Πώς να βρείτε την ένταση μιας μπάλας που να συνδεθείτε με. Τάση μπάλας
Η μπάλα και η σφαίρα είναι κυρίως γεωμετρικά σχήματα, και αν η μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα, τότε η σφαίρα είναι η επιφάνεια της μπάλας. Αυτοί οι αριθμοί εξακολουθούσαν να ενδιαφέρονται για πολλά χιλιάδες χρόνια πριν από το π.Χ.
Στη συνέχεια, όταν ανακαλύφθηκε ότι η Γη είναι σφαίρα και ο ουρανός είναι μια ουράνια σφαίρα, αναπτύχθηκε μια νέα συναρπαστική κατεύθυνση στη γεωμετρία - η γεωμετρία σε μια σφαίρα ή σφαιρική γεωμετρία. Για να μιλήσετε για το μέγεθος και τον όγκο της μπάλας, πρέπει πρώτα να δώσετε ορισμό.
Μπάλα
Μια σφαίρα ακτίνας R επικεντρωμένη στο σημείο O στη γεωμετρία είναι ένα σώμα που δημιουργείται από όλα τα σημεία στο διάστημα που έχουν κοινή ιδιότητα. Αυτά τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση που δεν υπερβαίνει την ακτίνα της μπάλας, δηλαδή γεμίζουν ολόκληρο τον χώρο λιγότερο από την ακτίνα της μπάλας προς όλες τις κατευθύνσεις από το κέντρο της. Αν εξετάσουμε μόνο τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο της μπάλας, θα εξετάσουμε την επιφάνεια ή το κέλυφος της μπάλας.
Πώς μπορώ να κάνω μια μπάλα; Μπορούμε να κόψουμε έναν κύκλο από το χαρτί και να αρχίσουμε να το περιστρέψουμε γύρω από τη δική του διάμετρο. Δηλαδή, η διάμετρος του κύκλου θα είναι ο άξονας περιστροφής. Μια μορφωμένη φιγούρα - θα υπάρξει μια μπάλα. Ως εκ τούτου, η μπάλα ονομάζεται επίσης το σώμα της επανάστασης. Επειδή μπορεί να διαμορφωθεί περιστρέφοντας μια επίπεδη φιγούρα - έναν κύκλο.
Πάρτε κάποιο αεροπλάνο και κόψτε τη μπάλα μαζί του. Ακριβώς όπως κόβουμε ένα πορτοκάλι με ένα μαχαίρι. Το κομμάτι που κόβουμε από την μπάλα ονομάζεται σφαιρικό τμήμα.
Στην αρχαία Ελλάδα γνώριζαν πως όχι μόνο να δουλεύουν με την μπάλα και τη σφαίρα, όπως και με τις γεωμετρικές μορφές, για παράδειγμα, να τις χρησιμοποιούν στην κατασκευή, αλλά και να υπολογίζουν την επιφάνεια της μπάλας και τον όγκο της μπάλας.
Η σφαίρα ονομάζεται άλλως η επιφάνεια της μπάλας. Μια σφαίρα δεν είναι σώμα - είναι μια επιφάνεια ενός σώματος επανάστασης. Ωστόσο, καθώς τόσο η Γη όσο και πολλά σώματα έχουν σφαιρικό σχήμα, για παράδειγμα, μια σταγόνα νερού, η μελέτη των γεωμετρικών σχέσεων μέσα στη σφαίρα έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη.
Για παράδειγμα, αν συνδέσουμε δύο σημεία μιας σφαίρας μεταξύ τους με μια ευθεία γραμμή, τότε αυτή η ευθεία θα καλείται χορδή και αν αυτή η χορδή περνάει από το κέντρο της σφαίρας που συμπίπτει με το κέντρο της μπάλας τότε η χορδή θα ονομάζεται διάμετρος της σφαίρας.
Εάν σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που αγγίζει τη σφαίρα σε ένα μόνο σημείο, τότε αυτή η γραμμή θα ονομάζεται εφαπτομένη. Επιπλέον, αυτή η εφαπτομένη στη σφαίρα σε αυτό το σημείο θα είναι κάθετη στην ακτίνα της σφαίρας που τραβιέται προς το σημείο της επαφής.
Εάν συνεχίσουμε τη χορδή σε μια ευθεία γραμμή σε μια και την άλλη κατεύθυνση από τη σφαίρα, τότε αυτή η χορδή θα γίνει ονομάζεται το τμήμα. Ή μπορούμε να πούμε αλλιώς - η απόσπαση σε μια σφαίρα περιέχει τη χορδή της.
Τάση μπάλας
Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου της μπάλας είναι:
όπου R είναι η ακτίνα της μπάλας.
Αν πρέπει να βρείτε τον όγκο ενός σφαιρικού τμήματος - χρησιμοποιήστε τον τύπο:
V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος.
Το εμβαδόν επιφάνειας μιας σφαίρας ή σφαίρας
Για να υπολογίσετε την περιοχή μιας σφαίρας ή την επιφάνεια μιας μπάλας (αυτό είναι το ίδιο πράγμα):
όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.
Ο Αρχιμήδης ήταν πολύ λάτρης της μπάλας και της σφαίρας, ζήτησε ακόμη και να αφήσει ένα σχέδιο πάνω στον τάφο του πάνω στον οποίο είναι τοποθετημένη η μπάλα στον κύλινδρο. "Ο Αρχιμήδης πίστευε ότι ο όγκος της σφαίρας και η επιφάνεια της είναι ίση με τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου μέσα στον οποίο είναι χαραγμένη η σφαίρα".
όπου το V είναι το επιθυμητό όγκος μπάλας, π - 3.14, R είναι η ακτίνα.
Έτσι, με ακτίνα 10 εκατοστών όγκος μπάλας είναι ίση με:
| V | 3.14 χ 10 3 | = 4186,7 | κυβικά εκατοστά. |
Στη γεωμετρία μπάλα ορίζεται ως ένα ορισμένο σώμα, το οποίο είναι ένα σύνολο όλων των σημείων του χώρου που βρίσκονται από το κέντρο σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη, που ονομάζεται ακτίνα της μπάλας. Η επιφάνεια της σφαίρας ονομάζεται σφαίρα και σχηματίζεται με περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από τη διάμετρο της, η οποία παραμένει ακίνητη.
Αυτό το γεωμετρικό σώμα συναντάται συχνά από μηχανικούς σχεδιασμού και αρχιτέκτονες, οι οποίοι συχνά πρέπει υπολογίστε τον όγκο της μπάλας. Για παράδειγμα, στο σχεδιασμό της μπροστινής ανάρτησης της συντριπτικής πλειοψηφίας των σύγχρονων αυτοκινήτων, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα ρουλεμάν, στα οποία, όπως μπορεί να μαντέψετε από το ίδιο το όνομα, οι μπάλες είναι ένα από τα κύρια στοιχεία. Με τη βοήθειά τους, οι κόμβοι των κατευθυνόμενων τροχών και μοχλών συνδέονται. Από το πόσο σωστό θα είναι υπολογίζεται ο όγκος τους, από πολλές απόψεις εξαρτάται όχι μόνο από την ανθεκτικότητα αυτών των κόμβων και την ορθότητα της εργασίας τους, αλλά και την ασφάλεια της κυκλοφορίας.
Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται ευρύτατα στοιχεία όπως ρουλεμάν, με τα οποία οι άξονες στερεώνονται στα σταθερά μέρη διαφόρων μονάδων και συγκροτημάτων και εξασφαλίζεται η περιστροφή τους. Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν υπολογίζονται, οι σχεδιαστές χρειάζονται βρείτε την ένταση της μπάλας (ή μάλλον, μπάλες που τοποθετούνται σε ένα κλουβί) με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Όσο για την κατασκευή μεταλλικών σφαιρών για ρουλεμάν, είναι κατασκευασμένα από μεταλλικό σύρμα χρησιμοποιώντας μια περίπλοκη διαδικασία, η οποία περιλαμβάνει τα στάδια της χύτευσης, της σκλήρυνσης, της άλεσης, της λεπτής άλεσης και της λείανσης. Παρεμπιπτόντως, αυτές οι μπάλες που περιλαμβάνονται στο σχεδιασμό όλων των στυλογράφων είναι κατασκευασμένες χρησιμοποιώντας ακριβώς την ίδια τεχνολογία.
Πολύ συχνά, οι μπάλες χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική και εκεί είναι συχνά διακοσμητικά στοιχεία κτιρίων και άλλων κατασκευών. Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι κατασκευασμένες από γρανίτη, η οποία συχνά απαιτεί πολλή χειρωνακτική εργασία. Φυσικά, δεν απαιτείται να παρατηρείται τέτοια υψηλή ακρίβεια στην κατασκευή αυτών των σφαιρών όπως αυτά που χρησιμοποιούνται σε διάφορες μονάδες και μηχανισμούς.
Χωρίς μπάλες, ένα τόσο ενδιαφέρον και δημοφιλές παιχνίδι όπως μπιλιάρδο είναι αδιανόητο. Για την παραγωγή τους χρησιμοποιούνται διάφορα υλικά (οστά, πέτρα, μέταλλο, πλαστικά) και χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνολογικές διεργασίες. Μία από τις βασικές απαιτήσεις για μπάλες μπιλιάρδου είναι η υψηλή αντοχή και η ικανότητά τους να αντέχουν σε υψηλά μηχανικά φορτία (κυρίως σοκ). Επιπλέον, η επιφάνεια τους θα πρέπει να είναι μια ακριβής σφαίρα, ώστε να εξασφαλίζεται ομαλή και ομαλή κύλιση στην επιφάνεια των τραπεζιών μπιλιάρδου.
Τέλος, δεν μπορεί να κάνει ούτε ένα νέο έτος ούτε χριστουγεννιάτικο δέντρο χωρίς τέτοια γεωμετρικά σώματα όπως μπάλες. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτές οι διακοσμήσεις είναι κατασκευασμένες από γυαλί με τη μέθοδο εμφύσησης και στην κατασκευή τους δίνεται η μεγαλύτερη προσοχή όχι στη διαστασιακή ακρίβεια αλλά στην αισθητική των προϊόντων. Η τεχνολογική διαδικασία είναι σχεδόν εντελώς αυτοματοποιημένη και με το χέρι χριστουγεννιάτικες μπάλες συσκευάζονται μόνο.
Οι σφαιρικές φιγούρες μας περιβάλλουν σχεδόν παντού, ωστόσο, είμαστε τόσο συνηθισμένοι σ 'αυτούς που δεν τους δίνουμε καμία προσοχή. Εν τω μεταξύ, συμβαίνει ότι πρέπει να γνωρίζουμε τον όγκο οποιουδήποτε από αυτά. Αλλά όλοι γνωρίζουν πώς να βρουν όγκος μπάλας ; Να βυθιστείτε στις σχολικές μνήμες για να αποκαταστήσετε την πορεία της γεωμετρίας στο κεφάλι; Μην περιπλέξετε την αποστολή σας. Ας δούμε καλύτερα τη λογική και να ασχοληθούμε με αυτό το ζήτημα.
Οδηγίες:
- Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα όταν δεν χρειαζόμαστε τον τύπο για τον όγκο της μπάλας - φανταστείτε ότι έχουμε την ευκαιρία να κάνουμε υπολογισμούς πρακτικό τρόπο . Ένας από τους ευκολότερους τρόπους για να γίνει αυτό είναι να ακολουθήσετε τα βήματα του Αρχιμήδη, καθορίζοντας τον όγκο όχι της ίδιας της μπάλας, αλλά νερό που εκτοπίστηκε από αυτόν . Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε το σε ένα κατάλληλο δοχείο μεγέθους, αφού σημειώσετε την στάθμη του νερού. Αφού βυθίσετε ολόκληρη τη σφαίρα στο υγρό, κάντε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Τώρα μένει να βρεθεί η διαφορά μεταξύ των αριθμών που προκύπτουν. Φυσικά, είναι καλύτερο να τοποθετήσετε τη μπάλα σε ένα δοχείο με τμήματα, για παράδειγμα, στο μέτρησης κύπελλο - αν το μέγεθος το επιτρέπει. Έτσι, θα έχουμε αμέσως το επιθυμητό χαρακτηριστικό - συνήθως οι διαιρέσεις παρουσιάζονται σε χιλιοστόλιτρα. Διαφορετικά, απλά μετατρέψτε τον αριθμό σε κυβικά μέτρα.
- Εάν είστε σίγουροι για το υλικό από το οποίο αποτελείται η σφαίρα, προσπαθήστε να το προσδιορίσετε πυκνότητα - Αυτές οι πληροφορίες θα βρεθούν πιθανώς στην τεράστια έκταση του παγκόσμιου δικτύου. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει μόνο να ζυγίσετε αυτό το σχήμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον απλό τύπο του όγκου της μπάλας, διαιρώντας το βάρος του αντικειμένου με την πυκνότητα του: V \u003d m / ρ.
- Μπορεί να συμβεί ότι οι προηγούμενες επιλογές δεν είναι διαθέσιμες σε εσάς. Μην απελπίζεστε - αν μπορείτε να μάθετε την ακτίνα της μπάλας, η σωστή φόρμουλα θα έρθει στη βοήθειά μας, πιο πολύπλοκη από την προηγούμενη αλλά προσβάσιμη. Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό Pi κατά 4 και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό που προκύπτει με την τιμή ακτίνας στον κύβο. Ως αποτέλεσμα, διαιρέστε όλα τα 3, και πάρτε την ένταση της μπάλας: V \u003d 4 * π * r³ / 3. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα: η ακτίνα μιας σφαίρας είναι 30 cm., τότε ο όγκος του αριθμού θα είναι: 4 * 3.14 * 30³ / 3 \u003d 11340cm³ ≈ 0.113m³.
- Συμβαίνει επίσης ότι είναι πολύ πιο εύκολο να το βρείτε διάμετρο ενός αριθμού από την ακτίνα του. Αυτή η επιλογή είναι ακόμα καλύτερη - δεν μπορείτε να κάνετε τέτοιους περίπλοκους υπολογισμούς, ο τύπος γίνεται πολύ πιο απλός. Χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσουμε τη διάμετρο στον κύβο με τον αριθμό Pi και στη συνέχεια να διαιρέσουμε τον αριθμό που προκύπτει κατά έξι: V \u003d π * d³ / 6. Για παράδειγμα, μάθατε ότι η διάμετρος της σφαίρας σας είναι 25 εκ. Έπειτα ο όγκος της θα είναι ίσος με: 3.14 * 25³ / 6 \u003d 8177.08333cm3 ≈ 0.818m³.
Πριν αρχίσετε να μελετάτε την έννοια της μπάλας, ποιος είναι ο όγκος της μπάλας, για να εξετάσετε τον τύπο για τον υπολογισμό των παραμέτρων της, πρέπει να θυμηθείτε την έννοια του κύκλου που μελετήθηκε νωρίτερα κατά τη διάρκεια της γεωμετρίας. Μετά από όλα, οι περισσότερες ενέργειες στον τρισδιάστατο χώρο είναι παρόμοιες ή ακολουθούνται από τη δισδιάστατη γεωμετρία, προσαρμοσμένη για την εμφάνιση μιας τρίτης συντεταγμένης και ενός τρίτου βαθμού.
Τι είναι ένας κύκλος;
Ένας κύκλος είναι μια εικόνα σε καρτεσιανό επίπεδο (που φαίνεται στο σχήμα 1). πιο συχνά, ο ορισμός ακούγεται σαν "η γεωμετρική θέση όλων των σημείων στο επίπεδο, η απόσταση από την οποία σε ένα δεδομένο σημείο (κέντρο) δεν υπερβαίνει έναν ορισμένο μη αρνητικό αριθμό που ονομάζεται ακτίνα".
Όπως μπορείτε να δείτε από το σχήμα, το σημείο Ο είναι το κέντρο του σχήματος και το σύνολο των απολύτως όλων των σημείων που γεμίζουν τον κύκλο, για παράδειγμα, A, B, C, K, E, βρίσκονται όχι περισσότερο από την καθορισμένη ακτίνα. (Δεν υπερβαίνουν τον κύκλο που φαίνεται στο Σχ. 2).
Εάν η ακτίνα είναι μηδέν, τότε ο κύκλος μετατρέπεται σε ένα σημείο.
Κατανόηση των προβλημάτων
Οι μαθητές συχνά συγχέουν αυτές τις έννοιες. Εύκολο να θυμόμαστε, αντλώντας μια αναλογία. Το στεφάνι που τα παιδιά στρίβουν στα μαθήματα φυσικής αγωγής είναι ένας κύκλος. Συνειδητοποιώντας αυτό ή θυμόμαστε ότι τα πρώτα γράμματα και των δύο λέξεων είναι «Ο», τα παιδιά θα αντιληφθούν μνημονικά τη διαφορά.
Η εισαγωγή της έννοιας της "μπάλας"
Μια σφαίρα είναι ένα σώμα (σχήμα 3) που οριοθετείται από μια ορισμένη σφαιρική επιφάνεια. Τι είδους "σφαιρική επιφάνεια" θα γίνει σαφής από τον ορισμό της: αυτή είναι η γεωμετρική θέση όλων των σημείων στην επιφάνεια, η απόσταση από την οποία σε ένα δεδομένο σημείο (κέντρο) δεν υπερβαίνει έναν ορισμένο μη αρνητικό αριθμό, που ονομάζεται ακτίνα. Όπως μπορείτε να δείτε, οι έννοιες ενός κύκλου και μιας σφαιρικής επιφάνειας είναι παρόμοιες, διαφέρουν μόνο οι χώροι στους οποίους βρίσκονται. Αν απεικονίσουμε μια σφαίρα σε δισδιάστατο χώρο, παίρνουμε έναν κύκλο του οποίου το όριο είναι ένας κύκλος (το όριο της σφαίρας είναι μια σφαιρική επιφάνεια). Στο σχήμα βλέπουμε μια σφαιρική επιφάνεια με ακτίνες OA \u003d OB.
Η μπάλα είναι κλειστή και ανοιχτή
Σε διανυσματικούς και μετρικούς χώρους, εξετάζονται επίσης δύο έννοιες που σχετίζονται με μια σφαιρική επιφάνεια. Εάν η μπάλα περιλαμβάνει αυτήν την σφαίρα από μόνη της, τότε καλείται κλειστή, αλλά αν όχι, τότε στην περίπτωση αυτή η μπάλα είναι ανοιχτή. Αυτές είναι πιο «προηγμένες» έννοιες · μελετώνται σε ινστιτούτα όταν εισάγονται στην ανάλυση. Για απλή, ακόμη και οικιακή χρήση, αυτοί οι μαθηματικοί τύποι που μελετώνται στην πορεία στερεομετρίας των βαθμών 10-11 θα είναι αρκετοί. Είναι τέτοιες έννοιες που είναι διαθέσιμες σε σχεδόν κάθε μέσο μορφωμένο άτομο που θα εξεταστεί παρακάτω.
Οι έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε για τους ακόλουθους υπολογισμούς
Ακτίνα και διάμετρος.
Η ακτίνα της σφαίρας και η διάμετρος της προσδιορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως και ο κύκλος.
Ακτίνα - ένα τμήμα που συνδέει οποιοδήποτε σημείο στο όριο της μπάλας και ένα σημείο που είναι το κέντρο της μπάλας.
Διάμετρος - ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία στο όριο της μπάλας και διέρχεται από το κέντρο της. Το σχήμα 5α δείχνει σαφώς ποια τμήματα είναι οι ακτίνες της σφαίρας και το σχήμα 5b δείχνει τις διαμέτρους της σφαίρας (τμήματα που διέρχονται από το σημείο Ο).
Τμήμα στη σφαίρα (σφαίρα)
Οποιοδήποτε τμήμα μιας σφαίρας είναι ένας κύκλος. Αν περάσει από το κέντρο της μπάλας, τότε ονομάζεται ένας μεγάλος κύκλος (κύκλος με διάμετρο AB), τα υπόλοιπα τμήματα ονομάζονται μικροί κύκλοι (ένας κύκλος με διάμετρο DC).
Η περιοχή αυτών των κύκλων υπολογίζεται με τους ακόλουθους τύπους:
Εδώ S είναι ο προσδιορισμός της περιοχής, R είναι η ακτίνα, D είναι η διάμετρος. Υπάρχει επίσης μια σταθερά ίση με 3.14. Αλλά μην το συγχέετε για να υπολογίσετε την περιοχή ενός μεγάλου κύκλου, χρησιμοποιήστε την ακτίνα ή τη διάμετρο της ίδιας της σφαίρας (σφαίρας) και για να καθορίσετε την περιοχή, απαιτούνται τα μεγέθη ακτίνας ενός μικρού κύκλου.
Αμέτρητες διατομές που διέρχονται από δύο σημεία της ίδιας διαμέτρου που βρίσκονται στο όριο της μπάλας. Για παράδειγμα, ο πλανήτης μας: δύο σημεία στους βόρειους και νότιους πόλους, τα οποία είναι τα άκρα του άξονα της γης και με γεωμετρική έννοια τα άκρα της διαμέτρου και οι μεσημβρινοί που διέρχονται από αυτά τα δύο σημεία (Εικόνα 7). Δηλαδή, ο αριθμός των μεγάλων κύκλων σε μια σφαίρα τείνει στο άπειρο σε ποσότητα.
Τμήματα μπάλας
Εάν ένα "κομμάτι" αποκοπεί από τη σφαίρα με τη βοήθεια ενός συγκεκριμένου επιπέδου (Σχήμα 8), τότε θα αποκαλείται σφαιρικό ή σφαιρικό τμήμα. Θα έχει ένα ύψος - το κάθετο από το κέντρο του επιπέδου τραντάγματος στην σφαιρική επιφάνεια O 1 K. Το σημείο K στην σφαιρική επιφάνεια στην οποία έρχεται το ύψος ονομάζεται κορυφή του σφαιρικού τμήματος. Ένας μικρός κύκλος με ακτίνα O 1 T (στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με το σχήμα, το αεροπλάνο δεν διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, αλλά εάν το τμήμα περνάει από το κέντρο, ο κύκλος του τμήματος θα είναι μεγάλος), που σχηματίζεται όταν αποκοπεί το σφαιρικό τμήμα, θα ονομαστεί η βάση του κομμάτιτός μας μπάλα - ένα σφαιρικό τμήμα.
Αν συνδέσουμε κάθε σημείο της βάσης του σφαιρικού τμήματος με το κέντρο της σφαίρας, θα έχουμε μια εικόνα που ονομάζεται "σφαιρικός τομέας".
Εάν δύο επίπεδα που είναι παράλληλα μεταξύ τους περνούν από μια σφαίρα, τότε το τμήμα της σφαίρας που περικλείεται μεταξύ τους ονομάζεται σφαιρικό στρώμα (Σχήμα 9, το οποίο δείχνει μια σφαίρα με δύο επίπεδα και χωριστά, ένα σφαιρικό στρώμα).
Η επιφάνεια (το επισημασμένο τμήμα στο Σχήμα 9 στα δεξιά) αυτού του τμήματος της σφαίρας ονομάζεται ζώνη (και πάλι, για καλύτερη κατανόηση, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια αναλογία με την υδρόγειο, δηλαδή με τις κλιματικές ζώνες της - αρκτική, τροπική, εύκρατη κλπ.) Και οι κύκλοι του τμήματος θα είναι οι βάσεις σφαιρικό στρώμα. Ύψος της στρώσης - μέρος της διαμέτρου που είναι κάθετος προς τα πλάγια επίπεδα από τα κέντρα των βάσεων. Υπάρχει επίσης η έννοια της σφαιρικής σφαίρας. Δημιουργείται στην περίπτωση που τα επίπεδα που είναι παράλληλα μεταξύ τους δεν διασταυρώνονται με τη σφαίρα, αλλά τα αγγίζουν σε ένα σημείο το καθένα.
Τύποι για τον υπολογισμό του όγκου μιας σφαίρας και της επιφάνειας της
Μια σφαίρα σχηματίζεται περιστρέφοντας γύρω από ένα ημικύκλιο ή κύκλο σταθερής διαμέτρου. Για να υπολογίσετε τις διάφορες παραμέτρους αυτού του αντικειμένου, δεν θα χρειαστούν τόσο πολλά δεδομένα.
Ο όγκος της σφαίρας, ο τύπος για τον υπολογισμό της οποίας αναφέρεται παραπάνω, προκύπτει από την ολοκλήρωση. Ας ρίξουμε μια ματιά στα σημεία.
Θεωρούμε έναν κύκλο σε ένα δισδιάστατο επίπεδο, επειδή, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, είναι ο κύκλος που αποτελεί τη βάση της κατασκευής της μπάλας. Χρησιμοποιούμε μόνο το τέταρτο μέρος του (Σχήμα 10).
Λαμβάνουμε έναν κύκλο με ακτίνα μονάδας και κέντρο στην αρχή. Η εξίσωση ενός τέτοιου κύκλου είναι η εξής: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Εκφράζουμε από εδώ Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Να θυμάστε ότι η προκύπτουσα συνάρτηση είναι μη αρνητική, συνεχής και μειούμενη στο τμήμα X (0; R), επειδή η τιμή του Χ στην περίπτωση που θεωρούμε ότι ένα τέταρτο του κύκλου βρίσκεται από το μηδέν μέχρι την ακτίνα, δηλαδή την ενότητα.
Το επόμενο πράγμα που κάνουμε είναι να περιστρέψουμε τον τετραγωνικό μας κύκλο γύρω από τη τετμημένη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα ημισφαίριο. Για να καθορίσουμε τον όγκο του, θα καταφύγουμε σε μεθόδους ένταξης.
Δεδομένου ότι ο όγκος αυτός είναι μόνο μισή μπάλα, διπλασιάζουμε το αποτέλεσμα, από όπου προκύπτει ότι ο όγκος της μπάλας είναι:
Μικρές αποχρώσεις
Εάν είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο μίας σφαίρας διαμέσου της διαμέτρου του, να θυμάστε ότι η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου και αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον παραπάνω τύπο.
Επίσης, ο τύπος για τον όγκο της σφαίρας μπορεί να επιτευχθεί μέσω της περιοχής της όμορης επιφάνειας - της σφαίρας. Υπενθυμίζουμε ότι η περιοχή της σφαίρας υπολογίζεται από τον τύπο S \u003d 4πr 2, ενσωματώνοντας το οποίο επίσης φτάνουμε στον παραπάνω τύπο για τον όγκο της σφαίρας. Από αυτούς τους τύπους, μπορεί κανείς να εκφράσει την ακτίνα αν η κατάσταση του προβλήματος έχει τιμή όγκου.
Μια μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα περιστροφής που σχηματίζεται με περιστροφή ενός κύκλου ή ημικύκλου γύρω από τη διάμετρο. Επίσης, μια μπάλα είναι ένας χώρος οριοθετημένος από μια σφαιρική επιφάνεια. Υπάρχουν πολλά πραγματικά σφαιρικά αντικείμενα και συναφή προβλήματα, η λύση των οποίων απαιτεί τον προσδιορισμό του όγκου της μπάλας.
Μπάλα και σφαίρα
Ο κύκλος είναι ο παλαιότερος γεωμετρικός αριθμός και οι αρχαίοι λόγιοι προσδίδουν ιερή έννοια σε αυτό. Ένας κύκλος είναι ένα σύμβολο του ατελείωτου χρόνου και του χώρου, ένα σύμβολο του σύμπαντος και του όντος. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, ο κύκλος είναι ο πιο όμορφος από τους αριθμούς. Σε τρισδιάστατο χώρο, ένας κύκλος μετατρέπεται σε μια σφαίρα ως τέλεια, κοσμική και όμορφη ως κύκλο.
Η σφαίρα στην αρχαία ελληνική σημαίνει "μπάλα". Μια σφαίρα είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από έναν άπειρο αριθμό σημείων σε απόσταση ίση με το κέντρο του σχήματος. Ο χώρος που περιορίζεται από μια σφαίρα είναι μια σφαίρα. Μια μπάλα είναι μια ιδανική γεωμετρική μορφή, το σχήμα της οποίας παίρνει πολλά πραγματικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, στην πραγματική ζωή, τα πυροβόλα, τα ρουλεμάν ή οι μπάλες έχουν σχήμα σφαίρας, στη φύση - σταγόνες νερού, κορώνα δέντρων ή μούρων, στο διάστημα - αστέρια, μετεωρίτες ή πλανήτες.
Τάση μπάλας
Ο προσδιορισμός του όγκου μιας σφαιρικής μορφής είναι ένα δύσκολο έργο, επειδή ένα τέτοιο γεωμετρικό σώμα δεν μπορεί να χωριστεί σε κύβους ή τριγωνικά πρίσματα, οι τύποι όγκου των οποίων είναι ήδη γνωστοί. Η σύγχρονη επιστήμη μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον όγκο μιας σφαίρας χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο σύνολο, αλλά πώς ήταν ο τύπος όγκου που προέκυψε στην αρχαία Ελλάδα, όταν κανείς δεν είχε ακούσει για τα ολοκληρωτικά ακόμα; Ο Αρχιμήδης υπολογίζει τον όγκο της σφαίρας χρησιμοποιώντας κώνο και κύλινδρο, καθώς οι τύποι όγκων αυτών των αριθμών καθορίστηκαν ήδη από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και μαθηματικό Δημόκριτο.
Ο Archimedes παρουσίασε το ήμισυ της μπάλας χρησιμοποιώντας τον ίδιο κώνο και κύλινδρο, με την ακτίνα κάθε μορφής να είναι ίση με το ύψος του R \u003d h. Ο αρχαίος επιστήμονας παρουσίασε τον κώνο και τον κύλινδρο σπασμένο σε έναν άπειρο αριθμό μικρών κυλίνδρων. Ο Αρχιμήδης συνειδητοποίησε ότι αν αφαιρέσουμε τον όγκο του κώνου Vk από τον όγκο του κυλίνδρου Vc, θα λάβει τον όγκο ενός ημισφαιρίου Vsh:
0,5 Vsh \u003d Vc - Vk
Ο όγκος του κώνου υπολογίζεται με έναν απλό τύπο:
Vk \u003d 1/3 × So × h,
αλλά γνωρίζοντας ότι Έτσι σε αυτή την περίπτωση είναι η περιοχή του κύκλου, και h \u003d R, τότε ο τύπος μετατρέπεται σε:
Vk \u003d 1/3 × pi × R × R 2 \u003d 1/3 pi × R 3
Ο όγκος του κυλίνδρου υπολογίζεται από τον τύπο:
Vc \u003d pi xR2xh,
αλλά υποθέτοντας ότι το ύψος του κυλίνδρου είναι ίσο με την ακτίνα του, παίρνουμε:
Vc \u003d pi × R3.
Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, ο Αρχιμήδης έλαβε:
0,5 Vsh \u003d pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ή Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
Ο σύγχρονος ορισμός του τύπου όγκου μπάλας προέρχεται από το ολοκλήρωμα της σφαιρικής επιφάνειας, ωστόσο το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο
Vsh \u003d 4/3 pi × R3
Ο υπολογισμός του όγκου της μπάλας μπορεί να χρειαστεί τόσο στην πραγματική ζωή όσο και στην επίλυση αφηρημένων προβλημάτων. Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας μπάλας χρησιμοποιώντας μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, θα χρειαστεί να μάθετε μόνο μία παράμετρο για να επιλέξετε: τη διάμετρο ή την ακτίνα μιας σφαίρας. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παραδείγματα ζωής
Τα κανόνια
Ας πούμε ότι θέλετε να μάθετε πόσο χυτοσίδηρο χρειάζεται για να ρίξετε ένα κανόνι διαμέτρου 6 ποδιών. Ξέρετε ότι η διάμετρος ενός τέτοιου πυρήνα είναι 9,6 εκατοστά. Πληκτρολογήστε αυτόν τον αριθμό στο κελί της αριθμομηχανής "Διάμετρος" και θα λάβετε μια απάντηση στη φόρμα
Έτσι, για να λιώσει ένα κανόνι ενός δεδομένου διαμετρήματος, θα χρειαστείτε 463 κυβικά εκατοστά ή 0.463 λίτρα χυτοσίδηρο.
Μπαλόνια
Αφήστε να είστε περίεργοι πόση ποσότητα αέρα χρειάζεστε για να αντλήσετε ένα τέλεια σφαιρικό μπαλόνι. Γνωρίζετε ότι η ακτίνα της επιλεγμένης μπάλας είναι 10 εκ. Μετακινήστε αυτήν την τιμή στο κελί του αριθμομηχανή Radius και θα έχετε το αποτέλεσμα
Αυτό σημαίνει ότι για να αντλήσετε μια τέτοια μπάλα, θα χρειαστείτε 4188 κυβικά εκατοστά ή 4,18 λίτρα αέρα.
Συμπέρασμα
Η ανάγκη προσδιορισμού του όγκου της μπάλας μπορεί να προκύψει σε διάφορες καταστάσεις: από τα αφηρημένα σχολικά καθήκοντα μέχρι τα επιστημονικά ζητήματα και τα θέματα παραγωγής. Για την επίλυση ερωτήσεων οποιασδήποτε πολυπλοκότητας, χρησιμοποιήστε τον ηλεκτρονικό υπολογιστή μας, ο οποίος θα σας παρουσιάσει αμέσως το ακριβές αποτέλεσμα και τους απαραίτητους μαθηματικούς υπολογισμούς.
