Πώς να λύσετε την εξίσωση ενός κύκλου. Κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων

Ορισμός 1. άξονας αριθμού ( αριθμητική γραμμή, γραμμή συντεταγμένων) Ox είναι η ευθεία γραμμή στην οποία επιλέγεται το σημείο O προέλευση (προέλευση συντεταγμένων)(Εικ.1), κατεύθυνση

Ο → x

παρατίθεται ως θετική κατεύθυνσηκαι σημειώνεται ένα τμήμα, το μήκος του οποίου λαμβάνεται ως μονάδα μήκους.

Ορισμός 2. Ένα τμήμα του οποίου το μήκος λαμβάνεται ως μονάδα μήκους ονομάζεται κλίμακα.

Κάθε σημείο στον αριθμητικό άξονα έχει μια συντεταγμένη που είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η συντεταγμένη του σημείου Ο είναι μηδέν. Η συντεταγμένη ενός αυθαίρετου σημείου Α που βρίσκεται στην ακτίνα Ox είναι ίση με το μήκος του τμήματος ΟΑ.

Η συντεταγμένη ενός αυθαίρετου σημείου Α του αριθμητικού άξονα που δεν βρίσκεται στην ακτίνα Ox είναι αρνητική και σε απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος ΟΑ. Ορισμός 3.Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο καλέστε δύο αμοιβαίακάθετος αριθμητικοί άξονες Ox και Oy μετην ίδια κλίμακα Καικοινό σημείο αναφοράς στο σημείο O, και έτσι ώστε η περιστροφή από την ακτίνα Ox υπό γωνία 90° προς την ακτίνα Oy να εκτελείται προς την κατεύθυνσηαριστερόστροφα

(Εικ. 2). Σημείωμα. Το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, που φαίνεται στο σχήμα 2, ονομάζεταισωστό σύστημα συντεταγμένων , σε αντίθεση μεαριστερά συστήματα συντεταγμένων , κατά την οποία η περιστροφή της δέσμης Ox υπό γωνία 90° ως προς τη δέσμη Oy πραγματοποιείται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Σε αυτόν τον οδηγό εμείςθεωρούμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων

, χωρίς να προσδιορίζεται συγκεκριμένα. Εάν εισάγουμε κάποιο σύστημα ορθογώνιων καρτεσιανών συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο, τότε κάθε σημείο του επιπέδου θα αποκτήσει – δύο συντεταγμένεςτην ίδια κλίμακα τετμημένητεταγμένη , τα οποία υπολογίζονται ως εξής. Έστω Α ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο. Ας ρίξουμε κάθετες από το σημείο ΑΑ.Α. , τα οποία υπολογίζονται ως εξής. Έστω Α ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο. Ας ρίξουμε κάθετες από το σημείο Α 1 και

2 σε ευθείες γραμμές Ox και Oy, αντίστοιχα (Εικ. 3). Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείουΕΝΑ Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου 1 στον αριθμητικό άξονα Ox, η τεταγμένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου

2 στον αριθμητικό άξονα Oy. ΟνομασίαΣυντεταγμένες (τετμημένη και τεταγμένη) του σημείου Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου(x;Το A στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται συνήθως με το Oxy (Εικ. 4).) y Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου = (x; ή).

y Σημείωμα. Το σημείο Ο, καλείταιπροέλευση Ο(0 ; 0) .

, έχει συντεταγμένες

Ορισμός 6. Κάθε ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χωρίζει το επίπεδο σε 4 τέταρτα (τεταρτημόρια), η αρίθμηση των οποίων φαίνεται στο Σχήμα 5.

Ορισμός 7. Το επίπεδο στο οποίο δίνεται ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται επίπεδο συντεταγμένων.

Σημείωμα. Ο άξονας της τετμημένης καθορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων από την εξίσωση ή= 0, ο άξονας τεταγμένων δίνεται στο επίπεδο συντεταγμένων από την εξίσωση x = 0.

Δήλωση 1. Απόσταση μεταξύ δύο σημείωνεπίπεδο συντεταγμένων

Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου 1 (x 1 ;Το A στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται συνήθως με το Oxy (Εικ. 4). 1) την ίδια κλίμακα Ορισμός 4. Η τετμημένη του σημείου Α είναι η συντεταγμένη του σημείου 2 (x 2 ;Το A στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται συνήθως με το Oxy (Εικ. 4). 2)

υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

Απόδειξη . Εξετάστε το σχήμα 6.

Εάν τοποθετήσετε τον κύκλο του αριθμού μονάδας στο επίπεδο συντεταγμένων, τότε μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες για τα σημεία του. Ο αριθμητικός κύκλος είναι τοποθετημένος έτσι ώστε το κέντρο του να συμπίπτει με την αρχή του επιπέδου, δηλαδή το σημείο O (0; 0).

Συνήθως στον κύκλο με τον αριθμό μονάδας σημειώνονται τα σημεία που αντιστοιχούν στην αρχή του κύκλου

• τέταρτα - 0 ή 2π, π/2, π, (2π)/3,
• μεσαία τέταρτα - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• τρίτα των τετάρτων - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Στο επίπεδο συντεταγμένων, με την παραπάνω θέση του κύκλου μονάδας πάνω του, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες που αντιστοιχούν σε αυτά τα σημεία του κύκλου.

Οι συντεταγμένες των άκρων των τεταρτημορίων είναι πολύ εύκολο να βρεθούν. Στο σημείο 0 του κύκλου, η συντεταγμένη x είναι 1 και η συντεταγμένη y είναι 0. Μπορούμε να τη συμβολίσουμε ως A (0) = A (1; 0).

Το τέλος του πρώτου τριμήνου θα βρίσκεται στον θετικό άξονα y. Επομένως, B (π/2) = B (0; 1).

Το τέλος του δεύτερου δεκαλέπτου είναι στον αρνητικό ημιάξονα: C (π) = C (-1; 0).

Τέλος τρίτου δεκαλέπτου: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Πώς όμως να βρείτε τις συντεταγμένες των μεσαίων σημείων των τετάρτων; Για αυτό χτίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Η υποτείνησή του είναι ένα τμήμα από το κέντρο του κύκλου (ή την αρχή) έως το μέσο του τεταρτοκύκλου. Αυτή είναι η ακτίνα του κύκλου. Εφόσον ο κύκλος είναι μονάδα, η υποτείνουσα είναι ίση με 1. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια κάθετη από ένα σημείο του κύκλου σε οποιονδήποτε άξονα. Έστω προς τον άξονα x. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα μήκη των σκελών του οποίου είναι οι συντεταγμένες x και y του σημείου του κύκλου.

Το τέταρτο του κύκλου είναι 90º. Και το μισό τέταρτο είναι 45º. Εφόσον η υποτείνουσα τραβιέται στο μέσο του τεταρτημορίου, η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους που εκτείνεται από την αρχή είναι 45º. Αλλά το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180º. Κατά συνέπεια, η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους παραμένει επίσης 45º. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε την εξίσωση x 2 + y 2 = 1 2. Εφόσον x = y και 1 2 = 1, η εξίσωση απλοποιείται σε x 2 + x 2 = 1. Λύνοντάς το, παίρνουμε x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Στις συντεταγμένες των σημείων των μεσαίων σημείων των άλλων τετάρτων, μόνο τα σημάδια θα αλλάξουν και οι μονάδες των τιμών θα παραμείνουν ίδιες, αφού το ορθογώνιο τρίγωνο θα αναποδογυριστεί μόνο. Παίρνουμε:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των τρίτων μερών των τεταρτημορίων ενός κύκλου, κατασκευάζεται και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν πάρουμε το σημείο π/6 και σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα x, τότε η γωνία μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους που βρίσκεται στον άξονα x θα είναι 30º. Είναι γνωστό ότι ένα πόδι που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας. Αυτό σημαίνει ότι βρήκαμε τη συντεταγμένη y, είναι ίση με ½.

Γνωρίζοντας τα μήκη της υποτείνουσας και του ενός σκέλους, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε το άλλο σκέλος:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Έτσι T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Για το σημείο του δεύτερου τρίτου του πρώτου τετάρτου (π/3), είναι προτιμότερο να σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα προς τον άξονα y. Τότε η γωνία στην αρχή θα είναι επίσης 30º. Εδώ η συντεταγμένη x θα είναι ίση με ½, και y, αντίστοιχα, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Για άλλα σημεία του τρίτου τριμήνου, τα σημάδια και η σειρά των τιμών των συντεταγμένων θα αλλάξουν. Όλα τα σημεία που είναι πιο κοντά στον άξονα x θα έχουν τιμή συντεταγμένων συντελεστή x ίση με √3/2. Αυτά τα σημεία που είναι πιο κοντά στον άξονα y θα έχουν τιμή συντελεστή y ίση με √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Περιφέρειαείναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχει από ένα δεδομένο σημείο που ονομάζεται κέντρο.

Εάν το σημείο C είναι το κέντρο του κύκλου, το R είναι η ακτίνα του και το M είναι ένα αυθαίρετο σημείο του κύκλου, τότε με τον ορισμό ενός κύκλου

Η ισότητα (1) είναι εξίσωση κύκλουακτίνα R με κέντρο στο σημείο C.

Έστω ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 104) και το σημείο C( ΕΝΑ; σι) είναι το κέντρο ενός κύκλου ακτίνας R. Έστω M( X; στο) είναι ένα αυθαίρετο σημείο αυτού του κύκλου.

Αφού |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), τότε η εξίσωση (1) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(χ-α) 2 + (y - β) 2 = R 2 (2)

Καλείται η εξίσωση (2). γενική εξίσωσηκύκλοςή η εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο στο σημείο ( ΕΝΑ; σι). Για παράδειγμα, η εξίσωση

(x - λ) 2 + ( ή + 3) 2 = 25

είναι η εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας R = 5 με κέντρο στο σημείο (1; -3).

Αν το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, τότε η εξίσωση (2) παίρνει τη μορφή

x 2 + στο 2 = R2. (3)

Καλείται η εξίσωση (3). κανονική εξίσωση κύκλου .

Εργασία 1.Να γράψετε την εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας R = 7 με το κέντρο του στην αρχή.

Αντικαθιστώντας απευθείας την τιμή της ακτίνας στην εξίσωση (3) παίρνουμε

x 2 + στο 2 = 49.

Εργασία 2.Γράψτε την εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας R = 9 με κέντρο στο σημείο C(3; -6).

Αντικαθιστώντας την τιμή των συντεταγμένων του σημείου C και την τιμή της ακτίνας στον τύπο (2), παίρνουμε

(Χ - 3) 2 + (στο- (-6)) 2 = 81 ή ( Χ - 3) 2 + (στο + 6) 2 = 81.

Εργασία 3.Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ενός κύκλου

(Χ + 3) 2 + (στο-5) 2 =100.

Συγκρίνοντας αυτή την εξίσωση με τη γενική εξίσωση ενός κύκλου (2), βλέπουμε ότι ΕΝΑ = -3, σι= 5, R = 10. Επομένως, C(-3; 5), R = 10.

Εργασία 4.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

x 2 + στο 2 + 4Χ - 2ή - 4 = 0

είναι η εξίσωση ενός κύκλου. Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης:

x 2 + 4Χ + 4- 4 + στο 2 - 2στο +1-1-4 = 0

(Χ + 2) 2 + (στο - 1) 2 = 9.

Αυτή η εξίσωση είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο το (-2; 1). Η ακτίνα του κύκλου είναι 3.

Εργασία 5.Γράψτε την εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο C(-1; -1) που εφάπτεται στην ευθεία ΑΒ, αν A (2; -1), B(- 1; 3).

Ας γράψουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ:

ή 4 Χ + 3ή-5 = 0.

Δεδομένου ότι ένας κύκλος αγγίζει μια δεδομένη γραμμή, η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής είναι κάθετη σε αυτή τη γραμμή. Για να βρείτε την ακτίνα, πρέπει να βρείτε την απόσταση από το σημείο C(-1; -1) - το κέντρο του κύκλου στην ευθεία γραμμή 4 Χ + 3ή-5 = 0:

Ας γράψουμε την εξίσωση του επιθυμητού κύκλου

(x +1) 2 + (ή +1) 2 = 144 / 25

Έστω ένας κύκλος που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων x 2 + στο 2 = R2. Θεωρήστε το αυθαίρετο σημείο του M( X; στο) (Εικ. 105).

Έστω το διάνυσμα ακτίνας OM> το σημείο Μ σχηματίζει γωνία μεγέθους tμε θετική φορά του άξονα Ο Χ, τότε η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ αλλάζουν ανάλογα με t

(0 t x και y μέσω t, βρίσκουμε

x= Rcos t ; ή= R αμαρτία t , 0 t

Καλούνται οι εξισώσεις (4). παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με κέντρο στην αρχή.

Εργασία 6.Ο κύκλος δίνεται από τις εξισώσεις

x= \(\sqrt(3)\)cos t, ή= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Γράφω κάτω κανονική εξίσωσηαυτόν τον κύκλο.

Από την συνθήκη προκύπτει x 2 = 3 συν 2 t, στο 2 = 3 αμαρτία 2 t. Προσθέτοντας αυτές τις ισότητες ανά όρο, παίρνουμε

x 2 + στο 2 = 3 (συν 2 t+ αμαρτία 2 t)

ή x 2 + στο 2 = 3

Στόχος του μαθήματος:εισαγάγετε την εξίσωση ενός κύκλου, διδάξτε στους μαθητές να συνθέσουν μια εξίσωση κύκλου χρησιμοποιώντας ένα έτοιμο σχέδιο και κατασκευάστε έναν κύκλο χρησιμοποιώντας μια δεδομένη εξίσωση.

Εξοπλισμός: διαδραστικός πίνακας.

Σχέδιο μαθήματος:

1. Οργανωτική στιγμή – 3 λεπτά.
2. Επανάληψη. Οργάνωση νοητική δραστηριότητα– 7 λεπτά.
3. Επεξήγηση νέου υλικού. Εξαγωγή της εξίσωσης κύκλου – 10 λεπτά.
4. Εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε – 20 λεπτά.
5. Περίληψη μαθήματος – 5 λεπτά.

Πρόοδος μαθήματος

2. Επανάληψη:

− (Παράρτημα 1 Διαφάνεια 2) γράψτε τον τύπο για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου ενός τμήματος.

− (Διαφάνεια 3) ZΓράψτε τον τύπο για την απόσταση μεταξύ των σημείων (το μήκος του τμήματος).

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

(Διαφάνειες 4 – 6)Να ορίσετε την εξίσωση ενός κύκλου. Να εξάγετε εξισώσεις κύκλου με κέντρο στο σημείο ( ΕΝΑ;σι) και επικεντρώνεται στην αρχή.

(Χ – ΕΝΑ ) 2 + (στο – σι ) 2 = R 2 – εξίσωση κύκλου με κέντρο ΜΕ (ΕΝΑ;σι) , ακτίνα R , Χ Και στο – συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου στον κύκλο .

Χ 2 + y 2 = R 2 – εξίσωση κύκλου με κέντρο στην αρχή.

(Διαφάνεια 7)

Για να δημιουργήσετε την εξίσωση ενός κύκλου, πρέπει:

• γνωρίζουν τις συντεταγμένες του κέντρου.
• γνωρίζουν το μήκος της ακτίνας?
• Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του κέντρου και του μήκους της ακτίνας στην εξίσωση του κύκλου.

4. Επίλυση προβλημάτων.

Στις εργασίες Νο. 1 – Νο. 6, συνθέστε εξισώσεις κύκλου χρησιμοποιώντας έτοιμα σχέδια.

(Διαφάνεια 14)

№ 7. Συμπληρώστε τον πίνακα.

(Διαφάνεια 15)

№ 8. Κατασκευάστε κύκλους στο τετράδιό σας που δίνονται από τις εξισώσεις:

Α) ( Χ – 5) 2 + (στο + 3) 2 = 36;
σι) (Χ + 1) 2 + (στο– 7) 2 = 7 2 .

(Διαφάνεια 16)

№ 9. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας αν ΑΒ– διάμετρος κύκλου.

Δεδομένος:		Διάλυμα:
		R	Κέντρο συντεταγμένων
1	ΕΝΑ(0 ; -6) ΣΕ(0 ; 2)	ΑΒ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; ΑΒ 2 = 64; ΑΒ = 8 .	ΕΝΑ(0; -6) ΣΕ(0 ; 2) ΜΕ(0 ; – 2) – κέντρο
2	ΕΝΑ(-2 ; 0) ΣΕ(4 ; 0)	ΑΒ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; ΑΒ 2 = 36; ΑΒ = 6.	ΕΝΑ (-2;0) ΣΕ (4 ;0) ΜΕ(1 ; 0) – κέντρο

(Διαφάνεια 17)

№ 10. Να γράψετε μια εξίσωση για έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή και να διέρχεται από το σημείο ΝΑ(-12;5).

Διάλυμα.

R 2 = ΟΚ 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Εξίσωση κύκλου: x 2 + y 2 = 169 .

(Διαφάνεια 18)

№ 11. Γράψτε μια εξίσωση για έναν κύκλο που διέρχεται από την αρχή και με κέντρο στο ΜΕ(3; - 1).

Διάλυμα.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Εξίσωση κύκλου: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Διαφάνεια 19)

№ 12. Γράψτε μια εξίσωση για έναν κύκλο με κέντρο ΕΝΑ(3;2), περνώντας μέσα ΣΕ(7;5).

Διάλυμα.

1. Κέντρο του κύκλου – ΕΝΑ(3;2);
2.R = ΑΒ;
ΑΒ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; ΑΒ = 5;
3. Εξίσωση κύκλου ( Χ – 3) 2 + (στο − 2) 2 = 25.

(Διαφάνεια 20)

№ 13. Ελέγξτε εάν τα σημεία βρίσκονται ΕΝΑ(1; -1), ΣΕ(0;8), ΜΕ(-3; -1) στον κύκλο που ορίζεται από την εξίσωση ( Χ + 3) 2 + (στο − 4) 2 = 25.

Διάλυμα.

εγώ. Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου ΕΝΑ(1; -1) στην εξίσωση ενός κύκλου:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – η ισότητα είναι ψευδής, που σημαίνει ΕΝΑ(1; -1) δεν λέει ψέματαστον κύκλο που δίνεται από την εξίσωση ( Χ + 3) 2 + (στο − 4) 2 = 25.

II. Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου ΣΕ(0;8) στην εξίσωση ενός κύκλου:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
ΣΕ(0;8)ψέματα Χ + 3) 2 + (στο − 4) 2 = 25.

III.Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου ΜΕ(-3; -1) στην εξίσωση ενός κύκλου:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – η ισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ΜΕ(-3; -1) ψέματαστον κύκλο που δίνεται από την εξίσωση ( Χ + 3) 2 + (στο − 4) 2 = 25.

Περίληψη μαθήματος.

1. Επανάληψη: εξίσωση κύκλου, εξίσωση κύκλου με το κέντρο του στην αρχή.
2. (Διαφάνεια 21)Σχολική εργασία στο σπίτι.