Όριο λειτουργίας και συνέχεια παρουσίασης συνάρτησης. Παρουσίαση για μάθημα άλγεβρας με θέμα: Παρουσίαση για πρακτικό μάθημα μαθηματικών με θέμα: Υπολογισμός ορίων συνάρτησης

Στόχοι μαθήματος:

• Εκπαιδευτικός:
  • Εισαγάγετε την έννοια του ορίου ενός αριθμού, του ορίου μιας συνάρτησης.
  • δώστε έννοιες σχετικά με τους τύπους αβεβαιότητας.
  • μάθουν να υπολογίζουν τα όρια μιας συνάρτησης.
  • συστηματοποιούν την αποκτηθείσα γνώση, ενεργοποιούν τον αυτοέλεγχο, τον αμοιβαίο έλεγχο.
• Εκπαιδευτικός:
  • να είναι σε θέση να εφαρμόσει τις αποκτηθείσες γνώσεις για τον υπολογισμό των ορίων.
  • αναπτύξουν τη μαθηματική σκέψη.
• Εκπαιδευτικός:να καλλιεργήσουν ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και τους κλάδους της διανοητικής εργασίας.

Τύπος μαθήματος:πρώτο μάθημα

Μορφές εργασίας των μαθητών:μετωπικός, ατομικός

Απαιτούμενος εξοπλισμός:διαδραστικός πίνακας, προβολέας πολυμέσων, κάρτες με προφορικές και προπαρασκευαστικές ασκήσεις.

Σχέδιο μαθήματος

1. Οργανωτική στιγμή(3 λεπτά)
2. Εισαγωγή στη θεωρία του ορίου μιας συνάρτησης. Προπαρασκευαστικές ασκήσεις. (12 λεπτά)
3. Υπολογισμός ορίων συναρτήσεων (10 λεπτά)
4. Ανεξάρτητες ασκήσεις (15 λεπτά)
5. Σύνοψη του μαθήματος (2 λεπτά)
6. Σχολική εργασία στο σπίτι(3 λεπτά)

ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. Οργανωτική στιγμή

Χαιρετισμός του δασκάλου, επισήμανση των απόντες, έλεγχος της προετοιμασίας για το μάθημα. Ενημερώστε το θέμα και το σκοπό του μαθήματος. Στη συνέχεια, όλες οι εργασίες εμφανίζονται στον διαδραστικό πίνακα.

2. Εισαγωγή στη θεωρία του ορίου μιας συνάρτησης. Προπαρασκευαστικές ασκήσεις.

Όριο λειτουργίας (οριακή τιμή συνάρτησης) σε ένα δεδομένο σημείο, που περιορίζει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι η τιμή στην οποία τείνει η εν λόγω συνάρτηση καθώς το όρισμά της τείνει σε ένα δεδομένο σημείο.
Το όριο γράφεται ως εξής.

Ας υπολογίσουμε το όριο:
Αντικαθιστούμε το x με 3.
Σημειώστε ότι το όριο ενός αριθμού είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό.

Παραδείγματα: υπολογισμός ορίων

Αν σε κάποιο σημείο στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης υπάρχει ένα όριο και αυτό το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο, τότε η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής (σε ένα δεδομένο σημείο).

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x 0 = 3 και την τιμή του ορίου της σε αυτό το σημείο.

Η τιμή του ορίου και η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο συμπίπτουν, επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 3.

Αλλά κατά τον υπολογισμό των ορίων, εμφανίζονται συχνά εκφράσεις των οποίων το νόημα δεν ορίζεται. Τέτοιες εκφράσεις λέγονται αβεβαιότητες.

Κύριοι τύποι αβεβαιοτήτων:

Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων

Για να αποκαλύψετε αβεβαιότητες, χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα:

• απλοποιήστε την έκφραση μιας συνάρτησης: παραγοντίστε την, μετασχηματίστε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας συντετμισμένους τύπους πολλαπλασιασμού, τριγωνομετρικούς τύπους, πολλαπλασιαζόμενο με το συζυγές, το οποίο επιτρέπει περαιτέρω μείωση, κ.λπ., κ.λπ.
• Εάν υπάρχει όριο κατά την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι συγκλίνει στην καθορισμένη τιμή, εάν δεν υπάρχει τέτοιο όριο, τότε η συνάρτηση αποκλίνει.

Παράδειγμα: Ας υπολογίσουμε το όριο.
Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή

3. Υπολογισμός ορίων συναρτήσεων

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το όριο της συνάρτησης:

Με την άμεση αντικατάσταση, το αποτέλεσμα είναι αβεβαιότητα:

4. Ανεξάρτητες ασκήσεις

Υπολογισμός ορίων:

5. Συνοψίζοντας το μάθημα

Αυτό είναι το πρώτο μάθημα

Θέμα:

Ανάπτυξη και εκπαίδευση για ούτε έναν άνθρωπο δεν μπορεί να δοθεί ή να κοινοποιηθεί. Όποιος θέλει να ενταχθεί πρέπει πετύχετε αυτό με τη δική σας δραστηριότητα, τη δική σας δύναμη, τη δική σας ένταση. Από έξω μπορεί να πάρει μόνο ενθουσιασμό. Α. Diesterweg

Καθορισμός του στόχου και των στόχων του μαθήματος:

μελέτη ορισμός του άπειρου?

• Προσδιορισμός του ορίου μιας συνάρτησης στο άπειρο.
• Προσδιορισμός του ορίου μιας συνάρτησης στο συν άπειρο.
• Προσδιορισμός του ορίου μιας συνάρτησης στο μείον άπειρο.
• Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων;

μαθαίνω Υπολογίστε απλά όρια συναρτήσεων στο άπειρο.

B. Bolzano

Bernard Bolzano (1781-1848), Τσέχος μαθηματικός και φιλόσοφος. Αντιτάχθηκε στον ψυχολογισμό στη λογική. Απέδωσε την ιδανική αντικειμενική ύπαρξη στις αλήθειες της λογικής. Επηρεασμένος

μι . Husserl. Εισήγαγε μια σειρά από σημαντικές έννοιες μαθηματική ανάλυση , ήταν ο προκάτοχος Γ. Καντόραστη μελέτη των ατελείωτων σκηνικά .

Ογκάστιν Λούις Cauchy(Γάλλος Augustin Louis Cauchy· 21 Αυγούστου 1789, Παρίσι - 23 Μαΐου 1857, Co, Γαλλία) - σπουδαίος Γάλλος μαθηματικός και μηχανικός, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου

y =1 /x m

Υπαρξη

lim f(x) = β

x → ∞

ισοδυναμεί με το να έχεις

οριζόντια ασύμπτωτη

η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x)

lim f(x) = β x →+∞

lim f(x) = b και lim f(x) = b x →+∞ x→-∞ lim f(x) = β x→∞

Τι θα μελετήσουμε:

Τι είναι το Infinity;

Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Όριο συνάρτησης στο μείον άπειρο .

Σκηνικά θέατρου .

Παραδείγματα.

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Απειρο - χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό απεριόριστων, απεριόριστων, ανεξάντλητων αντικειμένων και φαινομένων, στην περίπτωσή μας το χαρακτηριστικό των αριθμών.

Το άπειρο είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος (μικρός) απεριόριστος αριθμός.

Αν λάβουμε υπόψη το επίπεδο συντεταγμένων, τότε ο άξονας της τετμημένης (τεταγμένης) πηγαίνει στο άπειρο εάν συνεχιστεί επ' αόριστον αριστερά ή δεξιά (κάτω ή πάνω).

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Όριο συνάρτησης στο συν άπειρο.

Τώρα ας προχωρήσουμε στο όριο της συνάρτησης στο άπειρο:

Ας έχουμε μια συνάρτηση y=f(x), το πεδίο ορισμού της συνάρτησής μας περιέχει την ακτίνα και έστω η ευθεία y=b είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=f(x), ας γράψουμε όλα αυτά στη μαθηματική γλώσσα:

το όριο της συνάρτησης y=f(x) καθώς το x τείνει στο μείον το άπειρο είναι ίσο με b

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Οι σχέσεις μας μπορούν επίσης να εκτελεστούν ταυτόχρονα:

Τότε συνηθίζεται να γράφεται ως:

ή

το όριο της συνάρτησης y=f(x) καθώς το x τείνει στο άπειρο είναι β

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Παράδειγμα.

Παράδειγμα. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x), έτσι ώστε:

• Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
• Η f(x) είναι μια συνεχής συνάρτηση

Διάλυμα:

Πρέπει να κατασκευάσουμε μια συνεχή συνάρτηση στο (-∞; +∞). Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα της λειτουργίας μας.

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Βασικές ιδιότητες.

Για τον υπολογισμό του ορίου στο άπειρο, χρησιμοποιούνται διάφορες δηλώσεις:

1) Για οποιονδήποτε φυσικός αριθμός m ισχύει η ακόλουθη σχέση:

2) Αν

Οτι:

α) Το όριο ποσού είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων:

β) Το όριο του προϊόντος είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων:

γ) Το όριο του πηλίκου είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων:

δ) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να ληφθεί πέρα ​​από το οριακό πρόσημο:

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Παράδειγμα 1.

Εύρημα

Παράδειγμα 2.

.

Παράδειγμα 3.

Να βρείτε το όριο της συνάρτησης y=f(x), καθώς το x τείνει στο άπειρο .

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Παράδειγμα 1.

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.

Απάντηση:

Παράδειγμα 3.

Απάντηση:

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

.

• Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης y=f(x). Τέτοιο ώστε το όριο καθώς το x τείνει στο συν άπειρο είναι 7, και καθώς το x τείνει στο μείον το άπειρο 3.
• Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης y=f(x). Έτσι ώστε το όριο καθώς το x τείνει στο συν άπειρο είναι 5 και η συνάρτηση αυξάνεται.
• Βρείτε όρια:

• Βρείτε όρια:

Όριο συνάρτησης στο άπειρο.

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση .

Απαντήσεις:

• Τι σημαίνει η ύπαρξη ορίου μιας συνάρτησης;

στο άπειρο;

• Τι ασύμπτωτη έχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=1/x; 4 ?
• Ποιους κανόνες γνωρίζετε για τον υπολογισμό των ορίων;

λειτουργεί στο άπειρο;

• Ποιοι είναι οι τύποι για τον υπολογισμό των ορίων;

συναντηθήκατε στο άπειρο;

• Πώς να βρείτε lim (5-3x3) / (6x3 +2);

• Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα;
• Τι στόχο βάλαμε στην αρχή του μαθήματος;
• Έχει επιτευχθεί ο στόχος μας;
• Τι μας βοήθησε να αντιμετωπίσουμε τη δυσκολία;
• Ποια γνώση μας ήταν χρήσιμη όταν

κάνει εργασίες στην τάξη;

• Πώς μπορείτε να αξιολογήσετε τη δουλειά σας;

Στάδια

Θεωρητικά ερωτήματα

Αριθμός πόντων

Μπροστινή εργασία

Μαξ-ω

Εργαστείτε στο διοικητικό συμβούλιο

σημεία

Το ίδιο το έργο

Πόντοι επιβράβευσης

6 βαθμοί

Από 20 πόντους και πάνω το σκορ είναι "5"

Από 15 έως 19 βαθμούς η βαθμολογία είναι "4"

Από 10 έως 14 βαθμούς - "3"

Σχολική εργασία στο σπίτι

§31, παράγραφος 1, σελ. 150-151 - σχολικό βιβλίο;

№ 669 (c), 670 (c), 671 (c), 672 (c),

673(c), 674(c), 676(c), 700 (d) – βιβλίο προβλημάτων.

Το σημερινό μάθημα τελείωσε,

Δεν θα μπορούσες να είσαι πιο φιλικός.

Αλλά όλοι πρέπει να γνωρίζουν:

Γνώση, επιμονή, δουλειά

Θα οδηγήσουν σε πρόοδο στη ζωή.

Σε αυτό το έργο, μαζί με το θεωρητικό υλικό, εξετάστηκε και το πρακτικό υλικό. ΣΕ πρακτική εφαρμογήΕξετάσαμε όλους τους τρόπους υπολογισμού των ορίων. Μελετώντας τη δεύτερη ενότητα ανώτερα μαθηματικάήδη προκαλεί μεγάλο ενδιαφέρον, αφού πέρυσι εξετάσαμε το θέμα «Matrix. Εφαρμογή των ιδιοτήτων του πίνακα στην επίλυση συστημάτων εξισώσεων», η οποία ήταν απλή, έστω και μόνο για τον λόγο ότι το αποτέλεσμα που προέκυψε ήταν ελεγχόμενο. Δεν υπάρχει τέτοιος έλεγχος εδώ. Η μελέτη των τμημάτων των Ανώτερων Μαθηματικών δίνει θετικά αποτελέσματα. Οι τάξεις σε αυτό το μάθημα έφεραν αποτελέσματα: - μεγάλος αριθμός θεωρητικών και πρακτικό υλικό; - ανέπτυξε τη δυνατότητα επιλογής μιας μεθόδου για τον υπολογισμό του ορίου. - έχει αναπτυχθεί η κατάλληλη χρήση κάθε μεθόδου υπολογισμού. - η ικανότητα σχεδιασμού ενός αλγόριθμου εργασιών έχει παγιωθεί. Θα συνεχίσουμε να μελετάμε τμήματα ανώτερων μαθηματικών. Ο σκοπός της μελέτης του είναι ότι θα είμαστε καλά προετοιμασμένοι να ξαναμελετήσουμε το μάθημα των ανώτερων μαθηματικών.

Κανόνες υπολογισμού ορίων Αν lim f(x) = b και lim g(x) =c, τότε x 1) Το όριο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Το όριο του γινομένου είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Το όριο του πηλίκου είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) Το Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να ληφθεί εκτός του οριακού πρόσημου: lim k f(x) = k lim f(x) = k b x x

Σχέδιο σημειώσεων Γραφήματα συναρτήσεων y=1/x και y=1/x 2. Γραφήματα συναρτήσεων y=1/x m, για m άρτιο και περιττό. Η έννοια της οριζόντιας ασύμπτωτης. Έννοιες του ορίου μιας συνάρτησης στα +, -,. Γεωμετρική σημασία του ορίου μιας συνάρτησης στα +, -,. Κανόνες για τον υπολογισμό των ορίων μιας συνάρτησης. Τύποι για τον υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης. Τεχνικές υπολογισμού των ορίων μιας συνάρτησης.

Περίληψη μαθήματος Τι σημαίνει ότι μια συνάρτηση έχει όριο στο άπειρο; Τι ασύμπτωτη έχει η συνάρτηση y=1/ x 4; Ποιους κανόνες γνωρίζετε για τον υπολογισμό των ορίων μιας συνάρτησης στο άπειρο; Με ποιους τύπους υπολογισμού ορίων στο άπειρο έχετε εξοικειωθεί; Πώς να βρείτε lim (5-3x 3) / (6x 3 +2); x

Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία: - A.G. Mordkovich. Άλγεβρα και έναρξη μαθημάτων λογισμού. Mnemosyne.M A.G.Mordkovich., P.V.Semenov. Μεθοδικό εγχειρίδιογια τον δάσκαλο. Άλγεβρα και αρχές της τάξης του λογισμού. Βασικό επίπεδο. Μ. Μνημοσύνη. 2010

Παρουσίαση «Όριο Λειτουργίας» - οπτικό βοήθημα, που βοηθά στη μελέτη υλικού για αυτό το θέμα στην άλγεβρα. Το εγχειρίδιο περιέχει μια λεπτομερή, κατανοητή περιγραφή του θεωρητικού υλικού που αποκαλύπτει την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης, τη γραφική αναπαράστασή της, τους κανόνες για τον υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης και τη σύνδεση μεταξύ των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και του ορίου της. Ολοι θεωρητικές βάσεις, που αναφέρονται στην παρουσίαση, υποστηρίζονται κατά τη διάρκεια της επίδειξης από μια περιγραφή της λύσης των αντίστοιχων εργασιών.

Η παρουσίαση του υλικού με τη μορφή παρουσίασης καθιστά δυνατή την παρουσίαση των εννοιών που μελετώνται με πιο βολικό τρόπο κατανόησης. Χρησιμοποιήστε αποτελεσματικά εργαλεία για να απομνημονεύσετε υλικό.

Η παρουσίαση ξεκινά με μια υπενθύμιση του τύπου της συναρτησιακής εξάρτησης y=f(n), nϵN. Η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης αποκαλύπτεται κατά την κατασκευή ενός γραφήματος αυτής της συνάρτησης. Σημειώνεται ότι η ισότητα limf(n)=bat n→∞ σημαίνει ότι η ευθεία γραμμή у=b σχεδιάζεται σε επίπεδο συντεταγμένων, παριστάνει την οριζόντια ασύμπτωτη προς την οποία τείνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ως n→∞. Η δεύτερη διαφάνεια δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y=f(x) στο επίπεδο συντεταγμένων, το πεδίο ορισμού της οποίας βρίσκεται στο διάστημα D(f)=. Εάν υπάρχει μια οριζόντια ασύμπτωτη y=b στο πεδίο ορισμού, η συνάρτηση τείνει προς την τιμή όριο lim f(x)=b για x→-∞. Η προσέγγιση της συνάρτησης στην ασύμπτωτη φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα που παρουσιάζεται στη διαφάνεια.

Η διαφάνεια 4 περιγράφει την περίπτωση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης που πλησιάζει μια οριζόντια ασύμπτωτη όταν το όρισμά της τείνει και στο +∞ και στο -∞. Αυτό σημαίνει την ταυτόχρονη εκπλήρωση των συνθηκών limf(x)=b για x→-∞ και limf(x)=b για x→+∞. Διαφορετικά, μπορούμε να γράψουμε limf(x)=b για x→∞. Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης και τη συμπεριφορά του γραφήματος της στο επίπεδο συντεταγμένων.

Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι κανόνες για τον υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης. Η ιδιότητα 1 σημειώνει ότι για τη συνάρτηση k/x m με φυσικό m η ισότητα lim(k/x m)=0 για x→∞ θα είναι αληθής. Η δεύτερη παράγραφος αναφέρει ότι για τα όρια δύο συναρτήσεων limf(x)=b και limg(x)=c θα ισχύουν παρόμοιες ιδιότητες ορίων ακολουθίας. Δηλαδή, το όριο του αθροίσματος καθορίζεται από το άθροισμα των ορίων lim(f(x) + g(x))= b+с, το όριο του γινομένου είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων limf(x) g(x)= bс, το όριο του πηλίκου είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων limf(x)/g (x) = b/c για g(x)≠0 και c≠0, και επίσης ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το οριακό πρόσημο limkf(x) = kb.

Μπορείτε να ενοποιήσετε τη γνώση που αποκτήσατε περιγράφοντας τη λύση στο Παράδειγμα 1, στο οποίο πρέπει να προσδιορίσετε το lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9). Για να ληφθεί μια λύση, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρούνται με την υψηλότερη ισχύ της μεταβλητής, δηλαδή x 5. Μετά τον υπολογισμό παίρνουμε lim(√3-17/ x 5)/(1+9/x 5).

Έχοντας αξιολογήσει τα όρια και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ενός ορίου πηλίκου, προσδιορίζουμε ότι lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9)=√3/1=√3. Μια σημαντική σημείωση για αυτό το παράδειγμα είναι ότι ο υπολογισμός των ορίων μιας συνάρτησης είναι παρόμοιος με τον υπολογισμό των ορίων των ακολουθιών, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι το x δεν μπορεί να λάβει την τιμή - 5 √9, η οποία μετατρέπει τον παρονομαστή σε μηδέν.

Η επόμενη διαφάνεια εξετάζει την περίπτωση που x→a. Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι για μια συγκεκριμένη συνάρτηση f(x) καθώς η μεταβλητή πλησιάζει το σημείο a, η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει την τεταγμένη του αντίστοιχου σημείου στη γραφική παράσταση, δηλαδή limf(x)=b ως x→a.

Οι διαφάνειες 9, 10, 11 περιέχουν ορισμούς που αποκαλύπτουν τις έννοιες της συνέχειας μιας συνάρτησης, συνεχούς συνάρτησης σε ένα σημείο, σε ένα διάστημα. Σε αυτή την περίπτωση, μια συνάρτηση θεωρείται συνεχής εάν limf(x)= f(a) ως x→a. Στο σημείο a, μια συνάρτηση θα είναι συνεχής εάν η σχέση limf(x)= f(a) είναι αληθής ως x→a, και η συνεχής στο διάστημα X θα είναι μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος X.

Δίνονται παραδείγματα εκτίμησης της συνέχειας των συναρτήσεων. Σημειώνεται ότι οι συναρτήσεις y=C, y=kx+m, y=ax 2 +bx+c, y=|x|, y=x n για φυσικό n είναι συνεχείς σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, η συνάρτηση y=√ Το x είναι συνεχές στον θετικό ημιάξονα και η συνάρτηση y=x n είναι συνεχής στον θετικό ημιάξονα και στον αρνητικό ημιάξονα με ασυνέχεια στο σημείο 0, συνεχής θα είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις y=sinx, y=cosx σε ολόκληρη τη γραμμή και y=tgx, y=ctgx σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Επίσης μια συνάρτηση που αποτελείται από ορθολογικές ή παράλογες, τριγωνομετρικές εκφράσεις, είναι συνεχής για όλα τα σημεία όπου ορίζεται η συνάρτηση.

Στο παράδειγμα 2, πρέπει να υπολογίσετε το όριο όριο (x 3 +3x 2 -11x-8) για το x→-1. Στην αρχή της απόφασης σημειώνεται ότι αυτή τη λειτουργία, που αποτελείται από ορθολογικές εκφράσεις, που ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα και στο σημείο x=-1. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x = -1 και όταν την πλησιάζει, το όριο λαμβάνει την τιμή της συνάρτησης, δηλαδή lim (x 3 +3x 2 -11x-8) = 5 στο x→-1.

Το Παράδειγμα 3 δείχνει τον υπολογισμό του ορίου lim (cosπx/√x+6) για το x→1. Σημειώνεται ότι η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, επομένως είναι συνεχής στο σημείο x=1, επομένως, lim (cosπx/√x+6)=-1/7 στο x→1.

Στο παράδειγμα 4, πρέπει να υπολογίσετε το lim((x 2 -25)/(x-5)) για το x→5. Αυτό το παράδειγμα είναι ιδιαίτερο στο ότι για x=5 ο παρονομαστής της συνάρτησης πηγαίνει στο μηδέν, κάτι που είναι απαράδεκτο. Μπορείτε να προσδιορίσετε το όριο μετασχηματίζοντας την έκφραση. Μετά την αναγωγή παίρνουμε f(x)=x+5. Μόνο στην αναζήτηση λύσεων θα πρέπει κανείς να λάβει υπόψη του ότι x≠5. Σε αυτήν την περίπτωση, lim((x 2 -25)/(x-5))= lim(x+5)=10 για x→5.

Η διαφάνεια 17 περιγράφει μια σημείωση που δείχνει πώς να αποκτήσετε το σημαντικό όριο lim(sint/t)=1 ως t →0 χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό κύκλο.

Η διαφάνεια 18 παρουσιάζει τον ορισμό της αύξησης ορίσματος και της αύξησης συνάρτησης. Η αύξηση του ορίσματος αντιπροσωπεύεται από τη διαφορά μεταξύ των μεταβλητών x 1 - x 0 για τη συνάρτηση που ορίζεται στα σημεία x 0 και x 1. Στην περίπτωση αυτή, η μεταβολή της τιμής της συνάρτησης f(x 1) - f(x 0) ονομάζεται αύξηση της συνάρτησης. Εισάγονται σημειώσεις για την αύξηση του ορίσματος Δx και την αύξηση της συνάρτησης Δf(x).

Στο παράδειγμα 5, η αύξηση της συνάρτησης y=x 2 προσδιορίζεται όταν το σημείο x 0 =2 μετακινηθεί σε x=2,1 και x=1,98. Η επίλυση του παραδείγματος καταλήγει στην εύρεση των τιμών στα σημεία έναρξης και στο τέλος και στη διαφορά τους. Άρα, στην πρώτη περίπτωση Δу=4,41-4=0,41, και στη δεύτερη περίπτωση Δου=3,9204-4=-0,0796.

Στη διαφάνεια 21 σημειώνεται ότι για x→a ο συμβολισμός ισχύει (x-a)→0, που σημαίνει Δx→0. Επίσης, όπως τείνει η f(x) → f(a), που χρησιμοποιείται στον ορισμό της συνέχειας, ισχύει ο συμβολισμός f(x)-f(a) →0, δηλαδή Δου→0. Χρησιμοποιώντας αυτή η καταχώρηση, δίνεται νέος ορισμός της συνέχειας στο σημείο x=a, αν η συνάρτηση f(x) ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: αν Δх→0, τότε Δу→0.

Για την ενοποίηση του υλικού, περιγράφεται η λύση στα παραδείγματα 6 και 7, στα οποία πρέπει να βρείτε την αύξηση μιας συνάρτησης και το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος. Στο παράδειγμα 6 αυτό πρέπει να γίνει για τη συνάρτηση y=kx+m. Εμφανίζεται η αύξηση της συνάρτησης όταν ένα σημείο μετακινείται από το x στο (x+ Δx), που δείχνει τις αλλαγές στο γράφημα. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει Δу= kΔх, και lim(Δου/ Δх)=k για Δх→0. Η συμπεριφορά της συνάρτησης y = x 3 αναλύεται με παρόμοιο τρόπο. Η προσαύξηση αυτής της συνάρτησης όταν ένα σημείο μετακινείται από το x στο (x+ Δx) είναι ίσο με Δου=(3x 2 +3x Δx+(Δx) 2) Δx και το όριο της συνάρτησης είναι lim(Δου/ Δx)=3x 2 .

Η παρουσίαση «Το όριο μιας συνάρτησης» μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διδασκαλία ενός παραδοσιακού μαθήματος. Συνιστάται η χρήση της παρουσίασης ως εργαλείου εξ αποστάσεως εκπαίδευση. Αν χρειαστεί αυτοδιδασκαλίαθέματα το εγχειρίδιο του μαθητή συνιστάται για ανεξάρτητη εργασία.