Προβολή ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα. Προβολές διανυσμάτων σε άξονες συντεταγμένων

Ορισμός 1. Σε ένα επίπεδο, μια παράλληλη προβολή του σημείου Α στον άξονα l είναι ένα σημείο - το σημείο τομής του άξονα l με μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από το σημείο Α παράλληλη προς το διάνυσμα που καθορίζει την κατεύθυνση σχεδιασμού.

Ορισμός 2. Η παράλληλη προβολή ενός διανύσματος στον άξονα l (στο διάνυσμα) είναι η συντεταγμένη του διανύσματος σε σχέση με τη βάση άξονας l, όπου σημεία και είναι παράλληλες προβολές των σημείων Α και Β στον άξονα l, αντίστοιχα (Εικ. 1).

Σύμφωνα με τον ορισμό που έχουμε

Ορισμός 3. αν και βάση άξονα l Καρτεσιανή, δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα l ονομάζεται ορθογώνιο (Εικ. 2).

Στο διάστημα, ο ορισμός 2 της διανυσματικής προβολής στον άξονα παραμένει σε ισχύ, μόνο η κατεύθυνση προβολής καθορίζεται από δύο μη συγγραμμικά διανύσματα (Εικ. 3).

Από τον ορισμό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα προκύπτει ότι κάθε συντεταγμένη ενός διανύσματος είναι μια προβολή αυτού του διανύσματος στον άξονα που ορίζεται από το αντίστοιχο διάνυσμα βάσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατεύθυνση σχεδιασμού καθορίζεται από δύο άλλα διανύσματα βάσης εάν ο σχεδιασμός εκτελείται (εξετάζεται) στο χώρο ή από άλλο διάνυσμα βάσης εάν ο σχεδιασμός εξετάζεται σε επίπεδο (Εικ. 4).

Θεώρημα 1. Η ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος στον άξονα l είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του άξονα l και, δηλ.

Αντίπερα

Από βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας το AC με ισότητα (2), λαμβάνουμε

Από τους αριθμούς xκαι το ίδιο πρόσημο και στις δύο υπό εξέταση περιπτώσεις ((Εικ. 5, α) ; (Σχ. 5, β), τότε από την ισότητα (4) προκύπτει

Σχόλιο. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μόνο την ορθογώνια προβολή του διανύσματος στον άξονα και επομένως η λέξη «ort» (ορθογώνιο) θα παραλειφθεί από τη σημειογραφία.

Ας παρουσιάσουμε έναν αριθμό τύπων που χρησιμοποιούνται αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.

α) Προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Αν, τότε η ορθογώνια προβολή πάνω στο διάνυσμα σύμφωνα με τον τύπο (5) έχει τη μορφή

γ) Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.

Έστω b ένα δεδομένο επίπεδο με κανονικό διάνυσμα, M ένα δεδομένο σημείο,

d είναι η απόσταση από το σημείο M στο επίπεδο b (Εικ. 6).

Αν το N είναι ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου b και και είναι προβολές των σημείων M και N στον άξονα, τότε

• ΣΟΛ) Η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Έστω στις α και β τεμνόμενες ευθείες, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτές, το Α και Β είναι αυθαίρετα σημεία των ευθειών a και b, αντίστοιχα (Εικ. 7), και προβολές των σημείων Α και Β επάνω, τότε

ε) Απόσταση από σημείο σε ευθεία.

Αφήνω μεγάλο- μια δεδομένη ευθεία με ένα διάνυσμα κατεύθυνσης, M - ένα δεδομένο σημείο,

N - η προβολή του στη γραμμή μεγάλο, τότε - η απαιτούμενη απόσταση (Εικ. 8).

Αν το Α είναι ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία μεγάλο, μετά μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΜΝΑ, υποτείνουσα ΜΑ και πόδια μπορούν να βρεθούν. Μέσα,

στ) Η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.

Έστω το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής μεγάλο, - κανονικό διάνυσμα δεδομένου επιπέδου b, - προβολή ευθείας γραμμής μεγάλοστο επίπεδο b (Εικ. 9).

Όπως είναι γνωστό, η γωνία μ μεταξύ μιας ευθείας γραμμής μεγάλοκαι η προβολή του στο επίπεδο b ονομάζεται γωνία μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου. έχουμε

Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης μετρικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διανύσματος-συντεταγμένων.

ΕΝΑ. Η προβολή του σημείου Α στον άξονα PQ (Εικ. 4) είναι η βάση α της καθέτου που έπεσε από ένα δεδομένο σημείο σε έναν δεδομένο άξονα. Ο άξονας στον οποίο προβάλλουμε ονομάζεται άξονας προβολής.

σι. Έστω δύο άξονες και ένα διάνυσμα Α Β, που φαίνεται στο Σχ. 5.

Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή είναι η προβολή της αρχής και του οποίου το τέλος είναι η προβολή του τέλους αυτού του διανύσματος ονομάζεται προβολή του διανύσματος A B στον άξονα PQ.

Μερικές φορές ο δείκτης PQ δεν είναι γραμμένος στο κάτω μέρος αυτό γίνεται σε περιπτώσεις όπου, εκτός από το PQ, δεν υπάρχει άλλο λειτουργικό σύστημα στο οποίο να σχεδιαστεί.

Με. Θεώρημα I. Τα μεγέθη των διανυσμάτων που βρίσκονται σε έναν άξονα σχετίζονται με τα μεγέθη των προβολών τους σε οποιονδήποτε άξονα.

Ας δοθούν οι άξονες και τα διανύσματα που υποδεικνύονται στο Σχ. 6 Από την ομοιότητα των τριγώνων είναι σαφές ότι τα μήκη των διανυσμάτων σχετίζονται με τα μήκη των προβολών τους, δηλ.

Δεδομένου ότι τα διανύσματα στο σχέδιο κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις, τα μεγέθη τους έχουν διαφορετικά πρόσημα,

Προφανώς, τα μεγέθη των προβολών έχουν επίσης διαφορετικά σημάδια:

αντικαθιστώντας το (2) στο (3) στο (1), παίρνουμε

Αντιστρέφοντας τα σημάδια, παίρνουμε

Εάν τα διανύσματα είναι εξίσου κατευθυνόμενα, τότε οι προβολές τους θα είναι επίσης της ίδιας κατεύθυνσης. Δεν θα υπάρχουν πρόσημα μείον στους τύπους (2) και (3). Αντικαθιστώντας τα (2) και (3) με την ισότητα (1), παίρνουμε αμέσως την ισότητα (4). Άρα, το θεώρημα έχει αποδειχθεί για όλες τις περιπτώσεις.

ρε. Θεώρημα II. Το μέγεθος της προβολής ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του διανύσματος πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του άξονα των προεξοχών και του άξονα του διανύσματος Ας δοθούν οι άξονες ως διάνυσμα όπως φαίνεται στο Σχ . 7. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα με την ίδια φορά με τον άξονά του και να σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, από το σημείο τομής των αξόνων. Έστω το μήκος του ίσο με ένα. Τότε το μέγεθός του

Ο άξονας είναι η κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή σε έναν άξονα ή σε μια κατευθυνόμενη γραμμή θεωρείται η ίδια. Η προβολή μπορεί να είναι αλγεβρική ή γεωμετρική. Σε γεωμετρικούς όρους, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα νοείται ως διάνυσμα και σε αλγεβρικούς όρους, είναι ένας αριθμός. Δηλαδή, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα και της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Αν έχουμε έναν άξονα L και ένα μη μηδενικό διάνυσμα A B →, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A 1 B 1 ⇀, δηλώνοντας τις προβολές των σημείων του A 1 και B 1.

Το A 1 B → 1 θα είναι η προβολή του διανύσματος A B → στο L.

Ορισμός 1

Προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι προβολές της αρχής και του τέλους ενός δεδομένου διανύσματος. n p L A B → → είναι συνηθισμένο να συμβολίζεται η προβολή A B → στο L. Για να κατασκευαστεί μια προβολή στο L, οι κάθετοι ρίχνονται στο L.

Παράδειγμα 1

Ένα παράδειγμα προβολής διανύσματος σε άξονα.

Στο επίπεδο συντεταγμένων O x y, καθορίζεται ένα σημείο M 1 (x 1, y 1). Είναι απαραίτητο να κατασκευάσουμε προβολές σε Ox και O y για να απεικονίσουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1. Παίρνουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (x 1, 0) και (0, y 1).

Αν μιλάμε για την προβολή του a → σε ένα μη μηδενικό b → ή για την προβολή του a → στην κατεύθυνση b → , τότε εννοούμε την προβολή του a → στον άξονα με τον οποίο συμπίπτει η διεύθυνση b →. Η προβολή του a → στην ευθεία που ορίζεται από το b → συμβολίζεται με n p b → a → → . Είναι γνωστό ότι όταν η γωνία μεταξύ a → και b → , n p b → a → → και b → μπορεί να θεωρηθεί συμκατευθυντική. Στην περίπτωση που η γωνία είναι αμβλεία, τα n p b → a → → και b → βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε μια κατάσταση καθετότητας a → και b →, και a → είναι μηδέν, η προβολή του a → προς την κατεύθυνση b → είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Το αριθμητικό χαρακτηριστικό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι η αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν δεδομένο άξονα.

Ορισμός 2

Αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένας αριθμός που ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός δεδομένου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του δεδομένου διανύσματος και του διανύσματος που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα.

Η αριθμητική προβολή του A B → στο L συμβολίζεται n p L A B → , και a → στο b → - n p b → a → .

Με βάση τον τύπο, λαμβάνουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , από όπου a → είναι το μήκος του διανύσματος a → , a ⇀ , b → ^ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a → και β → .

Λαμβάνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της αριθμητικής προβολής: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ισχύει για γνωστά μήκη a → και b → και τη γωνία μεταξύ τους. Ο τύπος ισχύει όταν γνωστές συντεταγμένες a → και b →, αλλά υπάρχει μια απλοποιημένη μορφή.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την αριθμητική προβολή του a → σε μια ευθεία προς την κατεύθυνση b → με μήκος a → ίσο με 8 και γωνία μεταξύ τους 60 μοίρες. Με συνθήκη έχουμε a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Αυτό σημαίνει ότι αντικαθιστούμε τις αριθμητικές τιμές στον τύπο n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Απάντηση: 4.

Με γνωστό cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , έχουμε a → , b → ως κλιμακωτό γινόμενο των a → και b → . Ακολουθώντας τον τύπο n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , μπορούμε να βρούμε την αριθμητική προβολή a → κατευθυνόμενη κατά μήκος του διανύσματος b → και να πάρουμε n p b → a → = a → , b → b → . Ο τύπος είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή της παραγράφου.

Ορισμός 3

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → σε άξονα που συμπίπτει κατά διεύθυνση με το b → είναι ο λόγος του κλιμακωτού γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → προς το μήκος b → . Ο τύπος n p b → a → = a → , b → b → ισχύει για την εύρεση της αριθμητικής προβολής του a → σε μια ευθεία που συμπίπτει σε κατεύθυνση με το b → , με γνωστές συντεταγμένες a → και b →.

Παράδειγμα 3

Δίνεται b → = (- 3 , 4) . Βρείτε την αριθμητική προβολή a → = (1, 7) στο L.

Διάλυμα

Στο επίπεδο συντεταγμένων n p b → a → = a → , b → b → έχει τη μορφή n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , με a → = (a x , a y ) και b → = b x, b y. Για να βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, χρειάζεστε: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την προβολή του a → στο L, που συμπίπτει με την κατεύθυνση b →, όπου υπάρχουν a → = - 2, 3, 1 και b → = (3, - 2, 6). Καθορίζεται ο τρισδιάστατος χώρος.

Διάλυμα

Δίνοντας a → = a x , a y , a z και b → = b x , b y , b z , υπολογίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Βρίσκουμε το μήκος b → χρησιμοποιώντας τον τύπο b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος για τον προσδιορισμό της αριθμητικής προβολής a → θα είναι: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Αντικαταστήστε τις αριθμητικές τιμές: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Απάντηση: - 6 7.

Ας δούμε τη σύνδεση μεταξύ του a → στο L και του μήκους της προβολής a → στο L. Ας σχεδιάσουμε έναν άξονα L, προσθέτοντας ένα → και b → από ένα σημείο στο L, μετά από τον οποίο σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή από το άκρο a → στο L και σχεδιάζουμε μια προβολή στο L. Υπάρχουν 5 παραλλαγές της εικόνας:

Πρώταη περίπτωση με a → = n p b → a → → σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Δεύτεροςη περίπτωση συνεπάγεται τη χρήση του n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , που σημαίνει n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Τρίτοςη περίπτωση εξηγεί ότι όταν n p b → a → → = 0 → λαμβάνουμε n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , τότε n p b → a → → = 0 και n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Τέταρτοςη περίπτωση δείχνει n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ακολουθεί n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Πέμπτοςη περίπτωση δείχνει a → = n p b → a → → , που σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως έχουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Ορισμός 4

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, που κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το b →, έχει την ακόλουθη τιμή:

• το μήκος της προβολής του διανύσματος a → στο L, με την προϋπόθεση ότι η γωνία μεταξύ a → και b → είναι μικρότερη από 90 μοίρες ή ίση με 0: n p b → a → = n p b → a → → με τη συνθήκη 0 ≤ (a → , β →) ^< 90 ° ;
• μηδέν υπό τον όρο ότι τα a → και b → είναι κάθετα: n p b → a → = 0, όταν (a → , b → ^) = 90 °;
• μήκος προβολής a → σε L, πολλαπλασιαζόμενο με -1, όταν υπάρχει αμβλεία ή περιστρεφόμενη γωνία των διανυσμάτων a → και b →: n p b → a → = - n p b → a → → με συνθήκη 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Παράδειγμα 5

Δίνεται το μήκος της προβολής a → στο L, ίσο με 2. Να βρείτε την αριθμητική προβολή a → με την προϋπόθεση ότι η γωνία είναι 5 π 6 ακτίνια.

Διάλυμα

Από την συνθήκη είναι σαφές ότι δεδομένη γωνίαείναι αμβλεία: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Απάντηση: - 2.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο O x y z με μήκος διανύσματος a → ίσο με 6 3, b → (- 2, 1, 2) με γωνία 30 μοιρών. Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής a → στον άξονα L.

Διάλυμα

Αρχικά, υπολογίζουμε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Κατά συνθήκη, η γωνία είναι οξεία, τότε η αριθμητική προβολή a → = το μήκος της προβολής του διανύσματος a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Αυτή η περίπτωση δείχνει ότι τα διανύσματα n p L a → → και b → είναι συνκατευθυνόμενα, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός t για τον οποίο ισχύει η ισότητα: n p L a → → = t · b → . Από εδώ βλέπουμε ότι n p L a → → = t · b → , που σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την τιμή της παραμέτρου t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Τότε n p L a → → = 3 · b → με τις συντεταγμένες της προβολής του διανύσματος a → στον άξονα L ίσο με b → = (- 2 , 1 , 2) , όπου είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι τιμές με 3. Έχουμε n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Απάντηση: (- 6, 3, 6).

Είναι απαραίτητο να επαναλάβουμε τις προηγούμενες πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Προβολήδιάνυσμα σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν ένα x - κλιμακωτή προβολήδιάνυσμα ΕΝΑστον άξονα Χ και μετά ένα x εγώ- η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε διανυσματική προβολήτο ίδιο με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Άρα, η διανυσματική προβολή του διανύσματος ΕΝΑστον άξονα Χ που συμβολίζουμε ΕΝΑ x( λίποςένα γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα και έναν δείκτη του ονόματος άξονα) ή (ένα γράμμα με χαμηλές έντονες γραμμές που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

Για να υπολογίσετε την προβολή διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή
a x = x k − x n.
Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Διανυσματικές συντεταγμένεςείναι οι συντελεστές του μοναδικού δυνατού γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων βάσης στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, ίσοι με αυτό το διάνυσμα.

όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Προϊόν με τελείεςφορείς

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων[- σε πεπερασμένες διαστάσεις διανυσματικός χώρος ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων πανομοιότυπων συστατικών που πολλαπλασιάζονται φορείς.

Για παράδειγμα, το S.p.v. ένα = (ένα 1 , ..., a n) Και σι = (σι 1 , ..., b n):

(ένα , σι ) = ένα 1 σι 1 + ένα 2 σι 2 + ... + a n b n

Μια διανυσματική περιγραφή της κίνησης είναι χρήσιμη, καθώς σε ένα σχέδιο μπορείτε πάντα να απεικονίσετε πολλά διαφορετικά διανύσματα και να πάρετε μια οπτική «εικόνα» κίνησης μπροστά στα μάτια σας. Ωστόσο, η χρήση ενός χάρακα και ενός μοιρογνωμόνιου κάθε φορά για την εκτέλεση πράξεων με διανύσματα είναι πολύ απαιτητική. Επομένως, αυτές οι ενέργειες ανάγονται σε ενέργειες με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς - προβολές διανυσμάτων.

Προβολή του διανύσματος στον άξοναονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα ίση με το γινόμενο του συντελεστή του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των κατευθύνσεων του διανύσματος και του επιλεγμένου άξονα συντεταγμένων.

Το αριστερό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα μετατόπισης, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 50 km και η κατεύθυνσή του σχηματίζεται αμβλεία γωνία 150° με την κατεύθυνση του άξονα Χ Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Χ:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Δεδομένου ότι η γωνία μεταξύ των αξόνων είναι 90°, είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι η κατεύθυνση της κίνησης σχηματίζεται με την κατεύθυνση του άξονα Υ οξεία γωνία 60°. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Υ:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν η κατεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει οξεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι θετική. αν η διεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει αμβλεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι αρνητική.

Το δεξιό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα ταχύτητας, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 5 m/s, και η κατεύθυνση σχηματίζει γωνία 30° με την κατεύθυνση του άξονα Χ Ας βρούμε τις προβολές:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Είναι πολύ πιο εύκολο να βρείτε προβολές διανυσμάτων σε άξονες εάν τα προβαλλόμενα διανύσματα είναι παράλληλα ή κάθετα στους επιλεγμένους άξονες. Λάβετε υπόψη ότι για την περίπτωση του παραλληλισμού, είναι δυνατές δύο επιλογές: το διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό προς τον άξονα και το διάνυσμα είναι αντίθετο προς τον άξονα και για την περίπτωση της καθετότητας υπάρχει μόνο μία επιλογή.

Η προβολή ενός διανύσματος κάθετου στον άξονα είναι πάντα μηδέν (βλέπε sy και ay στο αριστερό σχέδιο και sx και υx στο δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα κάθετο στον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 90°, άρα το συνημίτονο είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η προβολή είναι μηδέν.

Η προβολή ενός διανύσματος συνκατεύθυνσης με τον άξονα είναι θετική και ίση με την απόλυτη τιμή του, για παράδειγμα, sx = +s (βλ. αριστερό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα συνκατευθυντικό με τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι μηδέν και το συνημίτονό του είναι "+1", δηλαδή, η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος: sx = x - xo = + s .

Η προβολή του διανύσματος απέναντι από τον άξονα είναι αρνητική και ίση με την απόλυτη τιμή του, λαμβανόμενη με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα sy = –s (δείτε το δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα αντίθετο προς τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 180° και το συνημίτονό του είναι "–1", δηλαδή η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο: sy = y – yo = –s .

Οι δεξιές πλευρές και των δύο σχεδίων δείχνουν άλλες περιπτώσεις όπου τα διανύσματα είναι παράλληλα σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων και κάθετα στον άλλο. Σας προσκαλούμε να βεβαιωθείτε μόνοι σας ότι και σε αυτές τις περιπτώσεις τηρούνται οι κανόνες που διατυπώθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους.