Παράγωγο μιγαδικού κλάσματος. Παράγωγος αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες

Αν ακολουθήσετε τον ορισμό, τότε η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης Δ yστο όρισμα προσαύξηση Δ x:

Όλα δείχνουν να είναι ξεκάθαρα. Αλλά δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε, ας πούμε, την παράγωγο της συνάρτησης φά(x) = x 2 + (2x+ 3) · μι xαμαρτία x. Εάν κάνετε τα πάντα εξ ορισμού, τότε μετά από μερικές σελίδες υπολογισμών απλά θα κοιμηθείτε. Επομένως, υπάρχουν απλούστεροι και πιο αποτελεσματικοί τρόποι.

Αρχικά, σημειώνουμε ότι από όλη την ποικιλία των συναρτήσεων μπορούμε να διακρίνουμε τις λεγόμενες στοιχειώδεις συναρτήσεις. Είναι σχετικό απλές εκφράσεις, τα παράγωγα του οποίου έχουν από καιρό υπολογιστεί και αναγραφεί στον πίνακα. Τέτοιες συναρτήσεις είναι αρκετά εύκολο να θυμάστε - μαζί με τα παράγωγά τους.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι όλες αυτές που παρατίθενται παρακάτω. Οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων πρέπει να είναι γνωστές από καρδιάς. Επιπλέον, δεν είναι καθόλου δύσκολο να τα απομνημονεύσετε - γι 'αυτό είναι στοιχειώδη.

Άρα, παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ονομα	Λειτουργία	Παραγωγό
Συνεχής	φά(x) = ντο, ντο ∈ R	0 (ναι, μηδέν!)
Ισχύς με λογικό εκθέτη	φά(x) = x n	n · x n − 1
Κόλπος	φά(x) = αμαρτία x	συν x
Συνημίτονο	φά(x) = κοσ x	−αμαρτία x(μείον ημίτονο)
Εφαπτομένη γραμμή	φά(x) = tg x	1/συν 2 x
Συνεφαπτομένη	φά(x) = ctg x	− 1/αμαρτία 2 x
Φυσικός λογάριθμος	φά(x) = κούτσουρο x	1/x
Αυθαίρετος λογάριθμος	φά(x) = κούτσουρο ένα x	1/(x ln ένα)
Εκθετική συνάρτηση	φά(x) = μι x	μι x(δεν έχει αλλάξει τίποτα)

Εάν μια στοιχειώδης συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια αυθαίρετη σταθερά, τότε η παράγωγος της νέας συνάρτησης υπολογίζεται επίσης εύκολα:

(ντο · φά)’ = ντο · φά ’.

Γενικά, οι σταθερές μπορούν να αφαιρεθούν από το πρόσημο της παραγώγου. Για παράδειγμα:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Προφανώς, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους, να πολλαπλασιαστούν, να διαιρεθούν - και πολλά άλλα. Έτσι θα εμφανίζονται νέες λειτουργίες, όχι πλέον ιδιαίτερα στοιχειώδεις, αλλά και διαφοροποιημένες σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Αυτοί οι κανόνες συζητούνται παρακάτω.

Παράγωγο αθροίσματος και διαφοράς

Αφήστε τις συναρτήσεις να δοθούν φά(x) Και σολ(x), τα παράγωγα του οποίου μας είναι γνωστά. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τις στοιχειώδεις συναρτήσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε την παράγωγο του αθροίσματος και της διαφοράς αυτών των συναρτήσεων:

1. (φά + σολ)’ = φά ’ + σολ ’
2. (φά − σολ)’ = φά ’ − σολ ’

Άρα, η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων. Μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι όροι. Για παράδειγμα, ( φά + σολ + η)’ = φά ’ + σολ ’ + η ’.

Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης» στην άλγεβρα. Υπάρχει η έννοια του «αρνητικού στοιχείου». Επομένως η διαφορά φά − σολμπορεί να ξαναγραφτεί ως άθροισμα φά+ (−1) σολ, και τότε μένει μόνο ένας τύπος - η παράγωγος του αθροίσματος.

φά(x) = x 2 + αμαρτία x; σολ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Λειτουργία φά(x) είναι το άθροισμα δύο στοιχειωδών συναρτήσεων, επομένως:

φά ’(x) = (x 2 + αμαρτία x)’ = (x 2)’ + (αμαρτ x)’ = 2x+ cos x;

Σκεφτόμαστε παρόμοια για τη συνάρτηση σολ(x). Μόνο που υπάρχουν ήδη τρεις όροι (από την άποψη της άλγεβρας):

σολ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Απάντηση:
φά ’(x) = 2x+ cos x;
σολ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Παράγωγο του προϊόντος

Τα μαθηματικά είναι μια λογική επιστήμη, τόσοι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι αν η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων, τότε η παράγωγος του προϊόντος απεργία">ίσο με το γινόμενο των παραγώγων. Αλλά βιδώστε! Η παράγωγος ενός προϊόντος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν εντελώς διαφορετικό τύπο. Δηλαδή:

(φά · σολ) ’ = φά ’ · σολ + φά · σολ ’

Η φόρμουλα είναι απλή, αλλά συχνά ξεχνιέται. Και όχι μόνο μαθητές, αλλά και φοιτητές. Το αποτέλεσμα είναι λανθασμένα λυμένα προβλήματα.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(x) = x 3 cos x; σολ(x) = (x 2 + 7x− 7) · μι x .

Λειτουργία φά(x) είναι το γινόμενο δύο βασικών συναρτήσεων, οπότε όλα είναι απλά:

φά ’(x) = (x 3 συν x)’ = (x 3)» συν x + x 3 (συν x)’ = 3x 2 συν x + x 3 (−αμαρτ x) = x 2 (3κοσ x − xαμαρτία x)

Λειτουργία σολ(x) ο πρώτος παράγοντας είναι λίγο πιο περίπλοκος, αλλά γενικό σχέδιοαυτό δεν αλλάζει. Προφανώς, ο πρώτος παράγοντας της συνάρτησης σολ(x) είναι πολυώνυμο και η παράγωγός του είναι η παράγωγος του αθροίσματος. Έχουμε:

σολ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · μι x)’ = (x 2 + 7x− 7)» · μι x + (x 2 + 7x− 7) ( μι x)’ = (2x+ 7) · μι x + (x 2 + 7x− 7) · μι x = μι x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · μι x = x(x+ 9) · μι x .

Απάντηση:
φά ’(x) = x 2 (3κοσ x − xαμαρτία x);
σολ ’(x) = x(x+ 9) · μι x .

Σημειώστε ότι στο τελευταίο βήμα η παράγωγος παραγοντοποιείται. Τυπικά, αυτό δεν χρειάζεται να γίνει, αλλά τα περισσότερα παράγωγα δεν υπολογίζονται από μόνα τους, αλλά για να εξεταστεί η συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι περαιτέρω η παράγωγος θα εξισωθεί με το μηδέν, θα καθοριστούν τα πρόσημά της κ.ο.κ. Για μια τέτοια περίπτωση, είναι προτιμότερο να έχει παραγοντοποιηθεί μια έκφραση.

Εάν υπάρχουν δύο λειτουργίες φά(x) Και σολ(x), και σολ(x) ≠ 0 στο σύνολο που μας ενδιαφέρει, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση η(x) = φά(x)/σολ(x). Για μια τέτοια συνάρτηση μπορείτε επίσης να βρείτε την παράγωγο:

Όχι αδύναμο, ε; Από πού προήλθε το μείον; Γιατί σολ 2; Και έτσι! Αυτή είναι μια από τις πιο σύνθετες φόρμουλες - δεν μπορείτε να το καταλάβετε χωρίς ένα μπουκάλι. Επομένως, είναι καλύτερο να το μελετήσετε στο συγκεκριμένα παραδείγματα.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος περιέχουν στοιχειώδεις συναρτήσεις, οπότε το μόνο που χρειαζόμαστε είναι ο τύπος για την παράγωγο του πηλίκου:

Σύμφωνα με την παράδοση, ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή - αυτό θα απλοποιήσει πολύ την απάντηση:

Μια σύνθετη συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα ένας τύπος μήκους μισού χιλιομέτρου. Για παράδειγμα, αρκεί να πάρετε τη συνάρτηση φά(x) = αμαρτία xκαι αντικαταστήστε τη μεταβλητή x, ας πούμε, επάνω x 2 + ln x. Θα βγει φά(x) = αμαρτία ( x 2 + ln x) - αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Έχει επίσης ένα παράγωγο, αλλά δεν θα είναι δυνατό να το βρείτε χρησιμοποιώντας τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω.

Τι πρέπει να κάνω; Σε τέτοιες περιπτώσεις, η αντικατάσταση της μεταβλητής και του τύπου παραγώγου βοηθά σύνθετη λειτουργία:

φά ’(x) = φά ’(t) · t», Αν xαντικαθίσταται από t(x).

Κατά κανόνα, η κατάσταση με την κατανόηση αυτού του τύπου είναι ακόμη πιο θλιβερή από ό, τι με την παράγωγο του πηλίκου. Επομένως, είναι επίσης καλύτερο να το εξηγήσουμε με συγκεκριμένα παραδείγματα, με λεπτομερής περιγραφήκάθε βήμα.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(x) = μι 2x + 3 ; σολ(x) = αμαρτία ( x 2 + ln x)

Σημειώστε ότι εάν στη συνάρτηση φά(x) αντί της έκφρασης 2 x+ 3 θα είναι εύκολο x, τότε παίρνουμε μια στοιχειώδη συνάρτηση φά(x) = μι x. Επομένως, κάνουμε μια αντικατάσταση: ας 2 x + 3 = t, φά(x) = φά(t) = μι t. Αναζητούμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

φά ’(x) = φά ’(t) · t ’ = (μι t)’ · t ’ = μι t · t ’

Και τώρα - προσοχή! Εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση: t = 2x+ 3. Παίρνουμε:

φά ’(x) = μι t · t ’ = μι 2x+ 3 (2 x + 3)’ = μι 2x+ 3 2 = 2 μι 2x + 3

Τώρα ας δούμε τη συνάρτηση σολ(x). Προφανώς πρέπει να αντικατασταθεί x 2 + ln x = t. Έχουμε:

σολ ’(x) = σολ ’(t) · t’ = (αμαρτ t)’ · t’ = κοσ t · t ’

Αντίστροφη αντικατάσταση: t = x 2 + ln x. Τότε:

σολ ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = κοσ ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Αυτό είναι! Όπως φαίνεται από τελευταία έκφραση, το όλο πρόβλημα περιορίστηκε στον υπολογισμό του αθροίσματος της παραγώγου.

Απάντηση:
φά ’(x) = 2 · μι 2x + 3 ;
σολ ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Πολύ συχνά στα μαθήματά μου, αντί για τον όρο «παράγωγο», χρησιμοποιώ τη λέξη «πρώτος». Για παράδειγμα, η διαδρομή του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των πινελιών. Είναι πιο ξεκάθαρο αυτό; Λοιπόν, αυτό είναι καλό.

Έτσι, ο υπολογισμός της παραγώγου καταλήγει στην απαλλαγή από αυτές τις ίδιες πινελιές σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ως τελευταίο παράδειγμα, ας επιστρέψουμε στην παράγωγη ισχύ με έναν ορθολογικό εκθέτη:

(x n)’ = n · x n − 1

Λίγοι το γνωρίζουν αυτό στον ρόλο nμπορεί κάλλιστα να είναι κλασματικός αριθμός. Για παράδειγμα, η ρίζα είναι x 0,5. Τι γίνεται αν υπάρχει κάτι φανταχτερό κάτω από τη ρίζα; Και πάλι, το αποτέλεσμα θα είναι μια πολύπλοκη λειτουργία - τους αρέσει να δίνουν τέτοιες κατασκευές δοκιμέςω και εξετάσεις.

Εργο. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Αρχικά, ας ξαναγράψουμε τη ρίζα ως δύναμη με λογικό εκθέτη:

φά(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Τώρα κάνουμε μια αντικατάσταση: αφήστε x 2 + 8x − 7 = t. Βρίσκουμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο:

φά ’(x) = φά ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: t = x 2 + 8x− 7. Έχουμε:

φά ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Τέλος, πίσω στις ρίζες:

Όταν βρίσκετε την παράγωγο ενός αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες, για να αποφύγετε κοινά λάθη, θα πρέπει να προσέξετε τα ακόλουθα σημεία:

• χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος και ενός πηλίκου, προσδιορίστε με σαφήνεια τη διαφορά μεταξύ μιας σταθεράς, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, και ενός σταθερού παράγοντα, ο οποίος απλώς αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου.
• πρέπει να χρησιμοποιούν με σιγουριά τη γνώση από σχολικό μάθημασε ενέργειες με δυνάμεις και ρίζες, για παράδειγμα, τι συμβαίνει με τους εκθέτες όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις.
• τι συμβαίνει με τα ζώδια όταν η παράγωγος ενός αθροίσματος έχει πρόσημο αντίθετο από το πρόσημο του ίδιου του αθροίσματος.

Παράδειγμα 1.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

.

.

Εδώ το δύο μπροστά από το Χ είναι ένας σταθερός παράγοντας, έτσι απλά αφαιρέθηκε από το παράγωγο πρόσημο.

Βάζοντας τα όλα μαζί:

.

Εάν στην τελική λύση απαιτείται να ληφθεί μια έκφραση με ρίζες, τότε μετατρέπουμε τις μοίρες σε ρίζες και παίρνουμε την επιθυμητή παράγωγο:

.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

.

Διάλυμα. Βρίσκουμε την παράγωγο του πρώτου όρου:

.

Εδώ τα δύο πρώτα στον αριθμητή της ενδιάμεσης έκφρασης ήταν μια σταθερά, η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν.

Βρείτε την παράγωγο του δεύτερου όρου:

Βρίσκουμε την παράγωγο του τρίτου όρου:

Εδώ εφαρμόσαμε γνώσεις από το σχολικό μάθημα για πράξεις με κλάσματα, μετασχηματισμό και αναγωγή τους.

Ας συνδυάσουμε τα πάντα, δίνοντας προσοχή στο γεγονός ότι τα πρόσημα των παραγώγων του πρώτου και του τρίτου όρου είναι αντίθετα με τα πρόσημα των όρων στην αρχική έκφραση:

.

Παράδειγμα 3.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

.

Διάλυμα. Βρίσκουμε την παράγωγο του πρώτου όρου:

Βρείτε την παράγωγο του δεύτερου όρου:

Η παράγωγος του τρίτου όρου - η σταθερά 1/2 - ισούται με μηδέν (συμβαίνει οι μαθητές να προσπαθούν πεισματικά να βρουν μια μη μηδενική παράγωγο της σταθεράς).

Ας συνδυάσουμε τα πάντα, δίνοντας προσοχή στο γεγονός ότι το πρόσημο του παραγώγου του δεύτερου όρου είναι αντίθετο με το πρόσημο του όρου στην αρχική έκφραση:

Παράδειγμα 4.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

.

Διάλυμα. Βρίσκουμε την παράγωγο του πρώτου όρου:

Βρείτε την παράγωγο του δεύτερου όρου:

Βρίσκουμε την παράγωγο του τρίτου όρου:

Ας συνδυάσουμε τα πάντα, δίνοντας προσοχή στο γεγονός ότι τα σημάδια των παραγώγων του δεύτερου και του τρίτου όρου είναι μείον:

.

Παράδειγμα 5.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

.

Διάλυμα. Να βρείτε την παράγωγο του πρώτου όρου.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Το παράγωγο είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτηταγια ορισμένο χρονικό διάστημα:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Διάλυμα:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία φοιτητών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.

Πολύ εύκολο να θυμάστε.

Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετική συνάρτηση? Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά.

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Κανόνες τι; Πάλι νέος όρος, πάλι;!...

Διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.

Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.

Παραδείγματα.

Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. σε ένα σημείο?
2. σε ένα σημείο?
3. σε ένα σημείο?
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού αυτό γραμμική συνάρτηση, θυμάσαι;);

Παράγωγο του προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:

Παραγωγό:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).

Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε απλός κανόνας: . Τότε:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Δούλεψε;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί πλέον σε απλή μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:

Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:

Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:

Οι παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη; Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.

Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας, .

Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .

Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση

1. Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
2. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
3. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
4. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
5. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .

Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Φαίνεται απλό, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(Μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερική: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Ημιτονοειδής. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:

Παράγωγο του αθροίσματος:

Παράγωγο του προϊόντος:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.

Ας αποδείξουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του πηλίκου δύο συναρτήσεων (κλασμάτων). Αξίζει να αναφέρουμε ότι g(x)δεν πάει στο μηδέν σε καμία περίπτωση xαπό το ενδιάμεσο Χ.

Εξ ορισμού του παραγώγου

Παράδειγμα.

Εκτελέστε διαφοροποίηση της συνάρτησης.

Διάλυμα.

Η αρχική συνάρτηση είναι η αναλογία δύο εκφράσεων sinxΚαι 2x+1. Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των κλασμάτων:

Δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς τους κανόνες για τη διαφοροποίηση ενός αθροίσματος και την τοποθέτηση μιας αυθαίρετης σταθεράς εκτός του παραγώγου πρόσημου:

Τέλος, ας συνοψίσουμε όλους τους κανόνες σε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης , Πού έναείναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός.

Διάλυμα.

Και τώρα με τη σειρά.

Πρώτη θητεία .

Δεύτερη θητεία

Τρίτη θητεία

Βάζοντας τα όλα μαζί:

4. Ερώτηση: Παράγωγοι Βασικών Στοιχειωδών Συναρτήσεων.

Ασκηση.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Διάλυμα.Χρησιμοποιούμε τους κανόνες διαφοροποίησης και τον πίνακα των παραγώγων:

Απάντηση.

5.Ερώτηση: Παραδείγματα παραγώγων μιγαδικής συνάρτησης

Όλα τα παραδείγματα αυτής της ενότητας βασίζονται στον πίνακα των παραγώγων και στο θεώρημα για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, η διατύπωση των οποίων έχει ως εξής:

Έστω 1) η συνάρτηση u=φ(x) έχει παράγωγο u′x=φ′(x0) σε κάποιο σημείο x0, 2) η συνάρτηση y=f(u) έχει παράγωγο y′u= στο αντίστοιχο σημείο u0 =φ(x0) f′(u). Τότε η μιγαδική συνάρτηση y=f(φ(x)) στο αναφερόμενο σημείο θα έχει επίσης παράγωγο ίση με το γινόμενο των παραγώγων των συναρτήσεων f(u) και φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

ή, με συντομότερο συμβολισμό: y′x=y′u⋅u′x.

Στα παραδείγματα αυτής της ενότητας, όλες οι συναρτήσεις έχουν τη μορφή y=f(x) (δηλαδή, θεωρούμε μόνο συναρτήσεις μιας μεταβλητής x). Αντίστοιχα, σε όλα τα παραδείγματα η παράγωγος του y′ λαμβάνεται ως προς τη μεταβλητή x. Για να τονίσουμε ότι η παράγωγος λαμβάνεται ως προς τη μεταβλητή x, το y′x γράφεται συχνά αντί για y′.

Τα Παραδείγματα Νο. 1, Νο. 2 και Νο. 3 περιγράφουν τη λεπτομερή διαδικασία για την εύρεση της παραγώγου μιγαδικών συναρτήσεων. Το Παράδειγμα Νο. 4 προορίζεται για την πληρέστερη κατανόηση του πίνακα παραγώγων και είναι λογικό να εξοικειωθείτε με αυτόν.

Συνιστάται αφού μελετήσετε το υλικό στα παραδείγματα Νο. 1-3 να προχωρήσετε ανεξάρτητη απόφασηΠαραδείγματα Νο. 5, Νο. 6 και Νο. 7. Τα παραδείγματα #5, #6 και #7 περιέχουν μια σύντομη λύση ώστε ο αναγνώστης να μπορεί να ελέγξει την ορθότητα του αποτελέσματός του.

Παράδειγμα Νο. 1

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=ecosx.

Διάλυμα

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης y′. Αφού y=ecosx, τότε y′=(ecosx)′. Για να βρούμε την παράγωγο (ecosx)′ χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 6 από τον πίνακα των παραγώγων. Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Νο. 6, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι στην περίπτωσή μας u=cosx. Η περαιτέρω λύση συνίσταται στην απλή αντικατάσταση της έκφρασης cosx αντί για u στον τύπο Νο. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Τώρα πρέπει να βρούμε την τιμή της έκφρασης (cosx)′. Γυρίζουμε ξανά στον πίνακα των παραγώγων, επιλέγοντας από αυτόν τον τύπο Νο. 10. Αντικαθιστώντας το u=x στον τύπο Νο. 10, έχουμε: (cosx)′=−sinx⋅x′. Τώρα ας συνεχίσουμε την ισότητα (1.1), συμπληρώνοντάς την με το αποτέλεσμα που βρέθηκε:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Αφού x′=1, συνεχίζουμε την ισότητα (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Άρα, από την ισότητα (1.3) έχουμε: y′=−sinx⋅ecosx. Όπως είναι φυσικό, οι επεξηγήσεις και οι ενδιάμεσες ισότητες συνήθως παραλείπονται, σημειώνοντας την εύρεση της παραγώγου σε μία γραμμή, όπως στην ισότητα (1.3). Βρέθηκε λοιπόν η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης, το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση: y′=−sinx⋅ecosx.

Παράδειγμα Νο. 2

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Διάλυμα

Πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Αρχικά, σημειώνουμε ότι η σταθερά (δηλαδή ο αριθμός 9) μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Τώρα ας στραφούμε στην έκφραση (arctg12(4⋅lnx))′. Για να διευκολυνθεί η επιλογή του επιθυμητού τύπου από τον πίνακα των παραγώγων, θα παρουσιάσω την εν λόγω έκφραση με αυτή τη μορφή: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Τώρα είναι σαφές ότι είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Νο. 2, δηλ. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Ας αντικαταστήσουμε τα u=arctg(4⋅lnx) και α=12 σε αυτόν τον τύπο:

Συμπληρώνοντας την ισότητα (2.1) με το αποτέλεσμα που προκύπτει, έχουμε:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2,2 )

Σημείωση: εμφάνιση/απόκρυψη

Τώρα πρέπει να βρούμε το (arctg(4⋅lnx))′. Χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 19 του πίνακα παραγώγων, αντικαθιστώντας το u=4⋅lnx σε αυτόν:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Ας απλοποιήσουμε λίγο την παράσταση που προκύπτει, λαμβάνοντας υπόψη (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Η ισότητα (2.2) θα γίνει τώρα:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2,3)

Μένει να βρούμε (4⋅lnx)′. Ας πάρουμε τη σταθερά (δηλαδή 4) από το πρόσημο της παραγώγου: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Για να βρούμε το (lnx)′ χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 8, αντικαθιστώντας το u=x σε αυτόν: (lnx)′=1x⋅x′. Αφού x′=1, τότε (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα που προέκυψε με τον τύπο (2.3), λαμβάνουμε:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅2x⋅4⋅ arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Να σας υπενθυμίσω ότι η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης βρίσκεται τις περισσότερες φορές σε μία γραμμή, όπως γράφεται στην τελευταία ισότητα. Επομένως, κατά την προετοιμασία τυπικών υπολογισμών ή εργασιών ελέγχου, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να περιγραφεί η λύση με τόση λεπτομέρεια.

Απάντηση: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Παράδειγμα Νο. 3

Να βρείτε το y′ της συνάρτησης y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−−√7.

Διάλυμα

Αρχικά, ας μετατρέψουμε λίγο τη συνάρτηση y, εκφράζοντας τη ρίζα (ρίζα) ως δύναμη: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Τώρα ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την παράγωγο. Αφού y=(sin(5⋅9x))37, τότε:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 2 από τον πίνακα των παραγώγων, αντικαθιστώντας σε αυτόν u=sin(5⋅9x) και α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin (5⋅9x))′

Ας συνεχίσουμε την ισότητα (3.1) χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα που προκύπτει:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Τώρα πρέπει να βρούμε (sin(5⋅9x))′. Για αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 9 από τον πίνακα των παραγώγων, αντικαθιστώντας το u=5⋅9x σε αυτόν:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Έχοντας συμπληρώσει την ισότητα (3.2) με το αποτέλεσμα που προκύπτει, έχουμε:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3,3)

Το μόνο που μένει είναι να βρούμε (5⋅9x)′. Αρχικά, ας βγάλουμε τη σταθερά (αριθμός 5) από το παράγωγο πρόσημο, δηλ. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Για να βρείτε την παράγωγο (9x)′, εφαρμόστε τον τύπο Νο. 5 του πίνακα των παραγώγων, αντικαθιστώντας σε αυτόν a=9 και u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Αφού x′=1, τότε (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Τώρα μπορούμε να συνεχίσουμε την ισότητα (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Μπορείτε πάλι να επιστρέψετε από τις δυνάμεις στις ρίζες (δηλαδή τις ρίζες), γράφοντας (sin(5⋅9x))−47 με τη μορφή 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− − −−−√7. Τότε η παράγωγος θα γραφτεί με αυτή τη μορφή:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Απάντηση: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−−√7.

Παράδειγμα αρ. 4

Δείξτε ότι οι τύποι Νο. 3 και Νο. 4 του πίνακα παραγώγων αποτελούν ειδική περίπτωση του τύπου Νο. 2 αυτού του πίνακα.

Διάλυμα

Ο τύπος Νο. 2 του πίνακα παραγώγων περιέχει την παράγωγο της συνάρτησης uα. Αντικαθιστώντας το α=−1 στον τύπο Νο. 2, παίρνουμε:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Εφόσον u−1=1u και u−2=1u2, η ισότητα (4.1) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: (1u)′=−1u2⋅u′. Αυτός είναι ο τύπος Νο. 3 του πίνακα παραγώγων.

Ας στραφούμε ξανά στον τύπο Νο. 2 του πίνακα παραγώγων. Ας αντικαταστήσουμε το α=12 σε αυτό:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Εφόσον u12=u−−√ και u−12=1u12=1u−−√, η ισότητα (4.2) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Η προκύπτουσα ισότητα (u−−√)′=12u−−√⋅u′ είναι ο τύπος Νο. 4 του πίνακα των παραγώγων. Όπως μπορείτε να δείτε, οι τύποι Νο. 3 και Νο. 4 του πίνακα παραγώγων λαμβάνονται από τον τύπο Νο. 2 αντικαθιστώντας την αντίστοιχη τιμή του α.

Παράδειγμα αρ. 5

Βρείτε το y′ αν y=arcsin2x.

Διάλυμα

Σε αυτό το παράδειγμα, θα γράψουμε την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης χωρίς τις λεπτομερείς εξηγήσεις που δόθηκαν σε προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Παράδειγμα αρ. 6

Βρείτε το y′ αν y=7⋅lnsin3x.

Διάλυμα

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, θα δείξουμε πώς να βρείτε την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης χωρίς λεπτομέρειες. Συνιστάται να γράψετε μόνοι σας το παράγωγο, μόνο ελέγχοντας την παρακάτω λύση.

Απάντηση: y′=21⋅ctgx.

Παράδειγμα αρ. 7

Βρείτε το y′ αν y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Διάλυμα

6 Ερώτηση. Παράγωγος παραδειγμάτων αντίστροφης συνάρτησης.

Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης

Τύπος

Η ιδιότητα των εξουσιών είναι γνωστή ότι

Χρησιμοποιώντας την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος: