Πώς να βρείτε τον όγκο κατά ακτίνα. Πώς να βρείτε τον όγκο μιας μπάλας: βασικοί τύποι και ένα παράδειγμα χρήσης τους

Στη γεωμετρία μπάλαορίζεται ως ένα ορισμένο σώμα, το οποίο είναι μια συλλογή όλων των σημείων στο χώρο που βρίσκονται από το κέντρο σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη, που ονομάζεται ακτίνα της μπάλας. Η επιφάνεια της μπάλας ονομάζεται σφαίρα και η ίδια η μπάλα σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό της, παραμένοντας ακίνητη.

Οι μηχανικοί σχεδιασμού και οι αρχιτέκτονες πολύ συχνά συναντούν αυτό το γεωμετρικό σώμα, οι οποίοι συχνά πρέπει να το κάνουν υπολογίστε τον όγκο μιας σφαίρας. Για παράδειγμα, στο σχεδιασμό της μπροστινής ανάρτησης της συντριπτικής πλειοψηφίας των σύγχρονων αυτοκινήτων, χρησιμοποιούνται οι λεγόμενοι σύνδεσμοι μπάλας, στους οποίους, όπως μπορείτε εύκολα να μαντέψετε από το ίδιο το όνομα, οι μπάλες είναι ένα από τα κύρια στοιχεία. Με τη βοήθειά τους συνδέονται οι πλήμνες των κατευθυνόμενων τροχών και των μοχλών. Για το πόσο σωστό θα είναι υπολογίζεταιο όγκος τους εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό όχι μόνο από την ανθεκτικότητα αυτών των μονάδων και την ορθότητα της λειτουργίας τους, αλλά και από την ασφάλεια της κυκλοφορίας.

Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται ευρέως εξαρτήματα όπως τα ρουλεμάν, με τη βοήθεια των οποίων στερεώνονται άξονες στα σταθερά μέρη διαφόρων εξαρτημάτων και συγκροτημάτων και εξασφαλίζεται η περιστροφή τους. Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τον υπολογισμό τους, οι σχεδιαστές χρειάζονται βρείτε τον όγκο της σφαίρας(ή μάλλον, μπάλες τοποθετημένες σε κλουβί) με υψηλού βαθμούακρίβεια. Όσον αφορά την κατασκευή μεταλλικών σφαιρών ρουλεμάν, παράγονται από μεταλλικό σύρμα χρησιμοποιώντας μια πολύπλοκη διαδικασία που περιλαμβάνει τα στάδια διαμόρφωσης, σκλήρυνσης, τραχιάς λείανσης, φινιρίσματος και καθαρισμού. Παρεμπιπτόντως, αυτές οι μπάλες που περιλαμβάνονται στο σχεδιασμό όλων των στυλό είναι κατασκευασμένες χρησιμοποιώντας ακριβώς την ίδια τεχνολογία.

Πολύ συχνά, οι μπάλες χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική, όπου είναι πιο συχνά διακοσμητικά στοιχεία κτιρίων και άλλων κατασκευών. Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι κατασκευασμένα από γρανίτη, που συχνά απαιτεί πολλή χειρωνακτική εργασία. Φυσικά, δεν απαιτείται να διατηρηθεί τόσο υψηλή ακρίβεια στην κατασκευή αυτών των σφαιρών όπως αυτές που χρησιμοποιούνται σε διάφορες μονάδες και μηχανισμούς.

Ένα τόσο ενδιαφέρον και δημοφιλές παιχνίδι όπως το μπιλιάρδο είναι αδιανόητο χωρίς μπάλες. Για την παραγωγή τους χρησιμοποιούνται διάφορα υλικά (κόκκαλο, πέτρα, μέταλλο, πλαστικό) και χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνολογικές διεργασίες. Μία από τις βασικές απαιτήσεις για τις μπάλες του μπιλιάρδου είναι η υψηλή αντοχή και η ικανότητά τους να αντέχουν υψηλά μηχανικά φορτία (κυρίως κραδασμούς). Επιπλέον, η επιφάνειά τους πρέπει να είναι μια ακριβής σφαίρα για να εξασφαλίζεται ομαλή και ομοιόμορφη κύλιση στην επιφάνεια των τραπεζιών μπιλιάρδου.

Τέλος, ούτε ένα νέο έτος ή χριστουγεννιάτικο δέντρο δεν μπορεί να κάνει χωρίς τέτοια γεωμετρικά σώματα όπως οι μπάλες. Αυτά τα διακοσμητικά κατασκευάζονται στις περισσότερες περιπτώσεις από γυαλί με τη μέθοδο του φυσήματος και στην παραγωγή τους δίνεται μεγαλύτερη προσοχή όχι στην ακρίβεια των διαστάσεων, αλλά στην αισθητική των προϊόντων. Η τεχνολογική διαδικασία είναι σχεδόν πλήρως αυτοματοποιημένη και οι χριστουγεννιάτικες μπάλες συσκευάζονται μόνο χειροκίνητα.

Μια μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα περιστροφής που σχηματίζεται περιστρέφοντας έναν κύκλο ή ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό του. Επίσης, μια μπάλα είναι ένας χώρος που οριοθετείται από μια σφαιρική επιφάνεια. Υπάρχουν πολλά πραγματικά σφαιρικά αντικείμενα και σχετικά προβλήματα που απαιτούν τον προσδιορισμό του όγκου μιας σφαίρας.

Μπάλα και σφαίρα

Ο κύκλος είναι το αρχαιότερο γεωμετρικό σχήμα και το έδωσαν οι αρχαίοι επιστήμονες ιερό νόημα. Ο κύκλος είναι σύμβολο του ατελείωτου χρόνου και χώρου, σύμβολο του Σύμπαντος και της ύπαρξης. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, ο κύκλος είναι η πιο όμορφη μορφή. Στον τρισδιάστατο χώρο, ένας κύκλος μετατρέπεται σε σφαίρα, ιδανική, κοσμική και όμορφη σαν κύκλος.

Sphere σημαίνει «μπάλα» στα αρχαία ελληνικά. Μια σφαίρα είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται άπειρος αριθμόςσημεία σε ίση απόσταση από το κέντρο του σχήματος. Ο χώρος που οριοθετείται από μια σφαίρα είναι μια μπάλα. Μια μπάλα είναι ένα ιδανικό γεωμετρικό σχήμα, το σχήμα του οποίου παίρνουν πολλά πραγματικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, στην πραγματική ζωή, οι οβίδες, τα ρουλεμάν ή οι μπάλες έχουν το σχήμα μπάλας, στη φύση - σταγόνες νερού, κορώνες δέντρων ή μούρα, στο διάστημα - αστέρια, μετεωρίτες ή πλανήτες.

Όγκος μπάλας

Ο προσδιορισμός του όγκου ενός σφαιρικού σχήματος είναι ένα δύσκολο έργο, επειδή ένα τέτοιο γεωμετρικό σώμα δεν μπορεί να χωριστεί σε κύβους ή τριγωνικά πρίσματα, οι τύποι όγκου των οποίων είναι ήδη γνωστοί. Σύγχρονη επιστήμησας επιτρέπει να υπολογίσετε τον όγκο μιας μπάλας χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, αλλά πώς προέκυψε ο τύπος όγκου Αρχαία Ελλάδαόταν κανείς δεν είχε ακούσει ποτέ για ολοκληρώματα; Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τον όγκο μιας σφαίρας χρησιμοποιώντας έναν κώνο και έναν κύλινδρο, αφού οι τύποι για τους όγκους αυτών των σχημάτων είχαν ήδη καθοριστεί αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςκαι ο μαθηματικός Δημόκριτος.

Ο Αρχιμήδης παρίστανε μισή σφαίρα χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους κώνους και κυλίνδρους, με την ακτίνα κάθε σχήματος να είναι ίση με το ύψος του R = h. Ο αρχαίος επιστήμονας φαντάστηκε τον κώνο και τον κύλινδρο χωρισμένο σε άπειρους μικρούς κυλίνδρους. Ο Αρχιμήδης συνειδητοποίησε ότι αν αφαιρέσει τον όγκο του κώνου Vk από τον όγκο του κυλίνδρου Vc, θα λάβει τον όγκο ενός ημισφαιρίου Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Ο όγκος ενός κώνου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν απλό τύπο:

Vk = 1/3 × Άρα × h,

αλλά γνωρίζοντας ότι So σε αυτή την περίπτωση είναι η περιοχή του κύκλου και h = R, τότε ο τύπος μετατρέπεται σε:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Ο όγκος του κυλίνδρου υπολογίζεται από τον τύπο:

Vc = pi × R 2 × h,

αλλά υποθέτοντας ότι το ύψος του κυλίνδρου είναι ίσο με την ακτίνα του, παίρνουμε:

Vc = pi × R 3 .

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, ο Αρχιμήδης έλαβε:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ή Vsh = 4/3 pi × R 3

Ο σύγχρονος ορισμός του τύπου για τον όγκο μιας σφαίρας προκύπτει από το ολοκλήρωμα της περιοχής σφαιρική επιφάνεια, αλλά το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο

Vsh = 4/3 pi × R 3

Ο υπολογισμός του όγκου μιας μπάλας μπορεί να είναι απαραίτητος τόσο στην πραγματική ζωή όσο και κατά την επίλυση αφηρημένων προβλημάτων. Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας σφαίρας χρησιμοποιώντας μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, θα χρειαστεί να γνωρίζετε μόνο μία παράμετρο για να διαλέξετε: τη διάμετρο ή την ακτίνα της σφαίρας. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα από τη ζωή

Βολές

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να μάθετε πόσο χυτοσίδηρος χρειάζεται για να ρίξετε μια οβίδα διαμετρήματος έξι ποδιών. Γνωρίζετε ότι η διάμετρος ενός τέτοιου πυρήνα είναι 9,6 εκατοστά. Εισαγάγετε αυτόν τον αριθμό στο κελί «Διάμετρος» της αριθμομηχανής και θα λάβετε την απάντηση ως

Έτσι, για να μυρίσετε μια βολίδα ενός συγκεκριμένου διαμετρήματος θα χρειαστείτε 463 κυβικά εκατοστά ή 0,463 λίτρα χυτοσίδηρου.

Μπαλόνια

Μπορείτε να είστε περίεργοι για το πόσο αέρας χρειάζεται για να φουσκώσετε ένα μπαλόνι σε τέλειο σφαιρικό σχήμα. Γνωρίζετε ότι η ακτίνα της επιλεγμένης μπάλας είναι 10 cm Εισαγάγετε αυτήν την τιμή στο κελί της αριθμομηχανής "Radius" και θα λάβετε το αποτέλεσμα

Αυτό σημαίνει ότι για να φουσκώσετε ένα τέτοιο μπαλόνι θα χρειαστείτε 4188 κυβικά εκατοστά ή 4,18 λίτρα αέρα.

Σύναψη

Η ανάγκη προσδιορισμού του όγκου μιας μπάλας μπορεί να προκύψει περισσότερο διαφορετικές καταστάσεις: από αφηρημένα σχολικά προβλήματα μέχρι ζητήματα επιστημονικής έρευνας και παραγωγής. Για να λύσετε ερωτήσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας, χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή, η οποία θα σας δώσει αμέσως ακριβές αποτέλεσμακαι τους απαραίτητους μαθηματικούς υπολογισμούς.

ΜπάλαΠρόκειται για ένα γεωμετρικό σώμα που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής ενός ημικυκλίου στον άξονα της διαμέτρου του.

Υπολογίστε τον όγκο της μπάλας

Όγκος μπάλαςμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

R – ακτίνα της μπάλας

V – όγκος της μπάλας

Βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας με ακτίνα εκατοστών.

Για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος:

όπου είναι ο απαιτούμενος όγκος της μπάλας, – , είναι η ακτίνα.

Έτσι, με ακτίνα εκατοστών, ο όγκος της μπάλας είναι ίσος με:

V

3,14×103

= 4186,7

κυβικά εκατοστά.

Στη γεωμετρία μπάλαορίζεται ως ένα ορισμένο σώμα, το οποίο είναι μια συλλογή όλων των σημείων στο χώρο που βρίσκονται από το κέντρο σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη, που ονομάζεται ακτίνα της μπάλας.

Η επιφάνεια της μπάλας ονομάζεται σφαίρα και η ίδια η μπάλα σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό της, παραμένοντας ακίνητη.

Οι μηχανικοί σχεδιασμού και οι αρχιτέκτονες πολύ συχνά συναντούν αυτό το γεωμετρικό σώμα, οι οποίοι συχνά πρέπει να το κάνουν υπολογίστε τον όγκο μιας σφαίρας. Για παράδειγμα, στο σχεδιασμό της μπροστινής ανάρτησης της συντριπτικής πλειοψηφίας των σύγχρονων αυτοκινήτων, χρησιμοποιούνται οι λεγόμενοι σύνδεσμοι μπάλας, στους οποίους, όπως μπορείτε εύκολα να μαντέψετε από το ίδιο το όνομα, οι μπάλες είναι ένα από τα κύρια στοιχεία.

Με τη βοήθειά τους συνδέονται οι πλήμνες των κατευθυνόμενων τροχών και των μοχλών. Για το πόσο σωστό θα είναι υπολογίζεταιο όγκος τους εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό όχι μόνο από την ανθεκτικότητα αυτών των μονάδων και την ορθότητα της λειτουργίας τους, αλλά και από την ασφάλεια της κυκλοφορίας.

Στην τεχνολογία, χρησιμοποιούνται ευρέως εξαρτήματα όπως τα ρουλεμάν, με τη βοήθεια των οποίων στερεώνονται άξονες στα σταθερά μέρη διαφόρων εξαρτημάτων και συγκροτημάτων και εξασφαλίζεται η περιστροφή τους.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τον υπολογισμό τους, οι σχεδιαστές πρέπει να βρουν τον όγκο της μπάλας (ή μάλλον, τις μπάλες που τοποθετούνται στο κλουβί) με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Όσον αφορά την κατασκευή μεταλλικών σφαιρών ρουλεμάν, παράγονται από μεταλλικό σύρμα χρησιμοποιώντας μια πολύπλοκη διαδικασία που περιλαμβάνει τα στάδια διαμόρφωσης, σκλήρυνσης, τραχιάς λείανσης, φινιρίσματος και καθαρισμού.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι μπάλες που περιλαμβάνονται στο σχεδιασμό όλων των στυλό είναι κατασκευασμένες χρησιμοποιώντας ακριβώς την ίδια τεχνολογία.

Πολύ συχνά, οι μπάλες χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική, όπου είναι πιο συχνά διακοσμητικά στοιχεία κτιρίων και άλλων κατασκευών.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι κατασκευασμένα από γρανίτη, που συχνά απαιτεί πολλή χειρωνακτική εργασία. Φυσικά, δεν απαιτείται να διατηρηθεί τόσο υψηλή ακρίβεια στην κατασκευή αυτών των σφαιρών όπως αυτές που χρησιμοποιούνται σε διάφορες μονάδες και μηχανισμούς.

Ένα τόσο ενδιαφέρον και δημοφιλές παιχνίδι όπως το μπιλιάρδο είναι αδιανόητο χωρίς μπάλες. Για την παραγωγή τους χρησιμοποιούνται διάφορα υλικά (κόκκαλο, πέτρα, μέταλλο, πλαστικό) και χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνολογικές διεργασίες.

Μία από τις βασικές απαιτήσεις για τις μπάλες του μπιλιάρδου είναι η υψηλή αντοχή και η ικανότητά τους να αντέχουν υψηλά μηχανικά φορτία (κυρίως κραδασμούς). Επιπλέον, η επιφάνειά τους πρέπει να είναι μια ακριβής σφαίρα για να εξασφαλίζεται ομαλή και ομοιόμορφη κύλιση στην επιφάνεια των τραπεζιών μπιλιάρδου.

Τέλος, ούτε ένα νέο έτος ή χριστουγεννιάτικο δέντρο δεν μπορεί να κάνει χωρίς τέτοια γεωμετρικά σώματα όπως οι μπάλες. Αυτά τα διακοσμητικά κατασκευάζονται στις περισσότερες περιπτώσεις από γυαλί με τη μέθοδο του φυσήματος και στην παραγωγή τους δίνεται η μεγαλύτερη προσοχή όχι στην ακρίβεια των διαστάσεων, αλλά στην αισθητική των προϊόντων.

Η τεχνολογική διαδικασία είναι σχεδόν πλήρως αυτοματοποιημένη και οι χριστουγεννιάτικες μπάλες συσκευάζονται μόνο χειροκίνητα.

Η σφαίρα είναι ένα από τα απλούστερα γεωμετρικά σώματα στο οποίο όλα τα σημεία στην επιφάνειά της βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο της εικόνας. Η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειάς της ονομάζεται ακτίνα.

Όγκος μπάλας

Η διάμετρος της μπάλας ονομάζεται διπλάσια της ακτίνας.

Πώς να βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας γύρω από την ακτίνα της

Αν γνωρίζουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το μέγεθός της. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον κύβο με την ακτίνα και τον τετραπλό αριθμό Pi, μετά τον οποίο το αποτέλεσμα θα διαιρεθεί με το τρία. Ο τύπος για τον προσδιορισμό του όγκου μιας μπάλας με βάση την ακτίνα της έχει ως εξής: .
Για όσους το έχουν ξεχάσει, θυμόμαστε ότι το Pi είναι μια σταθερή τιμή και ισούται με 3,14.

Πώς να βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας κατά διάμετρο

Εάν η διάμετρος της σφαίρας είναι γνωστή από τις συνθήκες του προβλήματος, ο όγκος της υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , δηλαδή.

ο αριθμός Pi πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη διάμετρο της διαμέτρου και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα διαιρείται με το 6.

Πώς να προσδιορίσετε τη μάζα μιας μπάλας

Το σωματικό βάρος είναι φυσική ποσότητα, υποδεικνύοντας το βαθμό αδράνειας του. Η μάζα ενός φυσικού σώματος εξαρτάται από τον όγκο του χώρου που καταλαμβάνεται και την πυκνότητα του υλικού από το οποίο έχει συναρμολογηθεί. Όγκος σώματος σωστή μορφή(ας πούμε ρυθμός) δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί και εάν το υλικό από το οποίο κατασκευάζεται είναι επίσης γνωστό, μαζικώςεπιτρέπεται να είναι πολύ πρωτόγονο.

οδηγίες

πρώταΕισαγάγετε το ποσό ρυθμός .

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο μιας μπάλας

Για να το κάνετε αυτό, αρκεί να γνωρίζετε μία από τις παραμέτρους σας - ακτίνα, διάμετρος, επιφάνεια κ.λπ. Πείτε μου αν γνωρίζετε τη διάμετρο ρυθμός(δ), ο όγκος του (V) επιτρέπεται να προσδιοριστεί ως το ένα έκτο ενός προϊόντος με διάμετρο που αυξάνεται σε κύβο με τον αριθμό Pi: V = π * d; / 6. Δια της ακτίνας ρυθμός(r) ο όγκος εκφράζεται ως το ένα τρίτο του γινομένου του Pi, το οποίο τετραπλασιάζεται με την ακτίνα που τοποθετείται στον κύβο: V = 4 * π * r; / 3.

δεύτεροςκόμης μαζικώςρυθμός(m), πολλαπλασιάστε τον όγκο του με την υπέροχη πυκνότητα της ύλης (p): m = p * V.

Αν αυτό είναι το υλικό ρυθμόςδεν είναι ομοιογενές, τότε πρέπει να πάρουμε τη μέση πυκνότητα. Σε αυτόν τον τύπο αντικαθιστούμε τον όγκο ρυθμόςμέσω των γνωστών παραμέτρων του, επιτρέπεται η λήψη της γνωστής διαμέτρου ρυθμόςτύπος m = p * π * d; / 6 και για την κύρια ακτίνα m = p * 4 * π * r; / 3.

τρίτοςΧρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, μια τυπική αριθμομηχανή για υπολογισμούς λογισμικό, που περιλαμβάνεται στο βασικό λειτουργικό σύστημα Windows, οποιαδήποτε ισχυρή έκδοση που χρησιμοποιείται σήμερα.

Ο ευκολότερος τρόπος για να ξεκινήσετε είναι πατώντας τα win + r για να ανοίξετε το τυπικό παράθυρο διαλόγου για την εκτέλεση του προγράμματος, μετά πληκτρολογήστε την εντολή calc και κάντε κλικ στο OK.

Στο μενού "Αριθμομηχανή", αναπτύξτε την ενότητα "Προβολή" και επιλέξτε τη γραμμή "Μηχανικός" ή "Επιστήμονας" (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος που χρησιμοποιείτε) - η διεπαφή αυτής της λειτουργίας έχει ένα κουμπί για την εισαγωγή του αριθμού Pi με ένα κλικ. Οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης σε αυτήν την αριθμομηχανή δεν χρειάζεται να εγείρουν ερωτήματα, αλλά καθορίζονται κατά τον υπολογισμό της μάζας ρυθμόςθα υπάρχουν πολλά κουμπιά με σύμβολα x^2 και x^3.

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΔΡΟΥ ΚΑΙ ΥΓΕΙΑΣ

E-mail: [email προστατευμένο]

Ώρες λειτουργίας: Δευ-Παρασκευή από 9-00 έως 18-00 (χωρίς μεσημεριανό)

Υπολογισμός του όγκου μιας σφαίρας χρησιμοποιώντας ακτίνα ή διάμετρο

Μια σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που είναι μια συλλογή όλων των σημείων του χώρου που βρίσκονται σε μια ορισμένη απόσταση από το κέντρο.

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο μιας μπάλας

Το κύριο μαθηματικό χαρακτηριστικό μιας μπάλας είναι η ακτίνα της.

Ο αριθμός μιας μπάλας είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό αυτού του αριθμού στο Σύμπαν.

Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r είναι η ακτίνα της σφαίρας.
d είναι η διάμετρος της σφαίρας.

Δείτε επίσης το άρθρο για όλους γεωμετρικά σχήματα(γραμμικό 1D, επίπεδο 2D και 3D 3D).

Αυτή η σελίδα είναι ο απλούστερος υπολογιστής Ιστού για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας κατά ακτίνα ή διάμετρο.

Ορισμός μπάλας

Μπάλαείναι ένα σώμα του οποίου όλα τα σημεία βρίσκονται από ένα δεδομένο σημείο σε απόσταση που δεν υπερβαίνει το R.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή

Το δεδομένο σημείο που αναφέρεται στον ορισμό της μπάλας ονομάζεται κέντροαυτή η μπάλα. Και η αναφερόμενη απόσταση είναι ακτίνααυτής της μπάλας.

Μια μπάλα, κατ' αναλογία με έναν κύκλο, έχει επίσης διάμετρο Δ Δ ρε, που είναι διπλάσια από την ακτίνα σε μήκος:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Τύπος για τον όγκο μιας μπάλας ως προς την ακτίνα της

Ο όγκος της μπάλας υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

Τύπος για τον όγκο μιας μπάλας ως προς την ακτίνα

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- η ακτίνα αυτής της μπάλας.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Πρόβλημα 1

Μια μπάλα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύβο, διαγώνιο δ δ ρεπου ισούται με 500 cm \sqrt(500)\text(cm.)5 0 0 ​ cm .Βρείτε τον όγκο της μπάλας.

Διάλυμα

D = 500 d=\sqrt(500) d =5 0 0 ​

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε το μήκος της πλευράς του κύβου. Θα υποθέσουμε ότι είναι ίσο α α ένα. Επομένως, η διαγώνιος του κύβου είναι ίση (με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d =ένα 2 + ένα 2 + ένα 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ ένα 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ ένα

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ ένα

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))α =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\περίπου 12,9 α ≈1 2 . 9

Εάν μια μπάλα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύβο, τότε η ακτίνα της είναι ίση με το ήμισυ του μήκους της πλευράς αυτού του κύβου. Ως αποτέλεσμα έχουμε:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ ένα

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\περίπου 6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Το τελικό στάδιο είναι η εύρεση του όγκου της μπάλας χρησιμοποιώντας τον τύπο:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097.5\text(cm)^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 εκ3

Απάντηση

1097,5 cm3. 1097,5\text(cm)^3.1 0 9 7 , 5 εκ3 .

Τύπος για τον όγκο μιας μπάλας ως προς τη διάμετρό της

Ο όγκος μιας μπάλας μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω της διαμέτρου της. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τη σχέση μεταξύ της ακτίνας και της διαμέτρου της μπάλας:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 ρε​

Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στον τύπο για τον όγκο της μπάλας:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 ρε​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ ρε 3

Όγκος μιας μπάλας σε διάμετρο

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=6 π ​ ⋅ ρε 3

Δ Δ ρε- η διάμετρος αυτής της μπάλας.

Πρόβλημα 2

Η διάμετρος της μπάλας είναι 15 εκ. 15\κείμενο (εκ.) 1 5 cm .Βρείτε τον όγκο του.

Διάλυμα

D=15 D=15 D=1 5

Αντικαταστήστε αμέσως την τιμή της διαμέτρου στον τύπο:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ περίπου 1766,25\κείμενο( cm)^3V=6 π ​ ⋅ ρε 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 εκ3

Απάντηση

$1766.25\text{εκ3 .}$

Το WikiHow παρακολουθεί προσεκτικά το έργο των συντακτών του για να διασφαλίσει ότι κάθε άρθρο πληροί τα πρότυπά μας. υψηλών προδιαγραφώνποιότητα.

Η ακτίνα μιας μπάλας (που συμβολίζεται ως r ή R) είναι το τμήμα που συνδέει το κέντρο της μπάλας με οποιοδήποτε σημείο στην επιφάνειά της. Όπως και με έναν κύκλο, η ακτίνα μιας μπάλας είναι μια σημαντική ποσότητα που απαιτείται για να βρεθεί η διάμετρος, η περιφέρεια, η επιφάνεια και/ή ο όγκος της μπάλας. Αλλά η ακτίνα της μπάλας μπορεί επίσης να βρεθεί από δεδομένη αξίαδιάμετρος, περιφέρεια και άλλες ποσότητες. Χρησιμοποιήστε έναν τύπο στον οποίο μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτές τις τιμές.

Βήματα

Τύποι για τον υπολογισμό της ακτίνας

Υπολογίστε την ακτίνα από τη διάμετρο.Η ακτίνα είναι ίση με το ήμισυ της διαμέτρου, γι' αυτό χρησιμοποιήστε τον τύπο g = D/2. Αυτός είναι ο ίδιος τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ακτίνας και της διαμέτρου ενός κύκλου.

• Για παράδειγμα, δίνεται μια μπάλα με διάμετρο 16 cm Η ακτίνα αυτής της μπάλας: r = 16/2 = 8 εκ. Εάν η διάμετρος είναι 42 cm, τότε η ακτίνα είναι 21 εκ (42/2=21).

1. Υπολογίστε την ακτίνα από την περιφέρεια.Χρησιμοποιήστε τον τύπο: r = C/2π. Εφόσον η περιφέρεια ενός κύκλου είναι C = πD = 2πr, τότε διαιρέστε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιφέρειας με 2π και λάβετε τον τύπο για την εύρεση της ακτίνας.

   • Για παράδειγμα, δίνεται μια μπάλα με περιφέρεια 20 cm Η ακτίνα αυτής της μπάλας είναι: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Ο ίδιος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ακτίνας και της περιφέρειας ενός κύκλου.

2. Υπολογίστε την ακτίνα από τον όγκο της σφαίρας.Χρησιμοποιήστε τον τύπο: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Ο όγκος της μπάλας υπολογίζεται με τον τύπο V = (4/3)πr 3. Απομονώνοντας το r στη μία πλευρά της εξίσωσης, παίρνετε τον τύπο ((V/π)(3/4)) 3 = r, δηλαδή για να υπολογίσετε την ακτίνα, να διαιρέσετε τον όγκο της μπάλας με το π, να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με 3/4, και αυξήστε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε ισχύ 1/3 (ή πάρτε την κυβική ρίζα).

   • Για παράδειγμα, δίνεται μια μπάλα με όγκο 100 cm 3 . Η ακτίνα αυτής της μπάλας υπολογίζεται ως εξής:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 εκ= r

3. Υπολογίστε την ακτίνα από την επιφάνεια.Χρησιμοποιήστε τον τύπο: g = √(A/(4 π)). Η επιφάνεια της μπάλας υπολογίζεται με τον τύπο A = 4πr 2. Απομονώνοντας το r στη μία πλευρά της εξίσωσης, παίρνετε τον τύπο √(A/(4π)) = r, δηλαδή, για να υπολογίσετε την ακτίνα, πρέπει να εξαγάγετε τετραγωνική ρίζααπό την επιφάνεια διαιρούμενη με 4π. Αντί να πάρει τη ρίζα, η έκφραση (A/(4π)) μπορεί να αυξηθεί στη δύναμη του 1/2.

   • Για παράδειγμα, δίνεται μια σφαίρα με εμβαδόν επιφάνειας 1200 cm 3 . Η ακτίνα αυτής της μπάλας υπολογίζεται ως εξής:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 εκ= r

   Προσδιορισμός βασικών ποσοτήτων

   1. Θυμηθείτε τις βασικές ποσότητες που σχετίζονται με τον υπολογισμό της ακτίνας μιας μπάλας.Η ακτίνα μιας μπάλας είναι το τμήμα που συνδέει το κέντρο της μπάλας με οποιοδήποτε σημείο στην επιφάνειά της. Η ακτίνα μιας μπάλας μπορεί να υπολογιστεί από δεδομένες τιμές διαμέτρου, περιφέρειας, όγκου ή επιφάνειας.

      Χρησιμοποιήστε τις τιμές αυτών των μεγεθών για να βρείτε την ακτίνα.Η ακτίνα μπορεί να υπολογιστεί από δεδομένες τιμές διαμέτρου, περιφέρειας, όγκου και επιφάνειας. Επιπλέον, οι υποδεικνυόμενες τιμές μπορούν να βρεθούν από μια δεδομένη τιμή ακτίνας. Για να υπολογίσετε την ακτίνα, απλώς μετατρέψτε τους τύπους για να βρείτε τις δεδομένες ποσότητες. Παρακάτω είναι οι τύποι (οι οποίοι περιλαμβάνουν την ακτίνα) για τον υπολογισμό της διαμέτρου, της περιφέρειας, του όγκου και της επιφάνειας.

   Εύρεση της ακτίνας από την απόσταση μεταξύ δύο σημείων

   1. Βρείτε τις συντεταγμένες (x,y,z) του κέντρου της μπάλας.Η ακτίνα μιας μπάλας είναι ίση με την απόσταση μεταξύ του κέντρου της και κάθε σημείου που βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας. Εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κέντρου της μπάλας και οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην επιφάνειά της, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα της μπάλας χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο υπολογίζοντας την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Βρείτε πρώτα τις συντεταγμένες του κέντρου της μπάλας. Λάβετε υπόψη ότι εφόσον η μπάλα είναι τρισδιάστατη φιγούρα, το σημείο θα έχει τρεις συντεταγμένες (x, y, z) και όχι δύο (x, y).

      • Ας δούμε ένα παράδειγμα. Δίνεται μια μπάλα με κεντρικές συντεταγμένες (4,-1,12) . Χρησιμοποιήστε αυτές τις συντεταγμένες για να βρείτε την ακτίνα της μπάλας.

   2. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας.Τώρα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες (x,y,z) κάθεσημείο που βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας. Δεδομένου ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια της μπάλας βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο της μπάλας, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο για να υπολογίσετε την ακτίνα της μπάλας.

      • Στο παράδειγμά μας, ας υποθέσουμε ότι κάποιο σημείο που βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας έχει συντεταγμένες (3,3,0) . Υπολογίζοντας την απόσταση μεταξύ αυτού του σημείου και του κέντρου της μπάλας, θα βρείτε την ακτίνα.

   3. Υπολογίστε την ακτίνα χρησιμοποιώντας τον τύπο d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Έχοντας βρει τις συντεταγμένες του κέντρου της μπάλας και ενός σημείου που βρίσκεται στην επιφάνειά της, μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους, η οποία είναι ίση με την ακτίνα της μπάλας. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων υπολογίζεται με τον τύπο d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), όπου d είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων , (x 1, y 1 ,z 1) – συντεταγμένες του κέντρου της μπάλας, (x 2 , y 2 , z 2) – συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας.

      • Στο υπό εξέταση παράδειγμα, αντί για (x 1,y 1,z 1) αντικαταστήστε το (4,-1,12) και αντί για (x 2,y 2,z 2) αντικαταστήστε το (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Αυτή είναι η επιθυμητή ακτίνα της μπάλας.

   4. Λάβετε υπόψη ότι σε γενικές περιπτώσεις r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Όλα τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια της μπάλας βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο της μπάλας. Εάν στον τύπο για την εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο σημείων το "d" αντικατασταθεί από το "r", παίρνετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της ακτίνας μιας μπάλας σύμφωνα με γνωστές συντεταγμένες(x 1 ,y 1 ,z 1) του κέντρου της μπάλας και συντεταγμένες (x 2 ,y 2 ,z 2) οποιουδήποτε σημείου βρίσκεται στην επιφάνεια της μπάλας.

      • Τετραγωνίστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης και παίρνετε r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στην εξίσωση μιας σφαίρας r 2 = x 2 + y 2 + z 2 με το κέντρο της στις συντεταγμένες (0,0,0).
   • Μην ξεχνάτε τη σειρά εκτέλεσης των μαθηματικών πράξεων. Εάν δεν θυμάστε αυτήν τη σειρά και η αριθμομηχανή σας μπορεί να λειτουργήσει με παρενθέσεις, χρησιμοποιήστε τις.
   • Αυτό το άρθρο μιλάει για τον υπολογισμό της ακτίνας μιας μπάλας. Αλλά αν δυσκολεύεστε να μάθετε γεωμετρία, είναι καλύτερο να ξεκινήσετε υπολογίζοντας τις ποσότητες που σχετίζονται με μια μπάλα χρησιμοποιώντας γνωστή αξίαακτίνα.
   • Το π (Πι) είναι ένα γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου που δηλώνει μια σταθερά, ίσο με την αναλογίαδιάμετρος κύκλου ως προς την περιφέρειά του. Το Pi είναι ένας παράλογος αριθμός που δεν γράφεται ως λόγος πραγματικούς αριθμούς. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις, για παράδειγμα, η αναλογία 333/106 θα σας επιτρέψει να βρείτε το Pi εντός τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Κατά κανόνα, χρησιμοποιούν την κατά προσέγγιση τιμή του Pi, η οποία είναι 3,14.