Διάφορες μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων. Επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης διαδικτυακά Έλεγχος της λύσης της εξίσωσης

Στο μάθημα των μαθηματικών της 7ης δημοτικού συναντάμε για πρώτη φορά εξισώσεις με δύο μεταβλητές, αλλά μελετώνται μόνο στο πλαίσιο συστημάτων εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γι' αυτό πέφτει από τα μάτια του μια ολόκληρη σειράπροβλήματα στα οποία εισάγονται ορισμένες συνθήκες στους συντελεστές της εξίσωσης που τις περιορίζουν. Επιπλέον, μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων όπως «Επίλυση εξίσωσης σε φυσικούς ή ακέραιους αριθμούς» αγνοούνται επίσης, αν και Υλικό Ενιαίας Κρατικής ΕξεταστικήςΚαι στις εισαγωγικές εξετάσεις, προβλήματα αυτού του είδους συναντώνται όλο και πιο συχνά.

Ποια εξίσωση θα ονομαστεί εξίσωση με δύο μεταβλητές;

Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ή xy = 12 είναι εξισώσεις σε δύο μεταβλητές.

Θεωρήστε την εξίσωση 2x – y = 1. Γίνεται αληθής όταν x = 2 και y = 3, επομένως αυτό το ζεύγος μεταβλητών τιμών είναι μια λύση στην εξίσου εξίσωση.

Έτσι, η λύση σε οποιαδήποτε εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (x; y), τιμές των μεταβλητών που μετατρέπουν αυτήν την εξίσωση σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα.

Μια εξίσωση με δύο άγνωστους μπορεί:

ΕΝΑ) έχουν μια λύση.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + 5y 2 = 0 έχει μια μοναδική λύση (0; 0).

σι) έχουν πολλαπλές λύσεις.Για παράδειγμα, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 έχει 4 λύσεις: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) δεν έχουν λύσεις.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 δεν έχει λύσεις.

ΣΟΛ) έχουν άπειρες λύσεις.Για παράδειγμα, x + y = 3. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με 3. Το σύνολο των λύσεων δεδομένη εξίσωσημπορεί να γραφτεί με τη μορφή (k; 3 – k), όπου k είναι οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός.

Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι μέθοδοι που βασίζονται σε παραγοντοποιητικές παραστάσεις, απομόνωση πλήρους τετραγώνου, χρήση των ιδιοτήτων μιας τετραγωνικής εξίσωσης, περιορισμένες εκφράσεις και μέθοδοι εκτίμησης. Η εξίσωση συνήθως μετατρέπεται σε μια μορφή από την οποία μπορεί να ληφθεί ένα σύστημα για την εύρεση των αγνώστων.

Παραγοντοποίηση

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση: xy – 2 = 2x – y.

Διάλυμα.

Ομαδοποιούμε τους όρους για σκοπούς παραγοντοποίησης:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Από κάθε παρένθεση βγάζουμε έναν κοινό παράγοντα:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Έχουμε:

y = 2, x – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή x = -1, y – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ετσι, η απάντηση είναι όλα τα ζεύγη της μορφής (x; 2), x € R και (-1; y), y € R.

Ισότητα μη αρνητικών αριθμών στο μηδέν

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Διάλυμα.

Ομαδοποίηση:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Τώρα κάθε βραχίονας μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Το άθροισμα δύο μη αρνητικών παραστάσεων είναι μηδέν μόνο αν 3x – 2 = 0 και 2y – 3 = 0.

Αυτό σημαίνει x = 2/3 και y = 3/2.

Απάντηση: (2/3; 3/2).

Μέθοδος εκτίμησης

Παράδειγμα 3.

Λύστε την εξίσωση: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Διάλυμα.

Σε κάθε παρένθεση επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ας υπολογίσουμε τη σημασία των εκφράσεων στην παρένθεση.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 και (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα τουλάχιστον 2. Η ισότητα είναι δυνατή αν:

(x + 1) 2 + 1 = 1 και (y – 2) 2 + 2 = 2, που σημαίνει x = -1, y = 2.

Απάντηση: (-1; 2).

Ας γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές δευτέρου βαθμού. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντιμετώπιση της εξίσωσης ως τετράγωνο σε σχέση με κάποια μεταβλητή.

Παράδειγμα 4.

Λύστε την εξίσωση: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Διάλυμα.

Ας λύσουμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το x. Ας βρούμε το διαχωριστικό:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Η εξίσωση θα έχει λύση μόνο όταν D = 0, δηλαδή αν y = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ότι x = 3.

Απάντηση: (3; 4).

Συχνά σε εξισώσεις με δύο άγνωστα υποδεικνύουν περιορισμούς στις μεταβλητές.

Παράδειγμα 5.

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Διάλυμα.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει όταν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 2. Επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 5. Αλλά το τετράγωνο ενός Ο αριθμός που δεν διαιρείται με το 5 δίνει υπόλοιπο 1 ή 4. Έτσι, η ισότητα είναι αδύνατη και δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 6.

Λύστε την εξίσωση: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Διάλυμα.

Ας επισημάνουμε τα πλήρη τετράγωνα σε κάθε παρένθεση:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 3. Η ισότητα είναι δυνατή εφόσον |x| – 2 = 0 και y + 3 = 0. Έτσι, x = ± 2, y = -3.

Απάντηση: (2; -3) και (-2; -3).

Παράδειγμα 7.

Για κάθε ζεύγος αρνητικών ακεραίων (x;y) που ικανοποιεί την εξίσωση
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, υπολογίστε το άθροισμα (x + y). Σημειώστε το μικρότερο ποσό στην απάντησή σας.

Διάλυμα.

Ας επιλέξουμε πλήρη τετράγωνα:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Εφόσον τα x και y είναι ακέραιοι, τα τετράγωνά τους είναι επίσης ακέραιοι. Παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων ίσων με 37 αν προσθέσουμε 1 + 36. Επομένως:

(x – y) 2 = 36 και (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 και (y + 2) 2 = 36.

Λύνοντας αυτά τα συστήματα και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα x και y είναι αρνητικά, βρίσκουμε λύσεις: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Απάντηση: -17.

Μην απελπίζεστε αν δυσκολεύεστε να λύσετε εξισώσεις με δύο άγνωστα. Με λίγη εξάσκηση, μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις σε δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Σας προσφέρουμε ένα βολικό δωρεάν ηλεκτρονική αριθμομηχανήγια την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.Μπορείτε γρήγορα να καταλάβετε και να κατανοήσετε πώς επιλύονται χρησιμοποιώντας σαφή παραδείγματα.
Να παράγει επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης διαδικτυακά, πρώτα μειώστε την εξίσωση σε γενική εμφάνιση:
ax 2 + bx + c = 0
Συμπληρώστε ανάλογα τα πεδία της φόρμας:

Πώς να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση

Πώς να λύσετε τετραγωνική εξίσωση:	Τύποι ριζών:
1. Να ανάγει τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη γενική της μορφή: Γενική άποψη Аx 2 +Bx+C=0 Παράδειγμα: 3x - 2x 2 +1=-1 Μείωση σε -2x 2 +3x+2=0 2. Βρείτε το διακριτικό Δ. D=B 2 -4*A*C . Για το παράδειγμά μας, D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Εύρεση των ριζών της εξίσωσης. x1=(-B+D 1/2)/2A. Για την περίπτωσή μας x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Για το παράδειγμά μας x2=(-3-5)/(-4)=2 Αν Β - ζυγός αριθμός, τότε είναι πιο βολικό να υπολογίσετε τη διάκριση και τις ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους: D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Όπου Κ=Β/2	1. Πραγματικές ρίζες. Εξάλλου. Το x1 δεν είναι ίσο με το x2 Η κατάσταση συμβαίνει όταν το D>0 και το A δεν είναι ίσο με 0. 2. Οι πραγματικές ρίζες είναι ίδιες. x1 ισούται με x2 Η κατάσταση εμφανίζεται όταν D=0. Ωστόσο, ούτε το Α, ούτε το Β ούτε το Γ δεν πρέπει να είναι ίσα με 0. 3. Δύο σύνθετες ρίζες. x1=d+ei, x2=d-ei, όπου i=-(1) 1/2 Η κατάσταση συμβαίνει όταν ο Δ 4. Η εξίσωση έχει μία λύση. Α=0, Β και Γ δεν είναι ίσα με μηδέν. Η εξίσωση γίνεται γραμμική. 5. Η εξίσωση έχει αμέτρητες λύσεις. Α=0, Β=0, Γ=0. 6. Η εξίσωση δεν έχει λύσεις. A=0, B=0, το C δεν ισούται με 0.

Για να ενοποιήσουμε τον αλγόριθμο, παραθέτουμε μερικά ακόμη ενδεικτικά παραδείγματαλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Παράδειγμα 1. Επίλυση μιας συνηθισμένης τετραγωνικής εξίσωσης με διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
x 2 + 3x -10 = 0
Σε αυτή την εξίσωση
Α=1, Β=3, Γ=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Θα συμβολίσουμε την τετραγωνική ρίζα ως τον αριθμό 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Για έλεγχο, ας αντικαταστήσουμε:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Παράδειγμα 2. Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αντιστοίχιση πραγματικών ριζών.
x 2 – 8x + 16 = 0
Α=1, Β = -8, Γ=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Ας αντικαταστήσουμε
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Παράδειγμα 3. Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με μιγαδικές ρίζες.
13x 2 – 4x + 1 = 0
Α=1, Β = -4, Γ=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Η διάκριση είναι αρνητική - οι ρίζες είναι πολύπλοκες.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, όπου I είναι η τετραγωνική ρίζα του -1

Εδώ είναι στην πραγματικότητα όλες οι πιθανές περιπτώσεις επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.
Ελπίζουμε ότι το δικό μας ηλεκτρονική αριθμομηχανήθα είναι πολύ χρήσιμο για εσάς.
Εάν το υλικό ήταν χρήσιμο, μπορείτε

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η δημοτικού, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απολύτως απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσετε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώστε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μία ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ των τετραγωνικών και των γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτή τη φόρμουλα από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Δηλαδή:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Ας γράψουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και ας βρούμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με παρόμοιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση που απομένει είναι:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση είναι μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι οι συντελεστές έχουν καταγραφεί για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό, αλλά δεν θα ανακατεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, αν το καταφέρετε, μετά από λίγο δεν θα χρειαστεί να σημειώσετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολύ.

Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ίδια τη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - θα λάβετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετρήσετε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα κατά την αντικατάσταση αρνητικών συντελεστών στον τύπο. Και εδώ, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, σημειώστε κάθε βήμα - και πολύ σύντομα θα απαλλαγείτε από τα λάθη.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι μια τετραγωνική εξίσωση είναι ελαφρώς διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι από αυτές τις εξισώσεις λείπει ένας από τους όρους. Τέτοιες δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν απαιτούν καν τον υπολογισμό της διάκρισης. Λοιπόν, ας εισαγάγουμε μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b = c = 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 = 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x = 0.

Ας εξετάσουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Έστω b = 0, τότε λαμβάνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0. Ας τη μετατρέψουμε λίγο:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο ενός μη αρνητικού αριθμού, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιείται η ανισότητα (−c /a) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c /a)< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν απαιτείται διάκριση - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c /a) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Αν υπάρχει θετικός αριθμός- θα υπάρχουν δύο ρίζες. Αν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας δούμε τώρα εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο:

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων

Το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί ένα τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Από εδώ βλέπουμε ότι υπάρχει μία εξίσωση 3 * x – 1 = 0.

Λάβαμε μια γραμμική εξίσωση με τη μορφή 3 * x – 1 = 0

Για να λύσουμε την εξίσωση, προσδιορίζουμε ποιες ιδιότητες έχει η εξίσωση:

• Η εξίσωση είναι γραμμική και γράφεται ως * x + b = 0, όπου a και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
• Όταν a = b = 0, η εξίσωση έχει άπειρο σύνολοαποφάσεις·
• Αν a = 0, b ≠ 0, η εξίσωση δεν έχει λύση.
• Αν a ≠ 0, b = 0, η εξίσωση έχει λύση: x = 0;
• Εάν οι a και b είναι αριθμοί διαφορετικοί από το 0, τότε η ρίζα βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο x = - b/a.

Από εδώ παίρνουμε ότι a = 3, b = - 1, που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Έλεγχος της λύσης της εξίσωσης

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε x = 1/3 στην αρχική παράσταση |3 * x - 1| = 0, τότε παίρνουμε:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Για να βρούμε την τιμή μιας παράστασης, υπολογίζουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση με τη σειρά και μετά προσθέτουμε ή αφαιρούμε. Δηλαδή παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι x = 1/3 είναι η ρίζα της εξίσωσης |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Η ενότητα ανοίγει με το σύμβολο συν και πλην. Παίρνουμε 2 εξισώσεις:

1) 3 * x - 1 = 0;

Μεταφέρουμε γνωστές τιμές στη μία πλευρά και άγνωστες τιμές στην άλλη πλευρά. Κατά τη μεταφορά τιμών, τα πρόσημά τους αλλάζουν στο αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή παίρνουμε:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Ανοίγοντας τις παρενθέσεις. Δεδομένου ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις παρενθέσεις, όταν επεκτείνονται, τα σημάδια των τιμών αλλάζουν στο αντίθετο πρόσημο. Δηλαδή παίρνουμε:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Απάντηση: x = 1/3.

Ας εξετάσουμε την εξίσωση x^2=a, όπου το a μπορεί να είναι ένας αυθαίρετος αριθμός. Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις επίλυσης αυτής της εξίσωσης, ανάλογα με την τιμή που παίρνει ο αριθμός a (a0).

Ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.

Παραδείγματα διαφορετικών περιπτώσεων της εξίσωσης x^2=a

x^2=a, για a<0

Εφόσον το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, η εξίσωση x^2=a, για το α

x^2=a, με a=0

Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει μία ρίζα. Αυτή η ρίζα είναι ο αριθμός 0. Εφόσον η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως x*x=0, λέγεται επίσης μερικές φορές ότι αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες που είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με 0.

x^2=a, για a>0

Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση x^2=a, για το a, λύνεται ως εξής. Αρχικά μετακινούμε το α στην αριστερή πλευρά.

Από τον ορισμό τετραγωνική ρίζαπροκύπτει ότι το a μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: a=(√a)^2. Τότε η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

x^2 - (√a)^2 = 0.

Στην αριστερή πλευρά βλέπουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Το γινόμενο δύο παρενθέσεων είναι ίσο με μηδέν αν τουλάχιστον η μία από αυτές είναι ίση με μηδέν. Οθεν,

Επομένως, x1=√a x2=-√a.

Αυτή η λύση μπορεί να ελεγχθεί σχεδιάζοντας ένα γράφημα.

Για παράδειγμα, ας το κάνουμε αυτό για την εξίσωση x^2 = 4.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να δημιουργήσετε δύο γραφήματα y=x^2 και y=4. Και κοιτάξτε τις συντεταγμένες x των σημείων τομής τους. Οι ρίζες πρέπει να είναι 2 και -2. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα στο σχήμα.

Χρειάζεστε βοήθεια με τις σπουδές σας;

Προηγούμενο θέμα: