Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 4ου βαθμού. Εξίσωση τέταρτου βαθμού
Στη γενική περίπτωση, η λύση μιας εξίσωσης τέταρτου βαθμού πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων για υψηλότερους βαθμούς, για παράδειγμα, τη μέθοδο Ferrari ή χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner. Αλλά μερικές εξισώσεις 4ου βαθμού έχουν μια απλούστερη λύση.
Υπάρχουν αρκετοί ειδικοί τύποι εξισώσεων τέταρτου βαθμού, τις μεθόδους επίλυσης των οποίων θα μάθετε παρακάτω:
- Διτετραγωνική εξίσωση $ax^4+bx^2+c=0$;
- Αντίστροφες εξισώσεις της μορφής $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Εξισώσεις της μορφής $ax^4+b=0$.
Επίλυση διτετραγωνικών εξισώσεων τέταρτου βαθμού
Οι διτετραγωνικές εξισώσεις $ax^4+bx^2+c=0$ ανάγονται σε τετραγωνικές εξισώσεις αντικαθιστώντας τη μεταβλητή $x^2$ με μια νέα, για παράδειγμα, $y$. Μετά την αντικατάσταση, η νέα προκύπτουσα εξίσωση λύνεται και, στη συνέχεια, η τιμή της μεταβλητής που βρέθηκε αντικαθίσταται στην εξίσωση $x^2=y$. Το αποτέλεσμα της λύσης θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^2=y$.
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Ας επεκτείνουμε τις παρενθέσεις στο πολυώνυμο:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Σε αυτή τη μορφή, γίνεται προφανές ότι μπορούμε να επιλέξουμε την έκφραση $y=x^2-3x$ ως νέα μεταβλητή.
$y\cdot (y+2)=24$
Τώρα ας λύσουμε δύο τετραγωνικές εξισώσεις$x^2-3x=-4$ και $x^2-3x=-6$.
Οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είναι $x_1(1,2)=4;-1$, η δεύτερη δεν έχει λύσεις.
Επίλυση αμοιβαίων εξισώσεων βαθμού 4
Αυτές οι εξισώσεις της μορφής $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ επαναλαμβάνουν με τους συντελεστές τους για όρους χαμηλότερης τάξης τους συντελεστές για πολυώνυμα με υψηλότερους βαθμούς. Για να λύσετε μια τέτοια εξίσωση, πρώτα διαιρέστε την με $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Στη συνέχεια αντικαταστήστε το $(x+\frac(1)(x))$ με μια νέα μεταβλητή, στη συνέχεια $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την παρακάτω τετραγωνική εξίσωση:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Μετά από αυτό, αναζητούμε τις ρίζες των εξισώσεων $x+\frac(1)(x)=y_1$ και $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Μια παρόμοια μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση αμοιβαίων εξισώσεων της μορφής $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Αυτή η εξίσωση είναι μια αμοιβαία εξίσωση της μορφής $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Επομένως, διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Ας υπολογίσουμε τις ρίζες δεδομένη εξίσωση, ισούνται με $y_1=3$ και $y_2=-\frac(7)(3)$.
Αντίστοιχα, τώρα είναι απαραίτητο να λυθούν δύο εξισώσεις $x+\frac(2)(x)=3$ και $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Η λύση στην πρώτη εξίσωση είναι $x_1=1, x_2=2$, η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Επομένως, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι $x_1=1, x_2=2$.
Εξισώσεις της μορφής $ax^4+b=0$
Οι ρίζες αυτού του τύπου εξίσωσης βρίσκονται χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Διάλυμα Descartes-Euler
Έχοντας κάνει την αντικατάσταση, λαμβάνουμε μια εξίσωση με την ακόλουθη μορφή (λέγεται "ελλιπής"):
y 4 + σελy 2 + qy + r = 0 .Ρίζες y 1 , y 2 , y 3 , y 4 μιας τέτοιας εξίσωσης ισούνται με μία από τις ακόλουθες εκφράσεις:
στην οποία οι συνδυασμοί χαρακτήρων επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη σχέση:
,
και z 1 , z 2 και z 3 είναι οι ρίζες της κυβικής εξίσωσης
Η λύση της Ferrari
Κύριο άρθρο: Μέθοδος Ferrari
Ας αναπαραστήσουμε την εξίσωση τέταρτου βαθμού με τη μορφή:
ΕΝΑx 4 + σιx 3 + ντοx 2 + ρεx + μι = 0,Η λύση του μπορεί να βρεθεί από τις παρακάτω εκφράσεις:
αν β = 0, επίλυση u 4 + α u 2 + γ = 0και, κάνοντας την αντικατάσταση 
, ας βρούμε τις ρίζες: . 
, (οποιοδήποτε σημάδι τετραγωνική ρίζαθα κάνει), (τρεις σύνθετες ρίζες, μία από τις οποίες θα κάνει) 
Δύο ± s πρέπει να έχουν το ίδιο πρόσημο, ± t - είναι ανεξάρτητα. Για να βρείτε όλες τις ρίζες, πρέπει να βρείτε x για προσημασμένους συνδυασμούς ± s ,± t = +,+ για +,− για −,+ για −,−. Οι διπλές ρίζες θα εμφανιστούν δύο φορές, οι τριπλές ρίζες τρεις φορές και οι τεταρτοταγείς ρίζες τέσσερις φορές. Η σειρά των ριζών εξαρτάται από την κυβική ρίζα Uεπιλεγμένο. Δείτε επίσης
- Εύκολα λυμένοι τύποι εξισώσεων 4ου βαθμού: Διτετραγωνική εξίσωση, αμοιβαία εξίσωση τέταρτου βαθμού
Λογοτεχνία
- Korn G., Korn T. (1974) Handbook of Mathematics.
Εδαφος διά παιγνίδι γκολφ
- Η απόφαση της Ferrari
Ίδρυμα Wikimedia.
2010.
Δείτε τι είναι η «εξίσωση τέταρτου βαθμού» σε άλλα λεξικά:εξίσωση τέταρτου βαθμού - - [Λ.Γ.Σουμένκο. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία της πληροφορίας. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] ΘέματαΠληροφορική σε γενική εξίσωση EN quuartic ...
Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή
Γράφημα πολυωνύμου 4ου βαθμού με τέσσερις ρίζες και τρία κρίσιμα σημεία. Μια εξίσωση του τέταρτου βαθμού στα μαθηματικά είναι μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής: Ο τέταρτος βαθμός για τις αλγεβρικές εξισώσεις είναι ο υψηλότερος στον οποίο ... ... Wikipedia
Μια εξίσωση της μορφής: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 ονομάζεται αμοιβαία αν οι συντελεστές της σε συμμετρικές θέσεις είναι ίσοι, δηλαδή αν an − k = ak, για k = 0, 1, ..., n. Περιεχόμενα 1 Εξίσωση τέταρτου βαθμού ... Wikipedia ξένες λέξεις, που έχουν τεθεί σε χρήση στη ρωσική γλώσσα. Popov M., 1907. ΔΙΤΕΤΑΡΧΙΑΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ από λατ. bis, δύο φορές, και quadratum, τετράγωνο. Η εξίσωση στην οποία ο μεγαλύτερος βαθμός... ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
Μαζί με την αριθμητική υπάρχει η επιστήμη των αριθμών και, μέσω των αριθμών, των ποσοτήτων γενικότερα. Χωρίς να μελετήσουν τις ιδιότητες ορισμένων, συγκεκριμένων μεγεθών, και οι δύο αυτές επιστήμες ερευνούν τις ιδιότητες των αφηρημένων μεγεθών καθαυτές, ανεξάρτητα από... ... Εγκυκλοπαιδικό ΛεξικόΦΑ. Brockhaus και I.A. Έφρον
Ένα σύνολο εφαρμοσμένων γνώσεων που επιτρέπει στους μηχανικούς αεροπορίας να μελετήσουν στον τομέα της αεροδυναμικής, των προβλημάτων αντοχής, της κατασκευής του κινητήρα και της δυναμικής πτήσης των αεροσκαφών (δηλαδή θεωρία) για τη δημιουργία ενός νέου αεροσκάφοςή βελτίωσε...... Εγκυκλοπαίδεια Collier
Το πιο αρχαίο μαθηματικές δραστηριότητεςυπήρχε ένας λογαριασμός. Ήταν απαραίτητος ένας λογαριασμός για την παρακολούθηση των ζώων και τη διεξαγωγή εμπορίου. Μερικές πρωτόγονες φυλές μετρούσαν τον αριθμό των αντικειμένων ταιριάζοντάς τα με διάφορα μέρη του σώματος, κυρίως... ... Εγκυκλοπαίδεια Collier
Ιστορία της τεχνολογίας Κατά περιόδους και περιοχές: Νεολιθική ΕπανάστασηΑρχαία τεχνολογία της Αιγύπτου Επιστήμη και τεχνολογία της αρχαίας Ινδίας Επιστήμη και τεχνολογία αρχαία Κίνατεχνολογίες Αρχαία Ελλάδατεχνολογίες Αρχαία ΡώμηΤεχνολογίες του Ισλαμικού κόσμου... ... Wikipedia
Μια εξίσωση είναι μια μαθηματική σχέση που εκφράζει την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων. Εάν μια ισότητα ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των αγνώστων που περιλαμβάνονται σε αυτήν, τότε ονομάζεται ταυτότητα. για παράδειγμα, μια αναλογία της μορφής... ... Εγκυκλοπαίδεια Collier
Το θεώρημα του Abel Ruffini δηλώνει ότι γενική εξίσωσηαρμοδιότητες στο δεν επιλύεται σε ριζοσπάστες. Περιεχόμενα 1 Λεπτομέρειες... Wikipedia
Στόχοι:
- Συστηματοποίηση και γενίκευση γνώσεων και δεξιοτήτων με θέμα: Λύσεις εξισώσεων τρίτου και τέταρτου βαθμού.
- Εμβαθύνετε τις γνώσεις σας ολοκληρώνοντας μια σειρά από εργασίες, μερικές από τις οποίες είναι άγνωστες είτε ως προς τον τύπο είτε για τη μέθοδο επίλυσης.
- Διαμόρφωση ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά μέσω της μελέτης νέων κεφαλαίων των μαθηματικών, καλλιέργεια μιας γραφικής κουλτούρας μέσω της κατασκευής γραφημάτων εξισώσεων.
Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο.
Εξοπλισμός:προβολέας γραφικών.
Ορατότητα:πίνακας «Θεώρημα Viete».
Πρόοδος μαθήματος
1. Προφορική καταμέτρηση
α) Πόσο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 με το διώνυμο x-a;
β) Πόσες ρίζες μπορεί να έχει μια κυβική εξίσωση;
γ) Πώς λύνουμε εξισώσεις τρίτης και τέταρτης μοίρας;
δ) Αν β ζυγός αριθμόςσε μια τετραγωνική εξίσωση, τι είναι ίσο με D και x 1
2. Ανεξάρτητη εργασία(ομαδικά)
Γράψτε μια εξίσωση εάν οι ρίζες είναι γνωστές (οι απαντήσεις στις εργασίες είναι κωδικοποιημένες) Χρησιμοποιείται το «Θεώρημα Vieta»
1 ομάδα
Ρίζες: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Φτιάξτε μια εξίσωση:
Β=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(αυτή η εξίσωση λύνεται στη συνέχεια από την ομάδα 2 στον πίνακα)
Διάλυμα . Αναζητούμε ολόκληρες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του αριθμού 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Ο αριθμός 1 ικανοποιεί την εξίσωση, επομένως =1 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Σύμφωνα με το σχήμα του Horner
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
Απάντηση: 1;-2;-3;6 άθροισμα ριζών 2 (P)
2η ομάδα
Ρίζες: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Φτιάξτε μια εξίσωση:
Β=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
Δ=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (η ομάδα 3 λύνει αυτή την εξίσωση στον πίνακα)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5
Απάντηση: -1;2;2;5 άθροισμα ριζών 8(P)
3 ομάδα
Ρίζες: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Φτιάξτε μια εξίσωση:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
σ=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(η ομάδα 4 λύνει αυτήν την εξίσωση αργότερα στον πίνακα)
Διάλυμα. Αναζητούμε ολόκληρες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του αριθμού 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Απάντηση: -1;1;-2;3 Άθροισμα ριζών 1(O)
4 ομάδα
Ρίζες: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Φτιάξτε μια εξίσωση:
Β=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; σ=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(αυτή η εξίσωση λύνεται στη συνέχεια από την ομάδα 5 στον πίνακα)
Διάλυμα. Αναζητούμε ολόκληρες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του αριθμού -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Απάντηση: -2; -2; -3; 3 Άθροισμα ριζών-4 (F)
5 ομάδα
Ρίζες: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Γράψε μια εξίσωση
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(αυτή η εξίσωση λύνεται στη συνέχεια από την ομάδα 6 στον πίνακα)
Διάλυμα . Αναζητούμε ολόκληρες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του αριθμού 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Απάντηση: -1;-2;-3;-4 άθροισμα-10 (I)
6 ομάδα
Ρίζες: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Γράψε μια εξίσωση
Β=1+1-3+8=7;β=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (αυτή η εξίσωση λύνεται στη συνέχεια από την ομάδα 1 στον πίνακα)
Διάλυμα . Αναζητούμε ολόκληρες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του αριθμού -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Απάντηση: 1;1;-3;8 άθροισμα 7 (L)
3. Επίλυση εξισώσεων με παράμετρο
1. Λύστε την εξίσωση x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; αν μια από τις ρίζες είναι ίση με (-1)
Γράψε την απάντηση με αύξουσα σειρά
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Με συνθήκη x 1 = - 1; Δ=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Απάντηση: - 1; 3
Με αύξουσα σειρά: -5;-1;3. (β Β Ν)
2. Να βρείτε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, αν τα υπόλοιπα από τη διαίρεση του σε διώνυμα x-1 και x +2 είναι ίσα.
Λύση: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Γράψτε μια εξίσωση
1 ομάδα. Ρίζες: -4; -2; 1; 7;
2η ομάδα. Ρίζες: -3; -2; 1; 2;
3 ομάδα. Ρίζες: -1; 2; 6; 10;
4 ομάδα. Ρίζες: -3; 2; 2; 5;
5 ομάδα. Ρίζες: -5; -2; 2; 4;
6 ομάδα. Ρίζες: -8; -2; 6; 7.
2. Εξίσωση Αν μια ισότητα περιλαμβάνει ένα γράμμα, τότε η ισότητα ονομάζεται εξίσωση.
Η εξίσωση μπορεί να ισχύει για ορισμένες τιμές αυτού του γράμματος
και λανθασμένη για τις άλλες έννοιές του.
Για παράδειγμα, η εξίσωση x + 6 = 7
αληθές για x = 1
και false για x = 2.
3.
Ισοδύναμες εξισώσεις Η γραμμική εξίσωση είναι ax + by + c = 0.
Για παράδειγμα: 5x – 4y + 6 = 0.
Ας εκφράσουμε το y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5.
Η εξίσωση που προκύπτει, ισοδύναμη με την πρώτη, έχει τη μορφή
y = kx + m,
όπου: x - ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα).
y - εξαρτημένη μεταβλητή (συνάρτηση).
Τα k και m είναι συντελεστές (παράμετροι).
4 Ισοδύναμες εξισώσεις
Οι δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμος (ισοδύναμος), αν τα σύνολα όλων των λύσεών τους συμπίπτουν ή και τα δύο δεν έχουν λύσεις και δηλώνουν .
5/Εξίσωση πρώτου βαθμού.
Η εξίσωση πρώτου βαθμού μπορεί να αναχθεί στη μορφή:
τσεκούρι+β = 0,
Οπου x- μεταβλητή, έναΚαι σι– κάποιοι αριθμοί και ένα ≠ 0.
Από εδώ είναι εύκολο να εξαχθεί η αξία x:
σι
x = – -
ένα
Αυτό είναι το νόημα xείναι η ρίζα της εξίσωσης.
Οι εξισώσεις πρώτου βαθμού έχουν μία ρίζα.
Εξίσωση δεύτερου βαθμού.
Η εξίσωση δεύτερου βαθμού μπορεί να αναχθεί στη μορφή:
ax 2 + bx + c = 0,
Οπου x- μεταβλητή, α, β, γ– κάποιοι αριθμοί και ένα ≠ 0.
Ο αριθμός των ριζών της εξίσωσης δεύτερου βαθμού εξαρτάται από τη διάκριση:
Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.
Αν ο Δ< 0, то уравнение корней не имеет.
Μια εξίσωση δεύτερου βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο ρίζες.
(σχετικά με το τι είναι ο διαχωριστής και πώς να βρείτε τις ρίζες μιας εξίσωσης, δείτε τις ενότητες «Τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Διακριτικός» και «Ένας άλλος τρόπος επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης»).
Εξίσωση τρίτου βαθμού.
Η εξίσωση τρίτου βαθμού μπορεί να αναχθεί στη μορφή:
τσεκούρι 3 + bx 2 + cx + ρε = 0,
Οπου x- μεταβλητή, α, β, γ, δ– κάποιοι αριθμοί και ένα ≠ 0.
Μια εξίσωση τρίτου βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις ρίζες.
Εξίσωση τέταρτου βαθμού.
Η εξίσωση τέταρτου βαθμού μπορεί να αναχθεί στη μορφή:
τσεκούρι 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
Οπου x- μεταβλητή, α, β, γ, δ, ε– κάποιοι αριθμοί και ένα ≠ 0.
Μια εξίσωση τρίτου βαθμού δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τέσσερις ρίζες.
Περίληψη:
1) εξίσωση του πέμπτου, του έκτου κ.λπ. μοίρες μπορούν εύκολα να εξαχθούν ανεξάρτητα ακολουθώντας το παραπάνω διάγραμμα.
2) εξίσωση n- πτυχίο δεν μπορεί να έχει άλλο nρίζες.
6/Μια εξίσωση με μία μεταβλητή είναι μια ισότητα που περιέχει μόνο μία μεταβλητή. Η ρίζα (ή λύση) μιας εξίσωσης είναι η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ισότητα.
1. 8/-11/Συστήματα γραμμικές εξισώσεις: βασικές έννοιεςΣύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Ασυνεπή και αόριστα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Σύνολο γραμμικών εξισώσεων Συνεπές και ασυνεπές σύνολο γραμμικών εξισώσεων.
Σύστημα γραμμικών εξισώσεωνείναι μια ένωση των nγραμμικές εξισώσεις, καθεμία από τις οποίες περιέχει κμεταβλητές. Είναι γραμμένο έτσι:
Πολλοί, όταν συναντούν υψηλότερη άλγεβρα για πρώτη φορά, πιστεύουν λανθασμένα ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των μεταβλητών. Στη σχολική άλγεβρα αυτό συμβαίνει συνήθως, αλλά για την ανώτερη άλγεβρα αυτό, γενικά, δεν ισχύει.
Επίλυση συστήματος εξισώσεωνείναι μια ακολουθία αριθμών ( κ 1 , κ 2 , ..., k n), που είναι η λύση σε κάθε εξίσωση του συστήματος, δηλ. κατά την αντικατάσταση σε αυτή την εξίσωση αντί για μεταβλητές x 1 , x 2 , ..., x nδίνει τη σωστή αριθμητική ισότητα.
Αντίστοιχα, η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών του ή την απόδειξη ότι αυτό το σύνολο είναι κενό. Δεδομένου ότι ο αριθμός των εξισώσεων και ο αριθμός των αγνώστων μπορεί να μην συμπίπτουν, είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις:
1. Το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλ. το σύνολο όλων των λύσεων είναι κενό. Αρκετά σπάνια περίπτωση, το οποίο ανακαλύπτεται εύκολα ανεξάρτητα από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για την επίλυση του συστήματος.
2. Το σύστημα είναι συνεπές και καθορισμένο, δηλ. έχει ακριβώς μια λύση. Η κλασική εκδοχή, γνωστή από το σχολείο.
3. Το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο, δηλ. έχει άπειρες λύσεις. Αυτή είναι η πιο δύσκολη επιλογή. Δεν αρκεί να υποδείξουμε ότι «το σύστημα έχει άπειρο σύνολολύσεις» - είναι απαραίτητο να περιγράψουμε πώς είναι δομημένο αυτό το σύνολο.
Μεταβλητός x iκάλεσε επιτρέπεται, αν περιλαμβάνεται σε μία μόνο εξίσωση του συστήματος, και με συντελεστή 1. Με άλλα λόγια, στις υπόλοιπες εξισώσεις ο συντελεστής της μεταβλητής x iπρέπει να είναι ίσο με μηδέν.
Εάν επιλέξουμε μία επιτρεπόμενη μεταβλητή σε κάθε εξίσωση, λαμβάνουμε ένα σύνολο επιτρεπόμενων μεταβλητών για ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων. Το ίδιο το σύστημα, γραμμένο σε αυτή τη μορφή, θα ονομάζεται επίσης επιλυμένο. Σε γενικές γραμμές, ένα και το ίδιο αρχικό σύστημα μπορεί να μειωθεί σε διαφορετικά επιτρεπόμενα, αλλά προς το παρόν δεν μας απασχολεί αυτό. Ακολουθούν παραδείγματα επιτρεπόμενων συστημάτων:
Και τα δύο συστήματα επιλύονται με μεταβλητή x 1 , x 3 και x 4. Ωστόσο, με την ίδια επιτυχία μπορεί να υποστηριχθεί ότι το δεύτερο σύστημα επιτρέπεται σχετικά x 1 , x 3 και x 5. Αρκεί να ξαναγράψουμε την τελευταία εξίσωση στη φόρμα x 5 = x 4 .
Ας εξετάσουμε τώρα μια γενικότερη περίπτωση. Μακάρι να έχουμε τα πάντα κμεταβλητές, εκ των οποίων rεπιτρέπονται. Τότε είναι δυνατές δύο περιπτώσεις:
1. Αριθμός επιτρεπόμενων μεταβλητών rίσο με τον συνολικό αριθμό των μεταβλητών κ: r = κ. Λαμβάνουμε το σύστημα από κεξισώσεις στις οποίες r = κεπιτρεπόμενες μεταβλητές. Ένα τέτοιο σύστημα είναι κοινό και οριστικό, γιατί x 1 = σι 1 , x 2 = σι 2 , ..., x k = β κ;
2. Αριθμός επιτρεπόμενων μεταβλητών rμικρότερο από τον συνολικό αριθμό μεταβλητών κ: r < κ. Τα υπόλοιπα ( κ − r) οι μεταβλητές ονομάζονται ελεύθερες - μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές, από τις οποίες μπορούν εύκολα να υπολογιστούν οι επιτρεπόμενες μεταβλητές.
Άρα, στα παραπάνω συστήματα οι μεταβλητές x 2 , x 5 , x 6 (για το πρώτο σύστημα) και x 2 , x 5 (για το δεύτερο) είναι δωρεάν. Η περίπτωση που υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές διατυπώνεται καλύτερα ως θεώρημα:
Παρακαλώ σημειώστε: αυτό είναι πολύ σημαντικό σημείο! Ανάλογα με το πώς γράφετε το προκύπτον σύστημα, η ίδια μεταβλητή μπορεί να επιτρέπεται ή δωρεάν. Οι περισσότεροι καθηγητές ανώτερα μαθηματικάΣυνιστάται να γράφονται οι μεταβλητές με λεξικογραφική σειρά, δηλ. αύξων δείκτης. Ωστόσο, δεν είστε υποχρεωμένοι να ακολουθήσετε αυτήν τη συμβουλή.
Θεώρημα. Εάν το σύστημα είναι από nμεταβλητές εξίσωσης x 1 , x 2 , ..., x r- επιτρέπεται, και x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- δωρεάν, τότε:
1. Εάν ορίσετε τις τιμές των ελεύθερων μεταβλητών ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), και στη συνέχεια βρείτε τις τιμές x 1 , x 2 , ..., x r, έχουμε μία από τις λύσεις.
2. Εάν σε δύο λύσεις συμπίπτουν οι τιμές των ελεύθερων μεταβλητών, τότε συμπίπτουν και οι τιμές των επιτρεπόμενων μεταβλητών, δηλ. οι λύσεις είναι ίσες.
Ποιο είναι το νόημα αυτού του θεωρήματος; Για να ληφθούν όλες οι λύσεις σε ένα επιλυμένο σύστημα εξισώσεων, αρκεί να απομονωθούν οι ελεύθερες μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντιστοίχιση σε ελεύθερες μεταβλητές διαφορετικές έννοιες, θα λάβουμε έτοιμες λύσεις. Αυτό είναι όλο - με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε όλες τις λύσεις του συστήματος. Δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.
Συμπέρασμα: το επιλυμένο σύστημα εξισώσεων είναι πάντα συνεπές. Εάν ο αριθμός των εξισώσεων σε ένα επιλυμένο σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών, το σύστημα θα είναι καθορισμένο εάν είναι μικρότερο, θα είναι απροσδιόριστο.
Σχηματίζονται πολλές εξισώσεις Σύνολο εξισώσεων
2. 12,13/ Γραμμική ανισότητα./ Αυστηρές και μη ανισότητες Τι είναι ανισότητα;Λαμβάνεται οποιαδήποτε εξίσωση, το σύμβολο "=" ("ίσον") αντικαθίσταται με ένα άλλο σύμβολο ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) και προκύπτει μια ανισότητα.) Η εξίσωση μπορεί να είναι οτιδήποτε: γραμμική, τετραγωνική, κλασματική, εκθετική, τριγωνομετρική, λογαριθμική κ.λπ. και τα λοιπά. Αντίστοιχα, οι ανισότητες μας θα είναι γραμμικές, τετραγωνικές κ.λπ.
Τι πρέπει να γνωρίζετε για τα εικονίδια ανισότητας; Ανισότητες με εικονίδιο περισσότερο (> ), ή μείον (< ) καλούνται αυστηρός.με εικονίδια μεγαλύτερο ή ίσο με (≥ ), μικρότερο ή ίσο με (≤ ) καλούνται όχι αυστηρή.Εικόνισμα όχι ίσα (≠ ) ξεχωρίζει, αλλά πρέπει επίσης να λύνετε παραδείγματα με αυτό το εικονίδιο συνέχεια. Και θα αποφασίσουμε.)
Το ίδιο το εικονίδιο δεν έχει μεγάλη επίδραση στη διαδικασία λύσης. Αλλά στο τέλος της απόφασης, κατά την επιλογή της τελικής απάντησης, εμφανίζεται το νόημα του εικονιδίου πλήρης δύναμη! Αυτό θα δούμε παρακάτω σε παραδείγματα. Υπάρχουν μερικά αστεία εκεί...
Οι ανισότητες, όπως και οι ισότητες, υπάρχουν πιστός και άπιστος.Όλα είναι απλά εδώ, χωρίς κόλπα. Ας πούμε 5 > Το 2 είναι μια πραγματική ανισότητα. 5 < 2 - λάθος.
Γραμμικές, τετραγωνικές, κλασματικές, εκθετικές, τριγωνομετρικές και άλλες ανισώσεις λύνονται με διαφορετικούς τρόπους. Κάθε είδος έχει τη δική του μέθοδο, τη δική του ειδική τεχνική. Αλλά! Όλες αυτές οι ειδικές τεχνικές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε κάποιο τυπικό τύπο ανισότητας.Εκείνοι. κάθε είδους ανισότητα πρέπει πρώτα προετοιμάζωγια να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδό σας.
3. 14,16/Βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων/. Ενέργειες με δύο ανισότητες.
1) Αν 
2) Ιδιότητα μεταβατικότητας. Αν
3) Αν προσθέσετε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές μιας αληθινής ανισότητας, θα έχετε μια αληθινή ανισότητα, δηλ. Αν
4) Αν μεταφέρουμε οποιονδήποτε όρο από ένα μέρος μιας αληθινής ανισότητας σε άλλο, αλλάζοντας το πρόσημά του στο αντίθετο, τότε παίρνουμε μια αληθινή ανισότητα, δηλ. Αν
5) Αν και οι δύο πλευρές μιας αληθινής ανισότητας πολλαπλασιαστούν με το ίδιο θετικός αριθμός, τότε η ανισότητα θα είναι αληθινή. Για παράδειγμα, εάν
6) Αν και οι δύο πλευρές μιας αληθινής ανισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό και αλλάξτε το πρόσημο της ανισότηταςΑντίθετα, το αποτέλεσμα είναι μια πραγματική ανισότητα. Για παράδειγμα, εάν
7) Παρόμοια με τους κανόνες 5) και 6), ισχύουν οι κανόνες για τη διαίρεση με τον ίδιο αριθμό. Αν 
Για εξισώσεις τέταρτου βαθμού ισχύουν όλα αυτά γενικά σχήματαεπίλυση εξισώσεων υψηλότερων βαθμών, που εξετάσαμε στην προηγούμενη ύλη. Ωστόσο, υπάρχει μια σειρά από αποχρώσεις στην επίλυση διωνυμικών, διτετραγωνικών και αμοιβαίων εξισώσεων, στις οποίες θα θέλαμε να σταθούμε λεπτομερέστερα.
Επίσης στο άρθρο θα αναλύσουμε την τεχνητή μέθοδο παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου, επίλυσης σε ρίζες και τη μέθοδο Ferrari, η οποία χρησιμοποιείται για την αναγωγή της λύσης μιας εξίσωσης τέταρτου βαθμού σε κυβική εξίσωση.
Λύση διωνυμικής εξίσωσης τέταρτου βαθμού
Αυτός είναι ο απλούστερος τύπος εξίσωσης τέταρτου βαθμού. Η εξίσωση γράφεται ως A x 4 + B = 0.
Ορισμός 1
Για την επίλυση αυτού του τύπου εξισώσεων, χρησιμοποιούνται συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τις ρίζες των τετραγωνικών τριωνύμων.
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση τέταρτου βαθμού 4 x 4 + 1 = 0.
Διάλυμα
Αρχικά, ας παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο 4 x 4 + 1:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)
Τώρα ας βρούμε τις ρίζες των τετραγωνικών τριωνύμων.
2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2 - i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i
Έχουμε τέσσερις πολύπλοκες ρίζες.
Απάντηση: x = 1 2 ± i και x = - 1 2 ± i.
Λύση επαναλαμβανόμενης εξίσωσης τέταρτου βαθμού
Ορισμός 2Οι αμοιβαίες εξισώσεις τέταρτης τάξης είναι A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
x = 0δεν είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0. Επομένως, μπορούμε να διαιρέσουμε με ασφάλεια και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με x 2:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Ας αλλάξουμε τις μεταβλητές x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0
Έτσι ανάγουμε την αντίστροφη εξίσωση του τέταρτου βαθμού σε τετραγωνική εξίσωση.
Παράδειγμα 2
Βρείτε όλες τις μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0.
Διάλυμα
Η συμμετρία των συντελεστών μας λέει ότι έχουμε να κάνουμε με μια αμοιβαία εξίσωση τέταρτου βαθμού. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με x 2:
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
Ας ομαδοποιήσουμε:
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Ας αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει:
D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3
Ας επιστρέψουμε στην αντικατάσταση: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .
Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση:
x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - i 14 4
Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:
x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i 1 2
Απάντηση: x = - 2 4 ± i · 14 4 και x = - 3 2 ± i · 1 2 .
Επίλυση διτετραγωνικής εξίσωσης
Οι διτετραγωνικές εξισώσεις τέταρτου βαθμού έχουν τη μορφή A x 4 + B x 2 + C = 0. Μπορούμε να αναγάγουμε μια τέτοια εξίσωση σε μια τετραγωνική εξίσωση A y 2 + B y + C = 0 αντικαθιστώντας το y = x 2 . Αυτή είναι μια τυπική τεχνική.
Παράδειγμα 3
Λύστε τη διτετραγωνική εξίσωση 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0.
Διάλυμα
Ας αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή y = x 2, η οποία θα μας επιτρέψει να μειώσουμε την αρχική εξίσωση σε μια τετραγωνική:
2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 = - 5 - 7 4 = - 3
Επομένως, x 2 = 1 2 ή x 2 = - 3.
Η πρώτη ισότητα μας επιτρέπει να λάβουμε τη ρίζα x = ± 1 2 . Η δεύτερη ισότητα δεν έχει πραγματικές ρίζες, αλλά έχει σύνθετες συζυγείς ρίζες x = ± i · 3.
Απάντηση: x = ± 1 2 και x = ± i · 3 .
Παράδειγμα 4
Βρείτε όλες τις μιγαδικές ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0.
Διάλυμα
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αντικατάστασης y = x 2 για να αναγάγουμε την αρχική διτετραγωνική εξίσωση σε τετραγωνική:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - 6 = D 2 · - 145 - 143 32 = - 9
Επομένως, λόγω της αλλαγής της μεταβλητής, x 2 = - 1 16 ή x 2 = - 9.
Απάντηση: x 1, 2 = ± 1 4 · i, x 3, 4 = ± 3 · i.
Επίλυση εξισώσεων Quartic με ορθολογικές ρίζες
Ο αλγόριθμος για την εύρεση ορθολογικών ριζών μιας εξίσωσης τέταρτου βαθμού δίνεται στο υλικό «Επίλυση εξισώσεων υψηλότερων βαθμών».
Επίλυση εξισώσεων τέταρτου βαθμού με τη μέθοδο της Ferrari
Οι τεταρτοταγείς εξισώσεις της μορφής x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 μπορούν γενικά να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Ferrari. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε το y 0. Αυτή είναι οποιαδήποτε από τις ρίζες της κυβικής εξίσωσης y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0. Μετά από αυτό, είναι απαραίτητο να λυθούν δύο δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0, του οποίου η ριζική έκφραση είναι ένα τέλειο τετράγωνο.
Οι ρίζες που λαμβάνονται κατά τους υπολογισμούς θα είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης τέταρτου βαθμού.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0.
Διάλυμα
Έχουμε A = 3, B = 3, C = - 1, D = - 6. Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο Ferrari για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση.
Ας συνθέσουμε και λύσουμε την κυβική εξίσωση:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0
Μία από τις ρίζες της κυβικής εξίσωσης θα είναι y 0 = 1, αφού 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.
Ας γράψουμε δύο τετραγωνικές εξισώσεις:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 ή x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 ή x 2 + x - 2 = 0
Οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης θα είναι x = - 1 ± i · 2, οι ρίζες της δεύτερης θα είναι x = 1 και x = - 2.
Απάντηση: x 1, 2 = - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
