Πώς να λύσετε γρήγορα λογαριθμικές εξισώσεις. Λογαριθμική εξίσωση: λύση με παραδείγματα

Λογαριθμικές εξισώσεις. Από απλό σε σύνθετο.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τι είναι η λογαριθμική εξίσωση;

Αυτή είναι μια εξίσωση με λογάριθμους. Είμαι έκπληκτος, σωστά;) Τότε θα διευκρινίσω. Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις με αυτούς μέσα σε λογαρίθμους.Και μόνο εκεί! Αυτό είναι σημαντικό.

Εδώ είναι μερικά παραδείγματα λογαριθμικές εξισώσεις:

log 3 x = log 3 9

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Λοιπόν, καταλαβαίνεις... )

Δίνω προσοχή! Εντοπίζονται οι πιο διαφορετικές εκφράσεις με Χ αποκλειστικά εντός λογαρίθμων.Αν ξαφνικά εμφανιστεί ένα Χ κάπου στην εξίσωση εκτός, Για παράδειγμα:

ημερολόγιο 2 x = 3+x,

αυτή θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες για την επίλυσή τους. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Παρεμπιπτόντως, υπάρχουν εξισώσεις όπου μέσα στους λογάριθμους μόνο αριθμοί. Για παράδειγμα:

Τι να πω; Είστε τυχεροί αν το συναντήσετε! Λογάριθμος με αριθμούς είναι κάποιο νούμερο.Αυτό είναι όλο. Αρκεί να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων για να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση. Γνώση ειδικών κανόνων, τεχνικών προσαρμοσμένων ειδικά για επίλυση λογαριθμικές εξισώσεις,δεν απαιτείται εδώ.

Ετσι, τι είναι η λογαριθμική εξίσωση- το κατάλαβα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Διάλυμα λογαριθμικές εξισώσεις- Το πράγμα στην πραγματικότητα δεν είναι πολύ απλό. Έτσι, το τμήμα μας είναι ένα τέσσερα... Χρειάζεστε μια αξιοπρεπή ποσότητα γνώσεων για όλα τα είδη των πραγμάτων σχετικά θέματα. Επιπλέον, υπάρχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό σε αυτές τις εξισώσεις. Και αυτό το χαρακτηριστικό είναι τόσο σημαντικό που μπορεί με ασφάλεια να ονομαστεί το κύριο πρόβλημα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Θα ασχοληθούμε με αυτό το πρόβλημα λεπτομερώς στο επόμενο μάθημα.

Προς το παρόν, μην ανησυχείς. Θα πάμε στον σωστό δρόμο από απλό σε σύνθετο.Επί συγκεκριμένα παραδείγματα. Το κύριο πράγμα είναι να εμβαθύνετε σε απλά πράγματα και να μην τεμπελιάζετε να ακολουθήσετε τους συνδέσμους, τους έβαλα εκεί για έναν λόγο... Και όλα θα σας πάνε καλά. Αναγκαίως.

Ας ξεκινήσουμε με τις πιο στοιχειώδεις, απλούστερες εξισώσεις. Για να τα λύσετε, καλό είναι να έχετε μια ιδέα για τον λογάριθμο, αλλά τίποτα περισσότερο. Απλά καμία ιδέα λογάριθμος,να λάβει μια απόφαση λογαριθμικήεξισώσεις - κάπως και άβολες... Πολύ τολμηρές, θα έλεγα).

Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις.

Αυτές είναι οι εξισώσεις της μορφής:

1. ημερολόγιο 3 x = ημερολόγιο 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. ημερολόγιο 7 (50x-1) = 2

Διαδικασία λύσης οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωσησυνίσταται στη μετάβαση από μια εξίσωση με λογάριθμους σε μια εξίσωση χωρίς αυτούς. Στις απλούστερες εξισώσεις αυτή η μετάβαση πραγματοποιείται σε ένα βήμα. Γι' αυτό είναι τα πιο απλά.)

Και τέτοιες λογαριθμικές εξισώσεις είναι εκπληκτικά εύκολο να λυθούν. Δείτε μόνοι σας.

Ας λύσουμε το πρώτο παράδειγμα:

log 3 x = log 3 9

Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, δεν χρειάζεται να γνωρίζετε σχεδόν τίποτα, ναι... Καθαρά διαίσθηση!) Τι χρειαζόμαστε ειδικάδεν σου αρέσει αυτό το παράδειγμα; Τι-τι... Δεν μου αρέσουν οι λογάριθμοι! Δικαίωμα. Ας τα ξεφορτωθούμε λοιπόν. Κοιτάμε προσεκτικά το παράδειγμα, και μας γεννιέται μια φυσική επιθυμία... Εντελώς ακαταμάχητη! Πάρτε και πετάξτε τους λογάριθμους εντελώς. Και το καλό είναι αυτό Κουτίκάνω! Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Οι λογάριθμοι εξαφανίζονταιη απάντηση είναι:

Τέλεια, σωστά; Αυτό μπορεί (και πρέπει) να γίνεται πάντα. Η εξάλειψη των λογαρίθμων με αυτόν τον τρόπο είναι ένας από τους κύριους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Στα μαθηματικά αυτή η πράξη ονομάζεται ενίσχυση.Φυσικά, υπάρχουν κανόνες για μια τέτοια εκκαθάριση, αλλά είναι λίγοι. Θυμάμαι:

Μπορείτε να εξαλείψετε τους λογάριθμους χωρίς φόβο εάν έχουν:

α) τις ίδιες αριθμητικές βάσεις

γ) Οι λογάριθμοι από αριστερά προς τα δεξιά είναι καθαροί (χωρίς συντελεστές) και βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση.

Επιτρέψτε μου να διευκρινίσω το τελευταίο σημείο. Στην εξίσωση, ας πούμε

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Οι λογάριθμοι δεν μπορούν να αφαιρεθούν. Οι δύο στα δεξιά δεν το επιτρέπουν. Ο συντελεστής ξέρετε... Στο παράδειγμα

ημερολόγιο 3 x+log 3 (x+1) = ημερολόγιο 3 (3+x)

Είναι επίσης αδύνατο να ενισχυθεί η εξίσωση. Δεν υπάρχει μόνος λογάριθμος στην αριστερή πλευρά. Υπάρχουν δύο από αυτούς.

Εν ολίγοις, μπορείτε να αφαιρέσετε λογάριθμους εάν η εξίσωση μοιάζει με αυτό και μόνο ως εξής:

log a (.....) = log a (.....)

Σε παρένθεση, όπου υπάρχει έλλειψη, μπορεί να υπάρχει τυχόν εκφράσεις.Απλό, σούπερ σύνθετο, όλων των ειδών. Οτιδήποτε. Το σημαντικό είναι ότι μετά την εξάλειψη των λογαρίθμων μας μένει απλούστερη εξίσωση.Υποτίθεται, φυσικά, ότι γνωρίζετε ήδη πώς να επιλύετε γραμμικές, τετραγωνικές, κλασματικές, εκθετικές και άλλες εξισώσεις χωρίς λογάριθμους.)

Τώρα μπορείτε εύκολα να λύσετε το δεύτερο παράδειγμα:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Στην πραγματικότητα, αποφασίζεται στο μυαλό. Δυναμώνουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, είναι πολύ δύσκολο;) Όπως μπορείτε να δείτε, λογαριθμικήμέρος της λύσης της εξίσωσης είναι μόνο στην εξάλειψη των λογαρίθμων...Και μετά έρχεται η λύση στην υπόλοιπη εξίσωση χωρίς αυτά. Ασήμαντο θέμα.

Ας λύσουμε το τρίτο παράδειγμα:

ημερολόγιο 7 (50x-1) = 2

Βλέπουμε ότι υπάρχει ένας λογάριθμος στα αριστερά:

Ας θυμηθούμε ότι αυτός ο λογάριθμος είναι κάποιος αριθμός στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση (δηλαδή επτά) για να ληφθεί μια υπολογαριθμική έκφραση, δηλ. (50x-1).

Αλλά αυτός ο αριθμός είναι δύο! Σύμφωνα με την Εξ. Ετσι:

Αυτό είναι βασικά όλο. Λογάριθμος εξαφανίστηκε,Αυτό που μένει είναι μια αβλαβής εξίσωση:

Λύσαμε αυτή τη λογαριθμική εξίσωση με βάση μόνο τη σημασία του λογαρίθμου. Είναι ακόμα πιο εύκολο να εξαλειφθούν οι λογάριθμοι;) Συμφωνώ. Παρεμπιπτόντως, αν κάνετε έναν λογάριθμο από δύο, μπορείτε να λύσετε αυτό το παράδειγμα μέσω της εξάλειψης. Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γίνει λογάριθμος. Επιπλέον, με τον τρόπο που το χρειαζόμαστε. Μια πολύ χρήσιμη τεχνική στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και (ειδικά!) ανισώσεων.

Δεν ξέρετε πώς να φτιάξετε έναν λογάριθμο από έναν αριθμό!; Είναι εντάξει. Η ενότητα 555 περιγράφει λεπτομερώς αυτήν την τεχνική. Μπορείτε να το κατακτήσετε και να το χρησιμοποιήσετε στο έπακρο! Μειώνει σημαντικά τον αριθμό των σφαλμάτων.

Η τέταρτη εξίσωση λύνεται με εντελώς παρόμοιο τρόπο (εξ ορισμού):

Αυτό είναι όλο.

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα. Εξετάσαμε τη λύση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Αυτό είναι πολύ σημαντικό. Και όχι μόνο επειδή τέτοιες εξισώσεις εμφανίζονται σε τεστ και εξετάσεις. Γεγονός είναι ότι ακόμη και οι πιο κακές και περίπλοκες εξισώσεις αναγκαστικά ανάγονται στις πιο απλές!

Στην πραγματικότητα, οι απλούστερες εξισώσεις είναι το τελικό μέρος της λύσης κάθεεξισώσεις. Και αυτό το τελευταίο μέρος πρέπει να γίνει κατανοητό αυστηρά! Και κάτι ακόμα. Φροντίστε να διαβάσετε αυτή τη σελίδα μέχρι το τέλος. Υπάρχει μια έκπληξη...)

Τώρα αποφασίζουμε μόνοι μας. Ας γίνουμε καλύτερα, ας πούμε...)

Βρείτε τη ρίζα (ή το άθροισμα των ριζών, αν υπάρχουν πολλές) των εξισώσεων:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

ημερολόγιο 2 (x 2 +32) = ημερολόγιο 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

ημερολόγιο 2 (14x) = ημερολόγιο 2 7 + 2

Απαντήσεις (σε αταξία, φυσικά): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Τι, δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Μην ανησυχείς! Η ενότητα 555 εξηγεί τη λύση σε όλα αυτά τα παραδείγματα με σαφή και λεπτομερή τρόπο. Σίγουρα θα το καταλάβεις εκεί. Θα μάθετε επίσης χρήσιμες πρακτικές τεχνικές.

Όλα λειτούργησαν!? Όλα τα παραδείγματα του «ένας έφυγε»;) Συγχαρητήρια!

Ήρθε η ώρα να σας αποκαλύψουμε την πικρή αλήθεια. Η επιτυχής επίλυση αυτών των παραδειγμάτων δεν εγγυάται την επιτυχία στην επίλυση όλων των άλλων λογαριθμικών εξισώσεων. Ακόμα και τα πιο απλά σαν κι αυτά. Αλίμονο.

Το γεγονός είναι ότι η λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης (ακόμη και της πιο στοιχειώδους!) αποτελείται από δύο ίσα μέρη.Επίλυση της εξίσωσης και εργασία με ODZ. Έχουμε κατακτήσει ένα μέρος - την επίλυση της ίδιας της εξίσωσης. Δεν είναι τόσο δύσκολοδικαίωμα;

Για αυτό το μάθημα, επέλεξα ειδικά παραδείγματα στα οποία το DL δεν επηρεάζει την απάντηση με κανέναν τρόπο. Αλλά δεν είναι όλοι τόσο ευγενικοί όσο εγώ, σωστά;...)

Επομένως, είναι επιτακτική ανάγκη να κυριαρχήσετε το άλλο μέρος. ODZ. Αυτό είναι το κύριο πρόβλημα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Και όχι επειδή είναι δύσκολο - αυτό το μέρος είναι ακόμα πιο εύκολο από το πρώτο. Αλλά επειδή οι άνθρωποι απλά ξεχνάνε την ODZ. Ή δεν ξέρουν. Ή και τα δύο). Και πέφτουν από το μπλε...

Στο επόμενο μάθημα θα ασχοληθούμε με αυτό το πρόβλημα. Τότε μπορείτε να αποφασίσετε με σιγουριά κάθεαπλές λογαριθμικές εξισώσεις και προσέγγιση αρκετά στέρεων εργασιών.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Πριν λύσουμε λογαριθμικές εξισώσεις, ας επαναλάβουμε για άλλη μια φορά τον ορισμό του λογαρίθμου και τους βασικούς τύπους.

Λογάριθμος θετικός αριθμός σιμε βάση ένα- αυτός είναι ένας δείκτης της δύναμης στην οποία πρέπει να αυξηθεί ένανα πάρει σι.

Σε αυτήν την περίπτωση, class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Ας δώσουμε προσοχή στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών του λογάριθμου:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Βασικοί τύποι για λογάριθμους:

(Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων)

(Ο λογάριθμος του πηλίκου είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων)
(Τύπος για τον λογάριθμο ισχύος)

Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση:

Γνωρίζουμε πώς μοιάζει το γράφημα μιας λογαριθμικής συνάρτησης. Αυτή η λειτουργία είναι μονότονη. Αν η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από μία, η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα. Αν η βάση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και λιγότερο από ένα, η λογαριθμική συνάρτηση μειώνεται μονότονα. Και σε κάθε περίπτωση, παίρνει κάθε μία από τις τιμές της μόνο μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι αν οι λογάριθμοι δύο αριθμών είναι ίσοι με οποιαδήποτε βάση, τότε οι ίδιοι οι αριθμοί είναι ίσοι.

Όλα αυτά θα μας φανούν χρήσιμα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων.

Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις

1. Λύστε την εξίσωση:

Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίσες, οι ίδιοι οι λογάριθμοι είναι επίσης ίσοι, πράγμα που σημαίνει ότι ίσοι είναι και οι αριθμοί από τους οποίους λαμβάνονται.
Συνήθως, οι μαθητές θυμούνται αυτόν τον κανόνα σε μια σύντομη διατύπωση ορολογίας: "Ας απορρίψουμε τους λογάριθμους!" Φυσικά, τα «απορρίπτουμε» όχι απλώς έτσι, αλλά χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης.

Παίρνουμε:

Όταν λύνετε λογαριθμικές εξισώσεις, μην ξεχνάτε εύρος αποδεκτών τιμώνλογάριθμος Θυμηθείτε ότι η έκφραση ορίζεται με class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Είναι πολύ καλό αν, έχοντας βρει τη ρίζα της εξίσωσης, απλώς την αντικαταστήσετε στην εξίσωση. Εάν μετά από μια τέτοια αντικατάσταση η αριστερή ή η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν έχει νόημα, σημαίνει ότι ο αριθμός που βρέθηκε δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης και δεν μπορεί να είναι η απάντηση στο πρόβλημα. Αυτό καλός τρόποςεξετάσεις για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.

2. Λύστε την εξίσωση:

Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ο λογάριθμος, στα δεξιά ο αριθμός 7. Εφαρμόζοντας τη βασική λογαριθμική ταυτότητα, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό 7 στη μορφή . Τότε όλα είναι απλά.

Απάντηση: -124

3. Λύστε την εξίσωση:

Βλέπετε τον αριθμό 2 μπροστά από τον λογάριθμο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης; Τώρα σας εμποδίζει να «ρίξετε τους λογάριθμους». Τι πρέπει να το κάνω ώστε η αριστερή και η δεξιά πλευρά να είναι απλά λογάριθμοι με βάση τη βάση 5; Φυσικά, ο τύπος για τον λογάριθμο του πτυχίου θα βοηθήσει.

4. Λύστε την εξίσωση:

Εύρος αποδεκτών τιμών: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

Ας αντιπροσωπεύσουμε το 2 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης ως - έτσι ώστε η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης να είναι λογάριθμοι της βάσης 5.

Η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα και παίρνει κάθε τιμή ακριβώς μία φορά. Οι λογάριθμοι είναι ίσοι, οι βάσεις τους είναι ίσες. Ας «πετάξουμε» τους λογάριθμους! Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση class="tex" alt="x> -4">.!}

5. Λύστε την εξίσωση:

Ας γράψουμε τη λύση ως μια αλυσίδα ισοδύναμων μεταβάσεων. Καταγράφουμε το ODZ και «αφαιρούμε» τους λογάριθμους:

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Αριστερό δεξί βέλος \αριστερά\(\αρχή(μήτρα) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrix)\ δεξιά.\Αριστερό δεξί βέλος x=-4">!}
Απάντηση: -4.

Σημειώστε ότι οι λύσεις των λογαριθμικών εξισώσεων γράφονται καλύτερα με τη μορφή μιας αλυσίδας ισοδύναμων μεταβάσεων. Αυτό θα μας βοηθήσει να μην ξεχνάμε το εύρος των αποδεκτών τιμών.

6.Λύστε την εξίσωση: .

Ας μετακινηθούμε από τον λογάριθμο βάσης 4 (στον εκθέτη) στον λογάριθμο βάσης 2 Το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μετάβαση σε άλλη βάση:

Ας γράψουμε τη λύση ως μια αλυσίδα ισοδύναμων μεταβάσεων.

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\αριστερά (4x+5 \δεξιά)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrix)\right.\αριστερό δεξί βέλος \αριστερά\(\begin(matrix) \αριστερά (2^(\log _(2)\αριστερά (4x+5 \δεξιά)) \δεξιά)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ start(matrix) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.">!}

7.Λύστε την εξίσωση: .

Σημείωση: μεταβλητή Χτόσο κάτω από τον λογάριθμο όσο και στη βάση του λογάριθμου. Θυμόμαστε ότι η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι θετική και όχι ίση με 1.

ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}

Τώρα μπορείτε να «αφαιρέσετε» λογάριθμους.

Μια εξωτερική ρίζα επειδή πρέπει να πληρούται η συνθήκη class="tex" alt="x> 0)">.!}

8. Λύστε την εξίσωση.

Εξισώσεις ODZ: class="tex" alt="x> 0">!}

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Όπως και στις αλγεβρικές εξισώσεις, κάνουμε αλλαγές μεταβλητών όποτε είναι δυνατόν.

Ας επιστρέψουμε στη μεταβλητή Χ:

9. Λύστε την εξίσωση:

Η έκφραση κάτω από τον λογάριθμο είναι πάντα θετική - αφού προσθέτουμε 25 σε μια μη αρνητική τιμή Η έκφραση κάτω από τη ρίζα στη δεξιά πλευρά είναι επίσης θετική. Μέσα, Χμπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ας φανταστούμε το άθροισμα των λογαρίθμων στην αριστερή πλευρά ως τον λογάριθμο του γινομένου. Στη δεξιά πλευρά, ας προχωρήσουμε στον λογάριθμο βάσης 3 και χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον λογάριθμο της ισχύος.

«Απόρριψη» λογαρίθμων.

Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διτετραγωνική. Περιλαμβάνει εκφράσεις και . Ας κάνουμε μια αντικατάσταση

Ας επιστρέψουμε στη μεταβλητή Χ. Παίρνουμε:

Βρήκαμε όλες τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Μπορεί επίσης να συναντήσετε λογαριθμικές εξισώσεις στην εργασία Νο. 5 Προφίλ Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά και στην εργασία Νο. 13. Και αν στην εργασία Νο. 5 πρέπει να λύσετε την απλούστερη εξίσωση, τότε στην εργασία 13 η λύση αποτελείται από δύο σημεία. Το δεύτερο σημείο είναι η επιλογή των ριζών σε ένα δεδομένο τμήμα ή διάστημα.

Η προετοιμασία για το τελικό τεστ στα μαθηματικά περιλαμβάνει μια σημαντική ενότητα - "Λογάριθμοι". Τα καθήκοντα από αυτό το θέμα περιέχονται απαραίτητα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Η εμπειρία από τα προηγούμενα χρόνια δείχνει ότι οι λογαριθμικές εξισώσεις έχουν προκαλέσει δυσκολίες σε πολλούς μαθητές. Επομένως, οι μαθητές με διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης πρέπει να κατανοήσουν πώς να βρουν τη σωστή απάντηση και να τις αντιμετωπίσουν γρήγορα.

Περάστε με επιτυχία το τεστ πιστοποίησης χρησιμοποιώντας την εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo!

Στο πλαίσιο της προετοιμασίας για το ενιαίο κρατική εξέτασηοι απόφοιτοι λυκείου απαιτούν μια αξιόπιστη πηγή που παρέχει την πιο πλήρη και ακριβείς πληροφορίεςγια μια επιτυχημένη λύση προβλήματα δοκιμής. Ωστόσο, ένα εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο και η αναζήτηση των απαραίτητων κανόνων και τύπων στο Διαδίκτυο απαιτεί συχνά χρόνο.

Η εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo σάς επιτρέπει να προετοιμαστείτε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση οπουδήποτε και ανά πάσα στιγμή. Ο ιστότοπός μας προσφέρει την πιο βολική προσέγγιση για την επανάληψη και την αφομοίωση μεγάλου όγκου πληροφοριών σχετικά με λογάριθμους, καθώς και με ένα και πολλά άγνωστα. Ξεκινήστε με εύκολες εξισώσεις. Εάν τα αντιμετωπίζετε χωρίς δυσκολία, προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Εάν δυσκολεύεστε να λύσετε μια συγκεκριμένη ανισότητα, μπορείτε να την προσθέσετε στα Αγαπημένα σας για να επιστρέψετε σε αυτήν αργότερα.

Μπορείτε να βρείτε τους απαραίτητους τύπους για να ολοκληρώσετε την εργασία, να επαναλάβετε ειδικές περιπτώσεις και μεθόδους για τον υπολογισμό της ρίζας μιας τυπικής λογαριθμικής εξίσωσης κοιτάζοντας την ενότητα «Θεωρητική βοήθεια». Οι δάσκαλοι του Shkolkovo συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και περιέγραψαν όλα τα απαραίτητα επιτυχής ολοκλήρωσηυλικά στην πιο απλή και κατανοητή μορφή.

Για να αντιμετωπίσετε εύκολα εργασίες οποιασδήποτε πολυπλοκότητας, στην πύλη μας μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη λύση ορισμένων τυπικών λογαριθμικών εξισώσεων. Για να το κάνετε αυτό, μεταβείτε στην ενότητα "Κατάλογοι". Έχουμε μεγάλο αριθμό παραδειγμάτων, συμπεριλαμβανομένων αυτών με εξισώσεις προφίλ Επίπεδο Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά.

Οι μαθητές από σχολεία σε όλη τη Ρωσία μπορούν να χρησιμοποιήσουν την πύλη μας. Για να ξεκινήσετε μαθήματα, απλώς εγγραφείτε στο σύστημα και ξεκινήστε να λύνετε εξισώσεις. Για την ενοποίηση των αποτελεσμάτων, σας συμβουλεύουμε να επιστρέφετε καθημερινά στον ιστότοπο Shkolkovo.

Τα μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο από επιστήμη, αυτή είναι η γλώσσα της επιστήμης.

Ο Δανός φυσικός και δημόσιο πρόσωπο Niels Bohr

Λογαριθμικές εξισώσεις

Μεταξύ των τυπικών εργασιών, προσφέρονται στις εισαγωγικές (αγωνιστικές) δοκιμασίες, είναι τα καθήκοντα, που σχετίζονται με την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων και να έχετε τις δεξιότητες να τους χρησιμοποιήσετε.

Αυτό το άρθρο εισάγει αρχικά τις βασικές έννοιες και ιδιότητες των λογαρίθμων., και στη συνέχεια εξετάζονται παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων.

Βασικές έννοιες και ιδιότητες

Αρχικά, παρουσιάζουμε τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων, η χρήση των οποίων επιτρέπει σε κάποιον να λύσει με επιτυχία σχετικά πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις.

Η κύρια λογαριθμική ταυτότητα γράφεται ως

, (1)

Μεταξύ των πιο γνωστών ιδιοτήτων των λογαρίθμων είναι οι ακόλουθες ισότητες:

1. Εάν , , και , τότε , ,

2. Αν , , , και , τότε .

3. Αν , , και , τότε .

4. Εάν , , και φυσικός αριθμός, Αυτό

5. Εάν , , και φυσικός αριθμός, Αυτό

6. Αν , , και , τότε .

7. Αν , , και , τότε .

Οι πιο σύνθετες ιδιότητες των λογαρίθμων διατυπώνονται μέσω των παρακάτω δηλώσεων:

8. Αν , , , και , τότε

9. Αν , , και , τότε

10. Αν , , , και , τότε

Η απόδειξη των δύο τελευταίων ιδιοτήτων των λογαρίθμων δίνεται στο εγχειρίδιο του συγγραφέα «Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: πρόσθετες ενότητες σχολικών μαθηματικών» (M.: Lenand / URSS, 2014).

Αξίζει επίσης να σημειωθείποια είναι η λειτουργία αυξάνεται, αν , και φθίνουσα , αν .

Ας δούμε παραδείγματα προβλημάτων επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων, τακτοποιημένα κατά σειρά αυξανόμενης δυσκολίας.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση

. (2)

Διάλυμα.Από την εξίσωση (2) έχουμε . Ας μετατρέψουμε την εξίσωση ως εξής: , ή .

Επειδή, τότε η ρίζα της εξίσωσης (2) είναι.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση

Διάλυμα. Η εξίσωση (3) είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις

Ή .

Από εδώ παίρνουμε .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 3. Λύστε την εξίσωση

Διάλυμα. Από την εξίσωση (4) προκύπτει, Τι . Χρησιμοποιώντας τη βασική λογαριθμική ταυτότητα (1), μπορούμε να γράψουμε

ή .

Αν βάλεις τότε από εδώ παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση, που έχει δύο ρίζεςΚαι . Ωστόσο, επομένως και κατάλληλη ρίζα της εξίσωσηςείναι μόνο . Από τότε ή .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4. Λύστε την εξίσωση

Διάλυμα.Εύρος επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητήςστην εξίσωση (5) είναι.

Ας είναι . Από τη λειτουργίαστον τομέα του ορισμού μειώνεταικαι τη συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, μετά η εξίσωση δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες.

Με επιλογή βρίσκουμε τη μοναδική ρίζα.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 5. Λύστε την εξίσωση.

Διάλυμα.Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης ληφθούν λογαριθμικά στη βάση 10, τότε

Ή .

Λύνοντας τη δευτεροβάθμια εξίσωση για , παίρνουμε και . Επομένως, εδώ έχουμε και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 6. Λύστε την εξίσωση

. (6)

Διάλυμα.Ας χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα (1) και ας μετατρέψουμε την εξίσωση (6) ως εξής:

Ή .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 7. Λύστε την εξίσωση

. (7)

Διάλυμα.Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιοκτησία 9, έχουμε . Από αυτή την άποψη, η εξίσωση (7) παίρνει τη μορφή

Από εδώ παίρνουμε ή .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 8. Λύστε την εξίσωση

. (8)

Διάλυμα.Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 9 και ας ξαναγράψουμε την εξίσωση (8) στην ισοδύναμη μορφή.

Αν στη συνέχεια ορίσουμε, τότε παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση, Πού . Από την εξίσωσηέχει μόνο μια θετική ρίζα, τότε ή . Από εδώ προκύπτει.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9. Λύστε την εξίσωση

. (9)

Διάλυμα. Αφού από την εξίσωση (9) προκύπτειτότε εδώ. Σύμφωνα με την ιδιοκτησία 10, μπορεί να γραφτεί.

Από αυτή την άποψη, η εξίσωση (9) θα είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις

Ή .

Από εδώ παίρνουμε τη ρίζα της εξίσωσης (9).

Παράδειγμα 10. Λύστε την εξίσωση

. (10)

Διάλυμα.Το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής στην εξίσωση (10) είναι . Σύμφωνα με την ιδιότητα 4, εδώ έχουμε

. (11)

Αφού , τότε η εξίσωση (11) παίρνει τη μορφή τετραγωνική εξίσωση, Πού . Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι και .

Από τότε και . Από εδώ παίρνουμε και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 11. Λύστε την εξίσωση

. (12)

Διάλυμα.Ας δηλώσουμε τότε και η εξίσωση (12) παίρνει τη μορφή

Ή

. (13)

Είναι εύκολο να δούμε ότι η ρίζα της εξίσωσης (13) είναι . Ας το δείξουμε δεδομένη εξίσωσηδεν έχει άλλες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε και τις δύο πλευρές και λάβετε την ισοδύναμη εξίσωση

. (14)

Εφόσον η συνάρτηση είναι φθίνουσα και η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, τότε η εξίσωση (14) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες. Εφόσον οι εξισώσεις (13) και (14) είναι ισοδύναμες, η εξίσωση (13) έχει μία μόνο ρίζα.

Από τότε και .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12. Λύστε την εξίσωση

. (15)

Διάλυμα.Ας υποδηλώσουμε και . Εφόσον η συνάρτηση μειώνεται στο πεδίο ορισμού και η συνάρτηση αυξάνεται για οποιεσδήποτε τιμές, η εξίσωση δεν μπορεί να έχει την ίδια ρίζα. Με άμεση επιλογή καθορίζουμε ότι η επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης (15) είναι .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 13. Λύστε την εξίσωση

. (16)

Διάλυμα.Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, παίρνουμε

Από τότε και έχουμε ανισότητα

Η προκύπτουσα ανισότητα συμπίπτει με την εξίσωση (16) μόνο στην περίπτωση που ή .

Με αντικατάσταση αξίαςστην εξίσωση (16) είμαστε πεπεισμένοι ότι, Τι είναι η ρίζα του.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 14. Λύστε την εξίσωση

. (17)

Διάλυμα.Αφού εδώ , τότε η εξίσωση (17) παίρνει τη μορφή .

Αν βάλουμε , τότε παίρνουμε την εξίσωση

, (18)

Που . Από την εξίσωση (18) προκύπτει: ή . Επειδή, η εξίσωση έχει μία κατάλληλη ρίζα. Ωστόσο, γι' αυτό.

Παράδειγμα 15. Λύστε την εξίσωση

. (19)

Διάλυμα.Ας υποδηλώσουμε , τότε η εξίσωση (19) παίρνει τη μορφή . Αν πάρουμε αυτή την εξίσωση στη βάση 3, παίρνουμε

Ή

Από αυτό προκύπτει ότι και . Από τότε και . Από αυτή την άποψη, και.

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 16. Λύστε την εξίσωση

. (20)

Διάλυμα. Ας εισάγουμε την παράμετροκαι ξαναγράψτε την εξίσωση (20) με τη μορφή τετραγωνικής εξίσωσης ως προς την παράμετρο, δηλ.

. (21)

Οι ρίζες της εξίσωσης (21) είναι

ή , . Αφού , έχουμε εξισώσεις και . Από εδώ παίρνουμε και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 17. Λύστε την εξίσωση

. (22)

Διάλυμα.Για να καθοριστεί το πεδίο ορισμού της μεταβλητής στην εξίσωση (22), είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ένα σύνολο τριών ανισοτήτων: , και .

Εφαρμογή ιδιοκτησίας 2, από την εξίσωση (22) παίρνουμε

Ή

. (23)

Αν στην εξίσωση (23) βάλουμε, τότε παίρνουμε την εξίσωση

. (24)

Η εξίσωση (24) θα λυθεί ως εξής:

Ή

Από αυτό προκύπτει ότι και , δηλ. η εξίσωση (24) έχει δύο ρίζες: και .

Αφού , τότε , ή , .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 18. Λύστε την εξίσωση

. (25)

Διάλυμα.Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, μετασχηματίζουμε την εξίσωση (25) ως εξής:

, , .

Από εδώ παίρνουμε .

Παράδειγμα 19. Λύστε την εξίσωση

. (26)

Διάλυμα.Από τότε.

Στη συνέχεια, έχουμε. Ως εκ τούτου, η ισότητα (26) ικανοποιείται μόνο αν, όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ίσες με 2 ταυτόχρονα.

Έτσι, η εξίσωση (26) είναι ισοδύναμη με το σύστημα των εξισώσεων

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προκύπτει

Ή .

Είναι εύκολο να το δειςποιο είναι το νόημα ικανοποιεί και την πρώτη εξίσωση του συστήματος.

Απάντηση: .

Για μια πιο εις βάθος μελέτη των μεθόδων επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων, μπορείτε να ανατρέξετε στο σχολικά βιβλίααπό τη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Kushnir A.I. Αριστουργήματα σχολικών μαθηματικών (προβλήματα και λύσεις σε δύο βιβλία). – Κίεβο: Αστάρτη, βιβλίο 1, 1995. – 576 σελ.

2. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – Μ.: Ειρήνη και Παιδεία, 2013. – 608 σελ.

3. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.

4. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: προβλήματα αυξημένη πολυπλοκότητα. – Μ.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 σελ.

5. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: μη τυπικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων. – Μ.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 σελ.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις;

Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Λογαριθμική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος (x) και οι παραστάσεις μαζί του βρίσκονται κάτω από το πρόσημο της λογαριθμικής συνάρτησης. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων προϋποθέτει ότι είστε ήδη εξοικειωμένοι με και .
Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Η απλούστερη εξίσωση είναι log a x = b, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί, το x είναι ένας άγνωστος.
Επίλυση λογαριθμικής εξίσωσηςείναι x = a b παρέχεται: a > 0, a 1.

Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν το x βρίσκεται κάπου εκτός του λογάριθμου, για παράδειγμα log 2 x = x-2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ήδη μικτή και χρειάζεται ειδική προσέγγιση για την επίλυσή της.

Η ιδανική περίπτωση είναι όταν συναντήσετε μια εξίσωση στην οποία μόνο αριθμοί βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου, για παράδειγμα x+2 = log 2 2. Εδώ αρκεί να γνωρίζετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων για να την λύσετε. Αλλά τέτοια τύχη δεν συμβαίνει συχνά, οπότε ετοιμαστείτε για πιο δύσκολα πράγματα.

Αλλά πρώτα, ας ξεκινήσουμε με απλές εξισώσεις. Για να τα λύσετε, είναι επιθυμητό να έχετε τα περισσότερα γενική ιδέασχετικά με τον λογάριθμο.

Επίλυση απλών λογαριθμικών εξισώσεων

Αυτές περιλαμβάνουν εξισώσεις του τύπου log 2 x = log 2 16. Με γυμνό μάτι μπορεί να δει ότι παραλείποντας το πρόσημο του λογαρίθμου παίρνουμε x = 16.

Για να λυθεί μια πιο σύνθετη λογαριθμική εξίσωση, συνήθως ανάγεται στην επίλυση της συνήθους αλγεβρική εξίσωσηή στη λύση της απλούστερης λογαριθμικής εξίσωσης log a x = b. Στις απλούστερες εξισώσεις αυτό συμβαίνει με μια κίνηση, γι' αυτό ονομάζονται απλούστερες.

Η παραπάνω μέθοδος απόρριψης λογαρίθμων είναι ένας από τους κύριους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Στα μαθηματικά, αυτή η λειτουργία ονομάζεται ενίσχυση. Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες ή περιορισμοί για αυτόν τον τύπο λειτουργίας:

• Οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες αριθμητικές βάσεις
• Οι λογάριθμοι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ελεύθεροι, δηλ. χωρίς κανέναν συντελεστή ή άλλου είδους εκφράσεις.

Ας πούμε στην εξίσωση log 2 x = 2log 2 (1 - x) η ενίσχυση δεν ισχύει - ο συντελεστής 2 στα δεξιά δεν το επιτρέπει. Στο παρακάτω παράδειγμα, το log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) επίσης δεν ικανοποιεί έναν από τους περιορισμούς - υπάρχουν δύο λογάριθμοι στα αριστερά. Αν υπήρχε μόνο ένα, θα ήταν τελείως διαφορετικό θέμα!

Γενικά, μπορείτε να αφαιρέσετε λογάριθμους μόνο εάν η εξίσωση έχει τη μορφή:

log a (...) = log a (...)

Απολύτως οποιεσδήποτε εκφράσεις μπορούν να τοποθετηθούν σε αγκύλες, αυτό δεν έχει καμία απολύτως επίδραση στη λειτουργία ενίσχυσης. Και μετά την εξάλειψη των λογαρίθμων, θα παραμείνει μια απλούστερη εξίσωση - γραμμική, τετραγωνική, εκθετική κ.λπ., την οποία, ελπίζω, γνωρίζετε ήδη πώς να λύσετε.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Εφαρμόζουμε την ενίσχυση, παίρνουμε:

ημερολόγιο 3 (2x-1) = 2

Με βάση τον ορισμό του λογάριθμου, δηλαδή, ότι ένας λογάριθμος είναι ένας αριθμός στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί μια έκφραση που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου, δηλ. (4x-1), παίρνουμε:

Και πάλι λάβαμε μια όμορφη απάντηση. Εδώ κάναμε χωρίς να καταργήσουμε τους λογάριθμους, αλλά η ενίσχυση είναι επίσης εφαρμόσιμη εδώ, επειδή ένας λογάριθμος μπορεί να γίνει από οποιονδήποτε αριθμό, και ακριβώς αυτόν που χρειαζόμαστε. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ιδιαίτερα ανισώσεων.

Ας λύσουμε τη λογαριθμική μας εξίσωση log 3 (2x-1) = 2 χρησιμοποιώντας την ενίσχυση:

Ας φανταστούμε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο, για παράδειγμα, αυτό το ημερολόγιο 3 9, επειδή 3 2 =9.

Τότε log 3 (2x-1) = log 3 9 και πάλι παίρνουμε την ίδια εξίσωση 2x-1 = 9. Ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα.

Εξετάσαμε λοιπόν πώς να λύσουμε τις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, οι οποίες είναι στην πραγματικότητα πολύ σημαντικές, γιατί επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, ακόμα και τα πιο τρομερά και στρεβλά, στο τέλος καταλήγει πάντα στην επίλυση των πιο απλών εξισώσεων.

Σε ό,τι κάναμε παραπάνω, μας έλειψε πολύ ένα σημαντικό σημείο, που θα παίξει καθοριστικό ρόλο στο μέλλον. Γεγονός είναι ότι η λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης, ακόμη και της πιο στοιχειώδους, αποτελείται από δύο ίσα μέρη. Το πρώτο είναι η λύση της ίδιας της εξίσωσης, το δεύτερο λειτουργεί με το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών (APV). Αυτό είναι ακριβώς το πρώτο μέρος που έχουμε κατακτήσει. Στα παραπάνω παραδείγματα, το ODZ δεν επηρεάζει την απάντηση με κανέναν τρόπο, επομένως δεν το λάβαμε υπόψη.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Εξωτερικά, αυτή η εξίσωση δεν διαφέρει από μια στοιχειώδη, η οποία μπορεί να λυθεί με μεγάλη επιτυχία. Αυτό όμως δεν είναι απόλυτα αληθές. Όχι, φυσικά θα το λύσουμε, αλλά πιθανότατα λανθασμένα, γιατί περιέχει μια μικρή ενέδρα στην οποία πέφτουν αμέσως και οι μαθητές της Γ τάξης και οι αριστούχοι. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης ή το άθροισμα των ριζών, αν υπάρχουν πολλές από αυτές:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Χρησιμοποιούμε ενίσχυση, είναι αποδεκτό εδώ. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση.

Εύρεση των ριζών της εξίσωσης:

Αποδείχτηκε δύο ρίζες.

Απάντηση: 3 και -1

Με την πρώτη ματιά όλα είναι σωστά. Αλλά ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα και ας το αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση.

Ας ξεκινήσουμε με x 1 = 3:

ημερολόγιο 3 6 = ημερολόγιο 3 6

Ο έλεγχος ήταν επιτυχής, τώρα η ουρά είναι x 2 = -1:

ημερολόγιο 3 (-2) = ημερολόγιο 3 (-2)

Εντάξει, σταμάτα! Εξωτερικά όλα είναι τέλεια. Ένα πράγμα - δεν υπάρχουν λογάριθμοι από αρνητικούς αριθμούς! Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα x = -1 δεν είναι κατάλληλη για να λύσουμε την εξίσωσή μας. Και επομένως η σωστή απάντηση θα είναι 3, όχι 2, όπως γράψαμε.

Εδώ έπαιξε η ODZ τον μοιραίο ρόλο της, τον οποίο είχαμε ξεχάσει.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το εύρος των αποδεκτών τιμών περιλαμβάνει εκείνες τις τιμές του x που επιτρέπονται ή έχουν νόημα για το αρχικό παράδειγμα.

Χωρίς ODZ, οποιαδήποτε λύση, ακόμη και απολύτως σωστή, οποιασδήποτε εξίσωσης μετατρέπεται σε λαχειοφόρο αγορά - 50/50.

Πώς θα μπορούσαμε να μας πιάσουν να λύνουμε ένα φαινομενικά στοιχειώδες παράδειγμα; Αλλά ακριβώς τη στιγμή της ενίσχυσης. Οι λογάριθμοι εξαφανίστηκαν και μαζί τους όλοι οι περιορισμοί.

Τι να κάνετε σε αυτή την περίπτωση; Αρνηθείτε να εξαλείψετε τους λογάριθμους; Και να αρνηθεί εντελώς να λύσει αυτή την εξίσωση;

Όχι, απλά, σαν πραγματικοί ήρωες από ένα διάσημο τραγούδι, θα κάνουμε μια παράκαμψη!

Πριν αρχίσουμε να λύνουμε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση, θα γράψουμε το ODZ. Αλλά μετά από αυτό, μπορείτε να κάνετε ό,τι θέλει η καρδιά σας με την εξίσωσή μας. Έχοντας λάβει την απάντηση, απλώς πετάμε εκείνες τις ρίζες που δεν περιλαμβάνονται στο ODZ μας και γράφουμε την τελική έκδοση.

Τώρα ας αποφασίσουμε πώς να καταγράψουμε το ODZ. Για να γίνει αυτό, εξετάζουμε προσεκτικά την αρχική εξίσωση και αναζητούμε ύποπτα σημεία σε αυτήν, όπως διαίρεση με x, άρτια ρίζα κ.λπ. Μέχρι να λύσουμε την εξίσωση, δεν ξέρουμε με τι ισούται το x, αλλά γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι υπάρχουν x που, όταν αντικατασταθούν, θα δώσει διαίρεση με το 0 ή εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό αρνητικό αριθμό προφανώς δεν είναι κατάλληλοι ως απάντηση. Επομένως, τέτοια x είναι απαράδεκτα, ενώ τα υπόλοιπα θα αποτελούν ODZ.

Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά την ίδια εξίσωση:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει διαίρεση με το 0, τετραγωνικές ρίζεςεπίσης όχι, αλλά υπάρχουν εκφράσεις με x στο σώμα του λογάριθμου. Ας θυμηθούμε αμέσως ότι η έκφραση μέσα στον λογάριθμο πρέπει να είναι πάντα >0. Γράφουμε αυτή τη συνθήκη με τη μορφή ODZ:

Εκείνοι. Δεν έχουμε αποφασίσει τίποτα ακόμα, αλλά το έχουμε ήδη γράψει προαπαιτούμενογια ολόκληρη την υπολογαριθμική έκφραση. Το σγουρό στήριγμα σημαίνει ότι αυτές οι συνθήκες πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα.

Το ODZ είναι γραμμένο, αλλά είναι επίσης απαραίτητο να λύσουμε το προκύπτον σύστημα ανισοτήτων, το οποίο θα κάνουμε. Παίρνουμε την απάντηση x > v3. Τώρα ξέρουμε σίγουρα ποιο x δεν θα μας ταιριάζει. Και τότε αρχίζουμε να λύνουμε την ίδια τη λογαριθμική εξίσωση, κάτι που κάναμε παραπάνω.

Έχοντας λάβει τις απαντήσεις x 1 = 3 και x 2 = -1, είναι εύκολο να δούμε ότι μόνο το x1 = 3 μας ταιριάζει και το γράφουμε ως τελική απάντηση.

Για το μέλλον, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε τα εξής: λύνουμε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση σε 2 στάδια. Το πρώτο είναι να λυθεί η ίδια η εξίσωση, το δεύτερο είναι να λυθεί η συνθήκη ODZ. Και τα δύο στάδια εκτελούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και συγκρίνονται μόνο κατά τη σύνταξη της απάντησης, δηλ. πετάξτε όλα τα περιττά και σημειώστε τη σωστή απάντηση.

Για να ενισχύσετε το υλικό, συνιστούμε ανεπιφύλακτα να παρακολουθήσετε το βίντεο:

Το βίντεο δείχνει άλλα παραδείγματα επίλυσης ημερολογίου. εξισώσεις και επεξεργασία της μεθόδου διαστήματος στην πράξη.

Σε αυτή την ερώτηση, πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσειςΑυτό είναι όλο προς το παρόν. Αν κάτι αποφασιστεί από το ημερολόγιο. Οι εξισώσεις παραμένουν ασαφείς ή ακατανόητες, γράψτε τις ερωτήσεις σας στα σχόλια.

Σημείωση: Η Ακαδημία Κοινωνικής Αγωγής (ΑΣΕ) είναι έτοιμη να δεχθεί νέους φοιτητές.