Λύση ορθογωνίου τριγώνου. Πώς να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου; Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας Πώς να μάθετε την υποτείνουσα γνωρίζοντας τα πόδια online

Τα πρώτα είναι τα τμήματα που βρίσκονται δίπλα στη σωστή γωνία και η υποτείνουσα είναι το μεγαλύτερο μέρος του σχήματος και βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι εκείνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με τους φυσικούς αριθμούς. τα μήκη τους σε αυτή την περίπτωση ονομάζονται «πυθαγόρεια τριπλή».

Αιγυπτιακό τρίγωνο

Προκειμένου η σημερινή γενιά να αναγνωρίσει τη γεωμετρία με τη μορφή που διδάσκεται στο σχολείο τώρα, έχει αναπτυχθεί εδώ και αρκετούς αιώνες. Το θεμελιώδες σημείο θεωρείται το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι πλευρές ενός ορθογώνιου είναι γνωστές σε όλο τον κόσμο) είναι 3, 4, 5.

Λίγοι άνθρωποι δεν είναι εξοικειωμένοι με τη φράση « Πυθαγόρειο παντελόνιίσοι προς όλες τις κατευθύνσεις». Ωστόσο, στην πραγματικότητα το θεώρημα ακούγεται ως εξής: c 2 (τετράγωνο της υποτείνουσας) = a 2 + b 2 (άθροισμα των τετραγώνων των σκελών).

Μεταξύ των μαθηματικών, ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 (cm, m, κ.λπ.) ονομάζεται "Αιγυπτιακό". Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτό που αναγράφεται στο σχήμα είναι ίσο με ένα. Το όνομα προέκυψε γύρω στον 5ο αιώνα π.Χ., όταν Έλληνες φιλόσοφοι ταξίδεψαν στην Αίγυπτο.

Κατά την κατασκευή των πυραμίδων, οι αρχιτέκτονες και οι τοπογράφοι χρησιμοποιούσαν την αναλογία 3:4:5. Τέτοιες κατασκευές αποδείχθηκαν αναλογικές, ευχάριστες στην εμφάνιση και ευρύχωρες, και επίσης σπάνια κατέρρευσαν.

Για να χτίσουν μια ορθή γωνία, οι οικοδόμοι χρησιμοποίησαν ένα σχοινί με 12 κόμπους δεμένους πάνω του. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα κατασκευής ακριβώς ορθογώνιο τρίγωνοαυξήθηκε στο 95%.

Σημάδια ισότητας μορφών

• Μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μια μεγάλη πλευρά, που ισούνται με τα ίδια στοιχεία στο δεύτερο τρίγωνο, είναι αδιαμφισβήτητο σημάδι ισότητας των ψηφίων. Λαμβάνοντας υπόψη το άθροισμα των γωνιών, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οι δεύτερες οξείες γωνίες είναι επίσης ίσες. Έτσι, τα τρίγωνα είναι πανομοιότυπα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο.
• Όταν βάζουμε δύο φιγούρες η μία πάνω στην άλλη, τις περιστρέφουμε έτσι ώστε όταν συνδυαστούν να γίνουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Σύμφωνα με την ιδιότητά του, οι πλευρές ή μάλλον οι υποτείνουσες είναι ίσες, καθώς και οι γωνίες στη βάση, πράγμα που σημαίνει ότι τα σχήματα αυτά είναι ίδια.

Με βάση το πρώτο σημάδι, είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι πράγματι ίσα, το κυριότερο είναι ότι οι δύο μικρότερες πλευρές (δηλαδή τα πόδια) είναι ίσες μεταξύ τους.

Τα τρίγωνα θα είναι πανομοιότυπα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο, η ουσία του οποίου είναι η ισότητα του σκέλους και η οξεία γωνία.

Ιδιότητες τριγώνου με ορθή γωνία

Το ύψος που κατέβηκε από ορθή γωνία, χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα μέρη.

Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και η διάμεσος του μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν από τον κανόνα: η διάμεσος που τοποθετείται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της. μπορεί να βρεθεί τόσο από τον τύπο του Heron όσο και από τη δήλωση ότι είναι ίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ιδιότητες των γωνιών 30°, 45° και 60°.

• Με γωνία 30°, πρέπει να θυμόμαστε ότι το αντίθετο σκέλος θα είναι ίσο με το 1/2 της μεγαλύτερης πλευράς.
• Εάν η γωνία είναι 45°, τότε η δεύτερη οξεία γωνία είναι επίσης 45°. Αυτό υποδηλώνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα πόδια του είναι ίδια.
• Η ιδιότητα της γωνίας 60° είναι ότι έχει η τρίτη γωνία μέτρο βαθμούστις 30 ο.

Η περιοχή μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους:

1. μέσω του ύψους και της πλευράς στην οποία κατεβαίνει.
2. σύμφωνα με τον τύπο του Heron.
3. στις πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.

Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, ή μάλλον τα σκέλη, συγκλίνουν με δύο υψόμετρα. Για να βρείτε το τρίτο, είναι απαραίτητο να εξετάσετε το τρίγωνο που προκύπτει και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, να υπολογίσετε το απαιτούμενο μήκος. Εκτός από αυτόν τον τύπο, υπάρχει επίσης μια σχέση μεταξύ του διπλάσιου εμβαδού και του μήκους της υποτείνουσας. Η πιο κοινή έκφραση μεταξύ των μαθητών είναι η πρώτη, καθώς απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς.

Θεωρήματα που ισχύουν για ορθογώνιο τρίγωνο

Η ορθογώνια γεωμετρία περιλαμβάνει τη χρήση θεωρημάτων όπως:

Πριν βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου, πρέπει να καταλάβετε ποια χαρακτηριστικά έχει αυτό το σχήμα. Ας εξετάσουμε τα κυριότερα:

1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και οι δύο οξείες γωνίες αθροίζονται σε 90º.
2. Ένα πόδι που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º θα είναι ίσο με το ½ του μεγέθους της υποτείνουσας.
3. Εάν το σκέλος είναι ίσο με το ½ της υποτείνουσας, τότε η δεύτερη γωνία θα έχει την ίδια τιμή - 30º.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Τα περισσότερα απλή λύσηείναι ένας υπολογισμός μέσω των ποδιών. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε τις τιμές των σκελών των πλευρών Α και Β. Στη συνέχεια, το Πυθαγόρειο θεώρημα έρχεται στη διάσωση, λέγοντάς μας ότι αν τετραγωνίσουμε κάθε τιμή του σκέλους και αθροίσουμε τα δεδομένα που λαμβάνονται, θα μάθουμε ποια είναι η υποτείνουσα ισούται με. Επομένως, πρέπει απλώς να εξαγάγουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας:

Για παράδειγμα, εάν το πόδι A = 3 cm και το πόδι B = 4 cm, τότε ο υπολογισμός θα μοιάζει με αυτό:

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας;

Ένας άλλος τρόπος για να μάθετε τι είναι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι να υπολογίσετε μέσω μιας δεδομένης γωνίας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγουμε την τιμή μέσω του ημιτονοειδούς τύπου. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε το μέγεθος του σκέλους (Α) και την τιμή της αντίθετης γωνίας (α). Τότε ολόκληρο το διάλυμα περιέχεται σε έναν τύπο: C=A/sin(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 40 cm και η γωνία είναι 45°, τότε το μήκος της υποτείνουσας μπορεί να εξαχθεί ως εξής:

Η απαιτούμενη τιμή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί μέσω του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε την τιμή ενός σκέλους (Β) και μιας οξείας γειτονικής γωνίας (α). Στη συνέχεια, για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστείτε έναν τύπο: C=B/ cos(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 50 cm και η γωνία είναι 45 °, τότε η υπόταση μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Έτσι, εξετάσαμε τους κύριους τρόπους για να βρούμε την υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο. Κατά την επίλυση μιας εργασίας, είναι σημαντικό να επικεντρωθείτε στα διαθέσιμα δεδομένα, τότε η εύρεση της άγνωστης ποσότητας θα είναι αρκετά απλή. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε μερικούς τύπους και η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων θα γίνει απλή και ευχάριστη.

Γνωρίζοντας ένα από τα σκέλη σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς λόγους - ημίτονο και εφαπτομένη γνωστής γωνίας. Δεδομένου ότι η αναλογία του σκέλους απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα είναι ίση με το ημίτονο αυτής της γωνίας, επομένως, για να βρείτε την υποτείνουσα, πρέπει να διαιρέσετε το σκέλος με το ημίτονο της γωνίας. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Το δεύτερο σκέλος μπορεί να βρεθεί από την εφαπτομένη μιας γνωστής γωνίας, ως ο λόγος του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Για να υπολογίσετε την άγνωστη γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να αφαιρέσετε την τιμή της γωνίας α από τις 90 μοίρες. β=90°-α

Η περίμετρος και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να εκφραστεί ως προς το σκέλος και τη γωνία απέναντι από αυτό αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που ελήφθησαν προηγουμένως για το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα στους τύπους. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 ταν⁡α)

Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το ύψος μέσω τριγωνομετρικών λόγων, αλλά στο εσωτερικό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά α, που σχηματίζει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την πλευρά α, ως την υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου, με το ημίτονο της γωνίας β ή συνημιτόνου α, αφού σύμφωνα με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισοδύναμα. (Εικ. 79.2) h=a cos⁡α

Η διάμεσος της υποτείνουσας είναι ίση με το ήμισυ της υποτείνουσας ή του γνωστού σκέλους α διαιρούμενο με δύο ημίτονο α. Για να βρούμε τη διάμεσο των ποδιών, μειώνουμε τους τύπους στην αντίστοιχη φόρμα για γνωστό κόμμακαι γωνίες. (Εικ.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Δεδομένου ότι η διχοτόμος μιας ορθής γωνίας σε ένα τρίγωνο είναι το γινόμενο δύο πλευρών και η ρίζα δύο, διαιρούμενη με το άθροισμα αυτών των πλευρών, τότε αντικαθιστώντας ένα από τα σκέλη με την αναλογία του γνωστού σκέλους προς την εφαπτομένη, λαμβάνουμε το παρακάτω έκφραση. Ομοίως, αντικαθιστώντας τον λόγο στον δεύτερο και τον τρίτο τύπο, μπορείτε να υπολογίσετε τις διχοτόμους των γωνιών α και β. (Εικ.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Η μεσαία γραμμή είναι παράλληλη με μια από τις πλευρές του τριγώνου, ενώ σχηματίζει ένα άλλο παρόμοιο ορθογώνιο τρίγωνο με τις ίδιες γωνίες, στο οποίο όλες οι πλευρές έχουν το μισό μέγεθος από το αρχικό. Με βάση αυτό, οι μεσαίες γραμμές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους, γνωρίζοντας μόνο το πόδι και τη γωνία απέναντι από αυτό. (Εικ.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των ποδιών και της υποτείνουσας διαιρούμενη με δύο, και για να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, πρέπει να διαιρέσετε την υποτείνουσα με δύο. Αντικαθιστούμε το δεύτερο σκέλος και την υποτείνουσα με τις αναλογίες σκέλους α προς ημίτονο και εφαπτομένη, αντίστοιχα. (Εικ. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Μεταξύ των πολυάριθμων υπολογισμών που πραγματοποιήθηκαν για τον υπολογισμό διαφόρων διαφορετικών μεγεθών είναι η εύρεση της υποτείνουσας ενός τριγώνου. Θυμηθείτε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει τρεις γωνίες. Παρακάτω υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού της υποτείνουσας διαφόρων τριγώνων.

Αρχικά, ας δούμε πώς βρίσκουμε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου. Για όσους το έχουν ξεχάσει, ένα τρίγωνο με γωνία 90 μοιρών ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο. Η πλευρά του τριγώνου που βρίσκεται επάνω απέναντι πλευράορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Επιπλέον, είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Ανάλογα με τις γνωστές τιμές, το μήκος της υποτείνουσας υπολογίζεται ως εξής:

• Τα μήκη των ποδιών είναι γνωστά. Η υποτείνουσα σε αυτή την περίπτωση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει ως εξής: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Αν θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο BKF, όπου BK και KF είναι σκέλη, και FB είναι η υποτείνουσα, τότε FB2= BK2+ KF2. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι κατά τον υπολογισμό του μήκους της υποτείνουσας, κάθε μία από τις τιμές των ποδιών πρέπει να τετραγωνιστεί με τη σειρά. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που μάθατε και εξαγάγετε από το αποτέλεσμα τετραγωνική ρίζα.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: Δίνεται ένα τρίγωνο με ορθή γωνία. Το ένα πόδι είναι 3 cm, το άλλο είναι 4 cm. Βρείτε την υποτείνουσα. Η λύση μοιάζει με αυτό.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Εξάγετε και λάβετε FB=5cm.

• Είναι γνωστό το σκέλος (ΒΚ) και η παρακείμενη σε αυτό γωνία, που σχηματίζεται από την υποτείνουσα και αυτό το σκέλος. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου; Ας συμβολίσουμε τη γνωστή γωνία α. Σύμφωνα με την ιδιότητα που δηλώνει ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτού του σκέλους και της υποτείνουσας. Θεωρώντας ένα τρίγωνο, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: FB= BK*cos(α).
• Το σκέλος (KF) και η ίδια γωνία α είναι γνωστά, μόνο που τώρα θα είναι απέναντι. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα σε αυτή την περίπτωση; Ας στραφούμε στις ίδιες ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου και ας ανακαλύψουμε ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από το σκέλος. Δηλαδή FB= KF * sin (α).

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Δίνεται το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο BKF με υποτείνουσα FB. Έστω η γωνία F ίση με 30 μοίρες, η δεύτερη γωνία Β αντιστοιχεί σε 60 μοίρες. Το πόδι BK είναι επίσης γνωστό, το μήκος του οποίου αντιστοιχεί σε 8 cm Η απαιτούμενη τιμή μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Γνωστό (R), που περιγράφεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα όταν εξετάζετε ένα τέτοιο πρόβλημα; Από την ιδιότητα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία, είναι γνωστό ότι το κέντρο ενός τέτοιου κύκλου συμπίπτει με το σημείο της υποτείνουσας, διαιρώντας το στο μισό. Με απλά λόγια- η ακτίνα αντιστοιχεί στο μισό της υποτείνουσας. Άρα η υποτείνουσα είναι ίση με δύο ακτίνες. FB=2*R. Εάν σας δοθεί ένα παρόμοιο πρόβλημα στο οποίο δεν είναι γνωστή η ακτίνα, αλλά η διάμεσος, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στην ιδιότητα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία, που λέει ότι η ακτίνα είναι ίση με τη διάμεσο που σχεδιάστηκε στην υποτείνουσα. Χρησιμοποιώντας όλες αυτές τις ιδιότητες, το πρόβλημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο.

Εάν το ερώτημα είναι πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, τότε πρέπει να στραφείτε στο ίδιο Πυθαγόρειο θεώρημα. Αλλά, πρώτα απ 'όλα, να θυμάστε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο ίδιες πλευρές. Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου, οι πλευρές είναι ίσες. Έχουμε FB2= BK2+ KF2, αλλά αφού BK= KF έχουμε τα εξής: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Όπως μπορείτε να δείτε, γνωρίζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, η επίλυση προβλημάτων στα οποία είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας είναι πολύ απλή. Εάν είναι δύσκολο να θυμάστε όλες τις ιδιότητες, μάθετε έτοιμους τύπους, αντικαθιστώντας γνωστές τιμές στις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε το επιθυμητό μήκος της υποτείνουσας.

Το τρίγωνο αντιπροσωπεύει γεωμετρικός αριθμός, που αποτελείται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τα σημεία που σχηματίζουν ένα τρίγωνο ονομάζονται σημεία του και τα τμήματα είναι δίπλα δίπλα.

Ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου (ορθογώνιο, μονόχρωμο κ.λπ.), μπορείτε να υπολογίσετε την πλευρά του τριγώνου με διαφορετικούς τρόπους, ανάλογα με τα δεδομένα εισόδου και τις συνθήκες του προβλήματος.

Γρήγορη πλοήγηση για ένα άρθρο

Για τον υπολογισμό των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Αν ονομάσουμε τα σκέλη ως "a" και "b" και την υποτείνουσα ως "c", τότε οι σελίδες μπορούν να βρεθούν με τους ακόλουθους τύπους:

Εάν είναι γνωστές οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου (α και β), οι πλευρές του μπορούν να βρεθούν με τους ακόλουθους τύπους:

Περικομμένο τρίγωνο

Ένα τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο στο οποίο και οι δύο πλευρές είναι ίδιες.

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα σε δύο πόδια

Εάν το γράμμα "α" είναι πανομοιότυπο με την ίδια σελίδα, "β" είναι η βάση, "β" είναι η γωνία απέναντι από τη βάση, "α" είναι προσκειμένη γωνίαγια τον υπολογισμό των σελίδων μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους τύπους:

Δύο γωνίες και ένα πλάι

Εάν είναι γνωστές μία σελίδα (γ) και δύο γωνίες (α και β) οποιουδήποτε τριγώνου, ο τύπος ημιτόνου χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των υπόλοιπων σελίδων:

Πρέπει να βρείτε την τρίτη τιμή y = 180 - (a + b) γιατί

Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

Δύο πλευρές και μια γωνία

Εάν είναι γνωστές δύο πλευρές ενός τριγώνου (a και b) και η μεταξύ τους γωνία (y), το θεώρημα του συνημιτόνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τρίτης πλευράς.

Πώς να προσδιορίσετε την περίμετρο ενός ορθογώνιου τριγώνου

Τριγωνικό τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο, ένα από τα οποία είναι 90 μοίρες και τα άλλα δύο είναι οξέα. λογαριασμός περίμετροςτέτοιος τρίγωνοανάλογα με τον όγκο των πληροφοριών που είναι γνωστές για αυτό.

Θα το χρειαστείς

• Ανάλογα με την περίπτωση, δεξιότητες 2 τρεις πλευρές του τριγώνου, καθώς και μία από τις αιχμηρές γωνίες.

οδηγίες

πρώταΜέθοδος 1. Εάν είναι γνωστές και οι τρεις σελίδες τρίγωνοΣτη συνέχεια, είτε είναι κάθετη είτε μη τριγωνική, η περίμετρος υπολογίζεται ως εξής: P = A + B + C, όπου είναι δυνατόν, c είναι η υποτείνουσα. α και β είναι πόδια.

δεύτεροςΜέθοδος 2.

Εάν ένα ορθογώνιο έχει μόνο δύο πλευρές, τότε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, τρίγωνομπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: P = v (a2 + b2) + a + b ή P = v (c2 - b2) + b + c.

τρίτοςΜέθοδος 3. Έστω η υποτείνουσα c και οξεία γωνία; Με δεδομένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο, θα είναι δυνατό να βρεθεί η περίμετρος ως εξής: P = (1 + αμαρτία;

τέταρτοςΜέθοδος 4. Λένε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο το μήκος ενός ποδιού είναι ίσο με α και, αντίθετα, έχει οξεία γωνία. Στη συνέχεια υπολογίστε περίμετροςΑυτό τρίγωνοθα πραγματοποιηθεί σύμφωνα με τον τύπο: P = a * (1 / tg?

1/γιος; + 1)

πέμπταΜέθοδος 5.

Ηλεκτρονικός υπολογισμός τριγώνου

Αφήστε το πόδι μας να οδηγήσει και να συμπεριληφθεί σε αυτό, τότε το εύρος θα υπολογιστεί ως: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos;)

Σχετικά βίντεο

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η βάση όλων των μαθηματικών. Προσδιορίζει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός αληθινού τριγώνου. Υπάρχουν τώρα 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος.

οδηγίες

πρώταΗ κλασική σχολική διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος ακούγεται ως εξής: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Για να βρείτε την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο δύο Catets, πρέπει να καταφύγετε στο να τετραγωνίσετε τα μήκη των ποδιών, να τα συγκεντρώσετε και να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος. Στην αρχική διατύπωση της δήλωσής του, η αγορά βασίζεται στην υποτείνουσα, η οποία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των 2 τετραγώνων που παράγει η Catete. Ωστόσο, η σύγχρονη αλγεβρική διατύπωση δεν απαιτεί την εισαγωγή μιας αναπαράστασης τομέα.

δεύτεροςΓια παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι 7 cm και 8 cm.

Τότε, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η τετράγωνη υποτείνουσα είναι ίση με R + S = 49 + 64 = 113 cm.

Γωνίες ορθογωνίου τριγώνου

Το αποτέλεσμα ήταν ένας αβάσιμος αριθμός.

τρίτοςΕάν τα τρίγωνα είναι σκέλη 3 και 4, τότε υποτείνουσα = 25 = 5. Όταν πάρετε την τετραγωνική ρίζα, παίρνετε φυσικός αριθμός. Οι αριθμοί 3, 4, 5 σχηματίζουν μια Πυγαγόρεια τριπλέτα, αφού ικανοποιούν τη σχέση x; +Y; = Ζ, που είναι φυσικό.

Άλλα παραδείγματα μιας Πυθαγόρειας τριπλέτας είναι: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

τέταρτοςΣε αυτή την περίπτωση, εάν τα σκέλη είναι πανομοιότυπα μεταξύ τους, το Πυθαγόρειο θεώρημα μετατρέπεται σε μια πιο πρωτόγονη εξίσωση. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένας τέτοιος δείκτης είναι ίσος με τον αριθμό A και η υποτείνουσα ορίζεται για το C, και μετά το c; = Απ + Απ, Γ = 2Α2, Γ = Α; 2. Σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεστε Α.

πέμπταΤο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση, μεγαλύτερη από το γενικό θεώρημα συνημιτόνου, που καθορίζει τη σχέση μεταξύ των τριών πλευρών ενός τριγώνου για οποιαδήποτε γωνία μεταξύ δύο από αυτές.

Συμβουλή 2: Πώς να προσδιορίσετε την υποτείνουσα για τα πόδια και τις γωνίες

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που είναι απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών.

οδηγίες

πρώταΣτην περίπτωση γνωστών καθετήρων, καθώς και στην οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, το μέγεθος της υποτείνουσας μπορεί ίσο με αναλογίασκέλη προς το συνημίτονο / ημίτονο αυτής της γωνίας, εάν η γωνία ήταν αντίθετη / e περιλαμβάνουν: H = C1 (ή C2) / sin, H = C1 (ή C2?) / cos?. Παράδειγμα: Έστω στο ABC ένα ακανόνιστο τρίγωνο με υποτείνουσα AB και ορθή γωνία C.

Έστω Β 60 μοίρες και Α 30 μοίρες. Το μήκος του στελέχους BC είναι 8 cm Το μήκος της υποτείνουσας ΑΒ πρέπει να βρεθεί. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις παραπάνω μεθόδους: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τρίγωνο. Βρίσκεται σε ορθή γωνία. Μέθοδος εύρεσης της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τρίγωνοανάλογα με τα δεδομένα πηγής.

οδηγίες

πρώταΕάν τα πόδια σας είναι κάθετα τρίγωνο, τότε το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τρίγωνομπορεί να ανακαλυφθεί από ένα Πυθαγόρειο ανάλογο - το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών: c2 = a2 + b2, όπου a και b είναι το μήκος των ποδιών του δεξιού τρίγωνο .

δεύτεροςΕάν ένα από τα πόδια είναι γνωστό και σε οξεία γωνία, ο τύπος για την εύρεση της υποτείνουσας θα εξαρτηθεί από την παρουσία ή την απουσία σε μια ορισμένη γωνία σε σχέση με το γνωστό πόδι - δίπλα (το πόδι βρίσκεται κοντά), ή αντίστροφα ( Η αντίθετη περίπτωση βρίσκεται nego.V της καθορισμένης γωνίας ισούται με το κλάσμα της υποτείνουσας του σκέλους σε συνημιτονική γωνία: a = a / cos E, από την άλλη πλευρά, η υποτείνουσα είναι η ίδια με την αναλογία των ημιτονοειδών γωνιών: ντα = α / αμαρτία.

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές
Ένα γωνιακό τρίγωνο του οποίου οι πλευρές σχετίζονται ως 3:4:5, που ονομάζεται Αιγυπτιακό Δέλτα λόγω του γεγονότος ότι αυτές οι μορφές χρησιμοποιήθηκαν ευρέως από τους αρχιτέκτονες της αρχαίας Αιγύπτου.

Αυτό είναι επίσης το απλούστερο παράδειγμα των τριγώνων του Jero, στα οποία οι σελίδες και η περιοχή αντιπροσωπεύονται με ακέραιους αριθμούς.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο του οποίου η γωνία είναι 90°. Η πλευρά απέναντι από τη δεξιά γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, η άλλη ονομάζεται πόδια.

Αν θέλετε να βρείτε πώς σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο από ορισμένες ιδιότητες κανονικών τριγώνων, δηλαδή το γεγονός ότι το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι 90°, το οποίο χρησιμοποιείται και το γεγονός ότι το μήκος του απέναντι σκέλους είναι το μισό της υποτείνουσας είναι 30°.

Γρήγορη πλοήγηση για ένα άρθρο

Περικομμένο τρίγωνο

Μία από τις ιδιότητες ενός ίσου τριγώνου είναι ότι οι δύο γωνίες του είναι ίσες.

Για να υπολογίσετε τη γωνία ενός ορθογώνιου ίσου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε ότι:

• Αυτό δεν είναι χειρότερο από 90°.
• Οι τιμές των οξειών γωνιών καθορίζονται από τον τύπο: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, δηλ.

  Οι γωνίες α και β είναι ίσες με 45°.

Αν γνωστή αξίαμία από τις οξείες γωνίες είναι γνωστή, η άλλη μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: β = 180º-90º-α ή α = 180º-90º-β.

Αυτή η αναλογία χρησιμοποιείται συχνότερα εάν μία από τις γωνίες είναι 60° ή 30°.

Βασικές Έννοιες

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

Επειδή είναι ένα επίπεδο, δύο παραμένουν αιχμηρά.

Υπολογίστε το τρίγωνο στο διαδίκτυο

Αν θέλετε να τα βρείτε, πρέπει να γνωρίζετε ότι:

Άλλοι τρόποι

Οι τιμές των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορούν να υπολογιστούν από τον μέσο όρο - με μια ευθεία από ένα σημείο στην αντίθετη πλευρά του τριγώνου και το ύψος - η ευθεία είναι κάθετη από την υποτείνουσα σε ορθή γωνία .

Αφήστε τη διάμεσο να εκτείνεται από τη δεξιά γωνία μέχρι το μέσο της υποτείνουσας και έστω h το ύψος. Σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται ότι:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Δύο σελίδες

Εάν τα μήκη της υποτείνουσας και του ενός σκέλους είναι γνωστά σε ορθογώνιο τρίγωνο ή και στις δύο πλευρές, τότε χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικές ταυτότητες για τον προσδιορισμό των τιμών των οξειών γωνιών:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = αρκτάν (α / β), β = αρκτάν (β / α).

Μήκος ορθογωνίου τριγώνου

Εμβαδόν και Εμβαδόν Τριγώνου

περίμετρος

Η περιφέρεια οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των τριών πλευρών. Ο γενικός τύπος για την εύρεση ενός τριγωνικού τριγώνου είναι:

όπου P είναι η περιφέρεια του τριγώνου, a, b και c των πλευρών του.

Περίμετρος ίσου τριγώνουμπορεί να βρεθεί συνδυάζοντας διαδοχικά τα μήκη των πλευρών του ή πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς επί 2 και προσθέτοντας το μήκος της βάσης στο γινόμενο.

Ο γενικός τύπος για την εύρεση ενός τριγώνου ισορροπίας θα μοιάζει με αυτό:

όπου P είναι η περίμετρος ενός ίσου τριγώνου, αλλά είτε b είτε b είναι η βάση.

Περίμετρος ισόπλευρου τριγώνουμπορεί να βρεθεί συνδυάζοντας διαδοχικά τα μήκη των πλευρών του ή πολλαπλασιάζοντας το μήκος οποιασδήποτε σελίδας επί 3.

Ο γενικός τύπος για την εύρεση του χείλους των ισόπλευρων τριγώνων θα μοιάζει με αυτό:

όπου P είναι η περίμετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου, a είναι οποιαδήποτε πλευρά του.

περιοχή

Εάν θέλετε να μετρήσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, μπορείτε να το συγκρίνετε με ένα παραλληλόγραμμο. Εξετάστε το τρίγωνο ABC:

Αν πάρουμε το ίδιο τρίγωνο και το διορθώσουμε έτσι ώστε να έχουμε ένα παραλληλόγραμμο, θα έχουμε ένα παραλληλόγραμμο με το ίδιο ύψος και βάση με αυτό το τρίγωνο:

Σε αυτή την περίπτωση, η κοινή πλευρά των τριγώνων διπλώνεται μαζί κατά μήκος της διαγώνιας του χυτευμένου παραλληλογράμμου.

Από τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου χωρίζονται πάντα σε δύο ίσα τρίγωνα, τότε η επιφάνεια κάθε τριγώνου είναι ίση με το ήμισυ του εύρους του παραλληλογράμμου.

Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το ίδιο με το γινόμενο του ύψους της βάσης του, το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό αυτού του γινομένου. Έτσι, για το ΔABC το εμβαδόν θα είναι το ίδιο

Τώρα σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο:

Δύο πανομοιότυπα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να λυγίσουν σε ένα ορθογώνιο αν γέρνει πάνω τους, που είναι το ένα το άλλο υποτείνουσα.

Δεδομένου ότι η επιφάνεια του ορθογωνίου συμπίπτει με την επιφάνεια των παρακείμενων πλευρών, η περιοχή αυτού του τριγώνου είναι η ίδια:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η επιφάνεια οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το γινόμενο των σκελών διαιρούμενο με το 2.

Από αυτά τα παραδείγματα μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η επιφάνεια κάθε τριγώνου είναι ίδια με το γινόμενο του μήκους και το ύψος μειώνεται στο υπόστρωμα διαιρούμενο με το 2.

Ο γενικός τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου θα μοιάζει με αυτό:

όπου S είναι το εμβαδόν του τριγώνου, αλλά η βάση του, αλλά το ύψος πέφτει στο κάτω μέρος α.