Η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό. Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου

  Στόχοι μαθήματος:

• Για να εμβαθύνουμε τη γνώση στο θέμα "Circumference in triangles"

Στόχοι μαθήματος:

• Συστηματοποιήστε τη γνώση σχετικά με αυτό το θέμα
• Προετοιμαστείτε για την επίλυση προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας.

  Σχέδιο μαθήματος:

1. Εισαγωγή
2. Το θεωρητικό μέρος.
3. Για το τρίγωνο.
4. Το πρακτικό μέρος.

Εισαγωγή

Το θέμα "Οι εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι σε τρίγωνα" είναι ένα από τα πιο δύσκολα στην πορεία της γεωμετρίας. Στα μαθήματα δίνεται πολύ λίγος χρόνος.

Τα γεωμετρικά καθήκοντα αυτού του θέματος περιλαμβάνονται στο δεύτερο μέρος της εξεταστικής εργασίας για το γυμνάσιο.
Η επιτυχής ολοκλήρωση αυτών των εργασιών απαιτεί στέρεες γνώσεις βασικών γεωμετρικών γεγονότων και κάποια εμπειρία στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Το θεωρητικό μέρος.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου   - ένας κύκλος που περιέχει όλες τις κορυφές του πολυγώνου. Το κέντρο είναι το σημείο (συνήθως σημειώνεται με το Ο) της τομής των μέσων κατακορύφων με τις πλευρές του πολυγώνου.

Ιδιότητες

Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κυρτού n-gon βρίσκεται στην τομή των μέσων κάθετων προς τις πλευρές του. Ως αποτέλεσμα: αν περιγράφεται ένας κύκλος πλησίον του n-gon, τότε όλες οι μεσαίες κάθετες προς τις πλευρές του τέμνονται σε ένα σημείο (το κέντρο του κύκλου).
Περίπου κάθε κανονικό πολύγωνο, μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος.

Για το τρίγωνο.

Ένας κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο αν περάσει από όλες τις κορυφές του.

Γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο μόνο ένα. Το κέντρο του θα είναι το σημείο τομής των μέσων κατακορύφων.

Σε ένα ορθογωνικό τρίγωνο, βρίσκεται το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου μέσα, σε αμβλεία - έξω από το τρίγωνο, για ένα ορθογώνιο - στη μέση της υποτείνουσας.

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου μπορεί να βρεθεί με τους τύπους:

Πού:
α, β, γ   - πλευρές του τριγώνου,
α   - γωνία που βρίσκεται στην πλευρά a,
S   είναι η περιοχή του τριγώνου.

Αποδείξτε:

t.O - το σημείο τομής των μέσων κάθετων προς τις πλευρές ΔABC

Απόδειξη:

1. ΔΑΟC - ισοσκελές, επειδή OA \u003d OS (ως ακτίνες)
2. ΔΑΟC - ισοσκελές, κατακόρυφη διάμετρος OD και ύψος, δηλ. Το T.O βρίσκεται στο μέσο κάθετο προς την πλευρά του ηχείου
3. Αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο που το Τ.Ο βρίσκεται στις μεσαίες κάθετες στις πλευρές του ΑΒ και του Β

Ποια έπρεπε να αποδείξει.

Παρατήρηση.

Μια ευθεία που διέρχεται από τη μέση ενός τμήματος κάθετου σε αυτό συχνά ονομάζεται μεσαία κάθετη. Από αυτή την άποψη, λέγεται μερικές φορές ότι το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο βρίσκεται στη διατομή των μέσων κάθετων προς τις πλευρές του τριγώνου.

  Θέματα\u003e Μαθηματικά\u003e Μαθηματικά Βαθμού 7

Επίπεδο εισόδου

Ο περιγεγραμμένος κύκλος. Οπτικός οδηγός (2019)

Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει: περιγράφεται - γύρω από τι;

Λοιπόν, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για τον κύκλο που περιγράφεται γύρω (μερικές φορές λένε επίσης "για") το τρίγωνο. Τι είναι αυτό;

Και τώρα, φανταστείτε ένα καταπληκτικό γεγονός:

Γιατί είναι αυτό το γεγονός εκπληκτικό;

Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!

Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει μέσω και των τριών κορυφών, δηλαδή τον περιγεγραμμένο κύκλο.

Μπορείτε να βρείτε μια απόδειξη αυτού του εκπληκτικού γεγονότος στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε δεν υπάρχει πια κύκλος που περνά μέσα από τέσσερις κορυφές. Ας πούμε, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!

Και υπάρχει μόνο για το ορθογώνιο:

Καλά εδώ και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο!   Και ακόμα είναι πάντα πολύ απλό να βρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου.

Ξέρετε τι είναι μεσαία κάθετα?

Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει αν κοιτάξουμε τρεις ολόκληρες μεσαίες κάθετες στις πλευρές του τριγώνου.

Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα) αυτό   Και οι τρεις κάθετες μορφές τέμνονται σε ένα σημείο.   Κοιτάξτε το σχήμα - και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!

Αλλά αν   οξεία-γωνία, τότε - μέσα:

Τι να κάνετε με ένα σωστό τρίγωνο;

Ναι, με ένα επιπλέον μπόνους:

Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του οριοθετημένου κύκλου: τι είναι ίσο με ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει μια απάντηση σε αυτή την ερώτηση: το λεγόμενο.

Δηλαδή:

Καλά και φυσικά

1. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Τότε τίθεται το ερώτημα: Υπάρχει ένας τέτοιος κύκλος για οποιοδήποτε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Επιπλέον, θα διαμορφώσουμε τώρα ένα θεώρημα που θα απαντά και στο ερώτημα που βρίσκεται το κέντρο του περιγραφέντος κύκλου.

Μοιάζει με αυτό:

Ας πάρουμε το θάρρος και να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Εάν διαβάσατε ήδη το θέμα "", καταλαβαίνετε γιατί τρία διαχωριστικά τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι ευκολότερο για σας, αλλά αν δεν το διαβάσετε, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.

Η απόδειξη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την έννοια ενός γεωμετρικού τόπου των σημείων (ТТТ).

Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι πολλές μπάλες ένα "γεωμετρικό μέρος" για στρογγυλά αντικείμενα; Όχι, φυσικά, επειδή υπάρχουν γύροι ... καρπούζια. Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι, "γεωμετρικοί τόποι" που μπορούν να μιλήσουν; Όχι, επειδή υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, γενικά, είναι δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα ενός πραγματικού "γεωμετρικού τόπου των σημείων". Στη γεωμετρία είναι πιο εύκολο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:

Εδώ το σετ είναι το μέσο κάθετο και η ιδιότητα "" είναι ισόπονη (σημείο) από τα άκρα του τμήματος. "

Ελέγξτε το; Έτσι, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:

1. Οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται σε ίσες αποστάσεις από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στο μέσο κάθετο προς αυτό.

Συνδέστε με και C. Στη συνέχεια, η γραμμή είναι η διάμεση και το ύψος στο. Έτσι, - ισοσκελές - βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στο μέσο κάθετο είναι εξίσου απομακρυσμένο από τα σημεία και.

Πάρτε τη μέση και συνδέστε και. Το αποτέλεσμα ήταν διάμεσος. Αλλά - σύμφωνα με την προϋπόθεση, isosceles όχι μόνο το διάμεσο, αλλά και το ύψος, δηλαδή, το μέσο κάθετο. Έτσι, το σημείο - ακριβώς βρίσκεται στο μέσο κάθετο.

Αυτό είναι όλο! Έλεγξε πλήρως το γεγονός ότι η μέση κάθετη προς το τμήμα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν εξίσου από τα άκρα του τμήματος.

Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον οριοθετημένο κύκλο; Καθόλου, μόλις ετοιμάσαμε για τον εαυτό μας ένα "εφαλτήριο για μια επίθεση".

Εξετάστε το τρίγωνο. Σχεδιάστε δύο μεσαία κάθετα και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα τέμνονται σε κάποιο σημείο που θα καλέσουμε.

Και τώρα, προσοχή!

Το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  Και αυτό σημαίνει, και.

Από εδώ πολλά πράγματα ακολουθούν αμέσως:

Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη μεσαία κάθετο προς το τμήμα.

Δηλαδή, η μέση κάθετη απαιτείται επίσης να περάσει από το σημείο, και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερον, αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα, τότε αυτός ο κύκλος θα περάσει επίσης από το σημείο και μέσα από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Έτσι, υπάρχει ήδη ότι η τομή των τριών μέσων κατακορύφων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Και το τελευταίο: για μοναδικότητα. Είναι σαφές (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να επιτευχθεί με ένα μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι επίσης μοναδικός. Λοιπόν, "σχεδόν" - ας το αφήσουμε για να σκεφτείτε. Αυτό απέδειξε το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!".

Και αν το πρόβλημα είναι "βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου"; Ή αντίστροφα, η ακτίνα δίνεται, αλλά είναι απαραίτητο να βρούμε κάτι άλλο; Υπάρχει ένας τύπος που συνδέει την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου με άλλα στοιχεία του τριγώνου;

Δώστε προσοχή: το ίδιο το θεωρεί αυτό για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μία πλευρά (οποιαδήποτε!) και την αντίθετη γωνία. Και αυτό είναι!

3. Το κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω

Και τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο.
  Απάντηση: όσο μπορεί. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.

Και σε γενικές γραμμές:

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Ο κύκλος που περιγράφεται κοντά στο τρίγωνο

Αυτός είναι ο κύκλος που περνάει και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.

2. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάσετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ δροσεροί.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κυριαρχήσει κάτι από μόνοι τους. Και αν διαβάσετε μέχρι το τέλος, τότε μπήκατε σε αυτά τα 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό πράγμα.

Σκέφτηκες μια θεωρία σχετικά με αυτό το θέμα. Και πάλι, αυτό ... είναι απλά super! Είστε ήδη καλύτεροι από τη μεγάλη πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό ...

Γιατί;

Για την επιτυχή διεξαγωγή των εξετάσεων, για την είσοδο στο ινστιτούτο στον προϋπολογισμό και, ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σας πείσω για τίποτα, απλά να πω ένα πράγμα ...

Οι άνθρωποι που λαμβάνουν καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έκαναν. Πρόκειται για στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι πιο ευτυχισμένοι (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω ...

Αλλά, σκεφτείτε μόνοι σας ...

Τι χρειάζεστε για να είστε σίγουρα καλύτεροι από τους άλλους στη ΧΡΗΣΗ και τελικά να είστε πιο ευτυχισμένοι;

ΠΕΡΙΕΧΟΥΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΤΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στην εξέταση δεν θα σας ζητηθεί μια θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση των προβλημάτων εγκαίρως.

Και αν δεν τα λύσατε (ΠΟΛΛΑ!), Θα είστε σίγουροι ότι θα κάνατε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι σαν στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε όπου θέλετε τη συλλογή, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερή ανάλυση   και να αποφασίσει, να αποφασίσει, να αποφασίσει!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα καθήκοντά μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τα συστήνουμε.

Για να γεμίσετε το χέρι σας με τη βοήθεια των καθηκόντων μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του βιβλίου YouClever που διαβάζετε τώρα.

Πώς; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε
2. Ανοικτή πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του εγχειριδίου - 499 τρίψτε

Ναι, έχουμε 99 άρθρα στο εγχειρίδιο και μπορείτε να ανοίξετε αμέσως πρόσβαση σε όλα τα καθήκοντα και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά.

Η πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες παρέχεται για ΟΛΑ την ύπαρξη του ιστότοπου.

Και τελικά ...

Εάν δεν σας αρέσουν τα καθήκοντά μας, βρείτε άλλους. Απλά μην σταματήσετε τη θεωρία.

Οι "κατανοητές" και "μπορώ να αποφασίσω" είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεστε και τα δύο.

Βρείτε εργασίες και λύστε!

Μια ακτίνα είναι μια γραμμή που συνδέει οποιοδήποτε σημείο σε έναν κύκλο με το κέντρο του. Αυτό είναι ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του αριθμού αυτού, αφού στη βάση του μπορούν να υπολογιστούν όλες οι άλλες παράμετροι. Εάν γνωρίζετε πώς μπορείτε να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, τότε μπορείτε να υπολογίσετε τη διάμετρο, το μήκος και την περιοχή. Στην περίπτωση που αυτή η εικόνα είναι εγγεγραμμένη ή περιγραφεί γύρω από μια άλλη, τότε μπορεί να επιλυθεί μια ολόκληρη σειρά καθηκόντων. Σήμερα θα αναλύσουμε τους βασικούς τύπους και τα χαρακτηριστικά της εφαρμογής τους.

Γνωστές τιμές

Εάν γνωρίζετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, που συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα R, τότε μπορεί να υπολογιστεί από ένα χαρακτηριστικό. Αυτές οι τιμές περιλαμβάνουν:

• περιφέρεια (C).
• διάμετρος (D) - ένα τμήμα (ή μάλλον μια χορδή) που διέρχεται από ένα κεντρικό σημείο.
• περιοχή (S) - χώρος που περιορίζεται από αυτό το σχήμα.

Περιφέρεια

Εάν η τιμή του C είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε R \u003d C / (2 * P). Αυτός ο τύπος είναι παράγωγος. Εάν γνωρίζουμε ποια είναι η περιφέρεια, τότε δεν χρειάζεται πλέον να θυμόμαστε. Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα C \u003d 20 μ. Πώς να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου σε αυτή την περίπτωση; Απλώς αντικαταστήστε τη γνωστή τιμή στον παραπάνω τύπο. Σημειώστε ότι σε τέτοια προβλήματα η γνώση του αριθμού P. είναι πάντοτε συνεπαγόμενη.Για την ευκολία των υπολογισμών, παίρνουμε την τιμή της ως 3.14. Η λύση στην περίπτωση αυτή είναι η εξής: να γράψετε τι ποσότητες δίδονται, να αντλήσετε τον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς. Στην απάντηση γράφουμε ότι η ακτίνα είναι 20 / (2 * 3.14) \u003d 3.19 μ. Είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε τι μετρήσαμε και να αναφέρουμε το όνομα των μονάδων.

Σε διάμετρο

Τονίζουμε αμέσως ότι αυτό είναι το απλούστερο είδος προβλήματος που ρωτά πώς να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου. Εάν ένα τέτοιο παράδειγμα συναντά τον εαυτό σας στον έλεγχο, τότε μπορείτε να είστε ήρεμοι. Δεν χρειάζεστε ούτε μια αριθμομηχανή! Όπως έχουμε ήδη πει, η διάμετρος είναι ένα τμήμα ή, πιο σωστά, μια χορδή που περνάει από το κέντρο. Επιπλέον, όλα τα σημεία του κύκλου είναι ισοδύναμα. Επομένως, αυτή η χορδή αποτελείται από δύο μισά. Κάθε μία από αυτές είναι μια ακτίνα, η οποία προκύπτει από τον ορισμό της ως τμήμα που συνδέει ένα σημείο σε έναν κύκλο και το κέντρο του. Εάν η διάμετρος είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε για να βρείτε την ακτίνα απλά πρέπει να διαιρέσετε αυτήν την τιμή σε δύο. Ο τύπος είναι ως εξής: R \u003d D / 2. Για παράδειγμα, αν η διάμετρος στο πρόβλημα είναι 10 μέτρα, τότε η ακτίνα είναι 5 μέτρα.

Ανά περιοχή ενός κύκλου

Αυτός ο τύπος εργασίας συνήθως ονομάζεται πιο δύσκολος. Αυτό οφείλεται κυρίως στην άγνοια του τύπου. Εάν γνωρίζετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου στην περίπτωση αυτή, τότε το υπόλοιπο είναι ζήτημα τεχνολογίας. Στην αριθμομηχανή, πρέπει μόνο να βρείτε το εικονίδιο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας εκ των προτέρων. Η περιοχή ενός κύκλου είναι το προϊόν του αριθμού Ρ και η ακτίνα πολλαπλασιάζεται από μόνη της. Ο τύπος έχει ως εξής: S \u003d P * R2. Με την απομόνωση της ακτίνας από τη μια πλευρά της εξίσωσης, μπορείτε εύκολα να λύσετε το πρόβλημα. Θα είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου της διαίρεσης της περιοχής με τον αριθμό P. Εάν S \u003d 10 m τότε R \u003d 1,78 μέτρα. Όπως και στις προηγούμενες εργασίες, είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε τις μονάδες που χρησιμοποιούνται.

Πώς να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Υποθέστε ότι a, b, c είναι πλευρές ενός τριγώνου. Εάν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει πρώτα να βρείτε το ημιπερατόμετρο του τριγώνου. Για να γίνει ευκολότερο να αντιληφθεί κανείς, το υποδηλώνουμε με το μικρό γράμμα p. Θα ισούται με το ήμισυ του ποσού των μερών. Ο τύπος του: p \u003d (a + b + c) / 2.

Υπολογίζουμε επίσης το προϊόν των μηκών των πλευρών. Για λόγους ευκολίας, το δηλώνουμε με το γράμμα S. Ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου θα φαίνεται ως εξής: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Εξετάστε ένα παράδειγμα εργασίας. Έχουμε έναν κύκλο περιγεγραμμένο γύρω από ένα τρίγωνο. Τα μήκη των πλευρών του είναι 5, 6 και 7 cm. Αρχικά, υπολογίζουμε την μισή περίμετρο. Στο καθήκον μας, θα είναι ίσο με 9 εκατοστά. Τώρα υπολογίζουμε το προϊόν των μηκών των πλευρών - 210. Αντικαθιστάμε τα αποτελέσματα των ενδιάμεσων υπολογισμών στον τύπο και ανακαλύπτουμε το αποτέλεσμα. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι 3,57 εκατοστά. Γράφουμε την απάντηση, χωρίς να ξεχνάμε τις μονάδες μέτρησης.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου

Υποθέστε ότι a, b, c είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου. Αν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Πρώτα πρέπει να βρείτε την μισή περίμετρο του. Για να διευκολύνουμε την κατανόηση, το δηλώνουμε με το μικρό γράμμα p. Ο τύπος για τον υπολογισμό του είναι ως εξής: p \u003d (a + b + c) / 2. Αυτός ο τύπος εργασίας είναι κάπως απλούστερος από τον προηγούμενο, οπότε δεν απαιτούνται περαιτέρω ενδιάμεσοι υπολογισμοί.

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Σκεφτείτε το με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα περιγράφεται ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 7 και 10 cm. Ένας κύκλος του οποίου βρίσκεται η ακτίνα είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Αρχικά βρίσκουμε την μισή περίμετρο. Στο πρόβλημά μας, θα είναι ίσο με 11 cm. Τώρα το αντικαθιστούμε στον κύριο τύπο. Η ακτίνα θα είναι ίση με 1,65 εκατοστά. Γράφουμε την απάντηση και μην ξεχάσουμε τις σωστές μονάδες μέτρησης.

Κύκλος και τις ιδιότητές του

Κάθε γεωμετρικός αριθμός έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Από την αντίληψή τους εξαρτάται η σωστή λύση στα προβλήματα. Υπάρχουν επίσης κύκλοι. Συχνά χρησιμοποιούνται για την επίλυση παραδειγμάτων με περιγραφόμενα ή χαραγμένα στοιχεία, δεδομένου ότι δίνουν μια σαφή εικόνα μιας τέτοιας κατάστασης. Μεταξύ αυτών είναι:

• Μια γραμμή μπορεί να έχει μηδέν, ένα ή δύο σημεία τομής με έναν κύκλο. Στην πρώτη περίπτωση, δεν έρχεται σε επαφή με αυτό, στη δεύτερη είναι εφαπτόμενη, στην τρίτη είναι διακεκομμένη.
• Αν πάρουμε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, τότε μόνο ένας κύκλος μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτά.
• Μια ευθεία γραμμή μπορεί να είναι εφαπτόμενη σε δύο αριθμούς ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση, θα περάσει από το σημείο που βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει τα κέντρα των κύκλων. Το μήκος του είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων αυτών.
• Ένας άπειρος αριθμός κύκλων μπορεί να τραβηχτεί μέσω ενός ή δύο σημείων.

Θα χρειαστείτε

• Τρίγωνο με προκαθορισμένες παραμέτρους
• Πυξίδα
• Χάρακας
• Πλατεία
• Πίνακας ιχνών και κοσκινισμών
• Μαθηματικές έννοιες
• Προσδιορισμός του ύψους ενός τριγώνου
• Φόρμουλα sines και cosines
• Τρισδιάστατη πλατεία Formula

Εγχειρίδιο οδηγιών

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο με τις επιθυμητές παραμέτρους. Ένα τρίγωνο είναι είτε σε τρεις πλευρές, είτε σε δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους, ή στην πλευρά και δύο γωνίες δίπλα του. Καθορίστε τις κορυφές του τριγώνου ως Α, Β και Γ, τις γωνίες ως α, β και γ και τις αντίθετες πλευρές των κορυφών με τη γωνία της πλευράς ως a, b και c.

Σύρετε προς όλες τις πλευρές του τριγώνου και βρείτε το σημείο τομής. Σημειώστε τα ύψη ως h με τους αντίστοιχους πλευρικούς δείκτες. Βρείτε το σημείο της διασταύρωσης τους και ορίστε το O. Θα είναι το κέντρο του κύκλου. Έτσι, οι ακτίνες αυτού του κύκλου θα είναι τα τμήματα OA, OB και OS.

Η ακτίνα βρίσκεται από δύο τύπους. Για ένα, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε. Είναι ίσο με όλες τις πλευρές του τριγώνου από το ημίτονο οποιασδήποτε από τις γωνίες διαιρείται με 2.

Στην περίπτωση αυτή, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου υπολογίζεται από τον τύπο

Για το άλλο, αρκεί το μήκος μιας από τις πλευρές και το ημίτονο της αντίθετης γωνίας.

Υπολογίστε την ακτίνα και περιγράψτε τον κύκλο τριγώνου.

Χρήσιμες συμβουλές

Θυμηθείτε ποιο είναι το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι ένα κάθετο που τραβιέται από τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά.

Η περιοχή του τριγώνου μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως το προϊόν του τετραγώνου μιας πλευράς και των δυο γειτονικών γωνιών, διαιρούμενο με το διπλασιασμένο ημίτονο του αθροίσματος αυτών των γωνιών.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

Πηγές:

• τραπέζι με τις ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου
• Η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται κοντά στο ισόπλευρο

Θεωρείται ότι περιβάλλεται γύρω από ένα πολύγωνο εάν αγγίζει όλες τις κορυφές του. Αυτό που αξίζει να σημειωθεί είναι το κέντρο μιας παρόμοιας κύκλους   συμπίπτει με το σημείο τομής των καθέτων που προέρχονται από τα μεσαία σημεία των πλευρών του πολυγώνου. Ακτίνα   περιγράφεται κύκλους   εξαρτάται εντελώς από το πολύγωνο γύρω από το οποίο περιγράφεται.

Θα χρειαστείτε

• Γνωρίστε τις πλευρές του πολυγώνου, την περιοχή / περίμετρο του.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Δώστε προσοχή

Ένας κύκλος γύρω από ένα πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί μόνο εάν είναι κανονικός, δηλ. όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του είναι ίσες.
Η διατριβή ότι το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το πολύγωνο είναι η τομή των μεσαίων κάθετων του, ισχύει για όλα τα κανονικά πολύγωνα.

Πηγές:

• πώς να βρείτε την ακτίνα ενός πολυγώνου

Εάν είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο για το πολύγωνο, τότε η περιοχή αυτού του πολυγώνου είναι μικρότερη από την περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου, αλλά μεγαλύτερη από την περιοχή του εγγεγραμμένου κύκλου. Για μερικά πολύγωνα, τύποι για εύρεση ακτίνα   εγγεγραμμένους και κυκλικούς κύκλους.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο αγγίζει όλες τις πλευρές του πολυγώνου. Για τρίγωνο ακτίνα   κύκλοι: r \u003d (p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, όπου p είναι η μισή περίμετρος. a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. Για τον τύπο απλοποιείται: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), και - η πλευρά του τριγώνου.

Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα πολύγωνο ονομάζεται κύκλο στον οποίο βρίσκονται όλες οι κορυφές του πολυγώνου. Για ένα τρίγωνο, η ακτίνα ανευρίσκεται από τον τύπο: R \u003d abc / p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2) όπου p είναι η μισή περίμετρο. a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. Για το σωστό είναι απλούστερο: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Για τα πολύγωνα, δεν είναι πάντοτε δυνατό να ανακαλυφθεί ο λόγος των ακτίνων των εγγεγραμμένων και των μηκών των πλευρών τους. Πιο συχνά περιορίζεται στην κατασκευή τέτοιων κύκλων γύρω από το πολύγωνο, και στη συνέχεια φυσική ακτίνα   κύκλους με όργανα μέτρησης ή χώρο διανυσμάτων.
Για να κατασκευάσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο ενός κυρτού πολυγώνου, κατασκευάζονται διχοτομητές των δύο γωνιών του, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη διασταύρωση τους. Η ακτίνα θα είναι η απόσταση από το σημείο τομής των διχοτόμων μέχρι την κορυφή οποιασδήποτε γωνίας του πολυγώνου. Το κέντρο του εγγεγραμμένου στη διασταύρωση των καθέτων που κτίστηκαν προς τα μέσα από το πολύγωνο από τα κέντρα των πλευρών (αυτές οι κάθετες είναι οι μεσαίες). Αρκεί να κατασκευάσουμε δύο τέτοιες κάθετες. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι η απόσταση από το σημείο τομής των μέσων κάθετων προς την πλευρά του πολυγώνου.

Σχετικά βίντεο

Δώστε προσοχή

Ένας κύκλος δεν μπορεί να εγγραφεί σε ένα αυθαίρετο πολύγωνο και μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του.

Χρήσιμες συμβουλές

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τετράγωνο εάν a + c \u003d b + d, όπου a, b, c, d είναι οι πλευρές του τετραγώνου. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο αν οι αντίθετες γωνίες του προστεθούν μέχρι 180 μοίρες.

Για ένα τρίγωνο, αυτοί οι κύκλοι υπάρχουν πάντα.

Συμβουλή 4: Βρείτε την περιοχή τριγώνου σε τρεις πλευρές

Η εύρεση της περιοχής ενός τριγώνου είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα καθήκοντα της σχολικής πλασιμετρίας. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου αρκεί για να προσδιορίσει την περιοχή οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις και ισόπλευρα τρίγωνα, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη δύο και μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• πλευρικά μήκη τρίγωνων, τύπος του Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Εγχειρίδιο οδηγιών

Ο τύπος Heron για την περιοχή ενός τριγώνου έχει ως εξής: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Εάν βγάζουμε την ημιπεριμετρική p, παίρνουμε: S \u003d sqrt ((a + b + c) / 2) (b + ca) / 2) (a + cb) ) \u003d (sqrt ((a + b + γ) (a + bc) (a + cb) (b + ca)) / 4.

Μπορούμε να αντλήσουμε μια φόρμουλα για την περιοχή ενός τριγώνου και για λόγους, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα του συνημίτονου.

Με το θεώρημα συνημιτόνου, AC ^ 2 \u003d (ΑΒ ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Με τη χρήση της εισαγόμενης συμβολής, αυτές μπορούν επίσης να έχουν τη μορφή: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Συνεπώς, το cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)

Η περιοχή του τριγώνου βρίσκεται επίσης από τον τύπο S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 μέσω δύο πλευρών και η γωνία μεταξύ τους. Το ελαστικό της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί μέσω της βασικής τριγωνομετρικής ταυτότητας: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - (cos (ABC)) ^ 2) ABC.

Σχετικά βίντεο

Τα τρία σημεία που ορίζουν με μοναδικό τρόπο ένα τρίγωνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες των συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε τυχόν παραμέτρους αυτού του επίπεδου αριθμού, περιλαμβανομένης της περιμέτρου τους περιοχή. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γίνει αυτό.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Χρησιμοποιήστε τον τύπο Heron για να υπολογίσετε την περιοχή το τρίγωνο. Οι διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος συμμετέχουν σε αυτό, οπότε ξεκινήστε τον υπολογισμό με. Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών του στους άξονες των συντεταγμένων. Αν προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες A (X1, Y1, Z1), B (X2, Y2, Z2) και C (X3, Y3, Z3), τα μήκη των πλευρών τους εκφράζονται ως εξής: AB \u003d √ (X1-X2) (Υ2-Χ3) 2 + (Υ2-Υ3) 2 + (Z2-Z3) 2, AC \u003d √ (X1-X3) (Υ1-Υ3) 2 + (Ζ1-Ζ3) 2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε τη βοηθητική μεταβλητή - μισή περίμετρο (P). Επειδή αυτό είναι το μισό άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2) ² + (Y1-Y2) ((X2-X3) 2 + (Y2-Y3) 2 + (Z2-Z3) 2) + √ ((X1-X3) 2 + (Y1-Y3) 2 + Z1-Z3).

Υπολογίστε περιοχή   (S) σύμφωνα με τον τύπο του Heron - παίρνουν τη ρίζα από το προϊόν της μισής περιμέτρου με τη διαφορά μεταξύ αυτού και του μήκους κάθε πλευράς. Σε γενικές γραμμές μπορεί να γραφεί ως εξής: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ Y2-Y3) 2 + (Z2-Z3) 2)) * (P-√ ((X2-X3) -X3) 2 + (Y1-Y3) 2 + (Z1-Z3) 2)).

Για πρακτικούς υπολογισμούς, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε εξειδικευμένους υπολογιστές. Αυτά είναι σενάρια που βρίσκονται στους διακομιστές ορισμένων ιστότοπων που θα κάνουν όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς με βάση τις συντεταγμένες που καταχωρίσατε στην κατάλληλη φόρμα. Η μόνη υπηρεσία είναι ότι δεν παρέχει εξηγήσεις και δικαιολογίες για κάθε βήμα του υπολογισμού. Επομένως, εάν ενδιαφέρεστε μόνο για το τελικό αποτέλεσμα και όχι για γενικούς υπολογισμούς, μεταβείτε, για παράδειγμα, στη σελίδα http://planetcalc.ru/218/.

Στα πεδία φόρμας, εισάγετε κάθε συντεταγμένη κάθε κορυφής το τρίγωνο - είναι εδώ όπως το Ax, Ay, Az, κλπ. Εάν το τρίγωνο προσδιορίζεται από δισδιάστατες συντεταγμένες, στα πεδία - Az, Bz και Cz - γράψτε μηδέν. Στο πεδίο "Ακρίβεια υπολογισμού", ορίστε τον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών θέσεων κάνοντας κλικ στο ποντίκι συν ή μείον. Δεν είναι απαραίτητο να κάνετε κλικ στο πορτοκαλί κουμπί "Υπολογισμός" που βρίσκεται κάτω από τη φόρμα, οι υπολογισμοί θα εκτελεστούν χωρίς αυτό. Θα βρείτε την απάντηση δίπλα στο "Square" το τρίγωνο"- βρίσκεται ακριβώς κάτω από το πορτοκαλί κουμπί.

Πηγές:

• βρείτε την περιοχή ενός τριγώνου με κορυφές στα σημεία

Μερικές φορές, γύρω από ένα κυρτό πολύγωνο, μπορείτε να σχεδιάσετε με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές όλων των γωνιών να βρίσκονται σε αυτό. Ένας τέτοιος κύκλος σε σχέση με το πολύγωνο πρέπει να καλείται περιγραφόμενος. Της κέντρο   δεν χρειάζεται να βρίσκεται μέσα στην περίμετρο του εγγεγραμμένου σχήματος, αλλά χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες που περιγράφονται κύκλους, η εύρεση αυτού του σημείου δεν είναι συνήθως πολύ δύσκολη.

Θα χρειαστείτε

• Χάρακας, μολύβι, μοιρογνωμόνιο ή τετράγωνο, πυξίδα.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Εάν το πολύγωνο γύρω από το οποίο θέλετε να περιγράψετε τον κύκλο, αναγράφεται σε χαρτί για να το βρείτε κέντροκαι ένας κύκλος με έναν κυβερνήτη, ένα μολύβι και ένα μοιρογνωμόνιο ή ένα τετράγωνο είναι αρκετό. Μετρήστε το μήκος κάθε πλευράς του σχήματος, καθορίστε τη μέση του και τοποθετήστε ένα βοηθητικό σημείο σε αυτό το σημείο του σχεδίου. Χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο ή ένα μοιρογνωμόνιο, σχεδιάστε μια γραμμή κάθετη προς αυτή την πλευρά μέσα στο πολύγωνο μέχρι να διασταυρωθεί με την αντίθετη πλευρά.

Κάνετε την ίδια λειτουργία με οποιαδήποτε άλλη πλευρά του πολυγώνου. Η τομή των δύο κατασκευασμένων τμημάτων θα είναι το επιθυμητό σημείο. Αυτό προκύπτει από την κύρια ιδιότητα που περιγράφεται κύκλους   - της κέντρο   σε ένα κυρτό πολύγωνο από οποιαδήποτε πλευρά βρίσκεται πάντα στη διασταύρωση των μέσων κάθετων προς αυτά

Επίπεδο εισόδου

Ο περιγεγραμμένος κύκλος. Οπτικός οδηγός (2019)

Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει: περιγράφεται - γύρω από τι;

Λοιπόν, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για τον κύκλο που περιγράφεται γύρω (μερικές φορές λένε επίσης "για") το τρίγωνο. Τι είναι αυτό;

Και τώρα, φανταστείτε ένα καταπληκτικό γεγονός:

Γιατί είναι αυτό το γεγονός εκπληκτικό;

Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!

Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει μέσω και των τριών κορυφών, δηλαδή τον περιγεγραμμένο κύκλο.

Μπορείτε να βρείτε μια απόδειξη αυτού του εκπληκτικού γεγονότος στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε δεν υπάρχει πια κύκλος που περνά μέσα από τέσσερις κορυφές. Ας πούμε, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!

Και υπάρχει μόνο για το ορθογώνιο:

Καλά εδώ και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο!   Και ακόμα είναι πάντα πολύ απλό να βρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου.

Ξέρετε τι είναι μεσαία κάθετα?

Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει αν κοιτάξουμε τρεις ολόκληρες μεσαίες κάθετες στις πλευρές του τριγώνου.

Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα) αυτό   Και οι τρεις κάθετες μορφές τέμνονται σε ένα σημείο.   Κοιτάξτε το σχήμα - και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!

Αλλά αν   οξεία-γωνία, τότε - μέσα:

Τι να κάνετε με ένα σωστό τρίγωνο;

Ναι, με ένα επιπλέον μπόνους:

Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του οριοθετημένου κύκλου: τι είναι ίσο με ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει μια απάντηση σε αυτή την ερώτηση: το λεγόμενο.

Δηλαδή:

Καλά και φυσικά

1. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Τότε τίθεται το ερώτημα: Υπάρχει ένας τέτοιος κύκλος για οποιοδήποτε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Επιπλέον, θα διαμορφώσουμε τώρα ένα θεώρημα που θα απαντά και στο ερώτημα που βρίσκεται το κέντρο του περιγραφέντος κύκλου.

Μοιάζει με αυτό:

Ας πάρουμε το θάρρος και να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Εάν διαβάσατε ήδη το θέμα "", καταλαβαίνετε γιατί τρία διαχωριστικά τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι ευκολότερο για σας, αλλά αν δεν το διαβάσετε, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.

Η απόδειξη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την έννοια ενός γεωμετρικού τόπου των σημείων (ТТТ).

Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι πολλές μπάλες ένα "γεωμετρικό μέρος" για στρογγυλά αντικείμενα; Όχι, φυσικά, επειδή υπάρχουν γύροι ... καρπούζια. Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι, "γεωμετρικοί τόποι" που μπορούν να μιλήσουν; Όχι, επειδή υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, γενικά, είναι δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα ενός πραγματικού "γεωμετρικού τόπου των σημείων". Στη γεωμετρία είναι πιο εύκολο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:

Εδώ το σετ είναι το μέσο κάθετο και η ιδιότητα "" είναι ισόπονη (σημείο) από τα άκρα του τμήματος. "

Ελέγξτε το; Έτσι, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:

1. Οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται σε ίσες αποστάσεις από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στο μέσο κάθετο προς αυτό.

Συνδέστε με και C. Στη συνέχεια, η γραμμή είναι η διάμεση και το ύψος στο. Έτσι, - ισοσκελές - βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στο μέσο κάθετο είναι εξίσου απομακρυσμένο από τα σημεία και.

Πάρτε τη μέση και συνδέστε και. Το αποτέλεσμα ήταν διάμεσος. Αλλά - σύμφωνα με την προϋπόθεση, isosceles όχι μόνο το διάμεσο, αλλά και το ύψος, δηλαδή, το μέσο κάθετο. Έτσι, το σημείο - ακριβώς βρίσκεται στο μέσο κάθετο.

Αυτό είναι όλο! Έλεγξε πλήρως το γεγονός ότι η μέση κάθετη προς το τμήμα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν εξίσου από τα άκρα του τμήματος.

Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον οριοθετημένο κύκλο; Καθόλου, μόλις ετοιμάσαμε για τον εαυτό μας ένα "εφαλτήριο για μια επίθεση".

Εξετάστε το τρίγωνο. Σχεδιάστε δύο μεσαία κάθετα και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα τέμνονται σε κάποιο σημείο που θα καλέσουμε.

Και τώρα, προσοχή!

Το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
  Και αυτό σημαίνει, και.

Από εδώ πολλά πράγματα ακολουθούν αμέσως:

Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη μεσαία κάθετο προς το τμήμα.

Δηλαδή, η μέση κάθετη απαιτείται επίσης να περάσει από το σημείο, και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερον, αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα, τότε αυτός ο κύκλος θα περάσει επίσης από το σημείο και μέσα από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Έτσι, υπάρχει ήδη ότι η τομή των τριών μέσων κατακορύφων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Και το τελευταίο: για μοναδικότητα. Είναι σαφές (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να επιτευχθεί με ένα μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι επίσης μοναδικός. Λοιπόν, "σχεδόν" - ας το αφήσουμε για να σκεφτείτε. Αυτό απέδειξε το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!".

Και αν το πρόβλημα είναι "βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου"; Ή αντίστροφα, η ακτίνα δίνεται, αλλά είναι απαραίτητο να βρούμε κάτι άλλο; Υπάρχει ένας τύπος που συνδέει την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου με άλλα στοιχεία του τριγώνου;

Δώστε προσοχή: το ίδιο το θεωρεί αυτό για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μία πλευρά (οποιαδήποτε!) και την αντίθετη γωνία. Και αυτό είναι!

3. Το κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω

Και τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο.
  Απάντηση: όσο μπορεί. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.

Και σε γενικές γραμμές:

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Ο κύκλος που περιγράφεται κοντά στο τρίγωνο

Αυτός είναι ο κύκλος που περνάει και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.

2. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάσετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ δροσεροί.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κυριαρχήσει κάτι από μόνοι τους. Και αν διαβάσετε μέχρι το τέλος, τότε μπήκατε σε αυτά τα 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό πράγμα.

Σκέφτηκες μια θεωρία σχετικά με αυτό το θέμα. Και πάλι, αυτό ... είναι απλά super! Είστε ήδη καλύτεροι από τη μεγάλη πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό ...

Γιατί;

Για την επιτυχή διεξαγωγή των εξετάσεων, για την είσοδο στο ινστιτούτο στον προϋπολογισμό και, ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σας πείσω για τίποτα, απλά να πω ένα πράγμα ...

Οι άνθρωποι που λαμβάνουν καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έκαναν. Πρόκειται για στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι πιο ευτυχισμένοι (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω ...

Αλλά, σκεφτείτε μόνοι σας ...

Τι χρειάζεστε για να είστε σίγουρα καλύτεροι από τους άλλους στη ΧΡΗΣΗ και τελικά να είστε πιο ευτυχισμένοι;

ΠΕΡΙΕΧΟΥΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΤΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στην εξέταση δεν θα σας ζητηθεί μια θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση των προβλημάτων εγκαίρως.

Και αν δεν τα λύσατε (ΠΟΛΛΑ!), Θα είστε σίγουροι ότι θα κάνατε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι σαν στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε όπου θέλετε τη συλλογή, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερή ανάλυση   και να αποφασίσει, να αποφασίσει, να αποφασίσει!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα καθήκοντά μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τα συστήνουμε.

Για να γεμίσετε το χέρι σας με τη βοήθεια των καθηκόντων μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του βιβλίου YouClever που διαβάζετε τώρα.

Πώς; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε
2. Ανοικτή πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του εγχειριδίου - 499 τρίψτε

Ναι, έχουμε 99 άρθρα στο εγχειρίδιο και μπορείτε να ανοίξετε αμέσως πρόσβαση σε όλα τα καθήκοντα και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά.

Η πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες παρέχεται για ΟΛΑ την ύπαρξη του ιστότοπου.

Και τελικά ...

Εάν δεν σας αρέσουν τα καθήκοντά μας, βρείτε άλλους. Απλά μην σταματήσετε τη θεωρία.

Οι "κατανοητές" και "μπορώ να αποφασίσω" είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεστε και τα δύο.

Βρείτε εργασίες και λύστε!