Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου από το ημιτονοειδές θεώρημα. Περιορισμένος κύκλος

Επίπεδο εισόδου

Ο περιγεγραμμένος κύκλος. Οπτικός οδηγός (2019)

Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει: περιγράφεται - γύρω από τι;

Καλά, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για τον κύκλο που περιγράφεται γύρω (μερικές φορές λένε "περίπου") το τρίγωνο. Τι είναι αυτό;

Και τώρα, φανταστείτε ένα καταπληκτικό γεγονός:

Γιατί είναι αυτό το γεγονός εκπληκτικό;

Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!

Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει μέσω και των τριών κορυφών, δηλαδή τον περιγεγραμμένο κύκλο.

Μπορείτε να βρείτε την απόδειξη αυτού του εκπληκτικού γεγονότος στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε για κανέναν δεν υπάρχει ένας κύκλος που διέρχεται από τέσσερις κορυφές. Εδώ, ας πούμε, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!

Και υπάρχει μόνο για το ορθογώνιο:

Καλά εδώ και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο!  Και ακόμα είναι πάντα πολύ απλό να βρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου.

Ξέρετε τι είναι μεσαία κάθετα?

Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει αν κοιτάξουμε τρεις ολόκληρες μεσαίες κάθετες στις πλευρές του τριγώνου.

Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα) αυτό   Και οι τρεις κάθετες μορφές τέμνονται σε ένα σημείο.  Κοιτάξτε το σχήμα - και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!

Αλλά αν   οξεία-γωνία, τότε - μέσα:

Τι να κάνετε με ένα σωστό τρίγωνο;

Ναι, με ένα επιπλέον μπόνους:

Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του οριοθετημένου κύκλου: τι είναι ίσο με ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει μια απάντηση σε αυτή την ερώτηση: το λεγόμενο.

Δηλαδή:

Καλά και φυσικά

1. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Τότε τίθεται το ερώτημα: Υπάρχει ένας τέτοιος κύκλος για οποιοδήποτε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Επιπλέον, θα διαμορφώσουμε τώρα ένα θεώρημα που θα απαντά επίσης στο ερώτημα που είναι το κέντρο του περιγραφέντος κύκλου.

Μοιάζει με αυτό:

Ας πάρουμε το θάρρος και να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Αν έχετε ήδη διαβάσει το θέμα "" κατανοήσατε γιατί τρία μπαστούνια τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι ευκολότερο για σας, αλλά αν δεν έχετε διαβάσει, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.

Η απόδειξη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την έννοια ενός γεωμετρικού τόπου των σημείων (ТТТ).

Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι πολλές μπάλες ένα "γεωμετρικό μέρος" για στρογγυλά αντικείμενα; Όχι, φυσικά, επειδή υπάρχουν γύροι ... καρπούζια. Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι, "γεωμετρικοί τόποι" που μπορούν να μιλήσουν; Δεν είναι πάρα πολύ, επειδή υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, γενικά, είναι δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα ενός πραγματικού "γεωμετρικού τόπου των σημείων". Στη γεωμετρία είναι πιο εύκολο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:

Εδώ το σετ είναι το μέσο κάθετο και η ιδιότητα "" είναι ισόπονη (σημείο) από τα άκρα του τμήματος. "

Ελέγξτε το; Έτσι, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:

1. Οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται σε ίση απόσταση από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στο μέσο κάθετο προς αυτό.

Συνδέστε με και C. Στη συνέχεια, η γραμμή είναι η διάμεση και το ύψος στο. Έτσι, - ισοσκελές - βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στο μέσο κάθετο είναι εξίσου απομακρυσμένο από τα σημεία και.

Πάρτε τη μέση και συνδέστε και. Το αποτέλεσμα ήταν διάμεσος. Αλλά - σύμφωνα με την προϋπόθεση, isosceles όχι μόνο το διάμεσο, αλλά και το ύψος, δηλαδή, το μέσο κάθετο. Έτσι, το σημείο - απλά βρίσκεται στη μέση κάθετη.

Αυτό είναι όλο! Έλεγξε πλήρως το γεγονός ότι η μέση κάθετη προς το τμήμα είναι η γεωμετρική θέση των σημείων που απέχουν ίσα από τα άκρα του τμήματος.

Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον οριοθετημένο κύκλο; Καθόλου, μόλις ετοιμάσαμε για τον εαυτό μας ένα "εφαλτήριο για μια επίθεση".

Εξετάστε το τρίγωνο. Σχεδιάστε δύο μεσαία κάθετα και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα τέμνονται σε κάποιο σημείο που θα καλέσουμε.

Και τώρα, προσοχή!

Το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  Και αυτό σημαίνει, και.

Από εδώ πολλά πράγματα ακολουθούν αμέσως:

Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη μεσαία κάθετο προς το τμήμα.

Δηλαδή, η μέση κάθετη είναι επίσης υποχρεωμένη να περάσει από το σημείο και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερον, αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα, τότε αυτός ο κύκλος θα περάσει επίσης από το σημείο και μέσα από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Έτσι, υπάρχει ήδη ότι η τομή των τριών μέσων κατακορύφων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Και το τελευταίο: για μοναδικότητα. Είναι σαφές (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να επιτευχθεί με ένα μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι επίσης μοναδικός. Λοιπόν, αλλά "σχεδόν" - αφήστε το να σκεφτείτε. Αυτό απέδειξε το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!".

Και αν το πρόβλημα είναι "βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου"; Ή αντίστροφα, η ακτίνα δίνεται, αλλά είναι απαραίτητο να βρούμε κάτι άλλο; Υπάρχει ένας τύπος που συνδέει την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου με άλλα στοιχεία του τριγώνου;

Δώστε προσοχή: το ίδιο το θεωρεί αυτό για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μία πλευρά (οποιαδήποτε!) και την αντίθετη γωνία. Και αυτό είναι!

3. Κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω

Και τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο.
  Απάντηση: όσο μπορείτε. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.

Και σε γενικές γραμμές:

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Ο κύκλος που περιγράφεται κοντά στο τρίγωνο

Αυτός είναι ο κύκλος που περνάει και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.

2. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάσετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ δροσεροί.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κυριαρχήσει κάτι από μόνοι τους. Και αν διαβάσετε μέχρι το τέλος, τότε μπήκατε σε αυτά τα 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό πράγμα.

Σκέφτηκες μια θεωρία σχετικά με αυτό το θέμα. Και πάλι, αυτό ... είναι απλά super! Είστε ήδη καλύτεροι από τη μεγάλη πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό ...

Γιατί;

Για την επιτυχή διεξαγωγή των εξετάσεων, για την είσοδο στο ινστιτούτο στον προϋπολογισμό και, ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σας πείσω για τίποτα, απλά να πω ένα πράγμα ...

Οι άνθρωποι που λαμβάνουν καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έκαναν. Πρόκειται για στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι πιο ευτυχισμένοι (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω ...

Αλλά, σκεφτείτε μόνοι σας ...

Τι χρειάζεται για να είμαστε σίγουρα καλύτεροι από τους άλλους στη ΧΡΗΣΗ και να είμαστε τελικά ... πιο ευτυχισμένοι;

ΠΕΡΙΕΧΟΥΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΤΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στην εξέταση δεν θα σας ζητηθεί μια θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση των προβλημάτων εγκαίρως.

Και αν δεν τα λύσατε (ΠΟΛΛΑ!), Θα είστε σίγουροι ότι κάνατε ένα ανόητο λάθος κάπου ή απλά δεν έχετε χρόνο.

Είναι σαν στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε όπου θέλετε τη συλλογή, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερή ανάλυση  και να αποφασίσει, να αποφασίσει, να αποφασίσει!

Μπορείτε να επωφεληθείτε από τα καθήκοντά μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τα συνιστούμε.

Για να γεμίσετε το χέρι σας με τη βοήθεια των καθηκόντων μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του βιβλίου YouClever που διαβάζετε τώρα.

Πώς; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε
2. Ανοικτή πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του εγχειριδίου - 499 τρίψτε

Ναι, έχουμε 99 άρθρα στο εγχειρίδιο και μπορείτε να ανοίξετε αμέσως πρόσβαση σε όλα τα καθήκοντα και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά.

Η πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες παρέχεται σε όλες τις φορές που υπάρχει ο ιστότοπος.

Και τελικά ...

Εάν δεν σας αρέσουν τα καθήκοντά μας, βρείτε άλλους. Απλά μην σταματήσετε τη θεωρία.

Οι "κατανοητές" και "μπορώ να αποφασίσω" είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεστε και τα δύο.

Βρείτε εργασίες και λύστε!

Πολύ συχνά, κατά την επίλυση των γεωμετρικών προβλημάτων, πρέπει να εκτελούνται ενέργειες με βοηθητικές φιγούρες. Για παράδειγμα, βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου κλπ. Αυτό το άρθρο θα δείξει πώς να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα τρίγωνο. Ή, με άλλα λόγια, η ακτίνα του κύκλου μέσα στον οποίο είναι γραμμένο το τρίγωνο.

  Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα τρίγωνο - γενικός τύπος

Ο γενικός τύπος είναι ο ακόλουθος: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, p είναι η περίμετρος του τριγώνου διαιρούμενο με 2 (μισή περίμετρος). a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου.

Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου αν a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.

Έτσι, με βάση τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε την μισή περίμετρο:
  p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο και πάρτε:
  R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8-3) (8-6) (8-7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.

Απάντηση: R \u003d 126 / 16√5

  Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περιγράφεται κοντά σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο

Για να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου που περιγράφεται κοντά σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, υπάρχει ένας μάλλον απλός τύπος: R \u003d a / √3, όπου a είναι το μέγεθος της πλευράς του.

Παράδειγμα: Η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 5. Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Δεδομένου ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει απλά να εισαγάγετε την αξία του στον τύπο. Παίρνουμε: R \u003d 5 / √3.

Απάντηση: R \u003d 5 / √3.

  Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου κοντά σε ένα δεξί τρίγωνο

Ο τύπος έχει ως εξής: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, όπου a και b είναι τα πόδια και c είναι η υποτείνουσα. Αν προσθέσουμε τα τετράγωνα των ποδιών σε ένα ορθό τρίγωνο, τότε θα πάρουμε το τετράγωνο της υποτείνουσας. Όπως μπορεί να φανεί από τον τύπο, αυτή η έκφραση βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. Υπολογίζοντας τη ρίζα του τετραγώνου της υποτείνουσας, παίρνουμε το ίδιο το μήκος. Ο πολλαπλασιασμός της προκύπτουσας έκφρασης κατά 1/2 τελικά μας οδηγεί στην έκφραση 1/2 × c \u003d c / 2.

Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου αν τα σκέλη του τριγώνου είναι 3 και 4. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο. Παίρνουμε: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2,5.

Στην έκφραση αυτή, 5 είναι το μήκος της υποτείνουσας.

Απάντηση: R \u003d 2.5.

  Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο

Ο τύπος έχει ως εξής: R \u003d a2 / √ (4a² - b²), όπου a είναι το μήκος μηρού του τριγώνου και b είναι το μήκος της βάσης.

Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα ενός κύκλου αν ο ισχός του \u003d 7 και η βάση \u003d 8.

Λύση: Αντικαθίσαμε αυτές τις τιμές στον τύπο και παίρνουμε: R \u003d 7 ² / √ (4 × 7 ² - 8 ²).

R \u003d 49 / √ (196-64) \u003d 49 / √132. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί απευθείας όπως αυτή.

Απάντηση: R \u003d 49 / √132

  Ηλεκτρονικοί πόροι για τον υπολογισμό της ακτίνας κύκλου

Μπορείτε πολύ εύκολα να συγχέεται σε όλους αυτούς τους τύπους. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικούς υπολογιστές που θα σας βοηθήσουν στην επίλυση προβλημάτων εύρεσης της ακτίνας. Η αρχή της λειτουργίας τέτοιων μίνι προγραμμάτων είναι πολύ απλή. Αντικαταστήστε την τιμή της πλευράς στο κατάλληλο πεδίο και λάβετε μια έτοιμη απάντηση. Μπορείτε να επιλέξετε διάφορες επιλογές για στρογγυλοποίηση της απάντησης: σε δεκαδικό, εκατοστά, χιλιοστά, κλπ.

Μπορεί να φανεί ότι κάθε πλευρά το τρίγωνο, το κάθετο που τραβιέται από τη μέση του και τα τμήματα που συνδέουν το σημείο τομής των καθέτων με τις κορυφές σχηματίζουν δύο ίσες ορθογώνιες το τρίγωνο. Τα τμήματα MA, MB, MC είναι ίσα.

Σας έχει δοθεί ένα τρίγωνο. Βρείτε τη μέση κάθε πλευράς - πάρτε ένα χάρακα και μετρήστε τις πλευρές του. Διαχωρίστε τα μεγέθη που προκύπτουν στο μισό. Αφαιρέστε τις κορυφές σε κάθε μισό του μεγέθους. Σημειώστε τα αποτελέσματα με κουκκίδες.

Από κάθε σημείο, τοποθετήστε την κάθετη προς την πλευρά. Το σημείο τομής αυτών των κατακορύφων θα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Δύο κάθετες είναι αρκετές για να βρουν το κέντρο του κύκλου. Το τρίτο κατασκευάζεται για αυτοέλεγχο.

Σημειώστε - στο τρίγωνο, όπου όλες οι γωνίες είναι απότομες, διασταυρώσεις μέσα το τρίγωνο. Σε ένα σωστό τρίγωνο - βρίσκεται στην υποτείνουσα. In - βρίσκεται έξω. Επιπλέον, η κάθετη προς την πλευρά απέναντι από την αμβλεία γωνία δεν είναι προς το κέντρο το τρίγωνοαλλά έξω.

Δώστε προσοχή

Υπάρχει ένα θεωρητικό ημίτονο που δημιουργεί μια σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, των γωνιών του και των ακτίνων ενός περιγεγραμμένου κύκλου. Αυτή η εξάρτηση εκφράζεται από τον τύπο: a / sina \u003d b / sinb \u003d c / sinc \u003d 2R, όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. sina, sinb, sinc - sines των γωνιών απέναντι από αυτές τις πλευρές? R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω από το τρίγωνο.

Πηγές:

• πώς να περιγράψουμε την περιφέρεια ενός τετραγώνου

Σύμφωνα με τον ορισμό που περιγράφεται περιφέρεια  πρέπει να περάσει από όλες τις κορυφές των γωνιών ενός συγκεκριμένου πολυγώνου. Ταυτόχρονα, δεν έχει σημασία πόσο πολύγωνο είναι - ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο, ένα τραπεζοειδές ή κάτι άλλο. Επίσης, δεν έχει σημασία αν είναι πολύγωνο, σωστό ή λάθος. Απαιτείται μόνο να ληφθεί υπόψη ότι υπάρχουν πολύγωνα γύρω από τα οποία περιφέρεια  δεν μπορεί να περιγραφεί. Μπορείτε πάντα να περιγράψετε περιφέρεια  γύρω από το τρίγωνο. Όσο για τα τετράγωνα, τότε περιφέρεια  μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράγωνο ή ορθογώνιο ή ένα ισοσκελές τραπεζοειδές.

Θα χρειαστείτε

• Πολύγωνο προκαθορισμένο
• Χάρακας
• Πλατεία
• Μολύβι
• Πυξίδα
• Μοιρογνωμόνιο
• Πίνακες Sines και Cosines
• Μαθηματικές έννοιες και τύποι
• Πυθαγόρειο Θεώρημα
• Θεωρία αμιάντου
• Θεώρημα Cosine
• Σημάδια ομοιότητας τριγώνων

Εγχειρίδιο οδηγιών

Δημιουργήστε ένα πολύγωνο με τις συγκεκριμένες παραμέτρους και αν είναι δυνατόν να περιγραφεί γύρω από αυτό περιφέρεια. Αν σας δοθεί ένα τετράπλευρο, μετρήστε τα ποσά των αντίθετων γωνιών του. Κάθε ένα από αυτά πρέπει να είναι ίσο με 180 °.

Για να περιγράψω περιφέρεια, πρέπει να υπολογίσετε την ακτίνα του. Θυμηθείτε πού βρίσκεται το κέντρο του κύκλου σε διαφορετικά πολύγωνα. Σε ένα τρίγωνο, βρίσκεται στη διασταύρωση όλων των υψών του συγκεκριμένου τριγώνου. Τετράγωνα και ορθογώνια - στο σημείο τομής των διαγωνίων, για ένα τραπεζοειδές - στο σημείο τομής του άξονα συμμετρίας με τη γραμμή που συνδέει τα μεσαία σημεία των πλευρών και για οποιοδήποτε άλλο κυρτό πολύγωνο στο σημείο τομής των μέσων κατακορύφων με τις πλευρές.

Η διάμετρος του κύκλου περικλείεται γύρω από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο, που υπολογίζεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των πλευρών του ορθογωνίου. Για ένα τετράγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες, η διαγώνια ισούται με την τετραγωνική ρίζα του διπλάσιου τετραγώνου της πλευράς. Διαχωρίζοντας τη διάμετρο κατά 2, λαμβάνετε την ακτίνα.

Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου για το τρίγωνο. Δεδομένου ότι οι παράμετροι του τριγώνου καθορίζονται στις συνθήκες, υπολογίστε την ακτίνα χρησιμοποιώντας τον τύπο R \u003d a / (2 · sinA), όπου a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου ,; - την αντίθετη γωνία με αυτήν. Αντί αυτής της πλευράς, μπορείτε να πάρετε την πλευρά και την αντίθετη γωνία σε αυτό.

Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τραπεζοειδές. R \u003d a * d * c / 4 v (p * (pa) * (pd) * (pc)) Σ 'αυτόν τον τύπο, a και b είναι τα trapezium που είναι γνωστά στις συνθήκες βάσης, h είναι το ύψος, d είναι η διαγώνια p \u003d 2 * (a + d + c). Υπολογίστε τις τιμές που λείπουν. Το ύψος μπορεί να υπολογιστεί από το θεώρημα των sines ή cosines, τα μήκη των πλευρών του τραπεζοειδούς και οι γωνίες δίνονται στις συνθήκες. Γνωρίζοντας το ύψος και λαμβάνοντας υπόψη τις ομοιότητες των τριγώνων, υπολογίστε τη διαγώνιο. Μετά από αυτό, παραμένει ο υπολογισμός της ακτίνας σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές

Για να υπολογίσετε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα άλλο πολύγωνο, εκτελέστε μια σειρά πρόσθετων κατασκευών. Αποκτήστε απλούστερα σχήματα των οποίων γνωρίζετε τις παραμέτρους.

Συμβουλή 3: Πώς να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κατά μήκος μιας οξείας γωνίας και υποταινού

Ένα ορθογώνιο ονομάζεται τρίγωνο, η γωνία σε μία από τις κορυφές των οποίων είναι 90 °. Η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και οι πλευρές απέναντι από τις δύο αιχμηρές γωνίες του τριγώνου ονομάζονται πόδια. Αν είναι γνωστό το μήκος της υποτείνουσας και το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες, τότε αυτά τα δεδομένα είναι αρκετά για να κατασκευάσουν ένα τρίγωνο τουλάχιστον με δύο τρόπους.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται εγγεγραμμένο αν όλες οι κορυφές του βρίσκονται σε έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, ο κύκλος καλείται περιγράφεται  γύρω από το τρίγωνο. Η απόσταση από το κέντρο της σε κάθε κορυφή του τριγώνου θα είναι η ίδια και ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου. Γύρω από κάθε τρίγωνο, μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο, αλλά μόνο έναν.

Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου θα βρίσκεται στη διατομή των μέσων κάθετων προς κάθε πλευρά του τριγώνου. Εάν ο κύκλος περιβάλλεται γύρω από ένα ορθό τρίγωνο, τότε το κέντρο του θα βρεθεί στη μέση της υποτείνουσας. Για κάθε τρίγωνο γύρω από το οποίο περιγράφεται ο κύκλος, ισχύει ο τύπος για την περιοχή του τριγώνου μέσω της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου:

όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου, και R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου μέσα από την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:
  Αφήστε ένα τρίγωνο να δοθεί με πλευρές a \u003d 5 cm, b \u003d 6 cm, c \u003d 4 cm Περιγράφεται ένας κύκλος με R \u003d 3 cm γύρω από αυτό.
  Έχοντας όλα τα απαιτούμενα δεδομένα, απλώς αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο:

  Η περιοχή του τριγώνου θα είναι 10 τετραγωνικά μέτρα. βλέπετε

Πολύ συχνά, υπό τις συνθήκες, μπορείτε να βρείτε μια δεδομένη περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου, που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε την περιοχή του εγγεγραμμένου τριγώνου. Ο τύπος για την περιοχή ενός τριγώνου μέσα από την περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται μετά τον υπολογισμό της ακτίνας. Μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους. Για να αρχίσετε, εξετάστε τον τύπο για την περιοχή ενός κύκλου:
  Μεταμορφώνοντας αυτόν τον τύπο, παίρνουμε ότι η ακτίνα:
  Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, γνωρίζουμε την περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου, μπορούμε να βρούμε την περιοχή του τριγώνου με τον ακόλουθο τρόπο:

Γνωρίζοντας και τις τρεις πλευρές ενός δεδομένου τριγώνου, μπορείτε να κάνετε αίτηση για να βρείτε την περιοχή. Από αυτό, μπορεί κανείς να βρει την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Δηλαδή, αν στις συνθήκες που δίνονται όλες οι πλευρές του τριγώνου και απαιτείται η αναζήτηση για την περιοχή μέσω της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου, πρέπει πρώτα να τον υπολογίσουμε με τον τύπο:

  Δηλαδή, γνωρίζοντας τα μήκη όλων των πλευρών του τριγώνου, μπορούμε να βρούμε την περιοχή του τριγώνου μέσα από την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου μέσα από την περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου:
  Δίνεται ένα τρίγωνο, γύρω από το οποίο περιγράφεται ένας κύκλος με έκταση 8 τετραγωνικών μέτρων. Οι πλευρές του τριγώνου a \u003d 4cm, b \u003d 3 cm, c \u003d 5 cm Πρώτον, βρείτε την ακτίνα του κύκλου μέσα από την περιοχή του:

  Ας προσπαθήσουμε να βρούμε την ακτίνα χρησιμοποιώντας μια άλλη φόρμουλα, την οποία συνήγαμε από τη μέθοδο εύρεσης

Θα χρειαστείτε

• Τρίγωνο με προκαθορισμένες παραμέτρους
• Πυξίδα
• Χάρακας
• Πλατεία
• Πίνακας ιχνών και κοσκινισμών
• Μαθηματικές έννοιες
• Προσδιορισμός του ύψους ενός τριγώνου
• Φόρμουλα sines και cosines
• Τρισδιάστατη πλατεία Formula

Εγχειρίδιο οδηγιών

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο με τις επιθυμητές παραμέτρους. Ένα τρίγωνο είναι είτε σε τρεις πλευρές, είτε σε δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους, ή στην πλευρά και δύο γωνίες δίπλα του. Καθορίστε τις κορυφές του τριγώνου ως Α, Β και Γ, τις γωνίες ως α, β και γ και τις πλευρές απέναντι από τις κορυφές από τη γωνία της πλευράς ως a, b και c.

Σύρετε προς όλες τις πλευρές του τριγώνου και βρείτε το σημείο τομής. Σημειώστε τα ύψη ως h με τους αντίστοιχους πλευρικούς δείκτες. Βρείτε το σημείο της διασταύρωσης τους και ορίστε το O. Θα είναι το κέντρο του κύκλου. Έτσι, οι ακτίνες αυτού του κύκλου θα είναι τα τμήματα OA, OB και OS.

Η ακτίνα βρίσκεται από δύο τύπους. Για έναν πρέπει να υπολογίσετε πρώτα. Είναι ίσο με όλες τις πλευρές του τριγώνου από το ημίτονο οποιασδήποτε από τις γωνίες διαιρείται με 2.

Στην περίπτωση αυτή, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου υπολογίζεται από τον τύπο

Για το άλλο, αρκεί το μήκος μιας από τις πλευρές και το ημίτονο της αντίθετης γωνίας.

Υπολογίστε την ακτίνα και περιγράψτε τον κύκλο τριγώνου.

Χρήσιμες συμβουλές

Θυμηθείτε ποιο είναι το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι ένα κάθετο που τραβιέται από τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά.

Η περιοχή του τριγώνου μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως το προϊόν του τετραγώνου μιας από τις πλευρές και τα sines δύο γειτονικών γωνιών διαιρούμενα με το διπλάσιο ημίτονο του αθροίσματος αυτών των γωνιών.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

Πηγές:

• τραπέζι με τις ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου
• Η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται κοντά στο ισόπλευρο

Θεωρείται ότι περιβάλλεται γύρω από το πολύγωνο εάν αγγίζει όλες τις κορυφές του. Αυτό που αξίζει να σημειωθεί είναι το κέντρο μιας παρόμοιας περιφέρεια  συμπίπτει με το σημείο τομής των καθέτων που προέρχονται από τα μεσαία σημεία των πλευρών του πολυγώνου. Ακτίνα  περιγράφεται περιφέρεια  εξαρτάται εντελώς από το πολύγωνο γύρω από το οποίο περιγράφεται.

Θα χρειαστείτε

• Γνωρίστε τις πλευρές του πολυγώνου, την περιοχή / περίμετρο του.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Δώστε προσοχή

Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί μόνο εάν είναι κανονικός, δηλ. όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του είναι ίσες.
Η διατριβή ότι το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το πολύγωνο είναι η τομή των μεσαίων κάθετων του, ισχύει για όλα τα κανονικά πολύγωνα.

Πηγές:

• πώς να βρείτε την ακτίνα ενός πολυγώνου

Αν για το πολύγωνο είναι δυνατή η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε η περιοχή αυτού του πολυγώνου είναι μικρότερη από την περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου, αλλά μεγαλύτερη από την περιοχή του εγγεγραμμένου κύκλου. Για μερικά πολύγωνα, τύποι για εύρεση ακτίνα  εγγεγραμμένους και κυκλικούς κύκλους.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο αγγίζει όλες τις πλευρές του πολυγώνου. Για τρίγωνο ακτίνα  κύκλοι: r \u003d (p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, όπου p είναι η μισή περίμετρος. a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. Για τον τύπο απλοποιείται: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), και - η πλευρά του τριγώνου.

Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα πολύγωνο ονομάζεται κύκλος στον οποίο βρίσκονται όλες οι κορυφές του πολυγώνου. Για ένα τρίγωνο, η ακτίνα ανευρίσκεται από τον τύπο: R \u003d abc / p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2) όπου p είναι η μισή περίμετρο. a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. Για το σωστό είναι απλούστερο: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Για τα πολύγωνα, δεν είναι πάντοτε δυνατό να ανακαλυφθεί ο λόγος των ακτίνων των εγγεγραμμένων και των μηκών των πλευρών τους. Πιο συχνά περιορίζεται στην κατασκευή τέτοιων κύκλων γύρω από το πολύγωνο, και στη συνέχεια φυσική ακτίνα  κύκλους με τη χρήση οργάνων μέτρησης ή διανυσματικού χώρου.
Για να κατασκευάσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο ενός κυρτού πολυγώνου, κατασκευάζονται διχοτομητές των δύο γωνιών του, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη διασταύρωση τους. Η ακτίνα θα είναι η απόσταση από το σημείο τομής των διχοτόμων μέχρι την κορυφή οποιασδήποτε γωνίας του πολυγώνου. Το κέντρο του εγγεγραμμένου στη διασταύρωση των καθέτων που κτίστηκαν προς τα μέσα από το πολύγωνο από τα κέντρα των πλευρών (αυτές οι κάθετες είναι οι μεσαίες). Αρκεί να κατασκευάσουμε δύο τέτοιες κάθετες. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι η απόσταση από το σημείο τομής των μέσων κάθετων προς την πλευρά του πολυγώνου.

Σχετικά βίντεο

Δώστε προσοχή

Ένας κύκλος δεν μπορεί να εγγραφεί σε ένα αυθαίρετο πολύγωνο και μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του.

Χρήσιμες συμβουλές

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τετράγωνο εάν a + c \u003d b + d, όπου a, b, c, d είναι οι πλευρές του τετραγώνου. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο αν οι αντίθετες γωνίες του προστεθούν μέχρι 180 μοίρες.

Για ένα τρίγωνο, αυτοί οι κύκλοι υπάρχουν πάντα.

Συμβουλή 4: Βρείτε την περιοχή τριγώνου σε τρεις πλευρές

Η εύρεση της περιοχής ενός τριγώνου είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα καθήκοντα της σχολικής πλασιμετρίας. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου αρκεί για να προσδιορίσει την περιοχή οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις και ισόπλευρα τρίγωνα, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη δύο και μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• πλευρικά μήκη τρίγωνων, τύπος του Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Εγχειρίδιο οδηγιών

Ο τύπος Heron για την περιοχή ενός τριγώνου έχει ως εξής: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Εάν βγάζουμε την ημιπεριμετρική p, παίρνουμε: S \u003d sqrt ((a + b + c) / 2) (b + ca) / 2) (a + cb) ) \u003d (sqrt ((a + b + γ) (a + bc) (a + cb) (b + ca)) / 4.

Μπορούμε να αντλήσουμε μια φόρμουλα για την περιοχή ενός τριγώνου και για λόγους, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα του συνημίτονου.

Με το θεώρημα συνημιτόνου, AC ^ 2 \u003d (ΑΒ ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Χρησιμοποιώντας την εισαγόμενη σημείωση, αυτές μπορούν επίσης να έχουν τη μορφή: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Συνεπώς, το cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)

Η περιοχή του τριγώνου βρίσκεται επίσης από τον τύπο S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 μέσω δύο πλευρών και η γωνία μεταξύ τους. Το ελαστικό της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί μέσω της βασικής τριγωνομετρικής ταυτότητας: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - (cos (ABC)) ^ 2) ABC.

Σχετικά βίντεο

Τα τρία σημεία που ορίζουν με μοναδικό τρόπο ένα τρίγωνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες των συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε τυχόν παραμέτρους αυτού του επίπεδου αριθμού, περιλαμβανομένης της περιμέτρου τους περιοχή. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γίνει αυτό.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Χρησιμοποιήστε τον τύπο Heron για να υπολογίσετε την περιοχή το τρίγωνο. Οι διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος συμμετέχουν σε αυτό, οπότε ξεκινήστε τον υπολογισμό με. Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών του στους άξονες των συντεταγμένων. Αν προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες Α (Χ1, Υ1, Ζ1), Β (Χ2, Υ2, Ζ2) και C (Χ3, Υ3, Ζ3), τα μήκη των πλευρών τους εκφράζονται ως εξής: ΑΒ \u003d (Υ2-Χ3) 2 + (Υ2-Υ3) 2 + (Z2-Z3) 2, AC \u003d √ (X1-X3) (Υ1-Υ3) 2 + (Ζ1-Ζ3) 2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε τη βοηθητική μεταβλητή - μισή περίμετρο (P). Επειδή αυτό είναι το μισό άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2) ² + (Y1-Y2) ((X2-X3) 2 + (Y2-Y3) 2 + (Z2-Z3) 2) + √ ((X1-X3) 2 + (Y1-Y3) 2 + Z1-Z3).

Υπολογίστε περιοχή  (S) σύμφωνα με τον τύπο του Heron - παίρνουν τη ρίζα από το προϊόν της μισής περιμέτρου με τη διαφορά μεταξύ αυτού και του μήκους κάθε πλευράς. Σε γενικές γραμμές μπορεί να γραφεί ως εξής: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ Y2-Y3) 2 + (Z2-Z3) 2)) * (P-√ ((X2-X3) -X3) 2 + (Y1-Y3) 2 + (Z1-Z3) 2)).

Για πρακτικούς υπολογισμούς, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε εξειδικευμένους υπολογιστές. Αυτά είναι σενάρια που βρίσκονται στους διακομιστές ορισμένων ιστότοπων που θα κάνουν όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς με βάση τις συντεταγμένες που καταχωρίσατε στην κατάλληλη φόρμα. Η μόνη υπηρεσία είναι ότι δεν παρέχει εξηγήσεις και δικαιολογίες για κάθε βήμα του υπολογισμού. Επομένως, εάν ενδιαφέρεστε μόνο για το τελικό αποτέλεσμα και όχι για γενικούς υπολογισμούς, μεταβείτε, για παράδειγμα, στη σελίδα http://planetcalc.ru/218/.

Στα πεδία φόρμας, εισάγετε κάθε συντεταγμένη κάθε κορυφής το τρίγωνο  - είναι εδώ όπως το Ax, Ay, Az, κλπ. Εάν το τρίγωνο προσδιορίζεται από δισδιάστατες συντεταγμένες, στα πεδία - Az, Bz και Cz - γράψτε μηδέν. Στο πεδίο "Ακρίβεια υπολογισμού", ορίστε τον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών θέσεων κάνοντας κλικ στο ποντίκι συν ή μείον. Δεν είναι απαραίτητο να κάνετε κλικ στο πορτοκαλί κουμπί "Υπολογισμός" που βρίσκεται κάτω από τη φόρμα, οι υπολογισμοί θα εκτελεστούν χωρίς αυτό. Θα βρείτε την απάντηση δίπλα στο "Square" το τρίγωνο"- βρίσκεται ακριβώς κάτω από το πορτοκαλί κουμπί.

Πηγές:

• βρείτε την περιοχή ενός τριγώνου με κορυφές στα σημεία

Μερικές φορές, γύρω από ένα κυρτό πολύγωνο, μπορείτε να σχεδιάσετε με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές όλων των γωνιών να βρίσκονται σε αυτό. Ένας τέτοιος κύκλος σε σχέση με το πολύγωνο πρέπει να καλείται περιγραφόμενος. Της κέντρο  δεν χρειάζεται να βρίσκεται μέσα στην περίμετρο του εγγεγραμμένου σχήματος, αλλά χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες που περιγράφονται περιφέρεια, η εύρεση αυτού του σημείου δεν είναι συνήθως πολύ δύσκολη.

Θα χρειαστείτε

• Χάρακας, μολύβι, μοιρογνωμόνιο ή τετράγωνο, πυξίδα.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Εάν το πολύγωνο γύρω από το οποίο θέλετε να περιγράψετε τον κύκλο, αναγράφεται σε χαρτί για να το βρείτε κέντροκαι ένας κύκλος με έναν κυβερνήτη, ένα μολύβι και ένα μοιρογνωμόνιο ή ένα τετράγωνο είναι αρκετό. Μετρήστε το μήκος κάθε πλευράς του σχήματος, καθορίστε τη μέση του και τοποθετήστε ένα βοηθητικό σημείο σε αυτό το σημείο του σχεδίου. Χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο ή ένα μοιρογνωμόνιο, σχεδιάστε μια γραμμή κάθετη προς αυτή την πλευρά μέσα στο πολύγωνο μέχρι να διασταυρωθεί με την αντίθετη πλευρά.

Κάνετε την ίδια λειτουργία με οποιαδήποτε άλλη πλευρά του πολυγώνου. Η τομή των δύο κατασκευασμένων τμημάτων θα είναι το επιθυμητό σημείο. Αυτό προκύπτει από την κύρια ιδιότητα που περιγράφεται περιφέρεια  - της κέντρο  σε ένα κυρτό πολύγωνο από οποιαδήποτε πλευρά βρίσκεται πάντα στη διασταύρωση των μέσων κάθετων προς αυτά