Kuidas määrata sfääri pindala. Kuidas leida sfääri pindala ja ruumala

Kui teil on kaasas ainult üks valem ja teades esialgu, mis on läbimõõt või raadius, saate hõlpsalt arvutada palli pindala. Valem näeb välja selline S = 4πR2, kus arv "pi" korrutatakse 4-ga, seejärel palli raadiusega ruudu astmeni. Kuid enne otseseid arvutusi peaksite mõistetest kohe aru saama.

Väärtuste tõlgendamine

See peaks olema teada:

• Pall- geomeetriline objekt, mis tuleneb pöörlevatest poolringikujulistest liikumistest ümber keskpunkti. Iga punkt sfääri pinnal on keskpunktist samal kaugusel.
• Kera- pole sama, mis pall. Kui see on kolmemõõtmeline objekt ja sisaldab siseruumi, siis on sfäär ainult selle objekti pind ja sellel on ainult oma ala. Ehk siis ei saa öelda, et keral on erinevalt kuulist selline ja selline maht.
• Pi" on konstantne arv, mis võrdub ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhtega. Lühendatud kujul tähistatakse seda tavaliselt numbriga 3,14. Kuid tegelikult on pärast kolme numbrit rohkem kui tuhat!
• Kera raadius on ½ selle läbimõõdust.. Täpse läbimõõdu saab arvutada mitme tasase ja ühtlase eseme abil. Peate lihtsalt kinnitama palli nende objektide vahele, mis kinnitavad palli ja asuvad üksteisega risti, ja seejärel mõõta saadud läbimõõt.
• Ruutkraad tähistatakse kahega ja see tähendab, et see arv tuleb üks kord korrutada iseendaga. Kui arvu aste oleks kolmiku kujul, siis oleks vaja korrutada iseendaga kaks korda. Kirjutades väljendi paberile, saate aru, miks kasutatakse täpselt kahte ja kolme, mitte ühte ja kahte.
• Helitugevus- väärtus, mis näitab objekti ruumi suurust. Kera ruumala oleneb läbimõõdust. Valem võrdub nelja kolmandikuga, korrutatuna arvuga "pi" ja korrutatuna uuesti selle kuubiku raadiusega.
• Ruut- väärtus, mis näitab objekti pinna suurust, kuid mitte siseruumi.

Huvitavaid fakte

See on huvitav:

1. Piil on oma fänniklubid üle maailma. Seltsi liikmed püüavad sellest numbrist võimalikult palju märke meelde jätta ning püüavad lahti harutada ka numbris peituvaid universaalseid saladusi.
2. Maa pindala on vaid 29,2% selle kogupinnast. Piirkonna täpset arvu on raske nimetada Maa ebaühtlase pinnase, näiteks nõgude ja mägede tõttu.
3. Sfääri pindala valemi tundmist saab rakendada igapäevaelus. Samuti võivad need teadmised vaidluses vastase maha suruda.

Näidates oma teadmiste ulatust geomeetria vallas, saate alguses panna teid austama ning teha remondimeestele ja müüjatele selgeks, et teid ei saa lihtsalt petta.

Valemi rakendamine

Vaatame näidet, kuidas arvutada ümmarguse sfääri pindala, mille läbimõõt on 50 cm.. Valemit järgides tuleb 50 jagada kahega (raadiuse saamiseks), saadud arv ruutu ja korrutada kõigepealt 4-ga, seejärel 3,14-ga. Selle tulemusena saame arvu 7850 ruutsentimeetrit.

Pindala valem rakendatud mitte ainult kooli õpetajate ja laboratooriumi teadlaste seas. See valem võib olla kasulik tavalisele maalikunstnikule. Lõppude lõpuks, kui pall on suur ja värv on väike, siis tekib küsimus - kas sellest segust piisab talle kogu objekti värvimiseks. Ja see pole kaugeltki ainus igapäevane juhtum, kus valem võib kasuks tulla.

Mahu valem See võib olla kasulik ka remonti tegevale ehitusmeeskonnale. Ja pole vahet, milline objekt see on - tööstushoone, väike maja või tavaline korter. See eristabki professionaale – nad oskavad oma teadmisi praktikas rakendada.

Aga kuidas olla kui objekti ei ole võimalik mõõta? Selline küsimus võib tekkida objekti tohutu suuruse või ligipääsmatuse korral. Sel juhul võivad aidata elektroonilised tehnoloogiad, mis põhinevad ruumi skaneerimisel teatud sageduste ja laseritega. Kaasaegse tehnoloogiaga ei pea kõiki valemeid peast teadma. Piisab Interneti-ühenduse olemasolust ja mis tahes veebikalkulaatori kasutamisest.

On üldtunnustatud, et esimene, kes leidis ja tuletas palli mahu ja pindala valemi , oli Archimedes. See on suurim Vana-Kreeka teadlane, kes elas 300 aastat enne meie ajastut. Ta polnud mitte ainult matemaatik, vaid ka füüsik ja insener. Ta on üks esimesi inimesi, kes püüdis meid ümbritsevat maailma "digiteerida". Tema teoreeme ja kirjutisi kasutatakse tänapäevani.

Arvu "pi" piirid määras Archimedes ja märgistas need ilma moodsate vidinateta. Archimedes ise oli väga uhke leitud valemi üle, mille abil arvutatakse palli ruumala. Tema järeltulijad kujutasid selle auks tema hauakivil silindrit ja palli.

Kui ta mingi ime läbi meie ajal uuesti sündiks, suudaks ta kohe selle maailma ümber kujundada ja uuele tasemele viia.

Video

Kui kasutate seda videot näitena, on teil lihtne mõista, kuidas palli pindala leida.

Paljud meist armastavad jalgpalli mängida või vähemalt peaaegu kõik meist on sellest kuulsast spordimängust kuulnud. Kõik teavad, et jalgpalli mängitakse palliga.

Kui küsite möödujalt, milline on palli geomeetriline kuju, siis mõned inimesed ütlevad, et palli kuju ja mõned, et sfääri kuju. Niisiis, kumb on õige? Ja mis vahe on sfääril ja keral?

Tähtis!

Pall on kosmosekeha. Palli sees on midagi täis. Seetõttu suudab kera ruumala leida.

Näited pallist päriselus: arbuus ja teraskuul.

Kuulil ja keral, nagu ringil ja ringil, on keskpunkt, raadius ja läbimõõt.

Tähtis!

Kera on sfääri pind. Saate leida sfääri pindala.

Näited elusfäärist: võrkpall ja lauatennisepall.

Kuidas leida sfääri pindala

Pea meeles!

Sfääri pindala valem: S=4 π R 2

Sfääri pindala leidmiseks peate meeles pidama, mis on arvu võimsus. Teades kraadi määratlust, saame sfääri pindala valemi kirjutada järgmiselt.
S=4 π R 2 = 4π R R;

Kinnitada omandatud teadmisi ja lahendage sfääri pindala probleem.

Zubareva 6. klass. Number 692(a)

Ülesanne:

• Arvutage sfääri pindala, kui selle raadius on 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Tähtis!

Kallid vanemad!

Raadiuse lõplikul arvutamisel ei ole vaja last sundida kuupjuurt arvutama. 6. klassi õpilased pole veel läbinud ega tea matemaatika juurte definitsiooni.

6. klassis kasutada sellise ülesande lahendamisel loendusmeetodit.

Küsige õpilaselt, milline arv, kui korrutada 3 korda iseendaga, annab ühe.

Palli määratlus

pall kutsuda välja punktide kogum, mis on suvaliselt valitud punktist (palli keskpunktist) kaugemal, mis ei ületa R R R on selle sfääri raadius.

Interneti-kalkulaator

Keral, nagu ringil, on läbimõõt. D D D, mis on sfääri pikkuse raadiusest kaks korda suurem.

D = 2 ⋅ R D = 2\cdot R D=2 ⋅ R

Kera pindala saab leida nii sfääri raadiuse kui ka läbimõõduga.

Kuuli pindala valem palli raadiuse järgi

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S = 4\cdot\pi\cdot R^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2

R R R on palli raadius.

Näide

Kuubikusse, mille diagonaal on sisse kirjutatud, on kuul d d d on võrdne 300 \sqrt (300) 3 0 0 ​ (cm.). Leidke sfääri pindala.

Lahendus

D = 300 d = \ ruut (300) d=3 0 0 ​

Esimene samm ülesande lahendamisel on leida kuubi külje pikkus. Tähistagem seda a a a. Seejärel Pythagorase teoreemi kohaselt:

D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2d 2 = a 2 + a 2 + a 2

D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2d 2 = 3 ⋅ a 2

A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3)) a =3 ​ d​

A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10a =3 ​ 3 0 0 ​ ​ = 1 0 0 ​ = 1 0

Kuubi sisse kirjutatud kera raadius on võrdne kuubi poole küljega:

R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 a​ = 2 1 0 ​ = 5

Siis on sfääri pindala:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\umbes 314S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (vt ruut)

Vastus: 314 cm ruutmeetrit

Palli pindala valem palli läbimõõdu järgi

Kuuli pindala valemit saab hõlpsasti saada selle läbimõõdu järgi, kasutades kuuli raadiuse ja läbimõõdu suhet:

S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Suur)^2=\pi\cdot D^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 2 = π ⋅ D 2

S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S=π ⋅ D 2

D D D- palli läbimõõt.

Näide

Palli läbimõõt on 10 (vt.). Leidke selle pindala.

Lahendus

D = 10 D = 10 D=1 0

Valemi järgi saame:

S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\umbes 314S=π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (vt ruut)

Vastus: 314 cm ruutmeetrit

Anname siin väga lihtsa, kuigi mitte täiesti range tuletise sfäärilise pinna pindala kohta; oma idee poolest on see väga lähedane integraalarvutuse meetoditele. Olgu siis antud mõni pall raadiusega R. Eraldagem selle pinnalt mõni väike piirkond (joonis 412) ja vaatleme püramiidi või koonust, mille tipp asub kuuli O keskel ja mille alus on see piirkond. ; rangelt võttes räägime ainult tinglikult koonusest või püramiidist, kuna alus ei ole tasane, vaid sfääriline. Kuid väikese aluse korral võrreldes palli raadiusega erineb see tasasest väga vähe (näiteks mitte väga suure maatüki mõõtmisel eiratakse asjaolu, et see ei asu mitte tasapinnal, vaid tasapinnal. sfäär).

Seejärel, märkides "püramiidi" alust läbi selle lõigu pindala, leiame selle ruumala ühe kolmandiku kõrguse ja aluse pindala (raadiuse raadius) korrutisena. pall toimib kõrgusena):

Kui nüüd jaotatakse kogu palli pind väga suureks arvuks N sellisteks väikesteks aladeks, mistõttu palli maht N ruumalaks "püramiide", mille aluseks on need alad, siis kogu ruumala on esindatud summa

kus viimane summa on võrdne palli täispinnaga:

Seega on sfääri ruumala võrdne ühe kolmandikuga selle raadiuse ja pinna korrutisest. Seega on meil pindala jaoks valem

Viimane tulemus on sõnastatud järgmiselt:

Kera pindala on võrdne neljakordse suure ringi pindalaga.

Ülaltoodud järeldus sobib ka palli sektori pindala jaoks (peame silmas ainult alust, see tähendab sfäärilist pinda või "korke"; vt joonis 409). Ja sel juhul on sektori maht võrdne ühe kolmandikuga kuuli raadiuse ja selle sfäärilise aluse pindala korrutisest:

kust leiame korgi pindala valemi

Sfäärilist vööd (vt joonis 408) nimetatakse sfäärilise kihi sfääriliseks pinnaks. Sfäärilise vöö pindala arvutamiseks leiame kahe sfäärilise korgi pindade erinevuse:

kus on kihi kõrgus. Seega sõltub sfäärilise vöö pindala antud kuuli jaoks ainult vastava kihi kõrgusest, kuid mitte selle asendist kuulil.

Ülesanne. Kuuli ümber piiratud koonuse külgpinna pindala on võrdne pooleteise palli pindalast. Leia koonuse kõrgus, kui kera raadius on .

Lahendus. Mugavuse huvides võtame kasutusele nurga a kõrguse ja koonuse generaatori vahel (joonis 413). Leiame koonuse kõrguse, raadiuse ja generaatori jaoks avaldised