Ορισμός συνεχούς συνάρτησης σε δεδομένο σημείο. Έννοια της συνέχειας της λειτουργίας

Ορισμός της συνέχειας σύμφωνα με τον Heine

Η συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής \(f\left(x \right)\) λέγεται ότι είναι συνεχής στο σημείο \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)σύνολο πραγματικών αριθμών), εάν για οποιαδήποτε ακολουθία \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), έτσι ώστε \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] η σχέση \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \δεξιά) = f\left(a \right).\] Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τις ακόλουθες συνθήκες \(3\) για τη συνέχεια της συνάρτησης \(f\left(x \right)\) στο σημείο \(x = a\) (το οποίο πρέπει να εκτελεστεί ταυτόχρονα):

1. Η συνάρτηση \(f\left(x \right)\) ορίζεται στο σημείο \(x = a\);
2. Το όριο \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) υπάρχει.
3. Ισχύει η ισότητα \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\).

Ορισμός της συνέχειας Cauchy (σημειογραφία \(\varepsilon - \delta\))

Εξετάστε τη συνάρτηση \(f\left(x \right)\), η οποία αντιστοιχίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\mathbb(R)\) σε ένα άλλο υποσύνολο \(B\) των πραγματικών αριθμών. Η συνάρτηση \(f\left(x \right)\) λέγεται ότι είναι συνεχής στο σημείο \(a \in \mathbb(R)\), εάν για οποιονδήποτε αριθμό \(\varepsilon > 0\) υπάρχει ένας αριθμός \(\δέλτα > 0\) τέτοιος ώστε για όλα τα \(x \in \ mathbb (R)\), ικανοποιώντας τη σχέση \[\left| (x - a) \δεξιά| Ορισμός της συνέχειας ως προς τις αυξήσεις ορίσματος και συνάρτησης

Ο ορισμός της συνέχειας μπορεί επίσης να διατυπωθεί χρησιμοποιώντας αυξήσεις ορίσματος και συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο \(x = a\) εάν η ισότητα \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] όπου \(\Delta x = x - a\).

Οι παραπάνω ορισμοί της συνέχειας μιας συνάρτησης είναι ισοδύναμοι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα δεδομένο διάστημα , αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος.

Θεωρήματα συνέχειας

Θεώρημα 1.
Έστω η συνάρτηση \(f\left(x \right)\) συνεχής στο σημείο \(x = a\) και η \(C\) σταθερά. Τότε η συνάρτηση \(Cf\left(x \right)\) είναι επίσης συνεχής για το \(x = a\).

Θεώρημα 2.
Δίνονται δύο συναρτήσεις \((f\left(x \right))\) και \((g\left(x \right))\), συνεχόμενες στο σημείο \(x = a\). Τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) είναι επίσης συνεχές στο σημείο \(x = a\).

Θεώρημα 3.
Ας υποθέσουμε ότι δύο συναρτήσεις \((f\left(x \right))\) και \((g\left(x \right))\) είναι συνεχείς στο σημείο \(x = a\). Τότε το γινόμενο αυτών των συναρτήσεων \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) είναι επίσης συνεχές στο σημείο \(x = a\).

Θεώρημα 4.
Δίνονται δύο συναρτήσεις \((f\left(x \right))\) και \((g\left(x \right))\), συνεχόμενες για \(x = a\). Τότε ο λόγος αυτών των συναρτήσεων \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) είναι επίσης συνεχής για \(x = a\ ) με την επιφύλαξη , ότι \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Θεώρημα 5.
Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση \((f\left(x \right))\) είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο \(x = a\). Τότε η συνάρτηση \((f\left(x \right))\) είναι συνεχής σε αυτό το σημείο (δηλαδή, η διαφοροποίηση συνεπάγεται τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο, το αντίστροφο δεν ισχύει).

Θεώρημα 6 (Θεώρημα οριακής τιμής).
Εάν μια συνάρτηση \((f\left(x \right))\) είναι συνεχής σε ένα κλειστό και οριοθετημένο διάστημα \(\left[ (a,b) \right]\), τότε οριοθετείται πάνω και κάτω σε αυτό διάστημα. Με άλλα λόγια, υπάρχουν αριθμοί \(m\) και \(M\) τέτοιοι ώστε \ για όλους \(x\) στο διάστημα \(\αριστερά[ (a,b) \right]\) (Εικόνα 1) .

Εικ.1		Εικ.2

Θεώρημα 7 (Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής).
Αφήστε τη συνάρτηση \((f\left(x \right))\) να είναι συνεχής σε ένα κλειστό και οριοθετημένο διάστημα \(\left[ (a,b) \right]\). Τότε, αν το \(c\) είναι κάποιος αριθμός μεγαλύτερος από \((f\left(a \right))\) και μικρότερος από \((f\left(b \right))\), τότε υπάρχει ένας αριθμός \(( x_0)\), έτσι ώστε \ Αυτό το θεώρημα απεικονίζεται στο σχήμα 2.

Συνέχεια στοιχειωδών λειτουργιών

Ολοι στοιχειώδεις λειτουργίες είναι συνεχείς σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού τους.

Η συνάρτηση καλείται στοιχειώδης , εάν είναι κατασκευασμένο από πεπερασμένο αριθμό συνθέσεων και συνδυασμών
(χρησιμοποιώντας πράξεις \(4\) - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) . Πολοί βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες περιλαμβάνει:

Ορισμός.Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο σημείο x0 και σε κάποια γειτονιά της. Καλείται η συνάρτηση y = f(x). συνεχής στο σημείο x0, Εάν:

1. υπάρχει
2. αυτό το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0:

Κατά τον καθορισμό του ορίου, τονίστηκε ότι η f(x) μπορεί να μην ορίζεται στο σημείο x0, και αν ορίζεται σε αυτό το σημείο, τότε η τιμή της f(x0) δεν συμμετέχει με κανέναν τρόπο στον προσδιορισμό του ορίου. Κατά τον προσδιορισμό της συνέχειας, είναι θεμελιώδες ότι υπάρχει f(x0) και αυτή η τιμή πρέπει να είναι ίση με το lim f(x).

Ορισμός.Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο σημείο x0 και σε κάποια γειτονιά της. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο x0 αν για όλα τα ε>0 υπάρχει θετικός αριθμός δ τέτοιος ώστε για όλα τα x στη δ-γειτονιά του σημείου x0 (δηλαδή |x-x0|
Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι η τιμή του ορίου πρέπει να είναι ίση με f(x0), επομένως, σε σύγκριση με τον ορισμό του ορίου, αφαιρείται η συνθήκη διάτρησης της δ-γειτονιάς 0.
Ας δώσουμε έναν ακόμη (ισοδύναμο με τον προηγούμενο) ορισμό ως προς τις προσαυξήσεις. Ας υποδηλώσουμε Δх = x - x0 θα ονομάσουμε αυτή την τιμή προσαύξηση του ορίσματος. Αφού x->x0, τότε Δx->0, δηλ. Δx - β.μ. (απειροελάχιστη) ποσότητα. Ας συμβολίσουμε Δу = f(x)-f(x0), θα ονομάσουμε αυτή την τιμή αύξηση της συνάρτησης, αφού |Δу| θα πρέπει να είναι (για αρκετά μικρό |Δх|) μικρότερο από έναν αυθαίρετο αριθμό ε>0, τότε το Δου- είναι επίσης β.μ. αξία, επομένως

Ορισμός.Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο σημείο x0 και σε κάποια γειτονιά της. Καλείται η συνάρτηση f(x). συνεχής στο σημείο x0, εάν μια απειροελάχιστη αύξηση στο όρισμα αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση στη συνάρτηση.

Ορισμός.Η συνάρτηση f(x), η οποία δεν είναι συνεχής στο σημείο x0, ονομάζεται ασυνεχήςσε αυτό το σημείο.

Ορισμός.Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται συνεχής σε ένα σύνολο X αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του συνόλου.

Θεώρημα για τη συνέχεια αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου

Θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο κάτω από το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης

Θεώρημα για τη συνέχεια της υπέρθεσης συνεχών συναρτήσεων

Έστω η συνάρτηση f(x) να ορίζεται σε ένα διάστημα και να είναι μονότονη σε αυτό το διάστημα. Τότε η f(x) μπορεί να έχει μόνο σημεία ασυνέχειας του πρώτου είδους σε αυτό το τμήμα.

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής.Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα τμήμα και σε δύο σημεία a και b (a είναι μικρότερη από το b) παίρνει άνισες τιμές A = f(a) ≠ B = f(b), τότε για οποιονδήποτε αριθμό C που βρίσκεται μεταξύ Α και Β, υπάρχει ένα σημείο c ∈ στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με C: f(c) = C.

Θεώρημα για το όριο μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα.Αν μια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα, τότε οριοθετείται σε αυτό το διάστημα.

Θεώρημα για την επίτευξη ελάχιστων και μέγιστων τιμών.Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα, τότε φτάνει τα κάτω και τα πάνω όριά της σε αυτό το διάστημα.

Θεώρημα για τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης.Έστω η συνάρτηση y=f(x) συνεχής και αυστηρά αύξουσα (φθίνουσα) στο διάστημα [a,b]. Στη συνέχεια, στο τμήμα υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση x = g(y), επίσης μονότονα αυξανόμενη (φθίνουσα) και συνεχής.

Η μελέτη μιας συνάρτησης για συνέχεια σε ένα σημείο πραγματοποιείται σύμφωνα με ένα ήδη καθιερωμένο σχήμα ρουτίνας, το οποίο συνίσταται στον έλεγχο τριών συνθηκών συνέχειας:

Παράδειγμα 1

Εξετάστε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια. Προσδιορίστε τη φύση των ασυνεχειών των συναρτήσεων, εάν υπάρχουν. Εκτελέστε το σχέδιο.

Διάλυμα:

1) Το μόνο σημείο εντός του πεδίου εφαρμογής είναι όπου η συνάρτηση δεν έχει οριστεί.

Τα μονόπλευρα όρια είναι πεπερασμένα και ίσα.

Έτσι, στο σημείο η λειτουργία υφίσταται μια αφαιρούμενη ασυνέχεια.

Πώς μοιάζει το γράφημα αυτής της συνάρτησης;

Θα ήθελα να απλοποιήσω , και φαίνεται σαν να προκύπτει μια συνηθισμένη παραβολή. ΑΛΛΑη αρχική συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο , επομένως απαιτείται η ακόλουθη ρήτρα:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο στο οποίο υφίσταται αφαιρούμενη ασυνέχεια.

Η συνάρτηση μπορεί να οριστεί περαιτέρω με καλό ή όχι και τόσο καλό τρόπο, αλλά σύμφωνα με τη συνθήκη αυτό δεν απαιτείται.

Λέτε ότι αυτό είναι ένα τραβηγμένο παράδειγμα; Καθόλου. Αυτό έχει συμβεί δεκάδες φορές στην πράξη. Σχεδόν όλες οι εργασίες του ιστότοπου προέρχονται από πραγματική ανεξάρτητη εργασία και δοκιμές.

Ας απαλλαγούμε από τις αγαπημένες μας ενότητες:

Παράδειγμα 2

Λειτουργία εξερεύνησης για συνέχεια. Προσδιορίστε τη φύση των ασυνεχειών των συναρτήσεων, εάν υπάρχουν. Εκτελέστε το σχέδιο.

Διάλυμα: Για κάποιο λόγο, οι μαθητές φοβούνται και δεν τους αρέσουν οι λειτουργίες με μια ενότητα, αν και δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτές. Έχουμε ήδη θίξει τέτοια πράγματα λίγο στο μάθημα. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων. Δεδομένου ότι η ενότητα δεν είναι αρνητική, επεκτείνεται ως εξής: , όπου το "άλφα" είναι κάποια έκφραση. Σε αυτήν την περίπτωση, και η συνάρτησή μας θα πρέπει να γραφτεί τμηματικά:

Αλλά τα κλάσματα και των δύο κομματιών πρέπει να μειωθούν κατά . Η μείωση, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν θα πραγματοποιηθεί χωρίς συνέπειες. Η αρχική συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο αφού ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Επομένως, το σύστημα θα πρέπει να καθορίσει επιπλέον την συνθήκη και να κάνει την πρώτη ανισότητα αυστηρή:

Τώρα για μια ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΗ τεχνική απόφασης: πριν ολοκληρώσετε την εργασία σε ένα προσχέδιο, είναι πλεονεκτικό να κάνετε ένα σχέδιο (ανεξάρτητα από το αν απαιτείται από τις συνθήκες ή όχι). Αυτό θα βοηθήσει, πρώτον, να δείτε αμέσως σημεία συνέχειας και σημεία ασυνέχειας και, δεύτερον, θα σας προστατεύσει 100% από σφάλματα κατά την εύρεση μονόπλευρων ορίων.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς μας, στα αριστερά του σημείου είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε ένα θραύσμα παραβολής (μπλε χρώμα) και στα δεξιά - ένα κομμάτι παραβολής (κόκκινο χρώμα), ενώ η συνάρτηση δεν ορίζεται στο το ίδιο το σημείο:

Εάν έχετε αμφιβολίες, πάρτε μερικές τιμές x και συνδέστε τις στη συνάρτηση (υπενθυμίζοντας ότι η ενότητα καταστρέφει το πιθανό σύμβολο μείον) και ελέγξτε το γράφημα.

Ας εξετάσουμε αναλυτικά τη συνάρτηση για τη συνέχεια:

1) Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο, οπότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι δεν είναι συνεχής σε αυτό.

2) Ας καθορίσουμε τη φύση της ασυνέχειας για να το κάνουμε αυτό, υπολογίζουμε μονόπλευρα όρια:

Τα μονόπλευρα όρια είναι πεπερασμένα και διαφορετικά, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του 1ου είδους με ένα άλμα στο σημείο . Σημειώστε ότι δεν έχει σημασία αν η συνάρτηση στο σημείο διακοπής είναι καθορισμένη ή όχι.

Τώρα το μόνο που μένει είναι να μεταφέρετε το σχέδιο από το προσχέδιο (έγινε σαν με τη βοήθεια έρευνας ;-)) και να ολοκληρώσετε την εργασία:

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο στο οποίο υφίσταται μια ασυνέχεια του πρώτου είδους με ένα άλμα.

Μερικές φορές απαιτούν πρόσθετη ένδειξη του άλματος ασυνέχειας. Υπολογίζεται απλά - από το δεξί όριο πρέπει να αφαιρέσετε το αριστερό όριο: , δηλαδή, στο σημείο διακοπής η συνάρτησή μας πήδηξε 2 μονάδες προς τα κάτω (όπως μας λέει το σύμβολο μείον).

Παράδειγμα 3

Λειτουργία εξερεύνησης για συνέχεια. Προσδιορίστε τη φύση των ασυνεχειών των συναρτήσεων, εάν υπάρχουν. Κάντε ένα σχέδιο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας, ένα δείγμα λύσης στο τέλος του μαθήματος.

Ας προχωρήσουμε στην πιο δημοφιλή και διαδεδομένη έκδοση της εργασίας, όταν η συνάρτηση αποτελείται από τρία μέρη:

Παράδειγμα 4

Εξετάστε μια συνάρτηση ως προς τη συνέχεια και σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης

.

Διάλυμα: είναι προφανές ότι και τα τρία μέρη της συνάρτησης είναι συνεχόμενα στα αντίστοιχα διαστήματα, άρα μένει να ελέγξουμε μόνο δύο σημεία «σύνδεσης» μεταξύ των κομματιών. Πρώτον, ας κάνουμε ένα προσχέδιο σχέδιο σχολίασα την τεχνική κατασκευής με αρκετή λεπτομέρεια στο πρώτο μέρος του άρθρου. Το μόνο πράγμα είναι ότι πρέπει να ακολουθήσουμε προσεκτικά τα μοναδικά μας σημεία: λόγω της ανισότητας, η τιμή ανήκει στην ευθεία γραμμή (πράσινη κουκκίδα) και λόγω της ανισότητας, η τιμή ανήκει στην παραβολή (κόκκινη κουκκίδα):


Λοιπόν, κατ 'αρχήν, όλα είναι ξεκάθαρα =) Το μόνο που μένει είναι να επισημοποιηθεί η απόφαση. Για καθένα από τα δύο "κοινά" σημεία, ελέγχουμε τυπικά 3 συνθήκες συνέχειας:

ΕΓΩ)

1)

Τα μονόπλευρα όρια είναι πεπερασμένα και διαφορετικά, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του 1ου είδους με ένα άλμα στο σημείο .

Ας υπολογίσουμε το άλμα ασυνέχειας ως τη διαφορά μεταξύ του δεξιού και του αριστερού ορίου:
, δηλαδή, το γράφημα τράνταξε προς τα πάνω μια μονάδα.

II)Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

1) - η συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.

2) Βρείτε μονόπλευρα όρια:

- τα μονόπλευρα όρια είναι πεπερασμένα και ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα γενικό όριο.

3)

Στο τελικό στάδιο, μεταφέρουμε το σχέδιο στην τελική έκδοση, μετά την οποία βάζουμε την τελική συγχορδία:

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, εκτός από το σημείο στο οποίο υφίσταται μια ασυνέχεια του πρώτου είδους με ένα άλμα.

Παράδειγμα 5

Εξετάστε μια συνάρτηση ως προς τη συνέχεια και κατασκευάστε το γράφημά της .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση, μια σύντομη λύση και ένα κατά προσέγγιση δείγμα του προβλήματος στο τέλος του μαθήματος.

Κάποιος μπορεί να έχει την εντύπωση ότι σε ένα σημείο η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής και σε ένα άλλο πρέπει να υπάρχει ασυνέχεια. Στην πράξη, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Προσπαθήστε να μην παραμελήσετε τα υπόλοιπα παραδείγματα - θα υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα και σημαντικά χαρακτηριστικά:

Παράδειγμα 6

Δίνεται μια λειτουργία . Διερευνήστε τη συνάρτηση για συνέχεια σε σημεία. Κατασκευάστε ένα γράφημα.

Διάλυμα: και πάλι αμέσως εκτελέστε το σχέδιο στο προσχέδιο:

Η ιδιαιτερότητα αυτού του γραφήματος είναι ότι η τμηματική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση του άξονα της τετμημένης. Εδώ αυτή η περιοχή σχεδιάζεται με πράσινο χρώμα, αλλά σε ένα σημειωματάριο συνήθως επισημαίνεται με έντονη γραφή με ένα απλό μολύβι. Και, φυσικά, μην ξεχνάτε τους κριούς μας: η τιμή ανήκει στον κλάδο εφαπτομένης (κόκκινη κουκκίδα) και η τιμή ανήκει στην ευθεία γραμμή.

Όλα είναι ξεκάθαρα από το σχέδιο - η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, το μόνο που μένει είναι να επισημοποιηθεί η λύση, η οποία φέρεται σε πλήρη αυτοματισμό κυριολεκτικά μετά από 3-4 παρόμοια παραδείγματα:

ΕΓΩ)Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

2) Ας υπολογίσουμε μονόπλευρα όρια:

, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα γενικό όριο.

Εδώ συνέβη ένα αστείο πράγμα. Γεγονός είναι ότι δημιούργησα πολλά υλικά για τα όρια μιας συνάρτησης, και πολλές φορές το ήθελα, αλλά αρκετές φορές ξέχασα μια απλή ερώτηση. Και έτσι, με μια απίστευτη προσπάθεια θέλησης, ανάγκασα τον εαυτό μου να μην χάσω τη σκέψη =) Πιθανότατα, ορισμένοι αναγνώστες "ανδρείκελα" αμφιβάλλουν: ποιο είναι το όριο της σταθεράς;Το όριο μιας σταθεράς είναι ίσο με την ίδια τη σταθερά. Σε αυτή την περίπτωση, το όριο του μηδενός είναι ίσο με το ίδιο το μηδέν (αριστερό όριο).

3) - το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίσο με την τιμή αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Έτσι, μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο με τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

II)Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

1) - η συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.

2) Βρείτε μονόπλευρα όρια:

Και εδώ, στο δεξί όριο, το όριο της ενότητας είναι ίσο με την ίδια την ενότητα.

- υπάρχει ένα γενικό όριο.

3) - το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίσο με την τιμή αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Έτσι, μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο με τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Ως συνήθως, μετά από έρευνα μεταφέρουμε το σχέδιό μας στην τελική έκδοση.

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής στα σημεία.

Λάβετε υπόψη ότι στη συνθήκη δεν μας ζητήθηκε τίποτα σχετικά με τη μελέτη ολόκληρης της συνάρτησης για συνέχεια, και θεωρείται καλή μαθηματική μορφή για να διατυπωθεί ακριβής και σαφήςτην απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε. Παρεμπιπτόντως, αν οι συνθήκες δεν απαιτούν από εσάς να δημιουργήσετε ένα γράφημα, τότε έχετε κάθε δικαίωμα να μην το φτιάξετε (αν και αργότερα ο δάσκαλος μπορεί να σας αναγκάσει να το κάνετε αυτό).

Ένα μικρό μαθηματικό «γλωσσαδόρο» για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 7

Δίνεται μια λειτουργία .

Διερευνήστε τη συνάρτηση για συνέχεια σε σημεία. Ταξινόμηση σημείων διακοπής, εάν υπάρχουν. Εκτελέστε το σχέδιο.

Προσπαθήστε να "προφέρετε" σωστά όλες τις "λέξεις" =) Και σχεδιάστε το γράφημα με μεγαλύτερη ακρίβεια, ακρίβεια, δεν θα είναι περιττό παντού;-)

Όπως θυμάστε, συνιστούσα να ολοκληρώσετε αμέσως το σχέδιο ως προσχέδιο, αλλά κατά καιρούς συναντάτε παραδείγματα όπου δεν μπορείτε να καταλάβετε αμέσως πώς μοιάζει το γράφημα. Ως εκ τούτου, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πλεονεκτικό να βρούμε πρώτα μονόπλευρα όρια και μόνο μετά, με βάση τη μελέτη, να απεικονίσουμε τα κλαδιά. Στα δύο τελευταία παραδείγματα θα μάθουμε επίσης μια τεχνική για τον υπολογισμό ορισμένων μονόπλευρων ορίων:

Παράδειγμα 8

Εξετάστε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια και κατασκευάστε το σχηματικό της γράφημα.

Διάλυμα: τα κακά σημεία είναι εμφανή: (μειώνει τον παρονομαστή του εκθέτη σε μηδέν) και (μειώνει τον παρονομαστή ολόκληρου του κλάσματος σε μηδέν). Δεν είναι ξεκάθαρο πώς μοιάζει το γράφημα αυτής της συνάρτησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι καλύτερα να κάνετε κάποια έρευνα πρώτα:

ΕΓΩ)Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

2) Βρείτε μονόπλευρα όρια:

Παρακαλώ σημειώστε τυπική μέθοδος για τον υπολογισμό ενός μονόπλευρου ορίου: αντί για “x” αντικαθιστούμε . Δεν υπάρχει έγκλημα στον παρονομαστή: η "προσθήκη" "μείον μηδέν" δεν παίζει ρόλο και το αποτέλεσμα είναι "τέσσερα". Αλλά στον αριθμητή υπάρχει ένα μικρό θρίλερ: πρώτα σκοτώνουμε το -1 και το 1 στον παρονομαστή του δείκτη, με αποτέλεσμα το . Μονάδα διαιρούμενη με , ισούται με «μείον άπειρο», επομένως: . Και τέλος, το «δύο» μέσα απείρως μεγάλος αρνητικός βαθμόςίσο με μηδέν: . Ή, για να γίνουμε ακόμη πιο συγκεκριμένοι: .

Ας υπολογίσουμε το δεξί όριο:

Και εδώ - αντί για "X" αντικαθιστούμε . Στον παρονομαστή το «προσθετικό» πάλι δεν παίζει ρόλο: . Στον αριθμητή, εκτελούνται ενέργειες παρόμοιες με το προηγούμενο όριο: καταστρέφουμε τους αντίθετους αριθμούς και διαιρούμε έναν με :

Το δεξί όριο είναι άπειρο, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του 2ου είδους στο σημείο .

II)Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

1) Η συνάρτηση δεν έχει οριστεί σε αυτό το σημείο.

2) Ας υπολογίσουμε το αριστερό όριο:

Η μέθοδος είναι η ίδια: αντικαθιστούμε το "X" στη συνάρτηση. Δεν υπάρχει τίποτα ενδιαφέρον στον αριθμητή - αποδεικνύεται ένας πεπερασμένος θετικός αριθμός. Και στον παρονομαστή ανοίγουμε τις αγκύλες, αφαιρούμε τα "τρία" και το "πρόσθετο" παίζει καθοριστικό ρόλο.

Ως αποτέλεσμα, ο τελικός θετικός αριθμός διαιρείται με απειροελάχιστος θετικός αριθμός, δίνει «συν άπειρο»: .

Το δεξί όριο είναι σαν δίδυμος αδερφός, με μόνη εξαίρεση ότι εμφανίζεται στον παρονομαστή απειροελάχιστος αρνητικός αριθμός:

Τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του 2ου είδους στο σημείο .

Έτσι, έχουμε δύο σημεία διακοπής, και, προφανώς, τρεις κλάδους του γραφήματος. Για κάθε κλάδο είναι σκόπιμο να πραγματοποιηθεί μια κατασκευή σημείο προς σημείο, δηλ. πάρτε πολλές τιμές "x" και αντικαταστήστε τις σε . Λάβετε υπόψη ότι η συνθήκη επιτρέπει την κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου και μια τέτοια χαλάρωση είναι φυσική για χειρωνακτική εργασία. Κατασκευάζω γραφήματα χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα, οπότε δεν έχω τέτοιες δυσκολίες, εδώ είναι μια αρκετά ακριβής εικόνα:

Άμεσες είναι κάθετες ασύμπτωτεςγια το γράφημα αυτής της συνάρτησης.

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από τα σημεία στα οποία υφίσταται ασυνέχειες 2ου είδους.

Μια απλούστερη συνάρτηση για επίλυση μόνος σας:

Παράδειγμα 9

Εξετάστε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια και κάντε ένα σχηματικό σχέδιο.

Ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα λύσης στο τέλος που παρέμεινε απαρατήρητο.

Τα λέμε σύντομα!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3:Διάλυμα : μετατροπή της συνάρτησης: . Λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα αποκάλυψης συντελεστή και το γεγονός ότι , ξαναγράφουμε τη συνάρτηση σε τμηματική μορφή:


Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για συνέχεια.

1) Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο .

Τα μονόπλευρα όρια είναι πεπερασμένα και διαφορετικά, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση υφίσταται ασυνέχεια του 1ου είδους με ένα άλμα στο σημείο . Ας κάνουμε το σχέδιο:

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο , στο οποίο υφίσταται ασυνέχεια πρώτου είδους με άλμα. Jump Gap: (δύο μονάδες πάνω).

Παράδειγμα 5:Διάλυμα : Κάθε ένα από τα τρία μέρη της συνάρτησης είναι συνεχές στο δικό του διάστημα.
ΕΓΩ)
1)

2) Ας υπολογίσουμε μονόπλευρα όρια:

, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα γενικό όριο.
3) - το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίσο με την τιμή αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.
Η συνάρτηση λοιπόν συνεχής σε ένα σημείο ορίζοντας τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.
II) Εξετάζουμε το σημείο για συνέχεια

1) - η συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο. η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του 2ου είδους στο σημείο

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης;

Παραδείγματα λύσεων

Αν κάτι λείπει κάπου, σημαίνει ότι υπάρχει κάτι κάπου

Συνεχίζουμε να μελετάμε την ενότητα «Συναρτήσεις και γραφήματα» και ο επόμενος σταθμός στο ταξίδι μας είναι Τομέας συνάρτησης. Μια ενεργή συζήτηση αυτής της έννοιας ξεκίνησε στο πρώτο μάθημα. σχετικά με γραφήματα συναρτήσεων, όπου εξέτασα τις στοιχειώδεις συναρτήσεις και, ειδικότερα, τους τομείς ορισμού τους. Επομένως, προτείνω τα ομοιώματα να ξεκινήσουν με τα βασικά του θέματος, μιας και δεν θα σταθώ ξανά σε κάποια βασικά σημεία.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα πεδία ορισμού των βασικών συναρτήσεων: γραμμική, τετραγωνική, κυβικές συναρτήσεις, πολυώνυμα, εκθετική, λογάριθμος, ημίτονο, συνημίτονο. Ορίζονται στις . Για τις εφαπτομένες, τα τόξα, ας είναι, σας συγχωρώ =) Τα πιο σπάνια γραφήματα δεν θυμούνται αμέσως.

Το εύρος του ορισμού φαίνεται να είναι ένα απλό πράγμα, και τίθεται ένα λογικό ερώτημα: τι θα αφορά το άρθρο; Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσω κοινά προβλήματα εύρεσης του τομέα μιας συνάρτησης. Επιπλέον, θα επαναλάβουμε ανισότητες με μία μεταβλητή, οι δεξιότητες επίλυσης των οποίων θα απαιτηθούν και σε άλλα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών. Το υλικό, παρεμπιπτόντως, είναι όλο το σχολικό υλικό, επομένως θα είναι χρήσιμο όχι μόνο για μαθητές, αλλά και για μαθητές. Οι πληροφορίες, φυσικά, δεν προσποιούνται εγκυκλοπαιδικές, αλλά εδώ δεν υπάρχουν τραβηγμένα «νεκρά» παραδείγματα, αλλά ψητά κάστανα, που είναι βγαλμένα από πραγματικές πρακτικές εργασίες.

Ας ξεκινήσουμε με μια γρήγορη βουτιά στο θέμα. Εν συντομία για το κύριο πράγμα: μιλάμε για συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού του είναι πολλές έννοιες του "x", για το οποίο υπάρχωέννοιες του «παίκτες». Ας δούμε ένα υποθετικό παράδειγμα:

Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι μια ένωση διαστημάτων:
(για όσους ξέχασαν: - εικονίδιο ενοποίησης). Με άλλα λόγια, εάν πάρετε οποιαδήποτε τιμή του "x" από το διάστημα , ή από , ή από , τότε για κάθε τέτοιο "x" θα υπάρχει μια τιμή "y".

Σε γενικές γραμμές, όπου είναι το πεδίο ορισμού, υπάρχει ένα γράφημα της συνάρτησης. Αλλά το μισό διάστημα και το σημείο "tse" δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή ορισμού, επομένως δεν υπάρχει γράφημα εκεί.

Ναι, παρεμπιπτόντως, εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο από την ορολογία ή/και το περιεχόμενο των πρώτων παραγράφων, είναι καλύτερο να επιστρέψετε στο άρθρο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων.

Αυτό το άρθρο αφορά μια συνάρτηση συνεχούς αριθμού. Για συνεχείς αντιστοιχίσεις σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών, δείτε τη συνεχή χαρτογράφηση.

Συνεχής λειτουργία- μια συνάρτηση χωρίς «άλματα», δηλαδή μια συνάρτηση στην οποία μικρές αλλαγές στο όρισμα οδηγούν σε μικρές αλλαγές στην τιμή της συνάρτησης.

Μια συνεχής συνάρτηση, γενικά μιλώντας, είναι συνώνυμη με την έννοια της συνεχούς αντιστοίχισης, ωστόσο, πιο συχνά αυτός ο όρος χρησιμοποιείται με στενότερη έννοια - για αντιστοιχίσεις μεταξύ αριθμητικών χώρων, για παράδειγμα, στην πραγματική γραμμή. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο ειδικά σε συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών και λαμβάνουν πραγματικές τιμές.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 5

✪ Συνέχεια συνάρτησης και σημεία διακοπής συνάρτησης

✪ 15 Συνεχής λειτουργία

✪ Συνεχείς λειτουργίες

✪ Μαθηματική ανάλυση, μάθημα 5, Συνέχεια συνάρτησης

✪ Συνεχής τυχαία μεταβλητή. Λειτουργία διανομής

Υπότιτλοι

Ορισμός

Εάν «διορθώσετε» τη λειτουργία f (\displaystyle f)στο σημείο της αφαιρούμενης ρήξης και βάλτε f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), τότε παίρνουμε μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα δεδομένο σημείο. Μια τέτοια πράξη σε μια συνάρτηση ονομάζεται επεκτείνοντας τη λειτουργία σε συνεχήή επαναπροσδιορισμός της συνάρτησης κατά συνέχεια, που δικαιολογεί το όνομα του σημείου ως σημείο μεταθέσιμοςρήξη.

Σημείο διακοπής "άλμα"

Μια ασυνέχεια «άλμα» εμφανίζεται αν

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x \έως a+0)f(x)).

Σημείο θραύσης "πόλος"

Ένα χάσμα πόλων προκύπτει εάν ένα από τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρο.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty )ή lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Σημαντικό σημείο διακοπής

Στο σημείο σημαντικής ασυνέχειας, ένα από τα μονόπλευρα όρια απουσιάζει εντελώς.

Ταξινόμηση απομονωμένων ενικών σημείων σε Rn, n>1

Για λειτουργίες f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))Και f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )Δεν χρειάζεται να εργαστείτε με σημεία διακοπής, αλλά συχνά πρέπει να εργαστείτε με μοναδικά σημεία (σημεία όπου η συνάρτηση δεν έχει οριστεί). Η ταξινόμηση είναι παρόμοια.

Η έννοια του «άλματος» λείπει. Τι είναι μέσα R (\displaystyle \mathbb (R) )θεωρείται άλμα σε χώρους υψηλότερων διαστάσεων είναι ένα ουσιαστικό μοναδικό σημείο.

Σκηνικά θέατρου

Τοπικός

• Συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a), οριοθετείται σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου.
• Εάν η συνάρτηση f (\displaystyle f)συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a)Και f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(ή φά)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Αυτό f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(ή f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) για όλους x (\displaystyle x), αρκετά κοντά στο a (\displaystyle a).
• Εάν οι λειτουργίες f (\displaystyle f)Και g (\displaystyle g)συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a), μετά τις συναρτήσεις f + g (\displaystyle f+g)Και f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g)είναι επίσης συνεχείς σε ένα σημείο a (\displaystyle a).
• Εάν οι λειτουργίες f (\displaystyle f)Και g (\displaystyle g)συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a)και ταυτόχρονα g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), μετά η συνάρτηση f / g (\displaystyle f/g)είναι επίσης συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a).
• Εάν η συνάρτηση f (\displaystyle f)συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a)και λειτουργία g (\displaystyle g)συνεχής σε ένα σημείο b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), στη συνέχεια η σύνθεσή τους h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f)συνεχής σε ένα σημείο a (\displaystyle a).

Καθολικός

• συμπαγές σετ) είναι ομοιόμορφα συνεχές πάνω του.
• Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα τμήμα (ή σε οποιοδήποτε άλλο συμπαγές σύνολο) οριοθετείται και φτάνει τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές σε αυτό.
• Εύρος λειτουργιών f (\displaystyle f), συνεχές στο τμήμα , είναι το τμήμα [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)όπου το ελάχιστο και το μέγιστο λαμβάνονται κατά μήκος του τμήματος [ a , b ] (\displaystyle ).
• Εάν η συνάρτηση f (\displaystyle f)συνεχής στο τμήμα [ a , b ] (\displaystyle )Και f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} τότε υπάρχει ένα σημείο στο οποίο f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Εάν η συνάρτηση f (\displaystyle f)συνεχής στο τμήμα [ a , b ] (\displaystyle )και αριθμός φ (\displaystyle \varphi )ικανοποιεί την ανισότητα φά)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi ή ανισότητα f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)τότε υπάρχει ένα σημείο ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)στο οποίο f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• Μια συνεχής αντιστοίχιση ενός τμήματος στην πραγματική γραμμή είναι ενέσιμη εάν και μόνο εάν η δεδομένη συνάρτηση στο τμήμα είναι αυστηρά μονότονη.
• Μονοτονική συνάρτηση σε ένα τμήμα [ a , b ] (\displaystyle )είναι συνεχής αν και μόνο αν το εύρος τιμών του είναι ένα τμήμα με άκρα f (a) (\displaystyle f(a))Και f (b) (\displaystyle f(b)).
• Εάν οι λειτουργίες f (\displaystyle f)Και g (\displaystyle g)συνεχής στο τμήμα [ a , b ] (\displaystyle ), και φά)< g (a) {\displaystyle f(a)Και f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)τότε υπάρχει ένα σημείο ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)στο οποίο f (ξ) = g (ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι οποιαδήποτε συνεχής αντιστοίχιση ενός τμήματος στον εαυτό του έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο.

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις συναρτήσεις Αυτή η λειτουργία είναι συνεχής σε κάθε σημείο.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) Το σημείο είναι το σημείο διακοπήςπρώτο είδος

, και,

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\έως 0+)f(x))

ενώ στο ίδιο το σημείο η συνάρτηση εξαφανίζεται.

Λειτουργία βήματος

Η συνάρτηση βήματος ορίζεται ως< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x είναι συνεχής παντού εκτός από το σημείο x = 0 (\displaystyle x=0) είναι συνεχής παντού εκτός από το σημείο, όπου η συνάρτηση υφίσταται μια ασυνέχεια του πρώτου είδους. Ωστόσο, στο σημείο υπάρχει ένα δεξιό όριο που συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Αυτή η συνάρτηση λοιπόν είναι ένα παράδειγμασυνεχής στα δεξιά λειτουργίες.

σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού

Ομοίως, η συνάρτηση βήματος ορίζεται ως

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( περιπτώσεις)),\quad x\in \mathbb (R) ) είναι ένα παράδειγμασυνεχής στα δεξιά λειτουργίες.

συνεχής στα αριστερά

Συνάρτηση Dirichlet

Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να καθιερώνουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης. Αυτό θα το κάνουμε χρησιμοποιώντας όρια, μονόπλευρα εκεί - δεξιά και αριστερά, τα οποία δεν είναι καθόλου τρομακτικά, παρά το γεγονός ότι γράφονται ως και .

Τι είναι όμως η συνέχεια μιας συνάρτησης; Μέχρι να φτάσουμε σε έναν αυστηρό ορισμό, είναι πιο εύκολο να φανταστείς μια γραμμή που μπορεί να τραβήξει χωρίς να σηκώσει το μολύβι από το χαρτί. Αν τραβηχτεί μια τέτοια γραμμή, τότε είναι συνεχής. Αυτή η γραμμή είναι το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης.

Γραφικά, μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο εάν η γραφική παράσταση της δεν «σπάσει» σε αυτό το σημείο. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνεχούς συνάρτησης είναι φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Προσδιορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης μέσω ενός ορίου.Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο εάν πληρούνται τρεις προϋποθέσεις:

1. Η συνάρτηση ορίζεται στο σημείο .

Εάν δεν πληρούται τουλάχιστον μία από τις αναφερόμενες προϋποθέσεις, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι η συνάρτηση υφίσταται ασυνέχεια και τα σημεία στο γράφημα στα οποία διακόπτεται η γραφική παράσταση ονομάζονται σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης που υφίσταται ασυνέχεια στο σημείο x=2 είναι στο παρακάτω σχήμα.

Παράδειγμα 1.Λειτουργία φά(x) ορίζεται ως εξής:

Αυτή η συνάρτηση θα είναι συνεχής σε καθένα από τα οριακά σημεία των κλάδων της, δηλαδή στα σημεία x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Διάλυμα. Ελέγχουμε και τις τρεις συνθήκες για τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε κάθε οριακό σημείο. Η πρώτη προϋπόθεση πληρούται, αφού τι καθορισμένη λειτουργίασε καθένα από τα οριακά σημεία προκύπτει από τον ορισμό της συνάρτησης. Απομένει να ελέγξουμε τις υπόλοιπες δύο προϋποθέσεις.

Τελεία x= 0 . Ας βρούμε το αριστερό όριο σε αυτό το σημείο:

.

Ας βρούμε το δεξί όριο:

x= 0 πρέπει να βρεθεί για αυτόν τον κλάδο της συνάρτησης που περιλαμβάνει αυτό το σημείο, δηλαδή τον δεύτερο κλάδο. Τους βρίσκουμε:

Όπως μπορούμε να δούμε, το όριο της συνάρτησης και η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x= 0 είναι ίσα. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x = 0 .

Τελεία x= 1 . Ας βρούμε το αριστερό όριο σε αυτό το σημείο:

Ας βρούμε το δεξί όριο:

Όριο συνάρτησης και τιμή συνάρτησης σε σημείο x= 1 πρέπει να βρεθεί για αυτόν τον κλάδο της συνάρτησης που περιλαμβάνει αυτό το σημείο, δηλαδή τον δεύτερο κλάδο. Τους βρίσκουμε:

.

Όριο συνάρτησης και τιμή συνάρτησης σε σημείο x= 1 είναι ίσο. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x = 1 .

Τελεία x= 3. Ας βρούμε το αριστερό όριο σε αυτό το σημείο:

Ας βρούμε το δεξί όριο:

Όριο συνάρτησης και τιμή συνάρτησης σε σημείο x= 3 πρέπει να βρεθεί για αυτόν τον κλάδο της συνάρτησης που περιλαμβάνει αυτό το σημείο, δηλαδή τον δεύτερο κλάδο. Τους βρίσκουμε:

.

Όριο συνάρτησης και τιμή συνάρτησης σε σημείο x= 3 είναι ίσα. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x = 3 .

Το κύριο συμπέρασμα: αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε οριακό σημείο.

Τι είναι η συνεχής αλλαγή συνάρτησης;

Μια συνεχής αλλαγή σε μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως μια σταδιακή αλλαγή, χωρίς άλματα, στην οποία μια μικρή αλλαγή στο όρισμα συνεπάγεται μια μικρή αλλαγή στη συνάρτηση.

Ας επεξηγήσουμε αυτή τη συνεχή αλλαγή στη συνάρτηση με ένα παράδειγμα.

Αφήστε ένα βάρος να κρέμεται σε μια κλωστή πάνω από το τραπέζι. Υπό την επίδραση αυτού του φορτίου, το νήμα τεντώνεται, άρα η απόσταση μεγάλοΤο φορτίο από το σημείο ανάρτησης του νήματος είναι συνάρτηση της μάζας του φορτίου m, δηλαδή μεγάλο = φά(m) , m≥0 .

Εάν αλλάξετε ελαφρώς τη μάζα του φορτίου, τότε η απόσταση μεγάλοθα αλλάξει ελάχιστα: μικρές αλλαγές mαντιστοιχούν μικρές αλλαγές μεγάλο. Ωστόσο, εάν η μάζα του φορτίου είναι κοντά στην αντοχή σε εφελκυσμό του νήματος, τότε μια ελαφρά αύξηση της μάζας του φορτίου μπορεί να προκαλέσει το σπάσιμο του νήματος: απόσταση μεγάλοθα αυξηθεί απότομα και θα γίνει ίση με την απόσταση από το σημείο ανάρτησης μέχρι την επιφάνεια του τραπεζιού. Γράφημα μιας συνάρτησης μεγάλο = φά(m) φαίνεται στο σχήμα. Σε ένα τμήμα, αυτό το γράφημα είναι μια συνεχής (συμπαγής) γραμμή, αλλά σε ένα σημείο διακόπτεται. Το αποτέλεσμα είναι ένα γράφημα που αποτελείται από δύο κλάδους. Σε όλα τα σημεία εκτός από τη συνάρτηση μεγάλο = φά(m) είναι συνεχής, αλλά σε ένα σημείο έχει ασυνέχεια.

Η μελέτη μιας συνάρτησης για συνέχεια μπορεί να είναι είτε μια ανεξάρτητη εργασία είτε ένα από τα στάδια μιας πλήρους μελέτης της συνάρτησης και της κατασκευής του γραφήματος της.

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα

Αφήστε τη λειτουργία y = φά(x) που ορίζεται στο διάστημα ] ένα, σι[ και είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος. Τότε λέγεται συνεχής στο διάστημα ] ένα, σι[ . Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης σε διαστήματα της μορφής ]- ∞ ορίζεται παρόμοια, σι[ , ]ένα, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Αφήστε τώρα τη συνάρτηση y = φά(x) ορίζεται στο διάστημα [ ένα, σι] . Η διαφορά μεταξύ ενός διαστήματος και ενός τμήματος: τα οριακά σημεία ενός διαστήματος δεν περιλαμβάνονται στο διάστημα, αλλά τα οριακά σημεία ενός τμήματος περιλαμβάνονται στο τμήμα. Εδώ θα πρέπει να αναφέρουμε τη λεγόμενη μονόπλευρη συνέχεια: στο σημείο ένα, παραμένοντας στο τμήμα [ ένα, σι] , μπορούμε να προσεγγίσουμε μόνο από τα δεξιά και προς το σημείο σι- μόνο στα αριστερά. Η συνάρτηση λέγεται ότι είναι συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , εάν είναι συνεχής σε όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού του τμήματος, συνεχής στα δεξιά στο σημείο ένακαι αφήνεται συνεχής στο σημείο σι.

Ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης μπορεί να είναι οποιαδήποτε από τις στοιχειώδεις συναρτήσεις. Κάθε στοιχειώδης συνάρτηση είναι συνεχής σε οποιοδήποτε διάστημα ορίζεται. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς σε οποιοδήποτε διάστημα [ ένα, σι], η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ 0 , σι] , η συνάρτηση είναι συνεχής σε οποιοδήποτε τμήμα που δεν περιέχει σημείο ένα = 2 .

Παράδειγμα 4.Εξετάστε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια.

Διάλυμα. Ας ελέγξουμε την πρώτη συνθήκη. Η συνάρτηση δεν ορίζεται στα σημεία - 3 και 3. Τουλάχιστον μία από τις προϋποθέσεις για τη συνέχεια της συνάρτησης σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή δεν ικανοποιείται. Επομένως, αυτή η λειτουργία είναι συνεχής στα διαστήματα

.

Παράδειγμα 5.Προσδιορίστε σε ποια τιμή της παραμέτρου ένασυνεχής καθ' όλη τη διάρκεια τομέα ορισμούλειτουργία

Διάλυμα.

Ας βρούμε το δεξί όριο στο:

.

Προφανώς, η αξία στο σημείο x= 2 πρέπει να είναι ίσο τσεκούρι :

ένα = 1,5 .

Παράδειγμα 6.Προσδιορίστε σε ποιες τιμές παραμέτρων έναΚαι σισυνεχής καθ' όλη τη διάρκεια τομέα ορισμούλειτουργία

Διάλυμα.
Ας βρούμε το αριστερό όριο της συνάρτησης στο σημείο:

.

Επομένως, η τιμή στο σημείο πρέπει να είναι 1:

Ας βρούμε την αριστερή συνάρτηση στο σημείο:

Προφανώς, η τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο πρέπει να είναι ίση με:

Απάντηση: η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού όταν ένα = 1; σι = -3 .

Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων

Τα μαθηματικά κατέληξαν στην έννοια της συνεχούς συνάρτησης μελετώντας, πρώτα απ' όλα, διάφορους νόμους της κίνησης. Ο χώρος και ο χρόνος είναι άπειροι και η εξάρτηση, για παράδειγμα, τα μονοπάτια μικρόαπό καιρό σε καιρό t, που εκφράζεται με νόμο μικρό = φά(t) , δίνει ένα παράδειγμα συνεχούς λειτουργίες φά(t) . Η θερμοκρασία του θερμαινόμενου νερού επίσης αλλάζει συνεχώς, είναι επίσης μια συνεχής συνάρτηση του χρόνου: Τ = φά(t) .

Στη μαθηματική ανάλυση αποδεικνύονται κάποιες ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς συναρτήσεις. Ας παρουσιάσουμε τις πιο σημαντικές από αυτές τις ιδιότητες.

1. Εάν μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα λαμβάνει τιμές διαφορετικών προσώπων στα άκρα του διαστήματος, τότε σε κάποιο σημείο αυτού του διαστήματος παίρνει μια τιμή ίση με μηδέν. Σε μια πιο επίσημη δήλωση, αυτή η ιδιότητα δίνεται σε ένα θεώρημα γνωστό ως το πρώτο θεώρημα Bolzano-Cauchy.

2. Λειτουργία φά(x) , συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των τιμών στα τελικά σημεία, δηλαδή μεταξύ φά(ένα) Και φά(σι) . Σε μια πιο επίσημη δήλωση, αυτή η ιδιότητα δίνεται σε ένα θεώρημα γνωστό ως το δεύτερο θεώρημα Bolzano-Cauchy.