Επίλυση γραμμικών ανισοτήτων online με λεπτομερείς λύσεις. Γραμμικές ανισότητες

Διάγραμμα στο Σχήμα 5:

Και το ακόλουθο παράδειγμα: Λύστε την ανισότητα 0,6 2x – 3< 0,36 .

Ακολουθώντας το διάγραμμα στο σχήμα 5, παίρνουμε
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2x – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Απάντηση: (2,5; +∞) .

Ας εξετάσουμε το τελευταίο σχήμα για την επίλυση μιας ανισότητας της μορφής και f(x)< b , στο α>0Και σι<0 , που παρουσιάζεται στο Σχήμα 6:

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την ανισότητα:

Σημειώνουμε ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό που αντικαθιστούμε για το x, η αριστερή πλευρά της ανίσωσης είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν, και στην περίπτωσή μας αυτή η έκφραση είναι μικρότερη από -8, δηλ. και μηδέν, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: χωρίς λύσεις.

Γνωρίζοντας πώς να λύσετε τις απλούστερες εκθετικές ανισώσεις, μπορείτε να προχωρήσετε επίλυση εκθετικών ανισώσεων.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή του x που ικανοποιεί την ανίσωση

Δεδομένου ότι το 6 x είναι μεγαλύτερο από το μηδέν (στο κανένα x ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν), πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί 6 x, παίρνουμε:

440 – 2 6 2x > 8, λοιπόν
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Απάντηση: 1.

Παράδειγμα 2.

Λύστε την ανισότητα 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Ας συμβολίσουμε το 2 x με y, λάβουμε την ανίσωση y 2 – 3y + 2 ≤ 0 και λύσουμε αυτήν την τετραγωνική ανισότητα.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 και y 2 = 2.

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα:

Τότε η λύση της ανισότητας θα είναι η ανισότητα 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Απάντηση: (0; 1) .

Παράδειγμα 3. Λύστε την ανισότητα 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Ας συλλέξουμε εκφράσεις με τις ίδιες βάσεις σε ένα μέρος της ανισότητας

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Ας πάρουμε 5 x από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της ανισότητας και 3 x στη δεξιά πλευρά της ανισότητας και παίρνουμε την ανισότητα

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με την παράσταση 3 3 x, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, αφού το 3 3 x είναι θετικός αριθμός, παίρνουμε την ανισότητα:

Χ< 2 (так как 5/3 > 1).

Απάντηση: (–∞; 2) .

Εάν έχετε ερωτήσεις σχετικά με την επίλυση εκθετικών ανισοτήτων ή θέλετε να εξασκηθείτε στην επίλυση παρόμοιων παραδειγμάτων, εγγραφείτε στα μαθήματά μου. Καθηγήτρια Valentina Galinevskaya.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυο

Πριν λύσετε ανισώσεις, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του τρόπου με τον οποίο λύνονται οι εξισώσεις.

Δεν έχει σημασία αν η ανισότητα είναι αυστηρή () ή μη αυστηρή (≤, ≥), το πρώτο βήμα είναι να λύσετε την εξίσωση αντικαθιστώντας το πρόσημο της ανισότητας με ισότητα (=).

Ας εξηγήσουμε τι σημαίνει η επίλυση μιας ανισότητας;

Μετά τη μελέτη των εξισώσεων, εμφανίζεται η ακόλουθη εικόνα στο κεφάλι του μαθητή: πρέπει να βρει τιμές της μεταβλητής έτσι ώστε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης να λαμβάνουν τις ίδιες τιμές. Με άλλα λόγια, βρείτε όλα τα σημεία στα οποία ισχύει η ισότητα. Όλα είναι σωστά!

Όταν μιλάμε για ανισότητες, εννοούμε την εύρεση διαστημάτων (τμημάτων) στα οποία ισχύει η ανισότητα. Εάν υπάρχουν δύο μεταβλητές στην ανισότητα, τότε η λύση δεν θα είναι πλέον διαστήματα, αλλά ορισμένες περιοχές στο επίπεδο. Μαντέψτε μόνοι σας ποια θα είναι η λύση σε μια ανισότητα σε τρεις μεταβλητές;

Πώς να λύσετε τις ανισότητες;

Καθολικός τρόπος επίλυσης ανισώσεων θεωρείται η μέθοδος των διαστημάτων (γνωστή και ως μέθοδος διαστημάτων), η οποία συνίσταται στον προσδιορισμό όλων των διαστημάτων εντός των ορίων των οποίων θα ικανοποιηθεί μια δεδομένη ανισότητα.

Χωρίς να μπούμε στον τύπο της ανισότητας, σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι αυτό το θέμα, πρέπει να λύσετε την αντίστοιχη εξίσωση και να προσδιορίσετε τις ρίζες της, ακολουθούμενη από τον προσδιορισμό αυτών των λύσεων στον άξονα αριθμών.

Πώς να γράψετε σωστά τη λύση μιας ανισότητας;

Όταν προσδιορίσετε τα διαστήματα λύσεων για την ανισότητα, πρέπει να γράψετε σωστά την ίδια τη λύση. Υπάρχει μια σημαντική απόχρωση - περιλαμβάνονται τα όρια των διαστημάτων στη λύση;

Όλα είναι απλά εδώ. Εάν η λύση της εξίσωσης ικανοποιεί το ODZ και η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε το όριο του διαστήματος περιλαμβάνεται στη λύση της ανισότητας. Διαφορετικά, όχι.

Λαμβάνοντας υπόψη κάθε διάστημα, η λύση της ανισότητας μπορεί να είναι το ίδιο το διάστημα, ή ένα μισό διάστημα (όταν ένα από τα όριά του ικανοποιεί την ανισότητα), ή ένα τμήμα - το διάστημα μαζί με τα όριά του.

Σημαντικό σημείο

Μην νομίζετε ότι μόνο διαστήματα, μισά διαστήματα και τμήματα μπορούν να λύσουν την ανισότητα. Όχι, η λύση μπορεί να περιλαμβάνει και μεμονωμένα σημεία.

Για παράδειγμα, η ανισότητα |x|≤0 έχει μόνο μία λύση - αυτή είναι το σημείο 0.

Και η ανισότητα |x|

Γιατί χρειάζεστε έναν υπολογιστή ανισότητας;

Ο υπολογιστής ανισώσεων δίνει τη σωστή τελική απάντηση. Στις περισσότερες περιπτώσεις, παρέχεται μια απεικόνιση ενός άξονα ή ενός επιπέδου αριθμών. Είναι ορατό εάν τα όρια των διαστημάτων περιλαμβάνονται στη λύση ή όχι - τα σημεία εμφανίζονται ως σκιασμένα ή τρυπημένα.

Χάρις σε ηλεκτρονική αριθμομηχανήανισώσεις, μπορείτε να ελέγξετε αν βρήκατε σωστά τις ρίζες της εξίσωσης, τις σημειώσατε στον αριθμητικό άξονα και ελέγξατε την εκπλήρωση της συνθήκης ανισότητας στα διαστήματα (και τα όρια);

Εάν η απάντησή σας διαφέρει από την απάντηση της αριθμομηχανής, τότε πρέπει οπωσδήποτε να ελέγξετε ξανά τη λύση σας και να εντοπίσετε το λάθος.

Η ανισότητα είναι μια αριθμητική σχέση που απεικονίζει το μέγεθος των αριθμών σε σχέση μεταξύ τους. Οι ανισότητες χρησιμοποιούνται ευρέως στην αναζήτηση ποσοτήτων στις εφαρμοσμένες επιστήμες. Η αριθμομηχανή μας θα σας βοηθήσει να αντιμετωπίσετε ένα τόσο δύσκολο θέμα όπως η επίλυση γραμμικών ανισοτήτων.

Τι είναι η ανισότητα

Οι άνισες αναλογίες στην πραγματική ζωή αντιστοιχούν στη συνεχή σύγκριση διαφορετικών αντικειμένων: ψηλότερα ή χαμηλότερα, πιο κοντά ή πιο κοντά, βαρύτερα ή ελαφρύτερα. Διαισθητικά ή οπτικά, μπορούμε να καταλάβουμε ότι ένα αντικείμενο είναι μεγαλύτερο, ψηλότερο ή βαρύτερο από ένα άλλο, αλλά στην πραγματικότητα μιλάμε πάντα για σύγκριση αριθμών που χαρακτηρίζουν τις αντίστοιχες ποσότητες. Τα αντικείμενα μπορούν να συγκριθούν σε οποιαδήποτε βάση και σε κάθε περίπτωση μπορούμε να δημιουργήσουμε μια αριθμητική ανισότητα.

Εάν τα άγνωστα μεγέθη είναι ίσα κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, τότε δημιουργούμε μια εξίσωση για να τα προσδιορίσουμε αριθμητικά. Αν όχι, τότε αντί για το πρόσημο «ίσο» μπορούμε να υποδείξουμε οποιαδήποτε άλλη σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων. Δύο αριθμοί ή μαθηματικά αντικείμενα μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από ">", μικρότεροι από "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Τα σημάδια ανισότητας στη σύγχρονη μορφή τους επινοήθηκαν από τον Βρετανό μαθηματικό Τόμας Χάριοτ, ο οποίος το 1631 δημοσίευσε ένα βιβλίο για τις άνισες αναλογίες. Σημάδια μεγαλύτερα από ">" και μικρότερα από "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Επίλυση ανισοτήτων

Οι ανισότητες, όπως και οι εξισώσεις, υπάρχουν σε διαφορετικούς τύπους. Γραμμικές, τετραγωνικές, λογαριθμικές ή εκθετικές άνισες σχέσεις επιλύονται με διάφορες μεθόδους. Ωστόσο, ανεξάρτητα από τη μέθοδο, οποιαδήποτε ανισότητα πρέπει πρώτα να μειωθεί σε μια τυπική μορφή. Για αυτό, χρησιμοποιούνται μετασχηματισμοί ταυτότητας που είναι πανομοιότυποι με τροποποιήσεις ισοτήτων.

Πανομοιότυποι μετασχηματισμοί ανισοτήτων

Τέτοιοι μετασχηματισμοί εκφράσεων μοιάζουν πολύ με τις εξισώσεις φαντασμάτων, αλλά έχουν αποχρώσεις που είναι σημαντικό να ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση ανισοτήτων.

Ο πρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας είναι πανομοιότυπος με μια παρόμοια πράξη με ισότητες. Ο ίδιος αριθμός ή έκφραση με άγνωστο x μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί και στις δύο πλευρές μιας άνισης σχέσης, ενώ το πρόσημο της ανισότητας παραμένει το ίδιο. Τις περισσότερες φορές, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται σε απλοποιημένη μορφή ως μεταφορά όρων μιας έκφρασης μέσω ενός πρόσημου ανισότητας με αλλαγή του πρόσημου του αριθμού στο αντίθετο. Αυτό σημαίνει μια αλλαγή στο πρόσημο του ίδιου του όρου, δηλαδή, το +R όταν μεταφερθεί μέσω οποιουδήποτε πρόσημου ανισότητας θα αλλάξει σε – R και αντίστροφα.

Ο δεύτερος μετασχηματισμός έχει δύο σημεία:

1. Και οι δύο πλευρές μιας άνισης αναλογίας μπορούν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με το ίδιο πράγμα θετικός αριθμός. Το σημάδι της ίδιας της ανισότητας δεν θα αλλάξει.
2. Και οι δύο πλευρές μιας ανισότητας μπορούν να διαιρεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό. Το ίδιο το σημάδι της ανισότητας θα αλλάξει στο αντίθετο.

Ο δεύτερος ταυτόσημος μετασχηματισμός των ανισοτήτων έχει σοβαρές διαφορές με την τροποποίηση των εξισώσεων. Πρώτον, κατά τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση με έναν αρνητικό αριθμό, το πρόσημο της άνισης παράστασης αντιστρέφεται πάντα. Δεύτερον, μπορείτε να διαιρέσετε ή να πολλαπλασιάσετε μέρη μιας αναλογίας μόνο με έναν αριθμό και όχι με οποιαδήποτε έκφραση που περιέχει έναν άγνωστο. Το γεγονός είναι ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με βεβαιότητα εάν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από το μηδέν που κρύβεται πίσω από το άγνωστο, επομένως ο δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας εφαρμόζεται στις ανισότητες αποκλειστικά με αριθμούς. Ας δούμε αυτούς τους κανόνες με παραδείγματα.

Παραδείγματα απελευθέρωσης ανισοτήτων

Στις αναθέσεις άλγεβρας, υπάρχει μια ποικιλία εργασιών σχετικά με το θέμα των ανισοτήτων. Ας μας δοθεί η έκφραση:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Αρχικά, ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας μετακινήσουμε όλους τους άγνωστους προς τα αριστερά και όλους τους αριθμούς προς τα δεξιά.

6x − 12x > 6 + 3

Πρέπει να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της παράστασης με το -6, οπότε όταν βρούμε τον άγνωστο x, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει στο αντίθετο.

Κατά την επίλυση αυτής της ανισότητας, χρησιμοποιήσαμε και τους δύο μετασχηματισμούς ταυτότητας: μετακινήσαμε όλους τους αριθμούς στα δεξιά του πρόσημου και διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές του λόγου με έναν αρνητικό αριθμό.

Το πρόγραμμά μας είναι ένας υπολογιστής λύσεων αριθμητικές ανισώσεις, τα οποία δεν περιέχουν άγνωστα. Το πρόγραμμα περιέχει τα ακόλουθα θεωρήματα για τις σχέσεις τριών αριθμών:

• αν ο Α< B то A–C< B–C;
• αν A > B, τότε A–C > B–C.

Αντί να αφαιρέσετε τους όρους A-C, μπορείτε να καθορίσετε οποιαδήποτε αριθμητική πράξη: πρόσθεση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση. Με αυτόν τον τρόπο, η αριθμομηχανή θα εμφανίζει αυτόματα ανισότητες για αθροίσματα, διαφορές, γινόμενα ή κλάσματα.

Σύναψη

Στην πραγματική ζωή, οι ανισότητες είναι εξίσου κοινές με τις εξισώσεις. Φυσικά, η γνώση για την επίλυση των ανισοτήτων μπορεί να μην χρειάζεται στην καθημερινή ζωή. Ωστόσο, στις εφαρμοσμένες επιστήμες, οι ανισότητες και τα συστήματά τους χρησιμοποιούνται ευρέως. Για παράδειγμα, διάφορες μελέτες των παγκόσμιων οικονομικών προβλημάτων καταλήγουν στη σύνταξη και την αποκάλυψη συστημάτων γραμμικών ή τετραγωνικών ανισοτήτων και ορισμένες άνισες σχέσεις χρησιμεύουν ως ένας ξεκάθαρος τρόπος για να αποδειχθεί η ύπαρξη ορισμένων αντικειμένων. Χρησιμοποιήστε τα προγράμματά μας για να λύσετε γραμμικές ανισότητες ή να ελέγξετε τους δικούς σας υπολογισμούς.

Μέθοδος διαστήματος– ένας απλός τρόπος επίλυσης κλασματικών ορθολογικών ανισώσεων. Αυτό είναι το όνομα για ανισότητες που περιέχουν ορθολογικές (ή κλασματικές-ορθολογικές) εκφράσεις που εξαρτώνται από μια μεταβλητή.

1. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την ακόλουθη ανισότητα

Η μέθοδος διαστήματος σάς επιτρέπει να το λύσετε σε λίγα λεπτά.

Στην αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας βρίσκεται μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση. Λογικό γιατί δεν περιέχει ρίζες, ημίτονο, λογάριθμους - μόνο ορθολογικές εκφράσεις. Στα δεξιά είναι το μηδέν.

Η μέθοδος διαστήματος βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης.

Μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αλλάξει πρόσημο μόνο σε εκείνα τα σημεία στα οποία είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Ας θυμηθούμε πώς παραγοντοποιείται ένα τετραγωνικό τριώνυμο, δηλαδή μια έκφραση της μορφής .

Πού και είναι οι ρίζες τετραγωνική εξίσωση.

Σχεδιάζουμε έναν άξονα και τοποθετούμε τα σημεία στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής μηδενίζονται.

Τα μηδενικά του παρονομαστή και είναι τρυπημένα σημεία, αφού σε αυτά τα σημεία δεν ορίζεται η συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Τα μηδενικά του αριθμητή και - είναι σκιασμένα, αφού η ανισότητα δεν είναι αυστηρή. Πότε και η ανισότητα μας ικανοποιείται, αφού και οι δύο πλευρές της είναι ίσες με μηδέν.

Αυτά τα σημεία σπάζουν τον άξονα σε διαστήματα.

Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης στην αριστερή πλευρά της ανισότητάς μας σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Θυμόμαστε ότι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αλλάξει πρόσημο μόνο σε εκείνα τα σημεία στα οποία είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Αυτό σημαίνει ότι σε καθένα από τα διαστήματα μεταξύ των σημείων όπου ο αριθμητής ή ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν, το πρόσημο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά της ανισότητας θα είναι σταθερό - είτε "συν" είτε "μείον".
Και επομένως, για να προσδιορίσουμε το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε τέτοιο διάστημα, παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε αυτό το διάστημα. Αυτό που μας βολεύει.

. Πάρτε, για παράδειγμα, και ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Κάθε μία από τις «αγκύλες» είναι αρνητική. Η αριστερή πλευρά έχει ένα σημάδι.

Επόμενο διάστημα: . Ας ελέγξουμε την πινακίδα στο . Διαπιστώνουμε ότι η αριστερή πλευρά έχει αλλάξει το πρόσημά της σε .

Ας το πάρουμε. Όταν η έκφραση είναι θετική - επομένως, είναι θετική σε ολόκληρο το διάστημα από έως.

Όταν η αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι αρνητική."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Και τέλος, class="tex" alt="x>7

Βρήκαμε σε ποια χρονικά διαστήματα η έκφραση είναι θετική. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση:

Απάντηση: . Σημείωση: οι πινακίδες εναλλάσσονται μεταξύ των διαστημάτων. Αυτό συνέβη επειδή.

όταν περνούσε από κάθε σημείο, ακριβώς ένας από τους γραμμικούς παράγοντες άλλαζε πρόσημο, ενώ οι υπόλοιποι τον διατήρησαν αμετάβλητο

Βλέπουμε ότι η μέθοδος του διαστήματος είναι πολύ απλή. Για να λύσουμε την κλασματική-ορθολογική ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, την ανάγουμε στη μορφή: Ή"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0

, ή , ή .

(στην αριστερή πλευρά είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση, στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν).
Στη συνέχεια σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή τα σημεία στα οποία ο αριθμητής ή ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν.
Αυτά τα σημεία διαιρούν ολόκληρη την αριθμητική γραμμή σε διαστήματα, σε καθένα από τα οποία η κλασματική-ορθολογική συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της.
Το μόνο που μένει είναι να ανακαλύπτουμε το πρόσημο του σε κάθε μεσοδιάστημα.

Αυτό το κάνουμε ελέγχοντας το πρόσημο της έκφρασης σε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα. Μετά από αυτό, γράφουμε την απάντηση. Αυτό είναι όλο.

2. Όμως τίθεται το ερώτημα: τα ζώδια εναλλάσσονται πάντα; Όχι, όχι πάντα! Πρέπει να είστε προσεκτικοί και να μην τοποθετείτε πινακίδες μηχανικά και αλόγιστα.

Ας εξετάσουμε μια άλλη ανισότητα."> !}

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ αριστερά(x-3 \δεξιά))>0

Όταν ο αριθμητής είναι θετικός, και οι δύο παράγοντες στον παρονομαστή είναι αρνητικοί. Αυτό μπορεί εύκολα να ελεγχθεί λαμβάνοντας οποιονδήποτε αριθμό από ένα δεδομένο διάστημα, για παράδειγμα, . Η αριστερή πλευρά έχει το σύμβολο:

Όταν ο αριθμητής είναι θετικός. Ο πρώτος παράγοντας στον παρονομαστή είναι θετικός, ο δεύτερος παράγοντας είναι αρνητικός. Η αριστερή πλευρά έχει το σύμβολο:

Η κατάσταση είναι ίδια! Ο αριθμητής είναι θετικός, ο πρώτος παράγοντας στον παρονομαστή είναι θετικός, ο δεύτερος αρνητικός. Η αριστερή πλευρά έχει το σύμβολο:

Τέλος, με class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Βρήκαμε σε ποια χρονικά διαστήματα η έκφραση είναι θετική. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση:

Γιατί διαταράχθηκε η εναλλαγή των πινακίδων; Διότι όταν διέρχεται από ένα σημείο ο πολλαπλασιαστής είναι «υπεύθυνος» για αυτό δεν άλλαξε πρόσημο. Κατά συνέπεια, ολόκληρη η αριστερή πλευρά της ανισότητας μας δεν άλλαξε πρόσημο.

Σύναψη: αν ο γραμμικός πολλαπλασιαστής είναι άρτια δύναμη (για παράδειγμα, στο τετράγωνο), τότε όταν διέρχεται από ένα σημείο το πρόσημο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά δεν αλλάζει. Σε περίπτωση περιττού βαθμού, το πρόσημο, φυσικά, αλλάζει.

3. Ας εξετάσουμε μια πιο σύνθετη περίπτωση. Διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή:

Η αριστερή πλευρά είναι η ίδια όπως στο προηγούμενο πρόβλημα. Η εικόνα των πινακίδων θα είναι η ίδια:

Ίσως η απάντηση να είναι η ίδια; Όχι! Προστίθεται μια λύση Αυτό συμβαίνει επειδή και η αριστερή και η δεξιά πλευρά της ανισότητας είναι ίσες με μηδέν - επομένως, αυτό το σημείο είναι λύση.

Βρήκαμε σε ποια χρονικά διαστήματα η έκφραση είναι θετική. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση:

Αυτή η κατάσταση εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Εδώ οι υποψήφιοι πέφτουν σε παγίδα και χάνουν βαθμούς. Προσοχή!

4. Τι πρέπει να κάνετε εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε γραμμικούς παράγοντες; Σκεφτείτε αυτήν την ανισότητα:

Ένα τετράγωνο τριώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί: η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Αλλά αυτό είναι καλό! Αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο της έκφρασης για όλους είναι το ίδιο, και συγκεκριμένα, θετικό. Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα σχετικά με αυτό στο άρθρο σχετικά με τις ιδιότητες των τετραγωνικών συναρτήσεων.

Και τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητάς μας με μια τιμή που είναι θετική για όλους. Ας καταλήξουμε σε μια ισοδύναμη ανισότητα:

Το οποίο λύνεται εύκολα με τη μέθοδο του διαστήματος.

Λάβετε υπόψη ότι διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με μια τιμή που γνωρίζαμε με βεβαιότητα ότι ήταν θετική. Φυσικά, γενικά, δεν πρέπει να πολλαπλασιάσετε ή να διαιρέσετε μια ανισότητα με μια μεταβλητή της οποίας το πρόσημο είναι άγνωστο.

5 . Ας εξετάσουμε μια άλλη ανισότητα, φαινομενικά πολύ απλή:

Θέλω απλώς να το πολλαπλασιάσω με . Αλλά είμαστε ήδη έξυπνοι και δεν θα το κάνουμε αυτό. Άλλωστε, μπορεί να είναι και θετικό και αρνητικό. Και γνωρίζουμε ότι αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν με μια αρνητική τιμή, το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει.

Θα το κάνουμε διαφορετικά - θα συγκεντρώσουμε τα πάντα σε ένα μέρος και θα τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή. Η δεξιά πλευρά θα παραμείνει μηδέν:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Και μετά από αυτό - εφαρμόστε μέθοδος διαστήματος.

Στο άρθρο θα εξετάσουμε επίλυση ανισοτήτων. Θα σας πούμε ξεκάθαρα για πώς να κατασκευάσετε μια λύση στις ανισότητες, με ξεκάθαρα παραδείγματα!

Πριν εξετάσουμε την επίλυση ανισοτήτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας κατανοήσουμε τις βασικές έννοιες.

Γενικές πληροφορίες για τις ανισότητες

Ανισότηταείναι μια έκφραση στην οποία οι συναρτήσεις συνδέονται με σημεία σχέσης >, . Οι ανισότητες μπορεί να είναι αριθμητικές και κυριολεκτικές.
Οι ανισώσεις με δύο πρόσημα του λόγου ονομάζονται διπλές, με τρία - τριπλά κ.λπ. Για παράδειγμα:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
α(χ) β(χ).
α(χ) Οι ανισώσεις που περιέχουν το πρόσημο > ή ή - δεν είναι αυστηρές.
Επίλυση της ανισότηταςείναι οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής για την οποία θα ισχύει αυτή η ανισότητα.
"Λύστε την ανισότητα" σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε το σύνολο όλων των λύσεών του. Υπάρχουν διαφορετικές μέθοδοι επίλυσης ανισοτήτων. Για λύσεις ανισότηταςΧρησιμοποιούν την αριθμητική γραμμή, η οποία είναι άπειρη. Για παράδειγμα, λύση στην ανισότητα x > 3 είναι το διάστημα από το 3 έως το + και ο αριθμός 3 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το διάστημα, επομένως το σημείο στη γραμμή συμβολίζεται με έναν κενό κύκλο, επειδή η ανισότητα είναι αυστηρή.
+
Η απάντηση θα είναι: x (3; +).
Η τιμή x=3 δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο λύσεων, άρα η παρένθεση είναι στρογγυλή. Το ζώδιο του απείρου τονίζεται πάντα με μια παρένθεση. Το σημάδι σημαίνει «ανήκειν».
Ας δούμε πώς να λύσουμε τις ανισότητες χρησιμοποιώντας ένα άλλο παράδειγμα με ένα πρόσημο:
x 2
-+
Η τιμή x=2 περιλαμβάνεται στο σύνολο των λύσεων, άρα η αγκύλη είναι τετράγωνη και το σημείο της ευθείας υποδεικνύεται με έναν γεμάτο κύκλο.
Η απάντηση θα είναι: x)