Τριγωνομετρικές εξισώσεις Yakovlev 1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις - τύποι, λύσεις, παραδείγματα
ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
σι) \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \δεξιά].
Δείξε λύσηΔιάλυμα
ΕΝΑ)Ανοίγοντας τις αγκύλες και μετακινώντας όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε την εξίσωση 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Λαμβάνοντας υπόψη ότι \cos x \neq 0, ο όρος 2 \sin x μπορεί να αντικατασταθεί από 2 tan x \cos x, λαμβάνουμε την εξίσωση 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,
1) που ομαδοποιώντας μπορεί να αναχθεί στη μορφή (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, μαύρισμα x=1,
2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,
σι) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Χρησιμοποιώντας τον κύκλο αριθμών, επιλέξτε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα
\αριστερά[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \δεξιά].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
ΕΝΑ) Απάντηση \frac\pi 4+\pi n,
σι) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,
\frac(9\pi )4.
ΕΝΑ)Κατάσταση Λύστε την εξίσωση
σι)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα
Δείξε λύσηΔιάλυμα
ΕΝΑ)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:
\begin(περιπτώσεις) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(περιπτώσεις)
Η αρχική εξίσωση στο ODZ είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(πίνακας)\δεξιά. Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση. Για να γίνει αυτό θα κάνουμε μια αντικατάσταση \cos 4x=t, t \σε [-1; 1].
Τότε \sin^24x=1-t^2.
Παίρνουμε:
2(1-t^2)-3t=0, 2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12,
t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, βρίσκουμε λύσεις που ικανοποιούν το ODZ. Το σύμβολο «+» σηματοδοτεί το 1ο και 3ο τέταρτο, στα οποία tg x>0. Παίρνουμε: x=\pi k, k \in \mathbb Z;
σι) x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
.png)
Ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά(0;\,\frac(3\pi )2\δεξιά]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ;
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
ΕΝΑ) x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z;
σι) \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \πι; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12);
\frac(13\pi )(12); Επίπεδο προφίλ" Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.
\frac(9\pi )4.
ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
σι)Καταγράψτε όλες τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Δείξε λύσηΔιάλυμα
ΕΝΑ)Επειδή \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,Οτι \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Αυτό σημαίνει ότι η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x=\cos ^22x, η οποία, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Αλλά \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Και
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, οπότε η εξίσωση γίνεται
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Τότε είτε 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, είτε 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Επίλυση της πρώτης εξίσωσης ως τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με το \cos x, παίρνουμε:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Επομένως είτε \cos x=1 είτε \cos x=-\frac12.Αν \cos x=1, τότε x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Αν \cos x=-\frac12,Οτι x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.
Ομοίως, λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε είτε \cos x=-1 είτε \cos x=\frac12.Αν \cos x=-1, τότε οι ρίζες x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Αν \cos x=\frac12,Οτι x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Ας συνδυάσουμε τις λύσεις που προέκυψαν:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
σι)Ας επιλέξουμε τις ρίζες που εμπίπτουν σε ένα δεδομένο διάστημα χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών.
Παίρνουμε: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
ΕΝΑ) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
σι) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.
Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu.
\frac(9\pi )4.
ΕΝΑ)Κατάσταση 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\δεξιά).
Δείξε λύσηΔιάλυμα
ΕΝΑ) 1. Σύμφωνα με τον τύπο μείωσης, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης θα είναι τέτοιες τιμές του x τέτοιες ώστε \cos x \neq 0 και tan x \neq -1. Ας μετατρέψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Παίρνουμε την εξίσωση:
5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Σημειώστε ότι \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), οπότε η εξίσωση γίνεται: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Από εδώ \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),
\cos x+\sin x =\frac65. 2. Μετασχηματίστε το \sin x+\cos x χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής και τον τύπο του αθροίσματος των συνημιτόνων: \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Από εδώ \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.Μέσα, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
ή x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Γι' αυτό x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
ή x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Οι τιμές του x που βρέθηκαν ανήκουν στον τομέα ορισμού.
σι)Ας μάθουμε πρώτα πού πέφτουν οι ρίζες της εξίσωσης k=0 και t=0. Αυτοί θα είναι αριθμοί ανάλογα a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Και
b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Ας αποδείξουμε τη βοηθητική ανισότητα:<\frac{3\sqrt 2}2<1.
\frac(\sqrt 2)(2) Πραγματικά,<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
\frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10) Σημειώστε επίσης ότι<1^2=1, \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25) Μέσα<1.
\frac(3\sqrt 2)5 (1) 2. Από τις ανισότητες
Με την ιδιότητα συνημιτόνου τόξου παίρνουμε: 0 Από εδώ τόξο 1<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 \frac\pi 4+0 Επίσης, -\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 \frac\pi 4 Για k=-1 και t=-1 λαμβάνουμε τις ρίζες της εξίσωσης a-2\pi και b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Συγχρόνως -2\pi \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right). Για άλλες τιμές των k και t, οι ρίζες της εξίσωσης δεν ανήκουν στο δεδομένο διάστημα. Πράγματι, αν k\geqslant 1 και t\geqslant 1, τότε οι ρίζες είναι μεγαλύτερες από 2\pi. ΕΝΑ) Αν k\leqslant -2 και t\leqslant -2, τότε οι ρίζες είναι μικρότερες σι) -\frac(7\pi )2. Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. ΕΝΑ)Κατάσταση \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; σι)-\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. ΕΝΑ)\sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα ; Ας μετατρέψουμε την εξίσωση: \cos x =-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cos x=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \sin x=0, σι)\sin x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. Βρίσκουμε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο. ΕΝΑ) Το υποδεικνυόμενο διάστημα περιέχει έναν μόνο αριθμό \frac\pi 2. σι) Βρίσκουμε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο. Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; δεν περιλαμβάνεται στο DZ. Μέσα, \sin x \neq 1.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν παράγοντα (\sin x-1),διαφορετικό από το μηδέν. Παίρνουμε την εξίσωση \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),ή εξίσωση 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Αυτή η εξίσωση είναι με αντικατάσταση \cos x=t,Οπου -1 \leqslant t \leqslant 1μειώστε το στο τετράγωνο: 2t^2+t-1=0,των οποίων οι ρίζες t_1=-1 a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 t_2=\frac12.Επιστρέφοντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε \cos x = \frac12ή \cos x=-1,όπου x=\frac \pi 3+2\pi m, m\in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. σι)Ας λύσουμε τις ανισότητες 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \αριστερά [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί στην περιοχή \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από k=-1 και μετά x=-\pi. ΕΝΑ) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z; σι) -\pi . Εργασία Νο. 1 Η λογική είναι απλή: θα κάνουμε όπως κάναμε πριν, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι πλέον οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν πιο σύνθετο όρισμα! Αν λύναμε μια εξίσωση της μορφής: Στη συνέχεια θα γράψουμε την εξής απάντηση: Ή (αφού) Αλλά τώρα ο ρόλος μας παίζεται από αυτή την έκφραση: Τότε μπορούμε να γράψουμε: Στόχος μας μαζί σας είναι να βεβαιωθούμε ότι η αριστερή πλευρά στέκεται απλά, χωρίς «ακαθαρσίες»! Ας τα ξεφορτωθούμε σταδιακά! Αρχικά, ας αφαιρέσουμε τον παρονομαστή στο: για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε την ισότητά μας με: Τώρα ας το ξεφορτωθούμε χωρίζοντας και τα δύο μέρη σε αυτό: Τώρα ας απαλλαγούμε από τα οκτώ: Η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως 2 σειρές λύσεων (κατ' αναλογία με μια τετραγωνική εξίσωση, όπου είτε προσθέτουμε είτε αφαιρούμε τη διάκριση) Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα! Είναι σαφές ότι πρέπει να τακτοποιήσουμε. Ας δούμε πρώτα το πρώτο επεισόδιο: Είναι ξεκάθαρο ότι αν πάρουμε θα καταλήξουμε σε θετικά νούμερα, αλλά δεν μας ενδιαφέρουν. Άρα πρέπει να το πάρεις αρνητικό. Ας είναι. Όταν η ρίζα θα είναι στενότερη: Και πρέπει να βρούμε το μεγαλύτερο αρνητικό!! Αυτό σημαίνει ότι το να πηγαίνεις προς την αρνητική κατεύθυνση δεν έχει πλέον νόημα εδώ. Και η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα για αυτή τη σειρά θα είναι ίση με. Ας δούμε τώρα τη δεύτερη σειρά: Και πάλι αντικαθιστούμε: , τότε: Δεν ενδιαφέρεται! Τότε δεν έχει νόημα να αυξηθεί άλλο! Ας το μειώσουμε! Αφήστε τότε: Ταιριάζει! Ας είναι. Τότε Τότε - η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα! Απάντηση: Εργασία Νο. 2 Επιλύουμε ξανά, ανεξάρτητα από το μιγαδικό συνημίτονο: Τώρα εκφράζουμε ξανά στα αριστερά: Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές Χωρίστε και τις δύο πλευρές Το μόνο που μένει είναι να το μετακινήσετε προς τα δεξιά, αλλάζοντας το πρόσημά του από μείον σε συν. Παίρνουμε πάλι 2 σειρές ρίζες, η μία με και η άλλη με. Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα. Ας δούμε το πρώτο επεισόδιο: Είναι σαφές ότι θα πάρουμε την πρώτη αρνητική ρίζα στο, θα είναι ίση και θα είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα σε 1 σειρά. Για τη δεύτερη σειρά Η πρώτη αρνητική ρίζα θα ληφθεί επίσης στο και θα είναι ίση με. Αφού, τότε είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: . Εργασία Νο. 3 Λύνουμε, ανεξάρτητα από το όρισμα μιγαδικής εφαπτομένης. Τώρα, δεν φαίνεται περίπλοκο, σωστά; Όπως και πριν, εκφράζουμε στην αριστερή πλευρά: Λοιπόν, αυτό είναι υπέροχο, υπάρχει μόνο μία σειρά ριζών εδώ! Ας ξαναβρούμε το μεγαλύτερο αρνητικό. Είναι ξεκάθαρο ότι βγαίνει αν το βάλεις κάτω. Και αυτή η ρίζα είναι ίση. Απάντηση: Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα. Ετοιμος; Ας ελέγξουμε. Δεν θα περιγράψω λεπτομερώς ολόκληρο τον αλγόριθμο λύσης, μου φαίνεται ότι έχει ήδη λάβει αρκετή προσοχή παραπάνω. Λοιπόν, είναι όλα σωστά; Ω, αυτά τα δυσάρεστα ιγμόρεια, υπάρχει πάντα κάποιο πρόβλημα μαζί τους! Λοιπόν, τώρα μπορείτε να λύσετε απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις! Ας εκφραστούμε Η μικρότερη θετική ρίζα προκύπτει αν βάλουμε, από τότε Απάντηση: Η μικρότερη θετική ρίζα λαμβάνεται στο. Θα είναι ίσο. Απάντηση: . Πότε παίρνουμε, πότε έχουμε. Απάντηση: . Αυτή η γνώση θα σας βοηθήσει να λύσετε πολλά προβλήματα που θα συναντήσετε στις εξετάσεις. Εάν κάνετε αίτηση για βαθμολογία "5", τότε απλά πρέπει να προχωρήσετε στην ανάγνωση του άρθρου για μεσαίου επιπέδουπου θα αφιερωθεί στην επίλυση πιο σύνθετων τριγωνομετρικών εξισώσεων (εργασία Γ1). Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψω επίλυση πιο σύνθετων τριγωνομετρικών εξισώσεωνκαι πώς να επιλέξετε τις ρίζες τους. Εδώ θα βασιστώ στα ακόλουθα θέματα: Πιο πολύπλοκες τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούν τη βάση για προχωρημένα προβλήματα. Απαιτούν τόσο την επίλυση της ίδιας της εξίσωσης σε γενική μορφή όσο και την εύρεση των ριζών αυτής της εξίσωσης που ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο δεδομένο διάστημα. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων καταλήγει σε δύο δευτερεύουσες εργασίες: Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το δεύτερο δεν απαιτείται πάντα, αλλά στα περισσότερα παραδείγματα εξακολουθεί να απαιτείται η επιλογή. Αλλά αν δεν απαιτείται, τότε μπορούμε να σας συμπονέσουμε - αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αρκετά περίπλοκη από μόνη της. Η εμπειρία μου στην ανάλυση προβλημάτων C1 δείχνει ότι συνήθως χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες. Για να το πω απλά: αν σε πιάσουν μία από τις εξισώσεις των τριών πρώτων τύπων, τότε θεωρήστε τον εαυτό σας τυχερό. Για αυτούς, κατά κανόνα, πρέπει επιπλέον να επιλέξετε ρίζες που ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Εάν συναντήσετε μια εξίσωση τύπου 4, τότε είστε λιγότερο τυχεροί: πρέπει να την ταλαιπωρήσετε περισσότερο και πιο προσεκτικά, αλλά πολύ συχνά δεν απαιτεί πρόσθετη επιλογή ριζών. Ωστόσο, θα αναλύσω αυτό το είδος εξισώσεων στο επόμενο άρθρο, και αυτό θα αφιερώσω στην επίλυση εξισώσεων των τριών πρώτων τύπων. Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να θυμάστε για να λύσετε αυτό το είδος εξίσωσης είναι Όπως δείχνει η πρακτική, κατά κανόνα, αυτή η γνώση είναι επαρκής. Ας δούμε μερικά παραδείγματα: Εδώ, όπως υποσχέθηκα, οι τύποι μείωσης λειτουργούν: Τότε η εξίσωσή μου θα μοιάζει με αυτό: Τότε η εξίσωσή μου θα πάρει την ακόλουθη μορφή: Ένας κοντόφθαλμος μαθητής μπορεί να πει: τώρα θα μειώσω και τις δύο πλευρές, θα βρω την πιο απλή εξίσωση και θα απολαύσω τη ζωή! Και θα κάνει οικτρά λάθος! Τι να κάνουμε λοιπόν; Ναι, είναι απλό, μετακινήστε τα πάντα στη μία πλευρά και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα: Λοιπόν, το συνυπολογίσαμε σε παράγοντες, γρήγορα! Τώρα ας αποφασίσουμε: Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες: Και το δεύτερο: Αυτό ολοκληρώνει το πρώτο μέρος του προβλήματος. Τώρα πρέπει να επιλέξετε τις ρίζες: Το κενό έχει ως εξής: Ή μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής: Λοιπόν, ας πάρουμε τις ρίζες: Αρχικά, ας δουλέψουμε με το πρώτο επεισόδιο (και είναι πιο απλό, το λιγότερο!) Δεδομένου ότι το μεσοδιάστημά μας είναι εντελώς αρνητικό, δεν χρειάζεται να παίρνουμε μη αρνητικές, θα εξακολουθούν να δίνουν μη αρνητικές ρίζες. Ας το πάρουμε, λοιπόν - είναι πολύ, δεν χτυπάει. Ας είναι, λοιπόν - δεν το ξαναχτύπησα. Μια ακόμη προσπάθεια - τότε - ναι, το κατάλαβα! Η πρώτη ρίζα βρέθηκε! Πυροβολώ ξανά: μετά - ξαναχτύπησα! Λοιπόν, άλλη μια φορά: : - αυτή είναι ήδη μια πτήση. Άρα από την πρώτη σειρά υπάρχουν 2 ρίζες που ανήκουν στο διάστημα: . Δουλεύουμε με τη δεύτερη σειρά (χτίζουμε στην εξουσία σύμφωνα με τον κανόνα): Undershoot! Μου λείπει πάλι! Μου λείπει πάλι! Κατάλαβα! Πτήση! Έτσι, το μεσοδιάστημά μου έχει τις ακόλουθες ρίζες: Αυτός είναι ο αλγόριθμος που θα χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε όλα τα άλλα παραδείγματα. Ας εξασκηθούμε μαζί με ένα ακόμη παράδειγμα. Διάλυμα: Και πάλι οι περιβόητες φόρμουλες μείωσης: Μην προσπαθήσετε να μειώσετε ξανά! Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες: Και το δεύτερο: Τώρα πάλι η αναζήτηση για ρίζες. Θα ξεκινήσω με το δεύτερο επεισόδιο, ξέρω ήδη τα πάντα για αυτό από το προηγούμενο παράδειγμα! Κοιτάξτε και βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες που ανήκουν στο διάστημα είναι οι εξής: Τώρα το πρώτο επεισόδιο και είναι πιο απλό: Εάν - κατάλληλο Αν είναι και αυτό καλά Αν είναι ήδη πτήση. Τότε οι ρίζες θα είναι οι εξής: Λοιπόν, σας είναι ξεκάθαρη η τεχνική; Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν φαίνεται πλέον τόσο δύσκολη; Στη συνέχεια, λύστε γρήγορα μόνοι σας τα ακόλουθα προβλήματα και, στη συνέχεια, θα λύσουμε άλλα παραδείγματα: Και πάλι ο τύπος μείωσης: Πρώτη σειρά ριζών: Δεύτερη σειρά ριζών: Ξεκινάμε την επιλογή για το κενό Απάντηση: , . Αρκετά δύσκολη ομαδοποίηση σε παράγοντες (θα χρησιμοποιήσω τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας): τότε ή Αυτή είναι μια γενική λύση. Τώρα πρέπει να επιλέξουμε τις ρίζες. Το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούμε να πούμε την ακριβή τιμή μιας γωνίας της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με ένα τέταρτο. Επομένως, δεν μπορώ απλώς να απαλλαγώ από το συνημίτονο τόξου - κρίμα! Αυτό που μπορώ να κάνω είναι να καταλάβω ότι έτσι, έτσι, τότε. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα: interval: Λοιπόν, μέσα από επίπονες αναζητήσεις καταλήξαμε στο απογοητευτικό συμπέρασμα ότι η εξίσωσή μας έχει μία ρίζα στο υποδεικνυόμενο διάστημα: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi Μια τρομακτική εξίσωση. Ωστόσο, μπορεί να λυθεί πολύ απλά εφαρμόζοντας τον τύπο διπλής γωνίας ημιτόνου: Ας το μειώσουμε κατά 2: Ας ομαδοποιήσουμε τον πρώτο όρο με τον δεύτερο και τον τρίτο με τον τέταρτο και ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες: Είναι σαφές ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες, και τώρα ας εξετάσουμε τη δεύτερη: Γενικά, θα σταθώ λίγο αργότερα στην επίλυση τέτοιων εξισώσεων, αλλά αφού προέκυψε, δεν υπάρχει τίποτα να κάνω, πρέπει να λύσω... Εξισώσεις της μορφής: Αυτή η εξίσωση λύνεται διαιρώντας και τις δύο πλευρές με: Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μια μοναδική σειρά ριζών: Πρέπει να βρούμε αυτά που ανήκουν στο διάστημα: . Ας φτιάξουμε ξανά ένα τραπέζι, όπως έκανα νωρίτερα: Απάντηση: . Οι εξισώσεις μειώνονται στη μορφή: Λοιπόν, τώρα είναι η ώρα να προχωρήσουμε στο δεύτερο μέρος των εξισώσεων, ειδικά επειδή έχω ήδη χάσει τα φασόλια για το τι αποτελείται η λύση σε τριγωνομετρικές εξισώσεις νέου τύπου. Αξίζει όμως να επαναλάβουμε ότι η εξίσωση είναι της μορφής Λύθηκε με διαίρεση και των δύο πλευρών με συνημίτονο: Παράδειγμα 1. Το πρώτο είναι αρκετά απλό. Μετακινηθείτε προς τα δεξιά και εφαρμόστε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας: Ναι! Εξίσωση της μορφής: . Χωρίζω και τα δύο μέρη κατά Κάνουμε root screening: Χάσμα: Απάντηση: Παράδειγμα 2. Όλα είναι επίσης αρκετά ασήμαντα: ας ανοίξουμε τις αγκύλες στα δεξιά: Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: Ημίτονο διπλής γωνίας: Τελικά παίρνουμε: Έλεγχος ρίζας: μεσοδιάστημα. Απάντηση: . Λοιπόν, πώς σας αρέσει η τεχνική, δεν είναι πολύ περίπλοκη; Ελπίζω όχι. Μπορούμε να κάνουμε αμέσως μια επιφύλαξη: στην καθαρή τους μορφή, οι εξισώσεις που μειώνονται αμέσως σε εξίσωση για την εφαπτομένη είναι αρκετά σπάνιες. Τυπικά, αυτή η μετάβαση (διαίρεση με συνημίτονο) είναι μόνο μέρος ενός πιο περίπλοκου προβλήματος. Εδώ είναι ένα παράδειγμα για να εξασκηθείτε: Ας ελέγξουμε: Η εξίσωση μπορεί να λυθεί αμέσως, αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με: Έλεγχος ρίζας: Απάντηση: . Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, δεν έχουμε ακόμη συναντήσει εξισώσεις του τύπου που μόλις εξετάσαμε. Ωστόσο, είναι πολύ νωρίς για να το ονομάσουμε μέρα: υπάρχει ακόμα ένα «στρώμα» εξισώσεων που δεν έχουμε αναλύσει. Ετσι: Όλα είναι διαφανή εδώ: κοιτάμε προσεκτικά την εξίσωση, την απλοποιούμε όσο το δυνατόν περισσότερο, κάνουμε μια αντικατάσταση, τη λύνουμε, κάνουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση! Στα λόγια όλα είναι πολύ εύκολα. Ας δούμε στην πράξη: Παράδειγμα. Λοιπόν, εδώ μας προτείνεται η ίδια η αντικατάσταση! Τότε η εξίσωσή μας θα μετατραπεί σε αυτό: Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες: Και το δεύτερο έχει ως εξής: Τώρα ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα Απάντηση: . Ας δούμε μαζί ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο παράδειγμα: Εδώ η αντικατάσταση δεν είναι άμεσα ορατή, επιπλέον, δεν είναι πολύ εμφανής. Ας σκεφτούμε πρώτα: τι μπορούμε να κάνουμε; Μπορούμε, για παράδειγμα, να φανταστούμε Και ταυτόχρονα Τότε η εξίσωσή μου θα πάρει τη μορφή: Και τώρα προσοχή, εστίαση: Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με: Ξαφνικά εσύ και εγώ έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση συγγενή! Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και μετά παίρνουμε: Η εξίσωση έχει τις εξής ρίζες: Μια δυσάρεστη δεύτερη σειρά ριζών, αλλά τίποτα δεν μπορεί να γίνει! Επιλέγουμε ρίζες στο διάστημα. Πρέπει επίσης να το σκεφτούμε Από τότε και μετά Απάντηση: Για να το ενισχύσετε αυτό πριν λύσετε μόνοι σας τα προβλήματα, ακολουθεί μια άλλη άσκηση για εσάς: Εδώ πρέπει να έχετε τα μάτια σας ανοιχτά: τώρα έχουμε παρονομαστές που μπορεί να είναι μηδέν! Επομένως, πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στις ρίζες! Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να αναδιατάξω την εξίσωση έτσι ώστε να μπορώ να κάνω μια κατάλληλη αντικατάσταση. Δεν μπορώ να σκεφτώ τίποτα καλύτερο τώρα από το να ξαναγράψω την εφαπτομένη ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο: Τώρα θα μετακινηθώ από συνημίτονο σε ημίτονο χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: Και τέλος, θα φέρω τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή: Τώρα μπορώ να προχωρήσω στην εξίσωση: Αλλά στο (δηλαδή στο). Τώρα όλα είναι έτοιμα για αντικατάσταση: Τότε ή Ωστόσο, σημειώστε ότι εάν, τότε ταυτόχρονα! Ποιος υποφέρει από αυτό; Το πρόβλημα με την εφαπτομένη είναι ότι δεν ορίζεται όταν το συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν (συμβαίνει διαίρεση με το μηδέν). Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης είναι: Τώρα κοσκινίζουμε τις ρίζες στο διάστημα: Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα, και είναι ίση. Βλέπετε: η εμφάνιση ενός παρονομαστή (ακριβώς όπως η εφαπτομένη, οδηγεί σε ορισμένες δυσκολίες με τις ρίζες! Εδώ πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί!). Λοιπόν, εσείς και εγώ έχουμε σχεδόν τελειώσει την ανάλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, απομένουν πολύ λίγα - για να λύσετε μόνοι σας δύο προβλήματα. Εδώ είναι. Αποφασισμένος; Δεν είναι πολύ δύσκολο; Ας ελέγξουμε: Αντικαταστήστε στην εξίσωση: Ας ξαναγράψουμε τα πάντα μέσω συνημίτονων για να κάνουμε ευκολότερη την αντικατάσταση: Τώρα είναι εύκολο να κάνετε μια αντικατάσταση: Είναι σαφές ότι είναι μια ξένη ρίζα, αφού η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Τότε: Ψάχνουμε τις ρίζες που χρειαζόμαστε στο μεσοδιάστημα Απάντηση: . Τότε ή Απάντηση: Λοιπόν, αυτό είναι τώρα! Αλλά η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν τελειώνει εκεί, μένουμε πίσω από τις πιο δύσκολες περιπτώσεις: όταν οι εξισώσεις περιέχουν παραλογισμό ή διάφορα είδη «σύνθετων παρονομαστών». Θα εξετάσουμε πώς να επιλύσουμε τέτοιες εργασίες σε ένα άρθρο για προχωρημένο επίπεδο. Εκτός από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις που συζητήθηκαν στα δύο προηγούμενα άρθρα, θα εξετάσουμε μια άλλη κατηγορία εξισώσεων που απαιτούν ακόμη πιο προσεκτική ανάλυση. Αυτά τα τριγωνομετρικά παραδείγματα περιέχουν είτε παραλογισμό είτε παρονομαστή, γεγονός που καθιστά την ανάλυσή τους πιο δύσκολη. Ωστόσο, μπορεί κάλλιστα να συναντήσετε αυτές τις εξισώσεις στο Μέρος Γ του εξεταστικού χαρτιού. Ωστόσο, κάθε σύννεφο έχει μια ασημένια επένδυση: για τέτοιες εξισώσεις, κατά κανόνα, δεν τίθεται πλέον το ερώτημα ποια από τις ρίζες του ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα. Ας μην χτυπάμε γύρω από τον θάμνο, αλλά ας πάμε κατευθείαν σε τριγωνομετρικά παραδείγματα. Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση και βρείτε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα. Διάλυμα: Έχουμε έναν παρονομαστή που δεν πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν! Τότε η επίλυση αυτής της εξίσωσης είναι ίδια με την επίλυση του συστήματος Ας λύσουμε καθεμία από τις εξισώσεις: Και τώρα το δεύτερο: Ας δούμε τώρα τη σειρά: Είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή δεν μας ταιριάζει, αφού σε αυτήν την περίπτωση ο παρονομαστής μας μηδενίζεται (δείτε τον τύπο για τις ρίζες της δεύτερης εξίσωσης) Αν, τότε όλα είναι εντάξει, και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν! Τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι εξής: , . Τώρα επιλέγουμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα. Τότε οι ρίζες είναι οι εξής: Βλέπετε, ακόμη και η εμφάνιση μιας μικρής διαταραχής στη μορφή του παρονομαστή επηρέασε σημαντικά τη λύση της εξίσωσης: απορρίψαμε μια σειρά από ρίζες που ακύρωναν τον παρονομαστή. Τα πράγματα μπορεί να γίνουν ακόμη πιο περίπλοκα αν συναντήσετε τριγωνομετρικά παραδείγματα που είναι παράλογα. Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση: Διάλυμα: Λοιπόν, τουλάχιστον δεν χρειάζεται να αφαιρέσετε τις ρίζες, και αυτό είναι καλό! Ας λύσουμε πρώτα την εξίσωση, ανεξάρτητα από τον παραλογισμό: Λοιπόν, αυτό είναι όλο; Όχι, δυστυχώς, θα ήταν πολύ εύκολο! Πρέπει να θυμόμαστε ότι μόνο μη αρνητικοί αριθμοί μπορούν να εμφανίζονται κάτω από τη ρίζα. Τότε: Η λύση αυτής της ανισότητας είναι: Τώρα μένει να μάθουμε αν μέρος των ριζών της πρώτης εξίσωσης κατέληξε ακούσια εκεί που δεν ισχύει η ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα: Έτσι, μια από τις ρίζες μου «έπεσε έξω»! Αποδεικνύεται αν το βάλεις κάτω. Τότε η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής: Απάντηση: Βλέπετε, η ρίζα θέλει ακόμα περισσότερη προσοχή! Ας το κάνουμε πιο περίπλοκο: ας έχω τώρα μια τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα μου. Παράδειγμα 3. Όπως και πριν: πρώτα θα λύσουμε το καθένα ξεχωριστά, και μετά θα σκεφτούμε τι κάναμε. Τώρα η δεύτερη εξίσωση: Τώρα το πιο δύσκολο πράγμα είναι να μάθουμε εάν οι αρνητικές τιμές λαμβάνονται κάτω από την αριθμητική ρίζα αν αντικαταστήσουμε εκεί τις ρίζες από την πρώτη εξίσωση: Ο αριθμός πρέπει να γίνει κατανοητός ως ακτίνια. Δεδομένου ότι ένα ακτίνιο είναι περίπου μοίρες, τότε τα ακτίνια είναι της τάξης των μοιρών. Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Ποιο είναι το πρόσημο του συνημιτόνου του δεύτερου τετάρτου; Πλην. Τι γίνεται με το sine; Συν. Τι μπορούμε να πούμε λοιπόν για την έκφραση: Είναι λιγότερο από το μηδέν! Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης. Τώρα ήρθε η ώρα. Ας συγκρίνουμε αυτόν τον αριθμό με το μηδέν. Η συνεφαπτομένη είναι μια συνάρτηση που μειώνεται σε 1 τέταρτο (όσο μικρότερο είναι το όρισμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η συνεφαπτομένη). ακτίνια είναι περίπου μοίρες. Συγχρόνως αφού, τότε, και επομένως Απάντηση: . Θα μπορούσε να γίνει πιο περίπλοκο; Παρακαλώ! Θα είναι πιο δύσκολο εάν η ρίζα εξακολουθεί να είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης είναι και πάλι μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Όσο περισσότερα τριγωνομετρικά παραδείγματα τόσο το καλύτερο, δείτε παρακάτω: Παράδειγμα 4. Η ρίζα δεν είναι κατάλληλη λόγω του περιορισμένου συνημιτόνου Τώρα το δεύτερο: Ταυτόχρονα, εξ ορισμού ρίζας: Πρέπει να θυμόμαστε τον μοναδιαίο κύκλο: δηλαδή, εκείνα τα τέταρτα όπου το ημίτονο είναι μικρότερο από το μηδέν. Τι είναι αυτά τα τρίμηνα; Τρίτη και τέταρτη. Τότε θα μας ενδιαφέρουν εκείνες οι λύσεις της πρώτης εξίσωσης που βρίσκονται στο τρίτο ή τέταρτο τρίμηνο. Η πρώτη σειρά δίνει ρίζες που βρίσκονται στη διασταύρωση του τρίτου και του τέταρτου τετάρτου. Η δεύτερη σειρά - διαμετρικά αντίθετη από αυτήν - δημιουργεί ρίζες που βρίσκονται στο όριο του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου. Επομένως, αυτή η σειρά δεν είναι κατάλληλη για εμάς. Απάντηση:, Και πάλι τριγωνομετρικά παραδείγματα με "δύσκολο παραλογισμό". Όχι μόνο έχουμε ξανά την τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα, αλλά τώρα είναι και στον παρονομαστή! Παράδειγμα 5. Λοιπόν, τίποτα δεν μπορεί να γίνει - κάνουμε όπως πριν. Τώρα εργαζόμαστε με τον παρονομαστή: Δεν θέλω να λύσω την τριγωνομετρική ανισότητα, οπότε θα κάνω κάτι έξυπνο: θα πάρω και θα αντικαταστήσω τη σειρά των ριζών μου στην ανισότητα: Αν - είναι ζυγό, τότε έχουμε: αφού όλες οι γωνίες θέασης βρίσκονται στο τέταρτο τέταρτο. Και πάλι το ιερό ερώτημα: ποιο είναι το σημάδι του ημιτονοειδούς στο τέταρτο τέταρτο; Αρνητικός. Μετά η ανισότητα Αν -περίεργο, τότε: Σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία; Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Τότε όλες οι γωνίες είναι και πάλι οι γωνίες του δεύτερου δεκαλέπτου. Το ημίτονο εκεί είναι θετικό. Ακριβώς αυτό που χρειάζεστε! Λοιπόν η σειρά: Ταιριάζει! Αντιμετωπίζουμε τη δεύτερη σειρά ριζών με τον ίδιο τρόπο: Αντικαθιστούμε στην ανισότητα μας: Αν - ακόμη, τότε Κόρνερ πρώτου δεκαλέπτου. Το ημίτονο εκεί είναι θετικό, που σημαίνει ότι η σειρά είναι κατάλληλη. Τώρα αν - περιττό, τότε: ταιριάζει επίσης! Λοιπόν, τώρα γράφουμε την απάντηση! Απάντηση: Λοιπόν, αυτή ήταν ίσως η πιο εντατική περίπτωση εργασίας. Τώρα σας προτείνω προβλήματα να λύσετε μόνοι σας. Λύσεις: Δεύτερη εξίσωση: Επιλογή ριζών που ανήκουν στο διάστημα Απάντηση: Ή Ας αναλογιστούμε: . Αν - ακόμη, τότε Απάντηση: , . Ή Δεύτερο μέρος: Παράλληλα, σύμφωνα με τον DZ απαιτείται ότι Ελέγχουμε τις ρίζες που βρέθηκαν στην πρώτη εξίσωση: Εάν το σημάδι: Γωνίες πρώτου τετάρτου όπου η εφαπτομένη είναι θετική. Δεν χωράει! Κόρνερ τέταρτου δεκαλέπτου. Εκεί η εφαπτομένη είναι αρνητική. Ταιριάζει. Γράφουμε την απάντηση: Απάντηση: , . Εξετάσαμε μαζί σύνθετα τριγωνομετρικά παραδείγματα σε αυτό το άρθρο, αλλά θα πρέπει να λύσετε μόνοι σας τις εξισώσεις. Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο βρίσκεται αυστηρά κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων: Ο πρώτος τρόπος είναι η χρήση τύπων. Ο δεύτερος τρόπος είναι μέσω του τριγωνομετρικού κύκλου. Σας επιτρέπει να μετράτε γωνίες, να βρίσκετε τα ημιτόνια, τα συνημίτονά τους κ.λπ. Μπορείτε να παραγγείλετε μια αναλυτική λύση στο πρόβλημά σας!!! Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tan x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και είναι οι τύποι τους που θα εξετάσουμε περαιτέρω. Οι απλούστερες εξισώσεις ονομάζονται «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά. 1. Εξίσωση `sin x=a`. Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις. Όταν `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z` 2. Εξίσωση `cos x=a` Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτονοειδούς, δεν έχει λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών. Όταν `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z` Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα. 3. Εξίσωση `tg x=a` Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'. Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z` 4. Εξίσωση `ctg x=a` Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'. Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z` Για ημιτονοειδή: Η επίλυση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια: Ας δούμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει την αντικατάσταση μιας μεταβλητής και την αντικατάστασή της σε μια ισότητα. Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0` `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`, κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`, βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις: 1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`. 2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`. Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`. Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`. Διάλυμα. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της ισότητας προς τα αριστερά: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά: `sin x — 2sin^2 x/2=0`, `2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`, `2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`, Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`. Αρχικά, πρέπει να μειώσετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές: `a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού). Στη συνέχεια, διαιρέστε και τα δύο μέρη με «cos x \ne 0» - για την πρώτη περίπτωση, και με «cos^2 x \ne 0» - για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για «tg x»: «a tg x+b=0» και «a tg^2 x + b tg x +c =0», οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους. Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`. Διάλυμα. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`, `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0` `sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`. Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση του δεύτερου βαθμού, διαιρούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με το 'cos^2 x \ne 0', παίρνουμε: `\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0` `tg^2 x+tg x — 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, με αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Τότε: Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`. Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`. Διάλυμα. Ας εφαρμόσουμε τους τύπους διπλής γωνίας, με αποτέλεσμα: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2` `4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0` Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε: Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`. Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το «sqrt (a^2+b^2)»: `\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))». Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1 και οι μονάδες τους δεν είναι μεγαλύτερες από 1. Ας τους συμβολίσουμε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, τότε: `cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα: Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`. Διάλυμα. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το `sqrt (3^2+4^2)`, παίρνουμε: `\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))». `3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`. Ας συμβολίσουμε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Εφόσον `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, τότε λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή: `cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5` Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητα μας με την ακόλουθη μορφή: `sin (x+\varphi)=2/5`, `x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`, `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`. Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`. Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα των οποίων οι αριθμητές και οι παρονομαστές περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`. Διάλυμα. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της ισότητας με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα παίρνουμε: `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)` `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)` `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)` `\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0` `\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0` Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, παίρνουμε «1+cos x \ne 0», «cos x \ne -1», «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z». Ας εξισώσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`. Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`. Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`. Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η φοίτηση ξεκινά στη 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμες! Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να μπορέσετε να την αντλήσετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο. Προετοιμασία για το επίπεδο προφίλ της ενιαίας κρατικής εξέτασης στα μαθηματικά. Χρήσιμα υλικά για την τριγωνομετρία, μεγάλες θεωρητικές βιντεοδιαλέξεις, βίντεο ανάλυση προβλημάτων και επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών.
α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
α) Λύστε την εξίσωση $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
α) Λύστε την εξίσωση $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
α) Λύστε την εξίσωση $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.
Διάλυμα
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.
\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Εργασίες για το σπίτι ή 3 εργασίες που πρέπει να λυθούν ανεξάρτητα.
Στην απάντηση στην πι-σι-θ-η-μικρότερη-δυνατή ρίζα.
Στην απάντηση στην πι-σι-θ-η-μικρότερη-δυνατή ρίζα.Δείτε τις λύσεις και τις απαντήσεις:
Εργασία Νο. 1
Εργασία Νο. 2
Εργασία Νο. 3
ΜΕΣΑΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Τέσσερις κατηγορίες εργασιών αυξημένης πολυπλοκότητας (πρώην C1)
Εξισώσεις που ανάγονται σε παραγοντοποίηση
Παράδειγμα 1. Η εξίσωση ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής και ημιτονίου διπλής γωνίας
ΘΥΜΑΣΤΕ: ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΟΤΕ ΝΑ ΜΕΙΩΣΕΤΕ ΚΑΙ ΤΙΣ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΕΣ ΜΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΜΙΑ ΑΓΝΩΣΤΗ! ΕΤΣΙ ΧΑΝΕΙΣ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΣΟΥ!
Παράδειγμα 2. Η εξίσωση ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής
Ανεξάρτητη εργασία. 3 εξισώσεις.
Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από το διάστημα.
Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή
Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται ανάμεσά τους.Εξίσωση 1.
Εξίσωση 2. Έλεγχος ανεξάρτητης εργασίας.
Εξίσωση 3: Δοκιμή ανεξάρτητης εργασίας.
Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.
Να αναφέρετε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται ανάμεσά τους.Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων αλλάζοντας μεταβλητές
- ταιριάζει
- υπερβολή
Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.
Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, που βρίσκονται πάνω από την τομή.
Εδώ η αντικατάσταση είναι άμεσα ορατή:
- ταιριάζει!
- ταιριάζει!
- ταιριάζει!
- ταιριάζει!
- πολύ!
- επίσης πολύ!
ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
- ακατάλληλο
- ταιριάζει
- ταιριάζει
- ταιριάζει
υπερβολή
υπερβολή
: , Αλλά
Όχι!
Ναί!
Ναί!
,Εκπαίδευση
Πρώτη εξίσωση:
ή
ODZ της ρίζας:
ή
Αλλά
- δεν χωράει!
Εάν - περίεργο, : - κατάλληλο!
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας έχει την ακόλουθη σειρά ριζών:
ή
Επιλογή ριζών στο διάστημα:
- ακατάλληλο
- ταιριάζει
- ταιριάζει
- πολύ
- ταιριάζει
πολοί
Αφού, τότε η εφαπτομένη δεν ορίζεται. Απορρίπτουμε αμέσως αυτή τη σειρά ριζών!
Εάν το σημάδι:ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΥΠΟΛΟΙ
Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα
Για το συνημίτονο: 
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη: 
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων
Αλγεβρική μέθοδος.
Παραγοντοποίηση.
Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση
Μετακίνηση στη μισή γωνία
Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας
Κλασματικές ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις
Χρήσιμα υλικά
Συλλογές βίντεο και διαδικτυακά μαθήματα
Τριγωνομετρικοί τύποι
Γεωμετρική απεικόνιση τριγωνομετρικών τύπων
Λειτουργίες τόξου. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Τριγωνομετρικές εξισώσεις
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \δεξιά)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$.Ανάλυση εργασιών βίντεο
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \δεξιά)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \δεξιά]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \δεξιά]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.Επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Πρώιμο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Πρώιμο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \δεξιά]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \δεξιά]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ 2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ 2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2016, κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2016, κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2015, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2015, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, πρώιμο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2013, κύριο κύμα)
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2012, δεύτερο κύμα)
