Μηχανική θεωρία. Σύντομο μάθημα στη θεωρητική μηχανική

Γενικά θεωρήματα για τη δυναμική ενός συστήματος σωμάτων. Θεωρήματα για την κίνηση του κέντρου μάζας, για την αλλαγή της ορμής, για τη μεταβολή της κύριας γωνιακής ορμής, για την αλλαγή της κινητικής ενέργειας. Αρχές και πιθανές κινήσεις του D'Alembert. Γενική εξίσωση δυναμικής. Εξισώσεις Lagrange.

Περιεχόμενο

Το έργο που έκανε η δύναμη, είναι ίσο κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα δύναμης και απειροελάχιστη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής του:
,
δηλαδή το γινόμενο των απόλυτων τιμών των διανυσμάτων F και ds από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Το έργο που γίνεται από τη στιγμή της δύναμης, ισούται με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ροπής και την απειροελάχιστη γωνία περιστροφής:
.

Αρχή d'Alembert

Η ουσία της αρχής του d'Alembert είναι να ανάγει τα προβλήματα δυναμικής σε προβλήματα στατικής. Για να γίνει αυτό, υποτίθεται (ή είναι γνωστό εκ των προτέρων) ότι τα σώματα του συστήματος έχουν ορισμένες (γωνιακές) επιταχύνσεις. Στη συνέχεια, εισάγονται αδρανειακές δυνάμεις και (ή) ροπές αδρανειακών δυνάμεων, οι οποίες είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες ως προς τις δυνάμεις και τις ροπές των δυνάμεων που, σύμφωνα με τους νόμους της μηχανικής, θα δημιουργούσαν δεδομένες επιταχύνσεις ή γωνιακές επιταχύνσεις

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Το σώμα υφίσταται μεταφορική κίνηση και επενεργείται από εξωτερικές δυνάμεις. Υποθέτουμε περαιτέρω ότι αυτές οι δυνάμεις δημιουργούν μια επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος. Σύμφωνα με το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας, το κέντρο μάζας ενός σώματος θα είχε την ίδια επιτάχυνση αν ασκούσε δύναμη στο σώμα. Στη συνέχεια εισάγουμε τη δύναμη της αδράνειας:
.
Μετά από αυτό, το πρόβλημα δυναμικής:
.
;
.

Για την περιστροφική κίνηση προχωρήστε με τον ίδιο τρόπο. Αφήστε το σώμα να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z και να επηρεαστεί από εξωτερικές ροπές δύναμης M e zk . Υποθέτουμε ότι αυτές οι στιγμές δημιουργούνγωνιώδης επιτάχυνση
.
ε z .
;
.

Στη συνέχεια, εισάγουμε τη ροπή των δυνάμεων αδράνειας M И = - J z ε z.

Μετά από αυτό, το πρόβλημα δυναμικής:

Μετατρέπεται σε στατικό πρόβλημα:.
Η αρχή των πιθανών κινήσεων

Πιθανή μετατόπιση συστήματος- πρόκειται για μια μικρή κίνηση κατά την οποία οι συνδέσεις που επιβάλλονται στο σύστημα δεν σπάνε.

Ιδανικές συνδέσεις- πρόκειται για συνδέσεις που δεν λειτουργούν όταν το σύστημα κινείται. Πιο συγκεκριμένα, η ποσότητα εργασίας που εκτελείται από τις ίδιες τις συνδέσεις κατά τη μετακίνηση του συστήματος είναι μηδενική.

Γενική εξίσωση δυναμικής (αρχή D'Alembert - Lagrange)

Η αρχή D'Alembert-Lagrange είναι ένας συνδυασμός της αρχής D'Alembert με την αρχή των πιθανών κινήσεων. Δηλαδή, όταν λύνουμε ένα δυναμικό πρόβλημα, εισάγουμε αδρανειακές δυνάμεις και ανάγουμε το πρόβλημα σε στατικό πρόβλημα, το οποίο λύνουμε χρησιμοποιώντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων.

Αρχή D'Alembert-Lagrange.
Όταν ένα μηχανικό σύστημα με ιδανικές συνδέσεις κινείται, σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος είναι μηδέν:
.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται γενική εξίσωση δυναμικής.

Εξισώσεις Lagrange

Γενικευμένες συντεταγμένες q 1 , q 2 , ..., q n είναι ένα σύνολο n μεγεθών που καθορίζουν μοναδικά τη θέση του συστήματος.

Ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων n συμπίπτει με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του συστήματος.

Γενικευμένες ταχύτητεςείναι παράγωγοι γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο t.

Γενικευμένες δυνάμεις Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Ας εξετάσουμε μια πιθανή κίνηση του συστήματος, στην οποία η συντεταγμένη q k θα λάβει κίνηση δq k.
Οι υπόλοιπες συντεταγμένες παραμένουν αμετάβλητες. Έστω δA k το έργο που κάνουν οι εξωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης. Τότε
.

δA k = Q k δq k , ή
Εάν, με μια πιθανή κίνηση του συστήματος, αλλάξουν όλες οι συντεταγμένες, τότε το έργο που γίνεται από εξωτερικές δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης έχει τη μορφή: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Τότε οι γενικευμένες δυνάμεις είναι μερικές παράγωγοι της εργασίας στις μετατοπίσεις:Για πιθανές δυνάμεις
.

με δυναμικό Π,Εξισώσεις Lagrange

- αυτές είναι οι εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες: Εδώ το Τ είναι κινητική ενέργεια. Είναι συνάρτηση γενικευμένων συντεταγμένων, ταχυτήτων και, πιθανώς, χρόνου. Επομένως, η μερική του παράγωγος είναι επίσης συνάρτηση γενικευμένων συντεταγμένων, ταχυτήτων και χρόνου. Στη συνέχεια, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι οι συντεταγμένες και οι ταχύτητες είναι συναρτήσεις του χρόνου. Επομένως, για να βρείτε τη συνολική παράγωγο σε σχέση με το χρόνο, πρέπει να εφαρμόσετε τον κανόνα διαφοροποίησης:
.

σύνθετη λειτουργία
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία: S. M. Targ,Σύντομη πορεία θεωρητική μηχανική»,μεταπτυχιακό σχολείο

", 2010. Μέσα σε οποιαδήποτεΗ μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική. Όχι από θεωρητική, όχι από εφαρμοσμένη ή υπολογιστική, αλλά από παλιά καλή κλασική μηχανική. Αυτή η μηχανική ονομάζεται επίσης Νευτώνεια μηχανική. Σύμφωνα με το μύθο, ένας επιστήμονας περπατούσε στον κήπο, είδε ένα μήλο να πέφτει και ήταν αυτό το φαινόμενο που τον ώθησε να ανακαλύψει τον νόμο καθολική βαρύτητα. Φυσικά, ο νόμος υπήρχε πάντα, και ο Νεύτωνας του έδωσε μόνο μια μορφή κατανοητή στους ανθρώπους, αλλά η αξία του είναι ανεκτίμητη. Σε αυτό το άρθρο δεν θα περιγράψουμε τους νόμους της Νευτώνειας μηχανικής με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες, αλλά θα περιγράψουμε τις βασικές αρχές, τις βασικές γνώσεις, τους ορισμούς και τους τύπους που μπορούν πάντα να παίζουν στα χέρια σας.

Η μηχανική είναι ένας κλάδος της φυσικής, μια επιστήμη που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους.

Η ίδια η λέξη είναι ελληνικής προέλευσης και μεταφράζεται ως «η τέχνη της κατασκευής μηχανών». Αλλά πριν κατασκευάσουμε μηχανές, είμαστε ακόμα σαν τη Σελήνη, οπότε ας ακολουθήσουμε τα βήματα των προγόνων μας και ας μελετήσουμε την κίνηση των λίθων που πετιούνται υπό γωνία προς τον ορίζοντα και των μήλων που πέφτουν στα κεφάλια μας από ύψος h.

Γιατί η μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική; Επειδή αυτό είναι απολύτως φυσικό, δεν πρέπει να ξεκινήσουμε με τη θερμοδυναμική ισορροπία;!

Η μηχανική είναι μια από τις παλαιότερες επιστήμες και ιστορικά η μελέτη της φυσικής ξεκίνησε ακριβώς με τα θεμέλια της μηχανικής. Τοποθετημένοι στο πλαίσιο του χρόνου και του χώρου, οι άνθρωποι, στην πραγματικότητα, δεν μπορούσαν να ξεκινήσουν με κάτι άλλο, όσο κι αν ήθελαν. Τα κινούμενα σώματα είναι το πρώτο πράγμα που προσέχουμε.

Τι είναι κίνηση;

Η μηχανική κίνηση είναι μια αλλαγή στη θέση των σωμάτων στο χώρο σε σχέση μεταξύ τους με την πάροδο του χρόνου.

Μετά από αυτόν τον ορισμό φτάνουμε φυσικά στην έννοια του πλαισίου αναφοράς. Αλλαγή της θέσης των σωμάτων στο χώρο μεταξύ τους. Λέξεις-κλειδιάΕδώ: σε σχέση μεταξύ τους . Εξάλλου, ένας επιβάτης σε ένα αυτοκίνητο κινείται σε σχέση με το άτομο που στέκεται στην άκρη του δρόμου με μια συγκεκριμένη ταχύτητα και είναι σε ηρεμία σε σχέση με τον γείτονά του στη θέση δίπλα του και κινείται με κάποια άλλη ταχύτητα σε σχέση με τον επιβάτη στο αυτοκίνητο που τους προσπερνά.

Γι' αυτό, για να μετρήσουμε κανονικά τις παραμέτρους των κινούμενων αντικειμένων και να μην μπερδευόμαστε, χρειαζόμαστε σύστημα αναφοράς - άκαμπτα διασυνδεδεμένο σώμα αναφοράς, σύστημα συντεταγμένων και ρολόι. Για παράδειγμα, η γη κινείται γύρω από τον ήλιο σε ένα ηλιοκεντρικό πλαίσιο αναφοράς. Στην καθημερινή ζωή, πραγματοποιούμε σχεδόν όλες τις μετρήσεις μας σε ένα γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη. Η γη είναι ένα σώμα αναφοράς σε σχέση με το οποίο κινούνται αυτοκίνητα, αεροπλάνα, άνθρωποι και ζώα.

Η μηχανική, ως επιστήμη, έχει το δικό της έργο. Το καθήκον της μηχανικής είναι να γνωρίζει τη θέση ενός σώματος στο χώρο ανά πάσα στιγμή. Με άλλα λόγια, η μηχανική δημιουργεί μια μαθηματική περιγραφή της κίνησης και βρίσκει συνδέσεις μεταξύ τους φυσικές ποσότητες, που το χαρακτηρίζουν.

Για να προχωρήσουμε περαιτέρω, χρειαζόμαστε την έννοια " υλικό σημείο " Λένε ότι η φυσική είναι μια ακριβής επιστήμη, αλλά οι φυσικοί γνωρίζουν πόσες προσεγγίσεις και υποθέσεις πρέπει να γίνουν για να συμφωνήσουν σε αυτήν ακριβώς την ακρίβεια. Κανείς δεν έχει δει ή μυρίσει ποτέ ένα υλικό σημείο ιδανικό αέριο, αλλά υπάρχουν! Είναι πολύ πιο εύκολο να ζεις μαζί τους.

Ένα υλικό σημείο είναι ένα σώμα του οποίου το μέγεθος και το σχήμα μπορούν να παραμεληθούν στο πλαίσιο αυτού του προβλήματος.

Τομές κλασικής μηχανικής

Η Μηχανική αποτελείται από διάφορα τμήματα

• Κινηματική
• Δυναμική
• Στατική

Κινηματικήαπό φυσική άποψη, μελετά πώς ακριβώς κινείται ένα σώμα. Με άλλα λόγια, αυτή η ενότητα ασχολείται με τα ποσοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης. Βρείτε ταχύτητα, διαδρομή - τυπικά κινηματικά προβλήματα

Δυναμικήλύνει το ερώτημα γιατί κινείται με τον τρόπο που κινείται. Δηλαδή, θεωρεί τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

Στατικήμελετά την ισορροπία των σωμάτων υπό την επίδραση δυνάμεων, απαντά δηλαδή στο ερώτημα: γιατί δεν πέφτει καθόλου;

Όρια εφαρμογής της κλασικής μηχανικής

Η κλασική μηχανική δεν ισχυρίζεται πλέον ότι είναι μια επιστήμη που εξηγεί τα πάντα (στις αρχές του περασμένου αιώνα όλα ήταν εντελώς διαφορετικά) και έχει ένα σαφές πλαίσιο εφαρμογής. Γενικά, οι νόμοι της κλασικής μηχανικής ισχύουν στον κόσμο που έχουμε συνηθίσει σε μέγεθος (macroworld). Σταματούν να λειτουργούν στην περίπτωση του κόσμου των σωματιδίων, όταν η κβαντική μηχανική αντικαθιστά την κλασική μηχανική. Επίσης, η κλασική μηχανική δεν εφαρμόζεται σε περιπτώσεις που η κίνηση των σωμάτων γίνεται με ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα σχετικιστικά φαινόμενα γίνονται έντονα. Σε γενικές γραμμές, στο πλαίσιο της κβαντικής και σχετικιστικής μηχανικής - κλασικής μηχανικής, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση όταν οι διαστάσεις του σώματος είναι μεγάλες και η ταχύτητα μικρή.

Σε γενικές γραμμές, τα κβαντικά και τα σχετικιστικά φαινόμενα δεν εξαφανίζονται ποτέ κατά τη συνήθη κίνηση των μακροσκοπικών σωμάτων με ταχύτητα πολύ χαμηλότερη από την ταχύτητα του φωτός. Ένα άλλο πράγμα είναι ότι η επίδραση αυτών των επιδράσεων είναι τόσο μικρή που δεν υπερβαίνει τις πιο ακριβείς μετρήσεις. Έτσι, η κλασική μηχανική δεν θα χάσει ποτέ τη θεμελιώδη σημασία της.

Θα συνεχίσουμε να μελετάμε τα φυσικά θεμέλια της μηχανικής σε μελλοντικά άρθρα. Για καλύτερη κατανόηση της μηχανικής, μπορείτε πάντα να ανατρέξετε στους συγγραφείς μας, που θα ρίξει μεμονωμένα φως στο σκοτεινό σημείο του πιο δύσκολου εγχειρήματος.

Περιεχόμενο

Κινηματική

Κινηματική ενός υλικού σημείου

Προσδιορισμός της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σημείου χρησιμοποιώντας τις δεδομένες εξισώσεις της κίνησής του

Δίνονται: Εξισώσεις κίνησης σημείου: x = 12 αμαρτία (πτ/6), cm; y= 6 cos 2 (πτ/6), εκ.

Ορίστε τον τύπο της τροχιάς του για τη χρονική στιγμή t = 1 sβρείτε τη θέση ενός σημείου στην τροχιά, την ταχύτητά του, το σύνολο, την εφαπτομένη και επιτάχυνση κατά καθετό, καθώς και την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.

Μεταγραφική και περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος

Δεδομένος:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 cm, R 3 = 16 cm; s 5 = t 3 - 6t (cm).

Προσδιορίστε τη χρονική στιγμή t = 2 τις ταχύτητες των σημείων A, C; γωνιακή επιτάχυνση τροχού 3; επιτάχυνση του σημείου Β και επιτάχυνση rack 4.

Κινηματική ανάλυση επίπεδου μηχανισμού

Δεδομένος:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Βρείτε: ω 2.

Ο επίπεδος μηχανισμός αποτελείται από ράβδους 1, 2, 3, 4 και έναν ολισθητήρα Ε. Οι ράβδοι συνδέονται χρησιμοποιώντας κυλινδρικούς μεντεσέδες. Το σημείο Δ βρίσκεται στη μέση της ράβδου ΑΒ.
Δίνονται: ω 1, ε 1.
Βρείτε: ταχύτητες V A, V B, V D και V E; γωνιακές ταχύτητες ω 2, ω 3 και ω 4; επιτάχυνση a B ; γωνιακή επιτάχυνση ε AB του συνδέσμου AB; θέσεις των κέντρων στιγμιαίας ταχύτητας P 2 και P 3 των συνδέσμων 2 και 3 του μηχανισμού.

Προσδιορισμός απόλυτης ταχύτητας και απόλυτης επιτάχυνσης σημείου

Μια ορθογώνια πλάκα περιστρέφεται γύρω σταθερού άξονασύμφωνα με το νόμο φ = 6 t 2 - 3 t 3. Η θετική κατεύθυνση της γωνίας φ φαίνεται στα σχήματα με ένα τόξο. Άξονας περιστροφής OO 1 βρίσκεται στο επίπεδο της πλάκας (η πλάκα περιστρέφεται στο διάστημα).

Το σημείο Μ κινείται κατά μήκος της πλάκας κατά μήκος της ευθείας γραμμής BD. Δίνεται ο νόμος της σχετικής κίνησής του, δηλαδή η εξάρτηση s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - σε εκατοστά, t - σε δευτερόλεπτα). Απόσταση b = 20 εκ. > 0 Στο σχήμα, το σημείο Μ φαίνεται σε θέση όπου s = AM< 0 (στην s

το σημείο Μ βρίσκεται στην άλλη πλευρά του σημείου Α). Να βρείτε την απόλυτη ταχύτητα και την απόλυτη επιτάχυνση του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t.

1 = 1 s

Δυναμική

Ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων κίνησης υλικού σημείου υπό την επίδραση μεταβλητών δυνάμεων

Το φορτίο, έχοντας ολοκληρώσει την κίνηση στο τμήμα ΑΒ, στο σημείο Β του σωλήνα, χωρίς να αλλάξει η τιμή της μονάδας ταχύτητάς του, μετακινείται στο τμήμα BC. Στο τμήμα BC, το φορτίο ασκείται από μια μεταβλητή δύναμη F, της οποίας η προβολή F x στον άξονα x δίνεται.

Θεωρώντας το φορτίο ως υλικό σημείο, βρείτε τον νόμο της κίνησής του στο τμήμα BC, δηλ. x = f(t), όπου x = BD. Παραμελήστε την τριβή του φορτίου στον σωλήνα.

Κατεβάστε τη λύση στο πρόβλημα

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος

Το μηχανικό σύστημα αποτελείται από βάρη 1 και 2, έναν κυλινδρικό κύλινδρο 3, τροχαλίες δύο σταδίων 4 και 5. Τα σώματα του συστήματος συνδέονται με νήματα που τυλίγονται στις τροχαλίες. τμήματα των νημάτων είναι παράλληλα με τα αντίστοιχα επίπεδα. Ο κύλινδρος (ένας συμπαγής ομοιογενής κύλινδρος) κυλά κατά μήκος του επιπέδου στήριξης χωρίς να ολισθαίνει. Οι ακτίνες των σταδίων των τροχαλιών 4 και 5 είναι αντίστοιχα ίσες με R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m Η μάζα κάθε τροχαλίας θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη το εξωτερικό του χείλος. Τα επίπεδα στήριξης των φορτίων 1 και 2 είναι τραχιά, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης για κάθε φορτίο είναι f = 0,1.

Υπό τη δράση μιας δύναμης F, το μέτρο της οποίας αλλάζει σύμφωνα με το νόμο F = F(s), όπου s είναι η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, το σύστημα αρχίζει να κινείται από την κατάσταση ηρεμίας. Όταν το σύστημα κινείται, η τροχαλία 5 ασκείται από δυνάμεις αντίστασης, η ροπή της οποίας ως προς τον άξονα περιστροφής είναι σταθερή και ίση με M 5 .

Προσδιορίστε την τιμή της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας 4 τη χρονική στιγμή που η μετατόπιση s του σημείου εφαρμογής της δύναμης F γίνεται ίση με s 1 = 1,2 m.

Κατεβάστε τη λύση στο πρόβλημα

Εφαρμογή της γενικής εξίσωσης δυναμικής στη μελέτη της κίνησης ενός μηχανικού συστήματος

Για ένα μηχανικό σύστημα, προσδιορίστε τη γραμμική επιτάχυνση a 1 . Ας υποθέσουμε ότι οι μάζες των μπλοκ και των κυλίνδρων κατανέμονται κατά μήκος της εξωτερικής ακτίνας. Τα καλώδια και οι ζώνες πρέπει να θεωρούνται αβαρή και μη εκτατά. δεν υπάρχει ολίσθηση. Παραμελήστε την τριβή κύλισης και ολίσθησης.

Κατεβάστε τη λύση στο πρόβλημα

Εφαρμογή της αρχής του d'Alembert στον προσδιορισμό των αντιδράσεων των στηριγμάτων ενός περιστρεφόμενου σώματος

Ο κατακόρυφος άξονας ΑΚ, που περιστρέφεται ομοιόμορφα με γωνιακή ταχύτητα ω = 10 s -1, στερεώνεται από ένα ωστικό έδρανο στο σημείο Α και ένα κυλινδρικό έδρανο στο σημείο Δ.

Άκαμπτα προσαρτημένη στον άξονα είναι μια αβαρής ράβδος 1 με μήκος l 1 = 0,3 m, στο ελεύθερο άκρο της οποίας υπάρχει φορτίο με μάζα m 1 = 4 kg και μια ομοιογενής ράβδος 2 με μήκος l 2 = 0,6 m, με μάζα m 2 = 8 kg. Και οι δύο ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Τα σημεία στερέωσης των ράβδων στον άξονα, καθώς και οι γωνίες α και β φαίνονται στον πίνακα. Διαστάσεις AB=BD=DE=EK=b, όπου b = 0,4 m Πάρτε το φορτίο ως υλικό σημείο.

Παραβλέποντας τη μάζα του άξονα, προσδιορίστε τις αντιδράσεις του ρουλεμάν ώσης και του ρουλεμάν.

20η έκδ. - Μ.: 2010.- 416 σελ.

Το βιβλίο περιγράφει τις βασικές αρχές της μηχανικής ενός υλικού σημείου, ενός συστήματος υλικών σημείων και στερεόςστο ποσό που αντιστοιχεί στα προγράμματα των ΤΕΙ. Δίνονται πολλά παραδείγματα και προβλήματα, οι λύσεις των οποίων συνοδεύονται από αντίστοιχα μεθοδολογικές οδηγίες. Για φοιτητές πλήρους και μερικής φοίτησης Τεχνικών ΑΕΙ.

Σχήμα και διάταξις βιβλίου: pdf

Μέγεθος: 14 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε: drive.google

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος στη Δέκατη Τρίτη Έκδοση 3
Εισαγωγή 5
ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
Κεφάλαιο Ι. Βασικές έννοιες και αρχικές διατάξεις των άρθρων 9
41. Απόλυτα άκαμπτο σώμα. δύναμη. Στατικά προβλήματα 9
12. Αρχικές διατάξεις στατικής » 11
$ 3. Συνδέσεις και οι αντιδράσεις τους 15
Κεφάλαιο II. Προσθήκη δυνάμεων. Σύστημα συγκλίνουσας δύναμης 18
§4. Γεωμετρικά! Μέθοδος πρόσθεσης δυνάμεων. Αποτέλεσμα σύγκλισης δυνάμεων, επέκταση δυνάμεων 18
στ 5. Προβολές δύναμης σε άξονα και σε επίπεδο, Αναλυτική μέθοδος προσδιορισμού και πρόσθεσης δυνάμεων 20
16. Ισορροπία συστήματος συγκλίνουσων δυνάμεων_. . . 23
17. Επίλυση στατικών προβλημάτων. 25
Κεφάλαιο III. Στιγμή δύναμης για το κέντρο. Ζεύγος ισχύος 31
i 8. Ροπή δύναμης σε σχέση με το κέντρο (ή το σημείο) 31
| 9. Δυο δυνάμεων. Στιγμή ζευγαριού 33
f 10*. Θεωρήματα ισοδυναμίας και πρόσθεσης ζευγών 35
Κεφάλαιο IV. Φέρνοντας το σύστημα δυνάμεων στο κέντρο. Συνθήκες ισορροπίας... 37
στ 11. Θεώρημα παράλληλης μεταφοράς δύναμης 37
112. Φέρνοντας ένα σύστημα δυνάμεων σε ένα δεδομένο κέντρο - . , 38
§ 13. Προϋποθέσεις ισορροπίας συστήματος δυνάμεων. Θεώρημα για τη ροπή του προκύπτοντος 40
Κεφάλαιο V. Επίπεδο σύστημα δυνάμεων 41
§ 14. Αλγεβρικές ροπές δύναμης και ζεύγη 41
115. Αναγωγή ενός συστήματος επιπέδου δυνάμεων στην απλούστερη μορφή του.... 44
§ 16. Ισορροπία επιπέδου συστήματος δυνάμεων. Συμβάν παράλληλες δυνάμεις. 46
§ 17. Επίλυση προβλημάτων 48
118. Ισορροπία συστημάτων σωμάτων 63
§ 19*. Στατικά προσδιορισμένα και στατικά απροσδιόριστα συστήματα σωμάτων (δομές) 56"
f 20*. Ορισμός των εσωτερικών προσπαθειών. 57
§ 21*. Κατανεμημένες δυνάμεις 58
Ε22*. Υπολογισμός επίπεδων ζευκτών 61
Κεφάλαιο VI. Τριβή 64
! 23. Νόμοι της τριβής ολίσθησης 64
: 24. Αντιδράσεις ακατέργαστων δεσμών. Γωνία τριβής 66
: 25. Ισορροπία παρουσία τριβής 66
(26*. Τριβή νήματος σε κυλινδρική επιφάνεια 69
1 27*. Τριβή κύλισης 71
Κεφάλαιο VII. Σύστημα χωρικής δύναμης 72
§28. Ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα. Υπολογισμός κύριου διανύσματος
και η κύρια ροπή του συστήματος δυνάμεων 72
§ 29*. Φέρνοντας το χωρικό σύστημα δυνάμεων στην απλούστερη μορφή του 77
§30. Ισορροπία ενός αυθαίρετου χωρικού συστήματος δυνάμεων. Περίπτωση παράλληλων δυνάμεων
Κεφάλαιο VIII. Κέντρο βάρους 86
§31. Κέντρο Παράλληλων Δυνάμεων 86
§ 32. Πεδίο δύναμης. Κέντρο βάρους ενός άκαμπτου σώματος 88
§ 33. Συντεταγμένες των κέντρων βάρους ομοιογενών σωμάτων 89
§ 34. Μέθοδοι προσδιορισμού των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των σωμάτων. 90
§ 35. Κέντρα βάρους μερικών ομοιογενών σωμάτων 93
ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΑΚΜΠΤΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ
Κεφάλαιο IX. Κινηματική του σημείου 95
§ 36. Εισαγωγή στην κινηματική 95
§ 37. Μέθοδοι προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου. . 96
§38. Διάνυσμα σημειακής ταχύτητας. 99
§ 39. Διάνυσμα της «ροπής του σημείου 100»
§40. Προσδιορισμός της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σημείου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της κίνησης 102
§41. Επίλυση προβλημάτων κινηματικής σημείου 103
§ 42. Άξονες φυσικού τριέδρου. Αριθμητική τιμή ταχύτητας 107
§ 43. Εφαπτομένη και κανονική επιτάχυνση σημείου 108
§44. Μερικές ειδικές περιπτώσεις κίνησης σημείου ΠΟ
§45. Γραφήματα κίνησης, ταχύτητας και επιτάχυνσης σημείου 112
§ 46. Επίλυση προβλημάτων< 114
§47*. Ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σημείου σε πολικές συντεταγμένες 116
Κεφάλαιο Χ. Μεταγραφικές και περιστροφικές κινήσεις άκαμπτου σώματος. . 117
§48. Κίνηση προς τα εμπρός 117
§ 49. Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος γύρω από άξονα. Γωνιακή ταχύτητακαι γωνιακή επιτάχυνση 119
§50. Ομοιόμορφη και ομοιόμορφη περιστροφή 121
§51. Ταχύτητες και επιταχύνσεις σημείων ενός περιστρεφόμενου σώματος 122
Κεφάλαιο XI. Επίπεδο-παράλληλη κίνηση άκαμπτου σώματος 127
§52. Εξισώσεις επιπέδου-παράλληλης κίνησης (κίνηση επίπεδη φιγούρα). Αποσύνθεση της κίνησης σε μεταφορική και περιστροφική 127
§53*. Προσδιορισμός των τροχιών των σημείων ενός επιπέδου σχήμα 129
§54. Προσδιορισμός των ταχυτήτων των σημείων σε ένα επίπεδο σχήμα 130
§ 55. Θεώρημα για τις προβολές ταχυτήτων δύο σημείων σε σώμα 131
§ 56. Προσδιορισμός των ταχυτήτων σημείων ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το στιγμιαίο κέντρο ταχυτήτων. Η έννοια των κεντροειδών 132
§57. Επίλυση προβλημάτων 136
§58*. Προσδιορισμός επιταχύνσεων σημείων ενός επιπέδου σχήμα 140
§59*. Κέντρο άμεσης επιτάχυνσης "*"*
Κεφάλαιο XII*. Η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος γύρω από ένα σταθερό σημείο και η κίνηση ενός ελεύθερου άκαμπτου σώματος 147
§ 60. Κίνηση άκαμπτου σώματος που έχει ένα σταθερό σημείο. 147
§61. Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler 149
§62. Ταχύτητες και επιταχύνσεις των σημείων του σώματος 150
§ 63. Γενική περίπτωση κίνησης ελεύθερου άκαμπτου σώματος 153
Κεφάλαιο XIII. Κίνηση σύνθετου σημείου 155
§ 64. Σχετικές, φορητές και απόλυτες κινήσεις 155
§ 65, Θεώρημα για την πρόσθεση ταχυτήτων » 156
§66. Θεώρημα για την προσθήκη επιταχύνσεων (θεώρημα Coriolns) 160
§67. Επίλυση προβλημάτων 16*
Κεφάλαιο XIV*. Σύνθετη κίνηση ενός άκαμπτου σώματος 169
§68. Πρόσθεση μεταφραστικές κινήσεις 169
§69. Προσθήκη περιστροφών γύρω από δύο παράλληλους άξονες 169
§70. Γρανάζια σπιρούνι 172
§ 71. Προσθήκη περιστροφών γύρω από τεμνόμενους άξονες 174
§72. Προσθήκη μεταφορικών και περιστροφικών κινήσεων. Κίνηση βίδας 176
ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΗΜΕΙΟΥ
Κεφάλαιο XV: Εισαγωγή στη Δυναμική. Νόμοι της δυναμικής 180
§ 73. Βασικές έννοιες και ορισμοί 180
§ 74. Νόμοι της δυναμικής. Προβλήματα της δυναμικής ενός υλικού σημείου 181
§ 75. Συστήματα μονάδων 183
§76. Κύριοι τύποι δυνάμεων 184
Κεφάλαιο XVI. Διαφορικές εξισώσειςκίνηση του σημείου. Επίλυση προβλημάτων δυναμικής σημείων 186
§ 77. Διαφορικές εξισώσεις, κίνηση υλικού σημείου Νο 6
§ 78. Λύση του πρώτου προβλήματος της δυναμικής (προσδιορισμός δυνάμεων από δεδομένη κίνηση) 187
§ 79. Λύση του κύριου προβλήματος της δυναμικής για ευθεία κίνησησημεία 189
§ 80. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων 191
§81*. Πτώση σώματος σε μέσο αντίστασης (στον αέρα) 196
§82. Επίλυση του κύριου προβλήματος της δυναμικής, με την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σημείου 197
Κεφάλαιο XVII. Γενικά θεωρήματα δυναμικής σημείων 201
§83. Το μέγεθος της κίνησης ενός σημείου. Δύναμη ώθηση 201
§ S4. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου 202
§ 85. Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής σημείου (θεώρημα ροπών) « 204
§86*. Κίνηση υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης. Νόμος των περιοχών.. 266
§ 8-7. Έργο δύναμης. Ισχύς 208
§88. Παραδείγματα εργασίας υπολογισμού 210
§89. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου. «... 213J
Κεφάλαιο XVIII. Μη ελεύθερη και σχετική με την κίνηση του σημείου 219
§90. Μη ελεύθερη κίνηση του σημείου. 219
§91. Σχετική κίνηση σημείου 223
§ 92. Η επίδραση της περιστροφής της Γης στην ισορροπία και την κίνηση των σωμάτων... 227
§ 93*. Απόκλιση του σημείου πτώσης από την κατακόρυφο λόγω της περιστροφής της Γης «230
Κεφάλαιο XIX. Ευθύγραμμες ταλαντώσεις σημείου. . . 232
§ 94. Ελεύθερες δονήσεις χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι δυνάμεις αντίστασης 232
§ 95. Ελεύθερες ταλαντώσεις με ιξώδη αντίσταση (αποσβεσμένες ταλαντώσεις) 238
§96. Αναγκαστικοί κραδασμοί. Ρεζονάγιας 241
Κεφάλαιο ΧΧ*. Κίνηση σώματος στο πεδίο βαρύτητας 250
§ 97. Κίνηση πεταμένου σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης «250
§98. Τεχνητοί δορυφόροιΓη. Ελλειπτικές τροχιές. 254
§ 99. Η έννοια της έλλειψης βαρύτητας."Τοπικά πλαίσια αναφοράς 257
ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ
G i a v a XXI. Εισαγωγή στη δυναμική του συστήματος. Στιγμές αδράνειας. 263
§ 100. Μηχανικό σύστημα. Εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις 263
§ 101. Μάζα του συστήματος. Κέντρο μάζας 264
§ 102. Ροπή αδράνειας σώματος ως προς άξονα. Ακτίνα αδράνειας. . 265
$ 103. Ροπές αδράνειας σώματος ως προς παράλληλους άξονες. Θεώρημα Huygens 268
§ 104*. Φυγόκεντρες ροπές αδράνειας. Έννοιες για τους κύριους άξονες αδράνειας ενός σώματος 269
$105*. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς έναν αυθαίρετο άξονα. 271
Κεφάλαιο XXII. Θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος 273
$ 106. Διαφορικές εξισώσεις κίνησης συστήματος 273
§ 107. Θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας 274
$ 108. Νόμος διατήρησης της κίνησης του κέντρου μάζας 276
§ 109. Επίλυση προβλημάτων 277
Κεφάλαιο XXIII. Θεώρημα για την μεταβολή της ποσότητας ενός κινητού συστήματος. . 280
$ ΑΛΛΑ. Ποσότητα κίνησης συστήματος 280
§111. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής 281
§ 112. Νόμος διατήρησης της ορμής 282
$113*. Εφαρμογή του θεωρήματος στην κίνηση υγρού (αερίου) 284
§ 114*. Σώμα μεταβλητής μάζας. Κίνηση πυραύλων 287
Γκντάβα XXIV. Θεώρημα για την αλλαγή της γωνιακής ορμής ενός συστήματος 290
§ 115. Κύρια ροπή ορμής του συστήματος 290
$ 116. Θεώρημα για τις αλλαγές στην κύρια ροπή των ποσοτήτων κίνησης του συστήματος (θεώρημα ροπών) 292
$117. Νόμος διατήρησης της κύριας γωνιακής ορμής. . 294
$118 Επίλυση προβλήματος 295
$119*. Εφαρμογή του θεωρήματος των ροπών στην κίνηση του υγρού (αερίου) 298
§ 120. Συνθήκες ισορροπίας για μηχανικό σύστημα 300
Κεφάλαιο XXV. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος. . 301.
§ 121. Κινητική ενέργεια του συστήματος 301
$122. Μερικές περιπτώσεις υπολογισμού της εργασίας 305
$ 123. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος 307
$124 Επίλυση προβλημάτων 310
$125*. Μικτά προβλήματα "314
$126 Δυνητικό πεδίο δύναμης και συνάρτηση δύναμης 317
$127, Δυνητική ενέργεια. Νόμος Διατήρησης μηχανική ενέργεια 320
Κεφάλαιο XXVI. "Εφαρμογή γενικών θεωρημάτων στη δυναμική άκαμπτου σώματος 323
$12&. Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος γύρω από σταθερό άξονα ". 323"
$ 129. Φυσικό εκκρεμές. Πειραματικός προσδιορισμός ροπών αδράνειας. 326
$130. Επίπεδο-παράλληλη κίνηση άκαμπτου σώματος 328
$131*. Στοιχειώδης θεωρία του γυροσκοπίου 334
$132*. Η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος γύρω από ένα σταθερό σημείο και η κίνηση ενός ελεύθερου άκαμπτου σώματος 340
Κεφάλαιο XXVII. Αρχή D'Alembert 344
$ 133. Η αρχή του D'Alembert για ένα σημείο και ένα μηχανικό σύστημα. . 344
$ 134. Κύριο διάνυσμα και κύρια ροπή αδράνειας 346
$135 Επίλυση προβλημάτων 348
$136*, Διδημικές αντιδράσεις που δρουν στον άξονα ενός περιστρεφόμενου σώματος. Εξισορρόπηση περιστρεφόμενων σωμάτων 352
Κεφάλαιο XXVIII. Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων και η γενική εξίσωση της δυναμικής 357
§ 137. Ταξινόμηση συνδέσεων 357
§ 138. Πιθανές κινήσεις του συστήματος. Αριθμός βαθμών ελευθερίας. . 358
§ 139. Η αρχή των πιθανών κινήσεων 360
§ 140. Επίλυση προβλημάτων 362
§ 141. Γενική εξίσωση δυναμικής 367
Κεφάλαιο XXIX. Συνθήκες ισορροπίας και εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες 369
§ 142. Γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ταχύτητες. . . 369
§ 143. Γενικευμένες δυνάμεις 371
§ 144. Προϋποθέσεις ισορροπίας συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες 375
§ 145. Εξισώσεις Lagrange 376
§ 146. Επίλυση προβλημάτων 379
Κεφάλαιο XXX*. Μικρές ταλαντώσεις του συστήματος γύρω από τη θέση σταθερής ισορροπίας 387
§ 147. Η έννοια της σταθερότητας της ισορροπίας 387
§ 148. Μικρές ελεύθερες ταλαντώσεις συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας 389
§ 149. Μικρή απόσβεση και εξαναγκασμένες ταλαντώσειςσυστήματα με έναν βαθμό ελευθερίας 392
§ 150. Μικρές συνδυασμένες ταλαντώσεις συστήματος με δύο βαθμούς ελευθερίας 394
Κεφάλαιο XXXI. Στοιχειώδης Θεωρία Επιπτώσεων 396
§ 151. Βασική εξίσωση της θεωρίας κρούσης 396
§ 152. Γενικά θεωρήματα της θεωρίας κρούσης 397
§ 153. Συντελεστής ανάκτησης κρούσης 399
§ 154. Κρούση σώματος σε ακίνητο εμπόδιο 400
§ 155. Άμεση κεντρική κρούση δύο σωμάτων (κρούση σφαιρών) 401
§ 156. Απώλεια κινητικής ενέργειας κατά την ανελαστική σύγκρουση δύο σωμάτων. Θεώρημα Carnot 403
§ 157*. Χτύπημα σε περιστρεφόμενο σώμα. Κέντρο κρούσης 405
Ευρετήριο θεμάτων 409

Κινηματική ενός σημείου.

1. Αντικείμενο θεωρητικής μηχανικής. Βασικές αφαιρέσεις.

Θεωρητική μηχανικήείναι μια επιστήμη στην οποία μελετώνται γενικοί νόμοι μηχανική κίνησηκαι μηχανική αλληλεπίδραση υλικών σωμάτων

Μηχανική κίνησηείναι η κίνηση ενός σώματος σε σχέση με ένα άλλο σώμα, που συμβαίνει στο χώρο και στο χρόνο.

Μηχανική αλληλεπίδραση είναι η αλληλεπίδραση των υλικών σωμάτων που αλλάζει τη φύση της μηχανικής τους κίνησης.

Στατική είναι ένας κλάδος της θεωρητικής μηχανικής στον οποίο μελετώνται μέθοδοι μετατροπής συστημάτων δυνάμεων σε ισοδύναμα συστήματα και καθορίζονται οι συνθήκες για την ισορροπία των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε ένα στερεό σώμα.

Κινηματική - είναι κλάδος της θεωρητικής μηχανικής που μελετά η κίνηση των υλικών σωμάτων στο χώρο από γεωμετρική άποψη, ανεξάρτητα από τις δυνάμεις που ασκούν πάνω τους.

Δυναμική είναι κλάδος της μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων στο χώρο ανάλογα με τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά.

Αντικείμενα σπουδών στη θεωρητική μηχανική:

υλικό σημείο,

σύστημα υλικών σημείων,

Απόλυτα συμπαγές σώμα.

Ο απόλυτος χώρος και ο απόλυτος χρόνος είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλο. Απόλυτος χώρος - τρισδιάστατος, ομοιογενής, ακίνητος Ευκλείδειος χώρος. Απόλυτος χρόνος - ρέει από το παρελθόν στο μέλλον συνεχώς, είναι ομοιογενές, ίδιο σε όλα τα σημεία του χώρου και δεν εξαρτάται από την κίνηση της ύλης.

2. Θέμα κινηματικής.

Κινηματική - αυτός είναι ένας κλάδος της μηχανικής στον οποίο μελετώνται οι γεωμετρικές ιδιότητες της κίνησης των σωμάτων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αδράνειά τους (δηλαδή η μάζα) και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά

Για να προσδιοριστεί η θέση ενός κινούμενου σώματος (ή σημείου) με το σώμα σε σχέση με το οποίο μελετάται η κίνηση αυτού του σώματος, συνδέεται άκαμπτα κάποιο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο μαζί με το σώμα σχηματίζει σύστημα αναφοράς.

Το κύριο καθήκον της κινηματικής είναι να, γνωρίζοντας το νόμο της κίνησης ενός δεδομένου σώματος (σημείου), να προσδιορίσετε όλα κινηματικά μεγέθη, χαρακτηρίζοντας την κίνησή του (ταχύτητα και επιτάχυνση).

3. Μέθοδοι προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου

· Ο φυσικός τρόπος

Θα πρέπει να είναι γνωστό:

Η τροχιά του σημείου?

Προέλευση και κατεύθυνση αναφοράς.

Ο νόμος της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας δεδομένης τροχιάς με τη μορφή (1.1)

· Μέθοδος συντεταγμένων

Οι εξισώσεις (1.2) είναι οι εξισώσεις κίνησης του σημείου Μ.

Η εξίσωση για την τροχιά του σημείου Μ μπορεί να ληφθεί εξαλείφοντας την παράμετρο χρόνου « t » από τις εξισώσεις (1.2)

· Διανυσματική μέθοδος

(1.3) Σχέση μεταξύ συντεταγμένων και διανυσματικών μεθόδων προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου (1.4)

Σχέση συντεταγμένων και φυσικών μεθόδων προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου

Προσδιορίστε την τροχιά του σημείου εξαλείφοντας το χρόνο από τις εξισώσεις (1.2).

-- βρείτε το νόμο της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας τροχιάς (χρησιμοποιήστε την έκφραση για το διαφορικό του τόξου)

Μετά την ολοκλήρωση, λαμβάνουμε τον νόμο της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας δεδομένης τροχιάς:

Η σύνδεση μεταξύ των μεθόδων συντεταγμένων και διανυσμάτων για τον προσδιορισμό της κίνησης ενός σημείου καθορίζεται από την εξίσωση (1.4)

4. Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου με τη μέθοδο του διανύσματος προσδιορισμού της κίνησης.

Αφήστε μια στιγμή στο χρόνοtη θέση του σημείου καθορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας, και τη στιγμή του χρόνουt 1 – διάνυσμα ακτίνας, στη συνέχεια σε μια χρονική περίοδο το σημείο θα μετακινηθεί.

(1.5) μέση ταχύτητα σημείου, η κατεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια με αυτή του διανύσματος

Ταχύτητα ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή

Για να αποκτήσετε την ταχύτητα ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή, είναι απαραίτητο να κάνετε ένα πέρασμα στο όριο

(1.6)

(1.7)

Διάνυσμα ταχύτητας ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή ίση με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος ακτίνας ως προς το χρόνο και κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά σε ένα δεδομένο σημείο.

(μονάδα¾ m/s, km/h)

Διάνυσμα μέσης επιτάχυνσης έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμαΔ v , δηλαδή κατευθυνόμενη προς την κοιλότητα της τροχιάς.

Διάνυσμα επιτάχυνσης ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή ίση με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος ταχύτητας ή τη δεύτερη παράγωγο του διανύσματος ακτίνας του σημείου ως προς το χρόνο.

(μονάδα - )

Πώς βρίσκεται το διάνυσμα σε σχέση με την τροχιά του σημείου;

Στην ευθύγραμμη κίνηση, το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος της ευθείας γραμμής κατά μήκος της οποίας κινείται το σημείο. Εάν η τροχιά ενός σημείου είναι μια επίπεδη καμπύλη, τότε το διάνυσμα της επιτάχυνσης, όπως και το διάνυσμα ср, βρίσκεται στο επίπεδο αυτής της καμπύλης και κατευθύνεται προς την κοιλότητα της. Εάν η τροχιά δεν είναι μια επίπεδη καμπύλη, τότε το διάνυσμα σρ θα κατευθύνεται προς την κοιλότητα της τροχιάς και θα βρίσκεται στο επίπεδο που διέρχεται από την εφαπτομένη της τροχιάς στο σημείοΜ και ευθεία παράλληλη στην εφαπτομένη σε διπλανό σημείοΜ 1 . ΣΕ όριο πότε σημείοΜ 1 αγωνίζεται για Μ αυτό το επίπεδο καταλαμβάνει τη θέση του λεγόμενου ωστικού επιπέδου. Επομένως, στη γενική περίπτωση, το διάνυσμα επιτάχυνσης βρίσκεται στο επίπεδο επαφής και κατευθύνεται προς την κοιλότητα της καμπύλης.