Υπόλοιπο διαίρεσης με 45. Διαίρεση ακεραίων με υπόλοιπο, κανόνες, παραδείγματα

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε διαίρεση ακεραίων με υπόλοιπο. Ας ξεκινήσουμε με τη γενική αρχή της διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο, να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε το θεώρημα για τη διαιρετότητα των ακεραίων με υπόλοιπο και να εντοπίσουμε τις συνδέσεις μεταξύ του μερίσματος, του διαιρέτη, του ημιτελούς πηλίκου και του υπολοίπου. Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε τους κανόνες με τους οποίους οι ακέραιοι αριθμοί διαιρούνται με ένα υπόλοιπο και θα εξετάσουμε την εφαρμογή αυτών των κανόνων κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Μετά από αυτό, θα μάθουμε πώς να ελέγχουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης ακεραίων με ένα υπόλοιπο.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Γενική κατανόηση της διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο

Θα θεωρήσουμε τη διαίρεση ακεραίων με υπόλοιπο ως γενίκευση της διαίρεσης με ένα υπόλοιπο φυσικών αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν συστατικό ακεραίων.

Ας ξεκινήσουμε με τους όρους και τους χαρακτηρισμούς που χρησιμοποιούνται στην περιγραφή.

Παρόμοια με τη διαίρεση φυσικούς αριθμούςμε υπόλοιπο θα υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης με υπόλοιπο δύο ακεραίων a και b (b δεν είναι ίσο με μηδέν) είναι δύο ακέραιοι c και d. Οι αριθμοί α και β λέγονται διαιρετόςΚαι διαιρώναντίστοιχα, ο αριθμός d – το υπόλοιποαπό τη διαίρεση του a με το b, και καλείται ο ακέραιος αριθμός c ημιτελής ιδιωτική(ή απλώς ιδιωτικός, αν το υπόλοιπο είναι μηδέν).

Ας συμφωνήσουμε να υποθέσουμε ότι το υπόλοιπο είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος και η τιμή του δεν υπερβαίνει το b, δηλαδή, (συναντήσαμε παρόμοιες αλυσίδες ανισοτήτων όταν μιλήσαμε για σύγκριση τριών ή περισσότερων ακεραίων).

Αν ο αριθμός c είναι ένα ημιτελές πηλίκο και ο αριθμός d είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ακέραιου a με τον ακέραιο b, τότε θα γράψουμε εν συντομία αυτό το γεγονός ως ισότητα της μορφής a:b=c (υπόλοιπο d).

Σημειώστε ότι όταν διαιρείτε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο b, το υπόλοιπο μπορεί να είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το α διαιρείται με το β χωρίς ίχνος(ή εντελώς). Έτσι, η διαίρεση ακεραίων χωρίς υπόλοιπο είναι μια ειδική περίπτωση διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο.

Αξίζει επίσης να πούμε ότι όταν διαιρούμε το μηδέν με κάποιον ακέραιο, έχουμε πάντα να κάνουμε με διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, αφού σε αυτή την περίπτωση το πηλίκο θα είναι ίσο με μηδέν (δείτε το τμήμα θεωρίας της διαίρεσης του μηδενός με έναν ακέραιο) και το υπόλοιπο θα ισούται επίσης με μηδέν.

Αποφασίσαμε για την ορολογία και τη σημειογραφία, τώρα ας καταλάβουμε την έννοια της διαίρεσης ακεραίων με ένα υπόλοιπο.

Η διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού α με έναν θετικό ακέραιο b μπορεί επίσης να έχει νόημα. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε έναν αρνητικό ακέραιο ως χρέος. Ας φανταστούμε αυτή την κατάσταση. Το χρέος που αποτελεί τα είδη πρέπει να εξοφληθεί από β άτομα με ισόποση εισφορά. Η απόλυτη τιμή του ημιτελούς πηλίκου c σε αυτή την περίπτωση θα καθορίσει το ποσό του χρέους καθενός από αυτά τα άτομα και το υπόλοιπο d θα δείξει πόσα στοιχεία θα απομείνουν μετά την εξόφληση του χρέους. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι 2 άτομα χρωστάνε 7 μήλα. Αν υποθέσουμε ότι ο καθένας τους χρωστάει 4 μήλα, τότε μετά την εξόφληση του χρέους θα τους μείνει 1 μήλο. Αυτή η κατάσταση αντιστοιχεί στην ισότητα (−7):2=−4 (απομένει 1).

Δεν θα αποδώσουμε κανένα νόημα στη διαίρεση με ένα υπόλοιπο ενός αυθαίρετου ακέραιου α με έναν αρνητικό ακέραιο, αλλά θα επιφυλασσόμαστε του δικαιώματός του να υπάρχει.

Θεώρημα για τη διαιρετότητα των ακεραίων με υπόλοιπο

Όταν μιλήσαμε για διαίρεση φυσικών αριθμών με υπόλοιπο, ανακαλύψαμε ότι το μέρισμα a, ο διαιρέτης b, το μερικό πηλίκο c και το υπόλοιπο d σχετίζονται με την ισότητα a=b·c+d. Οι ακέραιοι a, b, c και d έχουν την ίδια σχέση. Αυτή η σύνδεση επιβεβαιώνεται ως εξής θεώρημα διαιρετότητας με υπόλοιπο.

Θεώρημα.

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός a μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά μέσω ενός ακέραιου και μη μηδενικού αριθμού b με τη μορφή a=b·q+r, όπου q και r είναι κάποιοι ακέραιοι και .

Απόδειξη.

Αρχικά, αποδεικνύουμε τη δυνατότητα αναπαράστασης a=b·q+r.

Αν οι ακέραιοι a και b είναι τέτοιοι ώστε το a να διαιρείται με το b, τότε εξ ορισμού υπάρχει ένας ακέραιος q τέτοιος ώστε a=b·q. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η ισότητα a=b·q+r στο r=0.

Τώρα θα υποθέσουμε ότι το b είναι θετικός ακέραιος. Ας επιλέξουμε έναν ακέραιο q έτσι ώστε το γινόμενο b·q να μην υπερβαίνει τον αριθμό a και το γινόμενο b·(q+1) να είναι ήδη μεγαλύτερο από το a. Δηλαδή παίρνουμε q έτσι ώστε οι ανισώσεις b q

Μένει να αποδειχθεί η δυνατότητα αναπαράστασης a=b·q+r για αρνητικό b .

Εφόσον το μέτρο του αριθμού b σε αυτή την περίπτωση είναι θετικός αριθμός, τότε υπάρχει μια αναπαράσταση όπου q 1 είναι κάποιος ακέραιος και r είναι ένας ακέραιος που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας q=−q 1, λαμβάνουμε την απαιτούμενη παράσταση a=b·q+r για το αρνητικό b.

Ας περάσουμε στην απόδειξη της μοναδικότητας.

Ας υποθέσουμε ότι εκτός από την παράσταση a=b·q+r, q και r είναι ακέραιοι και , υπάρχει μια άλλη παράσταση a=b·q 1 +r 1, όπου q 1 και r 1 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, και q 1 ≠ q και .

Αφού αφαιρέσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεύτερης ισότητας από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης ισότητας αντίστοιχα, λαμβάνουμε 0=b·(q−q 1)+r−r 1, που ισοδυναμεί με την ισότητα r− r 1 =b·(q 1 −q) . Τότε μια ισότητα της μορφής , και λόγω των ιδιοτήτων του συντελεστή αριθμών, η ισότητα .

Από τις συνθήκες μπορούμε να συμπεράνουμε ότι. Εφόσον τα q και q 1 είναι ακέραιοι και q≠q 1, τότε συμπεραίνουμε ότι . Από τις ληφθείσες ανισότητες και προκύπτει ότι μια ισότητα της μορφής αδύνατο υπό την παραδοχή μας. Επομένως, δεν υπάρχει άλλη αναπαράσταση του αριθμού a εκτός από a=b·q+r.

Σχέσεις μερίσματος, διαιρέτη, μερικού πηλίκου και υπολοίπου

Η ισότητα a=b·c+d σας επιτρέπει να βρείτε το άγνωστο μέρισμα a εάν ο διαιρέτης b, το μερικό πηλίκο c και το υπόλοιπο d είναι γνωστά. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Ποια είναι η αξία του μερίσματος αν, όταν διαιρεθεί με τον ακέραιο −21, το αποτέλεσμα είναι ένα ατελές πηλίκο 5 και ένα υπόλοιπο 12;

Διάλυμα.

Πρέπει να υπολογίσουμε το μέρισμα a όταν είναι γνωστός ο διαιρέτης b=−21, το μερικό πηλίκο c=5 και το υπόλοιπο d=12. Γυρίζοντας στην ισότητα a=b·c+d, λαμβάνουμε a=(−21)·5+12. Παρατηρώντας, πρώτα πολλαπλασιάζουμε τους ακέραιους αριθμούς −21 και 5 σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ακεραίων με διαφορετικά πρόσημα, μετά τον οποίο κάνουμε την πρόσθεση ακεραίων με διαφορετικά πρόσημα: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Απάντηση:

−93 .

Οι συνδέσεις μεταξύ μερίσματος, διαιρέτη, μερικού πηλίκου και υπολοίπου εκφράζονται επίσης με ισότητες της μορφής b=(a−d):c, c=(a−d):b και d=a−b·c. Αυτές οι ισότητες σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τον διαιρέτη, το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο, αντίστοιχα. Συχνά θα πρέπει να βρούμε το υπόλοιπο όταν διαιρούμε έναν ακέραιο αριθμό a με έναν ακέραιο b όταν το μέρισμα, ο διαιρέτης και το μερικό πηλίκο είναι γνωστά, χρησιμοποιώντας τον τύπο d=a−b·c. Για να αποφύγουμε περαιτέρω ερωτήσεις, ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του υπολοίπου.

Παράδειγμα.

Βρείτε το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του ακέραιου −19 με τον ακέραιο 3, αν γνωρίζετε ότι το μερικό πηλίκο είναι ίσο με −7.

Διάλυμα.

Για να υπολογίσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης, χρησιμοποιούμε έναν τύπο της μορφής d=a−b·c. Από τη συνθήκη έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα a=−19, b=3, c=−7. Παίρνουμε d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (υπολογίσαμε τη διαφορά −19−(−21) χρησιμοποιώντας τον κανόνα του αφαιρώντας έναν αρνητικό ακέραιο ).

Απάντηση:

Διαίρεση με υπόλοιπο θετικών ακεραίων, παραδείγματα

Όπως έχουμε σημειώσει πολλές φορές, οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί. Επομένως, η διαίρεση με υπόλοιπο θετικών ακεραίων πραγματοποιείται σύμφωνα με όλους τους κανόνες για τη διαίρεση με υπόλοιπο φυσικών αριθμών. Είναι πολύ σημαντικό να μπορούμε εύκολα να εκτελούμε διαίρεση με ένα υπόλοιπο φυσικών αριθμών, αφού ακριβώς αυτό αποτελεί τη βάση της διαίρεσης όχι μόνο θετικών ακεραίων, αλλά και τη βάση όλων των κανόνων για διαίρεση με ένα υπόλοιπο αυθαίρετων ακεραίων.

Από την άποψή μας, είναι πιο βολικό να εκτελέσετε τη διαίρεση στηλών αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να λάβετε τόσο ένα ημιτελές πηλίκο (ή απλά ένα πηλίκο) όσο και ένα υπόλοιπο. Ας δούμε ένα παράδειγμα διαίρεσης με υπόλοιπο θετικών ακεραίων.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε με το υπόλοιπο 14.671 με 54.

Διάλυμα.

Ας διαιρέσουμε αυτούς τους θετικούς ακέραιους αριθμούς με μια στήλη:

Το μερικό πηλίκο αποδείχθηκε ίσο με 271 και το υπόλοιπο είναι ίσο με 37.

Απάντηση:

14 671:54=271 (υπόλοιπο 37) .

Ο κανόνας για τη διαίρεση με υπόλοιπο θετικού ακέραιου με αρνητικό ακέραιο, παραδείγματα

Ας διατυπώσουμε έναν κανόνα που μας επιτρέπει να κάνουμε διαίρεση με υπόλοιπο θετικού ακέραιου με αρνητικό ακέραιο.

Το μερικό πηλίκο της διαίρεσης ενός θετικού ακέραιου a με έναν αρνητικό ακέραιο b είναι το αντίθετο του μερικού πηλίκου της διαίρεσης του a με το μέτρο του b και το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το b είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσης με.

Από αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι το μερικό πηλίκο της διαίρεσης ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο είναι ένας μη θετικός ακέραιος.

Ας μετατρέψουμε τον δηλωμένο κανόνα σε αλγόριθμο για τη διαίρεση με υπόλοιπο ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο:

• Διαιρούμε το μέτρο του μερίσματος με το μέτρο του διαιρέτη, παίρνοντας το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο. (Αν το υπόλοιπο είναι ίσο με μηδέν, τότε οι αρχικοί αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο και σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση ακεραίων με αντίθετα πρόσημα, το απαιτούμενο πηλίκο είναι ίσο με τον αριθμό απέναντι από το πηλίκο από τη διαίρεση των μονάδων. )
• Γράφουμε τον αριθμό που είναι αντίθετο στο ημιτελές πηλίκο που προκύπτει και το υπόλοιπο. Αυτοί οι αριθμοί είναι, αντίστοιχα, το απαιτούμενο πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του αρχικού θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα χρήσης του αλγορίθμου για τη διαίρεση ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε με ένα υπόλοιπο του θετικού ακέραιου αριθμού 17 με τον αρνητικό ακέραιο −5.

Διάλυμα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για τη διαίρεση με υπόλοιπο ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο.

Με διαίρεση

Ο αντίθετος αριθμός του 3 είναι −3. Έτσι, το απαιτούμενο μερικό πηλίκο από τη διαίρεση του 17 με το −5 είναι −3 και το υπόλοιπο είναι 2.

Απάντηση:

17 :(−5)=−3 (απομένουν 2).

Παράδειγμα.

Χώρισμα 45 επί −15.

Διάλυμα.

Οι ενότητες του μερίσματος και του διαιρέτη είναι 45 και 15, αντίστοιχα. Ο αριθμός 45 διαιρείται με το 15 χωρίς υπόλοιπο και το πηλίκο είναι 3. Επομένως, ο θετικός ακέραιος 45 διαιρείται με τον αρνητικό ακέραιο −15 χωρίς υπόλοιπο, και το πηλίκο είναι ίσο με τον αριθμό απέναντι από το 3, δηλαδή −3. Πράγματι, σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση ακεραίων με διαφορετικά πρόσημα, έχουμε .

Απάντηση:

45:(−15)=−3 .

Διαίρεση με υπόλοιπο αρνητικού ακέραιου με θετικό ακέραιο, παραδείγματα

Ας δώσουμε τη διατύπωση του κανόνα για τη διαίρεση με υπόλοιπο ενός αρνητικού ακέραιου με έναν θετικό ακέραιο.

Για να λάβετε ένα ημιτελές πηλίκο c από τη διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού a με έναν θετικό ακέραιο b, πρέπει να πάρετε τον αριθμό αντίθετο από το ημιτελές πηλίκο από τη διαίρεση των συντελεστών των αρχικών αριθμών και να αφαιρέσετε ένα από αυτό, μετά τον οποίο υπολογίζεται το υπόλοιπο d χρησιμοποιώντας τον τύπο d=a−b·c.

Από αυτόν τον κανόνα διαίρεσης με υπόλοιπο προκύπτει ότι το μερικό πηλίκο της διαίρεσης ενός αρνητικού ακέραιου με έναν θετικό ακέραιο είναι αρνητικός ακέραιος.

Από τον αναφερόμενο κανόνα ακολουθεί ένας αλγόριθμος για τη διαίρεση με υπόλοιπο ενός αρνητικού ακέραιου α με έναν θετικό ακέραιο b:

• Εύρεση των ενοτήτων του μερίσματος και του διαιρέτη.
• Διαιρούμε το μέτρο του μερίσματος με το μέτρο του διαιρέτη, παίρνοντας το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο. (Αν το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε οι αρχικοί ακέραιοι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο και το απαιτούμενο πηλίκο είναι ίσο με τον αριθμό που βρίσκεται απέναντι από το πηλίκο της διαίρεσης του συντελεστή.)
• Γράφουμε τον αριθμό που είναι αντίθετο από το ημιτελές πηλίκο που προκύπτει και αφαιρούμε τον αριθμό 1 από αυτόν. Ο υπολογισμένος αριθμός είναι το επιθυμητό μερικό πηλίκο c από τη διαίρεση του αρχικού αρνητικού ακέραιου με έναν θετικό ακέραιο.

Ας αναλύσουμε τη λύση του παραδείγματος, στο οποίο χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο γραπτής διαίρεσης με υπόλοιπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του αρνητικού ακέραιου −17 με τον θετικό ακέραιο 5.

Διάλυμα.

Το μέτρο του μερίσματος −17 είναι ίσο με 17 και το μέτρο του διαιρέτη 5 είναι ίσο με 5.

Με διαίρεση 17 επί 5, παίρνουμε το μερικό πηλίκο 3 και το υπόλοιπο 2.

Το αντίθετο του 3 είναι −3. Αφαιρέστε ένα από το −3: −3−1=−4. Άρα, το απαιτούμενο μερικό πηλίκο είναι ίσο με −4.

Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε το υπόλοιπο. Στο παράδειγμά μας a=−17 , b=5 , c=−4 , τότε d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Έτσι, το μερικό πηλίκο της διαίρεσης του αρνητικού ακέραιου −17 με τον θετικό ακέραιο αριθμό 5 είναι −4 και το υπόλοιπο είναι 3.

Απάντηση:

(−17):5=−4 (απομένουν 3) .

Παράδειγμα.

Διαιρέστε τον αρνητικό ακέραιο −1.404 με τον θετικό ακέραιο 26.

Διάλυμα.

Η ενότητα του μερίσματος είναι 1.404, η ενότητα του διαιρέτη είναι 26.

Διαιρέστε το 1.404 με το 26 χρησιμοποιώντας μια στήλη:

Εφόσον η ενότητα του μερίσματος διαιρείται με τη μονάδα του διαιρέτη χωρίς υπόλοιπο, οι αρχικοί ακέραιοι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο και το επιθυμητό πηλίκο είναι ίσο με τον αριθμό απέναντι από το 54, δηλαδή -54.

Απάντηση:

(−1 404):26=−54 .

Κανόνας διαίρεσης με υπόλοιπο για αρνητικούς ακέραιους, παραδείγματα

Ας διατυπώσουμε τον κανόνα για τη διαίρεση με ένα υπόλοιπο αρνητικών ακεραίων.

Για να λάβετε ένα ημιτελές πηλίκο c από τη διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού a με έναν αρνητικό ακέραιο b, πρέπει να υπολογίσετε το ημιτελές πηλίκο από τη διαίρεση των συντελεστών των αρχικών αριθμών και να προσθέσετε ένα σε αυτό, μετά το οποίο το υπόλοιπο d υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο d =a−b·c.

Από αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι το μερικό πηλίκο της διαίρεσης αρνητικών ακεραίων είναι θετικός ακέραιος.

Ας ξαναγράψουμε τον δηλωμένο κανόνα με τη μορφή αλγορίθμου για τη διαίρεση αρνητικών ακεραίων:

• Εύρεση των ενοτήτων του μερίσματος και του διαιρέτη.
• Διαιρούμε το μέτρο του μερίσματος με το μέτρο του διαιρέτη, παίρνοντας το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο. (Αν το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε οι αρχικοί ακέραιοι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο και το απαιτούμενο πηλίκο είναι ίσο με το πηλίκο του συντελεστή του διαιρέτη διαιρούμενο με το μέτρο του διαιρέτη.)
• Προσθέτουμε ένα στο ημιτελές πηλίκο που προκύπτει.
• Υπολογίζουμε το υπόλοιπο χρησιμοποιώντας τον τύπο d=a−b·c.

Ας εξετάσουμε τη χρήση του αλγορίθμου για τη διαίρεση αρνητικών ακεραίων κατά την επίλυση ενός παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου −17 με έναν αρνητικό ακέραιο −5.

Διάλυμα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον κατάλληλο αλγόριθμο διαίρεσης με υπόλοιπο.

Η ενότητα του μερίσματος είναι 17, η ενότητα του διαιρέτη είναι 5.

Διαίρεση Το 17 έναντι του 5 δίνει το μερικό πηλίκο 3 και το υπόλοιπο 2.

Στο ημιτελές πηλίκο 3 προσθέτουμε ένα: 3+1=4. Επομένως, το απαιτούμενο μερικό πηλίκο για τη διαίρεση του −17 με το −5 είναι ίσο με 4.

Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε το υπόλοιπο. Σε αυτό το παράδειγμα a=−17 , b=−5 , c=4 , τότε d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Άρα, το μερικό πηλίκο της διαίρεσης ενός αρνητικού ακέραιου −17 με έναν αρνητικό ακέραιο −5 είναι 4 και το υπόλοιπο είναι 3.

Απάντηση:

(−17):(−5)=4 (απομένουν 3) .

Έλεγχος του αποτελέσματος της διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο

Μετά τη διαίρεση ακεραίων με ένα υπόλοιπο, είναι χρήσιμο να ελέγξετε το αποτέλεσμα. Η επαλήθευση πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο ελέγχεται αν το υπόλοιπο d είναι μη αρνητικός αριθμός και ελέγχεται και η συνθήκη. Εάν πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις του πρώτου σταδίου επαλήθευσης, τότε μπορείτε να προχωρήσετε στο δεύτερο στάδιο επαλήθευσης, διαφορετικά μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε κάπου σφάλμα κατά τη διαίρεση με ένα υπόλοιπο. Στο δεύτερο στάδιο ελέγχεται η εγκυρότητα της ισότητας a=b·c+d. Αν ισχύει αυτή η ισότητα, τότε η διαίρεση με υπόλοιπο έγινε σωστά, διαφορετικά κάπου έγινε λάθος.

Ας δούμε λύσεις σε παραδείγματα στα οποία ελέγχεται το αποτέλεσμα της διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο.

Παράδειγμα.

Κατά τη διαίρεση του αριθμού −521 με −12, το μερικό πηλίκο ήταν 44 και το υπόλοιπο ήταν 7, ελέγξτε το αποτέλεσμα.

Διάλυμα. −2 για b=−3, c=7, d=1. έχουμε b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Έτσι, η ισότητα a=b·c+d είναι λανθασμένη (στο παράδειγμά μας a=−19).

Επομένως, η διαίρεση με υπόλοιπο έγινε εσφαλμένα.

Σημάδια διαιρετότητας αριθμών- αυτοί είναι κανόνες που σας επιτρέπουν να μάθετε σχετικά γρήγορα, χωρίς διαίρεση, εάν αυτός ο αριθμός διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο.
Μερικά από σημάδια διαιρετότηταςαρκετά απλά, μερικά πιο περίπλοκα. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε τόσο πρόσημα διαιρετότητας πρώτων αριθμών, όπως, για παράδειγμα, 2, 3, 5, 7, 11, όσο και σημάδια διαιρετότητας σύνθετων αριθμών, όπως το 6 ή το 12.
Ελπίζω ότι αυτές οι πληροφορίες θα σας φανούν χρήσιμες.
Καλή μάθηση!

Δοκιμή διαιρετότητας με το 2

Αυτό είναι ένα από τα πιο απλά σημάδια διαιρετότητας. Ακούγεται κάπως έτσι: αν η συμβολή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με ένα ζυγό ψηφίο, τότε είναι άρτιος (διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το 2) και αν η σημειογραφία ενός αριθμού τελειώνει με ένα περιττό ψηφίο, τότε αυτός ο αριθμός είναι περιττός.
Με άλλα λόγια, αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι 2 , 4 , 6 , 8 ή 0 - ο αριθμός διαιρείται με το 2, αν όχι, τότε δεν διαιρείται
Για παράδειγμα, αριθμοί: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 διαιρούνται με το 2 γιατί είναι ζυγοί.
Α αριθμοί: 23 5 , 137 , 2303
Δεν διαιρούνται με το 2 γιατί είναι περιττοί.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 3

Αυτό το σύμβολο διαιρετότητας έχει εντελώς διαφορετικούς κανόνες: αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 3. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού δεν διαιρείται με το 3, τότε ο αριθμός δεν διαιρείται με το 3.
Αυτό σημαίνει ότι για να καταλάβετε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, πρέπει απλώς να προσθέσετε τους αριθμούς που τον αποτελούν.
Μοιάζει με αυτό: το 3987 και το 141 διαιρούνται με το 3, γιατί στην πρώτη περίπτωση 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - διαιρείται με 3), και στη δεύτερη 1+4+1= 6 (6:3=2 - διαιρείται επίσης με το 3).
Αλλά οι αριθμοί: 235 και 566 δεν διαιρούνται με το 3, γιατί 2+3+5= 10 και 5+6+6= 17 (και ξέρουμε ότι ούτε το 10 ούτε το 17 διαιρούνται με το 3 χωρίς υπόλοιπο).

Δοκιμή διαιρετότητας με το 4

Αυτό το σημάδι διαιρετότητας θα είναι πιο περίπλοκο. Εάν τα 2 τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή είναι 00, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 4, διαφορετικά ο δεδομένος αριθμός δεν διαιρείται με το 4 χωρίς υπόλοιπο.
Για παράδειγμα: 1 00 και 3 64 διαιρούνται με το 4 γιατί στην πρώτη περίπτωση ο αριθμός τελειώνει σε 00 , και στο δεύτερο στις 64 , το οποίο με τη σειρά του διαιρείται με το 4 χωρίς υπόλοιπο (64:4=16)
Αριθμοί 3 57 και 8 86 δεν διαιρούνται με το 4 γιατί κανένα από τα δύο 57 ούτε 86 δεν διαιρούνται με το 4, που σημαίνει ότι δεν ανταποκρίνονται σε αυτό το κριτήριο διαιρετότητας.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 5

Και πάλι έχουμε ένα αρκετά απλό πρόσημο διαιρετότητας: αν ο συμβολισμός ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με τον αριθμό 0 ή 5, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο, τότε ο συμβολισμός ενός αριθμού τελειώνει με ένα άλλο ψηφίο Ο αριθμός δεν διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο.
Αυτό σημαίνει ότι τυχόν αριθμοί που τελειώνουν σε ψηφία 0 Και 5 , για παράδειγμα 1235 5 και 43 0 , υπάγονται στον κανόνα και διαιρούνται με το 5.
Και, για παράδειγμα, το 1549 3 και 56 4 δεν τελειώνουν στον αριθμό 5 ή 0, που σημαίνει ότι δεν μπορούν να διαιρεθούν με το 5 χωρίς υπόλοιπο.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 6

Έχουμε μπροστά μας τον σύνθετο αριθμό 6, που είναι το γινόμενο των αριθμών 2 και 3. Επομένως, το πρόσημο της διαιρετότητας με το 6 είναι επίσης σύνθετο: για να διαιρείται ένας αριθμός με το 6, πρέπει να αντιστοιχεί σε δύο πρόσημα του διαιρετότητα ταυτόχρονα: το πρόσημο της διαιρετότητας με το 2 και το πρόσημο της διαιρετότητας με το 3. Σημειώστε ότι ένας τέτοιος σύνθετος αριθμός όπως το 4 έχει ένα ξεχωριστό πρόσημο διαιρετότητας, επειδή είναι το γινόμενο του αριθμού 2 από μόνος του. Ας επιστρέψουμε όμως στο τεστ διαιρετότητας με το 6.
Οι αριθμοί 138 και 474 είναι ζυγοί και πληρούν τα κριτήρια διαιρετότητας με το 3 (1+3+8=12, 12:3=4 και 4+7+4=15, 15:3=5), που σημαίνει ότι είναι διαιρετοί με το 6. Όμως το 123 και το 447, αν και διαιρούνται με το 3 (1+2+3=6, 6:3=2 και 4+4+7=15, 15:3=5), αλλά είναι περιττές, οι οποίες σημαίνει ότι δεν αντιστοιχούν στο κριτήριο της διαιρετότητας με το 2 και επομένως δεν αντιστοιχούν στο κριτήριο της διαιρετότητας με το 6.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 7

Αυτό το τεστ διαιρετότητας είναι πιο σύνθετο: ένας αριθμός διαιρείται με το 7 αν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης του διπλάσιου του τελευταίου ψηφίου από τον αριθμό των δεκάδων αυτού του αριθμού διαιρείται με το 7 ή ίσο με 0.
Ακούγεται αρκετά μπερδεμένο, αλλά στην πράξη είναι απλό. Δείτε μόνοι σας: τον αριθμό 95 Το 9 διαιρείται με το 7 γιατί 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (το 77 διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο). Επιπλέον, εάν προκύψουν δυσκολίες με τον αριθμό που λήφθηκε κατά τη μετατροπή (λόγω του μεγέθους του είναι δύσκολο να καταλάβουμε αν διαιρείται με το 7 ή όχι, τότε αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όσες φορές κρίνετε απαραίτητο).
Για παράδειγμα, 45 5 και 4580 Το 1 έχει τις ιδιότητες της διαιρετότητας με το 7. Στην πρώτη περίπτωση, όλα είναι πολύ απλά: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Στη δεύτερη περίπτωση θα κάνουμε το εξής: 4580 -2*1=4580-2=4578. Μας είναι δύσκολο να καταλάβουμε αν 457 8 επί 7, οπότε ας επαναλάβουμε τη διαδικασία: 457 -2*8=457-16=441. Και πάλι θα χρησιμοποιήσουμε το τεστ διαιρετότητας, αφού έχουμε ακόμα έναν τριψήφιο αριθμό μπροστά μας 44 1. Λοιπόν, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, δηλ. Το 42 διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο, που σημαίνει ότι το 45801 διαιρείται με το 7.
Εδώ είναι τα νούμερα 11 1 και 34 Το 5 δεν διαιρείται με το 7 γιατί 11 -2*1=11-2=9 (το 9 δεν διαιρείται με το 7) και 34 -2*5=34-10=24 (το 24 δεν διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο).

Δοκιμή διαιρετότητας με το 8

Το τεστ για τη διαιρετότητα με το 8 ακούγεται ως εξής: εάν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 8 ή είναι 000, τότε ο δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 8.
Αριθμοί 1 000 ή 1 088 διαιρείται με το 8: το πρώτο τελειώνει σε 000 , το δεύτερο 88 :8=11 (διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο).
Και εδώ είναι οι αριθμοί 1 100 ή 4 757 δεν διαιρούνται με το 8 γιατί οι αριθμοί 100 Και 757 δεν διαιρούνται με το 8 χωρίς υπόλοιπο.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 9

Αυτό το πρόσημο της διαιρετότητας είναι παρόμοιο με το πρόσημο της διαιρετότητας με το 3: εάν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 9, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 9. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού δεν διαιρείται με το 9, τότε ο αριθμός δεν διαιρείται με το 9.
Για παράδειγμα: το 3987 και το 144 διαιρούνται με το 9, γιατί στην πρώτη περίπτωση 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - διαιρείται με το 9 χωρίς υπόλοιπο), και στο δεύτερο 1+4+4= 9 (9:9=1 - διαιρείται επίσης με το 9).
Όμως οι αριθμοί: 235 και 141 δεν διαιρούνται με το 9, γιατί 2+3+5= 10 και 1+4+1= 6 (και ξέρουμε ότι ούτε το 10 ούτε το 6 διαιρούνται με το 9 χωρίς υπόλοιπο).

Σημάδια διαιρετότητας με 10, 100, 1000 και άλλες ψηφιακές μονάδες

Συνδύασα αυτά τα σημάδια διαιρετότητας επειδή μπορούν να περιγραφούν με τον ίδιο τρόπο: ένας αριθμός διαιρείται με μια ψηφιακή μονάδα εάν ο αριθμός των μηδενικών στο τέλος του αριθμού είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αριθμό των μηδενικών σε μια δεδομένη ψηφιακή μονάδα .
Με άλλα λόγια, για παράδειγμα, έχουμε τους παρακάτω αριθμούς: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . εκ των οποίων όλα διαιρούνται με 1 0 ; 46400 και 867 000 διαιρούνται επίσης με το 1 00 ; και μόνο ένα από αυτά είναι 867 000 διαιρείται με 1 000 .
Τυχόν αριθμοί που έχουν λιγότερα μηδενικά από την ψηφιακή μονάδα δεν διαιρούνται με αυτήν την ψηφιακή μονάδα, για παράδειγμα 600 30 και 7 93 δεν διαιρείται 1 00 .

Δοκιμή διαιρετότητας με το 11

Για να μάθετε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 11, πρέπει να λάβετε τη διαφορά μεταξύ των αθροισμάτων των άρτιων και περιττών ψηφίων αυτού του αριθμού. Αν αυτή η διαφορά είναι ίση με 0 ή διαιρείται με το 11 χωρίς υπόλοιπο, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 11 χωρίς υπόλοιπο.
Για να γίνει πιο σαφές, προτείνω να δούμε παραδείγματα: 2 35 Το 4 διαιρείται με το 11 γιατί ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 Το 4 διαιρείται επίσης με το 11, αφού ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Εδώ είναι 1 1 1 ή 4 35 Το 4 δεν διαιρείται με το 11, αφού στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε (1+1)- 1 =1, και στο δεύτερο ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 12

Ο αριθμός 12 είναι σύνθετος. Το πρόσημο διαιρετότητάς του είναι η συμμόρφωση με τα σημάδια διαιρετότητας με το 3 και το 4 ταυτόχρονα.
Για παράδειγμα, το 300 και το 636 αντιστοιχούν τόσο στα πρόσημα της διαιρετότητας με το 4 (τα δύο τελευταία ψηφία είναι μηδενικά ή διαιρούνται με το 4) όσο και στα πρόσημα της διαιρετότητας με το 3 (το άθροισμα των ψηφίων τόσο του πρώτου όσο και του τρίτου αριθμού διαιρείται με το 3), αλλά τελικά διαιρούνται με το 12 χωρίς υπόλοιπο.
Αλλά το 200 ή το 630 δεν διαιρούνται με το 12, γιατί στην πρώτη περίπτωση ο αριθμός πληροί μόνο το κριτήριο της διαιρετότητας με το 4, και στη δεύτερη - μόνο το κριτήριο της διαιρετότητας με το 3. αλλά όχι και τα δύο κριτήρια ταυτόχρονα.

Δοκιμή διαιρετότητας με το 13

Ένα σημάδι διαιρετότητας με το 13 είναι ότι αν ο αριθμός των δεκάδων ενός αριθμού που προστίθενται στις μονάδες αυτού του αριθμού πολλαπλασιαζόμενος με το 4 είναι πολλαπλάσιο του 13 ή ίσο με 0, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 13.
Ας πάρουμε για παράδειγμα 70 2. Λοιπόν, 70 +4*2=78, 78:13=6 (το 78 διαιρείται με το 13 χωρίς υπόλοιπο), που σημαίνει 70 Το 2 διαιρείται με το 13 χωρίς υπόλοιπο. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ένας αριθμός 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Ο αριθμός 130 διαιρείται με το 13 χωρίς υπόλοιπο, που σημαίνει ότι ο δεδομένος αριθμός αντιστοιχεί στο κριτήριο της διαιρετότητας με το 13.
Αν πάρουμε τους αριθμούς 12 5 ή 21 2, τότε παίρνουμε 12 +4*5=32 και 21 +4*2=29, αντίστοιχα, και ούτε το 32 ούτε το 29 διαιρούνται με το 13 χωρίς υπόλοιπο, που σημαίνει ότι οι δεδομένοι αριθμοί δεν διαιρούνται με το 13 χωρίς υπόλοιπο.

Διαιρετότητα αριθμών

Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, μπορεί να υποτεθεί ότι για οποιονδήποτε από τους φυσικούς αριθμούς μπορείτε να επιλέξετε το δικό σας μεμονωμένο πρόσημο διαιρετότητας ή ένα «σύνθετο» πρόσημο εάν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο πολλών διαφορετικών αριθμών. Αλλά όπως δείχνει η πρακτική, γενικά όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο περίπλοκο είναι το πρόσημο του. Είναι πιθανό ο χρόνος που δαπανάται για τον έλεγχο του κριτηρίου διαιρετότητας να είναι ίσος ή μεγαλύτερος από την ίδια τη διαίρεση. Γι' αυτό συνήθως χρησιμοποιούμε τα πιο απλά σημάδια διαιρετότητας.

Το άρθρο εξετάζει την έννοια της διαίρεσης ακεραίων με ένα υπόλοιπο. Ας αποδείξουμε το θεώρημα για τη διαιρετότητα των ακεραίων με υπόλοιπο και ας δούμε τις συνδέσεις μεταξύ μερισμάτων και διαιρετών, ημιτελών πηλίκων και υπολοίπων. Ας δούμε τους κανόνες κατά τη διαίρεση ακεραίων με υπολείμματα, εξετάζοντάς τους λεπτομερώς χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Στο τέλος της λύσης θα κάνουμε έλεγχο.

Γενική κατανόηση της διαίρεσης ακεραίων με υπολείμματα

Η διαίρεση ακεραίων με υπόλοιπο θεωρείται ως γενικευμένη διαίρεση με υπόλοιπο φυσικών αριθμών. Αυτό γίνεται επειδή οι φυσικοί αριθμοί είναι συστατικό ακεραίων.

Η διαίρεση με υπόλοιπο ενός αυθαίρετου αριθμού λέει ότι ο ακέραιος αριθμός a διαιρείται με έναν αριθμό b διαφορετικό από το μηδέν. Εάν b = 0, τότε μην διαιρέσετε με υπόλοιπο.

Ακριβώς όπως η διαίρεση των φυσικών αριθμών με ένα υπόλοιπο, οι ακέραιοι a και b διαιρούνται, με το b όχι μηδέν, με τα c και d. Στην περίπτωση αυτή, τα a και b ονομάζονται μέρισμα και διαιρέτης, και d είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, c είναι ακέραιος ή ατελής πηλίκο.

Αν υποθέσουμε ότι το υπόλοιπο είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος, τότε η τιμή του δεν είναι μεγαλύτερη από το μέτρο του αριθμού b. Ας το γράψουμε ως εξής: 0 ≤ d ≤ b. Αυτή η αλυσίδα ανισώσεων χρησιμοποιείται κατά τη σύγκριση 3 ή περισσότερων αριθμών.

Εάν το c είναι ένα ημιτελές πηλίκο, τότε το d είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ακέραιου αριθμού a με το b, το οποίο μπορεί να δηλωθεί εν συντομία: a: b = c (υπόλοιπο d).

Το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση των αριθμών a με το b μπορεί να είναι μηδέν, τότε λένε ότι το a διαιρείται με το b πλήρως, δηλαδή χωρίς υπόλοιπο. Η διαίρεση χωρίς υπόλοιπο θεωρείται ειδική περίπτωση διαίρεσης.

Αν διαιρέσουμε το μηδέν με κάποιον αριθμό, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι επίσης μηδέν. Αυτό μπορεί να εντοπιστεί από τη θεωρία της διαίρεσης του μηδέν με έναν ακέραιο.

Τώρα ας δούμε την έννοια της διαίρεσης ακεραίων με ένα υπόλοιπο.

Είναι γνωστό ότι οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί, τότε όταν διαιρούμε με ένα υπόλοιπο, θα έχουμε το ίδιο νόημα όπως όταν διαιρούμε φυσικούς αριθμούς με ένα υπόλοιπο.

Η διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου α με έναν θετικό ακέραιο β έχει νόημα. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Φανταστείτε μια κατάσταση όπου έχουμε ένα χρέος αντικειμένων στο ποσό του α που πρέπει να εξοφληθεί από β άτομο. Για να επιτευχθεί αυτό, πρέπει όλοι να συνεισφέρουν ισότιμα. Για να προσδιορίσετε το ύψος του χρέους για το καθένα, πρέπει να δώσετε προσοχή στην αξία των ιδιωτικών s. Το υπόλοιπο d δείχνει ότι ο αριθμός των αντικειμένων μετά την εξόφληση των χρεών είναι γνωστός.

Ας δούμε το παράδειγμα των μήλων. Αν 2 άτομα χρωστάνε 7 μήλα. Αν υπολογίσουμε ότι ο καθένας πρέπει να επιστρέψει 4 μήλα, μετά τον πλήρη υπολογισμό θα του μείνει 1 μήλο. Ας το γράψουμε ως ισότητα: (− 7) : 2 = − 4 (από τ. 1) .

Η διαίρεση οποιουδήποτε αριθμού α με έναν ακέραιο δεν έχει νόημα, αλλά είναι δυνατή ως επιλογή.

Θεώρημα για τη διαιρετότητα των ακεραίων με υπόλοιπο

Έχουμε εντοπίσει ότι το a είναι το μέρισμα, μετά το b είναι ο διαιρέτης, το c είναι το μερικό πηλίκο και το d είναι το υπόλοιπο. Συνδέονται μεταξύ τους. Θα δείξουμε αυτή τη σύνδεση χρησιμοποιώντας την ισότητα a = b · c + d. Η μεταξύ τους σύνδεση χαρακτηρίζεται από το θεώρημα της διαιρετότητας με το υπόλοιπο.

Θεώρημα

Οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο μέσω ενός ακέραιου και μη μηδενικού αριθμού b με αυτόν τον τρόπο: a = b · q + r, όπου q και r είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί. Εδώ έχουμε 0 ≤ r ≤ b.

Ας αποδείξουμε τη δυνατότητα ύπαρξης του a = b · q + r.

Απόδειξη

Εάν υπάρχουν δύο αριθμοί a και b, και ο a διαιρείται με το b χωρίς υπόλοιπο, τότε από τον ορισμό προκύπτει ότι υπάρχει ένας αριθμός q και η ισότητα a = b · q θα είναι αληθής. Τότε η ισότητα μπορεί να θεωρηθεί αληθής: a = b · q + r για r = 0.

Τότε είναι απαραίτητο να πάρουμε το q τέτοιο που δίνεται από την ανίσωση b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Έχουμε ότι η τιμή της παράστασης a − b · q είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι μεγαλύτερη από την τιμή του αριθμού b, προκύπτει ότι r = a − b · q. Διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός a μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή a = b · q + r.

Είναι τώρα απαραίτητο να εξεταστεί η δυνατότητα αναπαράστασης a = b · q + r για αρνητικές τιμές του b.

Ο συντελεστής του αριθμού αποδεικνύεται θετικός, τότε παίρνουμε a = b · q 1 + r, όπου η τιμή q 1 είναι κάποιος ακέραιος αριθμός, r είναι ένας ακέραιος που πληροί την συνθήκη 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Απόδειξη μοναδικότητας

Ας υποθέσουμε ότι a = b q + r, q και r είναι ακέραιοι με τη συνθήκη 0 ≤ r αληθής< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1Και r 1είναι κάποιοι αριθμοί όπου q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Όταν αφαιρεθεί η ανισότητα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά, τότε παίρνουμε 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, που ισοδυναμεί με r - r 1 = b · q 1 - q. Εφόσον χρησιμοποιείται η ενότητα, λαμβάνουμε την ισότητα r - r 1 = b · q 1 - q.

Η δεδομένη συνθήκη λέει ότι 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qΚαι q 1- ολόκληρο, και q ≠ q 1, τότε q 1 - q ≥ 1. Από εδώ έχουμε ότι b · q 1 - q ≥ b. Οι προκύπτουσες ανισότητες r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Συνεπάγεται ότι ο αριθμός a δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με κανέναν άλλο τρόπο παρά μόνο με την εγγραφή a = b · q + r.

Σχέση μερίσματος, διαιρέτη, μερικού πηλίκου και υπολοίπου

Χρησιμοποιώντας την ισότητα a = b · c + d, μπορείτε να βρείτε το άγνωστο μέρισμα a όταν είναι γνωστός ο διαιρέτης b με το ατελές πηλίκο c και το υπόλοιπο d.

Παράδειγμα 1

Προσδιορίστε το μέρισμα εάν, μετά τη διαίρεση, πάρουμε - 21, το μερικό πηλίκο είναι 5 και το υπόλοιπο είναι 12.

Διάλυμα

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μέρισμα a με γνωστό διαιρέτη b = − 21, ατελές πηλίκο c = 5 και υπόλοιπο d = 12. Πρέπει να στραφούμε στην ισότητα a = b · c + d, από εδώ παίρνουμε a = (− 21) · 5 + 12. Αν ακολουθήσουμε τη σειρά των ενεργειών, πολλαπλασιάζουμε - 21 με 5, μετά από το οποίο παίρνουμε (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

Απάντηση: - 93 .

Η σύνδεση μεταξύ του διαιρέτη και του μερικού πηλίκου και του υπολοίπου μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τις ισότητες: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b και d = a − b · c . Με τη βοήθειά τους μπορούμε να υπολογίσουμε τον διαιρέτη, το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο. Αυτό καταλήγει στο να βρίσκουμε συνεχώς το υπόλοιπο όταν διαιρούμε έναν ακέραιο αριθμό α με το b με γνωστό μέρισμα, διαιρέτη και μερικό πηλίκο. Εφαρμόζεται ο τύπος d = a − b · c. Ας εξετάσουμε τη λύση λεπτομερώς.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το υπόλοιπο όταν διαιρέσετε τον ακέραιο αριθμό - 19 με τον ακέραιο 3 με ένα γνωστό ημιτελές πηλίκο ίσο με - 7.

Διάλυμα

Για να υπολογίσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης, εφαρμόζουμε έναν τύπο της μορφής d = a − b · c. Ανά συνθήκη, όλα τα δεδομένα είναι διαθέσιμα: a = − 19, b = 3, c = − 7. Από εδώ παίρνουμε d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (διαφορά − 19 − (− 21). Αυτό το παράδειγμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αφαίρεσης έναν αρνητικό ακέραιο.

Απάντηση: 2 .

Όλοι οι θετικοί ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί. Από αυτό προκύπτει ότι η διαίρεση πραγματοποιείται σύμφωνα με όλους τους κανόνες διαίρεσης με υπόλοιπο φυσικών αριθμών. Η ταχύτητα διαίρεσης με τους υπόλοιπους φυσικούς αριθμούς είναι σημαντική, αφού σε αυτήν βασίζονται όχι μόνο η διαίρεση θετικών αριθμών, αλλά και οι κανόνες για τη διαίρεση αυθαίρετων ακεραίων.

Η πιο βολική μέθοδος διαίρεσης είναι μια στήλη, καθώς είναι ευκολότερο και πιο γρήγορο να ληφθεί ένα ημιτελές ή απλά ένα πηλίκο με ένα υπόλοιπο. Ας δούμε τη λύση με περισσότερες λεπτομέρειες.

Παράδειγμα 3

Διαιρέστε το 14671 με το 54.

Διάλυμα

Αυτή η διαίρεση πρέπει να γίνει σε μια στήλη:

Δηλαδή, το μερικό πηλίκο είναι ίσο με 271 και το υπόλοιπο είναι 37.

Απάντηση: 14.671: 54 = 271. (υπόλοιπο 37)

Ο κανόνας για τη διαίρεση με υπόλοιπο θετικού ακέραιου με αρνητικό ακέραιο, παραδείγματα

Για να γίνει διαίρεση με ένα υπόλοιπο θετικού αριθμού με αρνητικό ακέραιο, είναι απαραίτητο να διατυπωθεί ένας κανόνας.

Ορισμός 1

Το ημιτελές πηλίκο της διαίρεσης του θετικού ακέραιου a με τον αρνητικό ακέραιο b δίνει έναν αριθμό που είναι αντίθετος με το ημιτελές πηλίκο της διαίρεσης των συντελεστών των αριθμών a με το b. Τότε το υπόλοιπο είναι ίσο με το υπόλοιπο όταν το α διαιρείται με το β.

Επομένως έχουμε ότι το ατελές πηλίκο της διαίρεσης ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο θεωρείται μη θετικός ακέραιος.

Παίρνουμε τον αλγόριθμο:

• διαιρούμε το μέτρο του μερίσματος με το μέτρο του διαιρέτη, τότε παίρνουμε ένα ημιτελές πηλίκο και
• υπόλοιπο;
• Ας γράψουμε τον αντίθετο αριθμό από αυτό που πήραμε.

Ας δούμε το παράδειγμα του αλγορίθμου για τη διαίρεση ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο.

Παράδειγμα 4

Διαιρέστε με το υπόλοιπο 17 με - 5.

Διάλυμα

Ας εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο για τη διαίρεση με υπόλοιπο ενός θετικού ακέραιου με έναν αρνητικό ακέραιο. Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε 17 με - 5 modulo. Από αυτό παίρνουμε ότι το μερικό πηλίκο είναι ίσο με 3 και το υπόλοιπο είναι ίσο με 2.

Παίρνουμε ότι ο απαιτούμενος αριθμός από τη διαίρεση του 17 με - 5 = - 3 με υπόλοιπο ίσο με 2.

Απάντηση: 17: (− 5) = − 3 (απομένουν 2).

Παράδειγμα 5

Πρέπει να διαιρέσετε το 45 με το - 15.

Διάλυμα

Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τους αριθμούς modulo. Διαιρέστε τον αριθμό 45 με το 15, παίρνουμε το πηλίκο του 3 χωρίς υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 45 διαιρείται με το 15 χωρίς υπόλοιπο. Η απάντηση είναι - 3, αφού η διαίρεση πραγματοποιήθηκε modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Απάντηση: 45: (− 15) = − 3 .

Η διατύπωση του κανόνα για διαίρεση με υπόλοιπο έχει ως εξής.

Ορισμός 2

Για να λάβετε ένα ημιτελές πηλίκο c κατά τη διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού a με ένα θετικό b, πρέπει να εφαρμόσετε το αντίθετο του δεδομένου αριθμού και να αφαιρέσετε 1 από αυτό, τότε το υπόλοιπο d θα υπολογιστεί με τον τύπο: d = a − β · γ.

Με βάση τον κανόνα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κατά τη διαίρεση παίρνουμε έναν μη αρνητικό ακέραιο. Για να διασφαλίσετε την ακρίβεια της λύσης, χρησιμοποιήστε τον αλγόριθμο για τη διαίρεση του a με το b με ένα υπόλοιπο:

• βρείτε τις ενότητες του μερίσματος και του διαιρέτη.
• διαίρεση modulo?
• γράψτε το αντίθετο του δεδομένου αριθμού και αφαιρέστε το 1.
• χρησιμοποιήστε τον τύπο για το υπόλοιπο d = a − b · c.

Ας δούμε ένα παράδειγμα λύσης όπου χρησιμοποιείται αυτός ο αλγόριθμος.

Παράδειγμα 6

Βρείτε το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης - 17 επί 5.

Διάλυμα

Διαιρούμε τους δοσμένους αριθμούς modulo. Διαπιστώνουμε ότι κατά τη διαίρεση, το πηλίκο είναι 3 και το υπόλοιπο είναι 2. Αφού πήραμε 3, το αντίθετο είναι 3. Πρέπει να αφαιρέσετε 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Η επιθυμητή τιμή είναι ίση με - 4.

Για να υπολογίσετε το υπόλοιπο, χρειάζεστε a = − 17, b = 5, c = − 4, μετά d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Αυτό σημαίνει ότι το ημιτελές πηλίκο διαίρεσης είναι ο αριθμός - 4 με υπόλοιπο ίσο με 3.

Απάντηση:(− 17) : 5 = − 4 (απομένουν 3).

Παράδειγμα 7

Διαιρέστε τον αρνητικό ακέραιο αριθμό - 1404 με το θετικό 26.

Διάλυμα

Είναι απαραίτητο να γίνει διαίρεση ανά στήλη και ενότητα.

Πήραμε τη διαίρεση των ενοτήτων των αριθμών χωρίς υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση εκτελείται χωρίς υπόλοιπο και το επιθυμητό πηλίκο = - 54.

Απάντηση: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Κανόνας διαίρεσης με υπόλοιπο για αρνητικούς ακέραιους, παραδείγματα

Είναι απαραίτητο να διατυπωθεί ένας κανόνας για διαίρεση με υπόλοιπο αρνητικών ακεραίων.

Ορισμός 3

Για να λάβετε ένα ημιτελές πηλίκο c από τη διαίρεση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού a με έναν αρνητικό ακέραιο b, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε υπολογισμούς modulo, στη συνέχεια να προσθέσετε 1, τότε μπορούμε να εκτελέσουμε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο d = a − b · c.

Από αυτό προκύπτει ότι το ατελές πηλίκο της διαίρεσης αρνητικών ακεραίων θα είναι θετικός αριθμός.

Ας διατυπώσουμε αυτόν τον κανόνα με τη μορφή αλγορίθμου:

• βρείτε τις ενότητες του μερίσματος και του διαιρέτη.
• διαιρέστε το μέτρο του μερίσματος με το μέτρο του διαιρέτη για να λάβετε ένα ημιτελές πηλίκο με
• υπόλοιπο;
• προσθέτοντας 1 στο ημιτελές πηλίκο.
• υπολογισμός του υπολοίπου με βάση τον τύπο d = a − b · c.

Ας δούμε αυτόν τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 8

Βρείτε το μερικό πηλίκο και το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση - 17 με - 5.

Διάλυμα

Για να διασφαλίσουμε την ορθότητα της λύσης, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο για διαίρεση με υπόλοιπο. Αρχικά, διαιρέστε τους αριθμούς modulo. Από αυτό παίρνουμε ότι το ατελές πηλίκο = 3 και το υπόλοιπο είναι 2. Σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να προσθέσετε το ημιτελές πηλίκο και 1. Παίρνουμε ότι 3 + 1 = 4. Από εδώ παίρνουμε ότι το μερικό πηλίκο της διαίρεσης των δεδομένων αριθμών είναι ίσο με 4.

Για να υπολογίσουμε το υπόλοιπο θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο. Με συνθήκη έχουμε ότι a = − 17, b = − 5, c = 4, τότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Η απαιτούμενη απάντηση, δηλαδή το υπόλοιπο, είναι ίση με 3 και το μερικό πηλίκο είναι ίσο με 4.

Απάντηση:(− 17) : (− 5) = 4 (απομένουν 3).

Έλεγχος του αποτελέσματος της διαίρεσης ακεραίων με υπόλοιπο

Αφού διαιρέσετε τους αριθμούς με ένα υπόλοιπο, πρέπει να κάνετε έλεγχο. Αυτός ο έλεγχος περιλαμβάνει 2 στάδια. Αρχικά, το υπόλοιπο d ελέγχεται για μη αρνητικό χαρακτήρα, η συνθήκη 0 ≤ d ικανοποιείται< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 9

Η διαίρεση γίνεται - 521 με - 12. Το πηλίκο είναι 44, το υπόλοιπο είναι 7. Εκτελέστε έλεγχο.

Διάλυμα

Εφόσον το υπόλοιπο είναι θετικός αριθμός, η τιμή του είναι μικρότερη από το μέτρο του διαιρέτη. Ο διαιρέτης είναι - 12, που σημαίνει ότι το μέτρο του είναι 12. Μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο σημείο ελέγχου.

Με συνθήκη, έχουμε ότι a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Από εδώ υπολογίζουμε b · c + d, όπου b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Από αυτό προκύπτει ότι η ισότητα είναι αληθής. Η επαλήθευση πέρασε.

Παράδειγμα 10

Εκτελέστε έλεγχο διαίρεσης (− 17): 5 = − 3 (υπόλοιπο − 2). Αληθεύει η ισότητα;

Διάλυμα

Το θέμα του πρώτου σταδίου είναι ότι είναι απαραίτητο να ελέγξουμε τη διαίρεση των ακεραίων με ένα υπόλοιπο. Από αυτό είναι σαφές ότι η ενέργεια εκτελέστηκε λανθασμένα, αφού δίνεται ένα υπόλοιπο ίσο με - 2. Το υπόλοιπο δεν είναι αρνητικός αριθμός.

Έχουμε ότι πληρούται η δεύτερη προϋπόθεση, αλλά όχι επαρκής για αυτήν την περίπτωση.

Απάντηση:Οχι.

Παράδειγμα 11

Ο αριθμός - 19 διαιρέθηκε με - 3. Το μερικό πηλίκο είναι 7 και το υπόλοιπο είναι 1. Ελέγξτε εάν αυτός ο υπολογισμός έγινε σωστά.

Διάλυμα

Δίνεται υπόλοιπο ίσο με 1. Είναι θετικός. Η τιμή είναι μικρότερη από τη μονάδα διαιρέτη, πράγμα που σημαίνει ότι ολοκληρώνεται το πρώτο στάδιο. Ας περάσουμε στο δεύτερο στάδιο.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης b · c + d. Με συνθήκη, έχουμε b = − 3, c = 7, d = 1, που σημαίνει, αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές, παίρνουμε b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Συνεπάγεται ότι a = b · c + d η ισότητα δεν ισχύει, αφού η συνθήκη δίνει a = - 19.

Από αυτό προκύπτει ότι η διαίρεση έγινε με λάθος.

Απάντηση:Οχι.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:
15:5=3
Σε αυτό το παράδειγμα χωρίσαμε τον φυσικό αριθμό 15 εντελώςκατά 3, χωρίς υπόλοιπο.

Μερικές φορές ένας φυσικός αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί πλήρως. Για παράδειγμα, εξετάστε το πρόβλημα:
Στην ντουλάπα υπήρχαν 16 παιχνίδια. Στην ομάδα ήταν πέντε παιδιά. Κάθε παιδί πήρε τον ίδιο αριθμό παιχνιδιών. Πόσα παιχνίδια έχει κάθε παιδί;

Διάλυμα:
Διαιρούμε τον αριθμό 16 με το 5 χρησιμοποιώντας μια στήλη και παίρνουμε:

Γνωρίζουμε ότι το 16 δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 5. Ο πλησιέστερος μικρότερος αριθμός που διαιρείται με το 5 είναι το 15 με υπόλοιπο 1. Μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 15 ως 5⋅3. Ως αποτέλεσμα (16 – μέρισμα, 5 – διαιρέτης, 3 – ατελές πηλίκο, 1 – υπόλοιπο). Ελήφθη τύπος διαίρεση με υπόλοιποπου μπορεί να γίνει ελέγχοντας τη λύση.

ένα= σι⋅ ντο+ ρε
ένα – διαιρούμενο,
σι - διαχωριστικό,
ντο – ατελές πηλίκο,
ρε - υπόλοιπο.

Απάντηση: κάθε παιδί θα πάρει 3 παιχνίδια και θα μείνει ένα παιχνίδι.

Υπόλοιπο διαίρεσης

Το υπόλοιπο πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Εάν κατά τη διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε αυτό σημαίνει ότι το μέρισμα διαιρείται εντελώςή χωρίς υπόλοιπο στον διαιρέτη.

Εάν κατά τη διαίρεση το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός που βρέθηκε δεν είναι ο μεγαλύτερος. Υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός που θα διαιρέσει το μέρισμα και το υπόλοιπο θα είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Ερωτήσεις σχετικά με το θέμα «Διαίρεση με υπόλοιπο»:
Μπορεί το υπόλοιπο να είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη;
Απάντηση: όχι.

Μπορεί το υπόλοιπο να είναι ίσο με τον διαιρέτη;
Απάντηση: όχι.

Πώς να βρείτε το μέρισμα χρησιμοποιώντας το ημιτελές πηλίκο, διαιρέτη και υπόλοιπο;
Απάντηση: Αντικαθιστούμε τις τιμές του μερικού πηλίκου, του διαιρέτη και του υπολοίπου στον τύπο και βρίσκουμε το μέρισμα. Τύπος:
a=b⋅c+d

Παράδειγμα #1:
Εκτελέστε διαίρεση με υπόλοιπο και ελέγξτε: α) 258:7 β) 1873:8

Διάλυμα:
α) Διαιρέστε ανά στήλη:

258 – μέρισμα,
7 – διαχωριστικό,
36 – ατελές πηλίκο,
6 – υπόλοιπο. Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

β) Διαιρέστε ανά στήλη:

1873 – διαιρετέο,
8 – διαιρέτης,
234 – ημιτελές πηλίκο,
1 – υπόλοιπο. Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη 1<8.

Ας το αντικαταστήσουμε στον τύπο και ας ελέγξουμε αν λύσαμε σωστά το παράδειγμα:
8⋅234+1=1872+1=1873

Παράδειγμα #2:
Ποια υπόλοιπα προκύπτουν κατά τη διαίρεση των φυσικών αριθμών: α) 3 β) 8;

Απάντηση:
α) Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, επομένως μικρότερο από 3. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0, 1 ή 2.
β) Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, άρα μικρότερο από 8. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ή 7.

Παράδειγμα #3:
Ποιο είναι το μεγαλύτερο υπόλοιπο που μπορεί να ληφθεί κατά τη διαίρεση φυσικών αριθμών: α) 9 β) 15;

Απάντηση:
α) Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από το διαιρέτη, άρα μικρότερο από 9. Πρέπει όμως να υποδείξουμε το μεγαλύτερο υπόλοιπο. Δηλαδή τον πλησιέστερο στον διαιρέτη αριθμό. Αυτός είναι ο αριθμός 8.
β) Το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, επομένως, μικρότερο από 15. Πρέπει όμως να υποδείξουμε το μεγαλύτερο υπόλοιπο. Δηλαδή τον πλησιέστερο στον διαιρέτη αριθμό. Αυτός ο αριθμός είναι 14.

Παράδειγμα #4:
Βρείτε το μέρισμα: α) α:6=3(υπόλοιπο.4) β) γ:24=4(υπόλοιπο.11)

Διάλυμα:
α) Λύστε χρησιμοποιώντας τον τύπο:
a=b⋅c+d
(α – μέρισμα, β – διαιρέτης, γ – μερικό πηλίκο, δ – υπόλοιπο.)
a:6=3 (υπόλοιπο.4)
(α – μέρισμα, 6 – διαιρέτης, 3 – μερικό πηλίκο, 4 – υπόλοιπο.) Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στον τύπο:
a=6⋅3+4=22
Απάντηση: a=22

β) Λύστε χρησιμοποιώντας τον τύπο:
a=b⋅c+d
(α – μέρισμα, β – διαιρέτης, γ – μερικό πηλίκο, δ – υπόλοιπο.)
s:24=4 (υπόλοιπο.11)
(γ – μέρισμα, 24 – διαιρέτης, 4 – μερικό πηλίκο, 11 – υπόλοιπο.) Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στον τύπο:
с=24⋅4+11=107
Απάντηση: c=107

Εργο:

Σύρμα 4μ. πρέπει να κοπεί σε κομμάτια 13 εκ. Πόσα τέτοια κομμάτια θα υπάρχουν;

Διάλυμα:
Πρώτα πρέπει να μετατρέψετε μέτρα σε εκατοστά.
4μ.=400εκ.
Μπορούμε να διαιρέσουμε με μια στήλη ή στο μυαλό μας να πάρουμε:
400:13=30 (απομένουν 10)
Ας ελέγξουμε:
13⋅30+10=390+10=400

Απάντηση: Θα πάρετε 30 κομμάτια και θα μείνουν 10 εκατοστά σύρμα.