamise juurde, näitame, kuidas toimub kümnendmurdude korrutamine veeruga, vaatleme näidete lahendusi. Järgmisena analüüsime kümnendmurdude korrutamist naturaalarvudega, eelkõige 10, 100 jne. Kokkuvõtteks räägime kümnendmurdude korrutamisest tavaliste murdude ja segaarvudega.

Ütleme kohe, et selles artiklis räägime ainult positiivsete kümnendmurdude korrutamisest (vt positiivseid ja negatiivseid numbreid). Ülejäänud juhtumeid analüüsitakse artiklites ratsionaalarvude korrutamine ja reaalarvude korrutamine.

Leheküljel navigeerimine.

Kümnendkohtade korrutamise üldpõhimõtted

Arutleme üldiste põhimõtete üle, mida kümnendmurdudega korrutamise sooritamisel järgida.

Kuna lõpu kümnendmurrud ja lõpmatud perioodilised murrud on harilike murdude kümnendmurrud, on selliste kümnendkohtade korrutamine sisuliselt harilike murdude korrutamine. Teisisõnu, viimaste kümnendkohtade korrutamine, lõplike ja perioodiliste kümnendmurdude korrutamine ja perioodiliste kümnendkohtade korrutamine taandub tavaliste murdude korrutamisele pärast kümnendmurdude teisendamist tavalisteks murdudeks.

Vaatleme näiteid kümnendmurdude korrutamise häälpõhimõtte rakendamisest.

Tehke kümnendkohtade 1,5 ja 0,75 korrutamine.

Asendame korrutatud kümnendmurrud vastavate harilike murrudega. Kuna 1,5=15/10 ja 0,75=75/100, siis. Saate murdu vähendada ja seejärel valida vale murdu hulgast terve osa, mille tulemusena on mugavam kirjutada saadud harilik murd 1 125/1 000 kümnendmurruna 1,125.

Tuleb märkida, et veerus on mugav korrutada lõplikke kümnendmurde, sellest kümnendmurdude korrutamise meetodist räägime järgmises lõigus.

Vaatleme näidet perioodiliste kümnendmurdude korrutamisest.

Arvutage perioodiliste kümnendkohtade 0,(3) ja 2,(36) korrutis.

Teisendame perioodilised kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

Siis. Saadud hariliku murru saate teisendada kümnendmurruks:

Kui korrutatud kümnendmurdude hulgas on lõpmatu arv mitteperioodilisi murde, siis tuleks kõik korrutatud murrud, sealhulgas lõplikud ja perioodilised, ümardada teatud numbrini (vt. numbrite ümardamine) ja seejärel korrutage pärast ümardamist saadud viimased kümnendmurrud.

Korrutage kümnendkohad 5,382… ja 0,2.

Esiteks ümardame lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru, ümardamise saab teha sajandikuteks, meil on 5,382 ... ≈5,38. Lõplikku kümnendmurdu 0,2 ei ole vaja sajandikuteks ümardada. Seega 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Jääb välja arvutada lõplike kümnendmurdude korrutis: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1 076/1 000 \u003d 1,076.

Kümnendmurdude korrutamine veeruga

Lõplike kümnendmurdude korrutamist saab teha veeruga, sarnaselt naturaalarvude veeruga korrutamisega.

Sõnastame kümnendmurdude korrutusreegel. Kümnendmurdude veeruga korrutamiseks vajate:

ignoreerides komasid, sooritama korrutamist kõigi naturaalarvude veeruga korrutamise reeglite järgi;
saadud arvus eraldage komaga paremalt nii palju numbreid, kui palju on mõlemas teguris koos komakohti ja kui korrutises pole piisavalt numbreid, siis tuleb vasakule lisada vajalik arv nulle.

Vaatleme näiteid kümnendmurdude veeruga korrutamisest.

Korrutage kümnendkohad 63,37 ja 0,12.

Korrutame kümnendmurrud veeruga. Esiteks korrutame arvud, ignoreerides komasid:

Jääb saadud tootesse koma panna. Ta peab eraldama paremalt 4 numbrit, kuna tegurites on neli komakohta (kaks murdarvus 3,37 ja kaks murdarvus 0,12). Seal on piisavalt numbreid, nii et te ei pea vasakule nulle lisama. Lõpetame plaadi:

Selle tulemusena on meil 3,37 0,12 = 7,6044.

Arvutage kümnendkohtade 3,2601 ja 0,0254 korrutis.

Pärast veeruga korrutamist ilma komasid arvesse võtmata saame järgmise pildi:

Nüüd peate tootes eraldama 8 numbrit paremal komaga, kuna korrutatud murdude komakohtade arv on kaheksa. Kuid tootes on ainult 7 numbrit, seetõttu peate vasakule määrama nii palju nulle, et 8 numbrit saaks komaga eraldada. Meie puhul peame määrama kaks nulli:

See lõpetab kümnendmurdude korrutamise veeruga.

Kümnendkohtade korrutamine 0,1, 0,01 jne.

Üsna sageli tuleb kümnendkohti korrutada arvudega 0,1, 0,01 jne. Seetõttu on soovitav sõnastada kümnendmurru nende arvudega korrutamise reegel, mis tuleneb eelpool käsitletud kümnendmurdude korrutamise põhimõtetest.

Niisiis, antud kümnendkoha korrutamine arvudega 0,1, 0,01, 0,001 ja nii edasi annab murru, mis saadakse algsest, kui selle sisestuses nihutatakse koma vastavalt 1, 2, 3 ja nii edasi numbri võrra vasakule ja kui koma liigutamiseks pole piisavalt numbreid, siis tuleb lisada vajalik arv nulle vasakule.

Näiteks kümnendmurru 54,34 korrutamiseks 0,1-ga peate murrus 54,34 nihutama koma 1 numbri võrra vasakule ja saate murdarvu 5,434, see tähendab 54,34 0,1 \u003d 5,434. Võtame teise näite. Korrutage kümnendmurd 9,3 0,0001-ga. Selleks peame korrutatud kümnendmurrus 9,3 koma 4 numbrit vasakule nihutama, kuid murdosa 9,3 kirje ei sisalda sellist arvu märke. Seetõttu peame vasakpoolses murdosa 9.3 kirjes määrama nii palju nulle, et saaksime koma hõlpsalt neljakohaliseks üle kanda, meil on 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Pange tähele, et väljakuulutatud reegel kümnendmurru korrutamiseks 0,1, 0,01, ... kehtib ka lõpmatute kümnendmurdude puhul. Näiteks 0,(18) 0,01=0,00(18) või 93,938… 0,1=9,3938….

Kümnendarvu korrutamine naturaalarvuga

Selle keskmes kümnendkohtade korrutamine naturaalarvudega ei erine kümnendkoha kümnendkohaga korrutamisest.

Kõige mugavam on korrutada lõplik kümnendmurd naturaalarvuga veeruga, samal ajal kui peaksite järgima kümnendmurdude veeruga korrutamise reegleid, mida käsitleti ühes eelmises lõigus.

Arvutage korrutis 15 2.27 .

Korrutame veerus naturaalarvu kümnendmurruga:

Perioodilise kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga tuleks perioodiline murd asendada hariliku murruga.

Korrutage kümnendmurd 0,(42) naturaalarvuga 22.

Esiteks teisendame perioodilise kümnendkoha tavaliseks murruks:

Nüüd teeme korrutamise: . See kümnendkoha tulemus on 9,(3) .

Ja kui korrutate lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru naturaalarvuga, peate esmalt ümardama.

Korrutage 4 2,145….

Ümardades algse lõpmatu kümnendmurru sajandikku, jõuame naturaalarvu ja lõpliku kümnendmurru korrutamiseni. Meil on 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Kümnendkoha korrutamine 10, 100, ...

Üsna sageli tuleb kümnendmurrud korrutada 10, 100, ... Seetõttu on soovitatav nendel juhtudel üksikasjalikumalt peatuda.

Anname hääle reegel kümnendkoha korrutamiseks 10, 100, 1000 jne. Kui korrutate kümnendmurru 10, 100, ... sisestuses, peate nihutama koma vastavalt 1, 2, 3, ... numbri võrra paremale ja lisanullid vasakult kõrvale jätma; kui korrutatud murru kirjes pole koma ülekandmiseks piisavalt numbreid, peate lisama paremale vajaliku arvu nulle.

Korrutage koma 0,0783 100-ga.

Kanname murdosa 0,0783 kaks numbrit paremale kirjesse üle ja saame 007,83. Lases vasakule kaks nulli, saame kümnendmurruks 7,38. Seega 0,0783 100=7,83.

Korrutage kümnendmurd 0,02 10 000-ga.

0,02 korrutamiseks 10 000-ga peame nihutama koma 4 numbrit paremale. Ilmselgelt pole murdosa 0,02 kirjes piisavalt numbreid, et koma neljakohaliseks üle kanda, seega lisame paremale paar nulli, et koma saaks üle kanda. Meie näites piisab kolme nulli liitmisest, meil on 0,02000. Pärast koma liigutamist saame kirje 00200.0 . Vasakpoolsed nullid maha jättes saame arvu 200,0, mis on võrdne naturaalarvuga 200, see on kümnendmurru 0,02 korrutamise tulemus 10 000-ga.

Väljatoodud reegel kehtib ka lõpmatute kümnendmurdude korrutamisel 10, 100, ... Perioodiliste kümnendmurdude korrutamisel tuleb olla ettevaatlik korrutamise tulemuseks oleva murru perioodiga.

Korrutage perioodiline kümnendarvu 5,32(672) 1000-ga.

Enne korrutamist kirjutame perioodilise kümnendmurru kujul 5,32672672672 ..., see võimaldab meil vigu vältida. Nüüd liigutame koma 3 numbri võrra paremale, meil on 5 326.726726 ... . Seega saadakse pärast korrutamist perioodiline kümnendmurd 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Lõpmatute mitteperioodiliste murdude korrutamisel 10, 100, ... tuleb esmalt ümardada lõpmatu murd teatud numbrini ja seejärel korrutada.

Kümnendarvu korrutamine hariliku murru või segaarvuga

Lõpliku kümnendmurru või lõpmatu perioodilise kümnendmurru korrutamiseks tavalise murru või segaarvuga peate kümnendmurru esitama tavalise murruna ja seejärel korrutama.

Korrutage kümnendmurd 0,4 segaarvuga.

Kuna 0,4=4/10=2/5 ja siis. Saadud arvu saab kirjutada perioodilise kümnendmurruna 1,5(3) .

Lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru korrutamisel hariliku murru või segaarvuga tuleks harilik murd või segaarv asendada kümnendmurruga, seejärel ümardada korrutatud murrud ja lõpetada arvutus.

Alates 2/3 \u003d 0,6666 ..., siis. Pärast korrutatud murdude ümardamist tuhandikuteni jõuame kahe viimase kümnendmurru 3,568 ja 0,667 korrutisele. Korrutame veerus:

Saadud tulemus tuleks ümardada tuhandikeks, kuna korrutatud murrud võeti tuhandiku täpsusega, saame 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Kümnendmurdude korrutamine. Reeglid

Leidke võrdsete külgedega ristküliku pindala
1,4 dm ja 0,3 dm. Teisendage detsimeetrid sentimeetriteks:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Nüüd arvutame pindala sentimeetrites.

S \u003d 14 3 = 42 cm 2.

Teisenda ruutsentimeetrid ruuduks
detsimeetrid:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Seega S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Kahe kümnendkoha korrutamine toimub järgmiselt:
1) arvud korrutatakse komasid arvestamata.
2) tootesse asetatakse koma nii, et see paremal pool eraldaks
nii palju märke kui mõlemas teguris on eraldatud
koos võetud. Näiteks:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Näited kümnendmurdude korrutamiseks veerus:

Selle asemel, et korrutada suvaline arv 0,1-ga; 0,01; 0,001
saate selle arvu jagada 10-ga; 100; või vastavalt 1000.
Näiteks:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga peame:

1) korrutage arvud, ignoreerides koma;

2) saadud tootesse pane koma nii, et paremal pool
sellest tuli sama palju numbreid kui kümnendmurrus.

Leiame toote 3.12 10 . Vastavalt ülaltoodud reeglile
kõigepealt korrutage 312 10-ga. Saame: 312 10 \u003d 3120.
Ja nüüd eraldame kaks paremat numbrit komaga ja saame:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Nii et 3,12 korrutamisel 10-ga nihutasime koma ühe võrra
number paremale. Kui me korrutame 3,12 100-ga, saame 312, see tähendab
koma nihutati kaks numbrit paremale.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Kümnendmurru korrutamisel 10, 100, 1000 jne.
selles murdes liigutage koma paremale nii palju märke, kui palju on nulle
on kordajas. Näiteks:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Ülesanded teemal "Kümnendmurdude korrutamine"

school-assistant.ru

Kümnendkohtade liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine

Kümnendkohtade liitmine ja lahutamine sarnaneb naturaalarvude liitmisele ja lahutamisele, kuid teatud tingimustel.

Reegel. tehakse täis- ja murdosa numbritest naturaalarvudena.

Kui kirjutatud kümnendkohtade liitmine ja lahutamine täisarvu murdosast eraldav koma peab asuma terminites ja summas või taandatud, lahutatud ja erinevuses ühes veerus (koma koma tingimusest arvutuse lõpuni).

Kümnendkohtade liitmine ja lahutamine reale:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Kümnendkohtade liitmine ja lahutamine veerus:

Kümnendmurdude lisamiseks on vaja ülemist lisarida arvude kirjutamiseks, kui numbrite summa läbib kümne. Kümnendkohtade lahutamiseks on vaja ülemist lisarida, mis tähistab numbrit, milles 1 laenatakse.

Kui liikmest paremal oleva murdosa numbreid pole piisavalt või seda on vähendatud, siis võib murdosas paremale lisada nii palju nulle (suurendada murdosa bitisügavust), kui palju on mõnes teises liikmes numbreid. või vähendatud.

Kümnendkorrutis sooritatakse samamoodi nagu naturaalarvude korrutamist samade reeglite järgi, kuid korrutises pannakse koma vastavalt murdosa tegurite numbrite summale, lugedes paremalt vasakule (summa tegurite numbrite arv on koma järel olevate numbrite arv, kui tegureid võetakse kokku).

Kell kümnendkohtade korrutamine veerus märgitakse esimene parempoolne number parempoolse esimese olulise numbri alla, nagu naturaalarvudes:

Salvestamine kümnendkohtade korrutamine veerus:

Salvestamine kümnendjaotus veerus:

Allakriipsutatud märgid on komaümbrismärgid, kuna jagaja peab olema täisarv.

Reegel. Kell murdude jagamine kümnendmurru jagaja suureneb nii mitme numbri võrra, kui palju on selle murdosas numbreid. Et murd ei muutuks, suureneb dividend sama arvu numbrite võrra (dividendis ja jagajas kantakse koma samale arvule tähemärkidele). Jagatisesse pannakse koma jagamise etapis, kui murru kogu osa jagatakse.

Kümnendmurdude ja naturaalarvude puhul säilib reegel: Te ei saa kümnendkohta nulliga jagada!

Kesk- ja gümnaasiumikursusel õppisid õpilased teemal "Murrud". See mõiste on aga palju laiem kui õppeprotsessis ette nähtud. Tänapäeval kohtab murru mõistet üsna sageli ja mitte igaüks ei saa arvutada ühtegi avaldist, näiteks murdude korrutamist.

Mis on murdosa?

Ajalooliselt juhtus nii, et murdarvud tekkisid mõõtmisvajaduse tõttu. Nagu praktika näitab, on sageli näiteid segmendi pikkuse, ristkülikukujulise ristküliku ruumala määramiseks.

Esialgu tutvustatakse õpilastele sellist mõistet nagu aktsia. Näiteks kui jagate arbuusi 8 osaks, saab igaüks kaheksandiku arbuusist. Seda ühte kaheksast osa nimetatakse aktsiaks.

Osa, mis on võrdne ½ mis tahes väärtusest, nimetatakse pooleks; ⅓ - kolmas; ¼ - veerand. Selliseid kirjeid nagu 5/8, 4/5, 2/4 nimetatakse harilikeks murrudeks. Harilik murd jaguneb lugejaks ja nimetajaks. Nende vahel on murdjoon või murdjoon. Murdvarba saab tõmmata kas horisontaalse või kaldjoonena. Sel juhul tähistab see jagamismärki.

Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks väärtus, objekt on jagatud; ja lugeja näitab, mitu võrdset osa võetakse. Lugeja kirjutatakse murdarvu riba kohale, nimetaja selle alla.

Kõige mugavam on näidata tavalisi murde koordinaatkiirel. Kui üks segment on jagatud 4 võrdseks osaks, tähistatakse iga osa ladina tähega, siis saate suurepärase visuaalse abivahendi. Niisiis näitab punkt A osa, mis on võrdne 1/4 kogu üksuse segmendist ja punkt B tähistab 2/8 sellest segmendist.

Murdude sordid

Murrud on tavalised, kümnendarvud ja segaarvud. Lisaks saab murde jagada õigeteks ja ebaõigeteks. See klassifikatsioon sobib rohkem tavaliste fraktsioonide jaoks.

Õige murd on arv, mille lugeja on nimetajast väiksem. Seega on vale murd arv, mille lugeja on nimetajast suurem. Teist tüüpi kirjutatakse tavaliselt segaarvuna. Selline avaldis koosneb täisarvulisest osast ja murdosast. Näiteks 1½. 1 - täisarvuline osa, ½ - murdosa. Kui teil on aga vaja avaldisega mõningaid manipulatsioone teha (murdude jagamine või korrutamine, nende vähendamine või teisendamine), teisendatakse segaarv valeks murdarvuks.

Õige murdosa on alati väiksem kui üks ja vale on alati suurem kui 1 või sellega võrdne.

Selle avaldise puhul mõistavad nad kirjet, milles on esindatud suvaline arv, mille murdosa avaldise nimetajat saab väljendada ühe kaudu mitme nulliga. Kui murdosa on õige, on kümnendmärgistuse täisarvu osa null.

Kümnendarvu kirjutamiseks tuleb esmalt kirjutada täisarvuline osa, eraldada see komaga murdosast ja seejärel kirjutada murdosa avaldis. Tuleb meeles pidada, et pärast koma peab lugeja sisaldama nii palju numbreid kui nimetajas on nulle.

Näide. Esitage murdarvu 7 21 / 1000 kümnendsüsteemis.

Algoritm valemurru teisendamiseks segaarvuks ja vastupidi

Ülesande vastuses vale murdu kirjutamine on vale, seetõttu tuleb see teisendada segaarvuks:

jagage lugeja olemasoleva nimetajaga;
konkreetses näites on mittetäielik jagatis täisarv;
ja jääk on murdosa lugeja, kusjuures nimetaja jääb muutumatuks.

Näide. Teisenda vale murd segaarvuks: 47/5 .

Lahendus. 47: 5. Mittetäielik jagatis on 9, jääk = 2. Seega 47/5 = 9 2/5.

Mõnikord peate segaarvu esitama valemurruna. Seejärel peate kasutama järgmist algoritmi:

täisarvuline osa korrutatakse murdosa avaldise nimetajaga;
saadud korrutis lisatakse lugejasse;
tulemus kirjutatakse lugejasse, nimetaja jääb muutumatuks.

Näide. Väljendage arv segakujul valemurruna: 9 8/10 .

Lahendus. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 on lugeja.

Vastus: 98 / 10.

Harilike murdude korrutamine

Tavamurdudega saab teha erinevaid algebralisi tehteid. Kahe arvu korrutamiseks peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Pealegi ei erine erinevate nimetajatega murdude korrutis samade nimetajatega murdarvude korrutisest.

See juhtub, et pärast tulemuse leidmist peate murdosa vähendama. Saadud avaldist tuleb nii palju kui võimalik lihtsustada. Muidugi ei saa väita, et vale murdosa vastuses on viga, kuid seda on ka raske õigeks vastuseks nimetada.

Näide. Leidke kahe hariliku murru korrutis: ½ ja 20/18.

Nagu näitest näha, saadakse pärast korrutise leidmist taandatav murdosa. Nii lugeja kui ka nimetaja jagavad sel juhul 4-ga ja tulemuseks on vastus 5/9.

Kümnendmurdude korrutamine

Kümnendmurdude korrutis on oma põhimõttelt üsna erinev tavamurdude korrutisest. Niisiis, murdude korrutamine on järgmine:

kaks kümnendmurdu tuleb kirjutada üksteise alla nii, et kõige parempoolsemad numbrid oleksid üksteise all;
peate korrutama kirjutatud arvud, hoolimata komadest, st naturaalarvudena;
loendage igas numbris koma järel olevate numbrite arv;
pärast korrutamist saadud tulemuses peate lugema paremal pool digimärke, mis sisalduvad mõlema teguri summas pärast koma, ja panema eraldusmärgi;
kui korrutis on vähem numbreid, siis tuleb nende ette kirjutada nii palju nulle, et see arv katta, panna koma ja omistada täisarvuline osa, mis võrdub nulliga.

Näide. Arvutage kahe kümnendkoha korrutis: 2,25 ja 3,6.

Lahendus.

Segamurdude korrutamine

Kahe segamurru korrutise arvutamiseks peate kasutama murdude korrutamise reeglit:

teisendada segaarvud valedeks murdudeks;
leida lugejate korrutis;
leida nimetajate korrutis;
kirjutage tulemus üles;
lihtsustage väljendit nii palju kui võimalik.

Näide. Leidke 4½ ja 6 2/5 korrutis.

Arvu korrutamine murdosaga (murrud arvuga)

Lisaks kahe murdarvu, segaarvude korrutise leidmisele on ülesandeid, kus peate korrutama murdosaga.

Niisiis, kümnendmurru ja naturaalarvu korrutise leidmiseks vajate:

kirjuta arv murdosa alla nii, et kõige parempoolsemad numbrid oleksid üksteise kohal;
leia töö, hoolimata komast;
saadud tulemuses eraldage täisarvuline osa murdosast koma abil, lugedes paremale märkide arvu, mis on pärast koma murdosas.

Tavamurru korrutamiseks arvuga tuleks leida lugeja ja naturaalteguri korrutis. Kui vastus on taandatav murd, tuleks see teisendada.

Näide. Arvutage 5/8 ja 12 korrutis.

Lahendus. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Vastus: 7 1 / 2.

Nagu eelmisest näitest näha, oli vaja saadud tulemust vähendada ja vale murdosa teisendada segaarvuks.

Samuti kehtib murdude korrutamine ka segakujulise arvu ja naturaalteguri korrutise leidmisel. Nende kahe arvu korrutamiseks peaksite korrutama segateguri täisarvu arvuga, korrutama lugeja sama väärtusega ja jätma nimetaja muutmata. Vajadusel peate tulemust nii palju kui võimalik lihtsustama.

Näide. Leidke 9 5/6 ja 9 korrutis.

Lahendus. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1/2.

Vastus: 88 1 / 2.

Korrutamine teguritega 10, 100, 1000 või 0,1; 0,01; 0,001

Järgmine reegel tuleneb eelmisest lõigust. Kümnendmurru korrutamiseks arvuga 10, 100, 1000, 10000 jne tuleb koma nihutada paremale nii mitmekohalise tähemärgi võrra, kui palju on kordajas nullid ühe järel.

Näide 1. Leidke 0,065 ja 1000 korrutis.

Lahendus. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Vastus: 65.

Näide 2. Leidke 3,9 ja 1000 korrutis.

Lahendus. 3,9 x 1000 = 3900 x 1000 = 3900.

Vastus: 3900.

Kui teil on vaja korrutada naturaalarv ja 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 jne, peaksite tulemuseks olevas korrutis koma vasakule nihutama nii mitmekohalise tähemärgi võrra, kuivõrd ühe ees on nullid. Vajadusel kirjutatakse naturaalarvu ette piisav arv nulle.

Näide 1. Leidke 56 ja 0,01 korrutis.

Lahendus. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Vastus: 0,56.

Näide 2. Leidke 4 ja 0,001 korrutis.

Lahendus. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Vastus: 0,004.

Seega ei tohiks erinevate fraktsioonide korrutise leidmine raskusi tekitada, välja arvatud võib-olla tulemuse arvutamine; Sel juhul ei saa te lihtsalt ilma kalkulaatorita hakkama.

Liigume järgmise toimingu uurimise juurde kümnendmurdudega, nüüd kaalume põhjalikult kümnendkohtade korrutamine. Kõigepealt käsitleme kümnendmurdude korrutamise üldpõhimõtteid. Seejärel liigume edasi kümnendmurru kümnendmurruga korrutamise juurde, näitame, kuidas toimub kümnendmurdude korrutamine veeruga, vaatleme näidete lahendusi. Järgmisena analüüsime kümnendmurdude korrutamist naturaalarvudega, eelkõige 10, 100 jne. Kokkuvõtteks räägime kümnendmurdude korrutamisest tavaliste murdude ja segaarvudega.

Leheküljel navigeerimine.

Kümnendkohtade korrutamise üldpõhimõtted

Arutleme üldiste põhimõtete üle, mida kümnendmurdudega korrutamise sooritamisel järgida.

Kuna lõplikud kümnendmurrud ja lõpmatud perioodilised murrud on tavaliste murdude kümnendmurrud, on selliste kümnendmurdude korrutamine sisuliselt harilike murdude korrutamine. Teisisõnu, viimaste kümnendkohtade korrutamine, lõplike ja perioodiliste kümnendmurdude korrutamine ja perioodiliste kümnendkohtade korrutamine taandub tavaliste murdude korrutamisele pärast kümnendmurdude teisendamist tavaliseks.

Vaatleme näiteid kümnendmurdude korrutamise häälpõhimõtte rakendamisest.

Näide.

Tehke kümnendkohtade 1,5 ja 0,75 korrutamine.

Lahendus.

Asendame korrutatud kümnendmurrud vastavate harilike murrudega. Kuna 1,5=15/10 ja 0,75=75/100, siis . Saate murdu vähendada ja seejärel valida vale murdu hulgast terve osa, mille tulemusena on mugavam kirjutada saadud harilik murd 1 125/1 000 kümnendmurruna 1,125.

Vastus:

1,5 0,75 = 1,125.

Tuleb märkida, et veerus on mugav korrutada lõplikke kümnendmurde, me räägime sellest kümnendmurdude korrutamise meetodist.

Vaatleme näidet perioodiliste kümnendmurdude korrutamisest.

Näide.

Arvutage perioodiliste kümnendkohtade 0,(3) ja 2,(36) korrutis.

Lahendus.

Teisendame perioodilised kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

Siis . Saadud hariliku murru saate teisendada kümnendmurruks:

Vastus:

0, (3) 2, (36) = 0, (78) .

Näide.

Korrutage kümnendkohad 5,382… ja 0,2.

Lahendus.

Vastus:

5,382… 0,2≈1,076.

Kümnendmurdude korrutamine veeruga

Lõplike kümnendkohtade korrutamist saab teha veeruga, sarnaselt naturaalarvude veeru korrutamisega.

Sõnastame kümnendmurdude korrutusreegel. Kümnendmurdude veeruga korrutamiseks vajate:

ignoreerides komasid, sooritama korrutamist kõigi naturaalarvude veeruga korrutamise reeglite järgi;
saadud arvus eraldage komaga paremalt nii palju numbreid, kui palju on mõlemas teguris koos komakohti ja kui korrutises pole piisavalt numbreid, siis tuleb vasakule lisada vajalik arv nulle.

Vaatleme näiteid kümnendmurdude veeruga korrutamisest.

Näide.

Korrutage kümnendkohad 63,37 ja 0,12.

Lahendus.

Korrutame kümnendmurrud veeruga. Esiteks korrutame arvud, ignoreerides komasid:

Selle tulemusena on meil 3,37 0,12 = 7,6044.

Vastus:

3,37 0,12 = 7,6044.

Näide.

Arvutage kümnendkohtade 3,2601 ja 0,0254 korrutis.

Lahendus.

Pärast veeruga korrutamist ilma komasid arvesse võtmata saame järgmise pildi:

See lõpetab kümnendmurdude korrutamise veeruga.

Vastus:

3,2601 0,0254=0,08280654 .

Kümnendkohtade korrutamine 0,1, 0,01 jne.

Pange tähele, et väljakuulutatud reegel kümnendmurru korrutamiseks 0,1, 0,01, ... kehtib ka lõpmatute kümnendmurdude puhul. Näiteks 0,(18) 0,01=0,00(18) või 93,938… 0,1=9,3938….

Kümnendarvu korrutamine naturaalarvuga

Selle keskmes kümnendkohtade korrutamine naturaalarvudega ei erine kümnendkoha kümnendkohaga korrutamisest.

Kõige mugavam on korrutada lõplik kümnendmurd naturaalarvuga veeruga, samal ajal kui peaksite järgima kümnendmurdude veeruga korrutamise reegleid, mida käsitleti ühes eelmises lõigus.

Näide.

Arvutage korrutis 15 2.27 .

Lahendus.

Korrutame veerus naturaalarvu kümnendmurruga:

Vastus:

15 2,27=34,05.

Perioodilise kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga tuleks perioodiline murd asendada hariliku murruga.

Näide.

Korrutage kümnendmurd 0,(42) naturaalarvuga 22.

Lahendus.

Esiteks teisendame perioodilise kümnendkoha tavaliseks murruks:

Nüüd teeme korrutamise: . See kümnendkoha tulemus on 9,(3) .

Vastus:

0, (42) 22 = 9, (3) .

Ja kui korrutate lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru naturaalarvuga, peate esmalt ümardama.

Näide.

Korrutage 4 2,145….

Lahendus.

Ümardades algse lõpmatu kümnendmurru sajandikku, jõuame naturaalarvu ja lõpliku kümnendmurru korrutamiseni. Meil on 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Vastus:

4 2,145…≈8,60.

Kümnendkoha korrutamine 10, 100, ...

Üsna sageli tuleb kümnendmurrud korrutada 10, 100, ... Seetõttu on soovitatav nendel juhtudel üksikasjalikumalt peatuda.

Näide.

Korrutage koma 0,0783 100-ga.

Lahendus.

Kanname murdosa 0,0783 kaks numbrit paremale kirjesse üle ja saame 007,83. Lases vasakule kaks nulli, saame kümnendmurruks 7,38. Seega 0,0783 100=7,83.

Vastus:

0,0783 100 = 7,83.

Näide.

Korrutage kümnendmurd 0,02 10 000-ga.

Lahendus.

Nagu tavalised numbrid.

2. Loeme kümnendkohtade arvu 1. kümnendmurru ja 2. kohta. Liidame nende numbrid kokku.

3. Lõpptulemuses loendame paremalt vasakule sellise arvu numbreid, nagu need ülaltoodud lõigus selgus, ja paneme koma.

Kümnendkohtade korrutamise reeglid.

1. Korrutage komale tähelepanu pööramata.

2. Korrutises eraldame pärast koma sama palju numbreid, kui on mõlemas teguris koma järel kokku.

Kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga peate:

1. Korrutage arvud, jättes koma tähelepanuta;

2. Selle tulemusena paneme koma nii, et sellest paremal oleks sama palju numbreid kui kümnendmurrus.

Kümnendmurdude korrutamine veeruga.

Vaatame näidet:

Kirjutame veergu kümnendmurrud ja korrutame need naturaalarvudena, ignoreerides komasid. Need. Me käsitleme 3,11 kui 311 ja 0,01 kui 1.

Tulemuseks on 311. Järgmisena loendame mõlema murru kümnendkohtade (numbrite) arvu. 1. kümnendkohas on 2 numbrit ja 2. kümnendkohas 2. Numbrite koguarv pärast koma:

2 + 2 = 4

Tulemusest loeme paremalt vasakule neli märki. Lõpptulemuses on vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldada. Sel juhul on vaja lisada vasakule puuduv arv nulle.

Meie puhul puudub 1. number, seega lisame vasakule 1 nulli.