Η περιοχή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα τρίγωνο
Μια ακτίνα είναι μια γραμμή που συνδέει οποιοδήποτε σημείο σε έναν κύκλο με το κέντρο του. Αυτό είναι ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του αριθμού αυτού, αφού στη βάση του μπορούν να υπολογιστούν όλες οι άλλες παράμετροι. Εάν γνωρίζετε πώς μπορείτε να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, τότε μπορείτε να υπολογίσετε τη διάμετρο, το μήκος και την περιοχή. Στην περίπτωση που αυτή η εικόνα είναι εγγεγραμμένη ή περιγραφεί γύρω από μια άλλη, τότε μπορεί να επιλυθεί μια ολόκληρη σειρά καθηκόντων. Σήμερα θα αναλύσουμε τους βασικούς τύπους και τα χαρακτηριστικά της εφαρμογής τους.
Γνωστές τιμές
Εάν γνωρίζετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, που συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα R, τότε μπορεί να υπολογιστεί από ένα χαρακτηριστικό. Αυτές οι τιμές περιλαμβάνουν:
- περιφέρεια (C).
- διάμετρος (D) - ένα τμήμα (ή μάλλον μια χορδή) που διέρχεται από ένα κεντρικό σημείο.
- περιοχή (S) - χώρος που περιορίζεται από αυτό το σχήμα.
Περιφέρεια
Εάν η τιμή του C είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε R \u003d C / (2 * P). Αυτός ο τύπος είναι παράγωγος. Εάν γνωρίζουμε ποια είναι η περιφέρεια, τότε δεν χρειάζεται πλέον να θυμόμαστε. Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα C \u003d 20 μ. Πώς να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου σε αυτή την περίπτωση; Απλώς αντικαταστήστε τη γνωστή τιμή στον παραπάνω τύπο. Σημειώστε ότι σε τέτοια προβλήματα η γνώση του αριθμού πάντα είναι πάντα υπονοούμενη. Η λύση στην περίπτωση αυτή είναι η εξής: να γράψετε τι ποσότητες δίδονται, να αντλήσετε τον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς. Στην απάντηση γράφουμε ότι η ακτίνα είναι 20 / (2 * 3.14) \u003d 3.19 μ. Είναι σημαντικό να μην ξεχάσουμε τι μετρήσαμε και να αναφέρουμε το όνομα των μονάδων.
Σε διάμετρο
Τονίζουμε αμέσως ότι αυτό είναι το απλούστερο είδος προβλήματος που ρωτά πώς να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου. Εάν ένα τέτοιο παράδειγμα συναντά τον εαυτό σας στον έλεγχο, τότε μπορείτε να είστε ήρεμοι. Δεν χρειάζεστε ούτε μια αριθμομηχανή! Όπως έχουμε ήδη πει, η διάμετρος είναι ένα τμήμα ή, πιο σωστά, μια χορδή που περνάει από το κέντρο. Επιπλέον, όλα τα σημεία του κύκλου είναι ισοδύναμα. Επομένως, αυτή η χορδή αποτελείται από δύο μισά. Κάθε μία από αυτές είναι μια ακτίνα, η οποία προκύπτει από τον ορισμό της ως τμήμα που συνδέει ένα σημείο σε έναν κύκλο και το κέντρο του. Εάν η διάμετρος είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε για να βρείτε την ακτίνα απλά πρέπει να διαιρέσετε αυτήν την τιμή σε δύο. Ο τύπος είναι ως εξής: R \u003d D / 2. Για παράδειγμα, αν η διάμετρος στο πρόβλημα είναι 10 μέτρα, τότε η ακτίνα είναι 5 μέτρα.
Ανά περιοχή ενός κύκλου
Αυτός ο τύπος εργασίας συνήθως ονομάζεται πιο δύσκολος. Αυτό οφείλεται κυρίως στην άγνοια του τύπου. Εάν γνωρίζετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου στην περίπτωση αυτή, τότε το υπόλοιπο είναι ζήτημα τεχνολογίας. Στην αριθμομηχανή, πρέπει μόνο να βρείτε το εικονίδιο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας εκ των προτέρων. Η περιοχή ενός κύκλου είναι το προϊόν του αριθμού Ρ και η ακτίνα πολλαπλασιάζεται από μόνη της. Ο τύπος έχει ως εξής: S \u003d P * R2. Με την απομόνωση της ακτίνας από τη μια πλευρά της εξίσωσης, μπορείτε εύκολα να λύσετε το πρόβλημα. Θα είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου της διαίρεσης της περιοχής με τον αριθμό P. Εάν S \u003d 10 m τότε R \u003d 1,78 μέτρα. Όπως και στις προηγούμενες εργασίες, είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε τις μονάδες που χρησιμοποιούνται.
Πώς να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου
Υποθέστε ότι a, b, c είναι πλευρές ενός τριγώνου. Εάν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει πρώτα να βρείτε το ημιπερατόμετρο του τριγώνου. Για να γίνει ευκολότερο να αντιληφθεί κανείς, το υποδηλώνουμε με το μικρό γράμμα p. Θα ισούται με το ήμισυ του ποσού των μερών. Ο τύπος του: p \u003d (a + b + c) / 2.
Υπολογίζουμε επίσης το προϊόν των μηκών των πλευρών. Για λόγους ευκολίας, το δηλώνουμε με το γράμμα S. Ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου θα φαίνεται ως εξής: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
Εξετάστε ένα παράδειγμα εργασίας. Έχουμε έναν κύκλο περιγεγραμμένο γύρω από ένα τρίγωνο. Τα μήκη των πλευρών του είναι 5, 6 και 7 cm. Αρχικά, υπολογίζουμε την μισή περίμετρο. Στο καθήκον μας, θα είναι ίσο με 9 εκατοστά. Τώρα υπολογίζουμε το προϊόν των μηκών των πλευρών - 210. Αντικαθιστάμε τα αποτελέσματα των ενδιάμεσων υπολογισμών στον τύπο και ανακαλύπτουμε το αποτέλεσμα. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι 3,57 εκατοστά. Γράφουμε την απάντηση, χωρίς να ξεχνάμε τις μονάδες μέτρησης.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου
Υποθέστε ότι a, b, c είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου. Αν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Πρώτα πρέπει να βρείτε την μισή περίμετρο του. Για να διευκολύνουμε την κατανόηση, το δηλώνουμε με το μικρό γράμμα p. Ο τύπος για τον υπολογισμό του είναι ως εξής: p \u003d (a + b + c) / 2. Αυτός ο τύπος εργασίας είναι κάπως απλούστερος από τον προηγούμενο, οπότε δεν απαιτούνται περαιτέρω ενδιάμεσοι υπολογισμοί.
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Σκεφτείτε το με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα περιγράφεται ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 7 και 10 cm. Ένας κύκλος του οποίου βρίσκεται η ακτίνα είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Αρχικά βρίσκουμε την μισή περίμετρο. Στο πρόβλημά μας, θα είναι ίσο με 11 cm. Τώρα το αντικαθιστούμε στον κύριο τύπο. Η ακτίνα θα είναι ίση με 1,65 εκατοστά. Γράφουμε την απάντηση και μην ξεχάσουμε τις σωστές μονάδες μέτρησης.
Κύκλος και τις ιδιότητές του
Κάθε γεωμετρικός αριθμός έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Από την αντίληψή τους εξαρτάται η σωστή λύση στα προβλήματα. Υπάρχουν επίσης κύκλοι. Συχνά χρησιμοποιούνται για την επίλυση παραδειγμάτων με περιγραφόμενα ή χαραγμένα στοιχεία, δεδομένου ότι δίνουν μια σαφή εικόνα μιας τέτοιας κατάστασης. Μεταξύ αυτών είναι:
- Μια γραμμή μπορεί να έχει μηδέν, ένα ή δύο σημεία τομής με έναν κύκλο. Στην πρώτη περίπτωση, δεν έρχεται σε επαφή με αυτό, στη δεύτερη είναι εφαπτόμενη, στην τρίτη είναι διακεκομμένη.
- Αν πάρουμε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, τότε μόνο ένας κύκλος μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτά.
- Μια ευθεία γραμμή μπορεί να είναι εφαπτόμενη σε δύο αριθμούς ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση, θα περάσει από το σημείο που βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει τα κέντρα των κύκλων. Το μήκος του είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων αυτών.
- Ένας άπειρος αριθμός κύκλων μπορεί να τραβηχτεί μέσω ενός ή δύο σημείων.
Πολύ συχνά, κατά την επίλυση των γεωμετρικών προβλημάτων, πρέπει να εκτελούνται ενέργειες με βοηθητικές φιγούρες. Για παράδειγμα, βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου κλπ. Αυτό το άρθρο θα σας δείξει πώς μπορείτε να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα τρίγωνο. Ή, με άλλα λόγια, η ακτίνα του κύκλου μέσα στον οποίο είναι γραμμένο το τρίγωνο.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα τρίγωνο - γενικός τύπος
Ο γενικός τύπος είναι ο ακόλουθος: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, p είναι η περίμετρος του τριγώνου διαιρούμενο με 2 (μισή περίμετρος). a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου.
Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου αν a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.
Έτσι, με βάση τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε την μισή περίμετρο:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.
Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο και πάρτε:
R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8-3) (8-6) (8-7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.
Απάντηση: R \u003d 126 / 16√5
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περιγράφεται κοντά σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο
Για να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου που περιγράφεται κοντά σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, υπάρχει ένας μάλλον απλός τύπος: R \u003d a / √3, όπου a είναι το μέγεθος της πλευράς του.
Παράδειγμα: Η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 5. Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
Δεδομένου ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει απλά να εισαγάγετε την αξία του στον τύπο. Παίρνουμε: R \u003d 5 / √3.
Απάντηση: R \u003d 5 / √3.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου κοντά σε ένα δεξί τρίγωνο
Ο τύπος έχει ως εξής: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, όπου a και b είναι τα πόδια και c είναι η υποτείνουσα. Αν προσθέσουμε τα τετράγωνα των ποδιών σε ένα ορθό τρίγωνο, παίρνουμε το τετράγωνο της υποτείνουσας. Όπως μπορεί να φανεί από τον τύπο, αυτή η έκφραση βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. Υπολογίζοντας τη ρίζα του τετραγώνου της υποτείνουσας, παίρνουμε το ίδιο το μήκος. Ο πολλαπλασιασμός της προκύπτουσας έκφρασης κατά 1/2 τελικά μας οδηγεί στην έκφραση 1/2 × c \u003d c / 2.
Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου αν τα σκέλη του τριγώνου είναι 3 και 4. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο. Παίρνουμε: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2,5.
Στην έκφραση αυτή, 5 είναι το μήκος της υποτείνουσας.
Απάντηση: R \u003d 2.5.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο
Ο τύπος έχει ως εξής: R \u003d a² / √ (4a² - b²), όπου a είναι το μήκος του ισχίου του τριγώνου και b είναι το μήκος της βάσης.
Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα ενός κύκλου αν ο ισχός του \u003d 7 και η βάση \u003d 8.
Λύση: Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στον τύπο και παίρνουμε: R \u003d 7 ² / √ (4 × 7 ² - 8 ²).
R \u003d 49 / √ (196-64) \u003d 49 / √132. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί απευθείας όπως αυτή.
Απάντηση: R \u003d 49 / √132
Ηλεκτρονικοί πόροι για τον υπολογισμό της ακτίνας ενός κύκλου
Μπορείτε να μπερδευτείτε σε όλες αυτές τις φόρμουλες πολύ εύκολα. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικούς υπολογιστές που θα σας βοηθήσουν στην επίλυση προβλημάτων εύρεσης της ακτίνας. Η αρχή της λειτουργίας τέτοιων μίνι προγραμμάτων είναι πολύ απλή. Αντικαταστήστε την τιμή της πλευράς στο κατάλληλο πεδίο και λάβετε μια έτοιμη απάντηση. Μπορείτε να επιλέξετε διάφορες επιλογές για στρογγυλοποίηση της απάντησης: σε δεκαδικό, εκατοστά, χιλιοστά, κλπ.
Στη σύγχρονη μηχανική, χρησιμοποιούνται πολλά στοιχεία και ανταλλακτικά, τα οποία έχουν τόσο εξωτερικούς όσο και εσωτερικούς κύκλους στη δομή τους. Τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα είναι το περίβλημα του ρουλεμάν, τα μέρη του κινητήρα, τα συγκροτήματα πλήμνης και πολλά άλλα. Στην κατασκευή τους χρησιμοποιούνται όχι μόνο συσκευές υψηλής τεχνολογίας, αλλά και γνώσεις από τη γεωμετρία, ιδιαίτερα πληροφορίες σχετικά με τις περιφέρειες ενός τριγώνου. Θα εξοικειωθούμε με παρόμοια γνώση με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
Vkontakte
Ποιος κύκλος είναι εγγεγραμμένος και που περιγράφεται
Πρώτα απ 'όλα, θυμηθείτε ότι ο κύκλος ονομάζεται άπειρος πολλά σημεία στην ίδια απόσταση από το κέντρο. Εάν επιτρέπεται να οικοδομήσουμε έναν κύκλο στο εσωτερικό του πολυγώνου, το οποίο με κάθε πλευρά θα έχει μόνο ένα κοινό σημείο τομής, τότε θα καλείται εγγεγραμμένο. Ένας περιγεγραμμένος κύκλος (δεν είναι ένας κύκλος, πρόκειται για διαφορετικές έννοιες) είναι ένας γεωμετρικός τόπος των σημείων όπου μόνο μια κορυφή του πολυγώνου θα έχει κοινά σημεία για μια κατασκευασμένη μορφή με ένα δεδομένο πολύγωνο. Θα γνωρίσουμε αυτές τις δύο έννοιες σε ένα πιο ενδεικτικό παράδειγμα (βλ. Σχήμα 1).
Σχήμα 1. Εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι ενός τριγώνου
Δύο φιγούρες με μεγάλες και μικρές διαμέτρους, τα κέντρα των οποίων είναι G και I, είναι χτισμένα πάνω στην εικόνα. Ο κύκλος μιας μεγαλύτερης τιμής ονομάζεται περιγραφόμενη περιοχή Δ ABC και ο μικρός - αντίθετα, γράφεται στο Δ ABC.
Για να περιγράψουμε το περιβάλλον γύρω από ένα τρίγωνο, τραβήξτε μια κάθετη ευθεία μέσα από τη μέση κάθε πλευράς(δηλαδή υπό γωνία 90 °) - αυτό είναι το σημείο τομής, παίζει σημαντικό ρόλο. Αυτό θα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Προτού βρείτε έναν κύκλο, το κέντρο του σε ένα τρίγωνο, πρέπει να χτίσετε για κάθε γωνία και, στη συνέχεια, να επιλέξετε το σημείο τομής των γραμμών. Αυτό, με τη σειρά του, θα είναι το κέντρο της εγγεγραμμένης γειτονιάς και η ακτίνα της κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες θα είναι κάθετη σε κάθε πλευρά.
Στο ερώτημα: "Πόσοι εγγεγραμμένοι κύκλοι μπορούν να υπάρχουν για ένα πολύγωνο με τρεις;" Απαντάμε αμέσως ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο και μόνο ένα. Επειδή υπάρχει μόνο ένα σημείο τομής όλων των διχοτόμων και ένα σημείο τομής κάθετων που προέρχεται από τα μεσαία σημεία των πλευρών.
Ιδιότητα του κύκλου στον οποίο ανήκουν οι κορυφές του τριγώνου
Ο περιγραφόμενος κύκλος, ο οποίος εξαρτάται από τα μήκη των πλευρών στη βάση, έχει τις δικές του ιδιότητες. Δηλώνουμε τις ιδιότητες του περιγεγραμμένου κύκλου:
Προκειμένου να κατανοήσουμε καλύτερα την αρχή του περιγεγραμμένου κύκλου, θα λύσουμε ένα απλό πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα τρίγωνο Δ ABC, των οποίων οι πλευρές είναι 10, 15 και 8,5 εκ. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου κοντά στο τρίγωνο (FB) είναι 7,9 εκ. Βρείτε το μέτρο βαθμού κάθε γωνίας και της περιοχής τριγώνου μέσα από αυτά.
Σχήμα 2. Αναζητήστε την ακτίνα του κύκλου μέσω του λόγου των πλευρών και των οδόντων των γωνιών
Λύση: Βάσει του προαναφερθέντος ομότιμου θεωρήματος, βρίσκουμε ξεχωριστά την ημιτονοειδή τιμή κάθε γωνίας. Με όρους, είναι γνωστό ότι η πλευρά ΑΒ είναι 10 εκ. Υπολογίζουμε την τιμή του C:
Χρησιμοποιώντας τις τιμές του πίνακα Bradis, διαπιστώνουμε ότι το μέτρο βαθμού της γωνίας C είναι 39 °. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, βρίσκουμε τα υπόλοιπα μέτρα των γωνιών:
Πώς γνωρίζουμε ότι το CAB \u003d 33 °, και ABC \u003d 108 °. Τώρα, γνωρίζοντας τις τιμές των sines κάθε γωνίας και της ακτίνας, βρίσκουμε την περιοχή αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν:
Απάντηση: Η περιοχή του τριγώνου είναι 40,31 cm² και οι γωνίες είναι 33 °, 108 ° και 39 °, αντίστοιχα.
Σημαντικό!Για την επίλυση προβλημάτων ενός τέτοιου σχεδίου, αξίζει να έχετε πάντοτε τραπέζια Bradis ή την αντίστοιχη εφαρμογή στο smartphone, αφού χειροκίνητα η διαδικασία μπορεί να παραμείνει για μεγάλο χρονικό διάστημα. Επίσης, για να εξοικονομήσετε χρόνο, δεν είναι απαραίτητο να χτίσετε και τα τρία midpoints των κάθετων ή των τριών διχοτόμων. Κάθε τρίτο από αυτά θα διασταυρώνονται πάντα στη διασταύρωση των δύο πρώτων. Και για τις ορθόδοξες κατασκευές, τελειώνουν συνήθως το τρίτο. Ίσως αυτό να είναι λάθος στο ερώτημα του αλγορίθμου, αλλά στην εξέταση ή άλλες εξετάσεις εξοικονομεί πολύ χρόνο.
Υπολογισμός της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου
Όλα τα σημεία του κύκλου είναι εξίσου απομακρυσμένα από το κέντρο του στην ίδια απόσταση. Το μήκος αυτού του τμήματος (από και προς) ονομάζεται ακτίνα. Ανάλογα με το είδος του περιβάλλοντος που έχουμε, διακρίνονται δύο τύποι - εσωτερικοί και εξωτερικοί. Κάθε ένα από αυτά υπολογίζεται σύμφωνα με τον δικό του τύπο και σχετίζεται άμεσα με τον υπολογισμό τέτοιων παραμέτρων όπως:
- περιοχή ·
- μέτρηση βαθμού κάθε γωνίας.
- πλευρικά μήκη και περίμετρο.
Εικόνα 3. Θέση του εγγεγραμμένου κύκλου μέσα στο τρίγωνο
Μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της απόστασης από το κέντρο στο σημείο επαφής σε κάθε πλευρά με τους ακόλουθους τρόπους: h πλευρά, πλευρές και γωνίες (για ισοσκελές τρίγωνο).
Χρησιμοποιώντας μισή περίμετρο
Μια μισή περίμετρο ονομάζεται μισό άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών. Αυτή η μέθοδος θεωρείται η πιο δημοφιλής και καθολική, διότι ανεξάρτητα από το είδος του τριγώνου που δίνεται από την κατάσταση, είναι κατάλληλη για όλους. Η διαδικασία υπολογισμού είναι η ακόλουθη:
Εάν δοθεί "σωστή"
Ένα από τα μικρά πλεονεκτήματα του "τέλειου" τριγώνου είναι αυτό οι εγγεγραμμένοι κύκλοι έχουν ένα κέντρο σε ένα σημείο. Αυτό είναι χρήσιμο όταν δημιουργείτε σχήματα. Ωστόσο, σε 80% των περιπτώσεων η απάντηση είναι "άσχημη". Αυτό σημαίνει ότι πολύ σπάνια η ακτίνα της εγγεγραμμένης γειτονιάς θα είναι ολόκληρη, μάλλον το αντίθετο. Για τον απλοποιημένο υπολογισμό, χρησιμοποιείται ο τύπος για την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου σε ένα τρίγωνο:
Εάν τα πλευρικά τοιχώματα έχουν το ίδιο μήκος
Ένας από τους υποτύπους των καθηκόντων για το κράτος. οι εξετάσεις θα βρουν την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, οι δύο πλευρές του οποίου είναι ίσες μεταξύ τους και η τρίτη δεν είναι. Σε αυτή την περίπτωση, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον αλγόριθμο, ο οποίος θα δώσει απτή εξοικονόμηση χρόνου στην εύρεση της διαμέτρου της εγγεγραμμένης περιοχής. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε ένα τρίγωνο με την ίδια "πλευρά" υπολογίζεται από τον τύπο:
Θα παρουσιάσουμε μια πιο οπτική εφαρμογή αυτών των τύπων στο ακόλουθο πρόβλημα. Ας έχουμε ένα τρίγωνο (Δ HJI), στο οποίο ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στο σημείο Κ. Το μήκος της πλευράς είναι HJ \u003d 16 cm, JI \u003d 9,5 cm και η πλευρά του HI είναι 19 cm (Εικόνα 4). Βρείτε την ακτίνα της εγγεγραμμένης γειτονιάς, γνωρίζοντας τις πλευρές.
Σχήμα 4. Αναζητήστε την τιμή της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου
Λύση: για να βρούμε την ακτίνα της εγγεγραμμένης περιοχής, βρίσκουμε την μισή περίμετρο:
Από εδώ, γνωρίζοντας τον μηχανισμό υπολογισμού, διαπιστώνουμε την ακόλουθη τιμή. Για να γίνει αυτό, χρειάζεστε τα μήκη κάθε πλευράς (δεδομένης της κατάστασης), καθώς και το ήμισυ της περιμέτρου, αποδεικνύεται:
Συνεπώς, η επιθυμητή ακτίνα είναι 3,63 εκ. Σύμφωνα με την προϋπόθεση, όλες οι πλευρές είναι ίσες, τότε η επιθυμητή ακτίνα θα είναι ίση με:
Εφόσον το πολύγωνο είναι ισόπλευρο (για παράδειγμα, i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), η διάμετρος του εσωτερικού κύκλου που είναι κεντραρισμένη στο σημείο K θα είναι ίση με:
Στην κατάσταση του προβλήματος, μπορεί να δοθεί ένα τρίγωνο με γωνία 90 °, οπότε δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τον τύπο. Η υποτείνουσα του τριγώνου θα είναι ίση με τη διάμετρο. Πιο σαφώς, μοιάζει με αυτό:
Σημαντικό!Εάν η εργασία είναι να αναζητήσουμε την εσωτερική ακτίνα, δεν συνιστούμε να υπολογίζουμε τις τιμές των sines και των κοσκινών των γωνιών, η τιμή της οποίας δεν είναι ακριβής. Εάν δεν είναι δυνατό να γνωρίζετε διαφορετικά το μήκος, μην προσπαθήσετε να "τραβήξετε" την τιμή από τη ρίζα. Στο 40% των καθηκόντων, η προκύπτουσα τιμή θα είναι υπερβατική (δηλαδή άπειρη) και η επιτροπή δεν μπορεί να μετρήσει την απάντηση (ακόμα και αν είναι σωστή) λόγω της ανακρίβειας ή της εσφαλμένης παρουσίασής της. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στο πώς μπορεί να τροποποιηθεί ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ανάλογα με τα προτεινόμενα δεδομένα. Αυτά τα "κενά" σας επιτρέπουν να δείτε το σενάριο για την εκ των προτέρων επίλυση του προβλήματος και να επιλέξετε την πιο οικονομική λύση.
Ακτίνα του εσωτερικού κύκλου και της περιοχής
Για να υπολογίσετε μόνο την περιοχή ενός τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο την ακτίνα και τα μήκη των πλευρών του πολυγώνου:
Εάν η τιμή της ακτίνας δεν δίνεται απευθείας στην κατάσταση του προβλήματος, αλλά μόνο στην περιοχή, τότε ο καθορισμένος τύπος περιοχής μετασχηματίζεται στα εξής:
Εξετάστε τη δράση του τελευταίου τύπου σε ένα πιο συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα τρίγωνο στο οποίο είναι εγγεγραμμένο το περιβάλλον. Η περιοχή της γειτονιάς είναι 4π, και οι πλευρές είναι 4, 5 και 6 cm, αντίστοιχα. Υπολογίζουμε την περιοχή του δεδομένου πολυγώνου υπολογίζοντας την μισή περίμετρο.
Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο, υπολογίζουμε την περιοχή του τριγώνου μέσα από την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:
Λόγω του γεγονότος ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο, ο αριθμός των διακυμάνσεων στην εύρεση της περιοχής αυξάνεται σημαντικά. Π.χ. η αναζήτηση για την περιοχή ενός τριγώνου περιλαμβάνει την υποχρεωτική γνώση του μήκους κάθε πλευράς, καθώς και την αξία της ακτίνας.
Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Γεωμετρία βαθμού 7.
Ορθογωνικά τρίγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο
Συμπέρασμα
Από αυτούς τους τύπους, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι η πολυπλοκότητα οποιασδήποτε εργασίας με χρήση εγγεγραμμένων κύκλων και κύκλων συνίσταται μόνο σε πρόσθετες ενέργειες για να βρεθούν οι απαιτούμενες τιμές. Οι εργασίες αυτού του τύπου απαιτούν μόνο μια πλήρη κατανόηση της ουσίας των τύπων, καθώς και της ορθολογικότητας της εφαρμογής τους. Από την πρακτική της λύσης, σημειώνουμε ότι στο μέλλον το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου θα εμφανιστεί και σε άλλα θέματα γεωμετρίας, επομένως δεν πρέπει να ξεκινήσει. Διαφορετικά, η απόφαση μπορεί να καθυστερήσει χρησιμοποιώντας περιττές κινήσεις και λογικά συμπεράσματα.
Επίπεδο εισόδου
Ο περιγεγραμμένος κύκλος. Οπτικός οδηγός (2019)
Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει: περιγράφεται - γύρω από τι;
Λοιπόν, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για τον κύκλο που περιγράφεται γύρω (μερικές φορές λένε επίσης "για") το τρίγωνο. Τι είναι αυτό;
Και τώρα, φανταστείτε ένα καταπληκτικό γεγονός:
Γιατί είναι αυτό το γεγονός εκπληκτικό;
Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!
Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει μέσω και των τριών κορυφών, δηλαδή τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Μπορείτε να βρείτε μια απόδειξη αυτού του εκπληκτικού γεγονότος στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε δεν υπάρχει πια κύκλος που περνά μέσα από τέσσερις κορυφές. Ας πούμε, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!
Και υπάρχει μόνο για το ορθογώνιο:
Καλά εδώ και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο! Και ακόμα είναι πάντα πολύ απλό να βρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου.
Ξέρετε τι είναι μεσαία κάθετα?
Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει αν κοιτάξουμε τρεις ολόκληρες μεσαίες κάθετες στις πλευρές του τριγώνου.
Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα) αυτό Και οι τρεις κάθετες μορφές τέμνονται σε ένα σημείο. Κοιτάξτε το σχήμα - και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.
Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!
Αλλά αν οξεία-γωνία, τότε - μέσα:
Τι να κάνετε με ένα σωστό τρίγωνο;
Ναι, με ένα επιπλέον μπόνους:
Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του οριοθετημένου κύκλου: τι είναι ίσο με ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει μια απάντηση σε αυτή την ερώτηση: το λεγόμενο.
Δηλαδή:
Καλά και φυσικά
1. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου
Τότε τίθεται το ερώτημα: Υπάρχει ένας τέτοιος κύκλος για οποιοδήποτε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Επιπλέον, θα διαμορφώσουμε τώρα ένα θεώρημα που θα απαντά και στο ερώτημα που βρίσκεται το κέντρο του περιγραφέντος κύκλου.
Μοιάζει με αυτό:
Ας πάρουμε το θάρρος και να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Εάν διαβάσατε ήδη το θέμα "", κατανοήσατε γιατί οι τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι ευκολότερο για σας, αλλά αν δεν το έχετε διαβάσει, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.
Η απόδειξη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την έννοια ενός γεωμετρικού τόπου των σημείων (ТТТ).
Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι πολλές μπάλες ένα "γεωμετρικό μέρος" για στρογγυλά αντικείμενα; Όχι, φυσικά, επειδή υπάρχουν γύροι ... καρπούζια. Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι, "γεωμετρικοί τόποι" που μπορούν να μιλήσουν; Όχι, επειδή υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, γενικά, είναι δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα ενός πραγματικού "γεωμετρικού τόπου των σημείων". Στη γεωμετρία είναι πιο εύκολο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:
Εδώ το σετ είναι το μέσο κάθετο και η ιδιότητα "" είναι ισόπονη (σημείο) από τα άκρα του τμήματος. "
Ελέγξτε το; Έτσι, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:
- Οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται σε ίσες αποστάσεις από τα άκρα του τμήματος βρίσκεται στο μέσο κάθετο προς αυτό.
Συνδέστε με και C. Στη συνέχεια, η γραμμή είναι η διάμεση και το ύψος στο. Έτσι, - ισοσκελές - βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στο μέσο κάθετο είναι εξίσου απομακρυσμένο από τα σημεία και.
Πάρτε τη μέση και συνδέστε και. Το αποτέλεσμα είναι διάμεσος. Αλλά - σύμφωνα με την προϋπόθεση, isosceles όχι μόνο το διάμεσο, αλλά και το ύψος, δηλαδή, το μέσο κάθετο. Έτσι, το σημείο - ακριβώς βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
Αυτό είναι όλο! Έλεγξε πλήρως το γεγονός ότι η μέση κάθετη προς το τμήμα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν εξίσου από τα άκρα του τμήματος.
Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον οριοθετημένο κύκλο; Καθόλου, μόλις ετοιμάσαμε για τον εαυτό μας ένα "εφαλτήριο για μια επίθεση".
Εξετάστε το τρίγωνο. Σχεδιάστε δύο μεσαία κάθετα και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα τέμνονται σε κάποιο σημείο που θα καλέσουμε.
Και τώρα, προσοχή!
Το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
το σημείο βρίσκεται στο μέσο κάθετο.
Και αυτό σημαίνει, και.
Από εδώ πολλά πράγματα ακολουθούν αμέσως:
Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη μεσαία κάθετο προς το τμήμα.
Δηλαδή, η μέση κάθετη απαιτείται επίσης να περάσει από το σημείο, και οι τρεις μεσαίες κάθετες τέμνονται σε ένα σημείο.
Δεύτερον, αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα, τότε αυτός ο κύκλος θα περάσει επίσης από το σημείο και μέσα από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Έτσι, υπάρχει ήδη ότι η τομή των τριών μέσων κατακορύφων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.
Και το τελευταίο: για μοναδικότητα. Είναι σαφές (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να επιτευχθεί με ένα μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι επίσης μοναδικός. Λοιπόν, "σχεδόν" - ας το αφήσουμε για να σκεφτείτε. Αυτό απέδειξε το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!".
Και αν το πρόβλημα είναι "βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου"; Ή αντίστροφα, η ακτίνα δίνεται, αλλά είναι απαραίτητο να βρούμε κάτι άλλο; Υπάρχει ένας τύπος που συνδέει την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου με άλλα στοιχεία του τριγώνου;
Δώστε προσοχή: το ίδιο το θεωρεί αυτό για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μία πλευρά (οποιαδήποτε!) και την αντίθετη γωνία. Και αυτό είναι!
3. Κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω
Και τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο.
Απάντηση: όσο μπορείτε. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.
Και σε γενικές γραμμές:
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ
1. Ο κύκλος που περιγράφεται κοντά στο τρίγωνο
Αυτός είναι ο κύκλος που περνάει και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.
2. Η ύπαρξη και το κέντρο του οριοθετημένου κύκλου
Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάσετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ δροσεροί.
Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κυριαρχήσει κάτι από μόνοι τους. Και αν διαβάσετε μέχρι το τέλος, τότε μπήκατε σε αυτά τα 5%!
Τώρα το πιο σημαντικό πράγμα.
Σκέφτηκες μια θεωρία σχετικά με αυτό το θέμα. Και πάλι, αυτό ... είναι απλά super! Είστε ήδη καλύτεροι από τη μεγάλη πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.
Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό ...
Γιατί;
Για την επιτυχή διεξαγωγή των εξετάσεων, για την είσοδο στο ινστιτούτο στον προϋπολογισμό και, ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.
Δεν θα σας πείσω για τίποτα, απλά να πω ένα πράγμα ...
Οι άνθρωποι που λαμβάνουν καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έκαναν. Πρόκειται για στατιστικά στοιχεία.
Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.
Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι πιο ευτυχισμένοι (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγουν πολύ περισσότερες ευκαιρίες και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω ...
Αλλά, σκεφτείτε μόνοι σας ...
Τι χρειάζεστε για να είστε σίγουρα καλύτεροι από τους άλλους στη ΧΡΗΣΗ και τελικά να είστε πιο ευτυχισμένοι;
ΠΕΡΙΕΧΟΥΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΤΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.
Στην εξέταση δεν θα σας ζητηθεί μια θεωρία.
Θα χρειαστείτε επίλυση των προβλημάτων εγκαίρως.
Και αν δεν τα λύσατε (ΠΟΛΛΑ!), Θα είστε σίγουροι ότι θα κάνατε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.
Είναι σαν στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.
Βρείτε όπου θέλετε τη συλλογή, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερή ανάλυση και να αποφασίσει, να αποφασίσει, να αποφασίσει!
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα καθήκοντά μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τα συστήνουμε.
Για να γεμίσετε το χέρι σας με τη βοήθεια των καθηκόντων μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του βιβλίου YouClever που διαβάζετε τώρα.
Πώς; Υπάρχουν δύο επιλογές:
- Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε
- Ανοικτή πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του εγχειριδίου - 999 τρίψτε
Ναι, έχουμε 99 άρθρα στο εγχειρίδιο και μπορείτε να ανοίξετε αμέσως πρόσβαση σε όλα τα καθήκοντα και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά.
Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμε προσομοιωτή "6000 εργασίες με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, για όλα τα επίπεδα δυσκολίας." Θα είναι σίγουρα αρκετό για να γεμίσει το χέρι σας στην επίλυση προβλημάτων σε οποιοδήποτε θέμα.
Στην πραγματικότητα, αυτό είναι κάτι περισσότερο από ένα προσομοιωτή - ένα ολόκληρο εκπαιδευτικό πρόγραμμα. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε επίσης να το χρησιμοποιήσετε ΔΩΡΕΑΝ.
Η πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα παρέχεται σε όλες τις φορές που υπάρχει ο ιστότοπος.
Και τελικά ...
Εάν δεν σας αρέσουν τα καθήκοντά μας, βρείτε άλλους. Απλά μην σταματήσετε τη θεωρία.
Οι "κατανοητές" και "μπορώ να αποφασίσω" είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεστε και τα δύο.
Βρείτε εργασίες και λύστε!
Ορισμός 2
Ένα πολύγωνο που ικανοποιεί την κατάσταση του ορισμού 1 καλείται περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο.
Σχήμα 1. Εγγεγραμμένος κύκλος
Θεώρημα 1 (σε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο)
Θεώρημα 1
Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, μπορείτε να εισάγετε έναν κύκλο και, επιπλέον, μόνο ένα.
Απόδειξη.
Εξετάστε το τρίγωνο $ ABC $. Σχεδιάζουμε διχοτόμους σε αυτό που διασταυρώνονται στο σημείο $ O $ και αντλούν κάθετα από αυτό στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 2)
Εικόνα 2. Εικόνα του θεωρήματος 1
Ύπαρξη: Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο στο $ O $ και ακτίνα $ ΟΚ. \\ $ Από το σημείο $ O $ που βρίσκεται σε τρεις διχοτόμους, είναι ισοδύναμα από τις πλευρές του τριγώνου $ ABC $. Δηλαδή, $ OM \u003d OK \u003d OL $. Επομένως, ο κατασκευασμένος κύκλος διέρχεται επίσης από τα σημεία $ M \\ και \\ L $. Δεδομένου ότι τα $ OM, OK \\ και \\ OL $ είναι κάθετα στις πλευρές του τριγώνου, από την εφαπτομένη στο θεώρημα κύκλου, ο κατασκευασμένος κύκλος είναι εφαπτόμενος και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Επομένως, λόγω της αυθαιρεσίας του τριγώνου, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο.
Μοναδικότητα: Ας υποθέσουμε ότι στο τρίγωνο $ ABC $ ένας ακόμη κύκλος μπορεί να εγγραφεί με το κέντρο στο σημείο $ O "$ Το κέντρο του είναι ισοσκελισμένο από τις πλευρές του τριγώνου και επομένως συμπίπτει με το σημείο $ O $ και έχει ακτίνα ίση με το μήκος του $ OK $ Αλλά τότε αυτός ο κύκλος θα συμπέσει με τον πρώτο.
Το θεώρημα αποδεικνύεται.
Συνέπεια 1: Το κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στο τρίγωνο βρίσκεται στη διασταύρωση των διχοτόπων του.
Ακολουθούν μερικά στοιχεία σχετικά με την έννοια ενός εγγεγραμμένου κύκλου:
Όχι κάθε τετράγωνο μπορεί να χωρέσει σε έναν κύκλο.
Σε κάθε περιγραφόμενο τετράπλευρο, τα ποσά των αντίθετων πλευρών είναι ίσα.
Εάν τα ποσά των αντίθετων πλευρών του κυρτού τετραγώνου είναι ίσα, τότε μπορεί να εισαχθεί ένας κύκλος σε αυτό.
Ορισμός 3
Αν όλες οι κορυφές ενός πολυγώνου βρίσκονται σε έναν κύκλο, τότε ο κύκλος καλείται περιγεγραμμένος γύρω από το πολύγωνο (Εικ. 3).
Ορισμός 4
Ένα πολύγωνο που ικανοποιεί την κατάσταση του ορισμού 2 ονομάζεται εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο.
Σχήμα 3. Ο περιγραφόμενος κύκλος
Θεώρημα 2 (σε έναν κύκλο περιγεγραμμένο γύρω από ένα τρίγωνο)
Θεώρημα 2
Κοντά σε οποιοδήποτε τρίγωνο, μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο και, επιπλέον, μόνο ένα.
Απόδειξη.
Εξετάστε το τρίγωνο $ ABC $. Συγκεντρώνουμε σε αυτήν τις μεσαίες κάθετες που διασταυρώνονται στο σημείο $ O $ και συνδέονται με τις κορυφές του τριγώνου (Εικ. 4)
Εικόνα 4. Εικόνα του θεωρήματος 2
Ύπαρξη: Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο στο $ O $ και ακτίνα $ OC $. Το σημείο $ O $ είναι ίσο από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή, $ OA \u003d OB \u003d OC $. Συνεπώς, ο κατασκευασμένος κύκλος διέρχεται από όλες τις κορυφές του δεδομένου τριγώνου, πράγμα που σημαίνει ότι περιβάλλεται γύρω από αυτό το τρίγωνο.
Μοναδικότητα: Ας υποθέσουμε ότι γύρω από το τρίγωνο $ ABC $ μπορεί να περιγραφεί ένας ακόμα κύκλος με το κέντρο στο σημείο $ O "$ .Το κέντρο του είναι ίσο από τις κορυφές του τριγώνου και επομένως συμπίπτει με το σημείο $ O $ και έχει ακτίνα ίση με το μήκος του $ OC. $ Αλλά τότε αυτός ο κύκλος θα συμπέσει με τον πρώτο.
Το θεώρημα αποδεικνύεται.
Συνέπεια 1: Το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο συμπίπτει με το σημείο τομής των μέσων κάθετων του.
Ακολουθούν μερικά στοιχεία που σχετίζονται με την έννοια ενός περιγεγραμμένου κύκλου:
Περίπου ένα τετράπλευρο δεν είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε έναν κύκλο.
Σε κάθε τετράπλευρο εγγεγραμμένο, το άθροισμα των αντίθετων γωνιών είναι $ (180) ^ 0 $.
Αν το άθροισμα των αντίθετων γωνιών του τετραγώνου είναι $ (180) ^ 0 $, τότε μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από αυτό.
Παράδειγμα προβλήματος στις έννοιες ενός εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου
Παράδειγμα 1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, η βάση είναι 8 cm, η πλευρά είναι 5 cm. Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Λύση.
Εξετάστε το τρίγωνο $ ABC $. Με το Κολοσσαίο 1, γνωρίζουμε ότι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη διασταύρωση των διχοτόμων. Αναπτύσσουμε τα διχρωματικά $ AK $ και $ BM $, τα οποία διασταυρώνονται στο σημείο $ O $. Σχεδιάστε το κάθετο $ OH $ από το σημείο $ O $ στην πλευρά $ BC $. Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα:
Σχήμα 5
Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, το $ BM $ είναι και το διάμεσο και το ύψος. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2- frac ((AC) ^ 2) (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d $ 3. $ OM \u003d OH \u003d r $ είναι η επιθυμητή ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Δεδομένου ότι τα $ MC $ και $ CH $ είναι τμήματα τεμνόμενων εφαπτομένων, από το θεώρημα σε τέμνουσες διασταυρώσεις, έχουμε $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ cm $. Επομένως, $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ cm $. $ BO \u003d 3-r $. Από το τρίγωνο $ OHB $, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:
\\ [(((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\
Η απάντηση είναι: $ \\ frac (4) (3) $.
