Θεωρία μιγαδικών αριθμών και παραδείγματα. Μιγαδικοί αριθμοί

Μιγαδικοί αριθμοί

Φανταστικός Και μιγαδικοί αριθμοί. τετμημένη και τεταγμένη

μιγαδικός αριθμός. Σύζευξη μιγαδικών αριθμών.

Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς. Γεωμετρικός

αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών. Σύνθετο αεροπλάνο.

Συντελεστής και όρισμα μιγαδικού αριθμού. Τριγωνομετρικό

μορφή μιγαδικού αριθμού. Λειτουργίες με σύνθετο

αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή. Η φόρμουλα του Moivre.

Βασικές πληροφορίες για φανταστικός Και μιγαδικοί αριθμοί δίνονται στην ενότητα «Φανταστικοί και μιγαδικοί αριθμοί». Η ανάγκη για αυτούς τους αριθμούς νέου τύπου προέκυψε κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων για την περίπτωσηρε< 0 (здесь ρε– διάκριση τετραγωνική εξίσωση). Για πολύ καιρό αυτοί οι αριθμοί δεν βρέθηκαν φυσική εφαρμογή, γι' αυτό και ονομάζονταν «φανταστικοί» αριθμοί. Ωστόσο, τώρα χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως σε διάφορους τομείς της φυσικής

και τεχνολογία: ηλεκτρολογική μηχανική, υδρο- και αεροδυναμική, θεωρία ελαστικότητας κ.λπ.

Μιγαδικοί αριθμοί γράφονται με τη μορφή:a+bi. Εδώ έναΚαι σι – πραγματικούς αριθμούς , Α εγώ – φανταστική μονάδα, δηλ.μι. εγώ 2 = –1. Αριθμός ένακάλεσε τετμημένη, α β – τεταγμένημιγαδικός αριθμόςα + δι.Δύο μιγαδικοί αριθμοίa+biΚαι a–bi καλούνται κλίνωμιγαδικοί αριθμοί.

Βασικές συμφωνίες:

1. Πραγματικός αριθμόςΕΝΑμπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμαμιγαδικός αριθμός:α+ 0 εγώή α – 0 εγώ. Για παράδειγμα, εγγραφές 5 + 0εγώκαι 5-0 εγώσημαίνει τον ίδιο αριθμό 5 .

2. Μιγαδικός αριθμός 0 + διςκάλεσε καθαρά φανταστικό αριθμός. Ρεκόρδιςσημαίνει το ίδιο με το 0 + δις.

3. Δύο μιγαδικοί αριθμοίa+bi Καιγ + διθεωρούνται ίσα ανα = γΚαι b = d. Αλλιώς οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι ίσοι.

Πρόσθεση. Άθροισμα μιγαδικών αριθμώνa+biΚαι γ + διονομάζεται μιγαδικός αριθμός (α+γ ) + (β+δ ) εγώ.Ετσι, κατά την προσθήκη μιγαδικοί αριθμοί, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους προστίθενται χωριστά.

Αυτός ο ορισμός αντιστοιχεί στους κανόνες για πράξεις με συνηθισμένα πολυώνυμα.

Αφαίρεση. Η διαφορά δύο μιγαδικών αριθμώνa+bi(μειώθηκε) και γ + δι(υπόδρομος) ονομάζεται μιγαδικός αριθμός (α – γ ) + (β–δ ) εγώ.

Ετσι, Κατά την αφαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους αφαιρούνται χωριστά.

Πολλαπλασιασμός. Γινόμενο μιγαδικών αριθμώνa+biΚαι γ + δι ονομάζεται μιγαδικός αριθμός:

(ac–bd ) + (ad+bc ) εγώ.Αυτός ο ορισμός προκύπτει από δύο απαιτήσεις:

1) αριθμοί a+biΚαι γ + διπρέπει να πολλαπλασιάζονται σαν αλγεβρικάδιώνυμα,

2) αριθμός εγώέχει την κύρια ιδιοκτησία:εγώ 2 = – 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( α+ δι )(a–bi) = α 2 +β 2 . Οθεν, εργασία

δύο συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι με τον πραγματικό

θετικό νούμερο.

Διαίρεση. Διαιρέστε έναν μιγαδικό αριθμόa+bi (διαιρείται) με άλλονγ + δι(διαιρών) - σημαίνει να βρεις τον τρίτο αριθμόe + f i(συνομιλία), η οποία όταν πολλαπλασιάζεται με διαιρέτηγ + δι, έχει ως αποτέλεσμα το μέρισμαα + δι.

Εάν ο διαιρέτης δεν είναι μηδέν, η διαίρεση είναι πάντα δυνατή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εύρεση (8 +εγώ ) : (2 – 3 εγώ) .

Λύση Ας ξαναγράψουμε αυτόν τον λόγο ως κλάσμα:

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με 2 + 3εγώ

ΚΑΙ Έχοντας πραγματοποιήσει όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία στην αριθμητική γραμμή:

Εδώ είναι η ουσία ΕΝΑσημαίνει τον αριθμό –3, τελείασι– αριθμός 2, και Ο- μηδέν. Αντίθετα, οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται με τελείες επίπεδο συντεταγμένων. Για το σκοπό αυτό επιλέγουμε ορθογώνιες (καρτεσιανές) συντεταγμένες με τις ίδιες κλίμακες και στους δύο άξονες. Στη συνέχεια ο μιγαδικός αριθμόςa+bi θα παριστάνεται με μια τελεία Π με τετμημένη α και τεταγμένη β (βλέπε εικόνα). Αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται σύνθετο επίπεδο .

Μονάδα μέτρησης μιγαδικός αριθμός είναι το μήκος του διανύσματοςΕΠ, που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό στη συντεταγμένη ( περιεκτικός) αεροπλάνο. Συντελεστής μιγαδικού αριθμούa+biσυμβολίζεται | a+bi| ή επιστολή r

Σχέδιο μαθήματος.

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Παρουσίαση του υλικού.

3. Εργασία για το σπίτι.

4. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Πρόοδος μαθήματος

Ι. Οργανωτική στιγμή.

II. Παρουσίαση του υλικού.

Κίνητρο.

Η επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών συνίσταται στην προσθήκη νέων αριθμών (φανταστών) στους πραγματικούς αριθμούς. Η εισαγωγή αυτών των αριθμών οφείλεται στην αδυναμία στο σετ πραγματικούς αριθμούςπαίρνοντας τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.

Εισαγωγή στην έννοια του μιγαδικού αριθμού.

Οι φανταστικοί αριθμοί, με τους οποίους συμπληρώνουμε τους πραγματικούς αριθμούς, γράφονται στη μορφή δις, Πού εγώείναι μια φανταστική μονάδα, και i 2 = - 1.

Με βάση αυτό, λαμβάνουμε τον ακόλουθο ορισμό ενός μιγαδικού αριθμού.

Ορισμός. Ένας μιγαδικός αριθμός είναι μια έκφραση της φόρμας a+bi, Πού έναΚαι σι- πραγματικοί αριθμοί. Στην περίπτωση αυτή πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

α) Δύο μιγαδικοί αριθμοί a 1 + b 1 iΚαι a 2 + b 2 iίσο αν και μόνο αν α 1 = α 2, b 1 =b 2.

β) Η πρόσθεση μιγαδικών αριθμών καθορίζεται από τον κανόνα:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

γ) Ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών καθορίζεται από τον κανόνα:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Αλγεβρική μορφή μιγαδικού αριθμού.

Γράψιμο ενός μιγαδικού αριθμού στη φόρμα a+biονομάζεται αλγεβρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού, όπου ΕΝΑ- πραγματικό μέρος, διςείναι το φανταστικό μέρος, και σι– πραγματικός αριθμός.

Μιγαδικός αριθμός a+biθεωρείται ίσο με μηδέν αν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη του είναι ίσα με μηδέν: a = b = 0

Μιγαδικός αριθμός a+biστο b = 0θεωρείται ότι είναι ο ίδιος με έναν πραγματικό αριθμό ένα: a + 0i = a.

Μιγαδικός αριθμός a+biστο a = 0λέγεται καθαρά φανταστικός και συμβολίζεται δις: 0 + bi = bi.

Δύο μιγαδικοί αριθμοί z = a + biΚαι = α – δι, που διαφέρουν μόνο στο πρόσημο του φανταστικού μέρους, ονομάζονται συζυγές.

Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή.

Μπορείτε να εκτελέσετε τις ακόλουθες πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή.

1) Προσθήκη.

Ορισμός. Άθροισμα μιγαδικών αριθμών z 1 = a 1 + b 1 iΚαι z 2 = a 2 + b 2 iονομάζεται μιγαδικός αριθμός z, το πραγματικό μέρος του οποίου ισούται με το άθροισμα των πραγματικών μερών z 1Και z 2, και το φανταστικό μέρος είναι το άθροισμα των φανταστικών μερών των αριθμών z 1Και z 2, δηλαδή z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Αριθμοί z 1Και z 2ονομάζονται όροι.

Η πρόσθεση μιγαδικών αριθμών έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1º. Ανταλλαγή: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Συνεταιρισμός: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Μιγαδικός αριθμός –a –biονομάζεται το αντίθετο ενός μιγαδικού αριθμού z = a + bi. Μιγαδικός αριθμός, αντίθετος του μιγαδικού αριθμού z, συμβολίζεται -z. Άθροισμα μιγαδικών αριθμών zΚαι -zίσο με μηδέν: z + (-z) = 0

Παράδειγμα 1: Εκτελέστε πρόσθεση (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Αφαίρεση.

Ορισμός.Αφαιρέστε από έναν μιγαδικό αριθμό z 1μιγαδικός αριθμός z 2 z,Τι z + z 2 = z 1.

Θεώρημα. Η διαφορά μεταξύ μιγαδικών αριθμών υπάρχει και είναι μοναδική.

Παράδειγμα 2: Εκτελέστε μια αφαίρεση (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Πολλαπλασιασμός.

Ορισμός. Γινόμενο μιγαδικών αριθμών z 1 =a 1 +b 1 iΚαι z 2 =a 2 +b 2 iονομάζεται μιγαδικός αριθμός z, που ορίζεται από την ισότητα: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Αριθμοί z 1Και z 2ονομάζονται παράγοντες.

Ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1º. Ανταλλαγή: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Συνεταιρισμός: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- πραγματικός αριθμός.

Στην πράξη, ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός αθροίσματος με ένα άθροισμα και του διαχωρισμού των πραγματικών και φανταστικών μερών.

Στο παρακάτω παράδειγμα, θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών με δύο τρόπους: με κανόνα και πολλαπλασιάζοντας άθροισμα με άθροισμα.

Παράδειγμα 3: Κάντε τον πολλαπλασιασμό (2 + 3i) (5 – 7i).

1 τρόπος. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Μέθοδος 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Μεραρχία.

Ορισμός. Διαιρέστε έναν μιγαδικό αριθμό z 1σε μιγαδικό αριθμό z 2, σημαίνει να βρείτε έναν τέτοιο μιγαδικό αριθμό z, Τι z · z 2 = z 1.

Θεώρημα.Το πηλίκο των μιγαδικών αριθμών υπάρχει και είναι μοναδικό αν z 2 ≠ 0 + 0i.

Στην πράξη, το πηλίκο των μιγαδικών αριθμών βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το συζυγές του παρονομαστή.

Αφήνω z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Τότε

.

Στο παρακάτω παράδειγμα, θα εκτελέσουμε διαίρεση χρησιμοποιώντας τον τύπο και τον κανόνα του πολλαπλασιασμού με τον συζευγμένο αριθμό με τον παρονομαστή.

Παράδειγμα 4. Να βρείτε το πηλίκο .

5) Αύξηση σε θετική συνολική δύναμη.

α) Δυνάμεις της νοητής μονάδας.

Εκμεταλλευόμενοι την ισότητα i 2 = -1, είναι εύκολο να ορίσουμε οποιαδήποτε θετική ακέραια δύναμη της φανταστικής μονάδας. Έχουμε:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1και τα λοιπά.

Αυτό δείχνει ότι οι τιμές του βαθμού i n, Πού n– ολόκληρο θετικός αριθμός, επαναλαμβάνεται περιοδικά καθώς ο δείκτης αυξάνεται κατά 4 .

Επομένως, για να αυξηθεί ο αριθμός εγώσε μια θετική ολόκληρη δύναμη, πρέπει να διαιρέσουμε τον εκθέτη με 4 και χτίζουν εγώσε μια δύναμη της οποίας ο εκθέτης είναι ίσος με το υπόλοιπο της διαίρεσης.

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

β) Η αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε θετική ακέραια ισχύ πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα για την αύξηση ενός διωνύμου στην αντίστοιχη ισχύ, αφού πρόκειται για ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού πανομοιότυπων μιγαδικών παραγόντων.

Παράδειγμα 6: Υπολογίστε: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι η ελάχιστη επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών που γνωρίζουμε. Η θεμελιώδης διαφορά τους είναι ότι εμφανίζεται ένα στοιχείο που δίνει -1 όταν τετραγωνιστεί, δηλ. εγώ, ή .

Κάθε μιγαδικός αριθμός αποτελείται από δύο μέρη: πραγματικό και φανταστικό:

Έτσι, είναι σαφές ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμπίπτει με το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με μηδενικό φανταστικό μέρος.

Το πιο δημοφιλές μοντέλο για το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι το συνηθισμένο επίπεδο. Η πρώτη συντεταγμένη κάθε σημείου θα είναι το πραγματικό του μέρος και η δεύτερη το φανταστικό μέρος του. Τότε ο ρόλος των ίδιων των μιγαδικών αριθμών θα είναι διανύσματα με αρχή στο σημείο (0,0).

Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.

Στην πραγματικότητα, αν λάβουμε υπόψη το μοντέλο του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, είναι διαισθητικά σαφές ότι η πρόσθεση (αφαίρεση) και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως οι αντίστοιχες πράξεις σε διανύσματα. Και αυτό σημαίνει διανυσματικό προϊόνδιανύσματα, επειδή το αποτέλεσμα αυτής της πράξης είναι και πάλι ένα διάνυσμα.

1.1 Προσθήκη.

(Όπως μπορείτε να δείτε, αυτή η λειτουργία αντιστοιχεί ακριβώς σε)

1.2 ΑφαίρεσηΟμοίως, παράγεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

2. Πολλαπλασιασμός.

3. Μεραρχία.

Ορίζεται απλώς ως η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

Τριγωνομετρική μορφή.

Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z είναι η ακόλουθη ποσότητα:

,

προφανώς, αυτό είναι, πάλι, μόνο το μέτρο (μήκος) του διανύσματος (a,b).

Τις περισσότερες φορές, ο συντελεστής ενός μιγαδικού αριθμού συμβολίζεται ως ρ.

Αποδεικνύεται ότι

z = ρ(cosφ+isinφ).

Από την τριγωνομετρική μορφή της γραφής ενός μιγαδικού αριθμού προκύπτει απευθείας το ακόλουθο: τύπους :

Ο τελευταίος τύπος ονομάζεται Η φόρμουλα του Moivre. Ο τύπος προέρχεται απευθείας από αυτό η ρίζα μιγαδικού αριθμού:

Έτσι, υπάρχουν ν η ρίζες του μιγαδικού αριθμού z.