Θεωρία συνόλων για αρχάριους. Θεωρία συνόλων Πράξεις της θεωρίας συνόλων
Στα μαθηματικά, η έννοια του συνόλου είναι μια από τις κύριες, θεμελιώδεις, αλλά δεν υπάρχει ενιαίος ορισμός του συνόλου. Ένας από τους πιο καθιερωμένους ορισμούς ενός συνόλου είναι ο ακόλουθος: ένα σύνολο είναι οποιαδήποτε συλλογή ορισμένων και διακριτών αντικειμένων που μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ενιαίο σύνολο. Ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor (1845-1918), είπε το εξής: «Ένα σύνολο είναι πολλά πράγματα που σκεφτόμαστε ως σύνολο».
Τα σύνολα ως τύπος δεδομένων έχουν αποδειχθεί πολύ βολικά για σύνθετο προγραμματισμό καταστάσεις ζωής, καθώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ακριβή μοντελοποίηση αντικειμένων του πραγματικού κόσμου και συμπαγή εμφάνιση σύνθετων λογικών σχέσεων. Τα σύνολα χρησιμοποιούνται στη γλώσσα προγραμματισμού Pascal και θα δούμε ένα παράδειγμα λύσης παρακάτω. Επιπλέον, με βάση τη θεωρία συνόλων, δημιουργήθηκε η έννοια των σχεσιακών βάσεων δεδομένων και με βάση τις πράξεις σε σύνολα - σχεσιακή άλγεβρα και οι λειτουργίες της- χρησιμοποιείται σε γλώσσες ερωτημάτων βάσης δεδομένων, ιδίως SQL.
Παράδειγμα 0 (Πασκάλ).Υπάρχει μια επιλογή προϊόντων που πωλούνται σε πολλά καταστήματα της πόλης. Προσδιορίστε: ποια προϊόντα είναι διαθέσιμα σε όλα τα καταστήματα της πόλης. πλήρη γκάμα προϊόντων στην πόλη.
Διάλυμα. Ορίζουμε έναν βασικό τύπο δεδομένων Τρόφιμα (προϊόντα), μπορεί να λάβει τιμές που αντιστοιχούν στα ονόματα των προϊόντων (για παράδειγμα, hleb). Δηλώνουμε έναν τύπο συνόλου που ορίζει όλα τα υποσύνολα που αποτελούνται από συνδυασμούς τιμών του βασικού τύπου, δηλαδή Τροφίμων. Και σχηματίζουμε υποσύνολα: καταστήματα "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok", καθώς και παράγωγα υποσύνολα: MinFood (προϊόντα που είναι διαθέσιμα σε όλα τα καταστήματα), MaxFood (πλήρης γκάμα προϊόντων στην πόλη). Στη συνέχεια, ορίζουμε πράξεις για τη λήψη παραγόμενων υποσυνόλων. Το υποσύνολο MinFood λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της τομής των υποσυνόλων Solnyshko, Veterok και Ogonyok και περιλαμβάνει εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία αυτών των υποσυνόλων που περιλαμβάνονται σε καθένα από αυτά τα υποσύνολα (στο Pascal, η λειτουργία της τομής των συνόλων συμβολίζεται με έναν αστερίσκο: A * B * C, ο μαθηματικός προσδιορισμός για την τομή των συνόλων δίνεται παρακάτω ). Το υποσύνολο MaxFood λαμβάνεται συνδυάζοντας τα ίδια υποσύνολα και περιλαμβάνει στοιχεία που περιλαμβάνονται σε όλα τα υποσύνολα (στο Pascal, η λειτουργία συνδυασμού συνόλων συμβολίζεται με το σύμβολο συν: A + B + C, ο μαθηματικός προσδιορισμός για το συνδυασμό συνόλων δίνεται παρακάτω ).
Κωδικός PASCAL
Καταστήματα προγράμματος;
τύπος Τρόφιμα=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sugar, maslo, ryba);
Κατάστημα = σετ τροφίμων;
var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop;
Ξεκινήστε το Solnyshko:=;
Veterok:=;
Ogonyok:=;
... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok;
MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Τέλος.Τι είδη σετ υπάρχουν; Τα αντικείμενα που απαρτίζουν τα σύνολα - τα αντικείμενα της διαίσθησής μας ή της διάνοιάς μας - μπορεί να είναι πολύ διαφορετικής φύσης. Στο παράδειγμα της πρώτης παραγράφου, αναλύσαμε σύνολα που περιελάμβαναν ένα σύνολο προϊόντων. Τα σετ μπορούν να αποτελούνται, για παράδειγμα, από όλα τα γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου. Στα μαθηματικά, μελετώνται σύνολα αριθμών, για παράδειγμα, που αποτελούνται από όλα:είναι ένα άπειρο σύνολο.
Αν Μ- πολλά, και ένα- το στοιχείο του, τότε γράφουν: ένα∈Μ, που σημαίνει " έναανήκει στο σύνολο Μ".
Από το πρώτο (μηδενικό) παράδειγμα στο Pascal με προϊόντα που είναι διαθέσιμα σε συγκεκριμένα καταστήματα:
hleb∈ΒΕΤΕΡΟΚ ,
που σημαίνει: το στοιχείο "hleb" ανήκει σε πολλά προϊόντα που είναι διαθέσιμα στο κατάστημα "VETEROK".
Υπάρχουν δύο κύριοι τρόποι ορισμού συνόλων: απαρίθμηση και περιγραφή.
Ένα σύνολο μπορεί να οριστεί παραθέτοντας όλα τα στοιχεία του, για παράδειγμα:
ΒΕΤΕΡΟΚ = {hleb, syr, βούτυρο} ,
ΕΝΑ = {7 , 14 , 28 } .
Μια απαρίθμηση μπορεί να ορίσει μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο. Αν και μπορείτε να το κάνετε αυτό με μια περιγραφή. Αλλά τα άπειρα σύνολα μπορούν να οριστούν μόνο με περιγραφή.
Η ακόλουθη μέθοδος χρησιμοποιείται για την περιγραφή συνόλων. Αφήνω σελ(x) - κάποια δήλωση που περιγράφει τις ιδιότητες μιας μεταβλητής x, το εύρος του οποίου είναι το σύνολο Μ. Στη συνέχεια μέσω Μ = {x | σελ(x)} δηλώνει το σύνολο που αποτελείται από όλα εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία για τα οποία η δήλωση σελ(x) είναι αλήθεια. Αυτή η έκφραση έχει ως εξής: «Πολλοί Μ, που αποτελείται από όλα αυτά x, Τι σελ(x) ".
Για παράδειγμα, εγγραφή
Μ = {x | x² - 3 x + 2 = 0}
Παράδειγμα 6.Σύμφωνα με έρευνα σε 100 αγοραστές αγοράς που αγόρασαν εσπεριδοειδή, πορτοκάλια αγοράστηκαν από 29 αγοραστές, λεμόνια - 30 αγοραστές, μανταρίνια - 9, μόνο μανταρίνια - 1, πορτοκάλια και λεμόνια - 10, λεμόνια και μανταρίνια - 4, και τα τρία είδη φρούτα - 3 αγοραστές. Πόσοι πελάτες δεν έχουν αγοράσει κανένα από τα εσπεριδοειδή που αναφέρονται εδώ; Πόσοι πελάτες αγόρασαν μόνο λεμόνια;
Λειτουργία καρτεσιανού γινόμενου συνόλων
Για να ορίσετε μια άλλη σημαντική λειτουργία σε σύνολα - Καρτεσιανό γινόμενο συνόλωνΑς εισαγάγουμε την έννοια ενός διατεταγμένου συνόλου μηκών n.
Το μήκος του σετ είναι ο αριθμός nσυστατικό του. Ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία που λαμβάνονται με αυτήν ακριβώς τη σειρά συμβολίζεται 
. Συγχρόνως εγώ i () συνιστώσα συνόλου είναι .
Τώρα θα ακολουθήσει ένας αυστηρός ορισμός, ο οποίος μπορεί να μην είναι αμέσως σαφής, αλλά μετά από αυτόν τον ορισμό θα υπάρχει μια εικόνα από την οποία θα γίνει σαφές πώς να αποκτήσετε το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων.
Καρτεσιανό (άμεσο) γινόμενο συνόλωνονομάζεται σύνολο που συμβολίζεται με 
και αποτελείται από όλα αυτά και μόνο εκείνα τα σύνολα μήκους n, εγώ-ο συστατικό του οποίου ανήκει 
.
Για παράδειγμα, εάν , , ,
Δεν θυμάμαι πότε έμαθα για πρώτη φορά για την τοπολογία, αλλά αυτή η επιστήμη με ενδιέφερε αμέσως. Η τσαγιέρα γίνεται ντόνατ, η σφαίρα γυρίζει μέσα προς τα έξω. Πολλοί έχουν ακούσει για αυτό. Αλλά όσοι θέλουν να εμβαθύνουν σε αυτό το θέμα σε πιο σοβαρό επίπεδο συχνά αντιμετωπίζουν δυσκολίες. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για την κατάκτηση των πολύ βασικών εννοιών, οι οποίες είναι εγγενώς πολύ αφηρημένες. Επιπλέον, πολλές πηγές φαίνεται να προσπαθούν εσκεμμένα να μπερδέψουν τον αναγνώστη. Ας πούμε ότι το ρωσικό wiki δίνει μια πολύ ασαφή διατύπωση του τι κάνει η τοπολογία. Λέει ότι αυτή είναι μια επιστήμη που μελετά τοπολογικούς χώρους. Στο άρθρο σχετικά με τους τοπολογικούς χώρους, ο αναγνώστης μπορεί να μάθει ότι οι τοπολογικοί χώροι είναι χώροι εξοπλισμένοι με τοπολογία. Τέτοιες εξηγήσεις στο ύφος των sepulecs του Lemov δεν διευκρινίζουν πραγματικά την ουσία του θέματος. Θα προσπαθήσω να περιγράψω το κύριο βασικές έννοιεςσε πιο ξεκάθαρη μορφή. Η σημείωσή μου δεν θα περιλαμβάνει το γύρισμα τσαγιέρων και κουλούρι, αλλά θα γίνουν τα πρώτα βήματα που θα σας επιτρέψουν τελικά να μάθετε αυτή τη μαγεία.
Επειδή όμως δεν είμαι μαθηματικός, αλλά 100% ανθρωπιστής, είναι πολύ πιθανό αυτό που γράφεται παρακάτω να είναι ψέμα! Λοιπόν, ή τουλάχιστον μέρος του.
Πρώτα έγραψα αυτό το σημείωμα ως την αρχή μιας σειράς άρθρων για την τοπολογία για τους φίλους μου στις ανθρωπιστικές επιστήμες, αλλά κανένας από αυτούς δεν άρχισε να το διαβάζει. Αποφάσισα να δημοσιεύσω τη διορθωμένη και διευρυμένη έκδοση στο Habr. Μου φάνηκε ότι υπάρχει κάποιο ενδιαφέρον για αυτό το θέμα και δεν υπήρξαν ποτέ άρθρα αυτού του είδους στο παρελθόν. Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όλα τα σχόλια σχετικά με λάθη και ανακρίβειες. Σας προειδοποιώ ότι χρησιμοποιώ πολλές φωτογραφίες.
Ας ξεκινήσουμε με μια σύντομη ανασκόπηση της θεωρίας συνόλων. Νομίζω ότι οι περισσότεροι αναγνώστες είναι εξοικειωμένοι με αυτό, αλλά παρόλα αυτά θα σας υπενθυμίσω τα βασικά.
Έτσι, πιστεύεται ότι το σύνολο δεν έχει ορισμό και ότι κατανοούμε διαισθητικά τι είναι. Ο Κάντορ είπε το εξής: «Με το «σύνολο» εννοούμε τον συνδυασμό σε ένα ορισμένο σύνολο Μ ορισμένων σαφώς διακριτών αντικειμένων m της ενατένισης ή της σκέψης μας (τα οποία θα ονομάζονται «στοιχεία» του συνόλου Μ).» Φυσικά, πρόκειται απλώς για αλληγορική περιγραφή και όχι για μαθηματικό ορισμό.
Η θεωρία συνόλων είναι γνωστή (συγγνώμη για το λογοπαίγνιο) για πολλά εκπληκτικά παράδοξα. Για παράδειγμα . Συνδέεται επίσης με την κρίση των μαθηματικών στις αρχές του 20ού αιώνα.
Η θεωρία συνόλων υπάρχει σε διάφορες παραλλαγές, όπως η ZFC ή η NBG και άλλες. Μια παραλλαγή της θεωρίας είναι η θεωρία τύπων, η οποία είναι αρκετά σημαντική για τους προγραμματιστές. Τέλος, ορισμένοι μαθηματικοί προτείνουν τη χρήση της θεωρίας των κατηγοριών, για την οποία έχουν γραφτεί πολλά στο Habré, αντί της θεωρίας συνόλων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Η θεωρία τύπων και η θεωρία συνόλων περιγράφουν τα μαθηματικά αντικείμενα σαν «από μέσα», αλλά η θεωρία κατηγοριών δεν ενδιαφέρεται για αυτά εσωτερική δομή, αλλά μόνο πώς αλληλεπιδρούν, δηλ. δίνει τα «εξωτερικά» χαρακτηριστικά τους.
Για εμάς, μόνο το πιο σημαντικό αρχικά βασικάθεωρία συνόλων.
Τα σύνολα μπορεί να είναι πεπερασμένα.
Είναι ατελείωτες. Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων, το οποίο συμβολίζεται με το γράμμα ℤ (ή απλώς Z, αν δεν έχετε σγουρά γράμματα στο πληκτρολόγιό σας).
Τέλος, υπάρχει το κενό σύνολο. Είναι ακριβώς το ίδιο σε ολόκληρο το Σύμπαν. Υπάρχει μια απλή απόδειξη αυτού του γεγονότος, αλλά δεν θα την παρουσιάσω εδώ.
Εάν το σύνολο είναι άπειρο, συμβαίνει αριθμητός. Μετρήσιμα σύνολα είναι εκείνα τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία μπορούν να αριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. Το ίδιο το σύνολο των φυσικών αριθμών, όπως μαντέψατε, είναι επίσης μετρήσιμο. Δείτε πώς να αριθμήσετε ακέραιους αριθμούς.
Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι πιο δύσκολοι, αλλά μπορούν επίσης να αριθμηθούν. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται διαγώνια διαδικασίακαι μοιάζει με την παρακάτω εικόνα.
Κινούμε ζιγκ-ζαγκ κατά μήκος των ρητών αριθμών, ξεκινώντας από το 1. Ταυτόχρονα, εκχωρούμε έναν ζυγό αριθμό σε κάθε αριθμό που παίρνουμε. Οι αρνητικοί ορθολογικοί αριθμοί μετρώνται με τον ίδιο τρόπο, μόνο οι αριθμοί είναι περιττοί, ξεκινώντας από το 3. Το μηδέν παραδοσιακά λαμβάνει τον πρώτο αριθμό. Έτσι είναι σαφές ότι όλοι οι ρητικοί αριθμοί μπορούν να αριθμηθούν. Όλοι οι αριθμοί όπως 4,87592692976340586068 ή 1,000000000000001, ή -9092, ή ακόμα και 42, λαμβάνουν τον αριθμό τους σε αυτόν τον πίνακα. Ωστόσο, δεν πέφτουν όλοι οι αριθμοί εδώ. Για παράδειγμα, το √2 δεν θα λάβει αριθμό. Αυτό κάποτε στενοχώρησε πολύ τους Έλληνες. Λένε ότι ο τύπος που ανακάλυψε τους παράλογους αριθμούς πνίγηκε.
Μια γενίκευση της έννοιας του μεγέθους για τα σύνολα είναι εξουσία. Η καρδινάτητα των πεπερασμένων συνόλων είναι ίση με τον αριθμό των στοιχείων τους. Η καρδινικότητα των άπειρων συνόλων συμβολίζεται με το εβραϊκό γράμμα aleph με δείκτη. Η μικρότερη άπειρη δύναμη είναι η δύναμη ℵ 0 . Είναι ίσο με την καρδινάτητα των μετρήσιμων συνόλων. Όπως βλέπουμε, λοιπόν, υπάρχουν τόσοι φυσικοί αριθμοί όσοι και ακέραιοι ή ρητικοί αριθμοί. Παράξενο αλλά αληθινό. Επόμενο είναι η δύναμη συνέχεια. Συμβολίζεται με το μικρό γοτθικό γράμμα c. Αυτή είναι η δύναμη του συνόλου των πραγματικών αριθμών ℝ, για παράδειγμα. Υπάρχει η υπόθεση ότι η ισχύς του συνεχούς είναι ίση με την ισχύ ℵ 1. Δηλαδή, ότι αυτή είναι η επόμενη ισχύς μετά την ισχύ των αριθμήσιμων συνόλων και δεν υπάρχει ενδιάμεση ισχύς μεταξύ αριθμήσιμων συνόλων και συνεχούς.
Μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες σε σύνολα και να αποκτήσετε νέα σύνολα.
1. Τα σετ μπορούν να συνδυαστούν.
3. Μπορείτε να αναζητήσετε τη διασταύρωση των συνόλων.
Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε για τα σύνολα για τους σκοπούς αυτής της σημείωσης. Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην ίδια την τοπολογία.
Η τοπολογία είναι μια επιστήμη που μελετά σύνολα με μια συγκεκριμένη δομή. Αυτή η δομή ονομάζεται επίσης τοπολογία.
Ας έχουμε ένα μη κενό σύνολο S.
Έστω αυτό το σύνολο να έχει μια ορισμένη δομή, η οποία περιγράφεται από ένα σύνολο που θα ονομάσουμε Τ. Το T είναι ένα σύνολο υποσυνόλων του συνόλου S έτσι ώστε:
1. Το ίδιο το S και το ∅ ανήκουν στο T.
2. Οποιαδήποτε ένωση αυθαίρετων οικογενειών στοιχείων Τ ανήκει στο Τ.
3. Διασταύρωση αυθαιρέτων τελικόςΗ οικογένεια στοιχείων Τ ανήκει στο Τ.
Εάν ικανοποιηθούν αυτά τα τρία σημεία, τότε η δομή μας είναι μια τοπολογία T στο σύνολο S. Τα στοιχεία του συνόλου T ονομάζονται ανοιχτόσύνολα στο S στην τοπολογία Τ. Το συμπλήρωμα των ανοιχτών συνόλων είναι κλειστόπλήθη. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το ότι ένα σετ είναι ανοιχτό δεν σημαίνει ότι δεν είναι κλειστό και το αντίστροφο. Επιπλέον, σε ένα δεδομένο σύνολο σε σχέση με μια συγκεκριμένη τοπολογία μπορεί να υπάρχουν υποσύνολα που δεν είναι ούτε ανοιχτά ούτε κλειστά.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας έχουμε ένα σετ που αποτελείται από τρία χρωματιστά τρίγωνα.
Η απλούστερη τοπολογία σε αυτό ονομάζεται αντιδιακριτή τοπολογία. Εδώ είναι.
Αυτή η τοπολογία ονομάζεται επίσης τοπολογία κολλημένες τελείες. Αποτελείται από το ίδιο το σύνολο και το κενό σύνολο. Αυτό όντως ικανοποιεί τα αξιώματα της τοπολογίας.
Μπορείτε να ορίσετε πολλές τοπολογίες σε ένα σύνολο. Εδώ είναι μια άλλη πολύ πρωτόγονη τοπολογία που συμβαίνει. Λέγεται διακριτικό. Αυτή είναι μια τοπολογία που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου.
Και εδώ είναι μια άλλη τοπολογία. Βρίσκεται σε ένα σετ με 7 πολύχρωμα αστέρια S, τα οποία ονόμασα με γράμματα. Βεβαιωθείτε ότι αυτή είναι η τοπολογία. Δεν είμαι σίγουρος για αυτό, ίσως έχασα κάποιο είδος ένωσης ή διασταύρωσης. Σε αυτήν την εικόνα θα πρέπει να υπάρχει το ίδιο το σύνολο S, το κενό σύνολο, οι τομές και οι ενώσεις όλων των άλλων στοιχείων της τοπολογίας θα πρέπει επίσης να βρίσκονται στην εικόνα.
Ζεύγοςαπό την τοπολογία και το σύνολο στο οποίο ορίζεται καλείται τοπολογικός χώρος.
Εάν υπάρχουν πολλά σημεία σε ένα σύνολο (για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτά), τότε η λίστα όλων των ανοιχτών συνόλων μπορεί να είναι προβληματική. Για παράδειγμα, για μια διακριτή τοπολογία σε ένα σύνολο τριών στοιχείων, πρέπει να δημιουργήσετε μια λίστα με 8 σύνολα. Και για ένα σύνολο 4 στοιχείων, η διακριτή τοπολογία θα αριθμεί ήδη 16, για 5 - 32, για 6 -64, και ούτω καθεξής. Προκειμένου να μην παρατίθενται όλα τα ανοιχτά σύνολα, χρησιμοποιείται ένα είδος συντομογραφίας - διαγράφονται εκείνα τα στοιχεία των οποίων οι ενώσεις μπορούν να δώσουν όλα τα ανοιχτά σύνολα. Λέγεται βάσητοπολογία. Για παράδειγμα, για μια διακριτή τοπολογία ενός χώρου τριών τριγώνων, αυτά θα είναι τρία τρίγωνα που λαμβάνονται χωριστά, επειδή συνδυάζοντάς τα, μπορείτε να λάβετε όλα τα άλλα ανοιχτά σύνολα σε αυτήν την τοπολογία. Η βάση λέγεται ότι δημιουργεί την τοπολογία. Τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία δημιουργούν τη βάση ονομάζονται προβάση.
Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα μιας βάσης για μια διακριτή τοπολογία σε ένα σύνολο πέντε αστέρων. Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτή την περίπτωση η βάση αποτελείται από μόνο πέντε στοιχεία, ενώ στην τοπολογία υπάρχουν έως και 32 υποσύνολα. Συμφωνώ, η χρήση μιας βάσης για την περιγραφή της τοπολογίας είναι πολύ πιο βολική.
Σε τι χρησιμεύουν τα ανοιχτά σετ; Κατά μία έννοια, δίνουν μια ιδέα για την «εγγύτητα» μεταξύ των σημείων και τη διαφορά μεταξύ τους. Εάν τα σημεία ανήκουν σε δύο διαφορετικά ανοιχτά σύνολα ή εάν ένα σημείο βρίσκεται σε ένα ανοιχτό σύνολο που δεν περιέχει το δεύτερο, τότε είναι τοπολογικά διακριτά. Στην αντιδιακριτή τοπολογία, όλα τα σημεία είναι δυσδιάκριτα με αυτή την έννοια, φαίνεται να έχουν κολλήσει μεταξύ τους. Αντίθετα, σε μια διακριτή τοπολογία Ολοιτα σημεία είναι διαφορετικά.
Άρρηκτα συνδεδεμένο με την έννοια του ανοιχτού συνόλου είναι το concept γειτονιά. Μερικοί συγγραφείς ορίζουν την τοπολογία όχι με όρους ανοιχτών συνόλων, αλλά με όρους γειτονιών. Γειτονιά ενός σημείου p είναι ένα σύνολο που περιέχει ανοιχτή μπάλαμε κέντρο σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, το παρακάτω σχήμα δείχνει γειτονιές και μη γειτονιές σημείων. Το σύνολο S 1 είναι μια γειτονιά του σημείου p, αλλά το σύνολο S 2 δεν είναι.
Η σύνδεση μεταξύ ανοιχτού σετ και οκτεστιάδας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής. Ένα ανοιχτό σύνολο είναι ένα σύνολο του οποίου κάθε στοιχείο έχει κάποια γειτονιά που βρίσκεται στο δεδομένο σύνολο. Ή αντίστροφα, μπορούμε να πούμε ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν είναι γειτονιά κάποιου σημείου του.
Αυτές είναι όλες οι πιο βασικές έννοιες της τοπολογίας. Από εδώ δεν είναι ακόμη σαφές πώς να γυρίσουμε τις σφαίρες μέσα προς τα έξω. Ίσως στο μέλλον, να μπορέσω να φτάσω σε τέτοιου είδους θέματα (αν το καταλάβω μόνος μου).
UPD. Λόγω της ανακρίβειας της ομιλίας μου, προέκυψε κάποια σύγχυση σχετικά με τις καρδινότητες των σετ. Διόρθωσα κάπως το κείμενό μου και εδώ θέλω να δώσω μια εξήγηση. Ο Cantor, όταν δημιούργησε τη θεωρία των συνόλων του, εισήγαγε την έννοια της δύναμης, η οποία κατέστησε δυνατή τη σύγκριση άπειρων συνόλων. Ο Cantor διαπίστωσε ότι οι καρδιαλότητες των μετρήσιμων συνόλων (για παράδειγμα, ρητών αριθμών) και του συνεχούς (για παράδειγμα, πραγματικοί αριθμοί) είναι διαφορετικές. Υπέθεσε ότι η ισχύς του συνεχούς είναι αμέσως μετά τη δύναμη των μετρήσιμων συνόλων, δηλ. ίσο με άλεφ-ένα. Ο Κάντορ προσπάθησε να αποδείξει αυτή την υπόθεση, αλλά χωρίς επιτυχία. Αργότερα έγινε σαφές ότι αυτή η υπόθεση δεν μπορούσε ούτε να διαψευσθεί ούτε να αποδειχτεί.
Διάλεξη 12: Βασικές έννοιες της θεωρίας συνόλων
Θεωρώντας ένα σύστημα ως μια συλλογή στοιχείων καθιστά δυνατή τη χρήση της συσκευής της θεωρίας συνόλων για τη μαθηματική περιγραφή του. Επιπλέον, σε έναν αριθμό σημαντικών περιπτώσεων, οι συνδέσεις μεταξύ στοιχείων περιγράφονται εύκολα χρησιμοποιώντας τη συσκευή της μαθηματικής λογικής.
Η έννοια του συνόλου είναι μια από εκείνες τις θεμελιώδεις έννοιες στα μαθηματικά που είναι δύσκολο να οριστεί. ακριβής ορισμόςχρησιμοποιώντας στοιχειώδεις έννοιες. Επομένως, θα περιοριστούμε σε μια περιγραφική εξήγηση της έννοιας του συνόλου.
Πολοίείναι μια συλλογή ορισμένων εντελώς διακριτών αντικειμένων που θεωρούνται ως ένα ενιαίο σύνολο. Ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, ο Georg Cantor, έδωσε τον ακόλουθο ορισμό του συνόλου: «ένα σύνολο είναι πολλά πράγματα που σκεφτόμαστε ως σύνολο».
Τα επιμέρους αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο ονομάζονται στοιχείαπλήθη.
Τα σύνολα συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματατο λατινικό αλφάβητο και τα στοιχεία αυτών των συνόλων είναι με μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Τα σετ είναι γραμμένα σε σγουρά τιράντες ( ).
Είναι σύνηθες να χρησιμοποιείτε τον ακόλουθο συμβολισμό:
- a ∈ X — «το στοιχείο a ανήκει στο σύνολο X».
- a ∉ X — «το στοιχείο a δεν ανήκει στο σύνολο X».
- ∀ είναι ένας ποσοτικός δείκτης αυθαιρεσίας, γενικότητας, που δηλώνει «οποιοδήποτε», «ό,τιδήποτε», «για όλους».
- ∃ — ποσοτικός προσδιορισμός ύπαρξης: ∃y ∈ B — "υπάρχει (υπάρχει) ένα στοιχείο y από το σύνολο B";
- ∃! — ποσοτικός προσδιορισμός ύπαρξης και μοναδικότητας: ∃!b ∈ C — «υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο b από το σύνολο C».
- : - «έτσι που? έχοντας ιδιοκτησία»·
- → - σύμβολο συνέπειας, σημαίνει «συνεπάγεται»·
- ⇔ - ποσοτικός δείκτης ισοδυναμίας, ισοδυναμία - "τότε και μόνο τότε".
Υπάρχουν πολλά τελικόςΚαι ατέλειωτος. Τα σετ καλούνται τελικός, αν ο αριθμός των στοιχείων του είναι πεπερασμένος, δηλ. αν υπάρχει φυσικός αριθμός n, που είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου. A=(a 1, a 2, a 3, ..., a n). Το σετ λέγεται ατέλειωτος, αν περιέχει άπειρο αριθμό στοιχείων. B=(b 1 ,b 2 ,b 3 , ...). Για παράδειγμα, το σύνολο των γραμμάτων του ρωσικού αλφαβήτου είναι ένα πεπερασμένο σύνολο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα άπειρο σύνολο.
Ο αριθμός των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου M ονομάζεται καρδινικότητα του συνόλου M και συμβολίζεται με |M|. Αδειάζωσύνολο - ένα σύνολο που δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο - ∅. Τα δύο σύνολα ονομάζονται ίσος, αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία, δηλ. είναι ένα και το αυτό σύνολο. Τα σύνολα δεν είναι ίσα X ≠ Y εάν το X περιέχει στοιχεία που δεν ανήκουν στο Y ή εάν το Y περιέχει στοιχεία που δεν ανήκουν στο X. Το σύμβολο ισότητας συνόλου έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- X=X; - ανακλαστικότητα
- αν Χ=Υ, Υ=Χ - συμμετρία
- αν X=Y,Y=Z, τότε το X=Z είναι μεταβατικότητα.
Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό της ισότητας των συνόλων, λαμβάνουμε φυσικά ότι όλα τα κενά σύνολα είναι ίσα μεταξύ τους, ή τι είναι το ίδιο πράγμα, ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.
Υποσύνολα. Σχέση ένταξης.
Ένα σύνολο X είναι ένα υποσύνολο ενός συνόλου Y εάν οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου X ∈ επίσης το σύνολο Y. Συμβολίζεται με X⊆Y.
Εάν είναι απαραίτητο να τονιστεί ότι το Υ περιέχει και άλλα στοιχεία εκτός από στοιχεία από το X, τότε χρησιμοποιείται το σύμβολο αυστηρής συμπερίληψης ⊂: X⊂Y. Η σχέση μεταξύ των συμβόλων ⊂ και ⊆ δίνεται από την έκφραση:
X⊂Y ⇔ X⊆Y και X≠Y
Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες του υποσυνόλου που προκύπτουν από τον ορισμό:
- X⊆Х (ανακλαστικότητα);
- → X⊆Z (μεταβατικότητα);
- ∅ ⊆ M. Είναι γενικά αποδεκτό ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.
Το αρχικό σύνολο Α σε σχέση με τα υποσύνολά του καλείται πλήρηςορίζεται και συμβολίζεται με I.
Κάθε υποσύνολο A i ενός συνόλου Α ονομάζεται σωστό σύνολο του Α.
Καλείται ένα σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου X και το κενό σύνολο ∅ BooleanΧ και συμβολίζεται με β(Χ). Η δύναμη του Boolean |β(X)|=2 n .
Μετρήσιμο σετ- αυτό είναι ένα σύνολο Α, του οποίου όλα τα στοιχεία μπορούν να αριθμηθούν σε μια ακολουθία (ίσως άπειρη) a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... έτσι ώστε κάθε στοιχείο να λαμβάνει μόνο έναν αριθμό n και κάθε ο φυσικός αριθμός n θα δίνονταν ως αριθμός σε ένα και μόνο στοιχείο του συνόλου μας.
Ένα σύνολο που ισοδυναμεί με το σύνολο των φυσικών αριθμών ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο.
Παράδειγμα.Το σύνολο των τετραγώνων των ακεραίων αριθμών 1, 4, 9, ..., n 2 είναι μόνο ένα υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών N. Το σύνολο είναι μετρήσιμο, αφού φέρεται σε αντιστοιχία ένα προς ένα με τη φυσική σειρά εκχωρώντας σε κάθε στοιχείο τον αριθμό αυτού του αριθμού της φυσικής σειράς, το τετράγωνο που είναι.
Υπάρχουν 2 κύριοι τρόποι για να ορίσετε σύνολα.
- απαρίθμηση (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n ));
- περιγραφή - υποδεικνύει τις χαρακτηριστικές ιδιότητες που διαθέτουν όλα τα στοιχεία του συνόλου.
Ένα σύνολο ορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του.
Μια απαρίθμηση μπορεί να καθορίσει μόνο πεπερασμένα σύνολα (για παράδειγμα, ένα σύνολο μηνών σε ένα έτος). Άπειρα σύνολαμπορεί να προσδιοριστεί μόνο με την περιγραφή των ιδιοτήτων των στοιχείων του (για παράδειγμα, το σύνολο των ρητών αριθμών μπορεί να προσδιοριστεί περιγράφοντας το Q=(n/m, m, n∈Z, m≠0).
Μέθοδοι για τον καθορισμό ενός συνόλου με περιγραφή:
ΕΝΑ) καθορίζοντας μια διαδικασία παραγωγήςυποδεικνύοντας το σύνολο (τα) από τα οποία εκτελούνται οι παράμετροι αυτής της διαδικασίας - αναδρομικός, επαγωγικός.
X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1, k=1,2,3,...) — σύνολο αριθμών Fibonicci.
(ένα σύνολο στοιχείων x έτσι ώστε x 1 =1, x 2 =1 και αυθαίρετο x k+1 (για k=1,2,3,...) υπολογίζεται με τον τύπο x k+2 =x k + x k+1) ή X=)
