Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία. Ας συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης (13) για αυτό το σύστημα και ας τις προσθέσουμε ανά όρο. Μετά παίρνουμε

Τελευταίο ποσό ανά ιδιοκτησία εσωτερικές δυνάμειςίσο με μηδέν. Εκτός,

Επιτέλους βρίσκουμε

Η εξίσωση (20) εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε διαφορική μορφή: η χρονική παράγωγος της ορμής του συστήματος είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα. Σε προβολές για άξονες συντεταγμένωνθα:

Ας βρούμε μια άλλη έκφραση για το θεώρημα. Έστω τη στιγμή του χρόνου το μέγεθος της κίνησης του συστήματος είναι ίσο και τη στιγμή γίνεται ίσο με . Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (20) και ολοκληρώνοντας, παίρνουμε

αφού τα ολοκληρώματα στα δεξιά δίνουν ωθήσεις εξωτερικών δυνάμεων.

Η εξίσωση (21) εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε ολοκληρωμένη μορφή: η μεταβολή της ορμής του συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών που δρουν στο σύστημα εξωτερικών δυνάμεων. την ίδια χρονική περίοδο.

Σε προβολές σε άξονες συντεταγμένων θα υπάρχουν:

Ας επισημάνουμε τη σύνδεση μεταξύ του αποδεδειγμένου θεωρήματος και του θεωρήματος της κίνησης κέντρο μάζας. Αφού, λοιπόν, αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή με την ισότητα (20) και λαμβάνοντας υπόψη ότι παίρνουμε , δηλαδή την εξίσωση (16).

Κατά συνέπεια, το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας και το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος είναι ουσιαστικά δύο διαφορετικές μορφές του ίδιου θεωρήματος. Σε περιπτώσεις που μελετάται η κίνηση στερεός(ή συστήματα σωμάτων), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εξίσου οποιαδήποτε από αυτές τις μορφές και η εξίσωση (16) είναι συνήθως πιο βολική στη χρήση. Για ένα συνεχές μέσο (υγρό, αέριο), όταν λύνουν προβλήματα, συνήθως χρησιμοποιούν το θεώρημα της μεταβολής της ορμής του συστήματος. Αυτό το θεώρημα έχει επίσης σημαντικές εφαρμογές στη θεωρία της κρούσης (βλ. Κεφάλαιο XXXI) και στη μελέτη της κίνησης πίδακα (βλ. § 114).

Το μέγεθος της κίνησης του συστήματοςκαλούμε το γεωμετρικό άθροισμα των ποσοτήτων κίνησης όλων των υλικών σημείων του συστήματος

Για να διευκρινίσουμε τη φυσική σημασία του (70), ας υπολογίσουμε την παράγωγο του (64)

. (71)

Λύνοντας το (70) και το (71) μαζί, προκύπτει

. (72)

Ετσι, το διάνυσμα της ορμής ενός μηχανικού συστήματος καθορίζεται από το γινόμενο της μάζας του συστήματος και την ταχύτητα του κέντρου μάζας του.

Ας υπολογίσουμε την παράγωγο του (72)

. (73)

Λύνοντας τις (73) και (67) μαζί, παίρνουμε

. (74)

Η εξίσωση (74) εκφράζει το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα: Η χρονική παράγωγος του διανύσματος ορμής του συστήματος είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, η εξίσωση (74) πρέπει να προβάλλεται στους άξονες συντεταγμένων:

. (75)

Από την ανάλυση των (74) και (75) προκύπτουν τα ακόλουθα: νόμος διατήρησης της ορμής ενός συστήματος: Αν το άθροισμα όλων των δυνάμεων του συστήματος είναι μηδέν, τότε το διάνυσμα της ορμής του διατηρεί το μέγεθος και την κατεύθυνσή του.

Αν
, Αυτό
,Q = συνθ . (76)

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αυτός ο νόμος μπορεί να εκπληρωθεί κατά μήκος ενός από τους άξονες συντεταγμένων.

Αν
, Αυτό, Q z = συνθ. (77)

Συνιστάται να χρησιμοποιείται το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε περιπτώσεις όπου το σύστημα περιλαμβάνει υγρά και αέρια σώματα.

Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής ενός μηχανικού συστήματος

Το μέγεθος της κίνησης χαρακτηρίζει μόνο το μεταφορικό στοιχείο της κίνησης.

Για να χαρακτηριστεί η περιστροφική κίνηση ενός σώματος, έχει εισαχθεί η έννοια της κύριας γωνιακής ορμής του συστήματος σε σχέση με ένα δεδομένο κέντρο (κινητική ροπή).Κινητική ροπή του συστήματος

. (78)

σε σχέση με ένα δεδομένο κέντρο είναι το γεωμετρικό άθροισμα των ροπών των ποσοτήτων κίνησης όλων των σημείων του σε σχέση με το ίδιο κέντρο

. (79)

Με την προβολή (22) στους άξονες συντεταγμένων, μπορούμε να λάβουμε μια έκφραση για την κινητική ροπή σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένωνΚινητική ροπή του σώματος σε σχέση με τους άξονες

. (80)

ίσο με το γινόμενο της ροπής αδράνειας του σώματος σε σχέση με αυτόν τον άξονα και τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος

Από το (80) προκύπτει ότι η κινητική ροπή χαρακτηρίζει μόνο την περιστροφική συνιστώσα της κίνησης.

Χαρακτηριστικό της περιστροφικής δράσης μιας δύναμης είναι η ροπή της σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.

Θεώρημα: Το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής καθιερώνει τη σχέση μεταξύ του χαρακτηριστικού της περιστροφικής κίνησης και της δύναμης που προκαλεί αυτή την κίνηση.Η χρονική παράγωγος του διανύσματος της γωνιακής ορμής του συστήματος σε σχέση με κάποιο κέντρο είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος σε σχέση με

. (81)

το ίδιο κέντρο

Κατά την επίλυση προβλημάτων μηχανικής (81), είναι απαραίτητο να σχεδιάζεται στους άξονες συντεταγμένων Η ανάλυσή τους των (81) και (82) συνεπάγεται: νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής

,

Εάν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με το κέντρο (ή τον άξονα) είναι ίσο με μηδέν, τότε η κινητική ροπή του συστήματος σε σχέση με αυτό το κέντρο (ή άξονα) διατηρεί το μέγεθος και την κατεύθυνσή της.

ή γωνιακή ταχύτητα.

Το μέγεθος της κίνησης είναι ένα μέτρο της μηχανικής κίνησης, εάν η μηχανική κίνηση μετατραπεί σε μηχανική. Για παράδειγμα, η μηχανική κίνηση μιας μπάλας του μπιλιάρδου (Εικ. 22) πριν από την κρούση μετατρέπεται σε μηχανική κίνηση των μπαλών μετά την κρούση. Για ένα σημείο, η ορμή είναι ίση με το γινόμενο .

Το μέτρο της δύναμης σε αυτή την περίπτωση είναι η ώθηση της δύναμης

. (9.1)

Η ορμή καθορίζει τη δράση της δύναμης σε μια χρονική περίοδο . Για ένα υλικό σημείο, το θεώρημα της μεταβολής της ορμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαφορική μορφή
(9.2) ή ολοκληρωτική (πεπερασμένη) μορφή
. (9.3)

Η μεταβολή της ορμής ενός υλικού σημείου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με την ώθηση όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σημείο κατά τη διάρκεια του ίδιου χρόνου.

Εικόνα 22

Κατά την επίλυση προβλημάτων, το Θεώρημα (9.3) χρησιμοποιείται συχνότερα σε προβολές σε άξονες συντεταγμένων
;

; (9.4)

.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την αλλαγή της ορμής ενός σημείου, είναι δυνατό να λυθούν προβλήματα στα οποία ένα σημείο ή ένα σώμα που κινείται μεταφορικά ασκείται από σταθερές ή μεταβλητές δυνάμεις που εξαρτώνται από το χρόνο, και τα δεδομένα και τα ζητούμενα μεγέθη περιλαμβάνουν το χρόνο κίνηση και ταχύτητες στην αρχή και στο τέλος της κίνησης. Τα προβλήματα που χρησιμοποιούν το θεώρημα λύνονται με την ακόλουθη σειρά:

1. επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων.

2. απεικονίζουν όλες τις δεδομένες (ενεργές) δυνάμεις και αντιδράσεις που δρουν σε ένα σημείο.

3. Καταγράψτε ένα θεώρημα σχετικά με τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε προβολές στους επιλεγμένους άξονες συντεταγμένων.

4. προσδιορίστε τις απαιτούμενες ποσότητες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.

Ένα σφυρί βάρους G=2t πέφτει από ύψος h=1m πάνω στο τεμάχιο εργασίας σε χρόνο t=0,01s και σφραγίζει το τμήμα (Εικ. 23). Προσδιορίστε τη μέση δύναμη πίεσης του σφυριού στο τεμάχιο εργασίας.

ΔΙΑΛΥΜΑ.

1. Το τεμάχιο εργασίας υπόκειται στη δύναμη της βαρύτητας του σφυριού και αντίδραση εδάφους .
.

Το μέγεθος της αντίδρασης υποστήριξης αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, οπότε ας εξετάσουμε τη μέση τιμή της
2. κατευθύνετε τον άξονα συντεταγμένων y κατακόρυφα προς τα κάτω και εφαρμόστε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου προβολής σε αυτόν τον άξονα: , (1) όπου

-- ταχύτητα σφυριού στο τέλος του χτυπήματος.

-- αρχική ταχύτητα του σφυριού τη στιγμή της επαφής με το τεμάχιο εργασίας. 3. Για να προσδιορίσετε την ταχύτητα ας φτιάξουμεδιαφορική εξίσωση

. (2)

κίνηση σφυριού σε προβολή στον άξονα y:
;

;

Ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές και ας ενσωματώσουμε την εξίσωση (2) δύο φορές: . Βρίσκουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης C 1, C 2 απόαρχικές συνθήκες
. Σε t=0 V y =0, τότε C1 =0; y=0, μετά C 2 =0. Επομένως, το σφυρί κινείται σύμφωνα με το νόμο
, (3) και η ταχύτητα του σφυριού αλλάζει σύμφωνα με το νόμο
;
. (5)

.
.
(6) Αντικατάσταση (5) και (6) σε (1):
, από όπου βρίσκουμε την αντίδραση του στηρίγματος, και, κατά συνέπεια, την επιθυμητή πίεση του σφυριού στο τεμάχιο εργασίας

Τ.

Εικόνα 24

ΝΑ
;

. (9.7)

όπου M είναι η μάζα του συστήματος, V c είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας. Το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος μπορεί να γραφτεί σε διαφορική και πεπερασμένη (ολοκληρωτική) μορφή:
Το μέγεθος της κίνησης ενός μηχανικού συστήματος μπορεί να οριστεί ως το άθροισμα των ποσών κίνησης των σημείων του συστήματος
, (9.6)

.
; (9.8)
. (9.9)

(9.5) Η ορμή ενός συστήματος ή ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να προσδιοριστεί γνωρίζοντας τη μάζα του συστήματος και την ταχύτητα του κέντρου μάζας
,
.

Η μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν κατά την ίδια χρονική περίοδο. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα για την αλλαγή της ορμής στην προβολή στους άξονες συντεταγμένων
Ο νόμος διατήρησης της ορμής δηλώνει ότι ελλείψει εξωτερικών δυνάμεων, η ορμή ενός μηχανικού συστήματος παραμένει σταθερή. Η δράση των εσωτερικών δυνάμεων δεν μπορεί να αλλάξει την ορμή του συστήματος. Από την εξίσωση (9.6) είναι σαφές ότι όταν
Αν
.

, Αυτό

ή ρε έλικα ή έλικα, τζετ πρόωση. Τα καλαμάρια κινούνται σπασμωδικά, πετώντας νερό από τον μυϊκό σάκο σαν κανόνι νερού (Εικ. 25). Το απωθούμενο νερό έχει μια συγκεκριμένη ποσότητα κίνησης που κατευθύνεται προς τα πίσω. Το καλαμάρι λαμβάνει την αντίστοιχη ταχύτητα .

κίνηση προς τα εμπρός λόγω αντιδραστικής ελκτικής δύναμης

, αφού πριν το καλαμάρι ξεπηδήσει τη δύναμη

εξισορροπείται από τη βαρύτητα

Η επίδραση του νόμου της διατήρησης της ορμής ενός μηχανικού συστήματος μπορεί να απεικονιστεί με το παράδειγμα του φαινομένου της ανάκρουσης ή της ανατροπής κατά τη βολή, την εργασία
Η εφαρμογή του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής μας επιτρέπει να αποκλείσουμε όλες τις εσωτερικές δυνάμεις από την εξέταση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13. Ένα βαρούλκο Α με τύμπανο ακτίνας r είναι εγκατεστημένο σε μια σιδηροδρομική πλατφόρμα που στέκεται ελεύθερα στις ράγες (Εικ. 26). Το βαρούλκο έχει σχεδιαστεί για να μετακινεί ένα φορτίο Β με μάζα m 1 κατά μήκος της πλατφόρμας. Βάρος πλατφόρμας με βαρούλκο m 2. Το τύμπανο του βαρούλκου περιστρέφεται σύμφωνα με το νόμο

. Την αρχική στιγμή το σύστημα ήταν κινητό. Παραμελώντας την τριβή, βρείτε τον νόμο της αλλαγής της ταχύτητας της πλατφόρμας μετά την ενεργοποίηση του βαρούλκου. R ΔΙΑΛΥΜΑ. 1. Θεωρήστε την πλατφόρμα, το βαρούλκο και το φορτίο ως ένα ενιαίο μηχανικό σύστημα, στο οποίο επιδρούν εξωτερικές δυνάμεις: βαρύτητα του φορτίου
.

και πλατφόρμες
και αντιδράσεις
Και

Ας εκφράσουμε το μέγεθος της κίνησης του συστήματος σε μια αυθαίρετη χρονική στιγμή. Η πλατφόρμα προχωρά με ταχύτητα , το φορτίο υφίσταται μια σύνθετη κίνηση που αποτελείται από σχετική κίνηση κατά μήκος της πλατφόρμας με ταχύτητα Και φορητή κίνησημαζί με την πλατφόρμα με ταχύτητα ., όπου
. Η πλατφόρμα θα κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη σχετική κίνηση του φορτίου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14.

Μ

ΔΙΑΛΥΜΑ.

1. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε προβολή στον άξονα x. Αφού όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα είναι κάθετες, τότε
, Τότε
, όπου
. (1)

2. Ας εκφράσουμε την προβολή της ορμής στον άξονα x για το μηχανικό σύστημα που εξετάζουμε
,

Το μηχανικό σύστημα αποτελείται από μια ορθογώνια κατακόρυφη πλάκα 1 με μάζα m 1 = 18 kg, που κινείται κατά μήκος οριζόντιων οδηγών και ένα φορτίο D με μάζα m 2 = 6 kg. Τη στιγμή του χρόνου t 0 =0, όταν η πλάκα κινούνταν με ταχύτητα u 0 =2m/s, το φορτίο άρχισε να κινείται κατά μήκος της τάφρου σύμφωνα με την εξίσωση S=AD=0,4sin( t 2) (S-in μέτρα, t-in δευτερόλεπτα), (Εικ. 26). Να προσδιορίσετε την ταχύτητα της πλάκας τη χρονική στιγμή t 1 = 1s, χρησιμοποιώντας το θεώρημα της μεταβολής της ορμής ενός μηχανικού συστήματος.

Οπου ,
-- το μέγεθος της κίνησης της πλάκας και του φορτίου, αντίστοιχα.

;
, Πού --απόλυτη ταχύτητα του φορτίου Δ. Από την ισότητα (1) προκύπτει ότι K 1x + K 2x =C 1 ή m 1 u x +m 2 V Dx =C 1.
, (3)
(2) Για να προσδιορίσετε το V Dx, θεωρήστε την κίνηση του φορτίου D ως σύνθετη, θεωρώντας την κίνησή του σε σχέση με την πλάκα σχετική και την κίνηση της ίδιας της πλάκας φορητή, τότε ;ή σε προβολή στον άξονα x:
.

(4) Ας αντικαταστήσουμε το (4) σε (2):

.

(5) Προσδιορίζουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης C 1 από τις αρχικές συνθήκες: σε t=0 u=u 0 ;

(m 1 +m 2)u 0 =C 1.(6) Αντικαθιστώντας την τιμή της σταθεράς C 1 στην εξίσωση (5), παίρνουμε m/s.

(Θραύσματα μαθηματικής συμφωνίας)

(129)

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί και οι μαθηματικοί θεωρούν την αποστολή τους ολοκληρωμένη, αλλά οι μηχανικοί, των οποίων η μοίρα είναι να πιστεύουν ιερά στους μαθηματικούς, έχουν ερωτήσεις όταν χρησιμοποιούν την αποδεδειγμένη εξίσωση (129). Αλλά τους μπλοκάρει σταθερά η αλληλουχία και η ομορφιά των μαθηματικών πράξεων (128 και 129), που συναρπάζουν και μας ενθαρρύνουν να τις ονομάσουμε κομμάτι μιας μαθηματικής συμφωνίας. Πόσες γενιές μηχανικών συμφώνησαν με τους μαθηματικούς και ένιωσαν δέος για το μυστήριο των μαθηματικών τους συμβόλων! Αλλά τότε υπήρχε ένας μηχανικός που διαφώνησε με τους μαθηματικούς και τους έκανε ερωτήσεις.

Αγαπητοί μαθηματικοί!Γιατί σε κανένα από τα σχολικά σας βιβλία σχετικά θεωρητική μηχανικήΔεν λαμβάνεται υπόψη η διαδικασία εφαρμογής του συμφωνικού αποτελέσματός σας (129) στην πράξη, για παράδειγμα, όταν περιγράφετε τη διαδικασία επιτάχυνσης ενός αυτοκινήτου; Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (129) είναι πολύ σαφής. Το αυτοκίνητο ξεκινά την επιτάχυνση από την ταχύτητα και το τερματίζει, για παράδειγμα, με ταχύτητα. Είναι πολύ φυσικό να γίνεται η εξίσωση (129).

Και τίθεται αμέσως το πρώτο ερώτημα: πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε από την εξίσωση (130) τη δύναμη υπό την επίδραση της οποίας το αυτοκίνητο επιταχύνεται σε ταχύτητα 10 m/s; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δεν βρίσκεται σε κανένα από τα αμέτρητα εγχειρίδια θεωρητικής μηχανικής. Ας προχωρήσουμε. Μετά την επιτάχυνση, το αυτοκίνητο αρχίζει να κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 10 m/s. Ποια δύναμη κινεί το αυτοκίνητο;;;;;;;;;;;; Δεν έχω άλλη επιλογή από το να κοκκινίσω μαζί με τους μαθηματικούς. Ο πρώτος νόμος της Νευτώνειας δυναμικής δηλώνει ότι όταν ένα αυτοκίνητο κινείται ομοιόμορφα, δεν ασκούνται δυνάμεις πάνω του και το αυτοκίνητο, μεταφορικά μιλώντας, φτερνίζεται με αυτόν τον νόμο, καταναλώνει βενζίνη και λειτουργεί, κινώντας, για παράδειγμα, μια απόσταση 100 km. Πού είναι η δύναμη που έκανε τη δουλειά για να μετακινήσει το αυτοκίνητο 100 km; Η συμφωνική μαθηματική εξίσωση (130) είναι σιωπηλή, αλλά η ζωή συνεχίζεται και απαιτεί απάντηση. Αρχίζουμε να τον ψάχνουμε.

Εφόσον το αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα, η δύναμη που το κινεί είναι σταθερή σε μέγεθος και κατεύθυνση και η εξίσωση (130) γίνεται

(131)

Άρα, η εξίσωση (131) σε αυτή την περίπτωση περιγράφει την επιταχυνόμενη κίνηση του σώματος. Με τι ισούται η δύναμη; Πώς να εκφράσετε την αλλαγή του με την πάροδο του χρόνου; Οι μαθηματικοί προτιμούν να παρακάμψουν αυτό το ερώτημα και να το αφήσουν στους μηχανικούς, πιστεύοντας ότι πρέπει να αναζητήσουν την απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Οι μηχανικοί έχουν μόνο μία επιλογή - να λάβουν υπόψη ότι εάν, μετά την ολοκλήρωση της επιταχυνόμενης κίνησης του σώματος, αρχίζει μια φάση ομοιόμορφης κίνησης, η οποία συνοδεύεται από τη δράση μιας σταθερής δύναμης, υπάρχει η εξίσωση (131) για την στιγμή μετάβασης από επιταχυνόμενη σε ομοιόμορφη κίνηση σε αυτή τη μορφή

(132)

Το βέλος σε αυτήν την εξίσωση δεν σημαίνει το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης αυτής της εξίσωσης, αλλά τη διαδικασία μετάβασης από την ολοκληρωμένη μορφή της σε μια απλοποιημένη μορφή. Η δύναμη σε αυτή την εξίσωση είναι ισοδύναμη με τη μέση δύναμη που άλλαξε την ορμή του σώματος από μηδέν σε τελική τιμή. Λοιπόν, αγαπητοί μαθηματικοί και θεωρητικοί φυσικοί, η απουσία της μεθόδου σας για τον προσδιορισμό του μεγέθους της ώθησής σας μας αναγκάζει να απλοποιήσουμε τη διαδικασία για τον προσδιορισμό της δύναμης και η απουσία μεθόδου για τον προσδιορισμό του χρόνου δράσης αυτής της δύναμης γενικά μας βάζει σε απελπιστική θέση και αναγκαζόμαστε να χρησιμοποιήσουμε μια έκφραση για να αναλύσουμε τη διαδικασία αλλαγής της ορμής ενός σώματος . Το αποτέλεσμα είναι ότι όσο περισσότερο ενεργεί η δύναμη, τόσο μεγαλύτερη είναι η ώθησή της. Αυτό έρχεται σε σαφή αντίφαση με τις μακροχρόνιες ιδέες ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ώθηση της δύναμης, τόσο μεγαλύτερη η λιγότερο χρόνοτις πράξεις του.

Ας επιστήσουμε την προσοχή στο γεγονός ότι η αλλαγή της ορμής ενός υλικού σημείου (ώθηση δύναμης) κατά την επιταχυνόμενη κίνησή του συμβαίνει υπό τη δράση της νευτώνειας δύναμης και των δυνάμεων αντίστασης στην κίνηση, με τη μορφή δυνάμεων που παράγονται από μηχανικές αντιστάσεις και η δύναμη της αδράνειας. Αλλά η Νευτώνεια δυναμική στη συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων αγνοεί τη δύναμη της αδράνειας και η Μηχανοδυναμική δηλώνει ότι μια αλλαγή στην ορμή ενός σώματος κατά την επιταχυνόμενη κίνησή του συμβαίνει λόγω της υπέρβασης της νευτώνειας δύναμης έναντι των δυνάμεων αντίστασης στην κίνηση, συμπεριλαμβανομένης της δύναμη αδράνειας.

Όταν ένα σώμα κινείται σε αργή κίνηση, για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο με σβηστό γρανάζι, δεν υπάρχει νευτώνεια δύναμη και η αλλαγή στην ορμή του αυτοκινήτου οφείλεται στην υπέρβαση των δυνάμεων αντίστασης κίνησης σε σχέση με την αδρανειακή δύναμη που κινείται το αυτοκίνητο όταν κινείται αργά.

Πώς μπορούμε τώρα να επιστρέψουμε τα αποτελέσματα των σημειωμένων «συμφωνικών» μαθηματικών ενεργειών (128) στο κύριο ρεύμα των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος; Υπάρχει μόνο μία διέξοδος - να βρεθεί ένας νέος ορισμός των εννοιών "ώθηση δύναμης" και "δύναμη κρούσης". Για να γίνει αυτό, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (132) με το χρόνο t. Ως αποτέλεσμα θα έχουμε

. (133)

Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι η έκφραση mV/t είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (mV/t) ενός υλικού σημείου ή σώματος. Αν λάβουμε υπόψη ότι το V/t είναι η επιτάχυνση, τότε το mV/t είναι η δύναμη που αλλάζει το μέγεθος της κίνησης του σώματος. Η ίδια διάσταση στα αριστερά και δεξιά του πρόσημου ίσου μας δίνει το δικαίωμα να ονομάσουμε τη δύναμη F δύναμη κρούσης και να τη συμβολίσουμε με το σύμβολο, και την ώθηση S - μια κρουστική ώθηση και να τη συμβολίσουμε με το σύμβολο. Αυτό οδηγεί σε έναν νέο ορισμό της δύναμης κρούσης. Η δύναμη κρούσης που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ή σώμα είναι ίση με τον λόγο της μεταβολής της ορμής του υλικού σημείου ή σώματος προς το χρόνο αυτής της αλλαγής.

Ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο γεγονός ότι μόνο η νευτώνεια δύναμη συμμετέχει στον σχηματισμό της κρουστικής ώθησης (134), η οποία άλλαξε την ταχύτητα του αυτοκινήτου από το μηδέν στο μέγιστο - άρα η εξίσωση (134) ανήκει εξ ολοκλήρου στη Νευτώνεια δυναμική. Δεδομένου ότι είναι πολύ πιο εύκολο να προσδιοριστεί το μέγεθος της ταχύτητας πειραματικά παρά ο προσδιορισμός της επιτάχυνσης, ο τύπος (134) είναι πολύ βολικός για υπολογισμούς.

Αυτό το ασυνήθιστο αποτέλεσμα προκύπτει από την εξίσωση (134).

Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι σύμφωνα με τους νέους νόμους της μηχανοδυναμικής, η γεννήτρια της ώθησης της δύναμης κατά την επιταχυνόμενη κίνηση ενός υλικού σημείου ή σώματος είναι η νευτώνεια δύναμη. Σχηματίζει την επιτάχυνση της κίνησης ενός σημείου ή σώματος, στο οποίο προκύπτει αυτόματα μια αδρανειακή δύναμη, που κατευθύνεται αντίθετα από τη νευτώνεια δύναμη και η κρούση Η δύναμη του Νεύτωνα πρέπει να υπερνικήσει τη δράση της αδρανειακής δύναμης, επομένως η αδρανειακή δύναμη πρέπει να αναπαρασταθεί στο ισορροπία δυνάμεων στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης (134). Εφόσον η αδρανειακή δύναμη είναι ίση με τη μάζα του σημείου ή του σώματος πολλαπλασιαζόμενη με την επιβράδυνση που σχηματίζει, τότε η εξίσωση (134) γίνεται

(136)

Αγαπητοί μαθηματικοί!Δείτε τι μορφή πήρε μαθηματικό μοντέλο, περιγράφοντας την κρουστική ώθηση, η οποία επιταχύνει την κίνηση του κρουστικού σώματος από τη μηδενική ταχύτητα στο μέγιστο V (11). Ας ελέγξουμε τώρα τη λειτουργία του για τον προσδιορισμό της ώθησης κρούσης, η οποία είναι ίση με τη δύναμη κρούσης που πυροδότησε τη 2η μονάδα ισχύος του SShG (Εικ. 120), και θα σας αφήσουμε με την άχρηστη εξίσωσή σας (132). Για να μην περιπλέκουμε την παρουσίαση, θα αφήσουμε τον τύπο (134) μόνο προς το παρόν και θα χρησιμοποιήσουμε τύπους που δίνουν μέσες τιμές δυνάμεων. Βλέπεις σε ποια θέση βάζεις έναν μηχανικό να προσπαθεί να λύσει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.

Ας ξεκινήσουμε με τη Νευτώνεια δυναμική. Οι ειδικοί διαπίστωσαν ότι η 2η μονάδα ισχύος ανέβηκε σε ύψος 14 m. Δεδομένου ότι ανέβηκε στο πεδίο της βαρύτητας, σε ύψος h = 14 m αποδείχθηκε ότι η δυναμική του ενέργεια ήταν ίση με

και ο μέσος όρος κινητική ενέργειαήταν ίσος

Ρύζι. 120. Φωτογραφία της αίθουσας του στροβίλου πριν την καταστροφή

Από την ισότητα των ενεργειών κινητικής (138) και δυναμικού (137) προκύπτει μέση ταχύτηταανύψωση της μονάδας ισχύος (Εικ. 121, 122)

Ρύζι. 121. Φωτόνιο του θαλάμου του στροβίλου μετά την καταστροφή

Σύμφωνα με τους νέους νόμους της μηχανοδυναμικής, η άνοδος της μονάδας ισχύος αποτελούνταν από δύο φάσεις (Εικ. 123): την πρώτη φάση ΟΑ - επιταχυνόμενη άνοδος και τη δεύτερη φάση ΑΒ - αργή άνοδο, , .

Ο χρόνος και η απόσταση της δράσης τους είναι περίπου ίσες (). Στη συνέχεια, η κινηματική εξίσωση της επιταχυνόμενης φάσης ανύψωσης της μονάδας ισχύος θα γραφεί ως εξής:

. (140)

Ρύζι. 122. Άποψη του φρεατίου της μονάδας ισχύος και της ίδιας της μονάδας ισχύος μετά την καταστροφή

Ο νόμος της μεταβολής του ρυθμού ανόδου της μονάδας ισχύος στην πρώτη φάση έχει τη μορφή

. (141)

Ρύζι. 123. Κανονικότητα μεταβολών της ταχύτητας πτήσης V μονάδας ισχύος

Αντικαθιστώντας το χρόνο από την εξίσωση (140) στην εξίσωση (141), έχουμε

. (142)

Ο χρόνος ανύψωσης μπλοκ στην πρώτη φάση προσδιορίζεται από τον τύπο (140)

. (143)

Τότε ο συνολικός χρόνος για την ανύψωση της μονάδας ισχύος σε ύψος 14 m θα είναι ίσος με . Η μάζα της μονάδας ισχύος και του καλύμματος είναι 2580 τόνοι. Σύμφωνα με τη Νευτώνεια δυναμική, η δύναμη που ανύψωσε τη μονάδα ισχύος είναι ίση με

Αγαπητοί μαθηματικοί!Ακολουθούμε τα συμφωνικά μαθηματικά σας αποτελέσματα και γράφουμε τον τύπο σας (129), ακολουθώντας τη δυναμική του Νεύτωνα, για να προσδιορίσουμε τον παλμό κρούσης που πυροδότησε τη 2η μονάδα ισχύος

και κάντε μια βασική ερώτηση: πώς να προσδιορίσετε τη διάρκεια του παλμού κρούσης που πυροδότησε τη 2η μονάδα ισχύος;;;;;;;;;;;;;;;;

Αγαπητός!!!Θυμηθείτε πόση κιμωλία γράφτηκε στους μαυροπίνακες από γενιές συναδέλφων σας, διδάσκοντας στους μαθητές πώς να προσδιορίζουν την κρουστική ώθηση και κανείς δεν εξήγησε πώς να καθορίσει τη διάρκεια της κρουστικής ώθησης σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Θα πείτε ότι η διάρκεια του παλμού κρούσης είναι ίση με το χρονικό διάστημα της αλλαγής της ταχύτητας της μονάδας ισχύος από το μηδέν στη, θα υποθέσουμε, τη μέγιστη τιμή των 16,75 m/s (139). Είναι στον τύπο (143) και ισούται με 0,84 s. Συμφωνούμε μαζί σας προς το παρόν και καθορίζουμε τη μέση τιμή του κρουστικού παλμού

Αμέσως προκύπτει το ερώτημα: γιατί το μέγεθος της κρουστικής ώθησης (146) είναι μικρότερο από τη νευτώνεια δύναμη των 50600 τόνων; Εσείς, αγαπητοί μαθηματικοί, δεν έχετε απάντηση. Ας προχωρήσουμε.

Σύμφωνα με τη Νευτώνεια δυναμική, η κύρια δύναμη που αντιστάθηκε στην άνοδο της μονάδας ισχύος ήταν η βαρύτητα. Δεδομένου ότι αυτή η δύναμη στρέφεται ενάντια στην κίνηση της μονάδας ισχύος, δημιουργεί μια επιβράδυνση που ισούται με την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. Τότε η βαρυτική δύναμη που ασκεί η μονάδα ισχύος που πετά προς τα πάνω είναι ίση με

Η δυναμική του Νεύτωνα δεν λαμβάνει υπόψη άλλες δυνάμεις που εμπόδισαν τη δράση της νευτώνειας δύναμης των 50.600 τόνων (144), και η μηχανοδυναμική δηλώνει ότι η άνοδος της μονάδας ισχύος αντιστάθηκε επίσης από μια αδρανειακή δύναμη ίση με

Αμέσως προκύπτει το ερώτημα: πώς να βρείτε το μέγεθος της επιβράδυνσης στην κίνηση της μονάδας ισχύος; Η Νευτώνεια δυναμική είναι σιωπηλή, αλλά η μηχανοδυναμική απαντά: τη στιγμή της δράσης της νευτώνειας δύναμης, η οποία ανύψωσε τη μονάδα ισχύος, αντιστάθηκε από: τη δύναμη της βαρύτητας και τη δύναμη της αδράνειας, επομένως η εξίσωση των δυνάμεων που δρουν στην ισχύ μονάδα εκείνη τη στιγμή γράφεται ως εξής.

Δεδομένου ότι η μάζα του σημείου είναι σταθερή και η επιτάχυνσή του, η εξίσωση (2), που εκφράζει τον βασικό νόμο της δυναμικής, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή

Η εξίσωση (32) εκφράζει ταυτόχρονα το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε διαφορική μορφή: η χρονική παράγωγος της ορμής ενός σημείου είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο σημείο

Αφήστε ένα κινούμενο σημείο να έχει ταχύτητα τη στιγμή του χρόνου και ταχύτητα τη στιγμή, στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (32) και παίρνουμε οριστικά ολοκληρώματα. Σε αυτήν την περίπτωση, στα δεξιά, όπου η ολοκλήρωση συμβαίνει με την πάροδο του χρόνου, θα είναι τα όρια του ολοκληρώματος και στα αριστερά, όπου είναι ενσωματωμένη η ταχύτητα, τα όρια του ολοκληρώματος θα είναι οι αντίστοιχες τιμές ταχύτητας

Εφόσον το ολοκλήρωμα του είναι ίσο, το αποτέλεσμα είναι

Τα ολοκληρώματα στα δεξιά, όπως προκύπτει από τον τύπο (30), αντιπροσωπεύουν τις παρορμήσεις των ενεργών δυνάμεων. Επομένως θα είναι τελικά

Η εξίσωση (33) εκφράζει το θεώρημα σχετικά με τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε τελική μορφή: η μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών όλων των δυνάμεων που δρουν στο σημείο πάνω την ίδια χρονική περίοδο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, αντί για τη διανυσματική εξίσωση (33), χρησιμοποιούνται συχνά εξισώσεις σε προβολές. Προβάλλοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (33) στους άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε

Σε περίπτωση ευθύγραμμη κίνηση, που εμφανίζεται κατά μήκος του άξονα του θεωρήματος εκφράζεται με την πρώτη από αυτές τις εξισώσεις.

Επίλυση προβλημάτων. Οι εξισώσεις (33) ή (34) επιτρέπουν, γνωρίζοντας πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός σημείου όταν ένα σημείο κινείται, να προσδιορίσουμε την ώθηση των ενεργών δυνάμεων (το πρώτο πρόβλημα της δυναμικής) ή, γνωρίζοντας τις ώσεις των ενεργών δυνάμεων, να προσδιορίσουμε πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός σημείου όταν κινείται (το δεύτερο πρόβλημα της δυναμικής). Κατά την επίλυση του δεύτερου προβλήματος, όταν δίνονται δυνάμεις, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι ώσεις τους Όπως φαίνεται από τις ισότητες (30) ή (31), αυτό μπορεί να γίνει μόνο όταν οι δυνάμεις είναι σταθερές ή εξαρτώνται μόνο από το χρόνο.

Έτσι, οι εξισώσεις (33), (34) μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος της δυναμικής, όταν τα δεδομένα και οι απαιτούμενες ποσότητες στο πρόβλημα περιλαμβάνουν: δρώντες δυνάμεις, χρόνο κίνησης του σημείου και τις αρχικές και τελικές ταχύτητες του (δηλ. ποσότητες), και οι δυνάμεις πρέπει να είναι σταθερές ή να εξαρτώνται μόνο από το χρόνο.

Πρόβλημα 95. Σημείο με μάζα kg κινείται σε κύκλο με αριθμητικά σταθερή ταχύτητα Να προσδιορίσετε την ώθηση της δύναμης που επενεργεί στο σημείο κατά το χρόνο κατά τον οποίο το σημείο διέρχεται το ένα τέταρτο του κύκλου.

Διάλυμα. Σύμφωνα με το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής, κατασκευάζοντας γεωμετρικά τη διαφορά μεταξύ αυτών των ποσοτήτων κίνησης (Εικ. 222), βρίσκουμε από το ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει

Σύμφωνα όμως με τις συνθήκες του προβλήματος,

Για αναλυτικό υπολογισμό, χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες εξισώσεις (34), μπορούμε να βρούμε

Πρόβλημα 96. Σε ένα φορτίο που έχει μάζα και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο δίνεται (με ώθηση) μια αρχική ταχύτητα Η μεταγενέστερη κίνηση του φορτίου επιβραδύνεται από μια σταθερή δύναμη F. Προσδιορίστε πόσο χρόνο θα χρειαστεί για το φορτίο. να σταματήσει,

Διάλυμα. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, είναι σαφές ότι για να προσδιορίσετε τον χρόνο κίνησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποδεδειγμένο θεώρημα. Απεικονίζουμε το φορτίο σε αυθαίρετη θέση (Εικ. 223). Επιδρά πάνω του από τη δύναμη της βαρύτητας P, την αντίδραση του επιπέδου N και τη δύναμη πέδησης F. Κατευθύνοντας τον άξονα προς την κατεύθυνση της κίνησης, συνθέτουμε την πρώτη από τις εξισώσεις (34)

Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα τη στιγμή της στάσης), α. Από τις δυνάμεις, μόνο η δύναμη F δίνει την προβολή στον άξονα, αφού είναι σταθερή, πού είναι ο χρόνος πέδησης. Αντικαθιστώντας όλα αυτά τα δεδομένα στην εξίσωση (α), παίρνουμε τον απαιτούμενο χρόνο