Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης

Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε τις αρχές επίλυσης γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, όπου τα p και q είναι αυθαίρετα πραγματικούς αριθμούς. Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στη θεωρία και, στη συνέχεια, θα εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.

Αν συναντήσετε άγνωστους όρους, ανατρέξτε στην ενότητα για τους ορισμούς και τις έννοιες της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Ας διατυπώσουμε ένα θεώρημα που υποδεικνύει με ποια μορφή να βρεθεί η γενική λύση του LOD.

Θεώρημα.

Η γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με συντελεστές συνεχείς στο διάστημα ολοκλήρωσης X προσδιορίζεται από έναν γραμμικό συνδυασμό , Πού είναι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις του LDE στο X και είναι αυθαίρετες σταθερές.

Έτσι, η γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, όπου y 1 και y 2 είναι μερικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, και C 1 και C 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Απομένει να μάθουμε πώς να βρίσκουμε μερικές λύσεις y 1 και y 2.

Ο Euler πρότεινε να αναζητηθούν συγκεκριμένες λύσεις στη μορφή.

Εάν πάρουμε μια μερική λύση ενός LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, τότε όταν αντικαθιστούμε αυτή τη λύση στην εξίσωση θα πρέπει να λάβουμε την ταυτότητα:

Έτσι πήραμε το λεγόμενο χαρακτηριστική εξίσωσηγραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Οι λύσεις k 1 και k 2 αυτής της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζουν μερικές λύσεις του LODE δεύτερης τάξης μας με σταθερούς συντελεστές.

Ανάλογα με τους συντελεστές p και q, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι:

Στην πρώτη περίπτωσηγραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις της αρχικής διαφορικής εξίσωσης είναι και , η γενική λύση ενός LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές είναι .

Οι συναρτήσεις και είναι πράγματι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η ορίζουσα Wronski είναι μη μηδενική για κάθε πραγματικό x για .

Στη δεύτερη περίπτωσημια συγκεκριμένη λύση είναι η συνάρτηση. Ως δεύτερη συγκεκριμένη λύση παίρνουμε . Ας δείξουμε τι είναι πραγματικά μια μερική λύση ενός LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές και ας αποδείξουμε τη γραμμική ανεξαρτησία των y 1 και y 2.

Εφόσον k 1 = k 0 και k 2 = k 0 είναι οι ίδιες ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχει τη μορφή . Επομένως, είναι η αρχική γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση. Ας το αντικαταστήσουμε και βεβαιωθούμε ότι η εξίσωση γίνεται ταυτότητα:

Έτσι, είναι μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική εξίσωση.

Ας δείξουμε τη γραμμική ανεξαρτησία των συναρτήσεων και . Για να γίνει αυτό, ας υπολογίσουμε την ορίζουσα Wronski και ας βεβαιωθούμε ότι είναι διαφορετική από το μηδέν.

Συμπέρασμα: γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές είναι και , και η γενική λύση υπάρχει για .

Στην τρίτη περίπτωσηέχουμε ένα ζεύγος σύνθετων επιμέρους λύσεων του LDE και . Η γενική λύση θα γραφτεί ως . Αυτές οι συγκεκριμένες λύσεις μπορούν να αντικατασταθούν από δύο πραγματικές λειτουργίες και , που αντιστοιχεί στα πραγματικά και φανταστικά μέρη. Αυτό μπορεί να φανεί ξεκάθαρα αν μετατρέψουμε τη γενική λύση , χρησιμοποιώντας τους τύπους από θεωρία συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητήςτύπος:


όπου τα C 3 και C 4 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε τη θεωρία.

Αλγόριθμος εύρεσης γενική λύσηγραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Ας δούμε παραδείγματα για κάθε περίπτωση.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τη γενική λύση μιας γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές .

Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας

Γεωπονική Ακαδημία»

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

κατευθυντήριες γραμμές

να μελετήσει το θέμα «Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης» από φοιτητές της σχολής λογιστικής αλληλογραφίας (NISPO)

Gorki, 2013

Γραμμικός διαφορικές εξισώσεις

δεύτερης τάξης με σταθερέςσυντελεστές

1. Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις

Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές ονομάζεται εξίσωση της μορφής

εκείνοι. μια εξίσωση που περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση και τις παράγωγές της μόνο στον πρώτο βαθμό και δεν περιέχει τα γινόμενα τους. Σε αυτή την εξίσωση Και
- μερικοί αριθμοί και μια συνάρτηση
δίνεται σε ένα ορισμένο διάστημα
.

Αν
στο μεσοδιάστημα
, τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή

, (2)

και καλείται γραμμικό ομοιογενές . Διαφορετικά, καλείται η εξίσωση (1). γραμμική ανομοιογενής .

Εξετάστε τη σύνθετη συνάρτηση

, (3)

Οπου
Και
- πραγματικές λειτουργίες. Αν η συνάρτηση (3) είναι σύνθετη λύση της εξίσωσης (2), τότε το πραγματικό μέρος
, και το φανταστικό μέρος
λύσεις
χωριστά είναι λύσεις για το ίδιο ομοιογενής εξίσωση. Έτσι, οποιαδήποτε σύνθετη λύση της εξίσωσης (2) δημιουργεί δύο πραγματικές λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.

Διαλύματα ομοιογενών γραμμική εξίσωσηέχουν ιδιότητες:

Αν είναι λύση της εξίσωσης (2), τότε η συνάρτηση
, Πού ΜΕ– μια αυθαίρετη σταθερά θα είναι επίσης λύση στην εξίσωση (2).

Αν Και υπάρχουν λύσεις στην εξίσωση (2) και στη συνέχεια η συνάρτηση
θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωση (2).

Αν Και υπάρχουν λύσεις στην εξίσωση (2) και στη συνέχεια ο γραμμικός συνδυασμός τους
θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωση (2), όπου Και
– αυθαίρετες σταθερές.

Λειτουργίες
Και
καλούνται γραμμικά εξαρτώμενη στο μεσοδιάστημα
, εάν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί Και
, όχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα, ότι σε αυτό το διάστημα η ισότητα

Αν η ισότητα (4) εμφανίζεται μόνο όταν
Και
, μετά τις συναρτήσεις
Και
καλούνται γραμμικά ανεξάρτητη στο μεσοδιάστημα
.

Παράδειγμα 1 . Λειτουργίες
Και
εξαρτώνται γραμμικά, αφού
σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Σε αυτό το παράδειγμα
.

Παράδειγμα 2 . Λειτουργίες
Και
είναι γραμμικά ανεξάρτητες σε οποιοδήποτε διάστημα, αφού η ισότητα
είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που
, Και
.

1. Κατασκευή γενικής λύσης σε γραμμική ομοιογενή

εξισώσεις

Για να βρείτε μια γενική λύση στην εξίσωση (2), πρέπει να βρείτε δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της Και . Γραμμικός συνδυασμός αυτών των λύσεων
, Πού Και
είναι αυθαίρετες σταθερές, και θα δώσει μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση.

Θα αναζητήσουμε γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (2) στη μορφή

, (5)

Οπου – έναν ορισμένο αριθμό. Τότε
,
. Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (2):

Ή
.

Επειδή
, Αυτό
. Η συνάρτηση λοιπόν
θα είναι λύση της εξίσωσης (2) αν θα ικανοποιήσει την εξίσωση

. (6)

Καλείται η εξίσωση (6). χαρακτηριστική εξίσωση για την εξίσωση (2). Αυτή η εξίσωση είναι μια αλγεβρική τετραγωνική εξίσωση.

Αφήνω Και υπάρχουν ρίζες αυτής της εξίσωσης. Μπορούν να είναι είτε πραγματικές και διαφορετικές, είτε σύνθετες, είτε πραγματικές και ίσες. Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις.

Αφήστε τις ρίζες Και οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι πραγματικές και διακριτές. Τότε οι λύσεις της εξίσωσης (2) θα είναι οι συναρτήσεις
Και
. Αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η ισότητα
μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο όταν
, Και
. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή

,

Οπου Και
- αυθαίρετες σταθερές.

Παράδειγμα 3
.

Διάλυμα . Η χαρακτηριστική εξίσωση για αυτή τη διαφορική θα είναι
. Έχοντας αποφασίσει αυτό τετραγωνική εξίσωση, ας βρούμε τις ρίζες του
Και
. Λειτουργίες
Και
είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι
.

Μιγαδικός αριθμός ονομάζεται έκφραση της μορφής
, Πού Και είναι πραγματικοί αριθμοί, και
ονομάζεται η φανταστική μονάδα. Αν
, μετά τον αριθμό
λέγεται καθαρά φανταστικός. Αν
, μετά τον αριθμό
ταυτίζεται με πραγματικό αριθμό .

Αριθμός ονομάζεται το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, και - φανταστικό μέρος. Εάν δύο μιγαδικοί αριθμοί διαφέρουν μεταξύ τους μόνο με το πρόσημο του φανταστικού μέρους, τότε ονομάζονται συζυγείς:
,
.

Παράδειγμα 4 . Λύστε δευτεροβάθμια εξίσωση
.

Διάλυμα . Διακριτική εξίσωση
. Τότε . Επίσης,
. Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει συζευγμένες μιγαδικές ρίζες.

Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μιγαδικές, δηλ.
,
, Πού
.
,
Οι λύσεις της εξίσωσης (2) μπορούν να γραφτούν με τη μορφή
,
ή

,
.

.
Και
Σύμφωνα με τους τύπους του Euler

Στη συνέχεια, . Όπως είναι γνωστό, εάν μια μιγαδική συνάρτηση είναι μια λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση, τότε οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό μέρος αυτής της συνάρτησης. Έτσι, οι λύσεις της εξίσωσης (2) θα είναι οι συναρτήσεις
Και
. Από την ισότητα

Οπου Και
- αυθαίρετες σταθερές.

μπορεί να εκτελεστεί μόνο εάν , τότε αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή
.

Διάλυμα Παράδειγμα 5
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης
,
. Λειτουργίες
Και
. Εξίσωση

είναι χαρακτηριστικό μιας δεδομένης διαφοράς. Ας το λύσουμε και ας πάρουμε σύνθετες ρίζες
είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης έχει τη μορφή .
Και
Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πραγματικές και ίσες, δηλ.
Και
. Τότε οι λύσεις της εξίσωσης (2) είναι οι συναρτήσεις
.

. Αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η έκφραση μπορεί να είναι πανομοιότυπα ίση με μηδέν μόνο όταν , τότε αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή
.

Διάλυμα . Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή
Παράδειγμα 6
. Χαρακτηριστική εξίσωση
Και
έχει ίσες ρίζες
.

. Στην περίπτωση αυτή, γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στη διαφορική εξίσωση είναι οι συναρτήσεις

. Η γενική λύση έχει τη μορφή

§ 9. Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Ορισμός LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Χαρακτηριστική εξίσωση:

Περίπτωση 1. Διάκριση μεγαλύτερη από το μηδέν

Περίπτωση 2. Η διάκριση είναι μηδέν

Περίπτωση 3. Διάκριση μικρότερη από το μηδέν

Αλγόριθμος για την εύρεση γενικής λύσης σε LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

§ 10. Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Προσδιορισμός LPDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Μέθοδος μεταβολής σταθερών

Μέθοδος επίλυσης LNDDE με ειδική δεξιά πλευρά Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης του LNDE (1. Λειτουργία r x

) – πολυώνυμο βαθμού Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης του LNDE (1. ΛειτουργίαΤ 2. Λειτουργία

) – γινόμενο ενός αριθμού κατά Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης του LNDE (1. Λειτουργία) - άθροισμα τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Αλγόριθμος για την εύρεση μιας γενικής λύσης σε ένα LPDE με ειδική δεξιά πλευρά

Εφαρμογή

§ 9. Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ονομάζεται γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση (LODE) με σταθερούς συντελεστές, αν μοιάζει με:

Οπου σελΚαι q

Για να βρεθεί μια γενική λύση σε ένα LODE, αρκεί να βρούμε τις δύο διαφορετικές επιμέρους λύσεις του και . Τότε η γενική λύση του LODE θα έχει τη μορφή

Οπου ΜΕ 1 και ΜΕ

Ο Leonard Euler πρότεινε να αναζητηθούν συγκεκριμένες λύσεις του LDE στη μορφή

Οπου κ- έναν ορισμένο αριθμό.

Διαφοροποίηση αυτής της συνάρτησης δύο φορές και αντικατάσταση παραστάσεων στο, y"Και y"στην εξίσωση, παίρνουμε:

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση LODU. Για να το μεταγλωττίσετε, αρκεί η αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση y", y"Και στοανάλογα με κ 2 , κκαι 1:

Έχοντας λύσει τη χαρακτηριστική εξίσωση, δηλ. βρίσκοντας τις ρίζες κ 1 και κ 2, θα βρούμε επίσης συγκεκριμένες λύσεις στο αρχικό LODE.

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι δευτεροβάθμια εξίσωση, οι ρίζες της βρίσκονται μέσω του διαχωριστικού

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατές οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις.

Περίπτωση 1. Διάκριση μεγαλύτερη από το μηδέν άρα οι ρίζες κ 1 και κ 2 έγκυρα και διακριτά:

κ 1¹ κ 2

Οπου ΜΕ 1 και ΜΕ 2 – αυθαίρετες ανεξάρτητες σταθερές.

Περίπτωση 2. Η διάκριση είναι μηδέν άρα οι ρίζες κ 1 και κ 2 πραγματικές και ίσες:

κ 1 = κ 2 = κ

Σε αυτή την περίπτωση, η γενική λύση του LODE έχει τη μορφή

Οπου ΜΕ 1 και ΜΕ 2 – αυθαίρετες ανεξάρτητες σταθερές.

Περίπτωση 3. Διάκριση μικρότερη από το μηδέν . Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες:

Δεν υπάρχουν ρίζες.

Σε αυτή την περίπτωση, η γενική λύση του LODE έχει τη μορφή

Οπου ΜΕ 1 και ΜΕ 2 – αυθαίρετες ανεξάρτητες σταθερές,

Έτσι, η εύρεση μιας γενικής λύσης σε ένα LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές καταλήγει στην εύρεση των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης και στη χρήση τύπων για τη γενική λύση της εξίσωσης (χωρίς να καταφεύγουμε στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων).

Αλγόριθμος για την εύρεση γενικής λύσης σε LODE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές:

1. Μειώστε την εξίσωση στη μορφή όπου σελΚαι q– μερικοί πραγματικοί αριθμοί.

2. Δημιουργήστε μια χαρακτηριστική εξίσωση.

3. Να βρείτε τη διάκριση της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

4. Χρησιμοποιώντας τύπους (βλ. Πίνακα 1), ανάλογα με το πρόσημο του διακριτικού, σημειώστε τη γενική λύση.

Πίνακας 1

Πίνακας πιθανών γενικών λύσεων

Η γραμμική διαφορική εξίσωση 2ης τάξης (LDE) έχει την ακόλουθη μορφή:

όπου , , και δίνονται συναρτήσεις που είναι συνεχείς στο διάστημα στο οποίο αναζητείται η λύση. Υποθέτοντας ότι ένα 0 (x) ≠ 0, διαιρούμε το (2.1) με και, αφού εισάγουμε νέους συμβολισμούς για τους συντελεστές, γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή:

Ας δεχθούμε χωρίς απόδειξη ότι η (2.2) έχει μια μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα που ικανοποιεί οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες, , εάν στο υπό εξέταση διάστημα οι συναρτήσεις , και είναι συνεχείς. Αν , τότε η εξίσωση (2.2) ονομάζεται ομοιογενής και η εξίσωση (2.2) λέγεται ανομοιογενής διαφορετικά.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες των λύσεων στον πίνακα 2ης τάξης.

Ορισμός.Ένας γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων είναι η έκφραση , όπου υπάρχουν αυθαίρετοι αριθμοί.

Θεώρημα.Εάν και – λύση

τότε ο γραμμικός συνδυασμός τους θα είναι επίσης λύση σε αυτή την εξίσωση.

Απόδειξη.

Ας βάλουμε την έκφραση στο (2.3) και δείξουμε ότι το αποτέλεσμα είναι η ταυτότητα:

Ας αναδιατάξουμε τους όρους:

Εφόσον οι συναρτήσεις είναι λύσεις της εξίσωσης (2.3), τότε κάθε μία από τις αγκύλες της τελευταίας εξίσωσης είναι πανομοιότυπα ίση με το μηδέν, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 1.Από το αποδεδειγμένο θεώρημα προκύπτει ότι αν είναι λύση στην εξίσωση (2.3), τότε υπάρχει και λύση σε αυτή την εξίσωση.

Συμπέρασμα 2.Υποθέτοντας , βλέπουμε ότι το άθροισμα δύο λύσεων στο Lod είναι επίσης μια λύση σε αυτήν την εξίσωση.

Σχόλιο.Η ιδιότητα των λύσεων που αποδεικνύεται στο θεώρημα παραμένει έγκυρη για προβλήματα οποιασδήποτε τάξης.

§3. Καθοριστική του Βρόνσκι.

Ορισμός.Ένα σύστημα συναρτήσεων λέγεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητο σε ένα ορισμένο διάστημα εάν καμία από αυτές τις συναρτήσεις δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός όλων των άλλων.

Στην περίπτωση δύο συναρτήσεων αυτό σημαίνει ότι , δηλ. . Η τελευταία συνθήκη μπορεί να ξαναγραφτεί ως ή . Η ορίζουσα στον αριθμητή αυτής της έκφρασης είναι ονομάζεται ορίζουσα Wronski για τις συναρτήσεις και . Έτσι, η ορίζουσα Wronski για δύο γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις δεν μπορεί να είναι πανομοιότυπα ίση με το μηδέν.

Αφήνω είναι η ορίζουσα Wronski για γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις και εξίσωση (2.3). Ας βεβαιωθούμε με αντικατάσταση ότι η συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση. (3.1)

Αλήθεια, . Εφόσον οι συναρτήσεις και ικανοποιούν την εξίσωση (2.3), τότε, δηλ. – λύση της εξίσωσης (3.1). Ας βρούμε αυτή τη λύση: ; . , , .

. Πού,

(3.2)

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος Liouville. Φάνηκε παραπάνω ότι η ορίζουσα Wronski για γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις δεν μπορεί να είναι πανομοιότυπα ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα σημείο στο οποίο η ορίζουσα για γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (2.3) είναι διαφορετική από το μηδέν. Στη συνέχεια, από τον τύπο του Liouville προκύπτει ότι η συνάρτηση θα είναι μη μηδενική για όλες τις τιμές στο διάστημα που εξετάζουμε, αφού για οποιαδήποτε τιμή και οι δύο παράγοντες στη δεξιά πλευρά του τύπου (3.2) είναι μη μηδενικοί.

§4. Δομή της γενικής λύσης στο lode 2ης τάξης.

Θεώρημα.Αν και είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (2.3), τότε ο γραμμικός συνδυασμός τους , όπου και είναι αυθαίρετες σταθερές, θα είναι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης.

Απόδειξη.

Τι είναι λύση της εξίσωσης (2.3), προκύπτει από το θεώρημα για τις ιδιότητες των λύσεων στο Lodo 2ης τάξης. Απλά πρέπει να δείξουμε ότι η λύση θα γενικός, δηλ. είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες, μπορεί κανείς να επιλέξει αυθαίρετες σταθερές με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται αυτές οι συνθήκες. Ας το γράψουμε αρχικές συνθήκεςμε τη μορφή:

Οι σταθερές και από αυτό το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων προσδιορίζονται μοναδικά, αφού η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η τιμή της ορίζουσας Wronski για γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στο Lodu στο:

,

και μια τέτοια ορίζουσα, όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι μη μηδενική. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , όπου και είναι αυθαίρετες σταθερές, είναι μια γενική λύση στο Lod.

Διάλυμα.

Είναι εύκολο να επαληθευτεί με αντικατάσταση ότι οι συναρτήσεις ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Αυτές οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού . Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης, η 2ης τάξης lode είναι μια γενική λύση αυτής της εξίσωσης.