Πώς να σχεδιάσετε ένα κανονικό πεντάγωνο. Κανονικό πεντάγωνο: οι απαραίτητες ελάχιστες πληροφορίες
Είναι αδύνατο να γίνει χωρίς τη μελέτη της τεχνικής αυτής της διαδικασίας. Υπάρχουν πολλές επιλογές για να κάνετε τη δουλειά. Πώς να σχεδιάσετε ένα αστέρι χρησιμοποιώντας έναν χάρακα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τις πιο διάσημες μεθόδους αυτής της διαδικασίας.
Τύποι αστεριών
Υπάρχουν πολλές επιλογές εμφάνισημια φιγούρα σαν αστέρι.
Από την αρχαιότητα, η πεντάκτινη ποικιλία του χρησιμοποιήθηκε για τη σχεδίαση πενταγράμμων. Αυτό εξηγείται από την ιδιότητά του, η οποία σας επιτρέπει να κάνετε ένα σχέδιο χωρίς να σηκώσετε το στυλό από το χαρτί.
Υπάρχουν επίσης εξάκτινοι κομήτες με ουρά.
Πέντε κορυφές έχουν παραδοσιακά Αστερίας. Οι εικόνες της χριστουγεννιάτικης εκδοχής βρίσκονται συχνά στο ίδιο σχήμα.
Σε κάθε περίπτωση, για να σχεδιάσετε ένα πεντάκτινο αστέρι βήμα προς βήμα, πρέπει να καταφύγετε στη βοήθεια ειδικών εργαλείων, καθώς μια εικόνα με το χέρι είναι απίθανο να φαίνεται συμμετρική και όμορφη.
Εκτέλεση του σχεδίου
Για να καταλάβετε πώς να σχεδιάσετε ένα ομοιόμορφο αστέρι, θα πρέπει να κατανοήσετε την ουσία αυτού του σχήματος.
Η βάση για το σχέδιό του είναι μια διακεκομμένη γραμμή, τα άκρα της οποίας συγκλίνουν στο σημείο εκκίνησης. Σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο - ένα πεντάγωνο.
Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός τέτοιου σχήματος είναι η δυνατότητα εγγραφής του σε κύκλο, καθώς και ο κύκλος σε αυτό το πολύγωνο.
Όλες οι πλευρές του πενταγώνου είναι ίσες μεταξύ τους. Κατανοώντας πώς να εκτελέσετε σωστά ένα σχέδιο, μπορείτε να κατανοήσετε την ουσία της διαδικασίας κατασκευής όλων των σχημάτων, καθώς και διάφορα διαγράμματα εξαρτημάτων και εξαρτημάτων.
Για να επιτύχετε έναν τέτοιο στόχο όπως το σχέδιο ενός αστεριού χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, πρέπει να έχετε γνώση των απλούστερων μαθηματικών τύπων που είναι θεμελιώδεις στη γεωμετρία. Θα χρειαστείτε επίσης τη δυνατότητα να υπολογίζετε σε μια αριθμομηχανή. Το πιο σημαντικό όμως είναι η λογική σκέψη.
Η εργασία δεν είναι δύσκολη, αλλά θα απαιτήσει ακρίβεια και σχολαστικότητα. Η προσπάθεια που δαπανήθηκε θα ανταμειφθεί με μια καλή συμμετρική, και επομένως όμορφη, εικόνα ενός πεντάκτινου αστεριού.
Κλασική τεχνική
Ο πιο διάσημος τρόπος για να σχεδιάσετε ένα αστέρι χρησιμοποιώντας πυξίδα, χάρακα και μοιρογνωμόνιο είναι αρκετά απλός.
Για αυτήν την τεχνική θα χρειαστείτε πολλά εργαλεία: μια πυξίδα ή μοιρογνωμόνιο, ένα χάρακα, ένα απλό μολύβι, μια γόμα και ένα φύλλο λευκού χαρτιού.
Για να καταλάβετε πώς να σχεδιάσετε όμορφα ένα αστέρι, θα πρέπει να ενεργήσετε διαδοχικά, βήμα προς βήμα.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς υπολογισμούς στην εργασία σας.
Υπολογισμός σχήματος
Σε αυτό το στάδιο σχεδίασης του σωστού αστεριού, εμφανίζονται τα περιγράμματα της τελικής φιγούρας.
Εάν όλα γίνονται σωστά, η εικόνα που προκύπτει θα είναι ομαλή. Αυτό μπορεί να ελεγχθεί οπτικά περιστρέφοντας ένα κομμάτι χαρτί και αξιολογώντας το σχήμα. Θα παραμένει το ίδιο κάθε φορά που στρίβετε.
Τα κύρια περιγράμματα σχεδιάζονται πιο καθαρά χρησιμοποιώντας ένα χάρακα και ένα απλό μολύβι. Όλες οι βοηθητικές γραμμές αφαιρούνται.
Για να καταλάβετε πώς να σχεδιάσετε ένα αστέρι βήμα προς βήμα, θα πρέπει να εκτελέσετε όλα τα βήματα προσεκτικά. Σε περίπτωση σφάλματος, μπορείτε να διορθώσετε το σχέδιο με μια γόμα ή να εκτελέσετε ξανά όλους τους χειρισμούς.
Εγγραφή εργασίας
Η τελική φόρμα μπορεί να διακοσμηθεί με διάφορους τρόπους. Το κύριο πράγμα είναι να μην φοβάστε να πειραματιστείτε. Η φαντασία θα προτείνει μια πρωτότυπη και όμορφη εικόνα.
Μπορείτε να διακοσμήσετε το σχεδιασμένο ίσιο αστέρι με ένα απλό μολύβι ή να χρησιμοποιήσετε μια μεγάλη ποικιλία χρωμάτων και αποχρώσεων.
Για να καταλάβετε πώς να σχεδιάσετε το σωστό αστέρι, πρέπει να επιμείνετε σε τέλειες γραμμές παντού. Επομένως, η πιο δημοφιλής επιλογή σχεδίασης είναι να διαιρέσετε κάθε ακτίνα του σχήματος σε δύο ίσα μέρη με μια γραμμή που προέρχεται από την κορυφή προς το κέντρο.
Δεν χρειάζεται να διαχωρίσετε τις πλευρές του αστεριού με γραμμές. Μπορείτε απλά να βάψετε πάνω από κάθε ακτίνα της φιγούρας με μια πιο σκούρα απόχρωση στη μία πλευρά.
Αυτή η επιλογή θα είναι επίσης η απάντηση στο ερώτημα πώς να σχεδιάσετε το σωστό αστέρι, επειδή όλες οι γραμμές του θα είναι συμμετρικές.
Εάν θέλετε, όταν σχεδιάζετε αισθητικά μια φιγούρα, μπορείτε να προσθέσετε ένα στολίδι ή άλλα διάφορα στοιχεία. Προσθέτοντας κύκλους στις κορυφές, μπορείτε να πάρετε ένα αστέρι του σερίφη. Εφαρμόζοντας ομαλή σκίαση των πλευρών της σκιάς, μπορείτε να αποκτήσετε έναν αστερία.
Αυτή η τεχνική είναι η πιο κοινή, καθώς χωρίς μεγάλη προσπάθεια σας επιτρέπει να καταλάβετε πώς να σχεδιάσετε ένα πεντάκτινο αστέρι βήμα προς βήμα. Χωρίς να καταφεύγω σε κόμπλεξ μαθηματικούς υπολογισμούς, είναι δυνατό να αποκτήσετε μια σωστή, όμορφη εικόνα.
Έχοντας εξετάσει όλους τους τρόπους για να σχεδιάσετε ένα αστέρι χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, μπορείτε να επιλέξετε τον πιο κατάλληλο για τον εαυτό σας. Η πιο δημοφιλής είναι η γεωμετρική μέθοδος βήμα προς βήμα. Είναι αρκετά απλό και αποτελεσματικό. Χρησιμοποιώντας τη φαντασία και τη φαντασία, μπορείτε, από το σωστό αποτέλεσμα που έχετε, όμορφο σχήμαδημιουργήστε μια πρωτότυπη σύνθεση. Υπάρχει μεγάλη ποικιλία επιλογών σχεδίασης. Αλλά μπορείτε πάντα να βρείτε τη δική σας, πιο ασυνήθιστη και αξέχαστη πλοκή. Το κύριο πράγμα είναι μην φοβάστε να πειραματιστείτε!
Αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με ελάχιστο αριθμό γωνιών, που δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει την περιοχή. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τον αριθμό των πλευρών του. Χρησιμοποιώντας τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει ένα πεντάγωνο. Για παράδειγμα, τοποθετήστε το σε έναν κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή χτίστε το με βάση μια δεδομένη πλευρά.
Πώς να σχεδιάσετε σωστά μια δοκό και τι προμήθειες σχεδίασης θα χρειαστείτε; Πάρτε ένα κομμάτι χαρτί και σημειώστε ένα σημείο σε μια τυχαία θέση. Στη συνέχεια, εφαρμόστε έναν χάρακα και τραβήξτε μια γραμμή ξεκινώντας από το υποδεικνυόμενο σημείο και συνεχίζοντας στο άπειρο. Για να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, πατήστε το πλήκτρο "Shift" και σχεδιάστε μια γραμμή του επιθυμητού μήκους. Αμέσως μετά τη σχεδίαση, θα ανοίξει η καρτέλα «Μορφοποίηση». Αφαιρέστε την επιλογή από τη γραμμή και θα δείτε ότι εμφανίζεται μια τελεία στην αρχή της γραμμής. Για να δημιουργήσετε μια επιγραφή, κάντε κλικ στο κουμπί «Σχεδίαση επιγραφής» και δημιουργήστε ένα πεδίο όπου θα βρίσκεται η επιγραφή.
Η πρώτη μέθοδος κατασκευής ενός πενταγώνου θεωρείται πιο «κλασική». Το σχήμα που προκύπτει θα είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Το δωδεκάγωνο δεν αποτελεί εξαίρεση, επομένως η κατασκευή του θα είναι αδύνατη χωρίς τη χρήση πυξίδας. Το πρόβλημα της κατασκευής ενός κανονικού πενταγώνου καταλήγει στο πρόβλημα της διαίρεσης ενός κύκλου σε πέντε ίσα μέρη. Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα πεντάγραμμο χρησιμοποιώντας απλά εργαλεία.
Αγωνίστηκα για πολύ καιρό προσπαθώντας να το πετύχω και να βρω μόνος μου τις αναλογίες και τις εξαρτήσεις, αλλά δεν τα κατάφερα. Αποδείχθηκε ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές επιλογές για την κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου, που αναπτύχθηκε από διάσημους μαθηματικούς. Ένα ενδιαφέρον σημείο είναι ότι αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο αριθμητικά κατά προσέγγιση, αφού θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε παράλογους αριθμούς. Μπορεί όμως να λυθεί γεωμετρικά.
Διαιρούμενοι κύκλοι. Τα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τον κύκλο είναι οι κορυφές του τετραγώνου. Σε έναν κύκλο ακτίνας R (Βήμα 1), σχεδιάστε μια κατακόρυφη διάμετρο. Στο σημείο συμβολής Ν μιας ευθείας και ενός κύκλου, η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο.
Λήψη με χρήση λωρίδας χαρτιού
Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μια ευθεία άκρη και ένα τετράγωνο 30Χ60°. Οι κορυφές ενός τέτοιου τριγώνου μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα τετράγωνο με γωνίες 30 και 60° ή μόνο μία πυξίδα. Για να κατασκευάσετε την πλευρά 2-3, τοποθετήστε την εγκάρσια ράβδο στη θέση που φαίνεται από τις διακεκομμένες γραμμές και σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο σημείο 2, η οποία θα καθορίσει την τρίτη κορυφή του τριγώνου. Σημειώνουμε το σημείο 1 στον κύκλο και το παίρνουμε ως μια από τις κορυφές του πενταγώνου. Συνδέουμε τις κορυφές που βρέθηκαν διαδοχικά μεταξύ τους. Ένα επτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί αντλώντας ακτίνες από τον πόλο F και μέσα από περιττές διαιρέσεις της κατακόρυφης διαμέτρου.
Και στην άλλη άκρη του νήματος, τοποθετήστε ένα μολύβι και συνδέστε το. Εάν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα αστέρι, αλλά δεν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα πεντάγωνο, σχεδιάστε ένα αστέρι με ένα μολύβι, στη συνέχεια συνδέστε τα παρακείμενα άκρα του αστεριού και, στη συνέχεια, σβήστε το ίδιο το αστέρι. Στη συνέχεια, τοποθετήστε ένα φύλλο χαρτιού (είναι καλύτερα να το στερεώσετε στο τραπέζι χρησιμοποιώντας τέσσερα κουμπιά ή βελόνες). Καρφιτσώστε αυτές τις 5 λωρίδες σε ένα κομμάτι χαρτί με καρφίτσες ή βελόνες ώστε να παραμείνουν ακίνητες. Στη συνέχεια, κυκλώστε το πεντάγωνο που προκύπτει και αφαιρέστε αυτές τις λωρίδες από το φύλλο.
Για παράδειγμα, πρέπει να σχεδιάσουμε ένα πεντάκτινο αστέρι (πεντάγραμμο) για μια εικόνα για το σοβιετικό παρελθόν ή για το παρόν της Κίνας. Είναι αλήθεια ότι για αυτό πρέπει να μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σχέδιο ενός αστεριού σε προοπτική. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να σχεδιάσετε μια φιγούρα με ένα μολύβι σε χαρτί. Πώς να σχεδιάσετε σωστά ένα αστέρι ώστε να φαίνεται ομαλό και όμορφο δεν μπορεί να απαντηθεί αμέσως.
Από το κέντρο, χαμηλώστε 2 ακτίνες στον κύκλο έτσι ώστε η γωνία μεταξύ τους να είναι 72 μοίρες (με μοιρογνωμόνιο). Η διαίρεση ενός κύκλου σε πέντε μέρη γίνεται χρησιμοποιώντας μια κανονική πυξίδα ή μοιρογνωμόνιο. Δεδομένου ότι ένα κανονικό πεντάγωνο είναι ένα από τα σχήματα που περιέχουν τις αναλογίες της χρυσής τομής, ζωγράφοι και μαθηματικοί ενδιαφέρονται εδώ και πολύ καιρό για την κατασκευή του. Αυτές οι αρχές κατασκευής με πυξίδες και χάρακες εκτέθηκαν στις Ευκλείδειες «Αρχές».
Εάν δεν έχετε πυξίδα στο χέρι, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα απλό αστέρι με πέντε ακτίνες και στη συνέχεια απλώς να συνδέσετε αυτές τις ακτίνες. Όπως μπορείτε να δείτε στην παρακάτω εικόνα, προκύπτει ένα απολύτως κανονικό πεντάγωνο.
Τα μαθηματικά είναι μια πολύπλοκη επιστήμη και έχουν πολλά μυστικά, μερικά από τα οποία είναι αρκετά αστεία. Αν σας ενδιαφέρουν τέτοια πράγματα, σας συμβουλεύω να βρείτε το βιβλίο Fun Math.
Ένας κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί όχι μόνο χρησιμοποιώντας μια πυξίδα. Μπορείτε, για παράδειγμα, να χρησιμοποιήσετε ένα μολύβι και μια κλωστή. Μετράμε την απαιτούμενη διάμετρο στο νήμα. Σφίγγουμε τη μια άκρη σφιχτά σε ένα φύλλο χαρτιού όπου θα σχεδιάσουμε έναν κύκλο. Και στην άλλη άκρη του νήματος, τοποθετήστε ένα μολύβι και συνδέστε το. Τώρα λειτουργεί όπως με μια πυξίδα: τραβάμε την κλωστή και, πιέζοντας ελαφρά με ένα μολύβι, σημειώνουμε τον κύκλο γύρω από την περιφέρεια.
Μέσα στον κύκλο σχεδιάζουμε αγρότες από το κέντρο: μια κάθετη γραμμή και μια οριζόντια γραμμή. Το σημείο τομής της κατακόρυφης γραμμής και του κύκλου θα είναι η κορυφή του πενταγώνου (σημείο 1). Τώρα χωρίζουμε το δεξί μισό της οριζόντιας γραμμής στη μέση (σημείο 2). Μετράμε την απόσταση από αυτό το σημείο μέχρι την κορυφή του πενταγώνου και τοποθετούμε αυτό το τμήμα στα αριστερά του σημείου 2 (σημείο 3). Χρησιμοποιώντας ένα νήμα και ένα μολύβι, σχεδιάστε ένα τόξο από το σημείο 1 με ακτίνα έως το σημείο 3, τέμνοντας τον πρώτο κύκλο αριστερά και δεξιά - τα σημεία τομής θα είναι οι κορυφές του πενταγώνου. Ας τα ονομάσουμε σημεία 4 και 5.
Τώρα από το σημείο 4 κάνουμε ένα τόξο που τέμνει τον κύκλο στο κάτω μέρος, με ακτίνα ίση με το μήκος από το σημείο 1 έως το 4 - αυτό θα είναι το σημείο 6. Με τον ίδιο τρόπο από το σημείο 5 - θα το ορίσουμε ως σημείο 7.
Το μόνο που μένει είναι να συνδέσουμε το πεντάγωνό μας με τις κορυφές 1, 5, 7, 6, 4.
Ξέρω πώς να φτιάξω ένα απλό πεντάγωνο χρησιμοποιώντας μια πυξίδα: Κατασκευάστε έναν κύκλο, σημειώστε πέντε σημεία, συνδέστε τα. Μπορείτε να φτιάξετε ένα πεντάγωνο με ίσες πλευρές, για αυτό χρειαζόμαστε ακόμα ένα μοιρογνωμόνιο. Απλώς βάζουμε τους ίδιους 5 πόντους στο μοιρογνωμόνιο. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τις γωνίες στις 72 μοίρες. Στη συνέχεια, συνδέουμε επίσης με τμήματα και παίρνουμε το σχήμα που χρειαζόμαστε.
Ο πράσινος κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί με αυθαίρετη ακτίνα. Θα εγγράψουμε ένα κανονικό πεντάγωνο σε αυτόν τον κύκλο. Είναι αδύνατο να σχεδιάσετε έναν ακριβή κύκλο χωρίς πυξίδα, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Ο κύκλος και όλες οι περαιτέρω κατασκευές μπορούν να γίνουν με το χέρι. Στη συνέχεια, μέσω του κέντρου του κύκλου Ο, πρέπει να σχεδιάσετε δύο αμοιβαία κάθετες ευθείες γραμμές και να ορίσετε ένα από τα σημεία τομής της ευθείας με τον κύκλο ως Α. Το σημείο Α θα είναι η κορυφή του πενταγώνου. Χωρίζουμε την ακτίνα ΟΒ στη μέση και τοποθετούμε το σημείο Γ. Από το σημείο Γ σχεδιάζουμε δεύτερο κύκλο με ακτίνα AC. Από το σημείο Α σχεδιάζουμε έναν τρίτο κύκλο με ακτίνα ΑΔ. Τα σημεία τομής του τρίτου κύκλου με τον πρώτο (Ε και ΣΤ) θα είναι επίσης οι κορυφές του πενταγώνου. Από τα σημεία E και F με ακτίνα AE κάνουμε εγκοπές στον πρώτο κύκλο και παίρνουμε τις υπόλοιπες κορυφές του πενταγώνου G και H.
Υποστηρικτές της μαύρης τέχνης: για να σχεδιάσετε απλά, όμορφα και γρήγορα ένα πεντάγωνο, θα πρέπει να σχεδιάσετε τη σωστή, αρμονική βάση για το πεντάγραμμο (πεντάκτινο αστέρι) και να συνδέσετε τα άκρα των ακτίνων αυτού του αστεριού χρησιμοποιώντας ευθείες, ομοιόμορφες γραμμές. Εάν όλα έγιναν σωστά, η γραμμή σύνδεσης γύρω από τη βάση θα είναι το επιθυμητό πεντάγωνο.
(στην εικόνα υπάρχει ένα ολοκληρωμένο αλλά ασυμπλήρωτο πεντάγραμμο)
Για όσους δεν είναι σίγουροι για την ορθότητα του πενταγράμμου: πάρτε ως βάση τον Βιτρούβιο Άνθρωπο του Ντα Βίντσι (δείτε παρακάτω)
Εάν χρειάζεστε ένα πεντάγωνο, απλώς τρυπήστε τυχαία 5 πόντους και το εξωτερικό τους περίγραμμα θα είναι ένα πεντάγωνο.
Εάν χρειάζεστε ένα κανονικό πεντάγωνο, τότε χωρίς μαθηματική πυξίδα αυτή η κατασκευή δεν μπορεί να ολοκληρωθεί, αφού χωρίς αυτό είναι αδύνατο να σχεδιάσετε δύο πανομοιότυπα, αλλά όχι παράλληλα, τμήματα. Οποιοδήποτε άλλο εργαλείο που σας επιτρέπει να σχεδιάσετε δύο πανομοιότυπα αλλά όχι παράλληλα τμήματα ισοδυναμεί με μαθηματική πυξίδα.
Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε έναν κύκλο, μετά οδηγούς, μετά έναν δεύτερο κύκλο με διακεκομμένες κουκκίδες, να βρείτε το πάνω σημείο, στη συνέχεια να μετρήσετε τις δύο επάνω γωνίες, να τραβήξετε τις κάτω από αυτές. Σημειώστε ότι η ακτίνα της πυξίδας είναι ίδια σε όλη την κατασκευή.
Όλα εξαρτώνται από το είδος του πεντάγωνου που χρειάζεστε. Εάν υπάρχουν, τότε βάλτε πέντε τελείες και συνδέστε τις μεταξύ τους (φυσικά δεν βάζουμε τις τελείες σε ευθεία γραμμή). Και αν χρειάζεστε ένα πεντάγωνο με το σωστό σχήμα, πάρτε οποιοδήποτε πέντε κατά μήκος (λωρίδες χαρτιού, σπίρτα, μολύβια κ.λπ.), απλώστε το πεντάγωνο και περιγράψτε το.
Ένα πεντάγωνο μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, από ένα αστέρι. Εάν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα αστέρι, αλλά δεν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα πεντάγωνο, σχεδιάστε ένα αστέρι με ένα μολύβι, στη συνέχεια συνδέστε τα παρακείμενα άκρα του αστεριού και, στη συνέχεια, σβήστε το ίδιο το αστέρι.
Δεύτερος τρόπος. Κόψτε μια λωρίδα χαρτιού με μήκος ίσο με την επιθυμητή πλευρά του πενταγώνου και στενό πλάτος, ας πούμε 0,5 - 1 cm Σύμφωνα με το πρότυπο, κόψτε τέσσερις ακόμη παρόμοιες λωρίδες κατά μήκος αυτής της λωρίδας, έτσι ώστε να υπάρχουν 5 από αυτές σύνολο.
Στη συνέχεια, τοποθετήστε ένα φύλλο χαρτιού (είναι καλύτερα να το στερεώσετε στο τραπέζι με τέσσερα κουμπιά ή βελόνες). Στη συνέχεια, τοποθετήστε αυτές τις 5 ρίγες στο χαρτί έτσι ώστε να σχηματίσουν ένα πεντάγωνο. Καρφιτσώστε αυτές τις 5 λωρίδες σε ένα κομμάτι χαρτί με καρφίτσες ή βελόνες έτσι ώστε να παραμείνουν ακίνητες. Στη συνέχεια, κυκλώστε το πεντάγωνο που προκύπτει και αφαιρέστε αυτές τις λωρίδες από το φύλλο.
Εάν δεν έχετε πυξίδα και πρέπει να φτιάξετε ένα πεντάγωνο, τότε μπορώ να σας συμβουλέψω τα εξής. Το έχτισα έτσι μόνος μου. Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα κανονικό πεντάκτινο αστέρι. Και μετά από αυτό, για να αποκτήσετε ένα πεντάγωνο, πρέπει απλώς να συνδέσετε όλες τις κορυφές του αστεριού. Έτσι αποκτάς ένα πεντάγωνο. Αυτό παίρνουμε
Συνδέσαμε τις κορυφές του αστεριού με ευθείες μαύρες γραμμές και πήραμε ένα πεντάγωνο.
5.3. Χρυσό Πεντάγωνο; κατασκευή του Ευκλείδη.
Ένα υπέροχο παράδειγμα της «χρυσής αναλογίας» είναι ένα κανονικό πεντάγωνο - κυρτό και σε σχήμα αστεριού (Εικ. 5).
Για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο.
Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α το σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, που αποκαταστάθηκε στο σημείο Ο, τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σχεδιάστε το τμήμα CE = ED στη διάμετρο. Το μήκος της πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι ίσο με DC. Σχεδιάζουμε τα τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε σημεία για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μεταξύ τους με διαγώνιες και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.
Κάθε άκρο του πενταγωνικού αστέρα αντιπροσωπεύει ένα χρυσό τρίγωνο. Οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 36° στην κορυφή και η βάση εναποτίθεται στο πλευρά, το διαιρεί αναλογικά με τη χρυσή τομή.
Υπάρχει επίσης ένα χρυσό κυβοειδές - αυτό κυβοειδέςμε ακμές που έχουν μήκη 1,618, 1 και 0,618.
Τώρα εξετάστε την απόδειξη που προσφέρει ο Ευκλείδης στα Στοιχεία.
| |
από το κέντρο του κυκλικού κύκλου. Ας ξεκινήσουμε με
τμήμα ΑΒΕ, διαιρούμενο στη μέση τιμή και
Έστω λοιπόν AC=AE. Ας υποδηλώσουμε με α ίσες γωνίες EBC και ΣΕΒ. Εφόσον AC=AE, η γωνία ACE είναι επίσης ίση με a. Το θεώρημα ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες μας επιτρέπει να βρούμε τη γωνία ALL: είναι ίση με 180-2a, και η γωνία EAC είναι 3a - 180. Τότε όμως η γωνία ABC είναι ίση με 180 -ένα. Συνοψίζοντας τις γωνίες του τριγώνου ABC παίρνουμε,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Όπου 5a=360 σημαίνει a=72.
Έτσι, κάθε μία από τις γωνίες βάσης του τριγώνου WEIGHT είναι διπλάσια από τη γωνία κορυφής, που είναι 36 μοίρες. Επομένως, για να κατασκευάσετε ένα κανονικό πεντάγωνο, χρειάζεται μόνο να σχεδιάσετε οποιονδήποτε κύκλο με κέντρο στο σημείο Ε, που τέμνει το EC στο σημείο X και την πλευρά EB στο σημείο Y: το τμήμα XY χρησιμεύει ως μία από τις πλευρές ενός κανονικού πενταγώνου που εγγράφεται στο κύκλος; Περιστρέφοντας ολόκληρο τον κύκλο, μπορείτε να βρείτε όλες τις άλλες πλευρές.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι AC = AE. Ας υποθέσουμε ότι η κορυφή C συνδέεται με ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο N του τμήματος BE. Σημειώστε ότι εφόσον CB = CE, τότε η γωνία CNE είναι ορθή. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Άρα έχουμε (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Άρα, AC = ja = jAB = AE, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί
5.4 Η σπείρα του Αρχιμήδη.
Κόβοντας διαδοχικά τετράγωνα από χρυσά ορθογώνια επ' άπειρον, κάθε φορά συνδέοντας αντίθετα σημεία με το ένα τέταρτο του κύκλου, έχουμε μια αρκετά κομψή καμπύλη. Ο πρώτος που τράβηξε την προσοχή σε αυτό ήταν ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Αρχιμήδης, του οποίου το όνομα φέρει. Το μελέτησε και έβγαλε την εξίσωση αυτής της σπείρας.
Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία.
6.Αριθμοί Fibonacci.
Το όνομα του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο από την Πίζα, που είναι περισσότερο γνωστός με το παρατσούκλι του Φιμπονάτσι (Fibonacci - συντομογραφία filius Bonacci, δηλαδή ο γιος του Μπονάτσι), συνδέεται έμμεσα με τη χρυσή τομή.
Το 1202 έγραψε το βιβλίο «Liber abacci», δηλαδή «Το Βιβλίο του Άβακα». Το "Liber abacci" είναι ένα ογκώδες έργο που περιέχει σχεδόν όλες τις αριθμητικές και αλγεβρικές πληροφορίες εκείνης της εποχής και έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών στην Δυτική Ευρώπητους επόμενους αιώνες. Συγκεκριμένα, από αυτό το βιβλίο οι Ευρωπαίοι εξοικειώθηκαν με τους ινδουιστικούς («αραβικούς») αριθμούς.
Το υλικό που αναφέρεται στο βιβλίο εξηγείται μέσα από ένα μεγάλο αριθμό προβλημάτων που αποτελούν σημαντικό μέρος αυτής της πραγματείας.
Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα:
«Πόσα ζευγάρια κουνελιών γεννιούνται από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο;
Κάποιος τοποθέτησε ένα ζευγάρι κουνέλια σε ένα συγκεκριμένο μέρος, περιφραγμένο από όλες τις πλευρές από έναν τοίχο, για να μάθει πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννηθούν φέτος, αν η φύση των κουνελιών είναι τέτοια που σε ένα μήνα ένα ζευγάρι τα κουνέλια θα αναπαράγουν ένα άλλο και τα κουνέλια γεννούν από τον δεύτερο μήνα μετά τη γέννησή τους».
| Μήνες | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Ζεύγη κουνελιών | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Ας περάσουμε τώρα από τα κουνέλια στους αριθμούς και ας εξετάσουμε την ακόλουθη σειρά αριθμών:
u 1 , u 2 … u n
στην οποία κάθε όρος είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων, δηλ. για οποιοδήποτε n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Αυτή η ακολουθία ασυμπτωτικά (προσεγγίζει όλο και πιο αργά) τείνει σε κάποια σταθερή σχέση. Ωστόσο, αυτός ο λόγος είναι παράλογος, είναι δηλαδή ένας αριθμός με άπειρη, απρόβλεπτη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Είναι αδύνατο να το εκφράσω με ακρίβεια.
Εάν κάποιος όρος της ακολουθίας Fibonacci διαιρεθεί με τον προκάτοχό του (για παράδειγμα, 13:8), το αποτέλεσμα θα είναι μια τιμή που κυμαίνεται γύρω από την παράλογη τιμή του 1,61803398875... και μερικές φορές την υπερβαίνει, μερικές φορές δεν την φτάνει.
Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας και οι αποσβεσμένες ταλαντώσεις του λόγου της γύρω από τον άρρητο αριθμό Ф μπορούν να γίνουν πιο κατανοητές αν δείξουμε τους λόγους των πρώτων όρων της ακολουθίας. Αυτό το παράδειγμα δείχνει τις σχέσεις του δεύτερου όρου με τον πρώτο, τον τρίτο με τον δεύτερο, τον τέταρτο με τον τρίτο και ούτω καθεξής:
1:1 = 1,0000, που είναι μικρότερο από το ph κατά 0,6180
2:1 = 2,0000, που είναι 0,3820 περισσότερο από το phi
3:2 = 1,5000, που είναι μικρότερο από το phi κατά 0,1180
5:3 = 1,6667, που είναι 0,0486 περισσότερο από το phi
8:5 = 1,6000, που είναι μικρότερο από το phi κατά 0,0180
Καθώς μετακινείστε στην ακολουθία αθροίσματος Fibonacci, κάθε νέος όρος θα διαιρεί τον επόμενο με όλο και μεγαλύτερη προσέγγιση στο ανέφικτο F.
Ο άνθρωπος υποσυνείδητα αναζητά τη Θεία αναλογία: χρειάζεται για να ικανοποιήσει την ανάγκη του για άνεση.
Όταν διαιρούμε οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας Fibonacci με το επόμενο, το αποτέλεσμα είναι απλώς το αντίστροφο του 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Αλλά αυτό είναι επίσης ένα πολύ ασυνήθιστο, ακόμη και αξιοσημείωτο φαινόμενο. Δεδομένου ότι ο αρχικός λόγος είναι ένα άπειρο κλάσμα, αυτός ο λόγος δεν πρέπει επίσης να έχει τέλος.
Διαιρώντας κάθε αριθμό με τον επόμενο μετά από αυτόν, παίρνουμε τον αριθμό 0,382
Επιλέγοντας τους λόγους με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε το κύριο σύνολο αναλογιών Fibonacci: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Ας αναφέρουμε επίσης το 0,5.
Θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι ο Fibonacci θύμισε στην ανθρωπότητα μόνο την ακολουθία του, αφού ήταν γνωστή από πίσω ΑΡΧΑΙΑ χρονιαπου ονομάζεται Χρυσή Αναλογία.
Η χρυσή τομή, όπως είδαμε, προκύπτει σε σχέση με ένα κανονικό πεντάγωνο, επομένως οι αριθμοί Fibonacci παίζουν ρόλο σε οτιδήποτε έχει να κάνει με κανονικά πεντάγωνα - κυρτά και σε σχήμα αστεριού.
Η σειρά Fibonacci θα μπορούσε να είχε παραμείνει μόνο ένα μαθηματικό περιστατικό, αν όχι για το γεγονός ότι όλοι οι ερευνητές της χρυσής διαίρεσης στον κόσμο των φυτών και των ζώων, για να μην αναφέρουμε την τέχνη, ήρθαν πάντα σε αυτήν τη σειρά ως αριθμητική έκφραση του νόμου του χρυσού διαίρεση. Οι επιστήμονες συνέχισαν να αναπτύσσουν ενεργά τη θεωρία των αριθμών Fibonacci και τη χρυσή τομή. Ο Yu Matiyasevich λύνει το 10ο πρόβλημα του Hilbert (σχετικά με την επίλυση των εξισώσεων του Διοφαντάνου) χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci. Εμφανίζονται κομψές μέθοδοι για την επίλυση ενός αριθμού κυβερνητικών προβλημάτων (θεωρία αναζήτησης, παιχνίδια, προγραμματισμός) χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή. Στις ΗΠΑ δημιουργείται ακόμη και η Mathematical Fibonacci Association, η οποία εκδίδει ειδικό περιοδικό από το 1963.
Ένα από τα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα είναι η ανακάλυψη γενικευμένων αριθμών Fibonacci και γενικευμένων χρυσών αναλογιών. Η σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) και η «δυαδική» σειρά αριθμών που ανακάλυψε ο ίδιος 1, 2, 4, 8, 16... (δηλαδή μια σειρά αριθμών μέχρι το n , όπου υπάρχει φυσικός αριθμός, λιγότερο από το n μπορεί να αναπαρασταθεί από το άθροισμα ορισμένων αριθμών αυτής της σειράς) με την πρώτη ματιά είναι εντελώς διαφορετικά. Αλλά οι αλγόριθμοι για την κατασκευή τους είναι πολύ παρόμοιοι μεταξύ τους: στην πρώτη περίπτωση, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα του προηγούμενου αριθμού με τον εαυτό του 2 = 1 + 1. 4 = 2 + 2..., στο δεύτερο - αυτό είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Είναι δυνατόν να βρεθεί μια γενική μαθηματικός τύπος από τον οποίο λαμβάνουμε «δυαδικές σειρές και σειρές Fibonacci;
Πράγματι, ας ορίσουμε μια αριθμητική παράμετρο S, η οποία μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Σκεφτείτε σειρά αριθμών, S + 1 από τους πρώτους όρους του οποίου είναι ένα, και καθένας από τους επόμενους ισούται με το άθροισμα δύο όρων του προηγούμενου και απέχει από τον προηγούμενο κατά S βήματα. Αν η θητείαΣυμβολίζουμε αυτή τη σειρά με S (n), παίρνουμε γενικός τύπος S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Είναι προφανές ότι στο S = 0 από αυτόν τον τύπο θα λάβουμε μια "δυαδική" σειρά, στο S = 1 - μια σειρά Fibonacci, στο S = 2, 3, 4 - νέες σειρές αριθμών, οι οποίοι ονομάζονται αριθμοί S-Fibonacci. .
ΣΕ γενική εικόναΗ χρυσή αναλογία S είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης της χρυσής διατομής x S+1 – x S – 1 = 0.
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι στο S = 0 το τμήμα διαιρείται στο μισό και στο S = 1 προκύπτει η γνωστή κλασική χρυσή αναλογία.
Οι λόγοι των γειτονικών αριθμών S Fibonacci συμπίπτουν με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια στο όριο με τις χρυσές αναλογίες S! Δηλαδή, οι χρυσές τομές S είναι αριθμητικές αναλλοίωτες των αριθμών S Fibonacci.
7.Χρυσή τομή στην τέχνη.
7.1. Χρυσή αναλογία στη ζωγραφική.
Προχωρώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορούμε παρά να επικεντρωθούμε στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Η προσωπικότητά του είναι ένα από τα μυστήρια της ιστορίας. Ο ίδιος ο Λεονάρντο ντα Βίντσι είπε: «Κανείς που δεν είναι μαθηματικός να μην τολμήσει να διαβάσει τα έργα μου».
Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ήταν ένας σπουδαίος καλλιτέχνης, αυτό είχε ήδη αναγνωριστεί από τους συγχρόνους του, αλλά η προσωπικότητα και οι δραστηριότητές του θα παραμείνουν τυλιγμένες στο μυστήριο, αφού άφησε στους απογόνους του όχι μια συνεκτική παρουσίαση των ιδεών του, αλλά μόνο πολλές χειρόγραφες σκίτσα, σημειώσεις που λένε «για όλους στον κόσμο».
Το πορτρέτο της Monna Lisa (La Gioconda) έχει προσελκύσει την προσοχή των ερευνητών για πολλά χρόνια, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι η σύνθεση της εικόνας βασίζεται σε χρυσά τρίγωνα, τα οποία αποτελούν μέρη ενός κανονικού πενταγώνου σε σχήμα αστεριού.
Επίσης, η αναλογία της χρυσής τομής εμφανίζεται στον πίνακα του Shishkin. Σε αυτόν τον διάσημο πίνακα του I. I. Shishkin, τα μοτίβα της χρυσής τομής είναι ευδιάκριτα. Ένα ηλιόλουστο πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) διαιρεί το μήκος της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα δεξιά του πεύκου υπάρχει ένας ηλιόλουστος λόφος. Χωρίζει τη δεξιά πλευρά της εικόνας οριζόντια σύμφωνα με τη χρυσή τομή.
Στον πίνακα του Ραφαήλ «Η σφαγή των αθώων» είναι ορατό ένα άλλο στοιχείο της χρυσής αναλογίας - η χρυσή σπείρα. Στο προπαρασκευαστικό σκίτσο του Ραφαήλ, σχεδιάζονται κόκκινες γραμμές που τρέχουν από το σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης - το σημείο όπου τα δάχτυλα του πολεμιστή έκλεισαν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού - κατά μήκος των φιγούρων του παιδιού, της γυναίκας που το κρατάει κοντά, του πολεμιστή με το σπαθί του υψωμένο, και στη συνέχεια κατά μήκος των φιγούρων της ίδιας ομάδας στη δεξιά πλευρά του σκίτσου . Είναι άγνωστο αν ο Ραφαήλ κατασκεύασε τη χρυσή σπείρα ή την ένιωσε.
Ο T. Cook χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή όταν ανέλυσε τον πίνακα του Sandro Botticelli «The Birth of Venus».
7.2. Πυραμίδες της χρυσής τομής.
Οι ιατρικές ιδιότητες των πυραμίδων, ιδιαίτερα η χρυσή τομή, είναι ευρέως γνωστές. Σύμφωνα με μερικές από τις πιο κοινές απόψεις, το δωμάτιο στο οποίο βρίσκεται μια τέτοια πυραμίδα φαίνεται μεγαλύτερο και ο αέρας είναι πιο διαφανής. Τα όνειρα αρχίζουν να θυμούνται καλύτερα. Είναι επίσης γνωστό ότι η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχιτεκτονική και τη γλυπτική. Ένα παράδειγμα αυτού ήταν: το Πάνθεον και ο Παρθενώνας στην Ελλάδα, κτίρια των αρχιτεκτόνων Bazhenov και Malevich
8. Συμπέρασμα.
Πρέπει να πούμε ότι η χρυσή τομή έχει μεγάλη εφαρμογή στη ζωή μας.
Έχει αποδειχθεί ότι το ανθρώπινο σώμα διαιρείται αναλογικά με τη χρυσή τομή από τη γραμμή της ζώνης.
Το κέλυφος του ναυτίλου είναι στριμμένο σαν μια χρυσή σπείρα.
Χάρη στη χρυσή τομή, ανακαλύφθηκε η ζώνη αστεροειδών μεταξύ του Άρη και του Δία - σύμφωνα με την αναλογία, θα έπρεπε να υπάρχει άλλος πλανήτης εκεί.
Η διέγερση της χορδής στο σημείο που τη χωρίζει σε σχέση με τη χρυσή διαίρεση δεν θα προκαλέσει τη δόνηση της χορδής, δηλαδή αυτό είναι το σημείο αντιστάθμισης.
Επί αεροσκάφοςμε πηγές ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας δημιουργούνται ορθογώνιες κυψέλες με την αναλογία της χρυσής τομής.
Η Μόνα Λίζα είναι χτισμένη πάνω σε χρυσά τρίγωνα.
Η αναλογία ανακαλύφθηκε στον πίνακα του Sandro Botticelli "The Birth of Venus"
Υπάρχουν πολλά γνωστά αρχιτεκτονικά μνημεία που χτίστηκαν με τη χρυσή τομή, όπως το Πάνθεον και ο Παρθενώνας στην Αθήνα, κτίρια των αρχιτεκτόνων Bazhenov και Malevich.
Ο Τζον Κέπλερ, ο οποίος έζησε πριν από πέντε αιώνες, είπε: «Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς ο πρώτος είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, ο δεύτερος είναι η διαίρεση ενός τμήματος σε ακραία και μέση αναλογία».
Βιβλιογραφία
1. Δ. Πίδου. Γεωμετρία και τέχνη. – Μ.: Μιρ, 1979.
2. Περιοδικό «Επιστήμη και Τεχνολογία»
3. Περιοδικό «Quantum», 1973, Νο 8.
4. Περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Σχολείο», 1994, Νο. 2; Νο. 3.
5. Kovalev F.V. Χρυσή αναλογία στη ζωγραφική. Κ.: Σχολείο Vyshcha, 1989.
6. Stakhov A. Κώδικες της χρυσής αναλογίας.
7. Βορόμπιεφ Ν.Ν. "Αριθμοί Fibonacci" - Μ.: Nauka 1964
8. «Μαθηματικά – Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά» Μ.: Avanta +, 1998
9. Πληροφορίες από το Διαδίκτυο.
Πίνακες Fibonacci και οι λεγόμενοι «χρυσοί» πίνακες, νέα αριθμητική υπολογιστών, νέα θεωρία κωδικοποίησης και νέα θεωρίακρυπτογράφηση Η ουσία της νέας επιστήμης είναι να αναθεωρήσει όλα τα μαθηματικά από τη σκοπιά της χρυσής τομής, ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα, που, φυσικά, θα συνεπάγεται νέα και σίγουρα πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αποτελέσματα στη θεωρία. Πρακτικά – «χρυσή» μηχανογράφηση. Και από τότε...
Δεν θα επηρεάσει αυτό το αποτέλεσμα. Η βάση της χρυσής αναλογίας είναι αμετάβλητη των αναδρομικών σχέσεων 4 και 6. Αυτό καταδεικνύει τη «σταθερότητα» της χρυσής τομής, μια από τις αρχές οργάνωσης της ζωντανής ύλης. Επίσης, η βάση της χρυσής αναλογίας είναι μια λύση σε δύο εξωτικές αναδρομικές ακολουθίες (Εικ. 4.) Εικ. 4 αναδρομικές ακολουθίες Fibonacci...
Το αυτί είναι j5 και η απόσταση από το αυτί μέχρι το στέμμα είναι j6. Έτσι, σε αυτό το άγαλμα βλέπουμε μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Εικ.9). Έτσι, η χρυσή τομή είναι μια από τις θεμελιώδεις αρχές στην τέχνη της αρχαίας Ελλάδας. Ρυθμοί της καρδιάς και του εγκεφάλου. Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά ομοιόμορφα - περίπου 60 παλμούς το λεπτό σε ηρεμία. Η καρδιά μου σφίγγει σαν έμβολο...
Το επεξηγηματικό λεξικό του Ozhegov αναφέρει ότι ένα πεντάγωνο είναι ένα οριοθετημένο από πέντε τεμνόμενες γραμμές που σχηματίζουν πέντε εσωτερικές γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο παρόμοιου σχήματος. Αν ένα δεδομένο πολύγωνο έχει όλες τις ίδιες πλευρές και γωνίες, τότε ονομάζεται κανονικό (πεντάγωνο).
Τι είναι ενδιαφέρον για το κανονικό πεντάγωνο;
Με αυτή τη μορφή χτίστηκε το γνωστό κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών. Από ογκομετρικό κανονικά πολύεδραμόνο το δωδεκάεδρο έχει όψεις σε σχήμα πενταγώνου. Και στη φύση δεν υπάρχουν απολύτως κρύσταλλα των οποίων τα πρόσωπα θα έμοιαζαν με ένα κανονικό πεντάγωνο. Επιπλέον, αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με ελάχιστο αριθμό γωνιών, το οποίο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να πλακώσει την περιοχή. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τον αριθμό των πλευρών του. Συμφωνώ, αυτό είναι ενδιαφέρον!
Βασικές ιδιότητες και τύποι
Χρησιμοποιώντας τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει ένα πεντάγωνο.
- Κεντρική γωνία α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Εσωτερική γωνία β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Αντίστοιχα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 540°.
- Ο λόγος της διαγωνίου προς την πλευρά είναι (1+√5) /2, δηλαδή (περίπου 1,618).
- Το μήκος πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους, ανάλογα με το ποια παράμετρος είναι ήδη γνωστή:
- εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω του και η ακτίνα του R είναι γνωστή, τότε a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- στην περίπτωση που ένας κύκλος με ακτίνα r εγγράφεται σε κανονικό πεντάγωνο, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- συμβαίνει αντί για ακτίνες να είναι γνωστή η τιμή της διαγωνίου D, τότε η πλευρά προσδιορίζεται ως εξής: a ≈ D/1,618.
- Το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου προσδιορίζεται, πάλι, ανάλογα με την παράμετρο που γνωρίζουμε:
- εάν υπάρχει εγγεγραμμένος ή περιγεγραμμένος κύκλος, τότε χρησιμοποιείται ένας από τους δύο τύπους:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r ή S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R2;
- Η περιοχή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί γνωρίζοντας μόνο το μήκος της πλευρικής πλευράς α:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2.
Κανονικό πεντάγωνο: κατασκευή
Αυτό γεωμετρικό σχήμαμπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, τοποθετήστε το σε έναν κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή χτίστε το με βάση μια δεδομένη πλευρά. Η αλληλουχία των ενεργειών περιγράφηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. Σε κάθε περίπτωση, θα χρειαστούμε πυξίδα και χάρακα. Ας εξετάσουμε μια μέθοδο κατασκευής χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο κύκλο.
1. Επιλέξτε μια αυθαίρετη ακτίνα και σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώνοντας το κέντρο του με το σημείο Ο.
2. Στην κυκλική γραμμή, επιλέξτε ένα σημείο που θα χρησιμεύσει ως μία από τις κορυφές του πενταγώνου μας. Έστω αυτό το σημείο Α. Συνδέστε τα σημεία Ο και Α με μια ευθεία γραμμή.
3. Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο Ο κάθετη στην ευθεία ΟΑ. Προσδιορίστε την τομή αυτής της ευθείας με την κυκλική γραμμή ως σημείο Β.
4. Στα μισά του δρόμου μεταξύ των σημείων Ο και Β, κατασκευάστε το σημείο Γ.
5. Τώρα σχεδιάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο θα βρίσκεται στο σημείο Γ και ο οποίος θα διέρχεται από το σημείο Α. Η θέση της τομής του με την ευθεία ΟΒ (θα είναι μέσα στον πρώτο κιόλας κύκλο) θα είναι το σημείο Δ.
6. Κατασκευάστε έναν κύκλο που θα διέρχεται από το Δ, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Α. Τα σημεία τομής του με τον αρχικό κύκλο να σημειωθούν με τα σημεία Ε και ΣΤ.
7. Τώρα κατασκευάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο θα είναι στο Ε. Αυτό πρέπει να γίνει έτσι ώστε να διέρχεται από το Α. Η άλλη τομή του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να σημειωθεί
8. Τέλος, κατασκευάστε έναν κύκλο μέσω του A με το κέντρο του στο σημείο F. Σημειώστε την άλλη τομή του αρχικού κύκλου με το σημείο H.
9. Τώρα το μόνο που μένει είναι να συνδέσουμε τις κορυφές A, E, G, H, F. Το κανονικό μας πεντάγωνο θα είναι έτοιμο!
